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1
LA LA DINAMICADINAMICAdel punto materialedel punto materiale
Studio del moto dei corpi in relazione allecause che lo hanno prodotto
variazione di MOTO FORZE
insieme organico di leggileggi che descrive in modo sistematicosistematico una categoria di fenomeni
TEORIA Principigenerali
DINAMICADINAMICA::
principio 0principio 1°principio 2°principio 3° Dall’ osservazzione
(esperimenti)
2
3
Parleremo della DINAMICA CLASSICA(Galileo e Newton)
• velocità piccole rispetto a CCin caso contrario: meccanica relativistica
• grandi dimensioni rispetto “all’atomo”in caso contrario: meccanica quantistica
In meccanica quantistica cambia alla radice il concetto didinamica. In relatività valgono ancora tutti i principi della dinamicaclassica tranne il secondo che deve essere riformulato (èsolo una possibile descrizione tra le cause (forze) e gli effetti (moto).
IL PRINCIPIO ZERO ( di relatività):ci abitua subito a capire l’ importanza delmoto relativo dei sistemi di riferimento edin particolare di quelli in moto relativo:
• traslatoriocostante orientamento relativo degli assi(tutti i punti del sistema subiscono lo stesso spostamento relativo);
• rettilineo uniformetutti i punti si muovono di moto relativo rettilineo ed uniforme.
I principi fondamentali:
4
o
x
y
z
o
x
y
z
o
x
y
z
o
x
y
z
Moto traslatorioMoto traslatorio
Moto rettilineo uniformeMoto rettilineo uniforme
5
PRINCIPIO ZEROPRINCIPIO ZEROdi relativitdi relativitàà (di Galileo!)(di Galileo!)
Se due laboratori si muovono di moto relativotraslatorio rettilineo uniforme non esiste un esperimento (di meccanica) che dia risultati diversi nell’uno e nell’altro laboratorio.
I DUE LABORATORI SONO I DUE LABORATORI SONO INDISTINGUIBILIINDISTINGUIBILI
Scrive Galileo ne: “ I DIALOGHI”:
“rinserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coperta di alcun gran naviglio, e quivi fate di avere mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anche un gran vaso d’ acqua, e dentrovi dei pescetti; sospendasi anche in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando acqua in altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso:e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; e i pesci si vedranno andar notando
6
Perché valga il principio di relatività non ènecessario che la misura delle grandezze fisiche sia la stessa (prinipio di invarianza)ma che le relazioni tra le grandezze fisiche siano le stesse (principio di covarianza)
I due membri di un’equazione fisica devonoessere covarianticovarianti passando da un sistema ad un altro in moto rettilineo uniforme
indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all’ amico alcuna cosa non più gagliardamente la dovete gettare verso quella parete che verso questa, quando le lontanaze sieno uguali; e saltando voi, come si dice, a pié giunti, egual spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benchè niuno dubbio vi sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succedere così; fate muovere la nave con quanta si voglia velocità: ché (pur pur che il moto sia uniforme e non fluttante in qua e in lche il moto sia uniforme e non fluttante in qua e in làà) voi non conoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprendere se la nave cammina oppur sta ferma….”
7
DEFINIZIONE DEL PROBLEMA DINAMICO
1. proprietà del sistema: “punto materiale”;2. definizione dell’ ambiente esterno;3. definizione delle condizioni iniziali;4. studio dell’ evoluzione, dal punto di vista del moto,
del sistema “punto materiale”.
l’ ambiente esternoil punto materialeil sistema
Un bloccoLa molla e la superficie
scabra
vr
Palla da golf La Terra
Satellite artificiale La Terra
++
++
++
+elettrone Una sfera carica
Sbarreta magnetica Altra sbarreta magnetica
rr
rr
vr
−
N NS S
8
Si procede come di seguitoSi procede come di seguito( dinamica di Newton):( dinamica di Newton):
• introdurremo il concetto di forza- dinamico (moto?)- statico (deformazioni?)
• assegneremo una nuova proprietàad ogni punto materiale ( massa )
• definiremo le leggi delle forze inbase alle proprietà degli oggettie dell’ ambiente ( fenomenologia)
Definizione operativa Definizione operativa ““staticastatica”” ::
01234
Fr
01234
9
Il concetto di Il concetto di forzaforza lo troviamo nelle:lo troviamo nelle:•leggi delle forze: quale forza in
relazione all’ ambiente?• leggi del moto : quale accelerazione
per effetto di una forza?Prima diPrima di GalileoGalileo(1564-1642):
• lo stato di moto di un corpo è“innaturale”
Dopo Dopo GalileoGalileo::
• il moto rettilineo uniforme è lo statodi moto “naturale”
01234
1fr
2fr
1fr
2fr
21 fffrrr
+=
10
Primo principio della dinamicaPrimo principio della dinamicadidi Newton Newton ((16421642--17271727))
principio di principio di inerzia (inerzia (preso da Galileopreso da Galileo))
Ogni corpo isolato persiste nel suo stato diquiete o di moto rettilineo uniforme finchénon intervengano agenti esterni ( forzeforze ) amutarne lo stato.
N.B.
• è basato sul concetto di corpo libero• è conseguenza del “principio di relatività”• stabilisce una legge naturale• introduce il concetto qualitativo di forza• fa uso del ( definisce il) concetto di:
Sistema di riferimento inerzialeSistema di riferimento inerziale
11
Sistemi di riferimentoSistemi di riferimento(inerziali)(inerziali)
Il moto di un punto materiale è legato al sistema di riferimento Definizione:
Un sistema di riferimento inerziale è definito dallacondizione che in esso un punto materiale libero,posto inizialmente in quiete, (o in moto con v=cost)permanga indefinitamente in quello stato .
Per il 1° principio:due sistemi di riferimento inerzialipossono differire al massimo per unavelocità costante
N.B.N.B.In un mondo ideale ( sistema inerziale ) nonserve una forza per mantenere un puntomateriale fermo o in moto con velocità costante.
forza v a⇒ ⇒Δr r
•Che tipo di grandezza è?•Non si fa distinzione tra:
•Forza nulla•Risultante delle forze nullo
12
13
Se ci limitiamo, per ora, ai S.D.R.I. L’accelerazione ha un valore assoluto (vedi le trasformazioni di Galileo)
la Terra la Terra èè un S.D.R.I.?un S.D.R.I.?
Pendolo di Foucault
Il primo principio può anche enunciarsi come:“se su un corpo non agiscono forze la sua accelerazione è nulla ( S.D.R.I.)
Una definizione operativa di forza deve essere:1. Quantitativa (numero)2. Qualitativa (natura della forza)
14
aF rr∝ amF rr
=Massa inerziale
15
Definizione della forzaDefinizione della forza (unitaria)Consideriamo:
M = massa unitariase:
a = accelerazione unitariaallora:
F = forza unitaria
Sperimentalmente: la forza è un vettoree con l’ esperimento si determinano:
• modulo (già visto il metodo)• direzione • verso Dall’ accelerazione
N.B.N.B.Se più forze agiscono su un p.m., ognunaproduce la sua propria accelerazione ognunadelle quali è indipendenteindipendente dalle altre.
16
Vale la regola sperimentalesperimentale del parallelo-gramma.
Quale è il ruolo della massa?Abbiamo definito la massa unitaria M0.Applichiamo alla massa campione (unitaria)un forza e misuriamo una a0ripetiamo l’esercizio con una massa genericaM1 (oggetti diversi) e , con la stessa forza
(stiamo lavorando in 1 dimensione!)
(a parità di forza agente)MM
aa
1
0
0
1
=
Stabilendo così un:criterio di confronto criterio di confronto ““dinamicodinamico”” delledelle massemasse
Ogni forza agisce in modo indipendente !!
rF1
rF2
M1
Fv
17
Possiamo quindi misurare le masse:
M M aa1 0
0
1
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Supponiamo: Kgm 10 =Usiamo un dinamometro per accelerarla con: 2
0 2 −= msaSostituiamo la massa campione con una generica: 1mApplichiamo la stessa forza di prima e supponiamo di
misurare un’ accelerazione:2
1 5.0 −= msa
KgmsmsKg
aaMM 00.4
50.000.200.1 2
2
1
001 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
−
N.B.
Il secondo corpo, che subisce unIl secondo corpo, che subisce un’’ accelerazione accelerazione pari ad un quarto della prima ha pari ad un quarto della prima ha per definizioneper definizioneuna massa 4 volte maggiore!!!!una massa 4 volte maggiore!!!!
La massa viene interpretata come una misuraquantitativa dell’ inerzia
18
Applicando invece una forza differente F’troviamo un rapporto tra le accelerazioni:
Possiamo assegnare massa a qualunque corpo!Infatti ad ogni altro corpo attribuiamo una massa M2 per confronto con la massa campione. Se confrontiamo le due masse “qualunque”applicando la stessa forza :
0
1
1
0
1
0
1
0
MM
aa
aaaa
==′′′′
''a''a
MM
2
1
1
2 = Ma attenzione!!!!!!!!!!!!!
Il rapporto è lo stesso che avremmo trovatoper confronto delle due masse M1 ,M2 con lamassa campione M0
uguale a prima:
E’ indipendente dalla forza!!!
.........e ancora:mettendo assieme pimettendo assieme piùù masse queste si masse queste si comportano come uncomportano come un’’ unica massa pari alla unica massa pari alla somma delle masse in questione!!!! (grandezza somma delle masse in questione!!!! (grandezza estensiva)estensiva)
19
22°° principio della dinamicaprincipio della dinamica
Questo 2° principio contiene implicitamente il 1° infatti se:
Dove:
=Fr
r r rF a v t= ⇒ = ⇒ =0 0 cos .solo 2 delle tre leggi di Newton sono
indipendentiindipendenti
r rF ma=
Dimensioni?Dimensioni?
UnitUnitàà di misura?di misura?
[ ] [ ][ ][ ]2−= TLMF)ewton(NsmKg =⋅⋅ −2
Vettore risultante di tutte le forze agenti sul “punto materiale”
20
8 10-8 NForza tra nucleo ed elettrone ( idrogeno)
3.2 10-2 NForza esrcitata dalla Terra su una moneta (100)
2 NForza esrcitata dalla Terra su una mela
9.8 NForza esrcitata dalla Terra su 1 Kg
7.2 102 NForza esercitata dalla Terra su un uomo
7 103 NForza acceleratrice su un’ automobile
104 NForza di inetrazione tra due protoni nel nucleo
10 4 NForza di frenatura (automobile )
1.5 104 NForza esrcitata dalla Terra su un’ automobile
5 105 NTrazione di un locomotore
7.7 105 NSpinta dei motori di un jumbo (B747)
106 NTrazione di un grosso rimorchiatore
3.3 107 NSpinta di un vettore per satelliti
2 1020 NForza esercitata dalla Terra sulla Luna
3.5 1022 NForza esercitata da Sole sulla Terra
alcune forze e le loro intensità
le forze fondamentali
10-15 m1adroniforte
∞10-2Cariche elettricheelettromagnetica
<10-17 m10-6leptonidebole
∞10-38massegravitazionale
Raggio az.intensitàAgisce suforza
finqui 31 Gennaio 2007
21
00 Kp +Λ→+−π
p−π
+−ππdecadimentideboli
22
23
24
r rF ma=
La legge vettoriale è equivalente a:
F maF maF ma
x x
y y
z z
==
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
dove:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
iizz
iiyy
iixx
FF
FF
FF
,
,
,
MA:
le le forzeforze sono sempre il risultato dell’ interazioneinterazionecon gli altrialtri corpicorpi e e ll’’interazioneinterazione èè sempresemprereciproca
Non esiste la Non esiste la forza singolaforza singola
ci penserci penseràà il III principio !!il III principio !!
25
W=forza sul blocco da partedella Terra
W’=sulla Terra da parte del blocco
N=dal tavolo sul bloccoN’=dal blocco sul tavolo
26
Questo ci permette di introdurre il ( difficile )
PRINCIPIO PRINCIPIO DI AZIONEDI AZIONE E REAZIONEE REAZIONE“ Ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria; le mutue azionidi due corpi sono sempre uguali in modulo edirezione ed hanno verso opposto”
33°° principio della dinamicaprincipio della dinamica
27
amFF cBCUCrrr
=+
amFF cBCUC =−
Le due forze sono uguali solo se:• a=0 condizioni statiche (la fune trasmette la forza inalterata)• mc=0 massa della fune trascurabile
Se mc=0 ( approssimazione!) la forza è costante in ciascun punto della fune generalmente viene chiamata: tensione
Non costituiscono un sistema azione-reazione
0=ar
0≠ar
Mb
Mb
0
0
=+
=+
BCCB
CUUC
FF
FFrr
rr
quindi in generale:
BCUC FFrr
≠
N.B.• le forze di azione-reazione agiscono sempre
su corpi corpi differentidifferenti altrimenti non si avrebbe maimoto accelerazione!
• In generale nonnon sono equilibrate
28
)(trrRisoluzione delle equazioni del moto e cioètrovare una forza ed una legge oraria
tali da soddisfare la:Fr
amF rr=
Ftr
trFrr
rr
)(
)(
Caso particolare:
Statica: date delle forze...trovarne altre
Scopo della dinamica
Il problema può essere:
1. Diretto: data
2. Inverso: dato
29
diagrammacorpo libero
forze
interazione con l' ambiente
La seconda legge non è una legge naturale nel vero senso del termine e può anche essere usata come:
Definizione della forzaDefinizione della forza
L’ ultimo passo mi permette di “sostituire”le interazioni di un corpo con l’ ambientecon le forze
devo però determinare le leggi delle forzeleggi delle forze :“come calcolare le forze in funzione delleproprietà del corpo e dello spazio circostante”
30
M1 M2
ra ms= −1 2
M1=100KgM2=20Kg
NFiaMF
NFiaMF
NRiaMR tot
100ˆ100
20ˆ20
120ˆ120
111
222
=⇒==
=⇒==
=⇒==
rr
rr
rr
Qual’ è la reazione e quale l’azione?Su M1(+M2) è applicata una forza tot. di 120N ma M1 ha una accelerazione che corrisponde a soli 100N a causa della reazione di M2.Vediamolo in un altro modo:
Esempio 10
In una dimensione ( notazione vettoriale superflua):
( )aMMR 21 += 11 −= msa
NaMFF , 12212 ===
y
xo
M1 M2
M1=2KgM2=1KgR=3NR
r
21,Fr
La reazione su M1: e infatti la forza su M1:2112 ,, FFrr
−=)NN(NaMF 13211 −===
E se la forza R è applicata a M2?
o
y
x
31
Se la massa M è in equilibrio (statica):
a) Sul blocco
b) Sulla molla
PTPT
PTamF
aPTF .tot
=−==+
==
+=
(1) rr
rrrr
rrrr
0
0
pTRpTR '
+==++ 0rrr
1) T è una misura esatta del peso del corp (metodo dinamometrico:statico!)
R’ è la reazione esercitata dalla mollasul soffitto
In generale R’≠ T a meno che non sia........
0=mM
T’=azione del blocco sulla molla (=reazione alla
forza T)
Come siPassa daUna all’Altra?
'Rr
pPpTRR '' rrrrrr+=+==
Ma è sempre vero?
32
Esempi di forze e delle loro leggi:•blocco trascinato da una molla
•palla da golf in volo
•satellite artificiale
•Interazione di due cariche elettriche
•due “asticciole” magnetiche
iKxF −=r
r rF mg=
rr
mMGF 2−=r
rrqQF 2
041πε
=r
rrmF 4
20
23πμ
=r
33
Da :r rP mg=
Il peso dipende dal valore locale di . rg
In luoghi differenti sulla superficie terrestre la massa è la stessa maCausa allungamenti leggermente diversi su un dinamometro.
rg = 0rP = ≠0 mentre m 0
Nello spazio dove (???)
E dare un calcio ad un corpo di grande massanon richiede alcuno sforzo…..ma ci si schiaccia egualmente l’alluce!!!
agPF
gPmmgPamF rrrr
====
•Dinamometri: informazioni diverse con il luogo•Bilance: la stessa informazione ovunque
Altra unità per la forza (ing.): pKgForza che applicata alla massa di 1Kg causa Forza che applicata alla massa di 1Kg causa unun’’accelerazione pari a 9.8066 msaccelerazione pari a 9.8066 ms--22
KgKg
mKgP pp 2.80
78.98066.980
78.98080 =
⋅==⇒=
In un posto dove: 278.9 −= msg
forza e accelerazione sono collineari notazione vettoriale superflua
34
PESO E MASSAPESO E MASSA
Senza pretendere di conoscerne l’ origine sappiamo che: ogni corpo (sulla terra ) lasciato cadere liberamenteacquista una accelerazione
r rg g mstale che ⎯ →⎯⎯ ≅ −9 81 2.
