View
298
Download
2
Category
Preview:
Citation preview
MAESTRÍA EN INGENIERÍA ESTRUCTURAL
UNITEC
CURSO
COMPORTAMIENTO DEL CONCRETO
MAESTRO
DR. JOAQUÍN E. TORRE M.
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural i Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
DATOS GENERALES DEL CURSO:
OBJETIVOS:
Utilizar los métodos para la solución de los problemas relacionados con la revisión de elementos
estructurales a partir de las ecuaciones físicas, de equilibrio y de compatibilidad.
Comprender los aspectos generales del comportamiento del hormigón estructural como vía
para la interpretación de la hipótesis básica de diseño de elementos estructurales en cualquier
normativa.
Comprensión y seguimiento de la normativa hondureña.
Tiempo de clases = 40 horas
EVALUACIÓN:
1. Examen escrito #1……………. 42%
2. Examen escrito #2……………. 42%
3. Tareas………………………………. 10%
4. Participación……………………. 6%
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:
Nilson, Arthur (1999) Diseño de estructuras de concreto 12ª ed. Edit. McGraw Hill Interamericana, Bogotá, Colombia
Comité técnico (2008) Código Hondureño de la Construcción Colegio de Ingenieros Civiles de Honduras, Tegucigalpa, Honduras
Paulay, T.; Priestley M. (1992) Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings Edit. John Wiley and Sons, Inc. N. Y., U. S. A.
Fanella, D.; Rabbat, B (2002) Notes on ACI‐318‐02 Buiding Code Requirements Portland Cement Association, Skokie, Ill, U.S.A.
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural ii Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
CONTENIDO E ÍNDICE INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………………………………………………… 1 HORMIGÓN………………………………………………………………………………………………………………………………. 2 Control de calidad y ensayos en el hormigón..…………………………………………………………….. 3 Armaduras de acero……………………………………………………………………………………………………. 4 MECÁNICA DEL HORMIGÓN ARMADO……………………………………………………………………………………… 5 Compresión axial……………………….………………………………………………………………………………... 6 Comportamiento elástico………………….…………………………………………………………………………. 7 Comportamiento inelástico…………….……………………………………………………………………………. 8 Rotura………………………………..…………………………………………………………………………………………. 8 Tracción axial………………………………………….…………………………………………………………………….. 9 Especificaciones y suposiciones de diseño……..……………………………………………………………… 9 Resistencia de diseño………………..………………………………………………………………………………….. 10 Flexión………………………………………………………………………………………………………………………….. 12 Estados de carga…….………………………………………………………………………………………. 13 Tensiones elásticas, sección no agrietada…………………………………………… 14 Tensiones elásticas, sección agrietada…………………………………………………. 15 Tensiones inelásticas, rotura………………………………………………………………. 17 Distribución de tensiones de compresión en el hormigón……………………………….. 20 Distribución de esfuerzos: Bloque rectangular equivalente……………………………… 22 Cortante y tensión diagonal………………………………………………………………………………………….. 23 Adherencia y anclaje……………………………………………………………………………………………………… 27
Torsión………………………………………………………………………………………………………………………….. 28 Flexocompresión…………………………………………………………………………………………………………… 29
VIGAS…………………………………………………………………….………………………………………………………………….. 31 VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS (CON REFUERZO EN COMPRESIÓN)………………………………….. 57 VIGAS “T”…………………………………………………………………….……………………………………………………………. 60 LOSAS…………………………………………………………………….…………………………………………………………………. 64 Losas unidireccionales………………………………………………………………………………………………….. 64
Losas trabajando en dos direcciones…………………………………………………………………………….. 69 Esfuerzo cortante en losas…………………………………………………………………………………………….. 78
ZAPATAS…………………………………………………….……………………………………………………………………………… 88 MUROS DE RETENCIÓN…………………………….………………………………………………………………………………. 95 MUROS DE CORTANTE……..………………………………………………………………………………………………………. 103 COLUMNAS………………………………………………………………………………………………………………………………. 109
Columnas con flexión en un sentido…………….……………………………………………………………… 111 Columnas con flexión en dos sentidos…………………….…………………………………………..…….. 119 Método del contorno de carga………………………………………………………………………… 120 Método de la carga inversa……………………………………………………………………………… 120 Columnas largas………………….………….…………………………………………………………………..……… 123
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 1 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
INTRODUCCIÓN Este documento es la guía del curso “Comportamiento del concreto” que se imparte en el programa de Maestría en ingeniería estructural en UNITEC. Contiene todos los temas del sílabo de la asignatura y es en sí, en el orden en que se presenta en el documento, el mismo orden en que servirá la asignatura por parte del catedrático. La asignatura tiene por objetivo general, que el estudiante adquiera completa comprensión sobre el comportamiento del hormigón en los diferentes tipos de miembros que componen una estructura y las normativas vigentes respecto a las consideraciones que deben de observarse en el proyecto de estructuras de hormigón reforzado, tomando como casos de estudio y discusión, estructuras reales, incluso, las existentes en el medio, de manera que puedan ser apreciadas y discutidas sobre la observación de detalles y configuración estructural teniendo a la vista la estructura real. No es objetivo de este curso, el diseño de mezclas, control de calidad de la dosificación de las mezclas ni de la colocación de las mismas. Se pretende a lo largo de la asignatura, que el estudiante, en la medida en que comprenda el contenido de este curso, sea capaz de desarrollar los algoritmos para sistematizar el análisis y el proceso de diseño de miembros de hormigón reforzado y a la vez que comprenda las restricciones y recomendaciones de la normativa vigente y los textos más reconocidos respecto del tema. La metodología a seguir, será, primeramente estudiar la mecánica de los miembros de hormigón en los puntos fundamentales (Flexión, cortante, torsión, carga axial) y luego, por medio de ejemplos, desarrollar para diferentes tipos de miembros (vigas, losas, columnas, muros, etc) el diseño observando la normativa del Código Hondureño de la Construcción (CHOC‐2008), para lo que el estudiante deberá ir dando seguimiento a esta norma en lo procedente. El curso está diseñado para ser impartido en 40 horas y para que la cátedra sea magistral, permitiendo la interacción con los estudiantes entre tema y tema por medio de ejercicios y discusiones en clase. Por otro lado, y con el espíritu de afianzar los conocimientos, se han programado tareas, las cuales forman parte de la evaluación que el estudiante recibirá. Estas tareas deberán ser presentadas por el estudiante para discusión con sus compañeros de aula y el catedrático.
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 2 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
HORMIGÓN Generalmente se encuentra en los textos la definición del hormigón como: “Un material con aspecto de
piedra obtenido, permitiendo que una mezcla cuidadosamente proporcionada de cemento, arena, grava
u otros áridos y agua, se endurezca dentro de moldes de la forma y dimensiones deseada”.
El proceso de producción del hormigón inicia con la investigación de sus componentes con los que se
cuenta, tales como el cemento, el agua y los áridos de los que se debe identificar sus propiedades para
con estas poder realizar el diseño de la mezcla que deberá ser probada en laboratorio antes de darse
por buena. No es correcto tomar el diseño de una mezcla, en el que se indican las proporciones de cada
uno de los componentes, que deberán mezclarse para obtener un hormigón de determinadas
características, para aplicarlo en cualquier caso y en cualquier lugar. Cada caso tendrá su propio diseño
de acuerdo a las características particulares de sus componentes.
Una vez que el diseño de la mezcla se ha probado y ha sido aceptada, es necesario el cuidadoso proceso
de dosificación y control de calidad para asegurar la obtención de los requerimientos del hormigón.
Luego y no menos importante, es la colocación del mismo, la cual requiere de control, desde su manejo
entre el equipo de mezclado o transporte al pie de la obra, hasta la colocación del mismo en los moldes
correspondientes. Esto último significa, controlar la temperatura del hormigón durante la colocación, la
exposición al viento o a otros agentes climáticos, como la lluvia o la temperatura ambiente; la
compactación y finalmente el curado del hormigón.
Es importante entender que el proceso de curado, no por ser el último paso en la producción y
colocación del hormigón, no tiene importancia. Al hormigón se le llama “hidráulico” debido a que el
aglutinante (el cemento) reacciona con aguay cuando la mezcla se realiza, agregando agua como parte
del proceso, para iniciar la reacción, es en el proceso de curado, que toma aproximadamente hasta 7
días, que se logra la hidratación necesaria de las partículas de cemento para obtener el hormigón de las
particularidades deseadas, de manera que no poner atención al proceso de curado puede dar por
resultado, hormigón con propiedades inadecuadas respecto de las requeridas, aún cuando el diseño de
la mezcla y su manejo y colocación hayan sido aceptables.
Los factores que hacen del hormigón un material de construcción universal, son tan importantes que
este material ha sido utilizado, en formas más primitivas que las actuales, durante miles de años, a partir
probablemente de la antigüedad egipcia. Uno de estos factores es la facilidad con que puede hacérsele
rellenar moldes de casi cualquier forma mientras aún tiene una consistencia plástica. También son
factores importantes, su elevada resistencia al fuego y a los elementos naturales. Por otro lado, es un
material relativamente frágil, cuya resistencia a la tracción es pequeña comparada con la resistencia que
tiene a la compresión, lo que hace imposible su uso económico en elementos estructurales que están
sometidos a tracción por completo o en parte de sus secciones transversales.
Para poder hacer uso del hormigón en elementos cuyas secciones pudieran estar sometidas a tracción,
tales como las vigas en flexión, en la segunda mitad del siglo XIX, se encontró posible la utilización del
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 3 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
acero, que tiene una elevada resistencia a la tracción, para armar las secciones de hormigón en las
zonas en que el elemento estructural estuviera sometido a tracción. Estas armaduras o refuerzo, son por
lo general varillas de acero de sección cilíndrica, las cuales se comercializan en diferentes diámetros y
hasta en diferentes especificaciones. La combinación resultante del hormigón, como antes fue descrito,
con las armaduras de acero, se llama “hormigón reforzado” también conocido como “hormigón
armado” o “concreto armado”, permitiendo, esta combinación, el uso casi ilimitado del mismo, como
material de construcción en obras tales como puentes, edificios, presas, tanques, depósitos y otros tipo
de estructuras.
Control de calidad y ensayos en el hormigón:
La calidad de los materiales producidos en fábrica, como el acero laminado, está garantizado por el
fabricante quien debe de realizar control sistemático de la calidad usualmente especificado por normas
adecuadas como la ASTM (American Society for Testing and Materials), el hormigón en cambio, se
produce en la obra o cerca de ella, siendo así, afectada por un cierto número de factores, por lo que es
necesario aplicar un control sistemático de calidad en la obra.
La principal medida de calidad del hormigón, es su resistencia a la compresión, que se realiza en
probetas cilíndricas de altura igual al doble de su diámetro, las cuales deben de ser llenadas siguiendo
un proceso normado y en moldes especiales también normados.
Si se dosifica el hormigón de manera que su resistencia promedio fuera justamente a la resistencia a la
compresión requerida, no pasaría con éxito las pruebas de control de calidad debido a que
aproximadamente, la mitad de los resultados de los ensayos de resistencia, estarían por debajo de la
resistencia requerida o resistencia de proyecto, por lo tanto, es necesario dosificar el hormigón de
manera que la resistencia media, sea superior a la resistencia de proyecto. Este valor mínimo solo puede
determinarse por medios estadísticos, debido a la aleatoriedad con que se presentan las dispersiones en
los ensayos. Para ellos se establecen exigencias que limitan la probabilidad de que se obtengan
resistencias no satisfactorias así:
Probabilidad de un 1% de que la resistencia de un ensayo individual sea inferior a la resistencia de proyecto en más de 35 Kg/cm2
Probabilidad de un 1% de que el valor medio de tres ensayos consecutivos, sea inferior a la resistencia de proyecto.
Probabilidad de un 10% de que la resistencia de un ensayo individual escogido al azar, sea inferior a la resistencia de proyecto.
La resistencia de proyecto se especifica como la resistencia del hormigón a la edad de 28 días y se
designa por “ ’ ”
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 4 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Armaduras de acero:
Comparado con el hormigón, el acero es un material de elevada resistencia. La resistencia útil de los
aceros ordinarios, tanto en compresión como en tracción, es decir, su resistencia a la fluencia, es del
orden de diez veces la resistencia a la compresión del hormigón o del orden de 100 veces su resistencia
a la tracción.
Para que la acción de la armadura tenga su máxima eficacia como parte del elemento estructural, es
necesario que tanto el hormigón como el acero se deformen juntos y para esto, es necesario que exista
la adherencia suficiente entre ambos materiales para que no se produzcan movimientos relativos entre
ellos. Esta adherencia se debe a la adherencia química relativamente grande que se produce en la
superficie de contacto acero‐hormigón y a la rugosidad de las barras de acero tanto natural como la que
se le provee en el proceso de laminación en caliente a la que se les llama “corrugaciones” las cuales
están normadas por instituciones como la ASTM.
Otras características adicionales que permiten el satisfactorio trabajo en colaboración del acero y el
hormigón, son:
Coeficientes de dilatación térmica de ambos materiales. (Aproximadamente 0.000012 para el
acero y 0.000010 para el hormigón) que son suficientemente similares para evitar el
agrietamiento y otros efectos indeseables debidos a deformaciones térmicas diferentes.
La resistencia a la corrosión del acero es mala, sin embargo el hormigón que lo rodea lo protege
de una forma excelente.
El acero tiene una elevada conductividad térmica y su resistencia se reduce notablemente a
temperaturas elevadas, en cambio, la conductividad térmica del hormigón es relativamente
baja, de manera que si al acero se le provee de un adecuado recubrimiento, el hormigón le
ofrece el aislamiento térmico suficiente.
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 5 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
MECÁNICA DEL HORMIGÓN ARMADO
El trabajo principal del ingeniero de estructuras de hormigón, es el proyecto de las mismas,
entendiéndose por proyecto la determinación de la forma general y de todas las dimensiones
específicas de una estructura en particular en cada uno de sus componentes, de forma que pueda
realizar la función para la cual se creó y resista con seguridad las cargas o solicitaciones que actúen
sobre ella a lo largo de su vida útil.
La mecánica estructural es una de las principales herramientas en este proceso de proyecto y se
entiende por esto, al conjunto de conocimientos científicos que permiten predecir con cierta seguridad
como se comportará una estructura de forma y dimensiones dadas cuando esté sometida a fuerzas o
cargas mecánicas conocidas.
Las proposiciones fundamentales en que se basa la mecánica del hormigón armado son las siguientes:
1. Las fuerzas internas, tales como, momentos flectores, esfuerzos cortantes y tensiones normales
y cortantes, en cualquier sección de un elemento, están en equilibrio con los efectos de las
cargas exteriores en esta sección.
2. La deformación de una barra de armadura incluida en la sección de hormigón es de la misma
magnitud que la del hormigón que le rodea, es decir, se supone que hay un perfecto enlace
entre el hormigón y el acero en su superficie de contacto de tal forma que no pueda ocurrir un
deslizamiento entre ambos materiales.
3. Las secciones transversales que eran planas antes de someter la estructura a la acción de las
cargas, continúan siéndolo después de la aplicación de estas. Esta hipótesis se ha demostrado
que no es exacta, sin embargo, las desviaciones encontradas son usualmente de pequeña
importancia y los resultados de una teoría basada en esta hipótesis concuerda bien con los
resultados de los ensayos correspondientes.
4. Como la resistencia a la tracción del hormigón es solo una pequeña parte de su resistencia a la
compresión, el hormigón, en la parte del elemento sometido a tracción, está agrietado, aunque
estas grietas son generalmente tan estrechas en los elementos correctamente proyectados, que
resultan difícilmente visibles y se les conoce como grietas capilares, por lo tanto, se supone que
el hormigón es incapaz de resistir tensiones de tracción. Esta hipótesis es una simplificación de
la situación real, ya que el hormigón antes de agrietarse si está contribuyendo aún cuando en
una muy pequeña magnitud.
5. Los métodos de análisis más modernos reconocen el comportamiento no elástico de los
materiales constitutivos (hormigón y acero) para las tensiones más elevadas y esto concuerda
con el comportamiento real de la estructura y con información experimental muy amplia.
Estás hipótesis permiten predecir por medio del cálculo, el comportamiento del hormigón armado en
algunos casos sencillos, por lo que los métodos de proyecto y comprobación, aunque hacen uso de estas
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 6 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
hipótesis, se basan fundamentalmente en los resultados de una amplia y continuada investigación
experimental.
Compresión axial:
Cuando se aplica una carga axial, la deformación por compresión es la misma en toda la sección
transversal y, como consecuencia de la adherencia entre el hormigón y el acero, es idéntica en ambos
materiales. La gráfico 1 muestra la curva característica tensión‐deformación para el acero con un punto
de fluencia fy =2,800 Kg/cm2 y la gráfico 2 muestra la curva característica tensión‐deformación de un
hormigón de f’c =210 Kg/cm2.
Gráfico 1: Curva característica tensión‐deformación unitaria del acero fy=2,800Kg/cm2
0
500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030
Tensiones en el acero, fs (Kg/cm
2)
Deformación unitaria del acero
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 7 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Gráfico 2: Curva característica tensión‐deformación unitaria del hormigón f’c=210 Kg/cm2
En el gráfico 2, la curva continua representa el ensayo en una probeta cilíndrica, donde la velocidad de la
carga es considerablemente superior a la que realmente se da en la mayoría de las estructuras. Con una
curva en trazos se representa la característica del mismo hormigón con la aplicación de la carga lenta y
continua, en la que, la máxima resistencia en compresión disponible es aproximadamente 0.85f’c.
Comportamiento elástico:
Para tensiones de hasta aproximadamente ’ /2 se puede apreciar en el gráfico 2, que el hormigón se comporta casi elásticamente (curva intermedia de doble trazo), es decir, las
tensiones y las deformaciones son linealmente proporcionales.
Como la deformación para el hormigón por compresión, para cualquier carga es igual a la
deformación por compresión del acero, podemos decir:
= = =
0
50
100
150
200
250
0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003
Tensiones en el horm
igón, fs (Kg/cm
2)
Deformación unitaria del hormigón
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 8 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Donde,
c es la deformación unitaria del hormigón
es el módulo de elasticidad del hormigón
es la tensión en el hormigón
s es la deformación unitaria del acero
es el módulo de elasticidad del acero
es la tensión en el acero
Y con esto, podemos obtener la relación entre las tensiones del acero y del hormigón de la
siguiente forma:
= =
Donde es llamado “relación modular” y con lo que es posible definir una sección
transformada.
Comportamiento inelástico:
Como se aprecia en el gráfico 2, las relaciones elásticas no es posible usarlas para deformaciones
superiores a aproximadamente 0.0005, ya que la relación tensión‐deformación del hormigón
deja de ser aproximadamente lineal
Rotura:
La máxima carga que la estructura soportará, se le conoce como “carga de rotura”. En cuanto al
acero, este alcanza su carga máxima con deformaciones unitarias de 0.08, el hormigón por el
contrario, para deformaciones unitarias mucho menores, del orden de 0.003.
En compresión axial, como ya se dijo, las deformaciones en el acero y en el hormigón, son
iguales, y la carga a la que empieza a fluir el acero puede calcularse a partir de la información
del gráfico 1, esto es: =
Donde es el esfuerzo de fluencia del acero.
La tensión en el hormigón puede deducirse de la curva a trazos del gráfico 2, sin embargo, al
proyectar esta deformación sobre la curva, se puede observar que la misma sigue creciendo más
allá de esta deformación, por lo que la carga puede aumentarse aún hasta que alcanza la carga
de rotura de este hormigón para una deformación de aproximadamente 0.002. Se ha deducido
de muchos ensayos, que esta resistencia vale 0.85 ’ como ya se explicó antes.
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 9 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Podemos entonces deducir, que si la deformación de fluencia del acero, es menor que la
deformación para la que el hormigón alcanza su tensión de rotura (0.85 ’ ), entonces el acero comenzará a fluir y continuará haciéndolo hasta que el hormigón alcance esta tensión y
comience a quebrarse, de manera que la carga de rotura para un elemento en compresión pura
será: = 0.85 ′ +
Donde:
es el área de la sección de hormigón
es el área del acero de refuerzo
Tracción axial:
Como ya se dijo, la capacidad del hormigón en tracción es una pequeña parte de su capacidad en
compresión, de lo que se deduce que el hormigón no es el material más adecuado para utilizarlo en
elementos sometidos a tracción.
Cuando la carga en tracción es suficientemente pequeña, para que la tensión en el hormigón esté por
debajo de su resistencia en tracción,, tanto el acero como el hormigón se comportan elásticamente, de
manera que las expresiones antes estudiadas son válidas, pero cuando la carga crece y el hormigón
alcanza su resistencia en tracción (del orden de la décima parte de lo que puede soportar en
compresión) este se agrieta en la totalidad de la sección transversal y cuando esto sucede, deja de
resistir cualquier tensión aplicada y el acero es quien debe de resistir la totalidad de la fuerza, de
manera que en esta situación, la carga de rotura será:
=
Hay situaciones en las que se utiliza el hormigón armado en tracción, en condiciones en las que debe de
evitarse la aparición de grietas como en el caso de los depósitos de líquidos, en cuyo caso la tensión de
tracción en el hormigón debe ser tal, que se asegure no superar la resistencia en tracción del
hormigón.
El estudio completo de la mecánica de los elementos de hormigón reforzado incluye, además de lo
antes estudiado, la flexión; el cortante y tracción diagonal; la torsión; y esfuerzos combinados como la
flexocompresión que serán parte del desarrollo del curso.
Especificaciones y suposiciones de diseño:
El proyecto de estructuras de hormigón se lleva a cabo dentro del contexto de códigos o reglamentos
que dan requisitos específicos los materiales; el análisis estructural; el dimensionamiento de los
elementos y otros aspectos, que deberán ser observados. En Honduras existe el reglamento “Código
Hondureño de la Construcción, CHOC‐2008” que será el reglamento que usaremos en el estudio del
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 10 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
proyecto de estructuras de hormigón y que en esencia, es la misma normativa que la norteamericana
ACI‐318‐1994. (American Concrete Institute). Nuestro código establece las siguientes disposiciones de
seguridad:
Resistencia de diseño≥ Resistencia requerida, o bien ∅ ≥ donde es la resistencia nominal, es
la solicitación última de cualquier tipo y la letra griega ∅es un factor de resistencia que refleja la importancia probable de un elemento en particular en la supervivencia de la estructura y del control de
calidad probable alcanzado, de manera que se han asignado diferentes valores dependiendo del estado
del conocimiento del tipo de esfuerzo analizado.
Las solicitaciones se expresan por su tipo y en términos específicos: ∅ ≥ , momento ∅ ≥ , cortante ∅ ≥ , axial
Y las combinaciones de carga que deben de satisfacerse serán las indicadas en el artículo que son:
Combinación básica (artículo 2.9.2): = 1.4 + 1.7
Para viento (artículo 2.9.2.2): = 0.75(1.4 + 1.7 ± 1.7 ± 0.51 ) artículo 2.9.2.2 = 0.75(1.4 + 1.7 ± 0.51 ± 1.7 ) = 0.9 ± 1.3 ± 0.35 = 0.9 ± 0.35 ± 1.3
Para sismo (artículo 2.9.2.3): = 0.75(1.4 + 1.7 ± 1.87 ± 0.56 ) = 0.75(1.4 + 1.7 ± 0.56 ± 1.87 ) = 0.9 ± 1.43 ± 0.43 = 0.9 ± 0.43 ± 1.43
Para presión de tierra (artículo 2.9.2.4): = 1.4 + 1.7 + 1.7 = 0.9 + 1.7
Para presión de fluidos (artículo 2.9.2.5): = 1.4 + 1.7 + 1.4 = 0.75(1.4 + 1.7 + 1.4 ± 1.7 ± 0.51 ) = 0.75(1.4 + 1.7 + 1.4 ± 0.51 ± 1.7 ) = 0.75(1.4 + 1.7 + 1.4 ± 1.87 ± 0.56 ) = 0.75(1.4 + 1.7 + 1.4 ± 0.56 ± 1.87 ) = 1.4 + 1.7 + 1.4 + 1.7
Para efectos de asentamiento y otros (artículo 2.9.2.7): = 0.75(1.4 + 1.7 + 1.4 ) = 1.4( + )
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 11 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Donde:
representa las cargas permanentes
representa las cargas vivas o temporales
representa las cargas de viento en la dirección que indica el sub índice
representa las cargas de sismo en la dirección que indica el sub índice
representa las cargas de empuje de tierra
representa las cargas de empuje por fluidos
representa cualquiera de los efectos por asentamiento, flujo plástico, retracción, cambios de
temperatura, etc.
Los factores de resistencia, se definen en el CHOC‐2008 como (artículo 2.9.3):
Flexión sin carga axial…………………………….. ∅=0.90 Tracción axial con o sin flexión………………. ∅=0.90 Compresión axial con o sin flexión………… ∅=0.75 si tiene refuerzo en espiral Compresión axial con o sin flexión………… ∅=0.70 si no tiene refuerzo en espiral Cortante y torsión…………………………………. ∅=0.85
La aplicación conjunta de los factores de carga indicados en el artículo 2.9.2 y los factores de resistencia
del artículo 2.9.3, está orientada a obtener en forma aproximada, probabilidades de baja resistencia del
orden de 1/100 y probabilidades de sobrecarga de 1/1,000 lo que resulta en una probabilidad de falla
del orden de 1/100,000
_____Curso dMaestrDr. Joa
FLEXIÓ
Debido
homog
misma
esencia
1.
2.
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
ÓN
o a que las vig
géneas y por
s de otros
almente, los m
Una sección
sea, los ala
proporciona
La tensión
forma dada
El diagrama
posiciones
las indicativ
antes estab
P no se cu
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
gas de hormi
ello, los mét
materiales
mismos. Esto
n transversal
argamientos u
ales a la dista
por flexión e
a por el diagra
a anterior m
de esfuerzos
vas del límite
blecido es váli
mple lo antes
____________Concreto al C
gón armado,
todos de aná
como el ac
os principios s
que era plan
unitarios en
ancia a esta fi
en cualquier
ama de tensió
uestra la cur
con sus resp
de proporcio
ido pero si el
s establecido
Fi
___________
por estar com
lisis de su co
cero pero lo
on:
na antes de c
una viga, po
bra.
punto, depen
ón‐deformaci
rva caracterís
pectivas defor
onalidad. Par
máximo alar
.
gura 1: Estad
___________
mpuestas de
omportamien
os principios
cargar el elem
or arriba y po
nde del alarg
ión del mater
stica de un
rmaciones un
ra cualquier e
rgamiento en
dos de carga
____________
dos material
to difieren d
s fundament
mento, sigue
or debajo de
gamiento en
rial. Esto se ex
material en
nitarias, siend
esfuerzo men
n las fibras ex
___________
les diferentes
e los usados
tales utilizad
e siéndolo de
e la fibra neu
este punto,
xplica así:
donde se ind
do las del sub
nor que este l
teriores es su
_______
12
s, no son
para las
dos, son
espués, o
utra, son
según la
dica tres
bíndice p
límite, lo
uperior a
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 13 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
En la figura 1 se pueden apreciar dos estados de carga, siendo el de la izquierda el
correspondiente a cualquier esfuerzo máximo menor que el del límite de proporcionalidad y el
de la derecha para esfuerzos máximos superiores al del límite de proporcionalidad
3. La distribución de tensiones cortantes en el espesor de la sección, depende de la forma de la
sección y del diagrama tensión‐deformación y son máximas en el eje neutro y nulas en las fibras
exteriores.
