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7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.1 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.1 Cul de las siguientes oraciones es una proposicin lgica?
a) Soy minero.b) Para qu seguir.
c) Que nadie sepa mi sufrir.
La oracin Soy minero puede ser verdadera o falsa, segn quien la pronuncie.
1.2 Cul de las siguientes oraciones no es una proposicin lgica?
a) La Luna en el mar riela.
b) Qu es la vida?.c) Que es mi dios la libertad.
Qu es la vida?, es una pregunta sin valor de verdad.
1.3 La oracin El pueblo, unido, jams ser vencido.
a) No es una proposicin lgica.
b) Es una proposicin lgica simple.
c) Es una proposicin lgica compuesta.
Es equivalente a Sipentonces q
1.4 La oracin No deba de quererte y, sin embargo, te quiero.
a) No es una proposicin lgica.
b) Es una proposicin lgica simple.
c) Es una proposicin lgica compuesta.
La proposicinpes Deba quererte
La proposicin qes te quiero
No deba de quererte y, sin embargo, te quiero. Es la proposicin p q.
1.5 La oracin El tiempo lo cura todo.
a)
No es una proposicin lgica.
b) Es una proposicin lgica simple.c)
Es una proposicin lgica compuesta.
Es un enunciado nico relativo a las propiedades curativas del tiempo.
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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1.6 La oracin Que descansada vida la del que huye del mundanal ruido.
a)
No es una proposicin lgica.
b) Es una proposicin lgica simple.c) Es una proposicin lgica compuesta.
Es un enunciado nico acerca de la vida del que huye del ruido.
1.7 La oracin Lo que el viento se llev.
a) No es una proposicin lgica.b) Es una proposicin lgica simple.
c) Es una proposicin lgica compuesta.
La oracin no contiene ningn enunciado al que pueda atribuirse valor de verdad.
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.8 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.8 Seapla proposicin "te tengo" y qla proposicin "te olvido", la proposicin "ni te tengo ni te olvido" se
representa por:
a) p q .
b)
p q .
c) p q .
La respuesta b no es correcta ya que si aplicamos la ley de Morgan para eliminar la negacin quedara
p q p q , que no es lo mismo que la respuestaa p q .
Laason dos proposiciones negadas unidas por una conjuncin y labson dos proposiciones negadas unidas
por una disyuncin.
En tabla de verdad se ve como no son iguales los resultados de la respuesta ayb.
p q p q (pq) (pq) (pq) pq
VV
FF
VF
VF
FF
VV
FV
FV
FF
FV
VF
FF
FV
VV
FV
VV
1.9 Sea p la proposicin firmo (el documento) y q la proposicin leo (el documento); la proposicin
No firmo sin haberlo ledo se representa por
a) p q .
b) p q .
c) p q .
Si nos fijamos en la respuesta by miramos primero lo que hay dentro del parntesis:
(pq), firmo y no leo, que es justamente lo contrario a lo que se pide en el enunciado, por lo tanto slo me
queda negar esta proposicin,
(pq)
La asera no firmo y no leo. No tiene sentido.
La csera no firmo o no leo. No tiene sentido.
1.10 Sipes la proposicin te he visto y qla proposicin me acuerdo, la proposicin si te he visto, no
me acuerdo se simboliza por
a) p q .
b)
p q .
c) q p .
Solucin:La respuesta correcta es lab.
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1.11 Si p es la proposicin tu prometes, q la proposicin t das, y r la proposicin mal vas, la
proposicin si prometes y no das, mal vas se simboliza por
a) r p q .
b) p r q r .
c) p q r .
Solucin: La respuesta correcta es lac.
1.12 Siendopmarzo mayea, y qmayo marcea, la oracin Cuando marzo mayea, mayo marcea, se
expresa.
a) p q .
b) p q .
c) p q .
Solucin: La respuesta correcta es laa.
1.13p simboliza sale cara, qsale cruz, rgano yo y spierdes t. La proposicin Si sale cara,
gano yo; si sale cruz, pierdes t, se simboliza por.
a) p r q s .
b) p q r .
c)
p q r s .
Solucin: La respuesta correcta es laa.
1.14 Si p es la proposicin llueve, y q la proposicin escampa, la proposicin Siempre que llueve,
escampa, se expresa.
a) p q .
b) p q .
c)
p q .
Solucin: La respuesta correcta es lab.
1.15 Sea p la proposicin sembrar vientos, y q la proposicin recoger tempestades, la proposicin
Quien siembra vientos, recoge tempestades, se expresa.
a) p q .
b) q p .
c)
p q
.