N.B. In un dato luogo g è lo stesso per tutti i corpi.Per la II legge di Newton:
r r rF P mg= =Per cui dati due corpi di masse M1 ed M2(in uno stesso luogo)
r
rPP
MM
1
2
1
2
=Con una bilanciaCon una bilanciaanalitica paragono analitica paragono (in pratica) le(in pratica) le massemasse
Ma peso e massa sono diversi• la massa è uno scalare• il peso è un vettore ( forza )
35
Come si applica la II leggeCome si applica la II legge
• identificazione del corpo al cui moto si riferisce il problema
• definizione dei “corpi” che costituisconol’ ambiente
• scelta opportuna del sistema di riferimento( inerziale )
• disegnare il “diagramma del corpo libero”• applichiamo la II legge della dinamica
x
y
o
rFb
rFa
rFc
xo
y
Qual’ è l’ oggetto in questo caso?Come è definito l’ ambiente?
finqui 02 febbraio 2007
36
y
0=++ cba FFFrrr ( )
( )⎩⎨⎧
=⋅++=⋅++
00
jFFFiFFF
cba
cba rrrrrr
( )( )⎩⎨⎧
=++=++01804560
027045150cosFcosFcosFcosFcosFcosF
cba
cba rrrrr
⎩⎨⎧
=−+=+−
⎩⎨⎧
=−+=+−
0707050070708860
0456004530
P.F.F.F.F
FcosFcosFcosFcosF
ba
ba
cba
ba
Se ad esempio:
pc KgF 100= pbpa Kg.F;Kg.F 689373 ==⇒
Esempio 12
α
xo
bFrr
Fa
rFc
α β
β
β=45°α=30°
È un’ unità strana
37
m2
m1
ox
y
2Tr
1Tr
1Pr
2Pr
⎩⎨⎧
=+=+
2222
1111amPT
amPTrrrrrr ( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅=⋅+
⋅=⋅+
jamjPT
jamjPT
ˆˆ
ˆˆ
2222
1111
rrr
rrr
⎩⎨⎧
=−=−
222
111amgmTamgmT
Ma a1 = - a2
Esempio 13•Filo inestensibile•Massa del filo e della carrucola trascurabili•Attriti trascurabili
gmmmma
21
121 +
−=
21
212mm
mmgT+
=
E le dimensioni?E le dimensioni?
se la fune ha massa M=0 TTT == 21
38
Esempio Esempio 1414
NF
KgmKgM
3000
2001025 3
1
=
=⋅=
r(sul cavo!!!! )
• accelerazione della massa M1:
• M2 traina m con una forza F=3000N
2
1
1190 −≅+
= ms.mM
Fa
Azione e reazione
ox
y
M1 M2m
rF
T1
T2T3
T N1 3000=
Diagramma corpo libero?
1Fr
39
Infatti: N.F 297511901025 31 =⋅⋅=r
NFF 25297530001 =−=−rr
%)5(!!!!119.0125.020025 22 +≠=== −− msms
mFa
c
cc
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=mM
MmF
mMFMFac
1
1
11 1
2
1
1190 −=+
= ms.mM
Fac
Il cavo eserciterà un trazione sulla massa M1:r rF M a1 1=
E, sempre per il principio diazioneazione--reazionereazione la funerisentirà di una tensione:
( )
NamMT
:avrà sim perchè TT per mentre
NaMT
2
12
298821
0
2796
1
13
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
≠≠
≅=
rr
r
rr
Attenzione alle approsimazioni!!!!!
40
Esempio Esempio 1515
M1
M2o x
y
o x
y
rT
rT
M g2
rM g1
r
rN
Da cui:
gMM
MMT gMM
Ma21
21
21
2
+=
+=
Con l’ ovvia condizione: aaa yx == 21
⎩⎨⎧
==−
x
yaMT
aMgMN11
111
Per la massa M1:
Per la massa M2:
aMTP rrr2=+
amPNT rrrr=++
yaMTgM 222 =−
41
′′
′
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
vvv
Rv Vv Vv V
x
y
z
x x
y y
z z
0
0
0
Qualcosa di piQualcosa di piùù sui sui S.D.R.S.D.R.a) S.D.R.I.S.D.R.I.
Abbiamo visto a suo tempo che in questivalgono le trasformazioni:
le componenti cambiano mantenendo il vettorevettoreaccelerazioneaccelerazione identico:
a aa a a a
a a
x x
y y
z z
'
' '
'
=
= ⇒ =
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
r rMa cosa succede al II principio delladinamica? (semprenei SdRI)
Sappiamo ( bilance, dinamometri ) che lamassa è un invariante invariante scalarescalare:
′′
′
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
aaa
Raaa
x
y
z
x
y
z
⇒ + + = + +a i a j a k a i a j a kx y z x y z' ' ' ' ' '$ $ $ $ $ $
Nel caso di assi paralleli ( traslazione uniforme):
'mm =
Si hanno le T.d.G.T.d.G. per le quali:
42
Se gli assi hanno lostesso orientamento:
ff
f
Rff
f
x
y
z
x
y
z
'
'
'
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⇒
=
=
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⇒ =
f ff f
f f
f fx x
y y
z z
'
'
'
'r r
Partendo da:
Generale Generale CovarianzaCovarianzaIn particolare se i S.d.R. hanno lo stessoorientamento:
amf rr=
amf amf rrrr=⇒=
Invarianza per trsf. di Galileo
La forza si trasforma come un vettore:
Nel sistema“fisso”
Nel sistema“mobile”
'am'f rr=Applicando l’operatore |R|:
43
b) S.D.R.S.D.R.N.N.I.I.In generale quanto detto primanon è vero:
vr
o
y
x
o
y
x
vrOsservatore A
Osservatore B
Se il treno frena: per B gli oggetti subiscono un’ accelerazione senza che ci sia interazioneCon l’ ambiente!!
Forze Forze fittizie fittizie ((apparentiapparenti))Si ha quindi l’ insorgere di :
vr
44
La relazione che lega le coordinate nei due sistemi “fisso” e “accelerato” (considerimo per ora un moto traslatorio non uniforme) è più profonda. Se sul punto agisce una forza, questo, nel sistema “fisso”si muoverà secondo:
'
'
'
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−=−=
ZzzYyyXxx dove : tvZtvYtvX zyox 00 ;; ≠≠≠
coordinate dell’ origine del Sistema “mobile”.
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−=−=
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−=−=
zxz
yxy
xxx
zxz
yxy
xxx
AaaAaaAaa
VvvVvvVvv
'
'
'
'
'
'
z
x
y
z’
x’
y‘
x≡x’
A
rr'rr
ar
amf rr=
nel sistema di riferimento mobile:
costantev .tr ≠r
( )ZYXo ,,'
222
21;
21;
21 taZtaYtaX zyx ===ma :
( )000 ,,o
derivando:
45
.tr'
.tr'' Aaa Vvv Rrr
rrrrrrrrr−=−=−=
r ra a' ≠
'.tr amAmf rrr=−
Forza di inerzia (massa * acc. di trasc.) detta anche “fittizia”
N.B.Anche se l’ osservatore esegue una misura staticaper la quale: ra ' = 0
Esiste sempre la forza di inerzia
( ) .tr'
.tr' AmamAamamf
rrrrrr+=+==
Misura “dinamica: forza “reale”+ termine inerzialeMisura statica: deve applicare una “forza reale” che
sommata al termine inerziale determinal’ equilibrio ( cioè a’=0)
46
ar argmf rr
=
Tr
amr−
argmf rr= ar
gmf rr=
aramf rr
−=
gmf rr= ar
gmf rr= T
r ar
finqui 07 Febbraio 2007
47
v mTr
ar
mTr
rr
mv2
Ogni punto della piattaforma si muove di moto circolare ed ha un’ accelerazione centripeta: un riferimento solidale con la piattaforma è NON INERZIALE.NON INERZIALE.
Osservatore Inerziale: l’ accelerazione è dovuta tensione della fune
Osservatore Non Inerziale: La pallina deve esserelegata al palo sennò, se anche la collocaLa pallina deve esserelegata al palo sennò, se anche la collocaferma in un punto, acquista unferma in un punto, acquista un’’ accelerazione accelerazione ““centrifugacentrifuga””..Per annullarla deve usare proprio la tensione della fune pPer annullarla deve usare proprio la tensione della fune pererrendere valido il II principio.rendere valido il II principio.
48
• non derivano dall’ interazione con altri corpi;
• si chiamano inerziali perché dipendono dalmoto del S.d.R;
• sono forze reali per il S.N.I.: ci voglionoci voglionoforzeforze reali per annullarne reali per annullarne ll’’effettoeffetto;
• nei sistemi accelerati non valgono i principidi Newton (vedi il primo!!)
• si può ancora usare il II principio se siconsiderano le forze fittizie (dette anchedi trascinamento)
Queste forze apparenti:
Tutto questo nel caso in cui il moto del S.D.R.N.I. Si muova di moto traslazionale.
Ma cosa succede in caso di motoQualunque?
49
)(ˆ)(ˆ)(ˆ''ˆ''ˆ''ˆ ZzkYyjXxizkyjxi −+−+−=++
Ora però i versori del sistema non inerziale non sono costanti
'ˆ'ˆ 'ˆ'ˆ 'ˆ'ˆ kdtkdj
dtjdi
dtid
∧=∧=∧= ωωωrrr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )tvtvtPOttVtvtv
VvkVvjVvi
zkyjxivkvjvi
t
zzyyxx
zyx
rrrrrr
r
−=∧+−=
−+−+−=
=++∧+++
''
)(ˆ)(ˆ)(ˆ
)''ˆ''ˆ''ˆ(''ˆ''ˆ''ˆ
ω
ω
Derivando rispetto al tempo t ( che che èè ““assolutoassoluto””!!!!!! ):
Formula di Poisson!!!
Sistemi di riferimento Sistemi di riferimento non non inerzialiinerziali
x
o≡o’y
z
x’
y’
z’ ω p
rrar
Come nel caso precedentemente visto:
50
''ˆ''ˆ''ˆ' zyx vkvjviv ++=r
)''ˆ''ˆ''ˆ(ˆˆˆ zkyjxiVkVjViv zyxt ++∧+++= ωrr
Velocità di P rispetto alsistema mobile ( vel. relativa)
zyx vkvjviv ˆˆˆ ++=r Velocità di P rispetto al
sistema fisso ( vel. assoluta)
È la velocità con cui si muove, rispetto al sistemafisso, il punto solidale con il sistema mobile che nell’ istante considerato è occupato da P ( velocitàdi trascinamento)
Ci abbiamo preso gusto e....... deriviamo ancora!
)(ˆ)(ˆ)(ˆ zzyyxx AakAajAai −+−+−=
)Vv(k)Vv(j)Vv(i)'z'k'y'j'x'i('v'k'v'j'v'i
zzyyxx
zyx
−+−+−==++∧+++ ω
r
+++ ''ˆ''ˆ''ˆ zyx akajai +++∧ )''ˆ''ˆ''ˆ( zyx vkvjviωr
( )+++∧ ''ˆ''ˆ''ˆ zkyjxiαr
+++∧ )''ˆ''ˆ''ˆ( zyx vkvjviωr
( )[ ]=++∧∧ ''ˆ''ˆ''ˆ zkyjxiωωrr
51
Che più semplicemente:
[ ] '2)'(''
'
vPOPOAaa
aaaa ct
rrrrrrrr
rrrr
∧−∧∧+∧+−=
−−=
ωωωα'ar Accelerazione del punto P rispetto al sistema
di riferimento mobile ( acc.ne “relativa”)
ar Accelerazione del punto P rispetto al sistema di riferimento inerziale (acc.ne “assoluta”)
tar Accelerazione con cui si muove, rispetto al sistema fisso, il punto solidale con il sistema mobile che nell’ istante considerato èoccupato da P ( acc.ne di trascinamento)
car È la famigerata accelerazione di Coriolis. Ènulla quando P è in quiete nel sistema mobile ( o in assenza di rotazione!!!)
Pd
'o
ωr
Ar
: accelerazione dell’ origine mobile rispetto al fisso
dP'O αα =∧r
: acc.ne tangenziale dell’ estremo libero di O’ P
d)P'O( 2ωωω =∧∧rr
: acc.ne radiale dell’ estremo liberodi O’ P
αv Accelerazione angolare del sistema di riferimento mobile (α=dω/dt)
52
Per la terra:
( ) 15 1029.7 −−⋅= sradωr
Sia gg00 l’accelerazione di gravità misurata da un osservatore non ruotante. L’accelerazione misurata da un osservatore terrestresarà ( in questo caso non c’è moto traslazionale relativo: A=0 e la rotazione è uniforme: α=0):
L’accelerazione di un punto dipende dalla suavelocità v’ e dalla sua posizione r( o meglio R).
( ) vrga ′∧−∧∧−=′rrrrrrr ωωω 20
Esempio 17
λωω cosrRv ==
La velocità e l’ accelerazione di un punto sulla superficie terrestre saranno
λωω cos 22 rRa ==
221 cos1034.3 cos459 −−− ⋅== msamsv λλ
N
Piano equatoriale
λr
g0D
ω
( )− ∧ ∧r r rω ω r
ω λ2 2r cos Vert.
O≡C
R P
y
z
dipende dalla velocitàcon cui si muove il corposulla Terra!!!
53
Il termine centrifugo ( se v’ è trascurabile come nel caso di un punto che si muove molto lentamente) vale al massimo( equatore):
22103.3 −−⋅≅ msaTermine di Coriolis: ( ) 2510372 −− ′⋅⋅≅∧ ms v.'vr
rω
1 1500 −< Kmhv
Per velocità piccole ( e per i corpi a riposo sulla Terra) g efficace vale
( )rgg rrrrr∧∧−= ωω0
( ) 0.max2 %3.0 gr ≅ω
λω 220 cosrgg −≅
È la direzione del filo a piombo enon punta al centro della Terra
( ) 222 cos1034.3cos −−⋅=≅∧∧ msrr λλωωω rrr
Il termine di Coriolis ètrascurabilerispetto al termine centrifugo per v piccole
N
Piano equatoriale
λr
g0D
ω
( )− ∧ ∧r r rω ω r
ω λ2 2r cos Vert.
O≡C
R P
y
z
54
Effetti del termine “centrifugo”:
55
la figura non è in scalaα è molto piccolo!g aumenta con la latitudine
Il termine radiale mostra chei corpi, nell’ emisfero nord sonodeviati verso sud lungo la verticale AB:filo a piombo e corpi in cadutalibera
S
NB
A
( )rrg ˆcos220 λω−−
λλω sincos2r
gv
orizzonteorizzonte
direzione radialedirezione radiale
α
56
Effetti del termine “di Coriolis”:
57
58
59
60
Qualcosa di più sul III principio.....ricordiamo che azione e reazione:
1. Agiscono sempre su corpi diversi2. In generale non si fanno equilibrio
Definiamo una nuova grandezza fisica:
vmP rr=
•Dimensioni?
•Unità di misura?
La prima leggedella Dinamica:
La seconda leggedella Dinamica:
tcosP =r
dtPdv
dtdmamF
rrrr===
QuantitQuantitàà di motodi moto
[ ] [ ][ ][ ]1−= TLMp1−⋅⋅ smKg
Come la si interpreta?
61
Come si può enunciare adesso la III legge:
Siano dati due sistemi (punti materiali) interagenti:
212121 ,,,,, PPFFmmrrrr
1m2m
1vr2vr
dtPdF 1
1
rr=
dtPdF 2
2
rr
=
Se i due corpi isolati:
12 FFrr
−=dtPd
dtPd 12
rr
−= ( ) 021 =+ PPdtd rr
che esprime una importante legge di conservazione:
.costPP =+ 21
rr
La quantità di moto totale di un sistema composto di 2 punti materiali soggetti solo alla loro mutua interazione rimane costante nel tempo
62
Qualcosa di pratico sulla quantità di moto:
Siano dati: F,mr
m
vrFr
amF rr= dt
vdmFrr
=
Consideriamo un intervallo di tempo dt:
∫∫∫ ==2
1
2
1
2
1
v
v
t
t
t
t
vmddtdtvdmFdt rr
Per i sistemi a massa costante:
( )12
2
1
2
1
vvmvdm dtFv
v
t
t
rrrr−== ∫∫
Definiamo:Variazione della quantità di moto( )12 vvmP rrr
−=Δ
∫= dtFIrr
Impulso della forza
•Dimensioni?
•Unità?
