Departamento de Teoría de la Señal y...

Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones

DISEÑO DE FILTROSTema 3: Diseño de Filtros Activos

ÍNDICE

1. El Amplificador Operacional.• El Amplificador Operacional Ideal.• El Amplificador Operacional Real.

Ganancia Dependiente de la Frecuencia.

2. Bloques Activos Usando AA.OO.3. Funciones de Transferencia de Secciones

de 1er Y 2º Orden.

ÍNDICE (II)

4. Sensibilidad• Definición.• Propiedades• Sensibilidad de la Función de Transferencia.• Filtros de Orden Superior

ÍNDICE (III)

5. Estructuras de Primer Orden con AA.OO.6. Estructuras de Segundo Orden con AA.OO.

• Introducción.• Estructuras con un único A.O.

Estructura general Sallen-Key.Estructura General de Raouch.

• Filtros activos con varios AA.OO.El filtro activo resonador KHN.Filtro Resonador de Tow-Thomas.

ÍNDICE (IV)

5. Estructuras de 2º Orden Basadas en simulación de bobinas.

6. Criterio de Realización en Cascada.

Amplificador Operacional

• Filtrado activo. Necesita elementos activos para sustituir las bobinas del filtrado pasivo.

• Se pueden utilizar varios elementos activos (transistores, operacionales de transconductancia, etc.). Pero los más usuales son los amplificadores operacionales.

• Estos son fuentes de tensión controlados por tensión con ganancia infinita, impedancia de entrada infinita y de salida nula (idealmente).

Operacional ideal• Su símbolo es:

• Y su ecuación de funcionamiento la siguiente:

• Si y si uno de los dos terminales está conectado a masa, entonces: V+ = V- = 0. Conocido por principio de “tierra virtual”.

( )V A V V con I I0 0= − = =+ − + −

A V V→∞ ⇒ − =+ − 0

Operacional Real

• Las características de ganancia y ancho de banda finitos de los AA.OO. son los factores que más afectan al correcto funcionamiento de los circuitos en el diseño de filtros activos.

• La respuesta en frecuencia de la ganancia de un A.O. se puede expresar como:

0 0 c 0 c

c

c

A A AA(s) s s s1

ω ω= = ≈

+ω+ω

Operacional Real (II)A( j dBω)

20 0log A

• Valores típicos de estos parámetros pueden ser:( )A A Hz f Hz f Hzc t0

4 5 610 10 741 5 100 10> → ∀ ≤ ≤ ≥µ

Efecto del Operacional RealA.O. Real

V VR

V VCs

como V Vi − =−

= =− −

+ −0

10

01

0= − + +

−−V

RCs

RV CsVi

( ) ( )- - 0VA s V V -

A s= ⇒ =

( )0 00= − − + −GV Cs G

VA s

CsVi ( )

Nudo V-:

0V -Operacional:A.O. Ideal

− =+

+

⇒ = − +

+GV

Cs GA s

Cs VVV

GCs GA s

Csi

i( )( )

00

VR

V Cs VV RCs

i

i

= − ⇒ = −00 1

VV RCs

A sRCsi

0 11= − +

+( )

Bloques Activos Usando AA.OO.

• Inversor:

• No inversor:

A j VV

RR

ki

( )ω → ∞ ⇒ = + =0 2

121

A j VV

RR

ki

( )ω → ∞ ⇒ = − =0 2

1

Bloques Activos Usando AA.OO.(II)

• Sumador:

A j V GG

Vi

Ri

i

n

( )ω →∞ ⇒ = −=∑0

1

Bloques Activos Usando AA.OO.(III)

• Seguidor:

• Integrador:

( ) ( )V A V V V A AV

VV

AA

A

i i

i

0 0 0

0

1

11

11

= − ⇒ + =

=+

=+

sRC1

VV

i

0 −=

Bloques Activos Usando AA.OO.(IV)

• Giradores y conversores de inmitanciageneralizados. Simulador de bobinas:

Simulador de bobinas. Análisis.