4. Debido a la acción conjunta de las tensiones cortantes tanto horizontales como verticales y de
las tensiones de flexión, en cualquier punto de la viga hay tensiones inclinadas de tracción y
compresión, siendo las mayores las que forman un ángulo recto entre sí.
5. Cuando las tensiones en las fibras exteriores son inferiores al límite de proporcionalidad, la viga
se comporta elásticamente como el caso de la figura 1 izquierda, en cuyo caso se obtiene lo
siguiente:
a. El eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección transversal.
b. La intensidad de la tensión de flexión normal a la sección, aumenta de forma
directamente proporcional a la distancia del eje neutro y es máxima en las fibras
exteriores. Esta tensión en cualquier punto, puede encontrarse por medio de la
expresión: = =
Donde,
es el momento flector aplicado a la viga,
es la distancia desde el eje neutro hasta el punto de interés es el momento de inercia de la sección transversal
es el módulo resistente de la sección transversal.
c. La tensión cortante en cualquier punto de la sección se encuentra por medio de la
siguiente expresión: =
Donde,
es la fuerza cortante aplicada es el momento estático respecto del eje neutro
es el ancho de la viga.
Estados de carga:
Como ya antes se explicó, debido a la poca capacidad que tienen las vigas de hormigón de resistir
tensiones de tracción, es necesario, para poder obtener de ellas la mejor eficiencia, colocar barras de
acero en las zonas de la viga donde hayan estas tensiones, las cuales se colocan tan cerca como sea
posible de la fibra externa dejando el recubrimiento adecuado para proveer a este acero, la protección
contra la corrosión y el fuego. Se supone que entre este acero de refuerzo y el hormigón que lo rodea,
_____Curso dMaestrDr. Joa
existe
materi
Toman
cualqu
tres es
Tensio
Mientr
distrib
1 de la
existe
deform
Ejempl
Una vig
con tre
el eje d
es ’ =las bar
Las tre
mód
mód
Relació
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
una perfect
ales.
ndo una viga
ier valor entr
tados de carg
ones elásticas
ras la tensión
ución de tens
a izquierda, e
otro materi
mación, la ten
lo:
ga simplemen
es barras #8 e
de las barras,
= 280 Kg/cm2
ras es = 4,2
s barras #8 ti
dulo de elasti
dulo de elasti
ón modular
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
ta ligadura d
de sección re
re cero y la ne
ga que se des
s. Sección no
de tracción e
siones y defo
es decir, ese
al adicional
nsión en el ace
nte apoyada
en su fibra inf
, ha sido cons2 con una res
200Kg/cm2. D
enen un área
icidad del hor
icidad del ace= , ,, .
Fig
____________Concreto al C
de tal forma
ectangular sim
ecesaria para
scriben a cont
agrietada (Pr
en el hormigó
ormaciones se
encialmente e
al hormigón
ero será n vec
de sección re
ferior a las qu
struida con u
istencia a la t
eterminar las
a total de 3x5
rmigón es
ero es = 2= 8.31
gura 2: secció
___________
a que no ha
mplemente a
producir la r
tinuación:
rimer estado
ón es inferior
erá linealmen
elástica y hom
n, que es el
ces superior a
ectangular de
ue se les ha d
n hormigón d
tracción fct =3
s tensiones p
.1=15.30cm2= 15,100√2,100,000Kg/
ón transforma
___________
abrán desliz
poyada, se co
rotura de la v
de cargas):
al módulo de
nte proporcio
mogénea con
acero de re
a la del horm
e 25cm de bas
dejado un rec
del que la res
33.5 Kg/cm2 y
roducidas po
280 = 252,6/cm
ada no agriet
____________
amientos re
oloca una car
viga. En este p
e rotura no a
onal como la m
n la diferenc
efuerzo. Para
igón.
se y 60cm de
cubrimiento d
sistencia a co
y el límite de
r un moment
71.33Kg/cm
tada
___________
lativos entre
rga que pued
proceso ident
parecerán gr
mostrada en
cia que en es
a cualquier v
peralte tota
de 5cm medid
ompresión de
fluencia del
to flector de 6
m
_______
14
e ambos
de ser de
tificamos
ietas y la
la figura
ste caso,
valor de
l armada
do desde
l cilindro
acero de
6 Ton‐m.
_____Curso dMaestrDr. Joa
Sección
Centro
Rectán
Y del Á
Mome
Á
Esfuerz
Esfuerz
Por lo q
Tensio
Si en l
supera
deja de
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
n transforma
oide de la secc
ngulo, A=60x2
Área agregada
nto de inercia=25 ∗=44.02 ∗Ó
zo en la fibra
zo en la fibra
que no se for
ones elásticas
la misma vig
a el módulo d
e aportar resi
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
da ( − 1)ción:
25=1,500cm2,
a=55cm, =a: = 450,00∗ . = 60.1= 450,0inferior =superior
rmarán grieta
s. Sección agr
ga antes estu
e rotura ,istencia a la t
____________Concreto al C
= (8.31 − 1 = 30cm, = 111.86 ∗ 5= 45,0001,50000cm 1cm 000 + 60.11== , (, .= , ( ., .as
rietada (Segu
udiada seguim
se forman g
racción, siend
Figura 3: pa
___________
1)15.30 = 11= 1,500 ∗5 = 6,152.360 + 6,152.360 + 111.86
+ (25 ∗ 60 ∗515,120.85 . ) = 32.93) = 36.93K
ndo estado d
mos aumenta
rietas similar
do esta absor
atrón de griet
___________
11.86cm
∗ 30 = 45,006cm 6 = 31.73cm
∗ (31.73 − 30cm
3Kg/cm en Kg/cm en co
de cargas):
ando la carg
es a las most
rbida exclusiv
tas en flexión
____________
00cm
m
0) ) + (111.8 tracción < 33
ompresión
a, cuando la
tradas en la f
vamente por e
n
___________
86 ∗ (55 − 33.5 Kg/cm2
a tensión de
igura 3 y el h
el acero de re
_______
15
1.73) )
tracción
hormigón
efuerzo.
_____Curso dMaestrDr. Joa
Si la te
ambos
genera
las grie
que las
de esfu
Como t
decir, l
viga, es
Para d
debe d
es deci
Resolv
podem
cálculo
Estas d
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
ensión en el h
s materiales
al se presenta
etas llegan ha
s secciones co
uerzo como la
toda la porció
la porción de
sta porción d
eterminar la
de ser el mism
ir:
iendo esta e
mos determin
o de los esfue
dos fuerzas de
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
hormigón es
continúan, a
a en estructu
asta el centro
ontinúan sien
a mostrada e
Figura 4
ón de la secci
e la sección q
ebe de consid
posición de
mo pero de s
ecuación cua
ar el momen
rzos en la mis
==eben de ser ig
=____________Concreto al C
inferior a ′ /proximadame
ras sometida
oide de la sec
ndo planas aú
n la figura 4.
4: Sección ag
ión que está
ue se encuen
derarse como
l eje neutro,
igno contrari
( )2drática enco
nto de inercia
sma. Las sigu
fuerza tot
fuerza total
guales para sa
= , m
___________
/2 y la tensió
ente, compo
as a cargas no
cción donde s
ún en el elem
rietada. Segu
sometida a t
ntra agrietad
o ausente.
el momento
o al moment
− ( −ntramos la p
a y las demás
ientes expres
tal en compre
l en tracción
atisfacer el eq
momento pro
___________
ón en el acero
ortándose elá
ormales de se
se encuentra
mento flectado
undo estado d
tracciones po
a, no puede
o que propor
to que propo
) = 0 posición del
s propiedades
siones, permi
esión
quilibrio inter
oporcionado p
____________
o no alcanza
ásticamente,
ervicio y en d
el eje neutro
o, presentánd
de cargas
or encima del
aportar nada
rciona alred
rciona alre
eje neutro,
s de la secció
iten estos cál
rno de la secc
por el acero
___________
el punto de
situación qu
donde se sup
o, además, se
dose una dist
módulo de ro
a a la capacid
dedor del eje
dedor del mi
con lo que
ón requeridas
culos:
ción.
_______
16
fluencia,
e por lo
pone que
e supone
tribución
otura, es
dad de la
e neutro
smo eje,
también
s para el
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 17 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Y como el momento proporcionado por el acero debe de ser igual que el proporcionado por el hormigón
para poder satisfacer la condición de equilibrio interno, entonces: = = = , momento resistente proporcionado por el hormigón
De donde se puede, entonces, deducir:
La tensión en el acero como =
La tensión en el hormigón como =
Donde = 1 − , de acuerdo con la figura 4
Ejemplo:
Para la misma viga antes estudiada, pero ahora sometida a un momento flector de 12 Ton‐m, calcular
sus tensiones.
Posición del eje neutro: = 8.31 ∗ 15.3 ∗ 25 ∗ 55 = 6,992.865 Resolviendo la ecuación 37,812.50 + 6,992.865 − 6,992.865 = 0, = 0.3474
Por tanto
= 1 − . = 0.8841 = 0.3474 ∗ 55 = 19.107cm = , ,. ∗ . ∗ = 1,612.79Kg/cm , tensión máxima en el acero
La tensión máxima en el hormigón será: = , ,. ∗ ∗ ∗ . ∗ . = 103.33 /cm , compresión fibra superior
Obsérvese que el momento flector solo es del doble, pero las tensiones en el hormigón crecieron de
36.93Kg/cm2 a 103.33Kg/cm2 en compresión (2.8 veces).
Tensiones inelásticas. Resistencia a rotura (Tercer estado de cargas):
Después de haber estudiado muchas curvas de tensión‐deformación se ha demostrado que la forma de
las mismas varía mucho y depende de muchos factores tales como: la resistencia del cilindro, ritmo de
aplicación y duración de la carga, etc., razón por lo que aún no se ha podido desarrollar una teoría
totalmente racional de la flexión en rotura, así que los métodos de análisis se basan en parte, en los
principios mecánicos conocidos y suplementados por una amplia información experimental (información
empírica).
Si la distribución de tensiones de compresión en el hormigón para cargas de rotura o muy próximas a
ella, tuviera una forma bien definida (como una parábola por ejemplo), el cálculo de las tensiones sería
_____Curso dMaestrDr. Joa
mucho
obtene
Aún no
rectang
la rot
inmedi
En una
fuerza
Y el em
compr
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
o más sencillo
er una teoría
o se conoce
gulares, se ha
ura. Nuestro
iatamente an
a viga rectan
total en com
mplazamiento
esión como
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
o, tanto como
completamen
Figura 5: te
exactamente
a logrado me
o reglament
ntes de la rotu
gular, la sup
presión es C,
o de , la dis
. Los valore
Gr
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0
____________Concreto al C
o lo es cuando
nte racional d
nsiones y def
e el criterio d
dir deformac
to (CHOC‐20
ura, es decir,
erficie que e
la cual puede
stancia desde
es de y se
áfico 3: valor
100 20
___________
o se trabaja e
del análisis.
formaciones e
de la rotura d
ciones del ord
008) acepta
cuando está a
está en comp
e calcularse c
= ′e la fibra ext
e pueden obte
res empíricos
00 300
___________
en el segundo
en tercer esta
del hormigón
den de 0.003
la deforma
a punto de ap
presión es
con la siguien
terna hasta l
ener de la sig
en función d
400
α
β
____________
o estado de ca
ado de cargas
n en compres
a 0.004 inme
ación de 0
plastarse.
(de acuerdo
te expresión:
a ubicación
guiente gráfica
e f´c
500 600
___________
argas, pudién
s
sión, pero pa
ediatamente
.003 como
con la figur
:
de la fuerza
a:
0
_______
18
ndose así
ara vigas
antes de
máxima
a 5) y la
total en
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 19 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
O bien, pueden ser calculados por medio de: = 0.72 − ( ´ − 280)0.04/70 = 0.0.425 − ( ´ − 280)0.025/70
Que son valores obtenidos experimentalmente y con los cuales es posible hacer el análisis en rotura.
El equilibrio exige que: =
O sea ′ =
Y por lo tanto = = ( − ) = = ( − )
En la rotura en tracción, o sea, por fluencia del acero ( = ), así que sustituyendo en las ecuaciones de equilibrio, encontramos la distancia a la fibra neutra como: = ′ = ′
El momento de rotura entonces será: = 1 −
Con lo que, para hormigones con ′ ≤ 280Kg/cm , el momento de rotura será:
= 1 − 0.59
Donde es el porcentaje metálico o cuantía metálica =
Por el otro lado, para la rotura en compresión el criterio es que la deformación de compresión del
hormigón valga = 0.003 como antes se indicó y como cuando eso sucede, la tensión en el acero aún
no ha alcanzado el punto de fluencia, es proporcional a la deformación del acero, de manera, que se
acuerdo con la Ley de Hooke: =
Así que, siguiendo la distribución de deformaciones mostrada en la figura 5, la distancia a la fibra neutra,
por aplicación de triángulos semejantes, será:
= + = 0.003+ 0.003
La sustitución del valor de c calculado en esta expresión en las ecuaciones de equilibrio por momento
antes mostradas, determina el valor del momento de rotura de una viga cuyo refuerzo es tal, que la
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 20 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
rotura se produce por aplastamiento del hormigón. Como ya se indicó antes, este tipo de falla es
explosiva y sin previo aviso, motivo por el cual nuestro reglamento exige que la falla se produzca por
fluencia del acero lo que se logra con cuantías lo suficientemente pequeñas, para que, en caso de
exceso de carga del elemento, se obtengan señales previas a la rotura tales como fisuras.
Existe un nivel de armado que produce la falla balanceada, que es aquel cuya cuantía metálica es tal que
la rotura se produce por aplastamiento del hormigón y por fluencia del acero en forma simultánea. En
este caso, el porcentaje metálico es posible encontrarlo:
= 0.003+ 0.003 ∗ ′
Nuestro reglamento exige que todos los miembros en flexión tengan una cuantía máxima menor o igual
al 75% de la cuantía balanceada, es decir: á = 0.75
Distribución de tensiones de compresión en el hormigón:
Como antes se explicó, modelar matemáticamente el diagrama esfuerzo‐deformación del hormigón
resulta sumamente complejo debido a la gran cantidad de factores que afectan la respuesta tales como,
la edad, la resistencia del hormigón, velocidad de aplicación de la carga y otros. Para dar solución a este
problema, muchos científicos se han dado a la tarea de investigar al respecto, resaltando entre ellos,
Hognestad, Harson y McHenry y Rüsh entre otros.
Función parabólica:
Propuesta por Collins y se destaca por su sencillez. La función está definida por: = 2 −
Donde
es la deformación unitaria del hormigón
es la deformación unitaria del acero cuando este alcanza su máxima capacidad resistente
El problema de esta propuesta está en la simetría que presenta la función, ya que para > 0.002 no es real
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 21 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Hognestad
Considerado junto con Rüsh, el modelo que más se acerca al comportamiento tenso‐
deformacional del hormigón además que su modelo, al ser muy sencillo, goza de gran
popularidad
Este modelo está compuesto por el acoplamiento de una parábola y una función lineal:
= 2 − válido para valores de ≤ 1 = 1.15 − 0.15 válido para valores de 1 < ≤ 2
Rüsh
El trabajo de Rüsh ha sido aceptado y complementado con otras hipótesis por el Eurocódigo y
difiere de otros trabajos en que considera ´ como constante para valores de ≥ 1
Ejemplo:
Para la viga cuya sección es la misma del ejemplo anterior, determinar el máximo momento que soporta
y discutir los resultados.
= = 15.3025 ∗ 55 = 0.0111 = 0.003+ 0.003 ∗ ′ = 0.003 ∗ 0.724,2002,100,000 + 0.003 ∗ 2804,200 = 0.0288
Como < entonces la falla será por fluencia del acero, de manera que debemos investigar esta
condición.
= ′ = 0.0111 ∗ 4,2000.72 ∗ 280 ∗ 55 = 12.75cm
Nótese que la posición del eje neutro es aún menor que en el mismo ejemplo analizado en el segundo
estado de cargas:
Posición del eje neutro medido desde la fibra superior de la viga
1er estado de cargas 2do estado de cargas 3er estado de cargas = rotura
31.73cm 19.107cm 12.75cm
_____Curso dMaestrDr. Joa
Valor q
carga.
Distrib
Con el
experim
rectang
interpr
que se
varieda
Este al
los Est
válidas
valores
lo sigu
Y
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
= = 15.30= 31.86
que es much
bución de esfu
l método an
mental, es po
gular, sin em
retación. Por
e ha comprob
ad de tipos de
goritmo fue i
ados Unidos
s para cualqu
s obtenidos p
iente:
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
1 − 0.590 ∗ 4,200 ∗ 56Ton − m
o mayor que
uerzos: bloqu
terior que s
osible a cualq
mbargo, pued
esta razón s
bado, con un
e secciones y
Figura 6: R
inicialmente p
de América.
uier hormigó
por el método
____________Concreto al C
5 1 − 0.59 ∗2e los valores
ue rectangula
e derivó de
quier situació
de volverse
se ha desarro
amplio núm
condiciones
Representació
propuesto po
La figura 6 m
ón con ′ ≤o anterior. Pa
= = 0= 0.85 −
___________
∗ 4,20080 0.011con que se a
ar equivalent
los concepto
ón distinta a
muy complej
ollado el algo
ero de result
de carga, que
ón del bloque
or C. S. Whitn
muestra el blo280Kg/cmara resistenc
0.85si ′ ≤− 280
___________
11 = 3,186,analizó la mi
te
os básicos d
la de una vig
ja y consecu
oritmo del blo
tados de estu
e sus resultad
e rectangular
ney y posterio
oque rectang
y da por re
ias más eleva
280Kg/cm∗ 0.05/70
____________
254.99Kg −sma viga en
de la mecáni
ga tan simple
uentemente
oque rectang
udios experim
dos son acept
equivalente
ormente desa
ular equivale
esultado exa
adas del horm
___________
cm
los otros est
ca y de info
e como la de
inducir a err
gular equivale
mentales en u
tables.
arrollado por
ente y las exp
ctamente los
migón, deber
_______
22
tados de
ormación
e sección
rores de
ente, del
una gran
otros en
presiones
s mimos
rá usarse
_____Curso dMaestrDr. Joa
CORTA
Como
propor
tension
Observ
efectos
flexión
Tambié
de esf
posicio
figura 8
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
ANTE Y TENSI
ya se indicó
rcionales a la
nes producto
vando la figur
s de explicac
n.
én en la figur
fuerzos de c
ones: uno ubi
8.
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
ÓN DIAGONA
ó, cuando e
as deformacio
de la flexión,
ra 7, donde u
ción, se apre
Figura 7: Esf
ra 7 se muest
orte en el m
cado en cual
____________Concreto al C
AL
el material e
ones y en cu
, excepto en a
una viga se h
ecian las ten
fuerzos de co
tra un eleme
mismo. Estud
quier punto e
___________
está en la et
ualquier secc
aquellos punt
ha descompue
nsiones de co
rte en una vig
nto diferenci
diemos un e
en la fibra ne
___________
tapa elástica
ión actúan te
tos donde la
esto en dos s
orte que apa
ga rectangula
ial de ancho
elemento cua
eutro y otro f
____________
a, las tensio
ensiones de
fuerza cortan
separadas po
arecen como
ar homogéne
donde se
adrado de la
uera de esta,
___________
nes son line
corte ademá
nte es nula.
or su eje neut
o consecuenc
a
indica la dist
a viga en di
, como se ind
_______
23
ealmente
ás de las
tro, para
cia de la
tribución
iferentes
dica en la
_____Curso dMaestrDr. Joa
Puede
presen
aparec
las var
Las ten
hormig
flexión
diversa
neutra
tension
asegur
A med
que la
produc
para m
suficie
tension
especia
La arm
longitu
refuerz
consec
tension
tension
las grie
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
observarse q
ntes, el eleme
cen fuerzas en
as verticales.
nsiones de tra
gón, no se d
n, mostradas
as inclinacion
o a la acción
nes se conoc
rar la apropia
ida que la car
as tensiones
ciendo inmed
manejar la tra
nte resistenc
nes de tracc
almente cerc
madura para
udinal y cons
zo para las te
cuencia del e
nes alcanzan
nes de tracció
etas de flexión
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
que las tensi
ento no estar
n las caras ho
acción que ti
eben exclusi
en el elemen
es y magnitu
n combinada
en como “ten
da funcionab
rga aplicada e
de este tip
diatamente la
cción, aunqu
cia y las ten
ción diagona
a de los sopo
la tracción
secuentemen
ensiones diag
esfuerzo corta
magnitud su
ón locales. Es
n que son ver
____________Concreto al C
ones cortant
ría en equilibr
orizontales de
enen particu
vamente a la
nto 2. En tod
des debidas s
de esta con
nsiones diago
ilidad de la vi
en una viga, a
o son mayo
a rotura de la
e se formen g
siones corta
l de intensid
ortes.
se ha coloca
nte se coloca
gonales de tr
ante o de la
uficiente para
stas grietas s
rticales y que
___________
Figura 8
es verticales
rio pues esta
el elemento q
lar importanc
as tensiones
dos los punto
solamente a
la flexión en
onales” y deb
iga.
aumenta, apa
res que las
a viga, sin em
grietas de tra
ntes crecerá
dad apreciab
ado de tal f
a cerca de la
racción en la
combinación
a abrir grieta
on conocidas
se producen
___________
actúan sobr
ría girando, p
que son iguale
cia debido a
horizontales
os de la viga
la cortadura
cualquier pu
ben de ser co
arecerá una g
de la capac
mbargo, si est
acción debido
proporciona
ble en las z
forma que e
a fibra extre
viga que se
n de este con
s de tracción
s como “griet
n en las zonas
____________
re él pero si
por tanto, pa
es en magnit
la poca capa
s de tracción
existen tens
en los puntos
nto fuera de
ompensadas
grieta de trac
cidad en tra
tá presente la
o a la flexión,
almente a la
onas de alto
es eficaz par
ema en tracc
producen en
n la flexión.
n en dirección
tas diagonale
s de grandes m
___________
solo estas es
ra lograr el e
tud a las pres
acidad en trac
n f producida
siones de tra
s a lo largo de
la fibra neut
adecuadame
ción en los p
acción del ho
a armadura n
el acero pro
as cargas cr
o esfuerzo c
a resistir la
ción pero no
n otros punt
Eventualmen
n perpendicu
es” y se distin
momentos fle
_______
24
stuvieran
equilibrio
entes en
cción del
as por la
cción de
e la fibra
tra, estas
nte para
untos en
ormigón,
necesaria
oveerá la
reándose
cortante,
tracción
o provee
os como
nte estas
ular a las
nguen de
ectores.
_____Curso dMaestrDr. Joa
En la f
cuando
cuando
En un p
algún
pequeñ
No se
por tan
media
esfuerz
Es imp
forma
debe d
“armad
ambos
efectos
demue
grietas
sección
1.
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
figura 9, en e
o los moment
o, tanto el esf
punto en que
agrietamient
ño, por tanto
conoce aún,
nto la expres
de las tensio
zo cortantes s
portante y de
repentina y e
de utilizarse
dura del alma
s que pueden
s apreciables
estran que es
s y que, despu
n, debido a lo
Parte del es
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
Figura
el diagrama s
tos flectores
fuerzo cortan
e la fuerza co
to por flexió
o, el valor med
la distribució
sión antes ex
ones de cort
serán mayore
eseable, que
explosiva, qu
una armadur
a”. Esta por l
n colocarse e
s antes de
ste acero prá
ués de que es
o siguiente:
sfuerzo cortan
____________Concreto al C
9: grietas po
uperior se pu
son pequeño
nte como los d
rtante sea
n antes de
dio de la tens
ón exacta de
puesta debe
tante en la s
es.
las estructur
ue es la forma
ra especial p
o general co
n forma vert
la formació
cticamente n
stas se han fo
nte es absorb
___________
r cortante y p
ueden apreci
os y en el diag
de flexión, so
grande y el m
la aparición
sión de cortan=
las tensiones
de tomarse
ección, de m
as, en caso d
a de falla car
ara poder re
nsiste de ani
ical o inclina
n de las gr
no está some
ormado, la arm
bido por las b
___________
por cortante y
ar grietas pro
grama inferio
on grandes.
momento flec
de la grieta
nte, antes de
s cortantes a
simplemente
manera que e
de una sobre
racterística de
esistir los esf
llos abiertos
da. La armad
rietas diagon
etido a tensio
madura aume
arras que atr
____________
y flexión
oducidas por
or se aprecian
ctor sea pe
diagonal de
la aparición d
lo largo de la
e como un ín
en la fibra ne
ecarga excesi
e la falla por
fuerzos corta
o cerrados o
dura a esfuer
nales, de he
ones antes de
enta la resiste
raviesan una g
___________
r el esfuerzo
n el sistema d
equeño, si se
e tracción, e
de la grieta se
a sección tra
ndice de la in
eutra, los val
va, no se rom
r cortante, po
ntes, conocid
o una combin
rzo cortante
cho, las me
e la formació
encia a corta
grieta en part
_______
25
cortante
e grietas
produce
este será
erá:
nsversal,
tensidad
lores del
mpan de
or lo que
da como
ación de
no tiene
ediciones
ón de las
nte de la
ticular.
_____Curso dMaestrDr. Joa
2.
3.