[ ] [ ][ ][ ]1−= T L MI
sN ⋅finqui 09 febbraio 2007
63
Fondamentale:
nota che sia la legge della forza, si ricavano nota che sia la legge della forza, si ricavano informazioni cinematiche sul moto del punto informazioni cinematiche sul moto del punto
Teorema dell’ impulso: 1212 vmvmI rrr−=
Possiamo quindiscrivere in generale:
( ) ( )
( ) ( )tIm
vtv
tIvmtvm1
0
0
+=
=−rr
rrr
Ma in generale non conosciamo la forza in funzione del tempo!!!! E per integrare le equazioni del moto
ci serviremo di altre grandezze:
1.1. LavoroLavoro2.2. EnergiaEnergia
LL’’ impulso della forza agente su un punto materiale impulso della forza agente su un punto materiale fra gli istanti tfra gli istanti t11 e te t22 èè uguale alla varazione della uguale alla varazione della quantitquantitàà di moto subita dal punto.di moto subita dal punto.
( )∫+= dttFm
vvrrr 1
0
64
Esempio 19
Una mitragliatrice spara R proiettili di massa m e velocità v al secondo. Qual’è la forza media esercitata sul bersaglio colpito e nel quale si arrestano?
∫ Δ=
Δ= .fin
.in
t
t tIdtf
tf
rrr 1
# di proiettili che colpiscono il bersaglio in Δt:
tRΔSe mv è l’ impulso esercitato da ogni proiettile, la forza media vale:
Rmvt
tRmvtp
tIf =
ΔΔ
=ΔΔ
=Δ
=rr
r
65
LAVOROLAVOROÉ sempre associato al concetto di spostamento!!!
a)a) Caso unidimensionaleCaso unidimensionale1. Forza costante
12:
.cos:
xxxrr
tFFF x
−=Δ=
==rr
rr
•quali dimensioni ?
• unità S.I. ?
[ ] [ ][ ][ ]22 −= T L MW
)(22 ouleJmNsmKg ⇒⋅=⋅⋅ −
xF
xo
yxΔ
1x 2x
xFW xΔ=⎪⎩
⎪⎨⎧
<=>
nto spostameallo opposta forza nulli nto spostamee/o forza
concordi nto spostamee forza
000
m
F
x
o
F=cost
w
x1 x2
66
x
0
Tr
Pr
M=9 102KgX1=400m
•Il concetto di lavoro è assoluto?•Quanto vale il lavoro fattodalla forza peso nella discesa?
• Quanto quello fatto da T e sottoquali condizioni?
• Quanto vale il lavoro della forzarisultante?
• È indifferente se il moto èaccelerato o meno?
• Se si rompe il cavo quanto valeil lavoro compiuto da P e T?
( ) ( ) J.mN.WxPWxFW
P
xP63 10534001088 ⋅=−⋅⋅−=
==⇒= ΔΔ
( ) ( ) J.mN.WxTWxFW
T
xT63 10534001088 ⋅−=−⋅⋅=
==⇒= ΔΔ
67
b)b) Caso unidimensionale ma con forza variabileCaso unidimensionale ma con forza variabile
( )xFFrr
=Fr
xox1 x2
Si calcolano ( ovviamente ) ilavori infinitesimi ( elementari )e si fa la somma (integrale).
∫
∑
=
Δ==
→Δ
2
1
)(
)(lim1
,0x
x
k
iiixx
dxxFW
xxFW
È ancora l’ area sottesa dalla F tra x1 e x2
( )NFx
( )cmx
kxFx −=
1x
2x
1x 02 =xx
posizione di equilibrio
lavoro compiuto sulla molladurante l’ espansione da x1 a x2
68
dx)x(FdW
dx)x(FdWW
=
== ∫∫Lavoro infinitesimoLavoro infinitesimo
• il lavoro infinitesimo è positivo (negativo) se forza e spostamento sono concordi (discordi)
• il lavoro integrale è positivo o negativo a seconda dei contributi dei singoli lavori infinitesimi
Tipico (forza elastica): KxF −=
( )222
, 21
2abkxKxdxKKxdxW
b
a
b
a
b
aba −−=−=−=−= ∫∫
Esempio 22Un blocco appoggiato su una superficie orizzontale liscia èattaccato ad una molla orizzontale che ubbidisce alla legge di Hooke ed esercita sul blocco una forza Fx=-Kx, dove x èmisurata a partire dalla posizione di equilibrio della molla e la costante elastica è K =400N/m. La molla viene compressa fino a x1=-5cm dalla sua posizione di equilibrio x2=0.Qual’è il lavoro compiuto dal blocco?
( ) ( )( )[ ] JmmNmxFW x 5.005.0/40005.021
21
=−−=Δ=
Area sotto la curva F=F(x).W>0 perchè F e Δx sono concordi
è il modulo della forza?
69
c)c) Caso 3Caso 3--D ma con forza costanteD ma con forza costante
)!!!.(cost vettorialeF =r
2rr
rrΔ Fr
1rr
o
xy
z
P(t2)
Fr
P(t1)
zFxFxFW zyx Δ+Δ+Δ=
θ
d)d) Caso Caso generalegenerale: 3: 3--D con forza variabile:D con forza variabile:
∫ ⋅=b
aba rdFW rr
, Integrale di lineaIntegrale di linea
∫∫∫ ++=b
az
b
ay
b
axba dzFdyFdxFW ,
ϑcosrFW Δ=
rFrdFW
rdFdWr
r
vvvv
vv
v
v
Δ⋅=⋅=
⋅=
∫2
1
( )∫ ++=b
azyxba dzFdyFdxFW ,
70
Riassumiamo leRiassumiamo leproprietproprietàà del lavorodel lavoro
• associato al movimento:non si deve compiere lavoro per mantenere fermo un corpo in un S.d.R.
• dipende dal sistema di riferimento:(esempio dell’ ascensore
• in tre dimensioni, se la forza è costante:
• nel caso generale:
o
x
y
z
( )rr t( )rr t dt+
drr
rf
.
.a
b( ) ( )dr r t dt r tr r r
= + −
rdfdL rr⋅=
∫ ⋅=b
aab rdfL rr
Integrale di linea dellaforma differenziale
L f x f y f z f rx y z= + + = ⋅Δ Δ Δ Δr r
( )∫ ⋅+⋅+⋅=b
a zyxab dzfdyfdxfL
71
Se agiscono più forze:rfi
∑ ∑ ∫ ⋅==i i
b
a iiiab rdfLL rr
∫ ⋅=b
a
rdRW rr=Rr Risultante delle forze agenti
sul punto materiale ed il lavoroè una quantità additiva
N.BN.B..Non Non èè un risultato generale:un risultato generale: non vale, ad esempio, per i non vale, ad esempio, per i corpi estesi per i quali le forze subiscono, in generale, corpi estesi per i quali le forze subiscono, in generale, spostamenti diversispostamenti diversi
È lecito?
∫ ∑∫∑ ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⋅=
b
a ii
b
ai
iiab rdfrdfL rrrr
EnergiaEnergia
∫ ⋅=b
aba rdFW rr
, 32
3
11, WWWdxFW
i
b
aiiba ++==∑∫
=
Calcoliamo uno dei termini ( gli altri saranno simili ):
==
==
∫
∫∫b
a
x
b
a
xb
ax
dxdtdx
dxdvmW
dxdt
dvmdxFW
1
1
∫b
axxdvmv
perchè?
72
∫=b
axxdvvmW1
In tre dimensioni il lavoro totale sarà allora:
( )22321 2
1ab vvmWWWW −=++=
E definiamo:
21 2mvK = Energia cineticaEnergia cinetica
• dimensioni?
• unità S.I. & C.G.S. ?
teorema della Energia Cinetica:
Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti sul Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti sul punto materiale che si sposta da A a B punto materiale che si sposta da A a B èè uguale alla uguale alla
variazione della energia cinetica del punto stessovariazione della energia cinetica del punto stesso
W = W = ΔΔKKN.B. Vale sempre. Qualunque sia la natura delle forze!!
221 2
121
xaxb mvmvW −=
[ ] [ ][ ][ ]22 −= T L MK
JsmKg ⇒⋅⋅ −22
( )221
2
21
2 xaxb
b
a
x vvmWvm −=⇒=
( ) abab KKvvmW −=−= 22
21
73
2.2 10-18 J13.6 eV
Energia di ionizzazione dell’ atomo di idrogeno
1.6 10-13 JAnnichilazione e+e-
3.2 10-11 JFissione di un nucleo di Uranio
3 102 JSollevamento sulle braccia
4 103 JEnergia cinetica di un uomo di corsa
4.6 105 JMetabolizzazione di una mela (110 Kcal)
4.18 106 JEsplosione di 1 Kg di tritolo
1.3 107 JEnergia alimentare umana (3000 Kcal)
3.4 107 JCombustione di 1 litro di benzina
3.4 107 Jfulmine
8.2 1013 JFissione di 1Kg di uranio
4.2 1015JEsplosione nucleare ( 1 Mton)
1 1016 JCombustibile nucleare in un reattore tipico
9 1016 JAnnichilazone di 1 Kg materia/antimateria
6 1018 JEsplosione vulcanica ( KraKatoa )
8 1019 JEnergia usata in USA in un anno
2.0 1023 JCombustibile fossile terrestre
1 1044 JEsplosione di una supernova
1 1045 JCombustibile nucleare nel sole
Alcune energie tipiche
1Kcal= 4,187 103J1 eV=1,602 10-19J
1Mton TNT= 4,18 1015J
74
Una massa m=50gm=50g è appesa, tramite un filo inestensibiledi lunghezza l=25cml=25cm e di massa trascurabile, ad un puntodi sospensione. Il filo viene spostato di un angolo θ0= 60°rispetto alla verticale ed abbandonato da fermo.Quanto vale la velocità di mm quando passa per la verticale?
( )
∫∫∫∫
⋅+⋅=
⋅+=⋅=b
a
b
a
b
a
b
aab
sdgmsd
sdgmsdfLrrrr
rrrrr
τ
τ
Dal teorema dell’ energia cinetica ( il punto parte da fermo):
221 2 lmgmvb =
1581 −== ms.glvb
Esempio 23
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−=−=− ∫∫ 0
2lmgyymgdymggdym ba
b
a
b
a
Il primo integrale è nullo: perchè?
∫∫ ⋅=⋅=b
a
b
aba, sdgmsdgmL rrrr
sdg rr⋅ma è il prodotto del modulo
di per la proiezione di ds sulla direzione di g ( cioè y ),
gr
dyjsd −=⋅rx
y
l
o'
rτ
gmP rr=
dsr
dy A
finqui 14 febbraio 2007
OB ≡
o600 =ϑ
Ay
75
In questo caso siamo in presenza di un:
Campo di forze
I campi, in generale, dipendono anche dal tempo:
( )r r rf f r t= ,
ma noi per ora consideriamo solo campi campi stazionaristazionari(non dipendenti dal tempo). Il lavoro può essere calcolato come:
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]∫
∫∫
++
⋅=⋅=
b
azyx
b
a
b
ab,a
dzz,y,xfdyz,y,xfdxz,y,xf
rdz,y,xfrdrfW rrrrr
( )( )( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
===
⇒=zyxffzyxffzyxff
rffzz
yy
xx
,,,,,,rrr
Una forza variabile con la posizione è del tipo:
Se in ogni punto del campo, la forza che agisce sul punto materiale è costante (modulo, direzione e verso) il campo si dice: omogeneo
forma differenziale lineare
76
Campi (di forze) conservativiCampi (di forze) conservativifunzione potenzialefunzione potenziale
DefinizioneDefinizione:Un campo si dice CONSERVATIVO CONSERVATIVO se il lavoro delle forze NONNON dipende dal percorso ma solo dagli estremi.
( )bafsdfWb
aab ,=⋅= ∫rr
Deve essere stazionario?• si?• no?• indifferente?• è sufficiente?
N.B.N.B.NO!!
Però se è stazionario ed il lavoro dipende solo dagliestremi del percorso allora (si può dimostrare) esiste una V(x,y,z) tale che:
( ) ( )aVbVWab −= ( )zyxVV ,,=
Funzione potenzialeFunzione potenziale
in particolare se b≡a il lavoro e’ nullo:in un campo di forze conservativo il lavoro lungo un percorso nullo qualunque e’ nullo
77
ProprietProprietàà del potenzialedel potenziale
• è definito a meno di una costanteadditiva ( potenziale di un punto!)
• esiste solo se il campo è conservativo• se A≡B, e il campo è conservativoallora il lavoro è nullo
• è una funzione scalare• dimensioni?• unità di misura?
∫ ⋅=−b
a
sdf)a(V)b(V rr
valore di riferimento
( ) .cos)( tsdfaVsdfbVb
a
b
a
+⋅=+⋅= ∫∫rrrr
78
79
Teorema di conservazione della Teorema di conservazione della Energia (Energia (meccanicameccanica))
Dato un campo di forze conservativo si ha che:
)()( aVbVWab −=
E per il teorema dell’ energia cinetica:
)a(VK)b(VK
)a(V)b(VKKW
ab
abb,a
−=−
−=−=
DEFINIAMO:DEFINIAMO: ),,(),,( zyxVzyxU −=
EUK
aUKbUK ab
=+
+=+ )()( a,b punti generici
= costante totaleenergiapotenziale energia
⇒⇒
EU
Teorema di conservazione dellTeorema di conservazione dell’’ energiaenergia
Per un sistema che si muove sotto l’ azione di forze conservative solamente, l’ energia meccanica totalerimane costante.
abba KKW −=,
abni
iba KKWW −== ∑= ,1
,
lavoro delle forze del campo per portare iul punto da a a b s
80
1. Si trascurano gli attriti2. Si trascura la massa della molla3. Tutta l’ En. Cinetica è concentrata nella massa m
4. come si confrontano le velocità?5. L’ oscillazione avviene su un percorso chiuso!
', vv rr
iKxF ˆ−=v
M
vv
0=vvx
'vv
M
M
81
In un campo di forze conservative ( campo conservativo)Siamo “autorizzati” ad assegnare un valore di una funzione:
( )z,y,xUU =
ad ogni punto del campo in modo che il lavoro compiuto dalle forze del campo per portare un punto materiale da un punto 1 a un punto 2 è dato da:
( ) 2,1,1,2, PPPPP UUUUUVW −=−−=Δ−=Δ=
Come si definisce operativamente la funzione?
Si fissa arbitrariamente il valore in un punto di “riferimento”U(0)=UP,2 e, di conseguenza, ogni altro punto P=P1 ha il valore:
( ) ( ) 00 ,PWUPU +=
Lavoro compiuto dalle forze del campo per portare il punto materiale da P al punto di riferimento.
( ) ( ) ( ) ( ) 202101 00 WUPUWUPU +=+= ( ) ( ) 0210201021 WWWWPUPU +=−=−
di solito: il punto di riferimento si sceglie dove la forza è nulla!
1. indipendente dal riferimento2. somma dei lavori 1 0 e 0 2
82
In tre dimensioni:zUF ;
yUF ;
xUF zyx ∂
∂−=
∂∂
−=∂∂
−=
( ) ( ) ( )∫ ++=−b
azyx dzFdyFdxFbUaU
kyUj
yUi
xUkFjFiFF zyx ∂
∂−
∂∂
−∂∂
−=++=r
cost.)( +−= ∫b
a
x
xxdxfxUin una dimensione:
xUFx ∂∂
−=
UF ∇−=rrUF ∇−=rr
zk
yj
xi
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇r
zk
yj
xi
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇r
Operatore gradienteOperatore gradiente
Il gradiente di una funzione scalare è quel vettore che, moltiplicato scalarmente per lo spostamento elementare fornisce il differenziale della funzione
dVrdV =⋅∇rr
operatore vettorialeoperatore vettoriale
83
dVdVdVdrrV
dVrsenVrdVdrr
=∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇+∇+∇
ϕϕ
ϑϑ
ϕϑϑ ϕϑ
( ) ϕϕ
ϑϑ
ϕϑ dVdVdrrVrdV
∂∂
−∂∂
−∂∂
=,,
In coordinate polari il differenziale di una funzione scalare V è dato da:
mentre per lo spostamento di ha che:
( ) ( ) ( ) ϕϑϑ ϕϑ drsenrdrdrddrrd r === ˆˆˆ ;; vvv
dVrdV =⋅∇rr
ϕϑϑ ϕϑ ∂∂
∇∂∂
=∇∂∂
=∇V
rsenV
rrV
r11 ;;
rappresentazione polare sferica dellrappresentazione polare sferica dell’’ operatore operatore gradiente. Se V gradiente. Se V èè il potenziale di un campo di il potenziale di un campo di forze conservativo forze conservativo èè anche la rappresentazione anche la rappresentazione polare delle componenti del campo di forzepolare delle componenti del campo di forze
84
Se il lavoro delle forze del campo è nullo su un percorso chiuso allora le forze ( /il campo ) sono (/è) conservative (/o).
