Departamento de Física - Condensadores y Dieléctricos...3.- Condensador Esférico: Se compone de...

Concepto de Capacidad.

Tipos de Condensadores.

Asociación de Condensadores.

Energía de un Condensador.

Condensador plano-paralelo con Dieléctrico.

Comportamiento microscópico de un Dieléctrico.

BIBLIOGRAFÍA- Alonso; Finn. "Física ". Cap. 25. Addison-Wesley Iberoamericana.

- Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 23. McGraw-Hill.

- Halliday; Resnick. "Fundamentos de física". Cap. 30. CECSA.

- Roller; Blum. "Física". Cap. 29. Reverté.

- Serway. "Física". Cap. 26. McGraw-Hill.

- Tipler. "Física". Cap. 21. Reverté.

Condensadores y Dieléctricos

Concepto de Capacidad

Utilidad: Almacenamiento de carga y energía en loscircuitos. La propiedad que caracteriza estealmacenamiento es la Capacidad Eléctrica.

Construcción de un Condensador: Dos conductores aislados(placas) de forma arbitraria, con cargas +q y –q.

Un Condensador secaracteriza por la cargade cualquiera de losconductores y por ladiferencia de Potencialque existe entre ellos.a b

+q -q

Cómo se Carga un Condensador: Conectando las dos placasa los terminales de unabatería

De esta forma, los portadores de carga se mueven de una placa a otrahasta que se alcanza el equilibrio Electrostático. Así, la diferencia dePotencial entre las placas es la misma que entre los terminales de labatería.

La relación ente la Carga y el Potencial es unacaracterística propia de cada Condensador, por lo que sedefine la Capacidad del Condensador como

VqC = Unidades en el S.I.: Faradio (F)

Tipos de Condensadores

1.- Condensador de placas plano-paralelas

Vamos a calcular la capacidad para tres tipos de Condensadores. En cada caso debemos encontrar la diferencia de Potencial, V, entre las placas de dicho Condensador.

Suponiendo cada placa como un planoinfinito, el Campo Eléctrico creado por cadaplaca es σ/2εo, luego el Campo total entrelas placas es

C t e

A

q

E

oo=

ε=

εσ=

La capacidad será A d qq

VqC

oε==

/

y A d qd EV

oε==

dA C oε=

Líneas de Campo Eléctrico entre las placas de un Condensador

2.- Condensador Cilíndrico: Se compone de un alambre deradio a y una corteza cilíndricade radio b concéntrica con elalambre.

∫ ⋅−=b

ardEV

Siendo E el Campo Eléctrico enla zona entre los dosconductores. Podemos calcularesta Campo Eléctrico aplicandoel Teorema de Gauss.

o

qsdEε

=⋅∫ int

o

qrL Eε

=π int2rL

q Eoπε

=2

∫∫ =⋅−=b

a

b

adr ErdEV

ab

Lq

rdr

Lq V

o

b

ao

ln22 πε

=πε

= ∫)/ln(

2abL

VqC oπε==

Cuanto mayor es la longitud delcilindro más carga es capaz deacumular

+ + ++

++

++

++

+ + + +

++

++

++

+

++

--

- -- --

-

--

-

-

E

a

b

3.- Condensador Esférico: Se compone de una esferaconductora interior de radio R1 yuna corteza esférica concéntricade radio R2.

Si suponemos que la esfera interior tiene carganegativa y la corteza está cargada positivamente,el Campo Eléctrico entre ambas, a una distancia r,será el de una Carga Puntual colocada en elcentro.

∫∫∫ −===⋅−=

2

1

2

1

2

1 21

122

R

R

R

R

R

R RRRRkqdr

rqkdr ErdEV

12

21

12

21 4)( RR

RRRRk

RRC o −πε=

−=

∞→2R Si Se define la Capacidad deun Condensador esféricoaislado como

RC oπε= 4

-q

+q

R1R2

Asociación de Condensadores

Condensadores en serie Regla general: La Diferencia dePotencial entre los extremos de uncierto número de dispositivosconectados en serie es la suma delas Diferencias de Potencial entrelos extremos de cada dispositivoindividual.

En este caso V=Vb-Va=V1+V2 y lacarga permanece constante, luego

22

11 C

qVy CqV == 21 VVV +=

)11(21 CC

qV +=VqCeq =

21

111CCCeq

+= ∑=i ieq CC

11

V

-q +q-q +qa b

V

V1

V2

Condensadores en ParaleloV

-q1 +q1

-q2 +q2

ba

V

V

Regla general: La Diferencia dePotencial entre los extremos de uncierto número de dispositivosconectados en paralelo es la mismapara todos ellos.