( ) 15

4

5

1544

5

14 V

ZZ1

ZVZZV

ZVI

+=+=⇒=

I IV V

Z ZV V

ZZ

VZ

Z ZV2 3

1 4

3 31 1

4

51

4

3 51

1= =

−= − −

= −

V I Z V VZ ZZ Z

VZ ZZ Z

V2 2 2 1 12 4

3 51

2 4

3 511= + = − + = −

1531

421

53

4211

11

211 V

ZZZZZV

ZZZZVV

Z1

ZVVI =

+−=

−=

Z VI

Z Z ZZ Zin

1

1

1 3 5

2 4= =

•Así tomando : Z1 = R1 ; Z3 = R3 ; Z5 = R5 y una de las dos Z2 ó Z4 como un condensador y la otra resistiva, tenemos:

L R R RR

C= 1 3 5Z VI

R R R

RCs

R R RR

Csin = = =1

1

1 3 5 1 3 51

Funciones de transferencia de primer y segundo orden

• Para conseguir filtros activos de orden superior se utiliza, entre otras, la conexión en cascada de secciones de primer y segundo orden.

• Las secciones de segundo orden tienen dos parámetros fundamentales, la frecuencia central y una característica denominada Q que da idea del sobreimpulso producido en la respuesta alrededor de la frecuencia de corte.

• Las de primer orden solo permiten modificar su frecuencia de corte.

• Las de segundo orden pueden usarse como filtros, las de primero no.

Funciones de transferencia de primer orden

1. Paso-Bajo

H sk

s( ) =

+ωω

0

0

H jk

j

H jk

H

( )

( )

arctgω

ωω ω

ωω

ω ω

φωω

=+

⇒

=+

= −

0

0

0

202

0

H j( )ω

K

K2

ω 0 ω ( / )r a d s e g

Funciones de transferencia de primer orden (II)

2. Paso-Alto

H j kj

j

H jk

H

( )

( )

arctg arctgω

ωω ω

ωω

ω ω

φπ ω

ωωω

=+

⇒

=+

= − =

0

202

0

0

2

H s k ss

( ) =+ω0

H j( )ω

K

K2

ω 0 ω ( / )rad seg

Funciones de transferencia de segundo orden

• Su forma general será:

• La última expresión es la notación estándar utilizada para las funciones bicuadráticas porque en ella se identifican claramente los parámetros característicos del filtro.

• Dependiendo de los valores a0, a1 ó a2 son cero tenemos distintos tipos de función.

( )( )( )( )

( )( )

2 222 1 2 z z z2 1 0

2 2 21 0 1 2 p p p

a s z s z s Q sa s a s aH(s) ks b s b s p s p s Q s

− − + ω +ω+ += = =

+ + − − + ω +ω

Funciones de transferencia ... (II)

• Paso-Bajo. Con a2 = a1 = 0.

( )H sk

s Q sLP ( ) =+ +

ω

ω ω02

20 0

2

H j( )ω

k20M

2

Q211

Q411

kQM −ω=ω−

=

Funciones de transferencia...(III)

• Paso-alto. Con a1 = a0 = 0.

( )H sks

s Q sHP ( ) =+ +

2

20 0

2ω ω

H j( )ω

k 2

0M

2 Q211

Q411

kQM−

ω=ω

−=

Funciones de transferencia...(IV)

• Paso-banda. Con a2 = a0 = 0.( )( )H sk Q s

s Q sBP ( ) =+ +

ω

ω ω0

20 0

2

H j( )ω

kk2

ω0 Q

ω0

Funciones de transferencia...(V)

• Banda-eliminada. Con a1 = 0.