E se sono presenti forze di attrito.......?
85
........e quando agiscono forze non conservative
Nella pratica è la normalità.
U)b(U)a(U)a(V)b(VVKWc ΔΔΔ −=−=−===
.CostUKUKUK =+=Δ+ΔΔ−=Δ 0
KWW cnc Δ=+∑
anche se esistono forze non conservative possiamo scrivere ( teorema delle forze vive):
e in generale se agiscono molte forze conservative (su un punto!):
∑∑ Δ−= UWc
0=Δ=Δ+Δ ∑ EUKi
i
LL’’ energia meccanica totale si conservaenergia meccanica totale si conserva
Per le sole forze conservative abbiamo:
ncfv
86
N.B.In presenza di forze In presenza di forze non conservativenon conservativell’’ energia energia meccanica meccanica non si conserva non si conserva
(E(Ebb≠≠ EEaa).). Se Wnc>0 ( forza attiva o motrice) l’energia meccanica del sistema va aumentando; se invece Wnc<0 ( forza dissipativa o resistente) l’energia meccanica va diminuendo.
infinnc EEEW <⇒<Δ⇒< 00
Le forze non conservative sono, in genere, dissipative:
∑Δ+Δ= UKWncLa possiamo riscrivere come:
E l’ equazione vista primache per le forze conservative: 0=+⇒ ∑ UKE ΔΔΔ
Diventa: ncWUKE =Δ+Δ=Δ⇒ ∑
In generale l’ energia appare sotto varie forme:
Termica (Calore)ChimicaNucleareelettromagnetica
87
altre unità di uso frequente:1 eV = 1.602 10-19 J1KWh= 3.6 106 J1Kca l= 1000cal=4.187 103 J1 BTU= 1.055 103 J
interessante2mcE = 2c
Em Δ=Δ
se si annichila una:
con una:
KgM 1=
KgM 1=
J.E 161081 ⋅=
L’ energia perduta in genere si manifesta sotto forma di calore
Il lavoro fatto dalla forza di attrito su un sistema materiale Il lavoro fatto dalla forza di attrito su un sistema materiale èèuguale alluguale all’’ aumento di energia termica cambiato di segno. aumento di energia termica cambiato di segno. Qundi LQundi Lf f ==--QQ
EQQE Δ−=⇒=+Δ 0La perdita di energia meccanica La perdita di energia meccanica èè uguale alluguale all’’ aumento di energiaaumento di energiatermicatermica
uomo in corsa 4 103 J
88
89
La potenza
Se un campo di forze compie lavoro su un punto materiale si enuncia:La potenza P erogata in un certo istante dal campo è il rapporto, in quell’ istante, tra il lavoro elementare ed il tempo in cui esso è stato svolto.
dtdW
tWPP
tWP
ti =ΔΔ
==ΔΔ
=→Δ 0
lim ;
Per un punto materiale:
rdfdW rr⋅= vf
dtrdf
dtdWP rrrr
⋅=⋅
==
1. Dimensioni?2. Unità di misura?
La potenza che ad un certo istante agisce su un punto materiale in movimento è pari al prodotto scalare fra il risultante delle forze che agiscono sul punto e la velocitàdel punto stesso.
KWWHPs
jouleW735.07351
111
==
=
E nel sistema c.g.s.?
( )( )
( ) dinescmgNsmKgN
scmgdina
5223
2
2
101101011111
1111
=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=
−
−
−
ergcmdynemNJ 725 101010111 =⋅=⋅=17101 −⋅= sergW
90
Esempio 26
Un punto materiale è posto, inizialmente in quiete, in A.Viene abbandonato, sotto l’ azione della forza peso, lasciandolo scivolare lungo la guida il cui attrito è trascurabile.Calcolare la velocità con cui arriva in B, più in basso, rispetto ad A, di un dislivello pari ad h. Calcolare inoltre la quota massima y0, rispetto a B, raggiunta dal punto P nel vertice C della traiettoria, se nel punto estremo la guida forma un angolo di 45° rispetto all’ orizzontale.
4545°°
PPAA
BB
hhccyy00
xx
yy
00
Quali forze agiscono?
NgmPrrr
=
Che lavoro compiono?
Possiamo applicare la conservazione dell’ energia?
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−=
=
0
0
z
y
x
mgmgmg
mg Tutte le componenti sono costanti.Sono soddisfatte le:
3,1, =∀∂
∂=
∂∂ ji
xf
xf
i
j
j
i
per cui la forza peso è conservativa. La sua energia potenziale vale:
CmgymgdymgdyrdgmUy
y
y
y
b
a aa
+==−−=⋅−= ∫∫∫rr
energia potenziale gravitazionaleenergia potenziale gravitazionale
91
La costante è arbitraria e possiamo porla uguale a zero. La conservazione dell’ energia si scrive quindi:
hyyv
mgymvmgymv
baa
bbaa
=−=
+=+
)(;0 :con
21
21 22
ghvghv bb 2 22 ==
Il punto materiale cade con la stessa velocità che avrebbe avuto in caduta libera.Arrivato in B si muove sotto l’ azione della sola forza peso come nel moto dei proiettili. Applichiamo però la conservazione dell’energia tra i punti B e C:
ccbb mgymvmgymv +=+ 22
21
21
⎭⎬⎫
+=+=
222
222
cycxc
bybxb
vvvvvv
0===
cy
bxcx
bybx
vvvvv
( )
gv
vvg
yyy
vvv
b
cbbc
bcxc
221
21
21
2
220
222
=
−=−=
==
hy21
0 =
4545°°
PPAA
BB
hhccyy00
xx
yy
00
ghvma b 2 =
Si vede che:
92
Riprendiamo il nostro pendolo:Abbiamo visto che la forza gravitazionale è conservativa
x
y
l
θ0=60°
o'
rτ
mgr
dsr
Cdy A
B=O
fin.in EE =
Esempio 27
Esistono anche altre unità importanti(per massimizzare la confusione!):
Wslbftinglesehp
WsmKgmetricohp
JmNmKgmKg
NsmKgKg
f
ff
f
746550)(1
73675)!(1
81.981.9111
81.981.911
1
1
2
=⋅−=
=⋅⋅=
=⋅=⋅=
=⋅⋅=
−
−
−
Foot-pound
( )glv
mvcosmgl
mvmgy
b
b
ba
=
=−
=
2
2
211
21
ϑ
BBAA mgymvmgymv +=+ 22
21
21
finqui 16 Febbraio 2007
93
L’equilibrio
Quali sono le condizioni dinamiche per l’ equilibrio?
( ) 00 0 =⇒=⇒== faCvvrrrr ?
Il risultante delle forze agenti sul puntosul punto deve essere nullo.
La condizione non è sufficiente:
Rr
gmP rr=
1. Equilibrio stabile2. Equilibrio instabile3. Equilibrio indifferente
È interessante il caso di un punto materiale in un campo di forze conservativo. I vari stati di equilibrio si possono identificare in base all’ andamento dell’ energia potenziale
Rr
gmP rr=
Rr
gmP rr=
94
A volte è difficile ( impossibile ) integrarele equazioni del moto anche in questo caso.Il grafico della E.P. è pero’ istruttivo.
Infatti sappiamo che:
F Ux
pendenza della curvax = − ≡∂∂
Nei punti M1 ,M2 ,M3 :• la forza si annulla• si ha equilibrio (stabile o instabile?)
(1)
(2)
(3)(4)
o x
U(x)
A
A’ B’
B
DC FG
IH
K
M3
M2
M1E Ep
Ek
destra destra sinistrasinistra
95
Per un punto materiale di energia totale E:
• per ogni posizione,Up è l’ordinata della curva
• la differenza rispetto ad E è Ek• Ek>0!!!!moto limitato ad una buca• livello (1)=>oscillazione tra A,B• livello (2)=>2 possibilità:
• livello (3)=>oscillazione tra H e I• livello (4)=>moto non oscillatorio
tra k e infinito
oscillazione tra C,Doscillazione tra F,Gimpossibile passare da una regione all’ altra ( barriera di potenziale )
(1)
(2)
(3)(4)
o x
U(x)
A
A’ B’
B
DC FG
IH
K
M3
M2
M1E
Ep
Ek
96
Avevamo visto:• cinematica traslazionale:
• cinematica rotazionale:
• dinamica traslazionale: forzaforza
• dinamica rotazionale?
r r rr v a, ,ϑ ω α, ,
r r
Accelerazione traslazionale ⇒ forza
•E’ sufficiente una descrizione in termini della sola forza?•Esiste una grandezza fisica equivalente alla forza che possiamo associare al moto rotatorio?
amF rr=
Qualche altra grandezzaimportante
97
Momento meccanico della forzaMomento meccanico della forza
Cosa succede se spostiamo il punto di applicazione in:
o x
yFr
PP1
P2P3
0, P1, P2, P3
L’ effetto della forza dipende dal punto di applicazione!!!quindi dalla distanza:
rOP r=
→definiamo: Fr
rrr∧=τ
Momento della forzaMomento della forza• è un vettore• quali sono le dimensioni?
• quali le unità di misura?
22 −TML
Nm
98
In particolare:dato un S.R.I., un punto materiale P ed una forza agente su di esso
( )rFFr rrrrr∧≠∧= τ
⊥== FrrsenF ϑτ
braccio della forzabraccio della forza
⊥== rFFsenr ϑ
componente normale della forzacomponente normale della forza
Il momento della Forza è l’ analogo rotazionale della Forza
ox
y
θ
o x
y
θ180-θ
o x
y
θ
ox
y
θ
180-θ
retta
di az
ione
della
forz
a
braccio della forza
τr
τr
τrτrFr
Fr
Fr
Fr
rrrr
rrrr
Pseudovettoreo vettore assiale!
braccio della forzabraccio della forza
braccio della forza
orr
Fr
ϑ
τr
P
x
z
y
99
Quale grandezza facciamo corrispondere, nel moto rotatorio,alla quantità di moto ?
o
x
z
rrPr
ϑ
lr
Pym
se applichiamo il vettore :ad una distanza dall’ origine (P-O)
vmP rr=
definiamo:
Prlrrr
∧=come il momento angolaremomento angolare ( momento della quantità di moto )del punto materiale P di massa m rispetto ad un punto fisso rispetto ad un punto fisso
componente normale della Q.d.M.
⊥== rp psen rl ϑ⊥== prrsenpl ϑ
braccio del momento della Q.d.M.
come varia con il tempo ( qual’è la sua “legge del moto”)
pdtrd
dtpdrpr
dtd
dtld r
rrrrr
r
∧+∧=∧= )( = 0
( ) τrrrrr
rr
r
=∧=∧=∧= Frvmdtdr
dtpdr
dtld
z
z
y
y
x
x dtld
dtld
dtld
dtld
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒=
rrrrr ττττ ;;
prl rrr∧= polo
dtPdfrr
=Dato che
1000.53 10-34JsSpin dell’ elettrone
1.05 10-34JsMoto orbitale dell’ elettrone in un atomo
2 10-3JsProiettile di fucile a canna rigata
6 10-3JsDisco fonografico (33.3giri/min)
10-1JsPiccolo giroscopio
10-1Jsfrisbee
1JsVentilatore elettrico102JsRuota automobile (90 Km/h)5 104JsRotore di un elicottero(320giri/min)
5.8 1033JsRotazione della Terra
2.7 1040JsMoto orbitale della Terra
3.2 1043JsMoto orbitale di tutti i pianeti del sistema solare
alcuni tipici momenti angolari
Il momento angolare è l’ analogo rotazionìale della Q.d.M
∑ =i
i dtpdfrr
dtLd
ii
rr=∑τ
• quali sono le dimensioni?• quali le unità di misura?
12 −TMLJs
101
Esempio 33
Trovare il momento angolare di una massa puntiforme che si muove su una circonferenza di raggio r ( nel piano x,y) con velocità angolare ω.
ωr
x
y
z
lr
vr °= 90ϕ
krmvvmrprl =∧=∧=rrrrr
kmrl ω2=r
ωrr
2mrl =Esempio 34
rr
zx
y
lr
vr
ϕrr
Trovare il momento angolare, rispetto all’ origine, di una particella che si muove con velocità costante su una linea retta, parallela all’ asse x, distante b dall origine.
b
( )k cosrml
k sinrmvprl rrrrr
ϕϕ
−=+−=∧= 90
kmvbl −=r
ϕ+90
rv ω=
102
Momento della quantitMomento della quantitàà di motodi moto
Dato un punto materiale P che si muove in un riferimento inerziale oxyz ed un punto Ω (polo) di riferimento:
dtpdf vmprrrr
==
Il momento angolare di P rispetto a ΩÈ datro da:
prpPl rrrr∧=∧Ω=
→
Qual’ è l’ equazione dinamica che governa l’ evoluzione di ?lr
dtpdrfrr
rrr∧=∧
( )dtpdrp
dtrdpr
dtdl
dtd r
rrr
rrr∧+∧=∧=
x
y
z
o
P
Ω
pr
Ωrr
rrprr
Momento della forzarispetto al polo Ω:
( a volte si indica con )τr
dtpdrr
rr∧=τ
!mr
più in generale:
pdtrd
dtld
dtpdr r
rrrrv ∧−=∧=τ
103
Possiamo scrivere:
p)vv(dtld
vvdtrd
rrr
p
p
p
rrrr
r
rrr
rrr
∧−−=
−=
−=
Ω
Ω
Ω
τx
y
z
o
P
Ω
pr
Ωrr
rrprr
pvdtld rrr
r∧+= Ωτ Perchè?
Solo nel caso in cui il punto di riferimento (polo) sia fermo:
dtldr
r=τ
In ogni sistema di riferimento iniziale, se si sceglie un In ogni sistema di riferimento iniziale, se si sceglie un punto fisso come polo, il momento della forza punto fisso come polo, il momento della forza risultante agente su un punto materiale vale la risultante agente su un punto materiale vale la derivata rispetto al tempo del momento angolare del derivata rispetto al tempo del momento angolare del punto materiale stessopunto materiale stesso
Teorema del momento angolareTeorema del momento angolare
104
Esempio 36Un oggetto puntiforme P di massa m è sospeso ad un punto fisso omediante un filo inestensibile, di massa trascurabile e flessibile, di lunghezza l. Spostando l’oggetto dalla posizione verticale di equilibrio e lasciandolo libero, esso viene richiamato verso la posizione di equilibrio dalla forza peso e comincia ad oscillare(pendolo semplice). Nel caso di piccole oscillazioni ( cioè se il valore dell’ angolo θ espresso in radianti è molto minore di l), le oscillazioni risultano isocrone, cioè hanno tutte la stessa durata. Trascurando la forza di smorzamento dovuta all’ aria, scrivere l’equazione del moto, e verificare che la legge oraria rappresentaoscillazioni isocrone.
o
Rr
mgrvr
ϑ
l
scegliamo : o≡Ω
( ) gmOPgmROPfOP rrrrr∧=+∧=∧=
→→→
τ
x
y
2
22
dtdmllmgsen ϑϑ =−
02
2
=+ ϑϑ senlg
dtd è un’ equazione trascendente
per θ piccolo: ϑϑ ≅sen 02
2
=+ ϑϑlg
dtd
p
0>ϑ0<ϑ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∧==∧
→→
vmOPdtd
dtldgmOP rr
r
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−=−
dtdl
dtdlm
dtdvlmlmgsen ϑϑ
( ) ( )vdtdlmlmv
dtdlmgsen −=−=− ϑ
perchè?
105
è la solita equazione differenziale del II ordine, leneare,omogenea ed a coeficienti costanti. La soluzione:
( )lgωtsent =+= )(0 ϕωϑϑ
non contenti possiamo verificare:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
+−=
+=
)(
)cos(
202
2
0
ϕωωϑϑ
ϕωωϑϑ
tsendtd
tdtd
soddisfa solo per lgω =
• quali le dimensioni di ω?• quale il grafico di θ in funzione del tempo?• che significato ha θ0 ?• il moto è periodico di periodo T:
])([)()()( 00 ϕωϑϑϕωϑϑ ++=+=+= TtsenTttsent
πϕωϕω 2)(])([ =+−++ tTt
glTT π
ωππω 222 ==⇒=
⇒dtdϑ velocità angolare
del segento OP ⇒ϕϑ ,0condizioni iniziali del moto: come si determinano?
ϕωϑϑϕϑϑ cos0000 == == tt sen &
quale errore si commette ponendosenθ~θ ? Ad esempio per θ=30°:
%.