En este caso q = q1+q2 y es laDiferencia de Potencial la quepermanece constante, luego

VCqy V Cq 2211 == 21 qqq +=

)( 21 CCVq += 21 CCC +=

∑=i

ieq CC

Energía de un Condensador

Cuando se carga un Condensador con una batería, éstarealiza un trabajo al transportar los portadores de carga deuna placa a otra. Esto supone un aumento de EnergíaPotencial en los portadores que coincide con la EnergíaEléctrica almacenada en el Condensador. Se puedecomparar este efecto con la Energía almacenada en unmuelle comprimido. Esta Energía almacenada se recuperacuando se descarga el Condensador.

Si en un tiempo t se transfiere una carga q’(t) de una placa a otra, la ddp en este instante de tiempo será

CtqtV )(')( =

La transferencia de una carga extra dq’, requiere un trabajo extra que vendrá dado por

''')( dqCqdqtVdW ==

El proceso termina cuando toda la carga ha sido transferida y el sistema queda en equilibrio. El trabajo desarrollado en este proceso será

∫ ∫==q

dqCqdWW

0''

Este trabajo coincide con la Energía Eléctrica almacenada en el Condensador, luego

CqU

2

21

=

También se puede escribir como 2

21 CVU = qVU

21=o

Densidad de Energía: Se define como la cantidad deEnergía por unidad de volumen.

Para un Condensador de placas planoparalelas

d EVy dA C o =ε=

)(21

21

21 2222 AdEdE

dACVU o

o εε===

Volumen ocupado por el campo Eléctrico

2

21 Eoe εη =

Si en un punto del espacio (envacío) existe un Campo Eléctrico,puede pensarse que también hayalmacenada una cantidad deEnergía por unidad de volumenigual a esta expresión

Condensador Plano-paralelo con Dieléctrico

En 1837 Faraday investigó por primera vez el efecto dellenar el espacio entre las placas de un Condensador con unDieléctrico (material no Conductor), descubriendo que enestos casos la Capacidad aumenta.

Si el Dieléctrico ocupa todo el espacio entre las placas, laCapacidad aumenta en un factor κ, a la que llamamosConstante Dieléctrica.

Introducción de un Dieléctrico entre las placas de un Condensador

I

Dado un Condensador plano-paralelo de capacidad Co, seconecta a una pila con una diferencia de potencial Vo, deforma que la carga final que adquiere es qo = CoVo.

Si se desconecta el Condensador de la pila y se introduce undieléctrico que ocupe todo el espacio entre las placas, laDiferencia de Potencial disminuye en una cantidad κ, mientrasque la carga permanece constante, luego

ooo C

Vq

VqC κ=κ==

II Si se introduce un Dieléctrico con la pila conectada, ésta debesuministrar una carga adicional para mantener el Potencialconstante. La Carga total aumenta entonces en una cantidad κ,luego

oo

o

o

C Vq

VqC κ=κ==

Para un Condensador de placas plano-paralelas se puede escribir

dA

dA C o ε=κε=

Este resultado se puede generalizar para cualquier tipo de Condensador escribiendo

L C oεκ=

L es una constanteque depende de lageometría

Planoparalelo

Cilíndrico

dAL =

)/ln(2

ablL π=

Comportamiento Microscópico de un Dieléctrico

Las Cargas Ligadas o Cargas de Polarización son lasresponsables de la disminución del Campo Eléctrico entrelas placas de un Condensador cuando se introduce unDieléctrico. Dichas Cargas se encuentran en la superficiedel Dieléctrico.

Modelo Atómico simpleUna carga puntual +Ze rodeada poruna distribución esférica de carganegativa –Ze formada por electrones

-Ze

+Ze

0=oE

0=P

Si sometemos el átomo en un campo externo, éste ejerceuna fuerza en un sentido sobre el núcleo y en sentidoopuesto sobre los electrones. Así, la posición del núcleo ydel centro de distribución de las cargas negativas quedadesplazado.

+Ze

→oE

→P

Centro de distribución de cargas negativas En este caso el átomo adquiere

un momento dipolar inducido yentonces se dice que estápolarizado.

Moléculas PolaresAquellas que tienen un momentodipolar permanente (por ejemplo elagua).

Si colocamos un dieléctrico entre las placas de un Condensador plano-paralelo, se polariza a medida que se introduce en el seno delCondensador Aparece una densidad superficial de Carga en lascaras adyacentes a las placas del Condensador

0=oE

-

--

--

-

--

-

---

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

+

+

-

+

oE

+++++++

--------

--------

+++++++

-

-

-

+

+

++

+

+

+

+

+-

-

-

-

--

-

-

-+ +

+

σp

oE

--------

--------

+++++++

+++++++

σ

pE

El Campo Eléctrico total es, en este caso )i(EiEE po

−+=

En módulo, el Campo total disminuye

po EEE −=Simulación

+-

+-+-+-

+q -q

E0

Dieléctricos

E’

-q’ +q’