( )( )

( )H sa s a

s Q s

k s

s Q sBR

p p p

z

p p p

( ) =+

+ +=

+

+ +2

20

2 2

2 2

2 2ω ω

ω

ω ω

H j( )ωH j ( ) ω

k

k z p

ω ω 2

≈ ωM

H j( )ω

k

k z

p

ωω2

≈ ωM

kk2

ωp

pQ

ω ωp z=

( )[ ]

( )[ ] 2p

2pz

pM

2pzp

Q2111

1kQM

ωω−+ω=ω

−ωω≈ ( )[ ]

( )[ ] 2p

2pz

pM

2pzp

Q2111

1kQM

ωω−+ω=ω

ωω−≈

2

2

Funciones de transferencia...(VI)( )( )H s k

s Q s

s Q sk

s s Qs s QAP

p p p

p p p

n n p

n n p( ) =

− +

+ +=

− +

+ +

2 2

2 2

2

2

11

ω ω

ω ω( )s sn p= ω

• Paso-todo.

n pAP n 2

n

Q( ) 2 arctg ;

1ω

φ ω = −−ω ( )

τ ω ω τ ωω

n AP n p AP np

n

Q Q, ( ) ( )= =

+2 1

1

2

2 2 2

31

( )ω ω− +n n p

Sensibilidad

• En el diseño de filtros activos hay muchos posibles circuitos para un mismo filtro. Por eso necesitamos características que nos permitan elegir.

• En los filtros activos es importante conocer las variaciones que puede haber en la función cuando se modifica un elemento del circuito.

• Además, ha de conocerse la relación entre variaciones de componentes y variaciones de características del filtro.

Sensibilidad (II)

• Definición:

• Dónde P es un parámetro del filtro (Q, ωo, etc.) y x es normalmente un componente del circuito que puede variar. Aunque podría ser también la temperatura, la humedad, etc.

Px

x P(s, x)SP x∂

=∂

Variabilidad

• Para variaciones pequeñas de los componentes se define la VARIABILIDAD como:

• Que es el cambio porcentual o relativo de Pdebido a un determinado cambio porcentual o relativo de x

∆ ∆PP

S xxx

P=

Propiedades de la sensibilidad

1.2.3.4.

S S xkx

kxkx

xkx= = =1 1 ya que

S n S xkx

n k x nxkx

xkx

nnn n

= = =− ya que 1

S S Sx

P PP

dPdx

PdPdx

xP

dPdx

xP

dPdx

S SxP P

xP

xP

xP P

xP

xP1 2 1 2 1 2 1 2

1 21

22

1

1

1

2

2= + = +

= + = + ya que S

S S SxP P

xP

xP1 2 1 2= − ya que:

Sx

P P

PdPdx

PdPdx

Px

P PP

dPdx

PdPdx

xP

dPdx

xP

dPdx

S SxP P

xP1 2 1 2

1 2

21

12

22

1 22

11

2

1

1

2

2=−

= −

= − = − x

P

Propiedades de ...(II)

5.6.7.8.9.

S S S xkP

k dPdx

SxkP

xP

xkP

xP1 1 1 1

1

1= = = ya que

S Pk P

S S xk P

dPdx

Pk P

xP

dPdx

Pk P

Sxk P

xP

xk P

xP+ +=

+=

+=

+=

+1 1 1 11

1 1

1 1

1 1

1 1

1

ya que

( )1 2 1 2P P P Px 1 x 2 x

1 2

1S PS P S P P

+ + = + ++ +

S nS S xP

n P dPdx

nSxP

xP

xP

nn

xPn n

1 1 1 1

11

1 1= = =− ya que

( )( ) ( )S S SxP P x

PP

xP1 2

2

1 2= siendo P = f P y P = f(x)1 2 2

( )( )SxP

dPdP

dPdx

xP

dPdP

dPdx

PP

PP

dPdP

xP

dPdx

S SxP P x

PP

xP1 2

2

1 2

1

1

2

2

1

1

2

2 2

2

2

1

1

2 2

2= = = ⋅ = ⋅

:

Sensibilidad de la función de transferencia

• Ahora estudiaremos como afectan las variaciones de los componentes a las funciones de transferencia, en especial a la posición de polos y ceros que son los que influyen en las características de los filtros.

• Sacaremos también conclusiones sobre como de sensible será un filtro en función de su orden y de su función de aproximación.

Sensibilidad de la función...(II)

• Partiremos de la expresión de la función de transferencia según sus polos y ceros.