..... 4500
500520 500 5206143
630 =
−=≅==° ϑπ sen
])([)( ϕωϕω ++=+ Ttsentsen
già visto!!!
finqui 21 febraio 2007
106
1)1) REAZIONI VINCOLARIREAZIONI VINCOLARIIl moto di un punto materiale (sistema)è influenzato dai vincoli:
• tavolo da biliardo• pendolo• binari linea ferroviaria• ecc. ecc.
Possono essere:• unilateraliunilaterali :limitano la posizione
senza forzare il contatto con il vincolo•• bilateralibilaterali :limitano la posizione e
forzano il contatto con il vincolo (cerniere)
Agiscono mediante forze di contattoforze di contatto che generano reazionireazioni di natura elastica ( elettrica...... e di difficile comprensione! ).
Analisi Analisi fenomenologicafenomenologica(metodo dinamico)
FENOMENOLOGIA FENOMENOLOGIA (..leggi..)(..leggi..)DELLEDELLE FORZEFORZE
107
r rp mg=
rR
Se il corpo di massa m (punto materiale) èin equilibrio ( accelerazione nulla ):
Da cui:mg R mar r r
+ = =0
I vincoli vengono analizzati in base allereazioni alle forze attive ( note )
ancora il terzo principio!ancora il terzo principio!
r rR mg=−
Le reazioni dei vincoli nonsono normali ai vincoli
mgr
rR
rN r
f trN = Comp. Normale allo spost.rf t =Comp tang.(forza di attritoforza di attrito)
P
x
y
108
Quando si parla di superficie priva diattrito ( e solo e solo allora!allora! ) si ha che:
Le forze di attrito sono trattate da:
Leggi empiricheLeggi empiriche (fenomenologiche)a) attrito statico attrito statico
r r rf R Nt = ⇒ =0
mgr
rN
rf t
rFa
:che a Fino
atmaxa FfFFrrrr
−=≤rR
mgr
rN
rf t
rFa
θ
109
Alcune considerazioni sperimentalisperimentali
• è indipendente dall’ areadella superficie di contatto
•
rFmax
r rF Nsmax = μ
μs =Dove:
Coefficiente di attrito staticoQuali sono le dimensioni dimensioni ?
Da cosa dipende ?
Segue quindi che :
Cioè fino a che:
se :r r r r rf F f f Nt a t t s= − ≤ μ
st N/f μ=rr
Quindi: tanϑ μ≤ s chiamiamo angolodi attrito staticoϑ ϑ μa a s: tan =
•Materiali•Trattamento superficiale•Presenza lubrificanti
rR
mgr
rN
rf t
rFa
È proporzionale alla reazione normale
Ma ϑtanN/ft =rr
ϑ
110
rR
a
non può mai formare un angolo con la normaleϑ ϑ>
ϑ ϑ≤ a
b) attrito dinamicoattrito dinamico
Sperimentalmente:
μ μc s<
vNf ct ˆμ−=r
μc ≡ Coefficiente di attrito dinamico
111
Moto sotto l’ effetto di una forza costante
ϑ
M
x
y
o
Nr
Pr
ϑ
aMPN rrr=+
se proiettiamo l’ equazione lungo gli assi coordinati:
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅=⋅+
⋅=⋅+
jaMjPN
iaMiPNrrr
rrr
⎩⎨⎧
=−=
0ϑϑ
cosMgNMaMgsen x
ϑϑ
cosMgNgsenaa x
===
112
E se sono presenti forze di attrito?
ϑ
xy
o
rP
rf s
rN
Se il blocco è fermo:
M
Supponendo che inizi a scivolare per un angolo: . Quale è il coefficiente di attrito statico?
ϑs
Proiettiamo sugli assi:
r r rN f Ps+ + = 0
( )( )
r r r
r r rN f P i
N f P j
f PsinN P
s
s
s+ + ⋅ =
+ + ⋅ =
⎧⎨⎪
⎩⎪
− =− =
⎧⎨⎩
$
$ cos
0
0
00
ϑϑ
Sappiamo che: f Ns s≤ μ
θ
113
⎩⎨⎧
==
s
sscospN
sinPNϑϑμ E dividendo membro
a membro:
μ ϑs stg=
Esempio Esempio 1616Un’automobile si muove di moto rettilineouniforme con velocità v0 ..Se il coefficientedi attrito statico tra pneumatici ed asfalto èμ0 qual’ è la più breve distanza entro cui lamacchina può essere fermata?
Con quali modalitàavviene il moto?
rN
rf s
r rP Mg=x
y
114
Se si suppone la forza costanteforza costante, il moto èuniformemente decelerato:
Se l’ auto si deve arrestare:
Per il II principio:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−===−
Pfgaa
gPMaf s
s
Proiettiamo sull’asse x:
N P N P− = =0
gaPf
Nf
sss
s μμ −=⇒==
r r r rP f N Ma+ + =
Se v0=100Km/h; μs=0.6
axvv 220
2 −=
avxv2
020+=⇒=
( ) iaMiNfP ⋅=⋅++rrrr
Proiettiamo sull’asse y: ( ) jaMjNfP ⋅=⋅++rrrr
( ) mgv
avx
s
616589602
782722
220
20 .
...
=⋅⋅
===μ
115
In generale la In generale la forza nonforza non èè costantecostante
Esempio ( in una dimensione ):
Caso semplice: elasticità (legge di Hooke)
Corpo elastico: Si deforma se soggetto ad una forza:
• trazione• compressione• ripristino forma originale all’annullarsidella forza
Forza di richiamo
Legge di Legge di Hooke Hooke (R.Hooke1635-1703) ::sperimentale!
Il modulo della forza di richiamo (di Hooke) èdirettamente proporzionale alla deformazione
r rF kr F kxx= − ⇒ = −
( )m d xdt
F x2
2=
Si oppone alla deformazioneSi oppone alla deformazione
2)2) Forze elasticheForze elastiche--elasticitelasticitàà
116
( )m d xdt
F x2
2=
dobbiamo risolvere una equazione differenziale nell’incognita x(t).
In genere non è possibile tranne che nei casi “semplici” come la:
legge di Hooke:
0 2
2
2
2
=+−= xmK
dtxdKx
dtxdm
e’ un’ equazione differenziale del II ordine lineare ed
omogenea a coefficienti costanti del tipo: 022
2
=++ bydtdya
dtyd
la soluzione è del tipo: 02 se 2 =++= bammey mt
la soluzione generale: baamececty tmtm −±−=+= 22,121 )( 21
3 casi:⎪⎩
⎪⎨⎧
+=−=−<+==
+=>
−−
−
)ecec(e)t(ynbaba)tcc(e)t(yba
ecec)t(yba
intintat
at
tmtm
21222
212
212 21
117
Metodi approssimatiIn alternativa:In alternativa:
( )F x Ax
= −2 ⎩⎨
⎧ ⇒≅centrale""forza una è
grande moltoè Fxse 0
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
t x t t v t t t
t t x t t v t t t
t t x t t v t t t
t t x t t v t t t
o = = ≤ ≤
= = ≤ ≤
= = ≤ ≤
= = ≤ ≤
0
2
3
0 0 0 0 1
1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 3
3 3 3 3 3 4
...
Δ
Δ
Δ .... ....
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+=
+=
−
−
)sincos()(
)()(
)(
21
2121
ntBntAety
tccety
ececty
at
at
tmtm
nel nostro caso:
22
2
0 00 ω=→>=+⇒= bbseebydt
yda
( )ϕω
ωωω
+=
==+=
tCty
mKbtBtAty
sin)(
;sincos)( 2
Ad esempio:
mA
xdtxda 22
2 1−==
C,φ cost. “arbitrarie”
x
t
118
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )021
)(
ˆ
2
00
UKxxU
CKxdxCdxxFxU
dxxFrdrFrU
iKxF
xr
+=
+−−=+−=
−=⋅−=
−=
∫∫
∫∫r
rrrr
r
Se U(x)=0 per x=0: C=0 e2
21)( KxxU =
Dalla conservazione dell’ energia:ome prima :
20
22
00
21
21
21
00
mvKxmv
vvxxtt
vvxxt
=+
==⇒=
===⇒=
Dalla conservazioneDell’ energia
220
2 xmKvv −=
Costante tipica del sistemaCostante tipica del sistema
Se l’ energia (finale) è solo potenziale: 0
21
vKmxm ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
si può dimostrare che èconservativa!
119
Molti dei corpi con cui abbiamo a che fare sembrano essere indeformabili ma.......
se Δh è piccola rispetto ad h la deformazione soddisfa:
SFh
Eh 1=Δ
E= modulo di Young
•dimensioni ?
•unità di misura ?
vale sia in trazione che in compressione
h
Fr
hfr
[ ] [ ][ ][ ]2
21
−
−−=Nm
T L ME
In genere la legge di Hooke viene espressa in termini diSforzo ( stress) e deformazione (strain) :
SF
Ehh 1=
Δdeformazionedeformazione sforzosforzo
Ad esempio, in trazione, come reagisce il materiale (Fh=-fh)? All’ equilibrio:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=
hESK
hKfh Δr la forza fh longitudinale con cui il
campione reagisce (forza di richiamo) ad un allungamento Δh èproporzionale ed opposta in segnoall’ allungamento stesso (legge di Hooke)
120
a) vale fino a che F/S non supera un valore massimo L(limite di elasticità A);
b) il superamento del limite di elasticità induce deformazioni permanenti.
c) aumentando la forza per unità di superficie si raggiunge il carico di rottura (CR) : unità (Nm-2) e dimensioni ?
La legge espressa come relazione sforzo-deformazioneè valida anche per deformazioni di scorrimento:
SF
Ghx 1=
Δ
Modulo di scorrimentoE di volume :
SF
VV
ε1
=Δ
compressibilità
sforzo
deformazione
L
RC
A
B C
Def. Perm.
Limite di resistenza
kxF =
o
elasticoOA ≡plasticoAB ≡
rotturadiptoC ≡
h
xΔ FrS
121
e se la deformazione avviene trasversalmente all’ asse longitudinale?
se supponiamo Δs<<h per effetto della deformazione il bordo AB subisce un allungamento Δh ed A’B’ una “compressione pari a circa -Δh .
3
3
4
hEabKsKf =Δ−=
rr
A
A’ B’
Ba
b srΔ
Fr
h
se b è molto minore di h ⇒ Δh << Δs (Δs=modulo della flessione)Si può dimostrare che la relazione tra la forza con cui reagisce la sbarra alla flessione e la flessione stessa è, all’ equilibrio:
Fr
Per una molla ad elica:
2
4
2
lRrGKsKf π
=Δ−=rr
l
Δs
•l: lunghezza della molla•r: diametro del filo•R: raggio dell’ elica
•a: profondità della sbarretta•b: spessore•h: lunghezza
Modulo di rigidità: dipende dal materiale
122
---~3 10-1~10-1---~10-4caucciù
60÷1203÷9---2.56 Vetro
510.5÷10.51.5Piombo
---15÷507÷4038Ottone
---20÷407÷30410 Rame
---10---2.57Alluminio
---50÷200308.522acciaio
---3520820ferro
compressionetrazioneLimite di elasticità(107 N/m2)
G(1010N/m2)modulo di rigidità
E(1010N/m2)modulo di YOUNG
CR= carico di rottura(107 N/m2)
costanti elastiche di alcuni materiali
123
3)3) FORZA FORZA PESOPESO--GRAVITAGRAVITA’’
• è il risultato della interazione dellaTerra ( ambiente ) con il corpo in esame (punto materiale)
•mi = mg• abbiamo visto che possiamo:
mpg
Fpg
a= =r
rr r
rr e quindi
Se consideriamo g costante:il rapporto tra i pesi determina il rapporto tra le masse
Ma: MASSA: estensiva, intrinseca, effetti inerz. scalarescalarePESO : estrinseca, effetti grav. vettorevettore
Bilancia : confronto tra masse: uguale ovunqueDinamometro: diverso valore secondo il luogo
124
( ) ( ) ( )( )0 )(
0)(
UdymgyU
UdyyFCrdrFyU
gmPF
+−−=
+−=+⋅−=
=≡
∫∫∫
rrr
rrr
Se U(y)=0 per y=0: C=0
mgyyU =)(Ne caso di un grave:
20
2
00
21
21
00
mvmghmv
vvhytt
vvyyt
=+
==⇒=
===⇒=
Dalla conservazioneDell’ energia
ghvv 220
2 −= GiGiàà vista!!!!!!!!!!!!!!!vista!!!!!!!!!!!!!!!
y
o x
gr
si vede che è conservativa
finqui 22 Febbario 2007
125
In generale i corpi in esame si muovono in un mezzo:•aria•acqua•ecc
ed il mezzo oppone una resistenza al moto che dipende:•dalle dimensioni•dalla forma•dalla superficie•dalla densità•dalla viscosità
del corpo
del mezzo
le forze viscose richiedono uno studio molto complesso: matematica difficilissima, simulazioni e misura sperimentale di parametri. Se si considerano solo casi semplici
•forme regolari•basse velocità•assenza di vortici: flussi laminari
in questi casi: vf rrβ−= β : dipende dalla forma e dal fluido
Questa forza è conservativa?com’ è il lavoro compiuto da questa forza?
che dimensioni ha β?
quali le sue unità di misura?
No
[ ] [ ][ ]1−= T Mβ1−⋅⋅ ms N
In realtà è η ηβ k=⇒ il coefficiente di viscosità eK è un “fattore di forma”
[ ] [ ][ ][ ] PoisemsNsKgmT L M: 1021111 =⋅⋅=⇒= −−−−−ηη
Resistente
4)4) FORZE VISCOSEFORZE VISCOSE
126
Dinamica dei sistemiDinamica dei sistemi
Fino ad ora:
Oggetti fisiciOggetti fisici Punti materialiPunti materiali
•I punti materiali sono dotati di proprietà dinamiche ( massa ) ma senza dimensioni
• sistema: tanti punti materiali sistemi discretisistemi continui
• alla cinematica traslazionale:
•è seguita la dinamica traslazionale:
Ma con le rotazioni (o vibrazioni)?
x v a, ,
ϑ ω α, ,
Forza
Nella cinematica:Ma i punti di un corpo:NON SONO TUTTI EQUIVALENTI!NON SONO TUTTI EQUIVALENTI!
Se il corpo non non è rigido:La descrizione del moto La descrizione del moto èè difficilissima!!difficilissima!!
127
Passi seguiti nella descrizione dei sistemi
1. Il punto materiale 2. Sistema discreto3. Sistema continuo
Le leggi fondamentali:consideriamo un sistema di n punti materiali Pi su ognuno dei quali agiscno delle forze. Il risultante delle forze che agiscono sul punto Pi è:
),...2,1( niamf iii ==rr
),...2,1( )()( niamfff iii
ie
ii ==+=rrrv
cosa sono e da chi dipendono?
( )( ) ,....n,),ji(jvrff
nitvrff
jji
ii
i
iie
ie
i
21; ,
),...2,1( ,,)()(
)()(
=≠=
==rrrr
rrrr
limitiamoci al caso(più facile) per cui:
( ) ( ) )n,...,ji,(j dt
rdmrfrf iij
)i(ii
)e(i 212
2
=≠=+r
rrrr
sistema di 3-n equazioni differenziali ......praticamente impossibile da risolvere gipraticamente impossibile da risolvere giàà per n=3per n=3
128
per ciascun punto del sistema possiamo però scrivere:
( ) ( )iiiii
ie
i
iii
ie
i
iii
ei
AKBKWW
pvdtlddtpdff
−=+
∧+=+
=+
Ω
)()(
)()(
)()(
rvr
r
rrr
ττ
1. II Principio della dinamica
2. Eq. del momento angolare
3. Teorema En. Cinetica
non sono indipendenti rispetto alla prima! Se però sommiamo su tutti i punti del sistema otteniamo leequazioni fondamentali della dinamica indipendenti tra loroindipendenti tra loro::
( ) ( ) are scalAKBKWW
vettoriale PvdtLd
vettoriale dtPd
FF
)i()e(
)i()e(
)i()e(
−=+
∧+=Τ+Τ
=+
Ω
rvr
rr
rrr
∑∑∑∑∑
=
=Τ
=Τ
=
=
i
ei
ei
ii
ii
ei
ei
ii
ii
ei
e
WW
fF
fF
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
τ
τrr
rr
r
r
∑ ∑
∑∑∑
==
=
=
=
i iiii
ii
ii
i
ii
i
vmKK
lL
pP
WW
2
)()(
21
rr
rr
dove valgono le seguenti defnizioni:
e l’energia cinetica è definita come semplice somma delle energie cinetiche dei singoli punti del sistema
129
Esempio 38Saino dati due punti materiali di massa m1 e m2. Su ognuno di essi agisca una forza. Siano le due forze uguali in modulo, parallele in direzione ed opposte in verso. Calcolare la forza risultante ed il momento agenti sul sistema.