Como
tensión
por cor
Donde
Cuando
porció
tracció
Donde
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
La presenc
penetración
Los anillos
hormigón,
longitudina
cortante ab
la armadura
n que produc
rtante, de ma
es la fue
o el agrietam
n dada de la
ón en el anillo
es el núme
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
ia de estas
n en la zona d
se disponen
lo que prod
l con respec
bsorbida por l
Figura
del alma no t
ce el agrietam
anera que est
=erza cortante
miento aparec
viga donde
o. El equilibrio
ero de anillos
____________Concreto al C
barras impid
de compresió
n de tal form
duce cierta r
cto al hormig
a acción de p
10: Fuerzas q
trabaja en un
miento de esta
ta, se encuent
= 0.50bajo la que s
ce, cada anillo
es la secc
o es entonces
+ que atravies
___________
de el crecim
n, lo que deja
ma, que enla
restricción d
gón que la
pasador.
que actúan e
a sección no
a es la misma
tra por medio
0 + 175e observó la f
o que atravie
ión transvers
:
+san la grieta
___________
iento de las
a más hormig
azan la arma
el deslizamie
rodea y aum
n una fisura d
agrietada, la
a que cuando
o de:
′ ′ ≤ 0formación de
esa una griet
sal de cada r
=
____________
s grietas diag
gón no agrieta
adura longitu
ento a lo la
menta la pro
diagonal
magnitud de
o la viga no tie
.93 ′ e la grieta
a, ejerce una
rama del anil
___________
gonales y re
ado disponibl
udinal a la m
rgo de la a
oporción de
el esfuerzo co
ene anillos o
a fuerza
lo es la te
_______
26
educe su
le.
masa de
rmadura
esfuerzo
ortante o
refuerzo
sobre la
nsión de
_____Curso dMaestrDr. Joa
ADHER
Analice
extrem
que de
indicad
la barr
Como
deben
igual m
Sea U,
Suponi
que so
materi
Donde
Cuando
las ba
fundam
hormig
La prin
desde
próxim
la barr
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
RENCIA Y ANC
emos un seg
mo será ligera
espués del ag
das en la figu
a
las barras de
de estar com
magnitud y dir
la magnitud
iendo que est
on del tipo c
ales, la tensió
∑ es la sum
o se produce
arras, estén
mentalmente
gón. El tipo ho
ncipal exigenc
cualquier pu
mo, debe de s
a fallará por f
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
CLAJE
gmento difere
amente difere
rietamiento e
ra 11 y el cam
eben de estar
mpensadas en
rección opues
de esta adhe
ta adherencia
cortadura y u
ón de adhere
ma de los perí
una falla po
estas en
a la acción d
orizontal de d
cia para la se
nto, en que
er igual al me
fluencia del a
____________Concreto al C
encial de vig
ente del mom
el hormigón n
mbio de mom
Figura 11
r en equilibri
n la superficie
sta que es la
rencia por un= ( += =
a por unidad d
uniformemen
ncia nominal
ímetros de to
r adherencia,
planos vert
e cuña en los
desgarramien
eguridad cont
la tensión de
enos a la long
cero de la ba
___________
ga como el m
mento en el o
no resiste ten
mento pro
: Segmento in
=o, esta modif
de contacto
producida po
nidad de long) − ==
de longitud, e
nte distribuid
será: = ∑ = ∑odas las barra
, éste da luga
ticales u ho
s puntos en q
nto comienza
tra los fallos
el acero alcan
gitud de desa
rra antes que
___________
mostrado en
otro extremo
nsiones de tra
oduce un cam
nfinitesimal
ficación de la
entre el acer
or la adherenc
itud de la bar
es la resultan
das sobre la
as.
ar a desgarram
orizontales.
que las corrug
usualmente
por adheren
nza un valor
arrollo de la b
e por adheren
____________
la figura 11
en una canti
acción, las fu
mbio en la fu
as fuerzas qu
ro y el hormig
cia entre los m
rra, entonces
nte de las tens
superficie d
miento del ho
Este desga
gaciones de la
con una griet
ncia es que la
dado, hasta
barra. Al sati
ncia.
___________
. El moment
idad , sup
erzas interna
uerza que act
ue actúan sob
gón por una f
materiales.
:
siones de adh
e contacto e
ormigón a lo
rramiento s
as barras pres
ta diagonal.
a longitud de
el extremo li
sfacer esta ex
_______
27
to en un
poniendo
as son las
úa sobre
bre ellas,
fuerza de
herencia,
entre los
largo de
se debe
sionan el
la barra
ibre más
xigencia,
_____Curso dMaestrDr. Joa
TORSIÓ
En un
elástico
una se
mitad d
Donde
Cuando
una fis
45º, es
las que
las grie
Para re
refuerz
ensayo
a la tor
Cuando
ligeram
como
próxim
hasta c
cualqu
algún
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
ÓN
elemento pr
o, la teoría cl
ección, como
de las caras m
es un facto
o las tension
sura en algún
sto es, perpen
e las traccione
etas, una supe
esistir la tors
zo por cortan
os han demos
rsión.
o los eleme
mente superio
si solo fuese
mas entre sí.
casi en un 5
ier aumento
punto del el
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
rismático som
ásica de Sain
puede aprec
más anchas y
or de forma y
es de tracció
punto accide
ndicular a las
es diagonales
erficie de rotu
ión, se coloc
nte, pero de
strado que la
entos están
or al del par d
una fisura a
Una vez fisu
0%, resistenc
del par, deb
emento, se
____________Concreto al C
metido a pare
nt Venant ind
ciarse en la f
son iguales a
y e son los
Figura 12: Ele
ón diagonales
entalmente m
s tensiones de
s son menore
ura completa
a armadura,
be de ser co
s barras long
adecuadame
del mismo ele
aunque realm
urado el elem
cia la armadu
be de ser sop
produce apla
___________
es iguales y o
ica que las te
igura 12, don
: =s lados meno
emento some
s superan la
más débil y se
e tracción dia
s, estas grieta
a en la viga qu
generalment
on anillos cer
itudinales po
ente armado
emento sin a
mente lo que
mento, la res
ura el resto
ortado por la
astamiento d
___________
opuestos e
ensiones corta
nde las corta
r y mayor de
etido a torsió
resistencia a
e propaga a t
agonal. En las
as son de me
ue hace que e
te compuesta
rrados y poco
or sí solas, ape
s, el elemen
armar y las fis
se forma es
istencia a to
de la solicita
a armadura y
del hormigón
____________
n cada extre
antes de tors
antes máxima
la sección, re
ón
a tracción del
través de la v
s caras estrec
enor inclinació
el elemento s
a de anillos c
o separados
enas contribu
nto se fisur
suras siguen
s un gran nú
orsión del ho
ación. A part
y la rotura se
. En un elem
___________
emo, si el ma
sión se distrib
as se present
espectivamen
l hormigón, s
viga práctica
chas de la sec
ón, formándo
e rompa.
como los usad
entre sí. Nu
uyen en la re
a a un par
una forma de
mero de fisu
rmigón se di
ir de este m
e presenta cu
mento correc
_______
28
aterial es
buyen en
tan en la
nte.
se forma
amente a
cción, en
ose entre
dos para
merosos
sistencia
igual o
e espiral,
uras muy
isminuye
omento,
uando en
ctamente
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 29 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
proyectado, este aplastamiento solo se produce después de que el acero de los anillos ha comenzado a
fluir.
Es deseable, como en los elementos sometidos a flexión, que en los sometidos a torsión también
muestren un comportamiento dúctil en lugar de quebradizo y para eso, es necesario que los anillos
fluyan antes que la zona de compresión de la superficie de rotura se aplaste, para que esto se cumpla, la
cantidad de refuerzo debe de limitarse a la que producirá un par de rotura no superior a:
á = 3.12 ′ 3
FLEXOCOMPRESIÓN
Los elementos como los soportes y los arcos soportan principalmente cargas de compresión, pero casi
siempre existe simultáneamente una flexión debido a:
a) La continuidad. Los portes del edificio son elementos monolíticos en la que los momentos
extremos de las vigas, son resistidos parcialmente por los soportes unidos a ellas.
b) Las cargas transversales. Como el viento o el sismo.
c) Cargas excéntricas. Como en los voladizos.
Hasta cargas del orden de la mitad de la capacidad en rotura, los elementos sometidos a cargas de
compresión excéntrica se comportan elásticamente por las mismas razones que las discutidas para
elementos a compresión axial y para vigas en flexión. Cuando la sección no es agrietada, los mismos
principios pueden usarse para el cálculo de las tensiones y solo es necesario agregar en las expresiones
de Navier, el componente de compresión.
Cuando la excentricidad es tal que las tensiones superan la capacidad en tracción del hormigón,
aparecen grietas que inhabilitan la sección para el manejo de las tensiones de tracción. Al igual que para
las vigas en flexión con sección agrietada, es posible escribir las ecuaciones de equilibrio utilizando la
sección transformada y con todos los esfuerzos dentro del estado elástico. Cuando las tensiones se
acercan a la rotura, al igual que en las vigas en flexión, es posible analizar una sección por medio del
rectángulo de esfuerzos equivalente.
En todos los casos, el problema es la interacción entre la carga axial y el momento flector que puede
estar presente en una o dos direcciones (perpendiculares entre sí) lo que impide que un análisis para
una situación o combinación específica de carga axial y momentos sea aplicada para otra combinación
aún en la misma columna. Para esto, lo más recomendable es la construcción de los diagramas de
interacción para flexocompresión axial o flexocompresión bi‐axial, en los que el diagrama constituye
todo el espectro de combinaciones en que la columna puede trabajar.
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 30 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Los acápites antes estudiados dan una idea general de los aspectos generales del comportamiento del
hormigón y serán estudiados al detalle en los diferentes elementos estructurales según sea el caso en lo
sucesivo del curso.
En todo el estudio al detalle del proyecto de los elementos de hormigón en este curso, se observará
invariablemente la normativa hondureña “Código Hondureño de la Construcción” (CHOC‐2008).
_____Curso dMaestrDr. Joa
VIGAS
Diseña
La viga
figura
sobre
siguien
Cargas
Cargas
El inter
Se dese
Hormig
Acero d
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
ar la viga cont
a presenta un
14. La pared
las vigas des
nte forma:
s permanente
Su peso pro
Instalacione
Cielo falso =
Enchape de
s vivas:
rcolumnio de
ea construir e
gón………………
de refuerzo…
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
tinua de la fig
a aleta en vo
pesa 300Kg/m
cansa una lo
es:
opio
es= 1
= 2
e piso = 7
50
l marco es 9.
el sistema de
…….. ’ = 2
……… = 4,
____________Concreto al C
ura 13 que so
oladizo en la q
m2 de pared.
sa de entrep
15 Kg/m2
20 Kg/m2
75 Kg/m2
00 Kg/m2
00m.
marcos con m
280 Kg/cm2
200 Kg/cm2
Figura 13:
___________
oporta las sig
que se carga u
Adicionalme
piso a base d
materiales de
: alzado del m
___________
uientes carga
una pared co
nte, el marco
e viguetas, q
e la siguiente
marco típico
____________
as:
omo se muest
o es parte de
que a su vez
especificació
___________
tra en la secc
un sistema e
están cargad
ón:
_______
31
ión de la
n el que,
dos de la
_____Curso dMaestrDr. Joa
Antes
esfuerz
rectang
40x40c
No se e
Cargas
=Pes
= 500
Combi1. 2.
Análisi
Los dia
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
que nada ser
zos. Digamos
gular, despre
cm.
evaluará las c
s del sistema:
o propio+((75
0*9.00/2
naciones de c= 1.4 += + s:
agramas de m
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
Figura
rá necesario,
que se asum
eciando la pa
condiciones d
5+15+20)*9.0
cargas por inv+ 1.7
momentos, co
____________Concreto al C
a 14: sección
pre‐dimensio
me como prim
articipación d
e sismo ni vie
00/2))+(300*3
vestigar:
rtantes y tors
___________
esquemática
onar el marco
mera iteración
de la losa en
ento.
3.20)
sión de muest
___________
de la viga de
o para poder
n que las viga
voladizo; y
tran en las fig
____________
el marco
r analizarlo y
as tengan una
las columnas
guras 15 a la
___________
con esto obt
a sección de 3
s con una se
18 a continua
_______
32
tener los
35x60cm
cción de
ación.
_____Curso dMaestrDr. Joa
2,408
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
F
F
F
Kg‐m
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
igura 15: Diag
Figura 16: Dia
Figura 17: Dia
51,580
____________Concreto al C
grama de mo
agrama de co
agrama de tor
57,
0 Kg‐m
___________
mentos para
rtantes para
rsiones para l
324 Kg‐m
___________
la combinaci
la combinació
la combinació
52,672 Kg‐m
____________
ión 1.4 + 1
ón 1.4 + 1.
ón 1.4 + 1.7
m
30,590 Kg
___________
.7
7
7
g‐m
1,
_______
33
,632 Kg‐m
_____Curso dMaestrDr. Joa
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
Figura 18: D
Figura 19:
Figura 20:
____________Concreto al C
Diagrama de
Diagrama de
Diagrama de
___________
momentos p
e cortantes pa
e torsiones pa
___________
ara la combin
ara la combin
ara la combin
____________
nación +
ación +
ación +
___________
_______
34
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 35 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Módulo de elasticidad del hormigón = 15,100√280 = 252,671.33Kg/cm (2.8.5)
Módulo de elasticidad del acero = 2,030,000Kg/cm (2.8.5.2)
Recubrimiento del acero:
Asumir que el refuerzo transversal será con barras #3
Asumir que el refuerzo longitudinal será con barras #8
Peralte efectivo = 60 − 4.0 − 0.953 − . = 53.77cm (2.7.7.1c)
= 0.85 (2.10.2.7.3)
Capacidad de la sección: = 57,824Kg − m = 5,782,400Kg − cm
Máximo refuerzo posible (2.10.3.2 y 2.8.4.3)
= 0.75 ∗ 0.003+ 0.003 ∗ ′ = 0.75 ∗ 0.003 ∗ 0.724,2002,030,000 + 0.003 ∗ 2804,200 = 0.0213
Factor de reducción de la resistencia (2.9.3)
Flexión = 0.90 Cortante y torsión = 0.85
Espacio libre entre barras: 2.5cm (2.7.6.1 y 2.7.6.2)
Flexión:
Ecuación de equilibrio en la rotura: = ∅ 1 − 0.59′ = ∅ 1 − 0.59′ 37,170 − 4,200 + ∅ = 0 = 2,408Kg − m = 240,800Kg − cm
∅ = 240,8000.90 ∗ 35 ∗ 53.77 = 2.644
Resolviendo la ecuación de equilibrio, encontramos = 0.000588 < = 0.0033 (2.10.5.1)
Sin embargo, si proporcionamos un 33% adicional, podemos utilizar menos refuerzo, esto es:
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 36 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
∅ = 2.644 ∗ 1.33 = 3.517 → = 0.000844 (2.10.5.3)
El acero de refuerzo por contracción térmica debe de tener una cuantía = 0.002 (2.7.12.1.1)
De manera que si lo distribuimos en las dos caras de la viga, deberíamos de tener al menos = 0.001 en cada cara, o sea, = 0.001 ∗ 35 ∗ 55.77 = 1.95cm en cada cara
= 51,580Kg − m = 5,158,000Kg − cm
∅ = 5,158,0000.90 ∗ 35 ∗ 53.77 = 56.64 → = 0.015653 <
= 0.01436 >
= 0.015653 ∗ 35 ∗ 55.77 = 29.46cm → 6#8quetieneun = 6 ∗ 5.10 = 30.60cm
Momento de rotura para 4 barras #8: = 4 ∗ 5.10 = 20.40cm → = 20.4035 ∗ 55.77 = 0.010451 = 0.90 ∗ 0.010451 ∗ 4,200 ∗ 35 ∗ 53.77 1 − 0.59 ∗ 0.010451 ∗ 4,200280 = 3,894,344.90Kg − cm
Momento de rotura para 2 barras #8: = 2 ∗ 5.10 = 10.20cm → = 10.2035 ∗ 53.77 = 0.005226 = 0.90 ∗ 0.005226 ∗ 4,200 ∗ 35 ∗ 53.77 1 − 0.59 ∗ 0.005226 ∗ 4,200280 = 2,050,826.69Kg − cm
= 57,324Kg − m = 5,732,400Kg − cm
∅ = 5,732,4000.90 ∗ 35 ∗ 53.77 = 62.943 → = 0.017786 < = 0.0216 = 0.017786 >
= 0.017786 ∗ 35 ∗ 53.77 = 33.47cm → 6.56 ≡ 7#8quetieneun = 7 ∗ 5.10 = 35.70cm
Espacio ocupado por las 7 barras = (7*2.54)+(6*2.5)=32.78cm
Espacio disponible=35‐2(2.5+0.95)=28.10cm<32.78cm por lo que será necesario colocar el acero en dos
lechos, lo que cambiará el centroide del mismo y consecuentemente el valor del peralte efectivo d
Primera fila=6 barras #8 con y=53.77
Segunda fila=1 barra #8 con y=53.77‐2.5‐2.54=48.73cm
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 37 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
= (6 ∗ 5.10 ∗ 53.77) + (5.10 ∗ 48.73)35.70 = 53.05cm = 35.7035 ∗ 53.05 = 0.019227 = 0.90 ∗ 0.019227 ∗ 4,200 ∗ 35 ∗ 53.05 1 − 0.59 ∗ 0.019227 ∗ 4,200280 = 5,940,692.34Kg − cm
= 59,406.92Kg − m > 57,324Kg − m ∴ correcto
= 52,672Kg − m = 5,267,200Kg − cm
∅ = 5,267,2000.90 ∗ 35 ∗ 53.77 = 57.83 → = 0.016050 < = 0.0216 = 0.016050 ∗ 35 ∗ 53.77 = 30.21cm → 5.93 ≡ 6#8quetieneun = 6 ∗ 5.10 = 30.60cm
= 30,590Kg − m = 3,059,000Kg − cm
∅ = 3,059,0000.90 ∗ 35 ∗ 53.77 = 33.58 → = 0.008661 < = 0.0216 = 0.008661 ∗ 35 ∗ 53.77 = 16.30cm → 3.20 ≡ 4#8quetieneun = 4 ∗ 5.10 = 20.40cm
= 1,632Kg − m < 2,408Kg − m demaneraqueusaremoselmínimoantescalculado.
Anclaje de las barras:
Diámetro de la barra = 2.54cm ∝= 1.0 (2.12.2.4) = 1.0 (2.12.2.4) = 1.0 (2.12.2.4) = 1.0 (2.12.2.4)
Para barras corrugadas #7 y mayores, = . (2.12.2.2)
= 5.3 ′ = 4,200 ∗ 1.0 ∗ 1.0 ∗ 1.05.3 ∗ √280 2.54 = 47.36cm > 30 ∴ = 48cm
_____Curso dMaestrDr. Joa
= 1
Donde
es
es e
Como
Desarr
Para zo
Para b12 =
El radi7.62cm
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
30.6 ′ ∝+ es un índ
el área total
l número de b
una simplifica
rollo del ganc
ona sísmica:
barras #8, el= 12 ∗ 2.54 =io del doblezm como tamb
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
+ = 31dice del refue
del refuerzo t
barras que se
ación, podrá t
ho estándar d= = √=
gancho est= 30.48cm ta
z medido en
bién se indica
Figur
____________Concreto al C
3 ∗ 4,200 ∗ 2.0.6√280 2.2.5erzo transvers
transversal d
e están desarr
tomarse
de 90º para z∗ .√ = 47.5= , ∗ .√
ándard de 9
al como se in
n el interior
a en la figura
ra 21: Gancho
___________
54554 = 183.32sal =
entro de la se
rollando a la l= 0 aunque eona no sísmic1cm > 8 == 37.50cm
90º tendrá u
dica en el dia
de la barra,
21.
o estándar de
___________
2cm
eparación
largo del plan
exista refuerz
ca: = 20.32cm
m
un doblez de
agrama de la f
no deberá
e 90º para bar
7.62cm
____________
no de fractura
zo transversa
e 90º más u
figura 21.
ser menor q
rras #8
___________
(2
a
al
(2.2
una prolonga
que 3 = 3 ∗
_______
38
2.12.2.4)
(2.12.5)
21.5.4.1)
ación de
(2.7.1)
∗ 2.54 = (2.7.2)
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 39 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Cortante y torsión: ∅ ≥ (2.11.1.1)
El cortante en el punto a una distancia d de la cara de la columna es:
= 30,747 − ( . )( , , ) = 24,113.56Kg (2.11.1.3.1)
La aportación del hormigón es: = 0.53 ′ = 0.53√280 ∗ 35 ∗ 53.77 = 16,690.25Kg (2.11.3.1.1)
Por lo que deberá resistir el acero de refuerzo será: = 24,113.560.85 − 16,690.25 = 11,678.64Kg V < 1.06 f′ b = 1.06√280 ∗ 35 ∗ 53.77 = 33,380.51Kg (2.11.5.4.3)
= 8,002.94 < 0.8 ′ = 0.8√280 ∗ 35 ∗ 53.77 = 25,192.84Kg (2.11.5.6.4)
De acuerdo con la norma, es espaciamiento máximo de los anillos en zonas no sísmicas deberá ser /2 para refuerzo colocado perpendicular al eje del miembro, ni 60cm (2.11.5.4), sin embargo, la estructura
se proyecta para una zona sísmica de manera que deberá observarse lo siguiente:
En una distancia no mayor que 2ℎ desde la cara de la columna, la separación entre anillos deberá ser
menor o igual a: (2.21.8.4.2) 1. /42. 8 veces el diámetro del refuerzo longitudinal
3. 24 veces el diámetro del refuerzo transversal
4. 30 cm
Donde h es el peralte total del miembro, y en el resto de la viga, el espaciamiento podrá ser el doble que
el indicado para la zona columnar.
Si los anillos son del #3 ( = 0.71cm , = 0.95cm),
≤ menor 30cm= . = 13.94cm8 ∗ 2.54 = 20.32cm24 ∗ 0.95 = 22.80cm = 13.94 ≡ 14cm (2.21.3.3.2)
= → = = ∗ . ∗ , ∗ ., . = 27.46cm > 14cm ∴ S = 0.14m (2.11.5.6.3)
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 40 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
= 2 ∗ 0.7127.46 = 0.051712 Torsión:
Se podrá permitir despreciar los efectos de la torsión si el momento torsor es menor que (Para
miembros no presforzados): 0.265∅ ′ (2.11.6.1)
Donde:
es el área encerrada por el perímetro de la sección transversal de hormigón
es el perímetro exterior de la sección de hormigón.
Como se estableció despreciar el ala del voladizo, entonces:
= 35 ∗ 60 = 2,100cm = 35 + 35 + 60 + 60 = 190cm
Momento torsor en la sección crítica (a d de la cara de la columna) = 10,486.00 − (20 + 53.77) , . , = 8,998.80Kg − m = 899,879.68Kg − cm (11.6.2.4)
= 899,879.68 − cm > 0.265 ∗ 0.85 ∗ √280 2,100190 = 87,484.03Kg − cm
Por lo que los efectos de la torsión deben de tomarse en cuenta en el proyecto de la viga.
La sección de la viga deberá ser tal, que satisfaga la siguiente desigualdad: + . ≤ ∅ + 2.12 ′ (2.11.6.3.1)
Donde:
es el área encerrada por la línea central del refuerzo torsionante transversal
es el perímetro de la línea central del refuerzo torsionante transversal
= 55.05 ∗ 30.05 = 1,654.25cm = 2(55.05 + 30.05) = 170.20cm
24,113.5635 ∗ 53.77 + 899,879.68 ∗ 170.201.7 ∗ 1,654.25 = 29.99 ≤ 0.85 17,311.0635 ∗ 55.77 + 2.12√280 = 37.69
Por lo que la sección es buena para manejar los efectos.
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 41 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
= → = (2.11.6.3.6)
Donde:
es el área total encerrada por la ruta del flujo de cortante = 0.85 = 0.85 ∗ 1,654.25 = 1,406.11cm (2.11.6.3.6)
es el ángulo de inclinación del refuerzo
= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200899,879.68 = 18.64cm
= 2 ∗ 0.7118.64 = 0.076188cm
Distribución del refuerzo transversal:
Como el refuerzo transversal será el responsable de proveer la resistencia para el esfuerzo combinado
de torsión y cortante, la distribución de este refuerzo se hará tomando en cuenta el efecto combinado.
2 + = 0.0517122 + 0.076188 = 0.102044cm
= 2 ∗ 0.710.102044 = 13.91cm < 14 ∴ S = 13cm
Espaciamiento máximo cuando hay torsión: ≤ = . = 21.28cm < 30 m (2.11.6.6.1)
Acero mínimo por reglamento: ( + 2 ) = . (2.11.6.5.2)
( + 2 ) = 3.5 ∗ 35 ∗4,200 = 0.029167
= 2 ∗ 0.710.029167 = 48.69cm > 12 , O. K.
Donde el refuerzo por torsión es requerido, deberá haber un área mínima de refuerzo longitudinal por
torsión que deberá calcularse por medio de la siguiente expresión:
= . − (2.11.6.5.3) ≥ . = . ∗, = 0.015 (2.11.6.5.3)
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 42 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
= 1.3√280 ∗ 2,1004,200 − 0.075855 ∗ 170.20 = −2.03cm
Por lo que no se requiere indicar refuerzo longitudinal por torsión.