• Para simplificar los cálculos aplicamos logaritmos:

• Y derivamos:

( )( ) ( )( )( ) ( )

1 2 m

1 2 n

s z s z s zH(s) k

− − −=

− − −

( ) ( ) ( )m n

i ii 1 i 1

Ln H(s) Ln k Ln s z Ln s p= =

= + − − −∑ ∑

1 1 1 11 1H s

dH sdx k

dkdx s z

dzdx s p

dpdxi

i

i

m

ii

ni

( )( )

= +−

−

− −

−

= =

∑ ∑

s p s p s p

Sensibilidad de la función...(III)

• Por último multiplicamos por x.

• E identificamos:

• Donde aparece la sensibilidad semirelativa:

xH s

dH sdx

xk

dkdx

xs z

dzdx

xs p

dpdxi

i

i

m

ii

ni

( )( )

= +−

−

− −

−

= =

∑ ∑1 1

S S Qs z

Qs px

H sxk x

z

ii

mxp

ii

ni i( ) = −

−+

−= =∑ ∑

1 1

Q x dP s xdxx

P =( , )

Sensibilidad de la función...(IV)

• La última expresión de la sensibilidad indica que un desplazamiento de un polo o cero influye más fuertemente en la función de transferencia en las proximidades de los polos o ceros (s - zi ó s - pi tenderán a cero)

Sensibilidad en filtros de orden superior

• El valor de la sensibilidad será muy grande en las proximidades de los polos y ceros, por tanto, en filtros de orden grande la sensibilidad dentro de la banda de paso será generalmente alta ya que los polos del filtro estarán situados en dicha banda cerca del eje jω.

Sx

N s D sD s

N s xx

N sD s

xS

Qs z

Qs px

Hxk x

z

ii

mxp

ii

ni i

= −

= −

−+

−= =∑ ∑( ) ( )

( )( , )

( )( )∂

∂∂∂ 1 1

Sensibilidad en filtros...(II)• En una realización directa de un filtro de orden superior

las sensibilidades de H serán muy grandes.• Con un diseño en cascada se pretende conseguir que cada

elemento x influya únicamente en un par de polos y/o par de ceros.

H s VV

VV

VV

VV

VV

VV

H H H H Hout

in in

outn

n n

n n( ) = = =−

− −−

1 2

1

3

2

1

2 11 2 3 1

2

2 2

2 2

i

i

HH Hx H xS S S=

SHH

dHdH

HH

H H H H HHH i

i

ii ii n= =

=− +1 2 1 1

21

iHx

Hx SS =

Estructuras de primer orden

• Paso-bajo.

C 00 i

T i

1 1Z V 1sC RCV V 1 1Z V sRC 1R ssC RC

= ⇒ = = =++ +

Estructuras de primer orden (II)

• Paso-bajo.

H sR C

sR C

( ) =−

+

1

11

2

Estructuras de primer orden (III)

• Paso-alto.

0R0 i

T i

VZ R sRC sV V 1 1Z V sRC 1R ssC RC

= ⇒ = = =++ +

Estructuras de segundo orden

• Para obtener una sección de segundo orden se pueden utilizar diferentes técnicas, que pueden clasificarse en:

1. Estructuras con un único A.O..Sallen-KeyRaouch

2. Estructuras con varios AA.OO..KHNTow-Thomas.

3. Estructuras con Conversores de impedancia generalizados.

Sallen-Key

• Estructura general.

( )( )VV

KYYY Y Y Y Y Y KY Yi

0 1 3

1 2 3 4 3 4 2 3

=+ + + −

Sallen-Key. Paso-BajoY G Y C s Y G Y C s1 1 2 2 3 3 4 4= = = =; ; ;

VV

KR R C C

sK

R C R C R Cs

R R C Ci

0 1 3 2 4

2

3 4 1 2 3 2 1 3 2 4

1 1 1 1=

+−

+ +

+

ω01 3 2 4

1=

R R C C

( )1 3 2 4

3 4 1 4 1 2

R R C CQ

R C R C 1 K R C=

+ + −

Sallen-Key. Paso-Bajo (II)