2m
1m
1fr
2fr
( )∑ =−+=+==i
i fffffR 01121
rrrrrr
Se è nullo il risultante è nullo il momento del risultante delle forze ma........
222111 fr ;frrrrrrr
∧=∧= ττ
Ω 2rr
1rr
221121
2
1frfr
ii
rrrrrrrr∧+∧=+==∑
=
τττΤ
( ) 11211211 frfrrfrfrTrrrrrrrrrr
∧Δ=∧−=∧−∧=
11 bfsenfr =⋅⋅Δ=Τ ϑ
bϑ
• cosa cambia se i punti sono vincolati da un’asta?•e se le coppie sono attrattive e di azione-reazione?• nel caso precedente quanto vale il “lavoro totale “?
rrΔ
Non dipende dalla scelta del polo
130
0;0 )()( =Τ= ii Frr
in un riferimento inerziale e rispetto ad un polo fisso, per un sistema materiale libero le prime due equazioni fondamentali della dinamica diventano:
ma se il sistema materiale è libero abbiamo già visto che per il IIIprincipio:
costanteL costanteP ==rr
;
dtLd
dtPd
F ii
rr
rr
=Τ= )()( ;
il risultante ed il momento risultante delle forze il risultante ed il momento risultante delle forze interne interne sono nulli e la cosa ha validitsono nulli e la cosa ha validitàà generale! generale!
nel caso particolare di 2 punti materiali:
⎩⎨⎧
=+=Τ=+=00
2112)(
2112)(
ττ rrr
rrr
i
i ffF costituiscono una coppia.........a braccio nullo
se il punto materiale Pse il punto materiale P11esercita una certa forza su Pesercita una certa forza su P22, , allora Pallora P22esercita su Pesercita su P11 una forza uguale ed opposta ed una forza uguale ed opposta ed agente sulla stessa retta di applicazione agente sulla stessa retta di applicazione (azione e (azione e reazione reazione èè dimostrato anche matematicamente)dimostrato anche matematicamente)
quindi:
( )0 )()( =Τ= eeFrr
In un sistema di riferimento In un sistema di riferimento inerzialeinerziale, la quantit, la quantitàà di di moto totale ed il momento angolare totale rispetto ad un moto totale ed il momento angolare totale rispetto ad un polo fissopolo fisso di un sistema materiale di un sistema materiale libero libero si conservanosi conservano
( )0=Ωvv
131
Centro di massaCentro di massa
132
In un sistema fisico esiste un punto geometrico privilegiato
Centro di massaCentro di massa
1.1. si muove dello stesso moto di cui si muoverebbe un si muove dello stesso moto di cui si muoverebbe un punto materiale di massa uguale a quella del sistema in punto materiale di massa uguale a quella del sistema in esame e esame e soggetto alle stesse forzesoggetto alle stesse forze
2.2. èè unicounico
proprietà:
caso semplice di due corpi in una dimensione:
21
2211
mmxmxmxcm +
+=
èè una una media pesatamedia pesata
o xx1 x2
m1 m2
d
dove si trova il C.d.M. se:
1. le due masse sono uguali2. l’ origine è preso in uno dei due punti3. le masse sono diverse?
esempio:la distanza tra i centri degli atomi in una molecola di
KBr è 0.282 nm. Se le masse dei 2 atomi sono:Mk= 39.1 u.m.a.Br= 79.9 u.m.a.
trovare la posizione del C.d.M. ed i rapposrti delle distanze dal C.d.M.
;xmxmMx;M
xmxmx cmcm 22112211 +=
+=
∑=
=2
1iiicm xmMx
133
in generale:
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
= === n
ii
n
iii
cmn
ii
n
iii
cmn
ii
n
iii
cm
m
zmz
m
ymy
m
xmx
1
1
1
1
1
1 ; ;
∑∑∑===
===n
iiicm
n
iiicm
n
iiicm zmMzymMyxmMx
111 ; ;
le tre equazioni scalari equivalgono a:
iziyixr iziyixr cmcmcmcmiiii ++=++=rr
∑=
=n
iiicm rm
Mr
1
1 rr La posizione del C.d.M. dipende dal S.d.R. ?(la posizione e non le coordinate!)
Se ho un sistema esteso anzichè un insieme di punti materiali?ΔVi
irr
Δmi
x
y
zM=massa totaleΔVi=elemento di VΔmi=massa dell’elemento di volume ΔVi
=vett. Pos. di ΔVi ρ=densità
irr
Dato che:
134
∑
∑∑∞
=→Δ
==
Δ≅
Δ≅Δ≅
10
11
lim1
1 1
iiiVcm
n
iiicm
n
iiicm
VrM
r
VrM
rmrM
r
ρ
ρ
rr
rrrr
∫= dVrM
rcm ρrr 1
In generale, se la densità è costante:
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
==
==
==
zdmMdm
zdmx
ydmMdm
ydmy
xdmMdm
xdmx
cm
cm
cm
1
1
1
∫= dmrM
rcmrr 1
applicazione: energia potenziale di un corpo esteso
∑=
==⇒=n
icmiiiii MgzzmgUgzmU
1
come un singolo punto materiale!!!!!
nell’ approssimazione di 1 o 2 dimensioni si introducono:
λ(x) = dm/dx = densità lineareM
dx)x(x
dx)x(
dx)x(xxcm
∫∫∫ ==
λ
λ
λ
M
dsy
dxdyyx
dxdyyxyy
M
dsx
dxdyyx
dxdyyxxx cmcm
∫∫∫∫
∫∫ ====
σ
σ
σσ
σ
σ
),(
),(;
),(
),(
σ (x,y)= dm/dS=dm/(dxdy)=densità superficiale
135
moto del centro di massamoto del centro di massa
1. sistemi (discreti) a massa costante
abbiamo visto che: 1∑=
=n
iiicm mrrM rr
se deriviamo rispetto al tempo: PvmvMn
iiicm
rrr== ∑
=
1
se ci riproviamo:dtPdFfamaM
n
ii
n
iiicm
rrrrr==== ∑∑
== 11
cos’è?che forze sono?
( merita una particolare attenzione)
forze interne: e poi?
forze esterne:
1fr
( )eFr
( )eFr
m1
m2
1fr
2fr
molla
forze interne: interazioni interne, forze di contattoforze da fili o molle che collegano icorpi del sistema
forze esterne: da agenti esterni al sistema
( )∑ += .. estin ffFrrr
Abiamo visto che la loro risultante è nulla
2fr
136
N.B.Il C.d.M. di un sistema ( di particelle ) si muove come se tutta la massa fosse concentrata nel C.d.M. ( punto materiale di massa uguale alla massa totale del sistema) e tutte le forze ( il risultante delle forze esterne applicate ) fossero applicate a quel punto (approssimazione del punto materiale).
• la definizione è indipendente dal sistema di riferimento• adesso i corpi sono insiemi di insiemi di puntipunti materialimateriali• il moto del C.d.M. è traslatorio• il moto del C.d.M. ci permette di descrivere
il moto traslatorio di un corpo o sistema che, per esempio,può contemporaneamente ruotare e/o vibrare
riassumiamo le cose fondamentali:
cm
n
iest,i
n
iiicm
n
iiicm
n
iiicm
aMdtPdf
dtPdamaM
PvmvM
;rmrM
rr
r
rrr
rrr
rr
==
==
==
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
1
1
1
1
il centro di massa di un sistema di particelle si muove come una singola particella di massa Mtotsotto l’ influenza della risultante delle forze esterne al sistema
137
Esempio Esempio 3939
?= 1.11618
63 28
16 16
18168 8614
2
22
ϑ
ϑϑ
−==
⎪⎩
⎪⎨⎧
°====
=+==−=
msa
tgNf
NfNf
cm
y
x
( )
( )
x m
y m
cm
cm
=⋅ + ⋅ − + ⋅
=
=⋅ + ⋅ + ⋅ −
=
8 4 4 2 4 116
18
8 1 4 2 4 316
0 25
.
.
m1=8Kg
F1=16N
F2=14N
m2=4Kg
F3=6N
m3=4Kg
y
1
2
-2
-3
x4
Centro di massa
fr
∑=
==3,1
16i
itot KgmM
138
Abbiamo visto che per un sistema di punti materiali:
r rP Mvcm=r rF Maest cm=
Derivano rispetto al tempo:
dPdt
M ddt
v Ma Fcm cm est
rr r r
= = =
E’ l’estensione del caso del singolo punto materiale.L’annullarsi della risultante delle forze esterne conduce ad una estensione del principio di conservazione della Q.d.M.
dPdt
P tr
r= ⇒ =0 cos .
• La Q.d.M. dipende dal S.d.R. ma non la sua conservazione.
• Solo forze esterne possono variare la Q.d.M.
• Le fint. variano le singole pi ma non la Ptot
Abbiamo detto che: ∑ ∑ ===i i
iiicm PpvmvMrrrr
nella:
PvdtLdie
rvr
rr∧+=Τ+Τ Ω
)()(
⎩⎨⎧
≡Ω== Ω
..00 mc
vr
139
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=Τ
=
dtLddtPd
F
e
e
rr
rr
)(
)(
Per il III principio della dinamica (forze interne=coppie azione-reazione), e supponendo che il polo sia fisso o coincidente con il C.d.M. :
EQUAZIONI CARDINALI DELLA EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA DEI SISTEMIDINAMICA DEI SISTEMI
1. sono semplici2. non compaiono le forze interne3. non danno informazioni sui singoli punti
del sistema ( tranne che per i corpi rigidi)4. danno informazioni cinematiche se sono
note le condizioni dinamiche o viceversa5. bisogna sempre riuscire a:
1. calcolare il risultante ed il momento risultante di sistemi di forze
2. esplicitare analiticamente le relazioni tra i due membri delle eq. cardinali
finqui 23 febbraio 2007
140
ωω
ω
rrr
rrrrrrr
r
2
221121
22ˆ2
mdaddmadmvL
vmdvmdllL
dv ii
===
∧+∧=+=
=
qualcosa di piqualcosa di piùù sul momento angolaresul momento angolarein casi particolarmente semplici
considerando il polo nell’ origine O
ωrr
kL =
se vogliamo variare ω dobbiamo agire sul momento angolare e per la seconda equazione cardinale della dinamica:
00 ≠Τ⇒≠ )e(
dtLd rr
nell’ ipotesi che il polo sia fisso e coincida con il C.d.M. del sistema 0=⇒ )e(Fr
1. se vogliamo variare il modulo di ω :
2. se vogliamo variare la direzione di ω:
L L dtLd e
rrrr
)(Τ⇒
dtLdr
Lr
)(eΤr a
a ˆωω =r
a
od1
d2
)(eΤr
x
y
z
1fr
2fr
a ˆωω =r
a
od1
d2
x
y
z
)(eΤr
1fr
2fr
d2
risultante delleforze estere nullo
141
se il sistema è libero: costanteLe =⇒=Τrr
0)(
a ˆωω =r
a
od’1
d’2
Lr
x
y
z
od1
d2
e dato che: ωrr
22mdL =
costante=ω costante=ω
a meno degli attriti e se lageometria resta costante
ATTENZIONE!!!
le forze interne possono cambiare la geometria:le forze interne possono cambiare la geometria:
supponiamo di variare la distanza dei due punti materiali
''2'2
' 2 ωrr
mdLdd =⇒=
ma hanno agito solo forze interne: LLdtLd rrr
=⇒= '0
2
'' ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
ddωω
rrωωrr 22' 2'2 mdmd =
ω22mdL =
142
Ancora un’ applicazione sul momento angolare:
oθθ
P1,m
P2,m
1vr
2vr
n
aωω =r
a
( ) 0costantet ≠==θθθcosd
dr
r
θcosdr =
θω cos21 dvv ==rr
i vettori velocità sono normali al piano dellasbarra e dell’asse di rotazione ma:
222111
2121
vmdl;vmdlvvv;dddrrrrrrrrrrrr
∧=∧==−==−=
21, llrr
sono paralleli,concordi ed uguali
P1,m
P2,m
1dr
2dr
1lr2
lr
aωω =r
( ) θωθω cosmdcosdmddmvl
vmdvmdll
2
22111
===
∧=∧==rrrrr
( )[ ]n nmdL ωrr
⋅= 22⇒=+= n mdllL ˆcos2 221 θωrrr
1. se θ=0 ritroviamo il risultato precedente2. se ω=cost. ⇒ =cost. ma non è cost. se θ ≠0 L
rLr
00 )( ≠Τ⇒≠ e
dtLd rr
e il moto si può mantenere e il moto si può mantenere solo se si applicano forze solo se si applicano forze esterne con momento non esterne con momento non nullo!!!!!!nullo!!!!!!
143
se scomponiamo la seconda equazione cardinale del moto nelle due componenti normale e parallela all’ asse di rotazione:
Lr
pLr
nLr
θ
o
ωr
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=Τ
=Τ
dtLddtLd
nen
pep
rr
rr
)(
)(
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≠Τ⇒≠⇒≠
=Τ⇒=⇒=
00
00
)(
)(
en
nn
ep
pp
dtLdcostanteL
dtLd
costanteLr
rr
rr
rnessua coppia motrice per mantenere il movimento
si manifesta una coppia motrice
ωr
)(en
n
dtLd
Τ=r
r
nLr
1fr
2fr
cosa succede se all’ istante t=t0si elimina il vincolo?
0;0)( ==ΤdtLde
rr
tt ostantectLtL 00 )()( >∀==rr
( ) ( ) θωω cos2''2 200
2 mdtLttLmd ==>=rr
θωω cos'= θωω cos'=
E vediamo che:
Il nuovo asse si chiama: Il nuovo asse si chiama: asse libero di rotazioneasse libero di rotazione
144
dinamica dei sistemi:dinamica dei sistemi:Energia CineticaEnergia Cinetica
dato un sistemma di n punti materiali ciascuno di massa m e velocità v:
2
21
iii vmk = ∑=
=n
iiivmK
1
2
21
2
21
cmvMK r= ma e’ vero?????=
=cmv
Mr massa totalevelocità del C.d.M
( )( )cmcmcm zyxO
O,,'
0,0,0≡≡
sappiamo che:
≡=dtrdv cm
cm
rr
chiamiamo:
O' sistema nel delle velocità: O sistema nel delle velocità
21
21
in
in
muuumvvv
rrr
rrr
.....,:,.....,
,
velocità del centro di massa
o
x
y
z
x’
o’ y’
z’
mi
cmrr
145
cmiiii vvurOOr rrrrr−=+=
→
''
Se sostituiamo nell’ espressione dell’ energia cinetica:
∑=
+=n
icmii MvumK
1
22
21
21
Energia cinetica interna (moto “attorno” al centro di massa)
Energia cinetica del moto del centro di massa
Si enuncia così il:
TEOREMA DI KOENIGTEOREMA DI KOENIG
In un sistema di riferimento inerziale qualunque, In un sistema di riferimento inerziale qualunque, ll’’energia cinetica di un sistema S può essere espressa energia cinetica di un sistema S può essere espressa come somma dellcome somma dell’’ energia cinetica che il sitema energia cinetica che il sitema avrebbe se tutta la sua massa fosse concentrata nel avrebbe se tutta la sua massa fosse concentrata nel suo centro di massa, pisuo centro di massa, piùù ll’’ energia cinetica che il energia cinetica che il sitema ha rispetto ad un sistema di riferimento con sitema ha rispetto ad un sistema di riferimento con origine nel centro di massa ed orientamento fissoorigine nel centro di massa ed orientamento fisso
dtOO
dtrdv cm
cm'
==r
ro’
cmrr
icmiii uvvrOOr rrrrr+=+=
→
''
o
xy
z
im
iy
ix
iz
146
Momento di inerziaMomento di inerzia
Dato un sistema rigido e discreto con moto di pura rotazione attorno ad un asse fisso, per la sua energia cinetica si può scrivere:
( )2233
222
2112
1nnvm........vmvmvmK +++=
( ) 22233
222
2112
1 ωnnrm........rmrmrmK +++=
2
1
2
21 ω⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑
=
n
iiirmK
inerziadimomentoI =
•Dimensioni?
•Unità di misura?
E se il sistema è continuo?