Revisión por cortante y torsión a una distancia2ℎ de la cara de la columna (1.40m del eje 1): = 18,490Kg = 18,4900.85 − 16,690.25 = 5,062.69Kg
= = 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200 ∗ 53.775,062.69 = 63.34cm
= 2 ∗ 0.7163.34 = 0.022410 = 7,663Kg − m = 766,300Kg − cm > 87,484.03Kg − cm
= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200766,300 = 21.89cm
= 2 ∗ 0.7121.89 = 0.0649cm
2 + = 0.0059212 + 0.0649 = 0.067838cm
= 2 ∗ 0.710.067838 = 20.93cm < 28 ∴ = 20 m
Revisión por cortante y torsión a una distancia 3ℎ de la cara de la columna (2.00m del eje 1): = 13,237.59Kg < ∅ ∴ = 0.00 → = = 28cm
= 6,454Kg − m = 645,400Kg − cm > 87,484.03Kg − cm
= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200645,400 = 25.99cm
= 2 ∗ 0.7125.99 = 0.0546cm
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 43 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
2 + = 0.0546cm
= 2 ∗ 0.710.0546 = 26cm < 28 ∴ = 26cm
Revisión por cortante y torsión a una distancia 4h de la cara de la columna (2.60m del eje 1): = 7,984.76Kg < ∅ ∴ = 0.00 → = = 28cm
= 5,244.40Kg − m = 524,440Kg − cm > 87,484.03Kg − cm
= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200524,440 = 31.98cm > 28 ∴ = 28
Revisión por cortante y torsión a una distancia a la izquierda de la cara de la columna (0.7523m
izquierda del eje 2): = 53.05 = 37,034.56Kg = , .. − 16,690.25 = 26,879.82Kg < 34,622.11Kg
= 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200 ∗ 53.0526,879.82 = 11.77cm
= 2 ∗ 0.7111.77 = 0.120640 = 5,133.36Kg − m = 513,336Kg − cm > 87,484.03Kg − cm
= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200513,336 = 32.67cm
= 2 ∗ 0.7132.67 = 0.043461 2 + = 0.12064002 + 0.043461 = 0.103781cm
= 2 ∗ 0.710.103781 = 13.68cm < 14 ∴ = 13
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 44 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Revisión por cortante y torsión a una distancia 2ℎ a la izquierda de la cara de la columna (1.40m
izquierda del eje 2): = 31,411.41Kg = 31,411.410.85 − 16,690.25 = 20,264.35Kg < 34,622.11Kg = 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200 ∗ 53.7720,264.35 = 15.83cm < 28 ∴ = 15
= 2 ∗ 0.7115.83 = 0.089731 = 3,827.60Kg − m = 382,760Kg − cm > 87,484.03Kg − cm
= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200382,760 = 43.82cm
= 2 ∗ 0.7143.82 = 0.032406 2 + = 0.0897312 + 0.043461 = 0.088327cm
= 2 ∗ 0.710.088327 = 16.07cm < 28 ∴ = 16
Revisión por cortante y torsión a una distancia 3ℎ a la izquierda de la cara de la columna (2.00m
izquierda del eje 2):
= 26,158.59Kg = 26,158.590.85 − 16,690.25 = 14,084.56Kg < 34,622.11Kg = 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200 ∗ 53.7714,084.56 = 22.77cm < 28 ∴ = 22
= 2 ∗ 0.7122.77 = 0.062367 = 2,618.00Kg − m = 261,800Kg − cm > 87,484.03Kg − cm
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 45 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200261,800 = 64.06cm
= 2 ∗ 0.7164.06 = 0.022165 2 + = 0.0623672 + 0.022165 = 0.053348cm
= 2 ∗ 0.710.053348 = 26.62cm < 28 ∴ = 26
Revisión por cortante y torsión a una distancia a la derecha de la cara de la columna (0.7523m derecha
del eje 2):
= 32,575.72Kg = 32,575.720.85 − 16,690.25 = 21,634.13Kg < 34,622.11Kg = 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200 ∗ 53.0521,634.13 = 14.62cm > 14cm ∴ S = 14cm
= 2 ∗ 0.7114.62 = 0.097097
= 2,566.38Kg − m = 256,638Kg − cm > 87,484.03Kg − cm
= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200256,638 = 65.35cm
= 2 ∗ 0.7165.35 = 0.021728 2 + = 0.09709782 + 0.021728 = 0.070276cm
= 2 ∗ 0.710.070276 = 20.21cm < 28 ∴ = 20
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 46 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Revisión por cortante y torsión a una distancia 2ℎ a la derecha de la cara de la columna (1.40m derecha
del eje 2):
= 26,905.19Kg = 26,905.190.85 − 16,690.25 = 14,692.91Kg < 34,622.11Kg = 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200 ∗ 53.7714,692.91 = 21.43cm < 28 ∴ = 21
= 2 ∗ 0.7121.43 = 0.066256 = 1,260.64Kg − m = 126,064Kg − cm > 87,484.03Kg − cm
= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200126,064 = 133.04cm
= 2 ∗ 0.71133.04 = 0.010673 2 + = 0.0662562 + 0.010673 = 0.043801cm
= 2 ∗ 0.710.043801 = 32.42cm > 28 ∴ = 28
Revisión por cortante y torsión a una distancia 3ℎ a la derecha de la cara de la columna (2.00m derecha
del eje 2):
= 21,652.28Kg = 21,652.280.85 − 16,690.25 = 8,783.02Kg < 34,622.11Kg = 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200 ∗ 53.778,783.02 = 36.51cm > 28 ∴ = 28
= 2 ∗ 0.7136.51 = 0.038891
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 47 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
= 51.06Kg − m = 5,106Kg − cm < 87,484.03Kg − cm
= 28cm
Revisión por cortante y torsión a una distancia a la izquierda de la cara de la columna (0.7577m
izquierda del eje 3):
= 17,239.440.85 = 20,281.69Kg > 16,690.25Kg = 17,239.440.85 − 16,690.25 = 3,591.44Kg < 34,622.11Kg = 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200 ∗ 53.773,591.44 = 89.29cm > 28 ∴ = 28
= 8,904.50Kg − m = 890,450Kg − cm > 87,484.03Kg − cm
= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200890,450 = 18.83cm > 14 ∴ = 14
Revisión por cortante y torsión a una distancia 2ℎ a la izquierda de la cara de la columna (1.40m
izquierda del eje 3):
= 12,616.190.85 = 14,842.58Kg < 17,311.06Kg ∴ norequiererefuerzoporcortante = 7,609.64Kg − m = 760,963.88Kg − cm > 87,484.03Kg − cm
= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200760,963.88 = 22.04cm > 14 ∴ = 14
_____Curso dMaestrDr. Joa
Deflexi
Del pro
cargas
El pera
despla
En el c
nunca
Donde
es
es
es e
es e
Donde
es e
es la
tracció= 1= 1 = 2,25
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
iones:
ograma de an
permanente
alte de la vig
zamientos. (2
cálculo de las
será mayor q
:
s el momento
el momento
el momento d
l momento d
:
l módulo de r
a distancia de
ón. .99√280 = 315,100√280,030,00052,671.33 =___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
nálisis, en la fi
s.
Figura 22
ga, ℎ=60cm >
2.9.5.2.1), sin
s deflexiones
que .
de agrietam
máximo en e
de inercia de
e inercia de l
rotura del ho
el eje centroid
33.30Kg/cm= 252,671.38.03
____________Concreto al C
igura 22 se m
2: Elástica del
> . = . = embargo, po
se debe de t
=iento de la se
l miembro en
la sección ag
a sección no
rmigón, =dal de la secc
m 33Kg/cm
___________
muestra la elás
l marco para
= 45.95cm p
or razones aca
tomar en cue
+ 1 +ección.
n la etapa en
rietada
agrietada =1.99 ′ ión total (igno
___________
stica del marc
la condición p
por lo que se
adémicas, est
enta el mom
que la deflex
orando el ref
____________
co como cons
primaria
e puede omi
te será revisa
mento efectivo
xión es calcula
fuerzo) a la fib
___________
secuencia de
itir el análisi
ado.
o de inercia
(2
ada
bra extrema e
(2.8.5
_______
48
las
is de los
el cual
2.9.5.2.3)
en
5.1)
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 49 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
= 35 ∗ 6012 = 630,000cm
= = 358.03 ∗ 35.70 = 0.122028 = ( − 1) ′ = (8.03 − 1) ∗ 10.208.03 ∗ 35.70 = 0.250133
= 2 1 + ′ + (1 + ) − (1 + )
= 2 ∗ 53.77 ∗ 0.1220 1 + 0.2501 ∗ 4.2355.77 + (1 + 0.2501) − (1 + 0.2501)0.1220 = 21.9495cm = 3 + ( − ) + ( − 1) ′ ( − ′) = 35 ∗ 21.953 + 8.03 ∗ 35.70(53.77 − 21.95) + (8.03 − 1)10.20(21.95 − 4.23) = 473,789.28cm
= 630,000473,789.28 = 1.3298 = 33.30 ∗ 630,00030 = 699,300Kg − cm
Bajo cargas permanentes: = 20,746Kg − m = 2,074,600Kg − cm = ,, , = 0.3071 < 1, por tanto, hay agrietamiento
= (0.3033) ∗ 630,000 + 1 − 0.3033 ∗ 473,789.28 = 478,147.91cm = 478,147.91630,000 = 0.758965
Bajo cargas de servicio: = 34,002Kg − m = 3,400,200Kg − cm = ,, , = 0.205664 < 1, por tanto hay agrietamiento = (0.205664) ∗ 630,000 + 1 − 0.205664 ∗ 473,789.28 = 475,148.18cm
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 50 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
= 475,148.18630,000 = 0.7542
Deflexiones iniciales o de corto plazo: ∆ = 8.2210.7589 = 10.83mm
∆ = 8.2520.7542 = 10.94mm
∆ = 10.94 − 10.83 = 0.11mm
Desplazamiento admisible ∆ = , = 23.61mm (2.9.5.2.6)
Deflexiones a largo plazo:
Debido a las características reológicas del material (flujo plástico y encogimiento), las deflexiones se
afectan en el largo plazo, por lo que deben de ser revisadas.
Análisis para 5 años: = 2.0 (2.9.5.2.5)
= 1 + 50 ′ = 2.01 + 50 ∗ 10.20 = 0.003914 Δ + Δ = Δ = 10.94 ∗ 0.0039 = 0.043mm
Δ + Δ + Δ = 10.94 + 0.043 = 10.98mm < 23.61mm
Por lo que la sección se acepta.
_____Curso dMaestrDr. Joa
Detalla
DoblecLa figu Aro: Esvarias Gancho El diám
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
ado:
ces de los anira 24 muestr
s un anillo cepiezas, cada u
os para anillo
metro interno
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
Figura 2
llos: a un anillo co
errado que puna con un ga
os: Para barra
del doblez n
____________Concreto al C
23: disposició
on la especific
puede estar fancho sísmico
s #5 y menor
o deberá ser
___________
n del acero d
cación de acu
formado de o en cada ext
res, doblez de
menor que 4
___________
de refuerzo y s
erdo con la n
una sola pieztremo. (2.21.1
e 90º más una4 (2.7.2.3)
____________
secciones
norma, que di
za continuam1)
a prolongació
___________
ice lo siguient
mente enrolla
ón de 6 (2.
_______
51
te:
ada o de
7.2.2)
_____Curso dMaestrDr. Joa
Con rehasta lcorrectobservde man En la fiprovist
Por lo
por lo
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
specto a los aa fibra opuesto. De acuerdvamos el diagnera que no h
ibra superior to de 2 barras
que el ganch
que se acepta
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
anclajes de lasta de la columdo con la figurama de momhay problema
en ese misms #8 ( = 10o puede desa
a. (2.12.2.5)
____________Concreto al C
Figura 24
s barras de remna, sin embra 21, se requmentos, en esa.
mo punto, de a0.20cm ), ent
arrollarse con
___________
4: detalle de a
efuerzo, obsebargo debe deuiere que 0.4sta zona de la
acuerdo con tonces,
= 10.201.95n
.. = 0.09m___________
anillo típico
ervando la fige revisarse si 48cm de anclaa viga la solic
los cálculos,
05 = 5.23 m = 9cm y lo
r=2ø
____________
gura 23, las ba con esto se caje sean provcitación en la
se requiere
o que se prov
___________
arras inferiorcumple con evistos, sin emfibra inferior
= 1.95cm
veyó es más
_______
52
es llegan el anclaje bargo, si r es cero,
y se ha
que eso,
_____Curso dMaestrDr. Joa
El primdesde En cuanecesaantes cdeberá Otras cEn alguen cueque seambien La norestruct HormigHormigCon esadecuasus con
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
mer anillo quela cara de la c
nto a los empario practicarcalculada, soá de multiplic
consideracionunas ocasionenta el agrieta realizan en lnte, que debe
ma indica lastura, de la sig
gón expuestogón expuestostas disposicado para estandiciones de
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
Fig
e cubre cada columna, com
palmes, en elempalmes, lo que si estoarse por 1.30
nes que pudies, por razonamiento paralas zonas coste de limitarse
s tensiones aguiente forma
o a condicioneo a condicioneiones, no sear en condiciodiseño.
____________Concreto al C
gura 25: Posic
vano en unamo se muestr
l comercio loclos cuales deos empalmes0 (2.12.15.1)
era ser necesnes de las con asegurar la vteras, donde e el agrietami
dmisibles en a (2.10.6.4):
es de interiores de exteriore pretende qones hóstiles
___________
ción del prim
viga debe dea en la figura
cal se encueneben de tenes se hacen to
sario revisar:ndiciones donvida de la estel ambiente ento.
la grieta de
es…………………res………………ue el hormis, en las que
___________
er anillo en v
e colocarse a 25. (2.21.3.3
ntran barras der el traslapedos en el mi
nde se ubica tructura, comes tan agres
acuerdo a la
….. 31,300 …. 25,900 gón sea impdeberá hace
____________
vigas
a una distanci3.2)
de 30 pies (9.e igual a la losmo punto d
la estructuramo es el caso ivo por la pre
s condicione
Kg/cm Kg/cm permeable nirse investiga
___________
ia no mayor q
.14m) por lo ongitud de dede la viga, su
a, es necesarde las constresencia de sa
s de exposici
i que el misción para det
_______
53
que 5cm
que será esarrollo longitud
io tomar ucciones ales en el
ión de la
mo esté terminar
_____Curso dMaestrDr. Joa
La sigucondic
Aire se
Humed
Químic
Agua d
Estruct
Las secel valoexpres
Dondeneutrotensiónespesomás cebarra.
Para el
= 3Refuer= 4== 2 = 0
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
uiente tabla, iones de expo
CON
eco o membra
dad, aire húm
cos para desh
de mar; rocío
turas de cont
cciones transvor no excedión de Gerge
es el ancho a la fibra mn en el acero or del recubriercana y es
l caso antes r
37,789Kg − mrzo = 7 barras4.23cm 4.77cm ∗ 4.77 ∗ 357barras =.6 ∗ 4,200 =
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
muestra en tosición:
NDICIÓN DE E
ana protector
medo, suelo
hielo
de mar; hum
ención de ag
versales de mda las tensioly Lutz: = 0.0=ho de la griemás tensionadque puede tmiento de hoel área de ho
esuelto, para
m = 3,778,9 #8
= 47.70cm
2,520Kg/cm____________Concreto al C
términos del
EXPOSICIÓN
ra
edecimiento
ua
máximo momnes antes ap
76 ,
, en térmi
ta en milésimda y la distanomarse comoormigón medormigón efect
Figura 26:
a el máximo m
00Kg − cm
m
___________
ancho de la
y secado
ento positivopuntadas. Est
, en términos
inos de la ten
mas de pulgancia entre elo el 60% de laido desde la tiva en tracci
Área efectiva
momento, ana
___________
grieta, los v
AN
0
0
0
0
0
o y negativo dte valor pu
s del ancho de
nsión en la gri
ada; es la rl eje neutro a resistencia fibra extremón alrededor
a en tracción
alizar el agrie
____________
valores admis
NCHO PERMIS
Pulg
0.016
0.012
0.007
0.006
0.004
deberán diseñuede ser calc
e la grieta en
ieta en Kg/cm
relación entrey el centroida la fluencia a en tracciónr del refuerzo
etamiento de
___________
sibles para di
SIBLE DE GRI
mm
0.4
0.3
0.1
0.1
0.1
ñarse de manculado a part
pulgadas
m (2
e la distanciade del acero;especificada;n al centro deo en tracción
la viga.
_______
54
iferentes
ETA
m
1
0
8
5
0
nera que tir de la
2.10.6.4)
a del eje ; es la ; es el e la barra por cada
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 55 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
= 2,520 ∗ √4.23 ∗ 47.70 = 14,780.42Kg/cm < 25,900 /
La tensión en la grieta que encontramos es menor aún para las condiciones de exposición en interiores
por lo que la sección se acepta.
El reglamento permite, en forma conservadora, calcular = 0.6 , pero también es posible por medio
de un cálculo más preciso de la siguiente forma: =
Donde Z es el brazo del par conformado entre la fuerza del hormigón y la fuerza del acero como lo indica
las figura 11 y que de acuerdo con la figura 4, =
Entonces = 2 + ( ) −
Y como antes se explicó = 1 −
En otros reglamentos, como el Eurocódigo, permiten el cálculo de mediante la siguiente expresión:
= 0.8 si ≥ 0.15 = 0.85 si < 0.15 = 0.9 parasecciones"T"ovigasrectangularescondoblerefuerzo(Refuerzoencompresión)
Resolviendo el mismo caso pero en términos del ancho de la grieta, de los cálculos ya realizados,
sabemos que: = 8.03 = 55.23cm
= 7 ∗ 5.1035 ∗ 55.23 = 0.018468 = (2 ∗ 8.03 ∗ 0.018468) + 8.03 ∗ 0.018468 − (8.03 ∗ 0.018468) = 0.416 = 0.416 ∗ 55.23 = 22.98cm
= − 3− = 55.23 − 22.9822.98 − 22.983 = 2.11 = 1 − 0.4163 = 0.861
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 56 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
= 0.861 ∗ 55.23 = 47.55cm
= = 3,778,90035.70 ∗ 47.55 = 2,226.11Kg/cm < 0.6 = 2,520Kg/cm
= 2,226.11Kg/cm = 31,668.15p. s. i. = 31.67K. s. i. = 4.23cm = 1.67pulgadas = 47.70cm = 7.39in
= 0.076 ∗ 2.11 ∗ 31.67√1.67 ∗ 4.39 = 11.727milésimasdepulgada = 0.011pulgadas = 0.011" < 0.016" para la condición de exposición correspondiente a aire seco o membrana
protectora, que sería el mismo caso de comparación antes hecho, con lo que llegamos a las mismas
conclusiones.
Es importante hacer notar, que es posible, en los casos en que la tensión en la grieta sea superior al
límite admisible para la condición de exposición en que se está revisando la viga o para el ancho límite
de grieta correspondiente, resolver el problema sin aumentar la cuantía metálica, simplemente
cambiando el calibre a uno menor y con esto aumentando el número de barras que cumple con la
cuantía y al mismo tiempo resuelve el problema del agrietamiento. Cuando este problema se resuelve
así, solo hay que tener cuidado si la nueva disposición de armado presenta un nuevo porque las
mismas no caben en un mismo lecho o porque simplemente su centroide ha cambiado en relación al de
la aproximación inicial. Esto se debe a que el valor de está en función del número de barras.
_____Curso dMaestrDr. Joa
VIGAS
Cuando
índole
para re
compr
conoce
Si tant
partes
parte i
es:
La segu
hormig
De don
Sabien
Por lo q
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
DOBLEMENT
o la sección
y esta secció
esistir los mo
esión en la z
e como “vigas
o como ′: La primera
gual de la fue
unda parte (
gón en compr
nde podemos
do que =que el mome
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
TE REFORZAD
transversal d
ón no es cap
omentos flect
zona correspo
s doblemente
Figu
′ alcanzan ( ) se deb
erza que actú
) es la cont
resión, es dec
s deducir lo si
y que ′ =ento resistent
____________Concreto al C
DAS (CON REF
de una viga e
az de desarro
tores en los
ondiente log
e armadas”.
ura 27: Viga re
(Fluyen), en
e al par com
úa sobre la ar
tribución del
cir: =guiente:
, podemo
te total será:∅___________
FUERZO EN C
está limitada
ollar en el ho
que debe de
rando así el
ectangular do
tonces el mo
mpuesto por l
rmadura en t
= ( −acero en trac
( − )= ( − )0.85s escribir = ( − ′)0.85= ∅( ′ +
___________
COMPRESIÓN
por requerim
ormigón la re
e trabajar, es
equilibrio int
oblemente ar
omento resist
la fuerza del
tracción, com
− ) cción restante
( − 2) )
+ ′ ) ____________
)
mientos arqu
esistencia a c
s posible aña
terno. A este
rmada
tente total es
acero en co
mo se muestra
e ( − ) e
___________
itectónicos o
compresión n
dir una arma
e tipo de viga
stá compuest
ompresión, ′a en la figura
n combinació
_______
57
o de otra
necesaria
adura de
as se les
o de dos ′ , y una 27, esto
ón con el
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 58 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
∅ = ∅ ( − ′ ) − 2 + ′ ( − ′)
Como ya lo hemos estudiado, es importante, y así lo requiere el Código o reglamento de construcción,
que la rotura se produzca por fluencia del acero sometido a la tracción antes que por aplastamiento del
hormigón, lo que se logra fijando un límite superior en la cuantía de la armadura a tracción. Siguiendo
las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad que usamos para vigas simplemente armadas, podemos
fácilmente establecer, la posición del eje neutro cuando la viga presenta falla simultanea o balanceada,
lo que podemos escribir así: ̅ = + ′
Entonces la cuantía máxima requerida por el reglamento será
̅ = 0.75( + ′) Ejemplo:
Una viga rectangular que debe de soportar una sobrecarga de trabajo de 3.5 T/m y un peso muerto de
1.48 T/m en un tramo simplemente apoyado de 5.50m tiene su sección transversal limitada por razones
arquitectónicas a una ancho de base de b=25.50cm y un peralte total H=51cm. Determinar el armado de
la viga para la siguiente especificación de diseño: ′ = 210Kg/cm = 2,800Kg/cm
Lo primero que se debe de hacer, es analizar la viga, y para ello será necesario factorizar la carga con los
coeficientes establecidos en el reglamento:
Carga permanente D=1.40*1.48=2.072 T/m (2.9.2)
Carga viva L = 1.70*3.50=5.95 T/m
Entonces U=8.02 T/m
De manera que el momento último (de rotura) de la sección será: = 8.02 ∗ 5.508 = 30.33T − m
Tomando en cuenta el recubrimiento (4cm), calculamos el peralte efectivo de la sección asumiendo que
el refuerzo será con barras #8 y que el refuerzo transversal será con barras #3 (2.7.7.1c)
= 51 − 4 − 0.9525 − 2.542 = 44.78cm = 4 + 0.9525 + 2.542 = 5.08cm
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 59 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Comprobación de que la sección simplemente armada no es capaz de manejar la solicitación del caso: = 0.85 ∗ 0.85 ∗ , ∗ ,, , = 0.037197 (2.8.4.3)
= 0.75 ∗ 0.037197 = 0.027898 (2.10.3.3)
Sustituyendo en la ecuación de equilibrio, el valor de = 0.027898, ∅ = 0.90 ∗ 25.5 ∗ 44.78 (2,800 − 22,026.67 ) = 2,805,899.42Kg − cm = 28.06T − m < M
De donde concluimos, que para satisfacer las exigencias arquitectónicas, será necesario utilizar doble
refuerzo en la viga, así:
= 30.33 − 28.06 = 2.27T − m
′ = 2.27 ∗ 100 ∗ 10000.90 ∗ 2,800 ∗ (44.78 − 5.08) = 2.26cm
De manera que la sección final de acero será: = (0.027898 ∗ 25.50 ∗ 44.78) + 2.26 = 34.13cm → 7barras#8 que deberán estar colocadas en el lecho inferior y en lecho superior ′ = 2.26cm → 2#4
Lo que cambia los valores del peralte efectivo, pues las 7 barras #8 no caben en un solo lecho y para la
fibra superior (refuerzo en compresión, hemos, por razones de economía, utilizado barras de menor
calibre.
Ejercicio en clase:
Refinar la solución del problema anterior y además terminarlo, revisando el cortante y la adherencia
para producir el detallado correspondiente.
_____Curso dMaestrDr. Joa
VIGAS
Otro ca
constru
el ala,
todo e
determ
Ancho
Donde
la dere
solo po
Donde
deberá
cuatro
En la fi
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
“T”
aso común e
uye la losa de
que es la por
el ancho de l
minar esta con
de losa efect
es el pera
echa del nerv
or uno de sus
L es la luz o
á ser menor
veces el anch
gura 28 se m
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
n forjados de
e piso forman
rción de losa
a losa está e
n lo que llama
tivo como pat
lte total de la
io considerad
lados:
longitud del
que la mita
ho del alma:
uestra la defi
____________Concreto al C
e piso, es el u
ndo una serie
que sobresa
en colaboraci
amos el “Patí
tín ≤ 8+a losa y y
do, respectiva
≤ 6 +claro de la vi
d del ancho
Figura 28
inición de vig
___________
uso de nerva
de vigas con
le del ancho
ón con la ca
ín efectivo”, d
8 ++ + son el espa
amente. En el
+ga. En el caso
del alma
≥ ≤ 4
8: Definición
as T de acuer
___________
duras en uno
ocidas como
del nervio y e
pacidad de l
de la siguiente
acio libre ent
l caso de viga
o de vigas T a
y el ancho
de vigas T
rdo con el reg
____________
o o dos senti
“Vigas T” qu
el alma que e
a viga, por lo
e forma:
re nervios o a
as que tienen
aisladas, el es
efectivo del
glamento.
___________
dos, sobre la
e están form
es en sí, el ne
o que será n
(2
almas a la izq
n losa en cola
(2
spesor del pa
patín, no ma
(2
_______
60
as que se
adas por
ervio. No
necesario
2.8.10.2)
quierda y
boración
2.8.10.3)
atín no
ayor que
2.8.10.4)
_____Curso dMaestrDr. Joa
El eje n
en cola
resiste
menor
una vig
del ala
neutro
rectang
consec
La dist
usamo
29.
Como
primer
de com
La fuer
mome
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
neutro de una
aboración, de
ncias de los
r o igual que e
ga rectangula
, es decir, en
o se encuentr
gular es que
cuentemente
tribución de t
os para determ
artificio de cá
ra parte,
mpresión long
rza proporcio
nto resistente
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
a viga T pued
ependiendo d
materiales qu
el espesor de
r de ancho
el alma, la v
ro dentro del
por debajo
está agrietad
tensiones en
minar este es
Figur
álculo es con
representa la
gitudinal en la
onada por est
e será:
____________Concreto al C
e estar en el
e las proporc
ue componen
e la losa en co
, mientras q
iga debe de t
espesor de l
del eje neut
da para efecto
una viga T s
tado tensiona
ra 28: Distribu
veniente divi
a sección de a
as porciones s
=ta área de ac
___________
patín o ala, c
ciones de la v
n la viga. Si la
olaboración (p
ue si la posici
tratarse como
a losa en col
ro, toda la se
os del escena
erá la misma
al en vigas re
ución de tens
idir el acero d
armadura que
salientes del a
= 0.85 ′ ( −ero, actúa co
= −___________
como también
viga; de la cua
a profundidad
patín o ala), l
ión calculada
o una viga T.
laboración, la
ección se en
ario en rotura
a, en cuanto
ectangulares,
siones en una
de refuerzo t
e sometida a
ala, es decir:− )ℎ
on un brazo d
− ℎ2
____________
n de le conoc
antía metálica
d calculada h
la viga se está
a del eje neut
La razón del
a viga se com
cuentra trab
a.
a concepto s
tal y como se
a viga T
total de tracc
a una tensión
de palanca
___________
ce a la Proción
a del refuerzo
hasta el eje n
á comportand
ro se encuent
porque cuan
mporta como
bajando en tr
se refiere, qu
e muestra en
ción en dos p
equilibra
− , por l
_______
61
n de losa
o y de las
neutro es
do como
tra fuera
do el eje
una viga
racción y
ue la que
la figura
artes: La
la fuerza
lo que el
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 62 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
La sección restante de la armadura, − , sometida a una tensión es equilibrada por la porción
rectangular de la viga, en la que el bloque rectangular equivalente de tensiones en esta zona, se deduce
de las condiciones de equilibrio horizontal: = −0.85 ′
Con lo que se obtiene un momento adicional como consecuencia de la fuerza proporcionada por esa
porción de la armadura actuando con un brazo de palanca de − , es decir:
= − − 2
Por lo que el momento total resistente será: ∅ = + = ∅ − ℎ2 + − − 2
El criterio de asegurar que la falla se produzca por fluencia del acero y no por aplastamiento del
hormigón, es obligatoria en el reglamento y en este caso debe de obedecer a la siguiente expresión:
= 0.75( + ′)
Ejemplo:
Una viga “T” aislada se compone de un patín de 70cm de ancho y 15cm de espesor y de un alma de
26cm de ancho y 60cm de canto por debajo de la superficie inferior del patín, para un peralte total de
75cm. La armadura en tracción consta de 6 barras #10 colocadas en dos lechos. El hormigón tiene una
resistencia a la compresión de ′ = 210Kg/cm y el límite de fluencia del acero de refuerzo es = 4,200Kg/cm . ¿Cuál es el momento útil de la viga?