• Sensibilidad:S S0 0 0 0

1 3 2 4R R C C1S S2

ω ω ω ω= = = = −

0KS 0ω =

( )4

Q 1 2C

3 4

R C1S 1 K Q2 R C

= − + −

Q 1 2K

3 4

R CS KQR C

=

1

Q 3 4R

1 2

R C1S Q2 R C

= − +

( )3

Q 1 4 1 2R

3 2 3 4

R C R C1S Q 1 K2 R C R C

= − + + −

2

Q 31 4C 1 2

3 2 4

RR C1S Q R C2 R C C

= − + +

Sallen-Key. Paso-Bajo (III)

• Ejemplos de diseño.1. Diseño simple.

C2 = C4 = 1 FR1 = R3 = R

Sensibilidades:

0

1R =ω

1K 3Q

= −

1

QR

1S Q2

= − +

3

QR

1S Q2

= −

2

QC

1S 2Q2

= − +

4

QC

1S 2Q2

= −

QKS 3Q 1= −

Sallen-Key. Paso-Bajo (IV)

2. Diseño de baja sensibildad.K = 1 (seguidor)R1 = R3 = 1 Ω

Sensibilidad

Dispersión de valores

20

2QC =ω 4

0

1C2Q

=ω

1

QRS 0=

3

QRS 0=

2

QC

1S2

=4

QC

1S2

= −

22

4

C 4QC

=

Sallen-Key. Paso-alto

Y C s Y G Y C s Y G1 1 2 2 3 3 4 4= = = =; ; ;

ω02 4 1 3

1=

R R C CVV

Ks

sK

R C R C R Cs

R R C Ci

02

2

2 1 4 3 4 1 2 4 1 3

1 1 1 1=

+−

+ +

+

( )2 4 1 3

2 3 2 1 4 3

R R C CQ

R C R C 1 K R C=

+ + −

Sallen-Key. Paso-bandaY G Y C s Y C s Y G1 1 2 2 3 3 4 4= = = =; ; ;

( )

( )

VV

KsK R C

sK R C R C R C

sK R R C C

i

0 1 2

2

1 2 4 3 4 2 1 4 2 3

11

11 1 1 1

1

=−

+−

+ +

+

−

No realizable con operacionales

Sallen-Key. Paso-banda(II)

1 20

1 2 4 3 5

R RR R R C C

+ω =

( )( )

1 2 4 3 5 1 2

1 4 3 2 4 3 1 2 3 1 2 5

R R R C C R RQ

1 K R R C R R C R R C R R C+

=− + + +

0 1 5

2i 1 2

2 5 1 5 4 5 4 3 1 2 4 3 5

K sV R CV R R1 K 1 1 1s s

R C R C R C R C R R R C C

= +−

+ + + + +

Sallen-Key. Paso-banda(III)

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

3 4 1 20

i 2 2 1

1 2 3 4 3 1 2 5 1 2 1 2 3 4 3 5 4 1 2

KC sR C C CV

V 1 K C C1 1 1s sC C R C R C C R C C C C R C R R C C C

+=

−+ + + + + + + + + +

( )3 5 4 1 2

5 2 5 4 3 4 5 1

R R C (C C )Q

1 K R C R C R C R C+

=− + + +0

3 5 4 1 2

1R R C (C C )

ω =+

Sallen-Key. Configuraciones no válidas

VV

K' ss K' si

02=+ '

VV

K' ss K'i

0 =+ '

Raouch

• Estructura general.

( )VV

YYY Y Y Y Y Y Yi

0 1 3

5 1 2 3 4 3 4

= −+ + + +

Raouch. Paso-Bajo

VV

C C R R

sC R C R C R

sC C R R

i

0 1 2 1 2

2

1 1 1 2 1 3 1 2 3 2

1

1 1 1 1= −

+ + +

+

ω01 2 3 2

1=

C C R R

1

2 2 3 32

1 3 2

C 1QC R R RR

R R R

=

+ +

Raouch. Paso-Bajo(II)

• Sensibilidad:

3

2 3Q 32 2R

R R RC RQS2 C R R R

= − − +

0

1RS 0ω =1 1 3 2

0 0 0 0

2 3 1 2R R C C1S S S S2

ω ω ω ω= = = = −

1 2

Q QC C

1S S2

= − =

1

2 3Q 2R

1 1

R RCS QC R

=

2

2 3Q 32 2R

1 1 3 2

R R RC RQS2 C R R R

= − + −

1

QRS 1<

2

QR

1S2

<3

QR

1S2

<

Raouch. Paso-Bajo(III)

• Como hemos visto las sensibilidades en esta sección son bajas.