[ ] [ ][ ]2LMI =
2mKg ⋅
2
21 mvK =
147
Corpo rigidoCorpo rigido• Sistema di particelle per le quali di,j=cost.• sistema indeformabile• il suo moto non è influenzato dalle forze interne• il suo moto è governato dalle “equazioni cardinali”
• quale condizione di equilibrio?
dtLd
dtPdF )e()e(
rr
rr
=Τ= moto delcentro di massa
moti rotazionali
Condizione necessaria e sufficiente perchCondizione necessaria e sufficiente perchèè una una posizione sia di equilibrio stabile posizione sia di equilibrio stabile èè che in tale che in tale posizione siano nulli:posizione siano nulli:
)e()e(F Τrr
Consideriamo un corpo rigido in moto di purarotazione attorno ad un asse fisso passante per il C.d.M. sempre parallelo a se stesso con ω =cost. Supponiamo il sistema simmetrico Supponiamo il sistema simmetrico rispetto ad un piano qualunque per l’asse di rotazione
Per il moto, cominciamo dalle cose semplici
148
1111 ndmhrvdmrld ω=∧=rrr
2222 ndmhrvdmrld ω=∧=rrr
le componenti parallele all’ asse c:
( ) ( )2
21
hdmhrsendm coshr dmdldl ||||
ωαωβω
====
le componenti ortogonali all’ asse c hanno somma nulla per cui:
( ) ( )[ ] ( ) cdmhdmhcdldlldld |||| ω222121 +=+=+
rr
( ) ωωrrr
ci
iii
i IchdmldL === ∑∑ 2
( ) 2 ωωrr
ctot IcdmhL == ∫
∫= dmhIc2 si chiama: momento di inerziamomento di inerzia
CdM
1rr
2rr
hhP1 P2
222 ndlld =r
111 ndlld =r
ωr
c
β
α
dm dm
αωωω
siniii
i
rdv ==
= costante
Nell’ ipotesi di corpo rigido simmetrico:
β
Completando la somma nell’ approssimazione di un sistema discreto:
Completando la somma per un sistema continuo:
βα −= 90
149
∫∑ =Δ==
→ΔdmrmrI i
n
im
2
1
210
lim
150
151
Teorema di Huygens SteinerTeorema di Huygens Steinero del trasportoo del trasporto
Dato un sistema di massa M, il suo momento di inerzia rispetto ad un qualunque asse fisso, in un sitema di riferimento inerziale e quello rispetto ad un asse ad esso parallelo passante per il centro di massa, stanno nella seguente relazione: 2MhII cm +=
assi degli distanzahsistema del massaM
MdC al rispetto inerzia d momentoIasseall rispetto inerzia di momentoI
cm
==
≡≡
...''
cmx
22 bah +=posizione di mi:
•rispetto a C (xcm,ycm):
• rispetto a P:
222, iici yxr +=
( ) ( )222 byaxr iipi −+−=,
( ) ( )[ ]∑∑ −+−==i
iiii
iiP byaxmrmI 222
( ) ( )∑∑∑ ∑ ++−−+=i
ii
iii i
iiiiiP mbaymbxmayxmI 2222 22
Sono nulli. PerchSono nulli. Perchèè??
Consideriamo due assiparalleli per C (xcm,ycm)e P (xcm+a,ycm+b): :
( ) 2222 MhIMhyxmI cmi
iiiP +=++=∑
o
cmy
y
x
ah b
( )cmcm y,xC
im
ix
iy
( )by,axp cmcm ++
152
Altro modo interessante:
.rel,ccm EMvK += 2
21 2
21 ωcmI=
222
21
21 hMMvhv cmcm ωω =⇒==
222
21
21 ωω cmIhMK +=
( ) 22
21 ω IMh K cm+=
Nuovo momento di inerziaNuovo momento di inerzia
cmθ
θcmv
h
153
Avevamo già visto che se la velocità angolare è costante:
costanteLc =r
0=dtLd c
r
0=Τ )e(r
C è fisso
0=dtPdr
0=)e(Fr
1.1. Il corpo può ruotare senza che sia necessaria lIl corpo può ruotare senza che sia necessaria l’’azione di forze o di momenti esterni. Un asse azione di forze o di momenti esterni. Un asse che ha questa proprietche ha questa proprietàà si chiama:si chiama:
asse libero di rotazione o asse centrale dasse libero di rotazione o asse centrale d’’ inerziainerzia
2.2. se un asse se un asse èè di simmetria per un corpo di simmetria per un corpo èè anche anche un asse centrale di inerziaun asse centrale di inerzia
( ) cI c dmhL ctot ωω == ∫ 2r
Avevamo visto che:Avevamo visto che:
154
1111 ndmhrvdmrld ω=∧=rrr
2222 ndmhrvdmrld ω=∧=rrr
le componenti parallele all’ asse c:
( ) ( )2
21
hdmhrsendm coshr dmdldl ||||
ωαωβω
====
le componenti ortogonali all’ asse c hanno somma nulla per cui:
( ) ( )[ ] ( ) cdmhdmhcdldlldld |||| ω222121 +=+=+
rr
( ) ωωrrr
ci
iii
i IchdmldL === ∑∑ 2
( ) 2 ωωrr
ctot IcdmhL == ∫
∫= dmhIc2 si chiama: momento di inerziamomento di inerzia
CdM
1rr
2rr
hhP1 P2
222 ndlld =r
111 ndlld =r
ωr
c
β
α
dm dm
αωωω
sincostante
iii
i
rdv ===
e se il nostro corpo rigido è “asimmetrico”?
β
Completando la somma nell’ approssimazione di un sistema discreto:
Completando la somma per un sistema continuo:
0m
155
CdM
0rv
ωr
c
Rendiamo il nostro corpo rigido “asimmetrico”:
vmrLlLL tottottot 0000vvvvvr
∧+=+='
Il nuovo momento angolare totale:
ˆ0000' nhmrLL tottot ω+=
vr
0'
≠dtLd tot
r
'totLr
Ltot
v
0lv
1. Deve agire sul sistema un momento non nullo
2. C non è un asse libero di rotazione
'totLr '
, ptotLr
o
ωr
',ntotL
r( ) cnhmrcIcLL totptot ˆ ˆˆˆ 00000
'', ⋅+=⋅= ωω
vr
αωω sinrhmIL ptot 0000 +=',
r
α
( ) ωωωω '0
2000
2000
', IhmIhmIL ptot =+=+=
r
Momento di inerzia rispetto all’ asse C del nuovo sistema. Il prodotto del momento di
inerzia per ω vale la proiezione del Momento angolare sull’ asse di rotazione
',
',
ntotntot L
dtLd rr
∧=ω
Formula di Poisson!Questo rende necessaria l’ azione di un momento....dei vincoli del sistema
0m
versore ortogonale a r0
156
Riassumiamo la situazione generale:1. ogni sistema rigido ha assi centrali di inerzia. Questi
passano per il centro di massa e per rotazioni attornoa tali assi il momento angolare del sistema è paralleloall’ asse di rotazione.
2. In generale ogni sistema ammette tre assi centrali di inerzia tra loro ortogonali:
3. se un sistema ruota attorno ad un asse centrale di inerzia il suo momento angolare è parallelo a quell’ asse:
4. se un sistema ruota attorno ad un asse qualunque:
w,v,u
ωωrr
uuu IuIL =⋅=
ωc|| IL = proiezione del momento angolare sull’ asse di rotazione
c
Quindi se e solo se un sistema ruota attorno ad un asse di simmetria del sistema stesso:
ωvv
IL =⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
zz
yy
xx
IL
ILIL
ω
ωω
I vettori L e ω sonocollineari
In generale abbiamo visto che non lo sono!!!!
157
Rispetto ad un polo O, il momento angolare vale:
( )∑∑∑ ∧∧=∧==i
iiii
iiii
i rmrvmrlL vvvvvvω
Ricordando che: ( )CBADrrrr
××= ( ) ( )CBABCArrrrrr
⋅−⋅=kji zyxˆˆˆ ωωωω ++=v
⎪⎩
⎪⎨
⎧
++=
++=
++=
zzzyzyxzxz
zyzyyyxyxy
zxzyxyxxxx
IIIL
IIIL
IIIL
ωωω
ωωω
ωωω
zxxzyxxyxyyz IIIIII === ;;
( )( )( )∑
∑
∑
+=
+=
+=
iiiizz
iiiiyy
iiiixx
yxmI
zxmI
zymI
22
22
22
∑
∑
∑
=
=
=
iiiizx
iiiiyz
iiiixy
xzmI
zymI
yxmI
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
IIIIIIIII
−−−−−−
Matrice di inerziaMatrice di inerzia
Momenti di di inerziaMomenti di di inerziaRispetto agli assi x,y,zRispetto agli assi x,y,z
Prodotti di di inerziaProdotti di di inerzia
Ma facciamo un passo indietro
158
Rispetto ad un polo O, il momento angolare vale:
( )∑∑∑ ∧∧=∧==i
iiii
iiii
i rmrvmrlL vvvvvvω
Ricordando che: ( )CBADrrrr
××= ( ) ( )CBABCArrrrrr
⋅−⋅=kji zyxˆˆˆ ωωωω ++=v
( ) ( ) iii
iii
ii rmrmrrL vvvvvvv∑∑ ⋅−⋅= ωω
( ) ( ) iii
zizyiyxixii
iyiyix rmrrrmrrrL vvv∑∑ ⋅+⋅+⋅−++= ωωωω ,,,,,,
222
∑∑∑
∑∑∑−−−
−++=
iiiziz
iiiyiy
iiixix
iiiz
iiiy
iiix
rmrrmrrmr
mrmrmrL
vvv
vvvv
ωωω
ωωω
,,,
,,,222
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
−−−
−−−
−−−
++
++
++
iiizi
iiizi
iiizi
iiiyi
iiiyi
iiiyi
iiixi
iiixi
iiixi
izii
iyiix
iii
iziiy
iii
ixii
izii
iyii
ixii
kzmzjymzixmz
zmyjymyixmy
kzmxjymxixmx
kmzjmzimz
kmyjmyimy
kmxjmximx
ˆˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ωωω
ωωω
ωωω
ωωω
ωωω
ωωω
222
222
222
159
( )( )
( )∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
++−−
−++−
+++
iziii
iyiii
ixiii
iziii
iyiii
ixiii
iziii
iyiii
ixiii
kyxmkzymkzxm
jyzmjzxmjyxm
ixzmiyxmizym
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ωωω
ωωω
ωωω
22
22
22
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−−=
−−=
zzzyzyxzxz
zyzyyyxyxy
zxzyxyxxxx
IIIL
IIIL
IIIL
ωωω
ωωω
ωωω
160
Dato un corpo rigido qualunque:
x
y
z
iPiR
uO
kjiu ˆ ˆ ˆ γβα ++=v
kzjyixOPr iiiiiˆˆˆ ++==
→viiii rusenrR v∧== ˆϑ
=uv Versore asse di rotazione
( )22 ˆ iiiii rumRmI v∧==
( ) ( ) ( )kxyjzxiyzru iiiiiiiˆˆˆˆ βααγγβ −+−+−=∧ v
γαβγαβγβα zxyzxyzzyyxx IIIIIII 222222 −−−++=
Coseni direttori dell’ asse di rotazione
161
Caso utile:Caso utile:per un punto la cui distanza dallper un punto la cui distanza dall’’ asse valga:asse valga:
IIY
IX γβα ;; ==
Id 1=
ZXIYZIXYIZIYIXI zxyzxyzzyyxx 2221 222 −−−++=
si stabilisce la condizione cui soddisfano le coordinate dei punti che distano 1/I1/2 dall’origine I= momento di inerzia del corpo rigido che ruota attorno ad un asse per O e PIl luogo dei punti con quella proprietà si chiama “elissoinde di inerzia del corpo rigido relativo al elissoinde di inerzia del corpo rigido relativo al polo Opolo O”Vale per qualunque distribuzione di massa
Teorema di Poinsot:Fissati un polo O e tre assi cartesiani con Fissati un polo O e tre assi cartesiani con centro in O, si calcola lcentro in O, si calcola l’’ eq. delleq. dell’’elissoide elissoide tramite gli Itramite gli Iijij. Dato un generico asse di . Dato un generico asse di rotazione per O e per un generico punto P rotazione per O e per un generico punto P sullsull’’asse e sullasse e sull’’ elissoide, la sua distanza elissoide, la sua distanza da O vale 1/Ida O vale 1/I1/21/2 si può calcolare il si può calcolare il momento dmomento d’’inerzia del corpo rispetto a inerzia del corpo rispetto a quellquell’’ asse. Dato che si può sempre asse. Dato che si può sempre calcolare lcalcolare l’’ elissoide delissoide d’’inerzia, si può inerzia, si può calcolacalcolaììre I rispetta a qualunque asse di re I rispetta a qualunque asse di rotazionerotazione
x
y
z
iP
O
a
b
cba ,, assi dell’ elissoide
c
162
kIjIiIL zzyyxxˆˆˆ ωωω ++=
v
Se come assi solidali al corpo rigido si prendono gliassi principali dell’ elissoide:
1222 =++ ZIYIXI zyx
zyx III ;; Momenti principali dMomenti principali d’’ inerziainerzia
cba ;; Assi principali dAssi principali d’’ inerziainerzia
zyx III1;1;1 Lunghezza semiLunghezza semi--assi assi
DellDell’’ elissoideelissoide
Se si scelgono come assi quelli principali d’inerzia e L’ origine come polo:
Ma se si sceglie come asse di rotazione uno degli assi principali d’ inerzia: ωv
vIL =
( )222
21
zzyyxxk IIIE ωωω ++=
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=⋅=
z
z
y
y
x
xk I
LIL
ILLE
222
21
21 vvω
E se lE se l’’ asse di rotazione asse di rotazione èè principale dprincipale d’’inerzia:inerzia:
ILIEk 22
1 22 == ω
163
Corrispondenza formale tra il moto rettilineoCorrispondenza formale tra il moto rettilineoe quello circolaree quello circolare
1. Spostamento
2. Velocità
3. Accel.
4. Massa
5. Forza
6. Lavoro
7. En. Cin.
8. Potenza
9. Q. di moto
rv
dtrdvv
v =
2
2
dtrdav
v =
m
amF vv=
sdFW vv∫ ⋅=
2
21 mvEk =
vFP vv⋅=
vmQ v=
Moto rettilineo Moto circolare
ϑk
dtd ˆϑω =v
ndtd ˆ2
2ϑα =v
Iατ vv I=
ϑϑτ ˆdW ∫ ⋅= v
2
21 ωIEk =
kP ˆωτ ⋅= v
kIl ˆω=v
1. Spostamento
2. Velocità
3. Accel.
4. Mom Inerzia
5. Mom.Forza
6. Lavoro
7. En. Cin.
8. Potenza
9. Mom.Angolare
164
Esempio Esempio 4343
o x
y
z
rω
rvrrrL
ϕ = °90
m
Quanto vale il momento angolare di un punto materiale in moto circolare uniforme con velocità angolare cost.su una traiettoria di raggio r?
r r r r r r
r r r
r r
L r p r mv rmvsin k
L rmvk mr k
L mr
= ∧ = ∧ =
= =
=
902
2
ω
ωr rL I= ω
N.B.
Se l’ unica forza che agisce è quella centripeta diretta verso l’origine, non vi sarà momento motore.Il momento angolarerimane costante così come la velocità angolare.
165
Esempio Esempio 4444
m1
m2
v1
v2
C.M.r1
r2r r r
r r rL m r v
L m r v2 2 2 2
1 1 1 1
= ∧
= ∧
rω
( )( )( )
r r r r r r r
r
r
r
L L L r m v r m v
L rm v r m v k
L r m r m k
L r m r m k
= + = ∧ + ∧
= +
= +
= +
1 2 1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
12
1 22
2
12
1 22
2
$
$ω ω
ωr vL I= ω
N.B.Per un sistema a molti corpi (continuo):
( )r r r rL mrv k mr r k Ii i i
ii i i
i= = =∑ ∑ ω ω
166
Moto rototraslatorioRotolamento senza strisciamento
P
c
•Generatrice per P: asse di istantanea rotazione•Tutti i punti ruotano con la stessa ω•Moto equivalente a pura rotazione attorno ad unasse fisso passante per P( in ogni istante)
( ) 222
21
21 ωω MRIIK cmpp +==
22
21
21
cmcmp MvIK += ω
167
P
o cmv
cmv2Q
P
o
cmvQ
cmv
cmv P
o
Rv ω=Q
Rv ω=
P
o
cmv2Q
cmv
+ =
Puro strisciamento + pura rotazione =
Rotolamento senza strisciamento
168
Esempio Esempio 4545Un cilindro di massa M e raggio R rotola su di un piano inclinatoSenza strisciare. Trovare la velocità del centro di massa quando il cilindro arriva in fondo.
h
R s
ϑ
22
21
21 MvIMgh cm += ω
2
21 MRIcm =
Rv
=ω
222
2
43
21
21
21 MvMv
RvMRMgh =+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
ghv34
= Ma se avesse strisciato :(quindi senza attrito)
ghv 2=PerchPerchèè??
Se rotola esistono forze di attrito: perchè si puòapplicare la conservazione dell’ energia?