Lo primero que debemos hacer es comprobar si la viga está trabajando como viga “T” o como viga
rectangular:
Diámetro de las barras #10: = 3.18cm
Espacio ocupado=5*3.18+0.95+0.95+4+4=25.80cm<26 cm
Peralte efectivo = 70 − 4 − 0.95 − (1.5 ∗ 3.18) = 60.28cm = 6 ∗ 8.19 = 49.14cm = 49.1470 ∗ 60.28 = 0.011646 = 0.85 ′ = 0.011646 ∗ 4,200 ∗ 60.280.85 ∗ 210 = 16.52cm > 15 ∴ " "
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 63 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
= 0.85 ∗ 2104,200 (70 − 26) ∗ 15 = 28.05cm − = 49.14 − 28.05 = 21.09cm
Y las cuantías serán: = 49.1460.28 ∗ 26 = 0.031354 = 28.0560.28 ∗ 26 = 0.017897 = 0.85 ∗ 0.85 ∗ 2104,200 ∗ 6,1006,100 + 4,200 = 0.021394 = 0.75(0.021394 + 0.017897) = 0.039291 > 0.031354 ∴ seaceptaelrefuerzo = 28.05 ∗ 4,200 ∗ 60.28 − 152 = 6,218,011.8Kg − cm = 62,180.12Kg − m
= 21.09 ∗ 4,2000.85 ∗ 210 ∗ 26 = 19.086cm
= 21.09 ∗ 4,200 60.28 − 19.0862 = 4,494,181.99Kg − cm = 44,941.82Kg − m
Por lo que el momento total resistente será:
∅ = 0.90 62,180.12 + 44,941.82 = 96,409.75Kg − m
Ejercicio en clase:
Una viga “T” armada a tracción, debe de proyectarse para soportar una carga uniformemente
distribuida en un tramo simplemente apoyado de 6.00m. El momento total en el centro de la luz debido
a todas las cargas factorizadas es de 72 T‐m. Las dimensiones fijadas del hormigón son: =50cm; = 26cm; ℎ =13 cm y los materiales especificados como: Hormigón ′ = 280Kg/cm y acero de
refuerzo con = 4,200Kg/cm .
Proyectar el refuerzo de la viga.
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 64 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
LOSAS
En los edificios de hormigón reforzado se utilizan losas para conseguir superficies planas y útiles. Estas
losas son placas generalmente horizontales, con superficies superior e inferior paralelas o
aproximadamente paralelas, que pueden estar soportadas por vigas, las cuales, por lo general, son
hormigonadas monolíticamente con la losa, por muros, columnas, una estructura metálica o
directamente por el terreno.
Las losas pueden estar soportadas solamente en dos caras opuestas, en cuyo caso, la acción estructural
de la losa es esencialmente “monodireccional” ya que las cargas se transportan por la losa en dirección
perpendicular a las vigas que sirven de apoyo a la losa. También pueden haber vigas en los cuatro lados
de una losa, con lo que se obtiene un sistema de apoyo bidireccional; utilizar vigas intermedias o un sin
número de configuraciones que se dan o se crean de acuerdo a las necesidades específicas de cada
proyecto.
En la figura 29 se muestran algunos tipos de losa. La figura 29a muestra una losa monodireccional que
está apoyada por vigas en solo dos lados de la losa, mientras que en la figura 29(b) se muestra una losa
bidireccional que presenta apoyo en los cuatro lados de la losa y en la figura 29(c) un sistema de vigas en
dos direcciones sobre las que se apoya la losa, obliga a que las losas se comporten como una losa
monodireccional. La figura 29(d) muestra una losa conocida como placa plana, ya que está soportada
únicamente por columnas. Este sistema trabaja como una losa bidireccional. Cuando se utilizan sistemas
de placas planas, en muchas ocasiones la placa no tiene la capacidad de poder absorber, aún con
refuerzo, los esfuerzos de cortante altos que se presentan alrededor de las columnas que soportan a la
losa, que cuando hay vigas, estas se encargan se absorber estos esfuerzos, por lo que una solución a
este problema es el uso de capiteles como se muestra en la figura 29(d) y en la figura 29(f). Otro sistema
de losas es el reticular que consiste en un sistema de nervios en ambas direcciones, lo que permite
lograr grandes peraltes de losa con poco peso por lo que este sistema de losa es muy apropiado para
salvar grandes luces.
Estudiaremos el comportamiento de cada uno de estos tipos de losas.
Losas unidireccionales:
Una losa trabajando en una dirección es esencialmente una viga rectangular de ancho grande respecto
de su peralte, no obstante, en el proyecto de este tipo de losas intervienen ciertos parámetros que no es
necesario revisar en el proyecto de una viga. Este tipo de losa puede ser analizado con un ancho de la
unidad representativo de la losa en todo su ancho y el análisis puede hacerse por los mismos métodos
utilizados en el proyecto de vigas rectangulares. Toda la carga debe de ser transmitida a los apoyos, que
en este caso son las vigas (como se muestra en la figura 29 (a), de manera que el acero de refuerzo para
flexión debe de colocarse perpendicular a las vigas, o sea, en la dirección en que la losa está trabajando
en flexión, sin embargo será necesario colocar armaduras en la dirección perpendicular a la dirección de
trabajo en flexión de la losa parta soportar las tensiones de retracción y térmicas.
_____Curso dMaestrDr. Joa
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
____________Concreto al C
Figur
___________
ra 29: Tipos d
___________
de losa
______________________________
65
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 66 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
La simplificación antes apuntada es el equivalente a decir, que losa está compuesta por una serie de
vigas rectangulares y adyacentes una a la otra y por supuesto, paralelas entre sí, lo que supone que el
módulo de Poisson es nulo, lo que es un criterio ligeramente conservador, ya que en la realidad, la
compresión longitudinal que como consecuencia de la flexión está presente, produce una dilatación
lateral de la zona de compresión de la viga lo que es evitado por la viga virtual adyacente. Esta dilatación
lateral produce una compresión adicional en la zona de compresión y con esto, hay un ligero aumento
en la capacidad de la viga. Este aumento en la capacidad es tan pequeño que es despreciado.
Como ya antes se explicó, el estudio de una losa de este tipo puede realizarse utilizando los criterios
usados en el proyecto de vigas rectangulares, aunque debe de tomarse en cuenta algunas limitaciones
establecidas en el reglamento, tales como las siguientes:
Espesores mínimos de losas:
En la tabla 2.9.5.a del CHOC‐2008 se muestran los espesores mínimos para en una dirección.
Por lo general el espesor de una losa, como también en las vigas, se redondea de 5 en 5 cm para
facilitar el proceso constructivo y minimizar los errores en la obra.
Recubrimiento:
El recubrimiento mínimo al acero de refuerzo que debe de proporcionarse en una losa debe de
hacerse observando el artículo 2.7.7 del CHOC‐2008
Refuerzo por contracción y temperatura:
El CHOC‐2008 requiere que cuando la armadura de refuerzo en flexión se coloque en una sola
dirección, deberá colocarse armadura de refuerzo por contracción y temperatura en la dirección
perpendicular. 2.7.12.1
La cuantía de refuerzo por contracción y temperatura, en ningún caso debe de ser menor de
0.0014 2.7.12.2.1
Cuando se use acero grado 40 o 50, = 0.002 2.7.12.2.1.a
Cuando se use acero grado 60, = 0.0018 2.7.12.2.1.b
Cuando se use acero grado mayor que 60, = 0.0018 ∗ 4,200/ 2.7.12.2.1.c
El espaciamiento del refuerzo por contracción y temperatura no debe de ser mayor que 5 veces
el espesor de la losa ni 45cm 2.7.12.2.2
Espaciamiento del refuerzo:
El espaciamiento del refuerzo en flexión en las losas debe de observarse en los límites
establecidos en el artículo 2.7.6 del CHOC‐2008.
_____Curso dMaestrDr. Joa
Ejempl
Una lo
dos tra
Kg/m2 = 4
Estime
dos cla
Tenien
Peso d
A este
tipo, si
Analiza
En el q
mome
mismo
La cuan
=
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
lo:
sa de hormig
amos iguales
y debe de 4,200Kg/cmemos el espes
aros, uno de l
ndo el espeso
e la losa por
valor, debe
n embargo e
= 1.4 +ando la secció
que los punto
nto máximo
o punto.
ntía máxima p
= 0.75 0.85
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
gón armado m
, cada uno d
utilizarse hor
. Diseñar la l
sor de la losa
os extremos e
r de la losa, e
unidad de an
de sumársele
n este ejemp
+ 1.7 = (1.ón de losa, ob
os de inflexió
para tracción
permitida po
∗ ′ 66,13
____________Concreto al C
monolítica co
de ellos de 4
rmigón ′ =osa.
observando l
es continuo y
ℎ = =es posible, ent
cho (1.00m):
e, como part
lo, no se espe
.4 ∗ 456) + (btenemos:
ón se encuent
n en la fibra
r el CHOC‐200
6,13030 + =
___________
on sus soport
.55m de luz = 280Kg/cmla tabla del re
y el otro no, d
= = 18.95tonces, calcu
= 0.19 ∗e de las carg
ecifican carga
(1.7 ∗ 500) =
tran a 3.41m
inferior de la
08 será:
0.75 0.85 ∗4
___________
tes consisten
libre tiene u
con un ace
eglamento. C
de manera qu
5cm ≡ 19cmlar todo el m
∗ 2,400 = 45gas permanen
as permanent
= 638.40 + 8
m desde el ext
a losa se encu
0.85 ∗ 2804,200
____________
tes en vigas
una sobrecarg
ero cuya ten
Como la losa s
ue la relación
odelo de carg
6Kg/m
ntes, cualquie
tes adicionale
50 = 1,488.4
tremo desco
uentra a 1.71
6,1306,130 + 4,20
___________
de 40cm de
ga de trabajo
nsión de flue
solo está form
será:
gas.
er otra carga
es.
40Kg/m
ntinuo de la
1m medidos
2
00 = 0.021
_______
67
base, de
o de 500
encia sea
mada por
2.9.5.2.1
a de este
2.9.2
losa y el
desde el
2.8.4.3
1437
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 68 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Revisemos, si efectivamente el espesor de la losa es suficiente para absorber el momento más alto del
sistema:
Ecuación de equilibrio: . ∗ , ∗ , − 4,200 + ∅ = 0
37,170(0.021437) − 4,200 ∗ 0.021437 + 384,7080.9 ∗ 100 = 0 384,70890 = 90.0354 − 17.0813 = 384,70890(90.0354 − 17.0813) = 7.65cm < 19 ∴ ó e
Selección del peralte efectivo:
Asumiendo que reforzaremos la losa con barras #4 y un recubrimiento de 2.0cm 2.7.7.1.c = 19 − 2 − 1.272 = 16.355cm ≡ 16.36cm
Refuerzo para el momento máximo que produce tracción en la fibra inferior de la losa:
∅ = 214,1760.9 ∗ 100 ∗ 16.36 = 8.89 < 14 ∴ 8.89 ∗ 1.33 = 11.83 → = 0.002889 = 0.002889 ∗ 100 ∗ 16.36 = 4.73 cmm → #4@0.27m
Refuerzo para el momento máximo que produce tracción en la fibra superior de la losa:
∅ = 384,7080.9 ∗ 100 ∗ 16.36 = 15.97 → = 0.003940 = 0.003940 ∗ 100 ∗ 16.36 = 6.45 cmm → #4@0.20m
Refuerzo por contracción y temperatura: = 0.0018 2.7.12.b = 0.0018 ∗ 100 ∗ 19 = 3.42 cmm → #4@0.37m
Espaciamiento máximo=5*19=95cm > 45cm ∴ 45cm > 37cm de manera que se acepta el arreglo de
#4@37cm 2.7.12.2.2
_____Curso dMaestrDr. Joa
Los esf
para la
El esfu= 4 =
Al igua
la colo
posible
estable
Ejercic
Ejercic
Losas t
Hasta e
adopta
apoyos
similar
aprecia
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
fuerzos corta
a viga con las
erzo cortante4,231.62 −, .. ∗ ∗ .
al que en las v
cación de las
e colocarlas
ecidas en el re
io de clase: D
io de clase: a
trabajando en
este moment
ando una form
s, se encuent
r a la que se p
arse en la figu
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
ntes, se mue
cargas indica
e máximo en 4,231.624.55 − 1.71= 2.65 <vigas y como
s barras asegu
sin entrar e
eglamento.
Detallar el dis
nalizar el agr
n dos direccio
to hemos est
ma cilíndrica,
tran trabajan
puede apreci
ura 30.
____________Concreto al C
estran en el d
das en el enu
la cara del ap(0.20 + 0.1< 0.53√280 =en cualquier
urándose que
en conflicto
seño anterior
ietamiento d
ones:
tudiado las lo
sin embargo
ndo en dos d
ar cuando se
___________
diagrama a co
unciado del ej
poyo (viga) se1636) = 3,6= 8.87 ∴tipo de elem
e se cumpla c
con las lim
.
e la losa y dis
osas trabajand
o, es común e
direcciones, e
e toma un pañ
___________
ontinuación, q
jercicio de es
erá: 89.85Kg ∴La sección emento estructu
con los anclaj
itaciones de
scutirlo.
do en una so
encontrar losa
en las que la
ñuelo de cad
____________
que es parte
ste ejemplo.
es buena y su
ural, debe de
es requerido
espaciamie
ola dirección,
as que por la
a deformació
a una de sus
___________
del análisis r
ficiente. 2.
e prestarse at
s y que las ba
nto y recub
las que se d
configuració
ón adopta un
puntas, com
_______
69
realizado
11.3.1.1
tención a
arras sea
rimiento
eforman
ón de sus
na forma
mo puede
_____Curso dMaestrDr. Joa
En este
losa en
apoyos
Para e
facilita
de los
Para e
espeso
compa
En la fi
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
e tipo de losa
n ambas dire
s en sus cuatr
Fig
el análisis de
n la labor, sin
esfuerzos con
fectos de com
or apoyada e
araciones del
gura 31 se m
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
as, los esfuerz
ecciones ya q
ro bordes, sea
gura 30: comp
este tipo de
n embargo, c
n los que está
mparación, a
en sus cuatr
caso:
uestra la losa
Figura 31: Los
____________Concreto al C
zos de flexión
ue debe de
an estos apoy
portamiento
e losas, el re
on la ayuda d
á trabajando l
analicemos un
ro esquinas
a modelada p
sa de 6.00m x
___________
n (momentos
haber compa
yos, muros, v
de las losas t
eglamento CH
de un ordena
la misma.
na losa de pl
y modelada
or placas con
x 6.00m x 0.2
___________
) son proporc
atibilidad. Est
igas o simple
rabajando en
HOC‐2008 pr
ador, se pued
anta cuadrad
a por: a) pla
n una carga de
25m con carga
____________
cionales a las
te es el caso
mente colum
n dos direccio
rovee una se
de obtener un
da de 6.00m
acas y b) ba
e 200 Kg/m2
a de 200 Kg/m
___________
s deformacion
cuando la lo
mnas.
ones.
erie de méto
n estudio más
por lado y 2
arras para h
m2
_______
70
nes de la
osa tiene
odos que
s preciso
25cm de
hacer las
_____Curso dMaestrDr. Joa
La losa
siguien
En la f
compo
En la
perpen
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
a se modeló c
ntes:
Figura 32
figura 32 se
ortamiento en
figura 33 se
ndicular.
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
con una dens
2: Deformació
muestra la
ncontrado qu
e muestran l
____________Concreto al C
sidad de mall
ón de la losa
losa deforma
ue es muy sim
los momento
Figura
___________
la ortogonal d
bajo análisis
ada bajo la a
milar al de un
os en la dir
a 33: Momen
___________
de 12 placas
por acción de
acción de la
pañuelo tom
ección X y
ntos X‐X
____________
por lado, y l
e la carga de
carga antes
mado de cada
en la figura
___________
os resultados
200 Kg/m2
s indicada. N
una de sus e
34, en la d
_______
71
s son los
Nótese el
esquinas.
dirección
_____Curso dMaestrDr. Joa
Con re
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
specto al mo
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
delo compara
Figura 35: Los
____________Concreto al C
Figura
ativo hacho c
sa de 6.00m x
___________
a 34: Momen
con barras, en
x 6.00m x 0.2
___________
ntos Z‐Z
n la figura 35
25m con carga
____________
se muestra e
a de 200 Kg/m
___________
el modelo carg
m2
_______
72
gado.
_____Curso dMaestrDr. Joa
La com
En el m
modelo
modelo
del mo
1.42%,
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
Figura 37: M
mparación res
modelo por p
o hecho por
o por placas y
odelo, por tan
, que es desp
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
Figura 36: Los
Momentos en
ulta en lo sigu
placas, el mo
barras, el mo
y es de 517.8
nto, M =51
reciable.
____________Concreto al C
sa deformada
ambas direc
uiente:
mento máxim
omento máxi
82 Kg‐m en un
17.82/0.50=1
___________
a bajo la acció
ciones como
mo encontrad
mo encontra
na barra de 0
1,034.00 Kg‐m
___________
ón de la carga
consecuencia
do es de 1,04
ado se encuen
.5m de ancho
m/m el cual p
____________
a de 200 Kg/m
a de la carga
48.91 Kg‐m/m
ntre en el mi
o, de acuerdo
presenta una
___________
m2
de 200 Kg/m
m mientras q
ismo punto q
o con la discre
diferencia de
_______
73
2
que en el
que en el
etización
e apenas
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 74 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Nótese en el diagrama de momentos presentado para el modelo por barras (Figura 37), como se
distribuyen los mismos en cada una de las barras y que en cada nudo, el momento en una dirección es
exactamente del mismo valor que para la dirección opuesta, con lo que cumple con la compatibilidad
de las deformaciones, donde por supuesto, en ese nudo solo hay una desplazamiento que es aplicable
para los extremos de las barras que concurren en ese nudo.
En los artículos 2.13 del CHOC‐2008, este reglamento expone las consideraciones para realizar por
medio de métodos empíricos el análisis de losas en dos direcciones, que es válido para losas soportadas
por muros o vigas, forjados planos o reticulares, pero también deja abierta la posibilidad de realizar el
análisis por medio de cualquier procedimiento que satisfaga las condiciones de equilibrio y
compatibilidad geométrica (artículo 2.13.5.1). Estos procedimientos se prestan para realizar análisis
rápidos, sin embargo, con el advenimiento de los ordenadores al alcance de casi cualquier persona, se
justifica desarrollar análisis más precisos en los que además, es posible investigar esfuerzos y respuesta
en puntos que los métodos aproximados presentados en el reglamento no lo permiten. Para efectos de
comparación haremos el análisis por medio del ordenador y por medio del “Método directo” mostrado
en el CHOC‐2008.
El “Método directo de cálculo” indicado en los artículos 2.13.6 del CHOC‐2008, tiene las siguientes
limitaciones:
Debe de haber por lo menos tres luces continuas en cada dirección (2.13.6.1.1)
Los paneles de losa deberán ser rectangulares con una relación de claro largo a claro corto no
mayor que 2. (2.13.6.1.2)
Las longitudes de dos claros adyacentes medidos de centro a centro de apoyos en las dos
direcciones no deberán diferir en más de 1/3 del claro largo. (2.13.6.1.3)
Se permitirá un desalineamiento máximo en cualquier dirección, entre las líneas centrales de los
ejes de dos columnas sucesivas igual al 10% del claro en la dirección del desalineamiento
(2.13.6.1.4)
Todas las cargas deberán ser gravitacionales y uniformemente distribuidas sobre todo el panel
de losa y la carga viva no podrá exceder s veces la carga muerta. (2.13.6.1.5)
Para un panel de losa con vigas entre apoyos en todos los lados, la rigidez relativa de las vigas en
dos direcciones perpendiculares 0.2 ≤ ∝∝ ≤ 5.0 2.13.6.1.6
No podrá aplicarse la redistribución de momentos indicada en el artículo 2.8.4 para losas
diseñadas por el “Método directo de diseño” (2.13.6.1.7)
Se permitirán variaciones en las limitaciones indicadas en el artículo 2.13.6.1.1 si se demuestra
por análisis que los requisitos de cumplir las condiciones de equilibrio y compatibilidad
geométrica se han satisfecho. (2.13.6.1.8)
_____Curso dMaestrDr. Joa
Donde
ancho
Y ∝ es
Ejercic
Tomem
de bas
U=760
sistem
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
∝ es la relacde losa limita
s ∝ en la direio de compar
mos una losa
se y 0.6m d
Kg/m2 .En la
a.
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
ción de rigide
ado, generalm
cción 1.
ración entre
de 25cm de
e peralte to
figura 38 se
Figura 39: M
____________Concreto al C
ez flexionante
mente por las∝=el método di
espesor con
otal, cargada
e muestra el
Figura
Momentos en
___________
e de la secció
líneas centra=
recto y el aná
3 luces en ca
con una ca
modelo des
38: Elástica d
n ambas direc
___________
ón de la viga
ales de los pa
álisis en orde
ada dirección,
rga D=300 K
sarrollado en
de la losa
cciones del sis
____________
a la rigidez f
neles adyace
enador por el
, con una ma
Kg/m2 y L= 2
el ordenado
stema de losa
___________
flexionante d
entes, es decir
lementos fini
lla de vigas d
200 Kg/m2 p
or con la elá
a
_______
75
e de un
r:
2.13.0
itos:
de 0.40m
para una
stica del
_____Curso dMaestrDr. Joa
En la fi
a este
column
figura 4
Cuyos
Elem
6 f
5 f
4 f
3 f
2 f
1 f
eje apo
1 f
2 f
3 f
4 f
5 f
6 f
Resolv=Mome
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
igura 39 se p
lo presentam
nas, se puede
40.
Figura 4
valores son lo
ento ex
fila 0
fila 0
fila 0
fila 0
fila 0
fila 0
de oyos
0
fila 0
fila 0
fila 0
fila 0
fila 0
fila 0
iendo el mism= 6.00m
nto estático:
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
uede aprecia
mos con los
e determinar
40: momentos
os mostrados
DIS
Eje xterno
0.00 ‐
0.00 ‐
0.00 ‐
0.00 ‐
0.00 ‐
0.00 ‐
0.00 ‐6
0.00 ‐
0.00 ‐
0.00 ‐
0.00 ‐
0.00 ‐
0.00 ‐
mo caso por e
= ∗ ∗____________Concreto al C
r el diagrama
elementos fi
r la distribuci
s en una dire
s en la siguien
STRIBUCIÓN
‐511.00
‐527.00
‐553.00
‐559.00
‐564.00
‐567.00
6,987.00
‐576.00
‐582.00
‐587.00
‐591.00
‐594.00
‐596.00
el método dir
= 20,520___________
a de moment
nitos de una
ón lateral de
cción de la po
nte tabla:
LATERAL DE M
Eje interno 1
596.00
617.00
640.00
669.00
710.00
792.00
9,225.00
803.00
728.00
695.00
677.00
667.00
664.00
ecto del CHO
Kg − m
___________
tos en ambas
a dirección en
e momentos
orción tributa
MOMENTOS
‐167.00
‐177.00
‐187.00
‐197.00
‐207.00
‐216.00
‐2,565.00
‐214.00
‐204.00
‐194.00
‐186.00
‐181.00
‐179.00
OC‐2008, tene
____________
direcciones d
n el ancho tr
en la losa, co
aria a un eje d
(Kg‐m)
Eje interno 2
596.00
617.00
640.00
669.00
710.00
792.00
9,225.00
803.00
728.00
695.00
677.00
667.00
664.00
emos:
___________
de todo el sis
ributario a u
omo se apre
de apoyos
‐511.00
‐527.00
‐553.00
‐559.00
‐564.00
‐567.00
‐6,987.00
‐576.00
‐582.00
‐587.00
‐591.00
‐594.00
‐596.00
_______
76
stema. Si
n eje de
cia en la
Eje externo
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 77 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Distribución general del momento estático en claros internos:
Momento negativo factorizado = 0.65 = 0.65 ∗ 20,520 = 13,338Kg − m 2.13.6.3.2
Momento positivo factorizado = 0.35 = 0.35 ∗ 20,520 = 7,182Kg − m 2.13.6.3.2
Distribución general del momento estático en claros externos:
Momento negativo factorizado interior= 0.70 = 0.70 ∗ 20,520 = 14,364Kg − m 2.13.6.3.3
Momento positivo factorizado = 0.57 = 0.57 ∗ 20,520 = 11,696.40Kg − m 2.13.6.3.3
Momento negativo factorizado exterior= 0.16 = 0.16 ∗ 20,520 = 3,283.20Kg − m 2.13.6.3.3
Y estos momentos deben de ser distribuidos entre la franja o banda de pilares y banda central, de
acuerdo con lo siguiente:
Banda de pilar:
En esta banda se encuentra una viga en el eje de apoyos con dimensiones de 0.40m de base y
0.60m de altura total, es decir, 0.35m sobresalen por debajo de la superficie inferior de la losa.
El artículo 2.13.2.4 establece que para construcciones monolíticas o completamente
compuestas, la viga incluye la parte de la losa, en ambos lados de la viga que se extiende en una
distancia igual a la proyección de la viga arriba o debajo de la losa, la que sea mayor pero no
mayor de 4 veces el espesor de la losa.
= 6.006.00 = 1.0
Definición de las propiedades de la viga y la losa: Ancho de la banda=6.00/2=3.00m = 4 ∗ 0.25 = 1.00m = 0.0108m = 0.002604m
∝= 0.01080.002604 = 4.15 = 1 − 0.63 3 = 2 1 − 0.63 ∗ 0.250.3 0.25 ∗ 0.33 + 1 − 0.63 ∗ 0.40.60 0.4 ∗ 0.63 = 0.008908 = 0.0089082 ∗ 0.002604 = 1.7105
Interpolando, el factor de distribución para banda de pilares en panel exterior=82.90%
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 78 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
De manera que, la distribución lateral de momentos será, para los claros externos:
Momento factorizado negativo interior = 0.75*14,364=10,773 Kg‐m 2.13.6.4.1
Momento factorizado negativo exterior=0.75*3,283.20=2,462.40 Kg‐m 2.13.6.4.2
Momento factorizado positivo = 0.75*11,696.40=8,772.30 Kg‐m 2.13.6.4.3
Cuando hay vigas, el 85% del momento de diseño de la banda de pilares deberá ser usado para
dimensionar la viga. (2.13.6.5.1)
Banda central:
Los momentos con los que debe de proyectarse la banda central serán la diferencia entre los
momentos totales y los momentos adjudicados a la banda de pilares o franja columnar.
(2.13.6.6)
Momento estático = 20,520.00 Kg‐m Eje
externo Eje
interno 1 Eje
interno 2 Eje
externo
Distribución longitudinal = 16.00% 57.00% 70.00% 35.00% 70.00% 57.00% 16.00%
Momentos = 3,283.20 11,696.40 14,364.00 7,182.00 14,364.00 11,696.40 3,283.20
DISTRIBUCIÓN LATERAL DE MOMENTOS
Banda columnar = 82.90% 75.00% 75.00% 75.00% 75.00% 75.00% 82.90%
Momentos = 2,721.77 8,772.30 10,773.00 5,386.50 10,773.00 8,772.30 2,721.77
Viga = 2,313.51 7,456.46 9,157.05 4,578.53 9,157.05 7,456.46 2,313.51
Losa = 408.27 1,315.85 1,615.95 807.98 1,615.95 1,315.85 408.27
Banda central = 17.10% 25.00% 25.00% 25.00% 25.00% 25.00% 17.10%
Momentos = 561.43 2,924.10 3,591.00 1,795.50 3,591.00 2,924.10 561.43
COMPARACIÓN:
Vigas =
0.00 6,987.00 9,225.00 2,565.00 9,225.00 6,987.00 0.00 FEM
2,313.51 7,456.46 9,157.05 4,578.53 9,157.05 7,456.46 2,313.51 CHOC
‐2,313.51 ‐469.45 67.95 ‐2,013.53 67.95 ‐469.45 ‐2,313.51 diferencia
‐6.72% 0.74% ‐78.50% 0.74% ‐6.72%
Losa columnar =
0.00 2,862.00 3,715.00 1,036.50 3,715.00 2,862.00 0.00 FEM
408.27 1,315.85 1,615.95 807.98 1,615.95 1,315.85 408.27 CHOC
‐408.27 1,546.16 2,099.05 228.53 2,099.05 1,546.16 ‐408.27 diferencia
54.02% 56.50% 22.05% 56.50% 54.02%
Losa central =
0.00 3,945.00 4,543.00 1,272.50 4,543.00 3,945.00 0.00 FEM
561.43 2,924.10 3,591.00 1,795.50 3,591.00 2,924.10 561.43 CHOC
‐561.43 1,020.90 952.00 ‐523.00 952.00 1,020.90 ‐561.43 diferencia
25.88% 20.96% ‐41.10% 20.96% 25.88%
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 79 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
En la tabla comparativa anterior es evidente que las diferencias son lo suficientemente grandes como
para cuestionar el método directo.
