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Differentialformen Außere Ableitung Abbildungen Konverse Poincare Lemma
Die Außere Ableitung
Felix Retter
25.06.2008
Felix Retter
Die Außere Ableitung
Differentialformen Außere Ableitung Abbildungen Konverse Poincare Lemma
Inhaltsangabe
Differentialformen
Außere Ableitung
Abbildungen
Konverse Poincare Lemma
Felix Retter
Die Außere Ableitung
Differentialformen Außere Ableitung Abbildungen Konverse Poincare Lemma
Die p-Form
Sei P ein Punkt in En. Der n-dimensionale lineare Raum L = Lp
wird dann gebildet von
n∑i=1
aidx i , ai Konstant.
Die p-Formen ω sind Elemente
ω =∑
aHdxh1 · · · dxhp =∑
aHdxH ∈p∧
L.
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Die Außere Ableitung
Differentialformen Außere Ableitung Abbildungen Konverse Poincare Lemma
Die p-Form (2)
I Sei U ⊂ En offen. Eine p-Form ω auf U hat die Form
ω =∑
aH
(x1, . . . , xn
)dxH .
F p(U) bezeichnet die Menge der p-Formen auf U. Auf dieserwird die außere Algebra angewendet.
I Beispiel 1: 0-Form: alle glatten Funktionen auf U
I Beispiel 2: 2-Form: α = Adydz + Bdzdx + Cdxdy
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Die Außere Ableitung
Differentialformen Außere Ableitung Abbildungen Konverse Poincare Lemma
Außere Algebra
Sei U ⊂ En offen und
ω =∑
aHdxH ∈p∧
L, ν =∑
bKdxK ∈q∧
L
zwei Differentialformen auf U. Es gilt:
I ω = 0, falls dx i = dx j fur i 6= j ,
I ω ∧ ν =∑
aHbKdxHdxK ,
I ω ∧ ν = (−1)pq ν ∧ ω.
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Die Außere Ableitung
Differentialformen Außere Ableitung Abbildungen Konverse Poincare Lemma
Außere Ableitung - Definition
Definition (Außere Ableitung)
Sei ω =∑
aHdxH ∈ F p(U), U ⊂ En. Die Außere Ableitung von ωist eine Abbildung d : F p (U) −→ FP+1 (U)
dω =n∑
i=1
∂aH
∂x idx idxH . (1)
Eigenschaften:
i d (ω + ν) = dω + dν,
ii d(ω ∧ ν) = dω ∧ ν + (−1)deg ωω ∧ dν,
iii Fur jedes ω, d(dω) = 0 (Poincare Lemma).
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Außere Ableitung - Eigenschaften (1)
Zu ii: Sei ω = adxH , ν = bdxK .
d (ω ∧ ν) = d(abdxHdxK
)=
∑ ∂(ab)
∂x idx idxHdxK
=∑ (
∂a
∂x i
)bdx idxHdxK +
∑a
(∂b
∂x i
)dx idxHdxK
=∑ (
∂a
∂x i
)dx idxH ∧ bdxK+
+ (−1)(deg ω)∑
(adxH) ∧(
∂b
∂x i
)dx idxK
= dω ∧ ν + (−1)deg ωω ∧ dν
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Differentialformen Außere Ableitung Abbildungen Konverse Poincare Lemma
Außere Ableitung - Eigenschaften (2)
Zu iii: Sei ω = adxH .
d(dω) = d
(∑ ∂a
∂x idx idxH
)=
∑ (∂2a
∂x i∂x j
)dx jdx idxH
=1
2
∑ (∂2a
∂x i∂x j− ∂2a
∂x i∂x j
)dx jdx idxH
= 0
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Anwendung der außeren Ableitung
Betrachte eins-Form α = Pdx + Qdy + Rdz :
dα =∂P
∂ydydx +
∂P
∂zdzdx +
∂Q
∂xdxdy +
∂Q
∂zdzdy+
+∂R
∂xdxdz +
∂R
∂ydydz
=
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)dxdy +
(∂R
∂x− ∂P
∂z
)dxdz +
(∂R
∂y− ∂Q
∂y
)dydz
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Abbildungen
Sei U ⊂ Em,V ⊂ En, Φ eine Abbildung von U nach V und g einereellwertige Funktion auf V . Die Koordinaten von Em und En sindx1, . . . , xm und y1, . . . , yn. Definiere
Φ∗g = g ◦ Φ
und somit
Φ∗ : F 0(V ) → F 0(U). (2)
Fur eine Eins-Form ω =∑
ai (y)dy i setzen wir
Φ∗ : F 1(V ) −→ F 1(U)
Φ∗ω =∑
ai (Φ(x))∂y i
∂x jdx j .
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Eigenschaften von Φ∗ (1)
Eigenschaften von Φ∗:
i Φ∗(ω + ν) = Φ∗ω + Φ∗ν,
ii Φ∗(ω ∧ ν) = Φ∗(ω) ∧ Φ∗(ν),
iii d(Φ∗ω) = Φ∗(dω),
iv Wenn Φ : U −→ V und Ψ : V → W , dann (Ψ ◦Φ)∗ = Φ∗ ◦Ψ∗.