• ¿Qué ocurre con la dispersión de valores en los componentes?.

R R R R1 2 3= = =

VV

C C R

sC R

sC C R

i

0 1 22

2

1 1 22

1

3 1= −+ +

ω01 2

1=

R C C

1

2

C1Q3 C

=

21 2C 9Q C=

Raouch. Paso-alto

ω01 2 2 3

1=

R R C CVV

CC

s

sC C C

R C Cs

R R C Ci

0

1

3

2

2 1 2 3

2 2 3 1 2 2 3

1= −+

+ ++

( )2 2 3

1 1 2 3

R C C 1QR C C C

=+ +

Raouch. Paso-Banda(I)

( )1321132

1232

11

i

0

CCRR1s

CCRCCC

s

sCR

1

VV

+++

+−=

( )

++

++

−=

21123123

122

11

i

0

R1

R1

CCR1s

CCRCC

s

sCR

1

VV

Raouch. Paso-Banda(II)

21313211

2

23

i

0

CCRR1s

R1

R1

R1

C1s

sCR1

VV

+

+++

−=( )

( )312212131

2

1322

i

0

CCCRR1s

R1

R1

CC1s

sCC1CR

1

VV

++

+

++

+−=

El filtro activo resonador KHN

A

0

V 1V RCs

= −21

0 1 2

2 2i2 2

1 2

2R sV R R

2R 1 1V s sR R RC R C

+=

+ ++ B

A

V 1V RCs

= −

El filtro activo resonador KHN(II)

• Sensibilidad. Analizamos con los índices de todos los componentes.

VV

RR

R RR R R R C C

sRR

R RR R R C

sRR R R C C

B

i=

⋅++

⋅

+ ⋅++

⋅ + ⋅

4

5

5 6

3 4 1 2 1 2

2 3

5

5 6

3 4 1 1

6

5 1 2 1 2

1

1 1

ω 06

5 1 2 1 2

1= ⋅

RR R R C C

QRR

R RR R

R R CR R C

= ⋅++

5

3

3 4

5 6

6 1 1

5 2 2

El filtro activo resonador KHN(II)

• Sensibilidades. Pequeñas y dependen poco de los componentes.

S SR R3

0

4

0 0ω ω= =

S S S S S SR R R R C C1

0

2

0

5

0

6

0

1

0

2

012

ω ω ω ω ω ω= = = − = = = −

S S S SRQ

RQ

CQ

CQ

1 2 1 2

12

= − = = − =

S SR

R RRQ

RQ

3 4

4

3 4= − = −

+

( )S SR RR RR

QRQ

5 6

6 5

5 62= − = −

−+

Filtro Resonador de Tow-Thomas

A 4 1

2i

1 1 2 3 1 2

1 sV R C

1 1V s sR C R R C C

= −+ +

B A B 2 4 2 1

2i i A

1 1 2 3 1 2

1V V V R R C C

s 1V V V sR C R R C C

= =+ +

Filtro Resonador de Tow-Thomas(II)

• Ventajas: 1. Todos los operacionales con una patilla a masa.2. Fácil ajuste de los parámetros.

ω02 3 2 1

31

= ⇒R R C C

Ajuste o R con R2

ωω0

1 11 1 0 1

1

2 3 21

1Q R C

Q R C R CR R C

Ajuste con R= ⇒ = = ⇒

11

44

32

4

RKR

Ajuste con RRKR

= − ⇒=

Filtro Resonador de Tow-Thomas(III)

• Ventajas:3. Baja sensibilidad.

• Desventaja. Se pierde la salida paso alto.