Otro aspecto digno de estudiar es la distribución lateral de momentos. Si hacemos una comparación
entre los porcentajes de distribución lateral indicados en el reglamento y los encontrados por el análisis
de elementos finitos, podemos observar que si hay una buena similaridad entre estos.
Eje externo Eje interno 1 Eje interno 2 Eje externo
Banda columnar 71.40% 74.01% 73.89% 74.01% 71.40%
Banda central 28.60% 25.99% 26.11% 25.99% 28.60%
Las gráficas a continuación muestran la distribución de momentos encontrada por el análisis por
elementos finitos donde puede apreciarse la presencia de la viga que con su inmensa rigidez con
respecto a la de la losa, absorbe buena parte del momento total.
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
‐3.00 ‐2.00 ‐1.00 0.00 1.00 2.00 3.00
DISTRIBUCIÓN LATERAL DE MOMENTOS EJE INTERNO
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 80 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Si tomamos la misma configuración de losa que antes hemos analizado, solo que en esta ocasión sin
vigas, es decir, una losa plana, y hacemos el mismo ejercicio. En la figura 41 puede observarse el
diagrama de momentos del modelo completo en el que se observa una buena distribución de
momentos en virtud de la ausencia de la viga. En la figura 42 se observa el mismo eje con sus elementos
tributarios de donde se obtuvo la información con la que se llenó las tablas correspondientes.
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
‐3.00 ‐2.00 ‐1.00 0.00 1.00 2.00 3.00
DISTRIBUCIÓN LATERAL DE MOMENTOS CENTRALES PANEL EXTERNO
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
‐3.00 ‐2.00 ‐1.00 0.00 1.00 2.00 3.00
DISTRIBUCIÓN LATERAL DE MOMENTOS CENTRALES PANEL INTERNO
_____Curso dMaestrDr. Joa
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
Figura 41:
Figura
____________Concreto al C
Modelo de lo
a 42: Eje losa s
___________
osa sin vigas:
sin vigas: Diag
___________
Diagrama de
grama de mo
____________
e momentos
omentos
__________________
81
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 82 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Momento estático = 20,520.00 Kg‐m Eje
externo Eje
interno 1 Eje
interno 2 Eje
externo
Distribución longitudinal = 0.00% 63.00% 75.00% 35.00% 75.00% 63.00% 0.00%
Momentos = 0.00 12,927.60 15,390.00 7,182.00 15,390.00 12,927.60 0.00
DISTRIBUCIÓN LATERAL DE MOMENTOS
Banda columnar = 100.00% 75.00% 75.00% 75.00% 75.00% 75.00% 100.00%
Momentos = 0.00 9,695.70 11,542.50 5,386.50 11,542.50 9,695.70 0.00
Banda central = 0.00% 25.00% 25.00% 25.00% 25.00% 25.00% 0.00%
Momentos = 0.00 3,231.90 3,847.50 1,795.50 3,847.50 3,231.90 0.00
COMPARACIÓN:
Losa columnar =
0.00 7,744.00 13,222.00 3,263.50 13,222.00 7,744.00 0.00 FEM
0.00 9,695.70 11,542.50 5,386.50 11,542.50 9,695.70 0.00 CHOC
0.00 ‐1,951.70 1,679.50 ‐2,123.00 1,679.50 ‐1,951.70 0.00 diferencia
‐25.20% 12.70% ‐65.05% 12.70% ‐25.20%
Losa central =
0.00 6,969.00 4,989.00 1,551.50 4,989.00 6,969.00 0.00 FEM
0.00 3,231.90 3,847.50 1,795.50 3,847.50 3,231.90 0.00 CHOC
0.00 3,737.10 1,141.50 ‐244.00 1,141.50 3,737.10 0.00 diferencia
53.62% 22.88% ‐15.73% 22.88% 53.62%
Y las gráficas de distribución lateral de momentos muestran la distribución muy suavizada con respecto
a las mismas del caso con vigas, como se aprecia en las gráficas a continuación:
5.00%
5.50%
6.00%
6.50%
7.00%
7.50%
8.00%
8.50%
9.00%
9.50%
10.00%
‐3.00 ‐2.00 ‐1.00 0.00 1.00 2.00 3.00
DISTRIBUCIÓN LATERAL DE MOMENTOS EJE INTERNO
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 83 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Esfuerzo cortante:
Si las losas bidireccionales están soportadas por vigas o muros, el esfuerzo cortante será típicamente
pequeño y rara vez determinante en el proyecto. Este esfuerzo puede calcularse utilizando las áreas
tributarias que se muestran en la figura 41 suponiendo que la sección crítica se encuentra a una
distancia d de la cara del apoyo, sea este una viga o un muro corrido. Este esfuerzo cortante /∅ no debe de ser superior a: = 0.53 ′ 2.11.3.1
5.00%
5.50%
6.00%
6.50%
7.00%
7.50%
8.00%
8.50%
9.00%
9.50%
10.00%
‐3.00 ‐2.00 ‐1.00 0.00 1.00 2.00 3.00
DISTRIBUCIÓN LATERAL DE MOMENTOS CENTRALES PANEL EXTERNO
0.00%
2.00%
4.00%
6.00%
8.00%
10.00%
12.00%
14.00%
16.00%
‐3.00 ‐2.00 ‐1.00 0.00 1.00 2.00 3.00
DISTRIBUCIÓN LATERAL DE MOMENTOS CENTRALES PANEL INTERNO
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 84 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
En el caso de que la losa esté soportada por pilares sin la presencia de vigas, el esfuerzo cortante se
desarrolla en dos formas:
En acción en dos sentidos, alrededor de las caras de la columna o pilar en un fenómeno llamado
“punzonamiento”. El reglamento CHOC‐2008 en sus artículos 2.11.12 presenta las provisiones
para el manejo de este tipo de esfuerzo. En este caso, la resistencia al cortante del hormigón de
la losa se determina de la siguiente forma:
= 0.265 2 + ′0.265 2 + ′1.06 ′ 2.11.12.2.1
Donde:
es la relación entre el lado largo y el lado corto de la columna. ∝ es igual a 40 para columnas interiores, 30 para columnas de orilla y 20 para columnas de
esquina.
es el perímetro del plano de falla tomado a una distancia d/2 de la cara de la columna eselperalteefectivodelalosa
En acción de viga en la losa debe de ser analizado como una viga asumiendo que la sección
crítica se encuentra a una distancia d de la cara de la columna y participa todo el ancho de la
losa. En este caso, la aportación del hormigón de la losa se determina por medio de:
= 0.53 ′ 2.11.3.1
Las losas deben de revisarse para que satisfagan ambos tipos de esfuerzo cortante, ya sea por la
capacidad aportada por el hormigón o por la combinación de este con la resistencia aportada por
armaduras de refuerzo colocadas al efecto. En el caso de que los esfuerzos por acción en dos sentidos
(punzonamiento) superen la capacidad del hormigón de la losa en un valor tal que el esfuerzo que debe
ser resistido por las armaduras sea mayor que el permitido, la solución es la colocación de capiteles o
ábacos, los cuales consisten en un macizo de hormigón en la zona de la columna cuyas dimensiones
deben de ser determinadas para satisfacer los requisitos antes expuestos.
En cuanto a la acción en dos sentidos, la figura 43 muestra en línea discontinua, algunas de las formas
posibles de áreas cargadas identificando el perímetro crítico (a una distancia d/2 de la cara de la
columna) que es donde debe de hacerse la revisión. Si el hormigón de la losa no es capaz de absorber la
totalidad del esfuerzo de cortante en dos sentidos, existe la posibilidad de reforzar la losa, siempre que
el esfuerzo cortante nominal total del hormigón reforzado sea ≤ 1.59 ′ .
_____Curso dMaestrDr. Joa
El refu
perpen
Ejempl
Una lo
que pe
debe d
El esfu= ∅
= m= 1
= 2 = 2puede
(2.11.1
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
uerzo puede
ndiculares a la
Figura 43: Lín
lo:
sa plana de 1
ermiten un pe
de transmitir u
erzo por pun∅ = 0.85menor 00.26515.36Kg/cm25.25Kg/cm25.25Kg/cmreforzar y
12.3.2).
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
e consistir e
a cara de la co
neas disconti
19cm de espe
eralte efectiv
un esfuerzo c
zonamiento s51,500∗ 4(25 + 15)0.265 2 +5 2 + 1.0 > = 15.> 1.59√21requiere qu
____________Concreto al C
en sistema
olumna y que
nuas muestra
sor está sopo
vo de 15cm. L
cortante a la c
será: ) ∗ 15 = 25.2′ = 0.2′ = 0.2656 ′ = 1.0
.36Kg/cm p
10 = 23.04Kge se le aum
___________
de anillos f
e deben de es
an perímetros
ortada por co
La resistencia
columna de
25Kg/cm
265 2 + √5 2 + ∗(6√210 = 15por lo que req
g/cm ∴ La ente el mism
___________
fijados por
star ancladas
s críticos de c
lumnas de 25
a del hormigó= 51,500K
√210 = 23.01) √210 = 2.36Kg/cmquiere refuer
losa tiene u
mo o se le c
____________
medio de b
dentro del n
cortante en d
5cm de arista
ón es ′ = 2Kg. ¿Requiere
1Kg/cm22.08Kg/cmzo
un espesor in
coloque un c
___________
barras longit
ucleo de la co
dos direccione
a y armada po210Kg/cm .
e refuerzo la
2.11
nsuficiente, n
capitel a la
_______
85
tudinales
olumna.
es
or flexión
La placa
placa?
1.12.2.1
no se le
columna
_____Curso dMaestrDr. Joa
Tambié
consec
compo
Estos e
En don
A es el
lado la
posició
ejes or
Donde
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
én deben de
cuentemente
ortamiento de
esfuerzos pue
nde:
área de la se
argo; M es e
ón del punto d
rtogonales.
el subíndice
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
tomarse en c
estén partic
e los mismos
eden calculars
ección crítica
el momento
de la sección
c se refiere a= 1____________Concreto al C
cuenta los mo
ipando en el
en una porció
Figura 44: Es
se por medio
= − ±(plano de fal
actuante, e
crítica donde
= ±a la columna o1 − 11 + 23
___________
omentos que
esfuerzo de
ón de losa ba
sfuerzos de pu
de la expresi
± ±lla); el subínd
es la fracción
e f es máximo
+2 ; =o pedestal
++ ; =___________
e pudieran es
punzonamie
ajo la acción d
unzonamient
ión de Navier
≤ ∅dice L se refie
n del momen
o, expresadas
± +2
= 1 − 11 + 23____________
star actuando
nto. En la fig
de los efectos
to
r:
ere al lado co
nto desequili
s en el sistem
1 ++
___________
o en la colum
gura 44 se mu
s de punzonam
rto y el subín
brante; x e
ma de coorden
_______
86
na y que
uestra el
miento.
ndice B al
y son la
nadas de
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 87 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
= ( + )2 + ( + )3 + ( + )( + )
= ( + )2 + ( + )3 + ( + )( + )
Tarea #1:
Para la losa descrita a continuación, proyectar lo solicitado además de revisar el agrietamiento, el
control de deflexiones y realizar el detallado resultante.
1. Un forjado bidireccional de hormigón armado compuesto de recuadros de 6.00m x 7.50m
soportados por pilares alineados hormigonados monolíticamente con la losa, utiliza hormigón ′ = 280Kg/cm y acero con un límite de fluencia = 4,200Kg/cm . Proyectar el recuadro
exterior indicado en la figura para soportar una carga U=625 Kg/m2 además del peso propio del
sistema. Las vigas del sistema de entrepiso son de 35cm de base y 50 cm de peralte total incluyendo
el espesor de la losa.
2. Proyectar la viga.
3. Para el mismo caso del ejercicio anterior, proyectar lo solicitado pero en el sistema no hay vigas.
4. Hacer las comparaciones por medio de Kg de acero/volumen de hormigón y de los volúmenes de
hormigón utilizados en los ejercicios 1 y 2
5. Revisar si el peralte seleccionado en el caso del numeral 3, falla por punzonamiento y discutir
respecto del resultado.
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 88 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
ZAPATAS
Las zapatas son un elemento estructural que sirve como vínculo a tierra. Son a través de las cuales, la
estructura transmite todas las cargas que está soportando al suelo y con la respuesta de la zapata, lograr
satisfacer el equilibrio en todas las condiciones de carga que componen el modelo de cargas de la
estructura.
Las zapatas pueden ser aisladas, combinadas o losa de cimentación y su tratamiento como elemento
estructural es el mismo que el que se le debe de dar a una losa de hormigón. También pueden ser
cabecera de un grupo de pilotes mediante la cual, el grupo de pilotes recibe las cargas que la estructura
necesita transmitir al suelo.
Las zapatas pueden ser cuadradas, rectangulares, circulares, octagonales o corridas. Por lo general el
proyecto de una zapata se hace para plantilla cuadrada o rectangular de manera que su desarrollo en
obra sea sencillo pues además no estará a la vista de ninguna persona, una vez terminada la estructura y
en servicio, de manera que no necesita cumplir con ningún requisito de carácter estético.
El tratamiento en flexión de una zapata es el mismo que el que se le da a una losa en dos direcciones, si
la zapata es una zapata aislada, o a una losa en una dirección si la zapata es corrida. También el cortante
debe manejarse igual que como se maneja en losas en una o en dos direcciones según sea el tipo de
zapata (aislada o corrida).
Nos limitaremos a estudiar el comportamiento de las zapatas aisladas desde el punto de vista
estructural y no geotécnico. Como el tratamiento de este tipo de elemento es el mismo que debe de
darse en losas, con algunas consideraciones específicas, tales como el recubrimiento, haremos la
aplicación de estos conocimientos en forma directa en un ejemplo.
Ejemplo:
Una zapata aislada de 4.00m x 4.00m tiene un pedestal centrado de sección cuadrada de 0.80m de
arista armada con barras #8, que transmite a la zapata una carga vertical factorizada de =480,000Kg, un momento alrededor del eje x de = 12,000Kg − m y alrededor del eje y de = 8,000Kg − m. Proyectar la estructura de la zapata con un hormigón ′ = 280Kg/cm y un
acero de refuerzo = 4,200Kg/cm .
Lo aconsejable, es iniciar estableciendo los límites dentro de los cuales podemos tomar decisiones.
Anclaje de las barras de refuerzo de la columna en la zapata con gancho estándar: = 318 ∗ .√ = 48.27cm 2.12.5.2
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 89 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Diámetro de las barras de refuerzo de la zapata: asumir barras calibre #8 armada en dos
direcciones.
Estimar el peralte efectivo (2.7.7.1): ℎ = 7.50 + 2.54 + 2.54 + 48.27 = 60.85 ≡ 65cm ∴ = 65 − 7.5 − . = 56.23cm
Esfuerzo máximo de punzonamiento en el hormigón (2.11.12.2.1): = 4(80 + 56.23) = 544.92cm
= menor 0.265 2 + ′ = 0.265 2 + √280 = 26.61Kg/cm0.265 2 + ′ = 0.265 2 + ∗ .. √280 = 9.65Kg/cm1.06 ′ = 1.06√280 = 17.74Kg/cm
= 17.74Kg/cm
Revisión por punzonamiento: = 544.92 ∗ 56.23 = 30,640.85cm
= 480,000(4.00) ∗ (4.00 ) − (0.8 + 0.5623) = 424,324.16Kg = ± + ℎ2 = 80 + 56.232 = 68.12cm
= ± + ℎ2 = 80 + 56.232 = 68.12cm
= 1 − 11 + 23 80 + 56.2380 + 56.23 = 0.40 = 1 − 11 + 23 80 + 56.2380 + 56.23 = 0.40 = 56.23(80 + 56.23)2 56.23 + (80 + 56.23 )3 + (80 + 56.23)(80 + 56.23) = 79,256,985.80cm
_____Curso dMaestrDr. Joa
= 5= 7
= 430
= 15Cortan
Los esf
= 44.= 3322
Que co
figura
la zapa
La secc
el caso
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
6.23(80 + 5279,256,985.80480,0000,640.85 ± 05.67 ± 0.412nte por acción
fuerzos en la 480,00000 ∗ 4.00 ±31,87530,37529,62528,125 Kg/orresponde a
45, que prese
ata.
Figur
ción crítica de
o de este aná
28,12
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
6.23) 56.230cm .40 ∗ 12,00079,2566 ± 0.2750 =n de viga:
zona de cont12,000 ∗ 2.04.0012/m
a la presión e
enta el diagra
ra 45: Diagram
e cortante de
lisis, 4 seccio
25 Kg/m2
____________Concreto al C
+ (80 + 563∗ 100 ∗ 68.1,985.80= 16.3615.8115.5314.98acto entre la 0 ± 8,000 ∗4.0012
ejercida al su
ama con la d
ma de distribu
be de investi
nes críticas, s
29,625 K
___________
6.23 ) + (8012 ± 0.40 ∗ 879
< = 1zapata y el su2.00 = 30,0
uelo en cada
istribución de
ución de pres
garse a una d
sin embargo
30,
Kg/m2
___________
+ 56.23)(808,000 ∗ 100 ∗9,256,985.8017.74 ∴ nuelo serán:
00 ± 1,125 ±
esquina de
e presiones e
siones en la p
distancia d de
es evidente,
,375 Kg/m2
____________
0 + 56.23)
∗ 68.120
no requiere r
± 750
la zapata co
ejercidas al su
plantilla de la
e la cara de la
que si la secc
31,875
___________
efuerzo.
mo se muest
uelo en la pla
zapata
a columna, es
ción que pres
Kg/m2
_______
90
tra en la
antilla de
to es, en
senta las
_____Curso dMaestrDr. Joa
presion
soport
Las pre
De ma
= 12 = 1= 0Por lo q
Flexión
La secc
=____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
nes más alta
ada por el ho
Figura 4
esiones serán
nera que la c12 31,875 +2127,982.22K.53√280 ∗ 40que la secció
n:
ción crítica a f
14 (31,875 +___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
as y consecu
ormigón, el re
46: planta de
: = 29,625= 28,125
arga factoriza30,375 +Kg 00 ∗ 56.23 =n se acepta p
flexión será la
= 29,6= 28,1
30,375 + 31____________Concreto al C
entemente l
esto también
zapata con s
+ (31,875 −+ (30,375 −ada de cortan31,291.29 +2= 199,472.47por buena y su
a cara de la co
25 + (31,87525 + (30,3751,975 + 29,472
f2=29,
___________
a que tendr
lo será.
sección crítica
− 29,625) ∗ 24.00− 28,125) ∗ 24.00nte por acción+ 29,791.297Kg > V∅ = 1uficiente.
olumna, en d5 − 29,625)4.005 − 28,125)4.0075) ∗ 4.00 ∗ (
,791.29 Kg/m
___________
rá los mayor
a y diagrama
2.9623 = 31,2.9623 = 29,n de viga es:
∗ 4.00 ∗ 2.127,982.220.85 =onde los mom∗ 2.40 = 30,∗ 2.40 = 29,(2.00 − 0.4)
3
m2
f1=31,2
____________
res esfuerzos
de presiones
291.29Kg/m791.29Kg/m.00 − 0.802 −= 150,567.3mentos serán
,975Kg/m
,475Kg/m
30,375 Kg/m2
291.29
___________
s, es adecuad
de carga
m
m
0.5623
2Kg n:
2
31,875
_______
91
damente
Kg/m2
_____Curso dMaestrDr. Joa
= ∅ == 0
De igua
Ejercic
Para el
El proc
utilizar
despla
conven
Para es
En el c
48 y 49
un med
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
158,336Kg −= 158,3360.9 ∗ 400 ∗0.0033 ∗ 100al forma, deb
io de clase:
l ejemplo ant
cedimiento an
r el criterio d
zamientos m
niente investi
sto, es muy ú
caso de hacer
9, es necesari
dio elástico d
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
−m ∗ 100∗ 56.23 = 1∗ 56.23 = 1be de revisars
erior, revisar
ntes descrito
de Navier es
mucho mayor
igar la respue
til modelar la
Figura 47: m
r una modela
io conocer el
e apoyo.
Figura
____________Concreto al C
3.9104 ∗ 1.38.74 cmm →e la flexión e
la flexión y e
y ejemplifica
lógico, sin e
res en los p
esta del suelo
a zapata por e
odelo por ele
ción por elem
módulo de s
a 48: Discretiz
___________
3 = 18.50 >#8@0.27mn la dirección
el cortante en
ado, es válido
embargo, cua
puntos de co
o para determ
elementos fin
ementos finito
mentos finitos
ubgrado del
zación de la z
___________
> 14 ∴ = 4n perpendicul
n los planos pe
o cuando la b
ando la base
oncentración
minar los mo
nitos, como se
os de la zapat
s, cuya discre
suelo de base
zapata en isom
____________
144,200 = 0.00lar.
erpendiculare
base es roca
e es suelo, es
de esfuerzo
mentos y los
e muestra en
ta del ejercici
etización se m
e, parta pode
métrica
___________
33
es a los ya rev
y consecuen
ste se compo
os, en cuyo
cortantes de
la figura 47.
io
muestra en la
er modelar es
_______
92
visados.
temente
orta con
caso, es
e diseño.
as figuras
ste como
_____Curso dMaestrDr. Joa
En este
inferir
Lo cier
embar
utilidad
en el q
obtene
Los res
y 51, d
los dep
mome
estos e
la obra
permit
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
e caso en par
este valor de
rto es que lo
go estas tab
d para poder
que se está de
er más inform
sultados obte
donde puede
plazamientos
nto como el c
esfuerzos, au
a, sin embarg
tir mayores cu
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
Figu
rticular, hemo
e la tabla a co
T
Arena suelta
Arena con de
Arena densa
Arena arcillo
Arena medio
Arcilla ( ≤Arcilla (20 <Arcilla ( >o recomenda
blas, producid
r hacer los an
esempeñando
mación al resp
enidos, luego
apreciarse q
en la losa de
cortante, muy
mentar la rig
o, debe de an
uantías de ref
____________Concreto al C
ura 48: Discre
os usado el va
ntinuación:
Tipo de suelo
ensidad medi
sa con densid
o densa con se20Ton/m )< ≤ 40 Ton80Ton/m )able es inves
das por inve
nálisis prelimi
o la estructur
pecto.
de correr el m
ue debido al
e la zapata, s
y cerca de la a
gidez de la za
nalizarse que
fuerzo.
___________
etización de la
alor de =
a
dad media
edimentos ) n/m ) ) stigar este va
stigadores lu
nares y con e
ra en proyect
modelo antes
comportami
e han produc
aplicación de
pata es una b
es más oner
___________
a zapata en p
3x10 Kg/mValores d
500,000 –
1,000,000
6,500,000
3,250,000
2,500,000
1,200,000
2,400,000
>
alor en el ca
uego de hace
estos, formar
to. En la asign
s mostrado, s
iento elástico
cido concent
e la carga. Par
buena técnica
roso, si aume
____________
planta
m pero para
de
– 1,600,000
0 – 8,150,000
– 13,000,000
0 – 8,000,000
0 – 5,000,000
0 – 2,400,000
0 – 4,800,000
> 4,800,000
ampo por m
er muchas p
rse un mapa
natura de “Cim
son las mostr
o del suelo y
raciones de e
ra lograr una
a, aunque po
ntar el peralt
___________
uso general s
0
edio de ensa
pruebas, son
mental del e
mentaciones”
adas en las fi
consecuente
esfuerzos, tan
mejor distrib
or supuesto, e
te total de la
_______
93
se puede
ayes, sin
de gran
escenario
” podrán
guras 50
emente a
nto en el
ución de
encarece
zapata u
_____Curso dMaestrDr. Joa
Este ti
acuerd
sumem
el anál
respec
lo cual
Si tom
encont
mome
proyec
Si usa
encont
y la su
78.13%
la may
Igual tr
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
po de anális
do a las solici
mos todos los
lisis utilizando
to al encontr
es aceptable
amos las zap
tramos que
nto total en
ctarse para es
ndo el mism
tramos que e
ma de los mo
% del momen
or rigidez del
ratamiento d
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
Figur
Figu
sis permite h
taciones enc
momentos a
o el criterio d
rado en el pri
e.
atas y la divid
el momento
n la sección
se momento y
mo modelo g
el momento t
omentos que
to total, con
suelo de bas
ebe de dárse
____________Concreto al C
ra 50: Distribu
ra 51: Distrib
hacer una dis
ontradas en
alrededor del
de Navier, en
mer análisis (
dimos en ban
o en la ban
que tiene u
y el resto par
geométrico y
otal alrededo
e se distribuir
lo que se pue
se.
le en el anális
___________
ución de mom
bución de cort
stribución m
las zonas co
eje que pasa
ncontrando
( = 158,3ndas de colum
nda de colum
un ancho de
a las franjas d
y de cargas
or del mismo
ían en la ban
ede observar
sis a los esfue
___________
mentos en la
tantes en la z
ás apropiada
rrespondient
a por la cara d= 149,19236Kg − m),
mna y banda
mna es =e 2.00m, de
de losa adyac
anterior, p
eje antes an
nda de colum
r una mejor d
erzos cortante
____________
zapata
zapata
a del armado
tes. Para efec
de la column2Kg − m qu
es decir, una
central, para= 121,143Kmanera, qu
centes.
ero con un
nalizado es
nas = 11distribución co
es.
___________
o colocando
ctos de comp
a en donde s
e son un 94.
a diferencia d
a la sección aKg − m = 81.ue ese ancho
= 13x10= 143,88612,427Kg −omo consecu
_______
94
este de
paración,
se realizó
22% con
e 5.78%,
analizada 20% del
o puede
Kg/m 6Kg − m m, o sea
uencia de
_____Curso dMaestrDr. Joa
MURO
Los mu
líquido
Cuando
y cons
tierra d
Desde
puede
solució
Si el m
analiza
restricc
compo
muro.
Ejempl
Un tan
como s
un valo
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
OS DE RETENC
uros de reten
o como suced
o se habla de
ecuentement
de relleno al m
un punto de
estar trabaja
ón que se esté
muro de reten
ar este muro
ciones y las r
ortamiento de
lo
nque de plant
se muestra e
or = 13x1
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
CIÓN
nción pueden
de con las es
e muros de re
te, requiere c
muro bajo an
e vista estruc
ando en vola
é investigand
nción es parte
en el espacio
rigideces que
el mismo y a
ta cuadrada
n la figura 5210 Kg/m .