FOLGERUNG: Die außere Ableitung ist unabhangig von demKoordinatensystem, in dem sie berechnet wird!
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Eigenschaften von Φ∗ (2)
Beweis von iii mittels vollstandiger Induktion uber den Grad derDifferentialform. Induktionsanfang: Sei g eine 0-Form aus V.
dg =∑ ∂g(y)
∂y jdy j ,
Φ∗(dg) =∑ ∂g(Φ(x))
∂y j
∂y j
∂x idx i
=∑ ∂(Φ∗g)
∂x idx i = d(Φ∗g).
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Eigenschaften von Φ∗ (3)
Beweis von iv mittels vollstandiger Induktion uber den Grad derDifferentialform.Induktionsanfang: Sei h eine 0-Form auf W.
[(Ψ ◦ Φ)∗h](x) = h[(Ψ ◦ Φ)(x)] = h{Ψ[Φ(x)]}= [Ψ∗h][Φ(x)] = {Φ∗[Ψ∗h]}(x)
= [(Φ∗ ◦Ψ∗)h](x)
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Zylinderkonstruktion
Sei U ⊂ En und I = [0, 1]. Wir betrachten folgende Abbildungenvon x ∈ U nach (t, x) ∈ I × U,
j1 : j1(x) = (1, x) ,
j0 : j0(x) = (0, x) .
Und den entsprechenden ∗ − Operator
j∗i : F p (I × U) −→ F p(U), (i = 0, 1) .
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K-operator
Definiere Operator
K : F p+1 (I × U) −→ F p(U);
K(a (t, x) dxH
)= 0,
K(a (t, x) dtdxH
)=
(∫ 1
0a(t, x)dt
)dxH
Es gilt:
K (dω) + d (Kω) = j∗1 (ω)− j∗0 (ω)
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Beweis(1)
Sei ω = a(t, x)dxH .Dann gilt
j∗1ω − j∗0ω = [a(1, x)− a(0, x)]dxH ,
d(Kω) = 0 = Kω,
K (dω) = K
(∂a
∂tdtdxH + . . .
)=
(∫ 1
0
∂a
∂tdt
)dxH
= [a(1, x)− a(0, x)]dxH .
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Beweis(2)
Sei ω = a(t, x)dtdxH .
j∗1ω = j∗0ω = 0,
Kdω = K
[−
∑ ∂a
∂x idtdx idxH
]= −
∑ (∫ 1
0
∂a
∂x idt
)dx idxH ,
dKω = d
[(∫ 1
0a(t, x)dt
)dxH
]=
∑ (∫ 1
0
∂a
∂x idt
)dx idxH .
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Definition (P-homotop)
Ein Gebiet U ist zu einem Punkt P zusammenziehbar (P-homotop)wenn es eine stetige Abbildung Φ : I × U −→ U, I = [0, 1] gibt,mit
Φ(1, x) = x ,
Φ(0, x) = P
Lemma (konverse Poincare Lemma)
Sei U ein Gebiet in En das zu einem Punkt P zusammengezogenwerden kann. Sei ω ein (p + 1)-Form auf U mit dω = 0. Dannexistiert eine p-Form α auf U mit
ω = dα
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Beweis
I Φ ◦ j1 = id , Φ ◦ j0 = P (U P-homotop).
I =⇒ j∗1 (Φ∗ω) = ω, j∗0 (Φ∗ω) = 0.
I Nach Voraussetzung gilt d(Φ∗ω) = Φ∗(dω) = 0.
I
K (d(Φ∗ω)) + d (K (Φ∗ω)) = j∗1 (Φ∗ω)− j∗0 (Φ∗ω) = ω
⇐⇒ d (K (Φ∗ω)) = ω
Wir haben dα = ω fur α := K (Φ∗ω)
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Eindeutigkeit
Seien β und γ zwei Losungen von ω = dα. Es gilt
dβ = ω = dγ
⇐⇒ d(β − γ) = 0
Wenn p ≥ 1 so existiert also eine (p-1)-From λ mit β − γ = dλ.=⇒ Die allgemeine Losung ist somit β − dλ.
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Beispiel
Betrachte R3 und die 2-Form ω = Adydz + Bdzdx + Cdxdy mit∂A∂x + ∂B
∂y + ∂C∂z = 0. Es gilt dω = 0. Mit Φ(t, x , y , z) = (tx , ty , tz)
ist R3 ferner nullhomotop.
Φ∗ω = A(tx , ty , tz)d(ty)d(tz) + . . . = A(tx , ty , tz)(ytdtdz − ztdtdy)
+ . . . + (Terme ohne dt)
α := K (Φ∗ω) =
(∫ 1
0A(tx , ty , tz)tdt
)(ydz − zdy)
+
(∫ 1
0B(tx , ty , tz)tdt
)(zdx − xdz)
+
(∫ 1
0C (tx , ty , tz)tdt
)(xdy − ydx)
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