E

'0 EEE −=

00

)'(.εε

qqqsdE enc −==∫∫

00

')'(εσσ

εσσ −

=⇒−

= ESSE

PDSi

== 'σσ PED

+= 0ε

EPEP

χε 0=⇒∝ ( ) EED

εεχ =+= 01

D: Desplazamiento P: Polarización

χ : susceptibilidad, ε : permitividad en medio

rεεεχ =Κ==+

0

)1( constante dieléctrica

EDEP

ε

χε

=

= 0

( ) ( ) EKEEEEPE χεεεεσεσ

000000

1'''' =−=−===⇒=

qqqqSSPSE =+⇒−=== )11('''0

00 χχ

σεχε

ε

)11(')1('K

qqqq −=⇒=+ χχqqK

qK=⇒∞=∞=

=⇒==')(0')0(1

χχ

Ley de Gauss en dieléctricos∫∫ −= '.0 qqSdE

ε

∫∫

−−= )11(1.0 K

qSdD

εε ∫∫ = qSdD

.

∫∫

−−= )11(1.

00 K

qSdP

χεε ∫∫ = '. qSdP

Kq

Kqq χ

=−= )11(' ∫∫ = '. qSdP

0CKC =

E

P

D D D

E0E0

+q -q

odieléctricconEDodieléctricsinED

εε

== 00

KVV

KEE

EE 00001 =⇒=⇒=

εε

KV

qVqC

0

==

La introducción de un dieléctrico en un condensador multiplica la capacidad por K

dS

dSKC εε == 0

Valores

Material K CampoRuptura

V/mAire 3 106

Pilicarbonato 2,8 3 107

Poliéster 3,3 6 107

Vidrio pirex 4,7 1 107

Al introducir dieléctrico V cte en bornes de C

Hasta ahora C aislado (q cte); que pasa si conectado a V?

C

ε

KCCC 00 =→

Cargas de polarización en dieléctrico tienden a reducir el campo pero como este está fijado por ε, la batería termi-na reforzando las cargas en C

KCCKqq 00 =⇒→

Capacitor aislado Capacitor conectado a V2

000 21 VCEP =

KVVVKCCC 0

000 =→=→

KE

KVKCVCE P

P0

2

2

00

2

21

21

===

Introduciendo un dieléctrico

000 VVKCCC ==→

0

2

002

21

21

PP EKVKCVCE ===

Introduciendo un dieléctrico

ε2ε1

E1E2

Condiciones de borde en límite entre dieléctricos

h∫ = 0. ldE

∫∫ =−⇒→ 0..0 21 ldEldEh

21 tt EE =

siempre

∫∫ == 0.0ε

qSdE si q =0 en

superficie ε2

ε1

E2

E1

h

∫∫∫∫ =−⇒→ 0..0 11 SdESdEh

21 NN EE =

Si no hay cargas libres en superficie

Ejemplos DDD nn == 21

2022

1011 K

DDEK

DDEεεεε

====

+=+=+=

2

2

1

1

0221121 K

dKdDdEdEVVV

ε

K2K1

d2d1

K1

K2

+=+=

2

2

1

1

020

2

10

1 11Kd

Kd

SSKd

SKd

C εεε

2 condensadores en serie

SKd

KdD

qV

C σε

+

== 2

2

1

1

01

EEE nn == 21 EKDEKD 202101 εε ==σ1

σ2

dEV =

2 condensadores en paralelo

≠≠∆=

Cq

V

0=→∞= Vr

Esfera cargada con q en volumen

Cáscara dieléctrica

aire Cáscara conductoraε

r2 r1r3r4

20

21 4;

rqErrrεπ

=<<

−+

−+=

23240

11111114 rrrrrqV

εεπ

4043 4

;0;4

4 rqdrEdrEVErrr

r r

r επ∫ ∫∞

=−−==<<

−+==<<

3402

032

1114

;4

;rrr

qVr

qErrrεπεπ

( )22

102132400

1 61111111

4;

3; rr

rrrrrqVrErr −+

−+

−+==<

ερ

εεπερ

∫∞

=−==>r

rqdrEV

rqErr

02

04 44 επεπ

A t=0 q en exte-rior de cáscara

Con V esfera interior se carga en sup.

Esfera conductora descargada

Cáscara dieléctrica

Cáscara conductora inicialmente con qε

En interior de cáscara aparece -q1 y en exterior q+q1

r2 r1r3

V

101110

4)(4 11

rVqrrVr

qV ri

r επεπ

=⇒<==

20

132

1211 4

)(,0)(,4

)(,0)(r

qqrrEcascEr

qrrrErrEεπεπ+

=>==<<=<

−+=⇒−=−<< ∫

1

12

121

1144

;1

11 rr

qVVr

drqVVrrr rr

r

rrr επεπ

232 rVcteVrrr ==⇒<<

−

++

−+=>

30

1

12

13

114

1141 rr

qqrr

qVVrr r επεπ