Figura 52: mo
____________Concreto al C
n ser usado p
structuras de
etención de t
conocer las p
nálisis.
ctural, los mu
adizo o con a
o.
e de un “cube
o con las dim
en el sentido
su vez, enco
de 8.00m de
2, por elemen
odelo por ele
___________
para contener
tanques de
ierra, el prob
propiedades d
uros de reten
apoyo en su p
eto” como su
mensiones qu
o perpendicu
ontrar los esf
arista y 3.00
ntos finitos in
ementos finito
___________
r un relleno d
almacenamie
blema tiene in
del suelo par
nción son una
punta, depen
uele llamárse
ue el depósito
ular al muro e
fuerzos en ca
0m de altura
ndicando en
os del depósi
____________
de tierra o b
ento de agua
nteracción co
ra el cálculo
a losa, gener
ndiendo de la
le a los depó
o tiene, para
en análisis, e
ada dirección
contiene ag
los apoyos, u
to del ejemp
___________
ien para cont
a o de otros
on el tema ge
de los empuj
ralmente vert
a configuraci
ósitos, es conv
tomar en cu
stán influyen
para el proy
ua y se ha m
un apoyo elás
lo
_______
95
tener un
líquidos.
otécnico
jes de la
tical que
ón de la
veniente
uenta las
ndo en el
yecto del
modelado
stico con
_____Curso dMaestrDr. Joa
En el
resulta
simétr
Nótese
uniform
esta, q
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
modelo de i
ados se mues
icas, de mane
e en la figura
mes debido a
ue están sirv
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
ndicó que la
stran en los d
era que si ana
53 como es
a la rigidez d
iendo de “ap
Figu
____________Concreto al C
as losas de l
diagramas a
alizamos una
Figura 53: Elá
la elástica de
de las parede
oyo” lateral a
ra 54: Diagra
___________
as paredes y
continuación
de las parede
ástica de una
e una de las p
es que se enc
a esta pared.
ma de mome
___________
y el piso ten
n: Las cargas
es, estaremos
de las parede
paredes, en d
cuentran per
entos de una
____________
ndrán un esp
en este caso
s analizando
es
donde los des
rpendiculares
pared
___________
pesor de 25
o, son perfec
las cuatro.
splazamiento
s en los extre
_______
96
cm. Los
ctamente
os no son
emos de
_____Curso dMaestrDr. Joa
En la f
análisis
alreded
de aná
En la f
“apoyo
para el
puede
mome
cortant
por ele
en zon
mismo
respec
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
figura 54, ob
s, en donde p
dor de los eje
lisis se encue
igura 55 pod
o” de las pare
l análisis. Con
observar qu
nto y ordena
tes que se m
ementos finit
nas específica
o valor para lo
to al eje perp
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
servamos el
podemos apr
es verticales,
entran en los
Figu
emos aprecia
edes perpend
n respecto a l
ue en la junt
adas de mom
uestran en la
tos, podemos
as de la estru
os puntos ady
pendicular de
____________Concreto al C
diagrama de
eciar que hay
como consec
extremos de
ura 55: Diagra
ar el diagram
diculares que
a losa de piso
a entre esta
mento muy p
a figura 57. T
s, dependiend
uctura, ya qu
yacentes, a p
los mismos.
___________
e momentos
y momentos
cuencia de la
esta última.
ama de corta
ma de cortant
se encuentra
o, en la figura
losa y las p
equeñas en
También es im
do de la discr
ue los mome
pesar de esta
___________
de la pared
tanto alrede
influencia qu
ntes de una p
es en el que
an en los extr
a 56 se muest
paredes se e
el centro de
mportante se
retización, de
entos o los co
r a la misma
____________
que hemos
dor de los ej
ue las paredes
pared
también es e
remos de est
tra el diagram
ncuentra los
l claro. Lo m
eñalar, que a
eterminar los
ortantes en
altura o a la
___________
seleccionado
es horizontal
s perpendicul
evidente el e
ta pared selec
ma de momen
mayores va
mismo sucede
l realizar este
s esfuerzos d
un punto no
misma dista
_______
97
o para el
les como
lares a la
efecto de
ccionada
ntos y se
alores de
e con los
e análisis
e diseño
o son del
ancia con
_____Curso dMaestrDr. Joa
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
Figura
Figura
____________Concreto al C
a 56: Diagram
a 57: Diagram
___________
a de moment
ma de cortant
___________
tos de la losa
tes de la losa
____________
a de piso
de piso
__________________
98
_____Curso dMaestrDr. Joa
El proy
losa, p
recubr
durabi
Así mis
el reg
depend
carga q
Ejercic
Para la
Proyec
Tarea #
Model
toman
losa de
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
yecto de este
pero por su
imiento y el t
lidad de la es
smo el mode
lamento CH
diendo del tip
que servirán p
io de clase:
a pared de la f
ctar la pared p
#2:
ar el tanque
do en cuenta
e piso.
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
e tipo de estr
puesto, debe
tamaño máxi
structura.
lo de cargas a
OC‐2008, do
po de carga p
para la determ
figura 54 , los
por flexión y d
mostrado d
a la flexión, el
____________Concreto al C
ructura recib
en observars
mo de grieta
aplicado debe
onde se ind
primaria, part
minación de l
s valores de lo
desarrollar el
el ejercicio a
cortante y e
95
1
1
97
6
3
___________
e el mismo t
se y respeta
permisible (o
e de estar de
ica los coef
ta conformar
os esfuerzos
os momentos
detallado.
anterior por
l agrietamien
4,193Kg‐m
0Kg‐m
,588Kg‐m
,298Kg‐m
79Kg‐m
639Kg‐m
321Kg‐m
1,295Kg‐m
1231K
___________
tratamiento q
arse algunas
o tensión má
e acuerdo a lo
ficientes de
los diferente
de diseño.
s en servicio (
elementos fi
nto y desarrol
3,863Kg‐m
4,112Kg‐m
759Kg‐m
913Kg‐m
1,231Kg‐m
____________
que el que de
s particularid
xima en la gr
os requerimie
carga que
es escenarios
(no factorizad
initos y proy
llar los detalle
2000Kgm
2,813Kg‐m
3,435Kg‐m
539Kg‐m
648Kg‐m
g
___________
ebe de dárse
dades tales c
rieta) para ase
entos estable
deben de a
de combinac
dos) son:
yectar la losa
es constructiv
361Kg‐m
1,066Kg‐m
2,000Kg‐m
401Kg‐m
_______
99
ele a una
como el
egurar la
ecidos en
aplicarse,
ciones de
de piso
vos de la
2,0975Kg‐m
5,136Kg‐m
4,553Kg‐m
3,925Kg‐m
2,964Kg‐m
1,570Kg‐m
389Kg‐m
m
_____Curso dMaestrDr. Joa
Otro u
como a
de rell
asignat
de hor
de carg
Existen
muro.
Los em
de las e
Donde
es e∅es e
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
uso de los mu
antes se expl
leno, los cua
tura, la discus
migón armad
gas de empuj
n varios tipos
Estos empuje
Empuje act
Cuando el m
dirección y
Empuje en
Cuando el m
Empuje pas
Cuando el m
mpujes se calc
expresiones c
el coeficiente
l ángulo de fr
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
uros de reten
icó, es posibl
ales se obtie
sión de los em
do sometidos
e.
de empuje, d
es se clasifica
ivo:
muro en su ex
sentido del e
reposo:
muro en su ex
sivo:
muro en su ex
culan en func
clásicas, como
=
de empuje a
ricción intern
Figura 5
____________Concreto al C
nción es rete
le determina
enen por me
mpujes de tie
a ese empuj
dependiendo
n en:
xtremo libre
empuje de rel
xtremo libre n
xtremo libre p
ción de un co
o la de Rankin
(∝) (∝ −activo
a del suelo; ∝
58: Definición
___________
ener tierra de
rlo por medio
dio de ensay
erra, más bien
e, y para ese
de las condic
puede despla
leno.
no puede des
puede despla
eficiente de e
ne, mostrada(∝− ) 1 +∝, y están
de variables
___________
e relleno. En
o de los pará
yes en labor
n, el estudio
efecto, estud
ciones de des
azarse entre
splazarse.
azarse en cont
empuje, el cu
a continuaci
+∅)(∅ + )( − )n definidos en
en muro de
____________
estos casos
ámetros físico
ratorio. No e
del comporta
diaremos som
splazamiento
0.001 y 0.05
tra del rellen
ual puede ser
ón:
(∅ + )( + )n la figura 58
hormigón
___________
1
el modelo d
o mecánicos d
es propósito
amiento de lo
meramente el
que se le per
la altura del
o.
r calculado po
_______
100
de carga,
del suelo
de esta
os muros
l modelo
rmitan al
muro en
or medio
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 101 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Este coeficiente de empuje activo puede tener valores de entre 0.22 a 0.33 para suelos granulares y de
entre 0.5 a 1.00 para suelos cohesivos. Mientras que para el muro en reposo, el coeficiente de empuje
neutro ( ) tendrá valores entre 0.4 y 0.6 para suelos granulares y entre 0.4 y 0.8 para suelos cohesivos.
Con respecto al coeficiente de empuje pasivo puede también calcularse por medio de las teorías
clásicas, como la de Rankine, mostrada a continuación:
= (∝ +∅)(∝) (∝ − ) 1 − (∅ + ) (∅ + )( − ) ( + )
Estas expresiones antes mostradas nos darán el empuje horizontal estático contra el muro, no obstante,
es necesario investigar la respuesta del muro en escenarios de sismo, para lo que debe de acoplarse en
el modelo de cargas, los efectos del sismo. Para ese efecto, la teoría de empuje por sismo más utilizada
es la de Mononobe‐Okabe. Este planteamiento parece ser muy general pues considera muchas variables
pero por la misma razón, tiene sus limitaciones. En base a las calibraciones numéricas realizadas, se han
derivado dos expresiones simples para obtener el incremento del empuje activo por efectos del sismo ( ): si0 < < 0.2 → ∆ = 1.155 − ∅75 si0.2 < < 0.35 → ∆ = ∅560 − 0.08 + 1.6 − ∅45
Donde es el coeficiente sísmico horizontal que representa la resistencia al deslizamiento con que
debe de diseñarse el muro y que está en función del desplazamiento relativo aceptado y aceleración
pico del suelo esperada, para lo que la siguiente tabla, es usada:
Ecuación
0.35 = 0.622 − 47
0.25 = 0.586 − 47
0.18 = 0.551 − 47
0.10 = 0.489 − 47
La resultante de este empuje por efecto del sismo debe de aplicarse a la mitad de la altura del muro.
_____Curso dMaestrDr. Joa
Ejempl
Desarr
Hondu
los sigu∅ = 35== 75= 1,= 0
Iniciem
=
Si se ad= ∆ =
Los em
Estátic
Dinám
Con lo
análisis
agrieta
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
lo:
rollar el mode
ras. El muro
uientes parám5º = 0º 5º 650Kg/m 0.22
mos calculand
(75)dopta un des0.586 − 47= ∅560 − 0
mpujes serán:
o: = 1,65ico: = 1,6o que se pue
s para proy
amiento, ancl
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
elo de cargas
de retención
metros:
o el empuje e
(75 − 15)plazamiento = 0.586.08 + 1.6 −
0 ∗ 0.2452 ∗650 ∗ 0.0883de hacer el
yectar el m
aje, etc.).
____________Concreto al C
para el proye
n deberá ser d
estático: (75 + 3) 1 +=0.05m 6 − 0.0547 0.2
− ∅45 =
10 = 40,45∗ 10
análisis de e
uro y que
___________
ecto de un mu
de hormigón
5)(35 + 75)(75 − 15)22 = 0.128735560 − 0.0
58Kg/m
estabilidad ex
cumpla con
___________
uro de retenc
reforzado de
(35 + 0)(35 + 0)
08 + 1.6 −
xterna (volteo
n su estabil
____________
ción para una
e 10.00m de
= 0.2452
3545 ∗ 0.1287
o, deslizamie
lidad interna
___________
1
obra en Tegu
altura de rel
7 = 0.0883
ento y soport
a (flexión, c
_______
102
ucigalpa,
leno con
te) y los
cortante,
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 103 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
MUROS DE CORTANTE
Los muros de cortante son un elemento estructural muy usado con el propósito de aportarle, por medio
de ellos, rigidez a la estructura, necesidad que es muy común encontrar en edificios de altura mediana a
grande, en las que los marcos del edificio (vigas, losas y columnas) no tienen la rigidez suficiente para
que el edificio tenga una respuesta en términos de los desplazamientos del mismo, adecuada. Estos
elementos por lo general, tienen una gran rigidez y consecuentemente debe de tenerse mucho cuidado
en su ubicación en la estructura, de manera que se, una vez colocados, el centro de rigidez de la
estructura se encuentre muy cerca del centro de masas del mismo, para que las excentricidades sean
mínimas. Esto, por supuesto, requiere de la negociación técnica entre el proyectista de la estructura y el
proyectista de la arquitectura del edificio.
Los muros de cortante son en sí, una columna de cuyas dimensiones, una de ellas es grande (de 3 a 10 o
más veces su dimensión corta) por lo que adoptan una forma de pared, razón por las que se les llama
“muros” y como columnas que son, pueden ser analizadas bajo los mismos criterios, sin embargo, en
virtud que el propósito de usarlos como parte del sistema estructural, es manejar las cargas (cortantes)
laterales que como consecuencia de los escenarios de sismo o viento están actuando sobre la estructura
del edificio, se les llama “muros de cortante”. Por otro lado, el reglamento presenta algunas
particularidades que deben de ser observadas en el proyecto de un elemento de este tipo.
El proceso de proyecto de un muro de cortante es como sigue:
Revisar la necesidad de usar 2 parrillas:
El artículo 2.21.6.2.2 establece que si 0.53 ′ < deberán usarse por lo menos dos
parrillas
Establecer el límite superior de resistencia al cortante:
El artículo 2.21.6.5.6 establece que ∅ ≤ 2.12 ′
Establecer cuantía mínima de refuerzo:
El artículo 2.21.6.2.1 establece ≥ 0.0025 a lo largo de los ejes longitudinal y transversal y el refuerzo no deberá espaciarse a más de 45cm
Calcular requerimientos de refuerzo por cortante:
De acuerdo con el artículo 2.21.6.5.3 deberá satisfacerse la siguiente condición: ∅ = ∅ ∝ ′ +
Calcular requerimientos de refuerzo por flexión:
De acuerdo con el artículo 2.21.6.6.1, la sección transversal del muro deberá satisfacer los
requerimientos de los artículos 2.10 en todos los escenarios de carga factorizados. Para este
efecto, es aconsejable construir el diagrama de interacción del muro.
_____Curso dMaestrDr. Joa
Para lo
es
perpen
es
en la d
es ℎ es l
refuerz
es e
es la
estruct=plano d
Ejempl
Un edi
6.70m
edificio
constru
armad
ejempl
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
Calcular el c
Revisar si co
no, corregir
Calcular los
Observar lo
os efectos de
el área total
ndicular a la d
s el área neta
irección cons
el área de la
a dimensión
zo de confina
el área total d
a separación
tural.
donde
de
lo:
ificio de 45.1
centro a cen
o tiene una a
uidos con h
as con 24#11
lo, el momen
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
confinamient
on el armado
r el refuerzo.
anclajes del
os requerimie
las expresion
de la sección
dimensión ℎ de la sección
siderada de la
sección trans
de la sección
miento.
de la sección d
del refuerz
es la proy
10m de altur
ntro de las c
ltura de piso
ormigón ′1 y en la bas
to es = 6
F
____________Concreto al C
o de los elem
o propuesto s
refuerzo:
ntos mínimos
nes anteriores
n transversal d
n de hormigón
a fuerza corta
sversal de un
n transversal
de hormigón
zo transversa
yección en
a tiene colum
olumnas se h
a piso de 4.2= 280Kg/cmse del muro,6,792.63T −
igura 59: plan
___________
mentos de bor
e satisfacen l
s de anclaje e
s,
de todo el ref
n limitada po
ante.
miembro me
del núcleo d
al, medida a
del área d
mnas interior
ha colocado
20m y tanto lm y acero
, debido a lamyelcortan
nta del muro
___________
rde:
los requerimi
establecidos e
fuerzo transv
r el espesor d
edida de fuer
de la column
a lo largo de
del refuerzo
res de 75x75
un muro de
las columnas
de = 4,20as cargas factnteesV = 3
entre column
____________
ientos de los
en el artículo
ersal dentro
del alma y la l
ra a fuera del
a, medida de
el eje longit
cortante dist
5cm entre las
cortante de
como el mur00Kg/cm .
torizadas en 368.25T. Pro
nas
___________
1
artículos 2.21
2.21.5.4
de la separac
longitud de la
refuerzo tran
e centro a ce
tudinal del m
tribuido que
s que en un
45cm de esp
ro de cortant
Las columna
el escenario
oyectar el mu
_______
104
1.4.4 y si
ción s y
a sección
nsversal
entro del
miembro
cruza el
vano de
pesor. El
tes serán
as están
de este
uro.
_____Curso dMaestrDr. Joa
En las
respec0.53Por lo q
∅ ≤ ∅ =
Cuantí
Espacia
Mínim= 0Y como
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
figuras 59 y
tivamente. ′ = 0.5que será nece
2.12 ′= 40.85 ∗ 1,189a mínima:
amiento máx
o refuerzo tra0.0025 ∗ 45 ∗o son dos par= 2.0011.252
∅∅___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
Figura 6
60 se muest
53(45 ∗ 745)esario utilizar
= 2.12 ∗ (4433.23T 9.28T = 1,01= 0.0025 imo s=45 cm
ansversal, asu∗ 100 = 11.2rrillas, ∗ 100 = 35.
= ∅ ∝= 556,681____________Concreto al C
60: Disposició
tra en planta
√280 = 297r dos parrillas
45 ∗ 745)√2810.89T > 3
umiendo que5cm /m
56cm ≡ 35c= .. = 6′ +1.74Kg = 55
Usar 2 par
___________
ón de las arm
a, el muro en
7,319.69Kg =s de refuerzo.
80 = 1,189,268.25T ∴ la
se usarán ba
cm → 11.4286.05 > 2.0 ∴= 0.85(456.68T
illas con #5@
___________
maduras de la
ntre las colum
= 297.32T <.
278.7Kg = 1a sección del m
arras #5:
86cm →∴∝ = 0.53 5 ∗ 745) 0.53@35cm (horizo
____________
columna
mnas y el ar
< = 368.2
1,189.28T >muro es sufic
= 11.428645 ∗ 100
3√280 + 0.00
ontales)
___________
1
rmado de la
25T 2.
>368.250.85ciente 2.
2.
2.
= 0.002540 2
0254 ∗ 4,200
_______
105
columna
21.6.2.2
21.6.5.6
.21.6.2.1
.21.6.2.1
.21.6.5.3
0
2.2.6.5.3
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 106 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
≥ ≤ 2.0 2.21.6.5.5
Sin embargo, colocaremos el refuerzo mínimo de 2 parrillas #5@35 cm (verticales)
La flexocompresión, se revisará construyendo el diagrama de interacción y ploteando el Momento y la
carga axial que el muro está recibiendo para asegurar el desempeño del muro dentro de los requisitos
establecidos por el reglamento.
En virtud que el muro se encuentra entre dos columnas, podemos tomar estas como elementos de
borde.
Confinamiento en la columna:
Espaciamiento máximo:
≤ 8 ∗ 3.49 = 27.94cm24 ∗ 1.27 = 30.48cm= 37.50cm30cm ∴ = 28cm 2.21.8.5.1
Estos anillos deberán colocarse dentro de , medido desde la cara de la junta, donde: ≥ = = 70cm= 75cm45cm ∴ = 75cm 2.21.8.5.1
El espaciamiento máximo entre piernas de los anillos no deberá ser mayor que: ≤ = = 18.75cm10cm ∴ = 10cm 2.21.4.4.2
= 75 − (2 ∗ 4.00) = 4,486cm
= 75 ∗ 75 = 5,625cm
ℎ = 75 − (2 ∗ 4.00) − 1.27 = 65.75cm
= 0.09 ∗ 65.75 ∗ 10 , = 3.94cm
= 0.3 ∗ 65.75 ∗ 10 ∗ , ,, − 1 = 3.33cm 2.21.4.4.1
= 3.94cm
En el diseño de la columna se han provisto 7 piernas de barras #4, lo que es un área de refuerzo de
7 ∗ 1.29 = 9.03cm > 3.94cm
De manera que no es necesario agregar más refuerzo.
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 107 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Confinamiento del alma del muro:
≤ = 11.25cm10cm ∴ = 10cm 2.21.4.4.2
ℎ = 45 − (2 ∗ 2.00) − 1.27 = 39.73cm
= 595(45 − 4) = 24,395cm
= 0.09 ∗ 39.73 ∗ 10 , = 2.36cm
= 0.3 ∗ 39.73 ∗ 10 ∗ , ∗, − 1 = 0.7682cm
= 2.36cm → 2 parrillas #5@10 cm paralelo a la pared
ℎ = 75 − 30 = 30cm
= 0.09 ∗ 30.00 ∗ 10 , = 1.80cm
Usar 2 parrillas #5@10 cm paralelo a la pared
Longitud de desarrollo de las barras #5 con gancho estándar
≥ = 1.5875 ,√ = 23.44cm8 = 8 ∗ 1.5875 = 12.70cm15cm ∴ = 23.44cm 2.21.5.4
Longitud de desarrollo de las barras #5 rectas
≥ 2.5 = 2.5 ∗ 23.44 = 58.60cm 2.21.5.4.2
El detallado del refuerzo del muro puede ser observado en la figura 61.
_____Curso dMaestrDr. Joa
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
____________Concreto al C
Figura 61:
___________
Planta y secc
___________
ción de muro
_______________________
1
_______
108
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 109 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
COLUMNAS
Las columnas se definen como elementos que sostienen principalmente cargas a compresión. En general
también soportan momentos flectores con respecto a uno o dos ejes de la sección transversal y esta
acción puede producir fuerzas de tracción sobre una parte de la sección transversal. Aún cuando estén
manejando momentos, se hace referencia a las columnas como elementos a compresión, puesto que
estas fuerzas son las que dominan su comportamiento.
Las columnas se pueden dividir en:
Columnas cortas:
En las que la resistencia se rige por la resistencia de los materiales y la geometría de la sección
transversal.
Columnas largas:
En las que la resistencia puede reducirse en forma significativa por las deflexiones laterales
como consecuencia de su esbeltez.
El comportamiento de los elementos a compresión cortos y cargados axialmente fue estudiado al
principio de este curso, cuando se introdujeron los principios y conceptos básicos del hormigón
reforzado, en el que se demostró que para cargas bajas en las cuales, los dos materiales (el acero y el
hormigón) se mantienen en la etapa elástica, el acero toma una porción relativamente pequeña de la
carga total. Es esfuerzo en el acero es igual a n veces el esfuerzo en el hormigón: =
Donde n es la relación modular. Para esta etapa de cargas, la carga axial está dada por: = + ( − 1)
El reglamento CHOC‐2008 en su artículo 2.9.3.2, establece que la resistencia útil de diseño de una
columna cargada axialmente debe determinarse con la introducción de un coeficiente de reducción de
resistencia ∅ que para las columnas es 0.70 ó 0.75 dependiendo de la configuración de la columna. (0.75
para columnas con acero transversal en espiral y 0.70 para columnas con refuerzo transversal básico).
De manera que, será:
∅ ( ) = 0.85∅ 0.85 ′ − −
El refuerzo transversal por lo general en forma de anillos, que se provee en el armado de las columnas
tiene dos propósitos: Uno es mantener las barras longitudinales en posición mientras se hace el vaciado
del hormigón en la forma de la columna y el otro es proveer soporte lateral a estas barras, que por su
alta esbeltez, al estar la columna sometida a fuertes cargas axiales, tienden a sufrir pandeo y en esta
forma, el refuerzo transversal (anillos o espiral) reduce su longitud efectiva como la distancia de
separación entre anillos. Esa es principalmente la razón de un mayor coeficiente de reducción de
_____Curso dMaestrDr. Joa
resiste
pandeo
coloca
fallada
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
ncia cuando
o en las barr
do a un espa
por mal ancl
Figura 6
F
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
el refuerzo t
as de refuerz
aciamiento in
laje del refue
62: Diagrama
Figura 63: Col
____________Concreto al C
transversal e
zo longitudina
nadecuado y
rzo transvers
de falla de un
umna en falla
___________
s por medio
ales en una c
en la figura 6
sal.
na columna p
a por mal anc
___________
de espiral. L
columna en l
63 se muestr
por refuerzo t
claje del refue
____________
La figura 62 m
a que el refu
ra una fotogr
transversal in
erzo transver
___________
1
muestra el e
uerzo transve
rafía de una
suficiente
rsal
_______
110
fecto de
ersal está
columna
_____Curso dMaestrDr. Joa
COLUM
En edi
siempr
continu
Para e
actuan
cargad
la mism
supone
linealm
cargad
de la se
Los es
distrib
rectang
El equi
Igualm
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
MNAS CON FL
ficios y otras
re está prese
uidad entre la
efectos de co
ndo excéntric
o con una ca
ma figura se
e que las se
mente con la
o del elemen
ección, son la
sfuerzos y la
ución real d
gular equival
librio entre la
mente para el
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
LEXIÓN EN UN
s estructuras
ente la flexión
as columnas y
omprensión,
camente en
rga de compr
muestra la d
ecciones pla
distancia de
nto. Con com
as mismas qu
as fuerzas co
de esfuerzos
ente con un e
Figura 6
as fuerzas axi
momento: = =____________Concreto al C
N SENTIDO
resulta muy
n simultánea
y otros eleme
es convenien
la sección, c
resión que
istribución d
nas, perman
sde el eje ne
patibilidad to
e en el hormi
orrespondien
de compres
espesor =
64: Columna
ales internas
= 0.80.85 ′ ℎ2
___________
y raro encont
mente ya qu
entos estructu
nte sustituir
como se mue
e tiene una ex
e deformacio
necen planas
eutro, que se
otal en las de
igón adyacen
ntes son mo
sión en el h
, como se
sometida a c
y externas, e
5 ′ + ′ℎ2 − 2 + ′___________
trar columna
ue los mome
urales con la
la carga axi
estra en la f
xcentricidad e
ones unitaria
s, las deform
e localiza a u
eformaciones
te.
ostradas tam
hormigón es
e hace para la
compresión ex
exige que:
′ −
′ ℎ2 − ′ +____________
as cargadas s
ntos flectore
que esta está
al y el mom
figura 64 do
e medida des
s en una sec
maciones en
una distancia
s, las del acer
bién en la
sustituida p
s secciones e
xcéntrica
+ − ℎ___________
1
solo axialmen
es se produce
á conectada.
mento, por un
nde un elem
de la línea ce
ción cualquie
el hormigón
c desde el la
ro en cualquie
figura 64, d
por una dist
en flexión pur
ℎ2
_______
111
nte. Casi
en por la
na carga
mento es
entral. En
era. Si se
n varían
ado más
er punto
donde la
tribución
a.