169
Rispetto ad un asse parallelo NON passanteper C.d.M. ma per un punto diverso ( O’)
ωωω 2'
2'
MhII
MhII
CM
CM
+=
+=
CMCMCM vMrLL rrrr∧+=
Il momento angolare rispetto ad un punto qualsiasi o’ è la somma del momento angolare rispetto al centro di massa del sistema e del momento angolare associato al moto del C.d.M.intorno al punto o’
Il momento angolare di un corpo rispetto alsuo centro di massa è detto anche:
SPINSPIN
Modulo del M.A. Rispetto al C.d.M
o'orcm =r
Modulo del M.A. Rispetto all’ asse per O’
CMvr
o'oh
CMrv
ωv
Lv
170
backup slides
171
Esempio Esempio 4545
Un bambino salta su una giostra inizialmenteferma, imperniata attorno ad un asse privo di attrito.Come reagisce il sistema? Quale è la velocità angolare finale del sistema?
Possiamo applicare la conservazione:• dell’ energia?• della quantità di moto?
( )( )
prima L r mv mv rk
dopo L mv rk I k
L mr r I k
L mr I k
iniz iniz iniz
fin fin
fin
fin
:
:. . .
. .
.
.
r r r r
r r r
r r
r r
= ∧ =
= +
= +
= +
ω
ω ω
ω2
( )ma : . .
.
r r
r rL L
mr I k mv rkfin iniz
iniz
=
+ =2 ω
ω =+
mv rmr I
iniz .2
172
amFF cBCUCrrr
=+ amFF cBCUC =−⇒
quindi in generale:
BCUC FFrr
≠
Sono uguali solo se:• a=0 condizioni statiche (la fune trasmette la forza inalterata)• mc=0 massa della fune trascurabile
Se mc=0 ( approssimazione!) la forza è costante in ciascun punto della fune generalmente viene chiamata: tensione
Mb
Mb
Mb
Nel caso (b) e sulla corda ( di massa mc):
0
0
=+
=+
BCCB
CUUC
FF
FF
rr
rr
Non costituiscono un sistema azione-reazione
0=ar
0≠ar
173
se la massa del sistema non è costante:
amvdtdmF rrr
+= Ma attenzione: vale sono in un Ma attenzione: vale sono in un Particolare S.d.R.!!!!!Particolare S.d.R.!!!!!
Infatti:Consideriamo un razzo a propellente.Il suo moto derivadall’ espulsione dei gas combusti.Quantità di moto del razzo: ( ) ( ) ( )tVtMtP
vv=
Massa e velocità del razzo al tempo t
Dopo un tempo Δt la massa Δm è stata espulsa ( gas combusti)
Velocità media dei gas combusti rispetto ad unsistema “fisso”
vv
Dopo un tempo Δt per il sistema “razzo + gas combusti”):
( ) ( )( ) ( ) vmttVmtMttP vvvΔ+Δ+Δ−=Δ+
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tVtMvmttVmtMtPttPPvvvvvv
−Δ+Δ+Δ−=−Δ+=Δ
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]ttVvmtVttVtMP Δ+−Δ+−Δ+=Δvvvvv
( ) ( )Vvdtdm
dtVdtM
dtPd vv
vv
−+= Ma:dt
dMdtdm
−=
( ) ( ) .estFvVdt
dMdtVdtM
dtPd vvv
vv
=−+=
174
Una pallina di massa m=10g colpisce un ostacolo piano con velocità v=10ms-1 come in figura
rv1
rv245° 45°
x
y
Se il tempo di contattoè Δt=0.01s qual’è la forzamedia esercitata sullapallina?
⎩⎨⎧
°⋅−=°⋅=
⎩⎨⎧
°⋅−=°⋅−=
4545
4545
2
2
1
1sinvv
cosvv sinvvcosvv
y
x
y
x
L’impulso della forzaesercitata dalla parete è normale alla parete!Ma:
( )( ) ( )
I f t dt
It
f t dtt
ft
f t dt
mvt
N
t
t
t
t
t
t
12 1
2
12 1
2
1
21
2 45 14
=
= ⇒ = =
=°=
∫
∫ ∫Δ Δ Δ
Δ cos
Esempio 21
⎩⎨⎧
=−=°=−=
045cos2
1212
1212
yyy
xxx
mvmvImvmvmvI
1212 vmvmI rrr−= proiettata sugli assi:
175
o y
x
zrv0
α = °30
h0=8m
Con le condizioni iniziali:
( )( )( )
( )( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
======
⎪⎩
⎪⎨⎧
======
αα
sinvvvcosvvv
vv
zzyyxx
zz
yy
xx
00
00
0
0
0
0
00
00
800000
aa a
x
y
z
== ⇒
= −
⎧
⎨⎪
⎩⎪
00
g⇒=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−===
01
1
1t
cgtv cv
cv
zz
yy
xxvv vv gt v sin
x
y
z
==
=− +
⎧
⎨⎪
⎩⎪
0
0
0
cosαα
Integrando ancora:
( )( )⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++−=
+=
=
z
y
x
ctsinvgtz
ctcosvy
cx
202
20
2
21 α
α ( )
( )
xy v t
z gt v sin t z
=
=
=− + +
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
0
12
0
20 0
cosα
α
Per calcolare l’ integrale di linea bisogna specificare il percorso lungo il quale si sposta il punto materiale per andare da A a B. Come si esprime in termini matematici?
Vediamo un vecchio esempio:Vediamo un vecchio esempio:
176
E possiamo ricavare l’equazione della traiettoria:
( ) ( ) 0220
2
21 zytan
cosvygyz ++−= α
α
In generale la si può rappresentare in forma parametrica:
0220
;;cos2
zctgbv
ga ==−= αα( )⎩
⎨⎧
++=
=
cbyayyzx
2
0
Del tipo:
Dove:
⎪⎩
⎪⎨⎧
===
)()()(
hzzhyyhxx
Nel caso del moto del proiettile,assumendo come parametro y=he definite le costanti a e b⎪⎩
⎪⎨⎧
++======
02)(
)(0)(
zbhahhzzhhyy
hxx
Un volta note le leggi della forza ( campo di forza in cui si muove il punto) e l’ equazione parametrica della traiettoria che specifica il percorso del punto nel campo, si può calcolare il lavoro delle forze del campo, sostituendo le equazioni parametriche della traiettoria nell’ integrale di linea del lavoro.
x Ry Rsinz
===
⎧
⎨⎪
⎩⎪
cosϕϕ
0
( )( )( )
x x h R
y y h R
z z h
= =
= =
= =
⎧
⎨⎪
⎩⎪
cosh
senh
0
Infatti, per il moto circolare abbiamo fatto:
177
Esempio Esempio 2424
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
+=
cyfbyf
zaxf
z
y
xa,b,c costanti note
Calcolare il lavoro compiuto dalle forze delcampo se il punto si sposta da O(0,0,0) aP(0,1,1) lungo la traiettoria indicata in figura.
( )( )∫∫
+++=
⋅=P
O
P
OOP
cydzbydydxzax
sdfW rr
ox
y
z
p
1
1
sono noti la legge della forza e la traiettoria(che mettiamo in forma parametrica):Un punto materiale si muove in una regionedi spazio in cui agisce un campo di forze:
⎪⎩
⎪⎨⎧
===
)h(zz)h(yy)h(xx
⎪⎩
⎪⎨⎧
===
⎪⎩
⎪⎨⎧
===
dhdzdhdy
dx
hzhy
x
00
178
( )L bhdh chdhop = + +∫ 00
1
( ) ( ) = + ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
= +b c h b c12
12
2
0
1
Quanto vale il lavoro nello stesso campo di forze perun punto che si muove nel piano yz con traiettoria z=y2?
xy hz h
==
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
0
2
dxdy dhdz hdh
===
⎧
⎨⎪
⎩⎪
0
2
E per l’integrale di linea ( lavoro ) si ha:
( )L bhdh ch hdh
bh c h b c
op
t= + +
= +⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥= +
∫ 0 2
12
23
12
23
0
23
0
1
Ed è chiara la dipendenza dal punto iniziale A, dal punto finale B e dal percorso
ox
y
z
p
1
1
179
IInntteerrlluuddiioo mmaatteemmaattiiccooData che sia una funzione di più variabili:
V V x y z= ( , , ) Come ad esempio:( )V x y z ax bxyz y z, , = + +2 2 2
Si definiscono:
Per le quali vale il teorema di Schwartz:
derivate parziali prime:
derivate parziali seconde:
derivate parziali miste:
.cos.cos.cos
;;tyxtzxtzy z
VyV
xV
======
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
∂∂
.cos2
2
.cos2
2
.cos2
2
;;tyxtzxtzy z
VyV
xV
======⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ ∂
∂∂ ∂
∂∂ ∂
2 2 2Vx y
Vy z
Vx z
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
; ;
∂∂ ∂
∂∂ ∂
2 2Vx y
Vy x
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ijji xxV
xxV
∂∂∂
∂∂∂ 22
180
definiamo il differenzialedefiniamo il differenziale totaletotale:
( )dV x y z Vx
dx Vy
dy Vz
dz, , = + +∂∂
∂∂
∂∂
Sappiamo cheSappiamo che:
L f dx f dy f dza b a
b
, = + +∫ 1 2 3123Forma differenziale lineareForma differenziale lineare
Quando il lavoro dipende solo dagli estremi?
quando la F.D.L. è tale che:
( )
( )
( )
( ) :con z,y,xVV
zVz,y,xfyVz,y,xfxVz,y,xf
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
=
=
=
∂∂∂∂∂∂
3
2
1
Deve cioè essere il differenziale di una funzione delle coordinate. Quando questo succede la F.D.L. si dice che è un:
differenziale esattodifferenziale esatto
( )( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
===
hzzhyyhxx
Con:
( )∫ −=b
a ab VVzyxdV ,, e dipende solodagli estremi
181
Infatti quando questo si verifica si ha che:
( )
( ) ( )∫
∫∫
−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=++
b
a
b
a
b
a
aVbVdV
dzzVdy
yVdx
xV
dzfdyfdxf
∂∂
∂∂
∂∂
321
Questo non è sempre vero per una f generica.Date tre funzioni qualunque:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
fy
fx
fz
fx
fz
fy
1 2 1 3 2 3= = =; ;
( ) ( ) ( )z,y,xf,z,y,xf,z,y,xf 321
( ) ( ) ( )zVz,y,xf;
yVz,y,xf;
xVz,y,xf
∂∂
∂∂
∂∂
=== 321
Non sempre verificano le:
derivando la prima rispetto a y e la seconda rispetto a x:
yxV
xf;
xyV
yf
∂∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂ 2
22
1 == Poi facendo lo stesso per le altre
182
( ) ( ) ( )z,y,xff;z,y,xff;z,y,xff zzyyxx ===
C.N.S. perché il campo sia conservativo è che:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
fy
fx
fz
fx
fz
fy
x y x z y z= = =; ;
Per un campo di forze conservativoconservativo:
• problema diretto: dato V(x,y,z)
• problema inverso: data la legge della forza:trovare:
f Vx
f Vy
f Vzx y z= = =
∂∂
∂∂
∂∂
; ;
( ) ( ) ( )( )∫ +++=
zyxp
a aaazyx zyxVdzfdyfdxfxyxV,,
,,,,
....a meno di una costante
RIASSUMENDO: sia dato un campo di forze:
Quindi, in questo caso:1. Il lavoro dipende solo dagli estremi2. Il lavoro su un percorso chiuso è nullo
0=⋅∫ rdf rrla circolazionecircolazione di è nullaf
r
183
Esempio 25Esempio 251) Verificare se il campo di forze dato è conservativo:
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
+=
cyFbyF
bzaxF
z
y
x
2) Verificare sotto quali condizioni il campo di forze datoè conservativo
⎪⎩
⎪⎨⎧
+==
+=
czdxFcxF
byaxF
z
y
x
3) Calcolare il potenziale in del campo di forze:
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
+=
bzfbxf
byaxf
z
y
x
Ao ≡x
y
z
=++∫P
o zyx dzfdyfdxf
B C
=+++
++++++
∫∫∫
P
C zyx
C
B zyx
B
O zyx
dzfdyfdxf
dzfdyfdxfdzfdyfdxf
( )z.y,xP
( )z.y,xP
)0,0,(: xAB)0,,(: yxBC
),,(: zyxCP
184
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
00
zy
xx
∫
∫=
=++
z
O
P
C zyx
zbczdz
dzfdyfdxf
2
21
( ) ( ) 22
21
21000 zbyxbxaVzyxV ++=− ,,,,
Ao ≡
x
y
z
B C
( )z.y,xP
)0,0,(: xAB)0,,(: yxBC
),,(: zyxCP
Per il calcolo usiamo le componenti delle forze con i valori dix,y,z come nei tratti di traiettoria:
per il tratto OB:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
00
dzdy
dxdx
2
21 xaaxdxdzfdyfdxf
x
O
B
O zyx ==++ ∫∫
yxbdyxb
dzfdyfdxfy
O
C
B zyx
∫∫
=
=++
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
==
0
cost.
zyyxx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
0
0
dzdydy
dxper il tratto BC:
per il tratto CP:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=====
zzyyxx
cost.cost.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
dzdzdydx
00
( ) CbzybxaxzyxV +++= 22
21
21,,
cosa trovo se ne faccio le derivate parziali??cosa trovo se ne faccio le derivate parziali??
185
e per le velocità:
Usando i valori: A m= =1 1,
x x v ti i i+ = +1 Δ
( )v v a t a Amxi i i i+ = + = −1 2Δ
txv
0
0
0
01010
===
⎧
⎨⎪
⎩⎪..
= 0.1 Δ
x x v ti i i+ = +1 Δ
v v txi i
i+ = −1 2
Δ
0,1 1,100 0,9000,2 1,190 0,8170,3 1,272 0,7470,4 1,346 0,6850,5 1,415 0,6300,6 1,478 0,5800,7 1,536 0,5340,8 1,589 0,4920,9 1,638 0,452
1 1,684 0,4151,1 1,725 0,3791,2 1,763 0,3461,3 1,798 0,3141,4 1,829 0,2831,5 1,857 0,2531,6 1,883 0,2241,7 1,905 0,1961,8 1,925 0,1681,9 1,941 0,141
2 1,955 0,1152,1 1,967 0,0882,2 1,976 0,0632,3 1,982 0,0372,4 1,986 0,0122,5 1,987 -0,014
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
0 0,5 1 1,5 2 2,5
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
ixxit
Δ t
Δ t
iv
v
xi,vi si possono calcolare “ricorsivamente”conoscendo x0 e v0 .L’ approssimazione è tanto migliore quanto più è piccolo Δt. Ma se Δt->0 il numero dei termini ∞
186
1. moto di un grave sottoposto a forza viscosa
o x
y
gmf rr=
vrβP
dtvdvgmr
rr=− β
ch proiettata sugli assi:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=+
−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=−
dtdvmvmg
dtdvmv
dtdv
mvmgdt
dvmv
yy
xx
yy
xx
ββ
β
β
β
la cui soluzione, mediante separazione delle variabili è:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
=−
−
ββ
β
β
mgevmgv
evvt
moyy
tm
xx 0
-vy
to
βmg
v0
v1
v2
• vx→0 per t→∞• vy→-mg/β (per qualunque valore di v0y)• la velocità limite è <0• vy∝(β/m)-1:a parità di fluido β dipende solo dalla forma del corpo• a parità di massa vy ∝ β-1
• β dipende dalla sezione opposta al moto (paracadute )
187
Esempio Esempio 4040
Agiscono forze esterne sul sistema?r rP Pin fin. .=
0 = += −
= −
M v M vM v M v
v MM
v
a a b b
a a b b
ab
ab
r r
r r
r r
o x
y
Ma Mbmolla
La relazione tra le energie cinetiche:
( )( ) a
b
bab
bba
b
a
MM
vMMvMM
KK
== 2
2
22
188
Esempio 41
Un proiettile si massa m=10g si muove orizzontalmente ad una velocità v=400ms-1 e penetra in un blocco di massa M=390g , inizialmente in quiete su un piano senza attrito (trascurabile). Qual’ è la velocità finale del proiettile e del blocco?
xvm ,11,r 0, ,22 =xvm r
xvmm r,21 +
prima dell’ urto dopo l’ urto
quantità di moto iniziale del sistema: xx vmP ,11,1 =
quantità di moto finale del sistema: ( ) xxf vmmP 21, +=
La Q.d.M. si conserva?
( )1
,1
,1
104.04
−
−
====
msvvKgPKgmsP
x
xxfx
oppure:
1
21
,11,
2,12,11,,
10
0
−
=
=+
=
⋅+== ∑
msmm
vmv
mvmvmMv
xxcm
ixxiixcm
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