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 112 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Estas dos ecuaciones anteriores, componen las dos ecuaciones básicas de equilibrio para elementos
rectangulares sometidos a compresión excéntrica.
En las ecuaciones anteriormente mostradas no se ha tomado en cuenta que la presencia de acero en la
zona de compresión, desplaza una cantidad correspondiente a la misma área de hormigón , sin
embargo, a pesar que en forma muy simple se puede incluir esto, solo es influyente en los resultados
para grandes cuantías de acero de refuerzo.
Debido a que en una estructura, es necesario investigar una buena cantidad de escenarios, de acuerdo a
los mínimos requeridos por el reglamento más los que el proyectista requiera para asegurar el buen
desempeño de la estructura, resulta sumamente trabajoso estar probando columna por columna,
escenario por escenario, por lo que una forma conveniente, en vista que no es posible trabajar con
envolventes de esfuerzos debido a la interacción entre las cargas axiales y el momento, entonces es la
construcción de un diagrama de interacción para cada columna en el que se puede plotear todas y cada
uno de los escenarios de carga.
En los diagramas de interacción se define la carga y el momento de falla, para determinada co9lumna,
en el intervalo de excentricidades desde cero hasta infinito y para cualquier excentricidad existe solo un
par de valores de y que producirán un estado inminente de falla. Esta línea de falla que resulta de
la construcción del diagrama de interacción, se divide en un intervalo de falla a la compresión y un
intervalo de falla a tracción y el punto donde se dividen estos intervalos es el correspondiente al punto
de “falla balanceada”.
En el caso de las columnas, al contrario que en las vigas, no es posible limitar el diseño de forma tal, que
en el caso de una sobrecarga, la falla se produzca por fluencia del acero y no por aplastamiento del
hormigón, ya que el tipo de falla en una columna, depende del valor de la excentricidad que resulta del
análisis del edificio, sin embargo, la identificación del punto de falla balanceada puede ser de mucha
utilidad en relación a las disposiciones de seguridad establecidas en el reglamento.
Ejemplo:
Una columna de 30cm x 50cm está reforzada con 4 barras #9, una en cada esquina. La resistencia del
hormigón a la compresión es ′ = 280Kg/cm y el acero de refuerzo presenta un punto de fluencia = 4,200Kg/cm , el acero de refuerzo transversal es mediante anillos cerrados de barras #3.
Iniciemos construyendo la sección:
Recubrimiento mínimo=4.0cm (2.7.7.1)
Factor de reducción de resistencia por flexión ∅ = 0.90(2.9.3.2.2) Factor de reducción de resistencia por compresión ∅ = 0.70(2.9.3.2.2) Módulo de elasticidad del acero = 2,030,000Kg/cm (2.8.5.2)
_____Curso dMaestrDr. Joa
Punto = 0 = 2
Si es fa′ = 0 = 0. = 1
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
de la falla ba.003 4,200,030,000 = 0
alla balancead0.003 ∗ 2,03085 ∗ 280 ∗ 2156,245.79 +
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
lanceada:
0.002069
da, = , p0,000 25.74425.1.88 ∗ 30 =+ (2 ∗ 6.45 ∗ 4
50.00 43.50
____________Concreto al C
= 43.50 0.00= 0.85por tanto: 47 − 6.50.7447 = 4156,245.79K4,200) − (2
6.50
___________
0.00303 + 0.00206∗ 25.7447 =4,552.41 KgcmKg ∗ 6.45 ∗ 4,20
3
___________
69 = 25.744= 21.88cm
g > ∴ =00) = 156,24
30.00
____________
47cm
= = 4,20045.79Kg
___________
1
0 Kgcm
_______
113
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 114 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
= 156,245.79 502 − 21.882 + 2 ∗ 6.45 ∗ 4,200 502 − 6.5 + 2 ∗ 6.45 ∗ 4,200 43.50 − 502
= 2,196,568.82 + 1,002,330 + 1,002,330.00 = 4,201,228.82Kg − cm
La excentricidad en este punto es = , , ., . = 26.89cm
Con lo que ya encontramos el primer punto, que dicho sea de paso, es el lindero entre el predominio de
la flexión y el predominio de la compresión en la columna. Para encontrar el resto de los puntos,
podemos hacer un barrido desde excentricidades iguales a cero ( = 0) hasta excentricidades tendientes al infinito ( = 0)
Encontremos estos estados. Para el Momento cero, es decir, en compresión pura, la columna presentará
una capacidad de:
= (0.85 ∗ 30 ∗ 50 ∗ 280) + (4 ∗ 6.45 ∗ 4,200) = 465,360.00Kg
Y cuando la carga axial es cero, es decir, en flexión pura, la columna presentará una capacidad de:
37,170 2 ∗ 6.4530 ∗ 43.50 − 4,200 2 ∗ 6.4530 ∗ 43.50 + 30 ∗ 43.50 = 0 = 30 ∗ 43.50 ∗ (41.17241 − 3.632043) = 2,151,264.71Kg − cm
Otra forma de encontrarlo es:
Donde = ∗ . ∗ ,. ∗ ∗ = 7.5882cm ∴ = . . = 8.9273cm
= 2 ∗ 6.45 ∗ 4,200 43.50 − 7.58822 = 2,151,264.71Kg − cm
Con lo que ya tenemos dos puntos adicionales.
Para realizar el barrido, iniciemos con escoger cuantos puntos habrán para la construcción del diagrama
y para ese efecto, entre más puntos escojamos más preciso será el mismo. Digamos que para este
ejemplo seleccionamos 10 puntos entre la falla por flexión pura y la falla balanceada, de manera que
investigaremos los pares de puntos para intervalos desde = 8.9273cm hasta = 10.3570cm lo que
nos da un punto a cada . . = 1.53cm
Primer punto = 8.9273 + 1.53 = 10.46cm
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 115 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
= 10.46 ∗ 0.85 = 8.8873cm
= 0.85 ∗ 280 ∗ 8.8873 ∗ 30 = 63,455.81Kg
Esfuerzos en el acero: = 2,030,000 0.00310.46 (43.5 − 10.46) = 19,347.46 Kgcm > 4,200 Kgcm ∴ = 4,200 Kgcm ′ = 2,030,000 0.00310.46 (10.46 − 6.50) = 2,305.58 Kgcm < 4,200 Kgcm ∴ ′ = 2,305.58 Kgcm = 63,455.81 + (2 ∗ 6.45 ∗ 2,305.58) − (2 ∗ 6.45 ∗ 4,200) = 39,017.79Kg = 63,455.81 ∗ 502 − 10.462 + 2 ∗ 6.45 ∗ 2,305.58 502 − 6.50− 2 ∗ 6.45 ∗ 4,200 43.50 − 502
= 1,254,521.36 + 550,226.67 + 1,002,330.00 = 2,856,693.99Kg − cm
Con una excentricidad = , , . , . = 73.24cm
Y así para cada uno de los 9 puntos restantes. De la misma manera, para el comportamiento con
predominio de la compresión, escogemos un número de puntos, digamos 10, de manera que el
intervalo será entre = 10.3570cmy = 50cm, entonces un punto a cada . = 2.21cm
Para efecto de estudiar como resultan los valores, encontraremos un punto en esta zona:
Primer punto = 50 − 2.21 = 47.79cm = 47.79 ∗ 0.85 = 40.6215cm = 0.85 ∗ 280 ∗ 40.6215 ∗ 30 = 290,067.80Kg
Esfuerzos en el acero: = 2,030,000 0.00347.79 (43.5 − 47.79) = −547.26 Kgcm
El signo negativo indica que el acero está en compresión
′ = 2,030,000 0.00347.79 (47.79 − 6.50) = 5,2261.69 Kgcm > 4,200 Kgcm ∴ ′ = 4,200 Kgcm
= 290,067.80 + (2 ∗ 6.45 ∗ 4,200) + (2 ∗ 6.45 ∗ 547.26) = 351,307.51Kg
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 116 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
= 290,067.80 ∗ 502 − 40.62152 + 2 ∗ 6.45 ∗ 4,200 502 − 6.50− 2 ∗ 6.45 ∗ 547.26 43.50 − 502
= 1,360,200.43 + 1,002,330 − 130,603.60 = 2,231,310.54Kg − cm
Con una excentricidad = , , . , . = 6.35cm
Y así para cada uno de los 9 restantes puntos, con los que se puede construir el diagrama de interacción
mostrado en la figura 65.
Figura 65: Diagrama de interacción de la columna
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
350.00
400.00
450.00
500.00
0.00 500.00 1,000.00 1,500.00 2,000.00 2,500.00 3,000.00 3,500.00 4,000.00 4,500.00
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 117 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
La gráfica mostrada en la figura 65 muestra la línea de falla de la columna, sin embargo, esta es sin
aplicación de los coeficientes de reducción de resistencia del elemento establecidos en el reglamento
que al aplicarlos, tendremos la línea de falla que, observando el reglamento, será la capacidad última a
observar.
Para la aplicación de estos coeficientes de reducción, le aplicaremos el factor ∅ correspondiente a compresión (∅ = 0.70) en la zona en donde la columna se comporta en predominio de la compresión y
flexión y el coeficiente correspondiente a flexión (∅ = 0.70) en la zona en donde la columna se
comporta en predominio de la flexión y el reglamento recomienda, hacer este cambio en forma gradual
desde para valores de ∅ = 0.10 ′ o ∅ el que sea menor hasta cero.
En el caso de nuestro ejemplo: ∅ = 0.10 ′ = 0.10 ∗ 280 ∗ 30 ∗ 50 = 42,000Kg < ∅ = 156,245.79 ∗ 0.7 = 109,372.05Kg
Por tanto la transición se hará para valores iguales o menores a 42,000 Kg
Figura 66: Diagrama de interacción de la columna factorizado
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
350.00
0.00 500.00 1,000.00 1,500.00 2,000.00 2,500.00 3,000.00 3,500.00
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 118 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Por otro lado, nuestro reglamento limita el uso de la columna para excentricidades menores que 0.05h,
donde h es la dimensión de columna en el sentido del análisis en flexión, lo que es equivalente a valores
en carga axial máximos de ∅ = 0.80∅ para columnas con refuerzo transversal por anillos ó ∅ = 0.85∅ para columnas con refuerzo transversal por espiral en el que ∅ = 0.75
En nuestro caso: ∅ = 0.80∅ = 0.80 ∗ 325.75 = 260.40
Como pudo haberse observado, todo el análisis anterior está basado en la compatibilidad de los
esfuerzos con las deformaciones de ambos materiales y con este criterio, es posible analizar cualquier
columna independientemente de la forma de la sección que esta tenga y de la disposición de las
armaduras con que haya sido reforzado.
Tarea #3
Una columna de 30cm x 50cm está reforzada con 12 barras #9, una en cada esquina y el resto
igualmente distribuido en sus 4 lados. La resistencia del hormigón a la compresión es ′ = 280Kg/cm
y el acero de refuerzo presenta un punto de fluencia = 4,200Kg/cm , el acero de refuerzo
transversal es mediante anillos cerrados de barras #3. Construir el diagrama de interacción de la
columna.
Tarea #4
Para el muro de cortante analizado y proyectado en la sección correspondiente de este curso, construir
el diagrama de interacción en cada dirección.
_____Curso dMaestrDr. Joa
COLUM
Por lo
llama f
esfuerz
poder
es tam
compo
En la f
carga
mismo
excent
con re
aparec
tanto a
ambas
el caso
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
MNAS CON FL
general, las
flexión bi‐axia
zos es basta
encontrar la
mbién en amb
ortamiento de
figura 67(a) la
y la curva
o que analiza
tricidad en la
specto al eje
ce en la figura
alrededor de
direcciones y
o (c). La orient
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
LEXIÓN EN AM
columnas, en
al. La constru
nte laboriosa
inclinación d
bas direccion
e una column
Figura 67:
a sección se
de interacció
mos en la se
dirección Y c
e X como se
a 67(d) como
l eje Y como
y de la que su
tación de la e
____________Concreto al C
MBOS SENTID
n la realidad,
ucción del dia
a pues requie
del eje neutro
es. La figura
a con flexión
Resistencia d
somete a fle
ón de resisten
ección anteri
con lo que te
muestra en
el caso (b). E
o del X con lo
u curva de int
excentricidad
=___________
DOS
, están trabaj
agrama de int
ere de realiz
o y su posició
67 muestra
bi‐axial.
de las column
exión solo co
ncias aparece
or de este c
ndremos un
la figura 67(b
n la figura 67
o que tendre
teracción de r
resultante se
=___________
jando en flex
teracción par
zar muchas it
ón, como con
un diagrama
as cargadas b
on respecto a
e en la figura
curso. De mo
caso de flexió
b) y cuya cur
7(c) se muestr
mos flexión
resistencias s
e define por m
____________
xión en dos d
ra las column
teraciones p
secuencia de
esquemático
biaxialmente
al eje Y con l
a 67(d) como
odo similar se
ón axial en e
rva de intera
ra el caso (c) e
biaxial, es de
se muestra en
medio del áng
___________
1
direcciones lo
nas sometidas
ara cada pun
e que la excen
o y las relaci
a excentricid
el caso (a) q
e carga colum
l sentido únic
acción de res
en la que la f
ecir, excentri
n la figura 67(
gulo
_______
119
o que se
s a estos
nto para
ntricidad
ones del
dad de la
que es lo
mna con
camente
istencias
lexión es
cidad en
(d) como
_____Curso dMaestrDr. Joa
Donde
obtien
genera
diagram
desarro
continu
Métod
Este m
median
median
Donde====1 y del ref
En la fi
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
la flexión es
e por aproxi
al, perpendic
ma de intera
ollado métod
uación.
do del contor
método se ba
nte una fami
nte la siguien
: = = cuand= = cuand2 son exponeuerzo y de las
gura 68, se m
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
s con respect
maciones suc
ular a la ex
acción en un
dos aproxima
no de carga:
asa en la rep
lia de curvas
te ecuación d
do = 0 do = 0 entes que de
s característic
muestra la fam
Figu
____________Concreto al C
to a un eje m
cesivas. La pr
centricidad r
n trabajo m
ados mucho
presentación
s correspondi
de interacción
penden de la
cas de los ma
milia de curva
ura 68: Famil
___________
medido medi
rincipal dificu
resultante lo
uy tedioso.
más simples,
de la superf
entes a valo
n adimension
+
as dimensione
teriales de la
s con la que s
ia de curvas p
___________
ante el ángu
ultad es que
que convie
Como altern
, de los que
ficie de falla
res constante
nal:
= 1.0
es de la colum
a columna.
se aplica este
para valores d
____________
ulo con resp
el eje neutro
rte la labor
nativa, varios
haremos una
que se mue
es de que
mna, de la ca
e método.
de Pn
___________
1
pecto al eje X
o no va a se
de construc
s investigado
a breve expli
estra en la f
pueden apro
antidad y dist
_______
120
X que se
er, por lo
cción del
ores han
icación a
figura 67
oximarse
tribución
_____Curso dMaestrDr. Joa
Los val
Donde
hasta l
Métod
Este e
satisfa
preciso
puede =
La ecu
puede
diseño
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
ores de pu
es el valor
a intersecció
do de la carga
es un méto
ctoriamente
os. Es necesa
dibujarse a
y =
Fi
ación de car
demostrarse
, siempre que
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
eden ser enc
r de corr
n de la curva
a inversa:
odo simple
mediante co
rio observar
lternativame
como apare
igura 69: Sup
rga inversa d
e que la ecu
e ≥ 0.10
____________Concreto al C
ontrados me
respondiente
correspondie
y aproxim
omparaciones
que la super
nte como u
ece en la figu
erficies de int
e Bresler se
ación, a con
1 =___________
diante la sigu
= log 0.5loga medi
ente.
ado, desarr
s con resulta
rficie de inter
na función d
ra 69(a).
teracción par
deduce a pa
tinuación, es
= 1 + 1___________
uiente relació5
ido desde el e
ollado por
ados de gran
racción mostr
de la carga
ra el método
artir de la ge
s suficientem
− 1
____________
n:
eje x en direc
Bresler y
n cantidad d
rada en el ca
axial y de
de carga inve
eometría del
mente precisa
___________
1
cción paralela
que fue ve
e ensayes y
aso (c) de la f
e las excentr
ersa
plano aprox
a para propó
_______
121
a al eje y
erificado
cálculos
figura 67
ricidades
ximado y
ósitos de
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 122 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Donde:
es el valor aproximado de la carga última en flexión biaxial
es la carga última cuando solo está presente la excentricidad
es la carga última cuando solo está presente la excentricidad
es la carga última para la columna carga concéntricamente.
La introducción de los coeficientes de reducción de resistencia indicados en el CHOC‐2008 no cambia el
desarrollo de la ecuación anterior, por lo que puede reestructurarse de la siguiente forma:
1∅ = 1∅ + 1∅ − 1∅
Ejercicio de clase:
Una columna de 30cm x 50cm está reforzada con 12 barras #9, una en cada esquina y el resto
igualmente distribuido en sus 4 lados. La resistencia del hormigón a la compresión es ′ = 280Kg/cm
y el acero de refuerzo presenta un punto de fluencia = 4,200Kg/cm , el acero de refuerzo
transversal es mediante anillos cerrados de barras #3. A la columna se le aplicará una carga de diseño
(ya factorizada) de = 125,000Kg con excentricidades de = 8cm y = 15cm. Determinar si la
columna puede aceptar este escenario de carga de acuerdo con el CHOC‐2008.
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 123 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
COLUMNAS LARGAS
Si la columna es corta, es decir, si su esbeltez es muy pequeña, los análisis realizados en la sección
anterior son suficientes para determinar su capacidad de carga, independientemente de la
configuración de la columna o de los escenarios de carga que esta deba de manejar. Pero si la columna
es alta (gran esbeltez), la capacidad de la columna se ve reducida.
El grado de esbeltez se expresa, generalmente, en términos de la relación de esbeltez donde l es la
longitud libre de la columna en la dirección del análisis y r es el radio de giro de la misma en la misma
dirección. El radio de giro se determina por: =
Donde I es el momento de inercia de la sección alrededor del eje centroidal perpendicular a la dirección
del análisis y A es el área de la sección transversal de la columna.
De acuerdo con el artículo 2.10.13.2, para marcos con desplazamientos laterales, se podrá despreciar el
efecto de la esbeltez cuando < 22, donde K es el factor de longitud efectiva para miembros en
compresión cuyos valores pueden oscilar dependiendo de la configuración del marco, como se muestra
en la figura 70. En otras palabras, cuando la estructura sea un marco al que no se le han provisto
restricciones para el desplazamiento lateral, a las columnas de ese marco que tengan una relación de
esbeltez menor que 22, podrán revisarse como columnas cortas.
Cuando las columnas están cargadas concéntricamente, es decir, cuando no hay excentricidades, el
comportamiento de la columna puede ser investigado por la expresión de Euler, que fue desarrollada
hace más de 200 años: = ( )
Donde:
es el módulo de Young
es el momento de inercia alrededor del eje que pasa por el centroide y perpendicular a la dirección de
análisis
es la carga crítica considerando los efectos de la esbeltez.
La carga crítica es la que usaremos como carga resistente a la que debe de aplicársele el coeficiente
de reducción de resistencia ∅. En la figura 71 puede observarse gráficamente como se comporta la
capacidad de la columna con carga concéntrica en la medida en que varía la relación de esbeltez de la
columna, así como en la figura 72 se presentan los nomogramas para la determinación de los valores de
la longitud efectiva K, donde el eje “A” es para el nudo superior y el eje “B” es el nudo inferior de la
columna.
_____Curso dMaestrDr. Joa
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
Figur
____________Concreto al C
a 70: Pandeo
___________
o y longitud ef
___________
fectiva de col
____________
lumnas
___________
1
_______
124
_____Curso dMaestrDr. Joa
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
Figura 71: E
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
fecto de la es
Figura
____________Concreto al C
sbeltez en la r
72: Nomogra
___________
resistencia de
amas para el
___________
e columnas ca
cálculo del va
____________
argadas conc
alor de K
___________
1
céntricamente
_______
125
e
_____Curso dMaestrDr. Joa
La figu
en sus
consta
Para e
muestr
flexión
de pal
mostra
Lo ant
Similar
carga a
centro
mome
descrit
Donde
____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre
ra 73 muestr
s extremos
nte a lo largo
Figura 7
esta situación
ra con la líne
n, pero cuand
lanca, produ
ada por la líne
eriormente d
r situación su
axial, en dond
de la luz. C
ntos adiciona
ta pueden cal
son las de
___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE
a un element
Si la carga
o del mismo e
73: Elemento
n (flexión sim
a punteada d
o se aplica la
ciendo defle
ea continua, d
descrito es lo
cede, si al m
de como prod
Cuando estan
ales Py distr
cularse con la
eflexiones cor
____________Concreto al C
to cargado ax
a axial no e
e igual a los m
s esbeltos so
mple sin carg
donde repr
carga P, el m
exiones adicio
de manera qu
o que se cono
ismo elemen
ducto de esta
ndo presente
ribuidos. Las
as deflexione
rrespondiente
___________
xialmente con
estuviera pre
momentos de
metidos a fle
ga axial de c
resenta la de
momento en c
onales y aho
ue el moment
= +oce como el
nto analizado
carga tendre
e esa carga a
s deflexiones
s : = 11 −es al element
___________
n la carga P y
sente, el mo
los extremos
exocompresió
ompresión),
eflexión en cu
cualquier pun
ora, la defle
to en cualqui
análisis de “
antes, se le
emos un mom
aplicamos ca
s y de las co
to sin carga a
____________
sometido a f
omento e
s .
ón en curvatu
la columna
ualquier punt
nto se increm
xión de la c
er punto será
“segundo ord
aplica una ca
mento siendo
rga axial, de
olumnas elás
xial.
___________
1
flexión por mo
en el elemen
ra simple
se deflecta c
o causada so
enta P veces
columna es
á:
den” o anális
arga transver
o el máximo H
e nuevo se p
sticas como
_______
126
omentos
nto sería
como se
olo por la
su brazo
como la
is − ∆. rsal H sin
Hl/4 en el
producen
la antes
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 127 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Entonces, = + ∆= + ∆ 11 −
Que puede reformularse de la siguiente forma:
= 1 +1 −
Donde es un coeficiente que depende del tipo de carga y que varía aproximadamente entre ±0.20en la mayor parte de los casos prácticos. En virtud de que siempre será un valor significativamente
pequeño, puede obviarse este término, de manera que se puede escribir la expresión anterior como:
= 11 −
Donde:
es el factor de amplificación de momentos, o sea, refleja la cantidad mediante la cual el momento
se amplifica como consecuencia de la presencia de la carga axial P
Todo el análisis antes descrito corresponde a columnas esbeltas con curvatura simple, que se presenta
cuando los momentos en los extremos del miembro tienen signos contrarios, sin embargo, es común
encontrar escenarios en los que la columna tiene en sus extremos momentos con signos iguales con los
que se producirá una curvatura doble, que es una condición aún más desfavorable.
El análisis − ∆ requiere realizar una serie de iteraciones hasta alcanzar la convergencia por lo que se vuelve en una tarea tediosa por lo que nuestro reglamento presenta un procedimiento manual de muy
fácil aplicación para marcos sin desplazamiento lateral (arriostrados) y marcos con desplazamiento
lateral.
Se define en el CHOC‐2008 un marco sin desplazamientos laterales aquel que cumpla con la siguiente
igualdad: = ∑ ∆ ≤ 0.05 para un piso 2.10.11.4.2
Donde Q es el índice de estabilidad; ∆ es el desplazamiento lateral relativo de primer orden
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 128 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
En el artículo 2.10.11.5 establece que si > 100, el diseño del miembro deberá estar basado en
fuerzas y momentos factorizados resultante de un análisis de segundo orden considerando
comportamiento no lineal (2.10.10) a menos que en el análisis de primer orden se tome en
consideración las secciones agrietadas de acuerdo con lo indicado en el artículo 2.10.11.
Si el marco es sin desplazamientos laterales, se podrá ignorar el efecto de la esbeltez en la columna de
análisis, si:
≤ 34 − 12 2.10.12.2
Donde ≥ 0.50; y es positivo si la columna se deflecta en curvatura simple, K=1.0 y y son los
momentos en los extremos de la columna con valor menor y mayor respectivamente.
Si el marco es con desplazamientos laterales, se podrá ignorar el efecto de la esbeltez en las columnas
que cumplan con ≤ 22 (2.10.13.2)
El artículo 2.10.12.3 establece que si no se cumple con 2.10.12.2 ó 2.10.13.2, el diseño debe de
efectuarse para la carga axial factorizada y el momento amplificado por los efectos de la curvatura
de la columna de acuerdo a lo siguiente: =
Para lo que, = 1 − 0.75 ≥ 1.0 = ( )
= 0.2 +1 +
= 0.6 + 0.4 ≥ 0.4
Si la columna tiene carga transversal entre sus apoyos, = 1
El momento factorizado , í = (1.5 + 0.03ℎ) donde h es el peralte de la columna; es la
relación de carga permanente axial máxima factorizada y la carga axial máxima factorizada.
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 129 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Con el factor se están tomando en cuenta los efectos del flujo plástico ya que con cargas
permanentes mayores y sostenidas, mayores serán también las deformaciones por flujo plástico y
consecuentemente, mayores serán también sus curvaturas.
Con respecto a los valores intermedios de K de los casos mostrados en la figura 70, se puede utilizar el
nomograma presentado en la figura 72, donde:
y representan el grado de restricción de la columna en sus extremos A y B respectivamente:
= ∑∑
De manera que se calcula este factor y se entra al nomograma y en la intersección del eje central se
podrá determinar el valor de K de la columna.
Otras consideraciones del reglamento CHOC‐2008:
Hay otras limitaciones que l reglamento establece para el proyecto de miembros en compresión, que
listamos a continuación:
(2.10.9.1) El área de refuerzo longitudinal no deberá ser menor que 0.01 ni mayor que 0.08 del
área total de la sección (zonas no sísmicas)
(2.21.4.3.1) La cuantía de refuerzo no deberá ser menor que 0.01 y no deberá exceder 0.06 el
área total de la sección.
(2.21.4.4.1) Si el refuerzo transversal en espiral, la cuantía volumétrica de este no deberá ser
menor que: = 0.12 ′
(2.21.4.4.1) Si el refuerzo transversal en anillos, el área total de estos no deberá ser menor que: = 0.3 ℎ ′ − 1
(2.10.9.2) El número mínimo de barras longitudinales deberá ser 4 para barras dentro de anillos
rectangulares o 3 para barras dentro de anillos triangulares y 6 para barras dentro de espirales.
____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 130 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC
Ejercicio de clase:
Para el ejercicio mostrado en la página 112, la columna tiene una altura de 6.25m, asumir que tiene un
K=0.7 y las siguientes cargas:
Permanente:
= 230T = 0.70T − m = −0.80T − m
Viva:
= 180T = 32T − m = 30T − m
Determinar si la columna, con el armado indicado, es buena y suficiente
Recommended