Solucin: La respuesta correcta es lac.
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1.16 Sea p la proposicin arriesgar, y q la proposicin cruzar la mar, la proposicin El que no
arriesga, no cruza la mar, se simboliza.
a) p q .
b) p q .
c) p q .
Solucin: La respuesta correcta es lab.
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.17 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.17 Si qes falsa, entonces p q es
a) Verdadera.b) Falsa.c) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad dep.
Solucin: La respuesta correcta es laa.
p q p q (p) q
VVFF
VFVF
FFVV
FVFV
VFVV
1.18 Sipes falsa, entonces p q es
a) Verdadera.b) Falsa.c) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de q.
Solucin: La respuesta correcta es lac.
p q p (p)q
VVFF
VFVF
FFVV
FFVF
1.19 Si qes verdadera, entonces p q es
a) Verdadera.b) Falsa.c) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad dep.
Solucin: La respuesta correcta es lab.
p q q (p q) (p q)
VVFF
VFVF
FVFV
VVFV
FFVF
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1.20 Sipes verdadera, entonces q p p q es
a) Verdadera.
b) Falsa.
c) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de q.
Solucin: La respuesta correcta es lac.
p q p q (q p) (p q) (q p) (p q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
1.21 La proposicin (pp) es:
a) Verdadera.
b)
Falsac) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de p.
p p pp (pp)
V
F
F
V
V
V
F
F
1.22 pqes falsa cuando:
a) pes falsa y qes falsa.
b) pes verdadera y qes falsa.
c) p es falsa y q es verdadera.
p q q pq
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
1.23 Si p es verdadera, la proposicin (p) qes:
a) Verdadera.b) Falsa
c) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de q.
p q p (p) q
V
VF
F
V
FV
F
F
FV
V
V
VV
V
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1.24 Sipes verdadera, la proposicin p p q es
a) Verdadera.b) Falsac) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de q.
p q pq p(pq)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
1.25 Sipes falsa, la proposicin (pq)( pq) es
a) Verdadera.b) Falsa.
c)
Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de q.
Por lo tanto respuesta c, ya el valor de verdad depende de q.
p q pq pq (pq)( pq)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
1.26 Sipes verdadera, la proposicin p q p es
a) Verdadera.b) Falsac) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de q.
p q p pq (pq)p
V
VF
F
V
FV
F
F
FV
V
V
VV
F
F
FV
V
1.27 La proposicin p p es
a) Es verdadera si p es falsa.b) Es verdadera sipes verdadera.c) Es siempre falsa.
p p pp
V
F
F
V
F
V
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1.28 la proposicin (pq)( pq) es verdadera
a) Slo cuandopy qson verdaderas.b) Slo cuandopy qson falsas.c) Siempre.
p q pq pq (pq)( pq)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
1.29 Sip(qp) es una proposicin falsa, es que:
a) py qson verdaderas.
b)
pes verdadera y qes falsa.c) pes falsa y qverdadera.
p q p (qp) p(qp)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
1.30 Sip (qp) es una proposicin verdadera, entonces:
a) py qson verdaderas.b)p es verdadera y q es falsa.c) p es verdadera.
p q (qp) p (qp)
V
V
FF
V
F
VF
V
V
FV
V
V
FF
1.31 La proposicinp(qp) es una verdadera:
a) Slo sipy qson falsas.b) Slo sipes falsa y qverdadera.c)
Cualquiera que sean p y q.
p q (qp) p(qp)
VV
F
F
VF
V
F
VV
F
V
VV
V
V
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Ejercicio: 1.32 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.32 De la premisa Si bebes, no conduzcas se deduce la conclusin
a)
Si no conduces, bebe.
b) Si conduces, no bebas.
c)
Si no bebes, conduce.
p: beber.
q: conducir.
Si bebes, no conduzcas. pq
Si no conduces, bebe. qp
Si conduces, no bebas. qp
Si no bebes, conduce. pq
Comparamos la coincidencia entre las proposiciones y vemos que el enunciado coincide con la segunda.
Tabla de la verdad:
p q p q pq qp qp pq
V V F F F V F V
V F F V V V V V
F V V F V V V V
F F V V V F V F
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Ejercicio: 1.33 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.33 El razonamiento:
Si los tringulos S y T tienen sus ngulos iguales, son iguales
Los tringulos S y T son iguales
S y T tienen los ngulos iguales
a) Es lgicamente vlido, aunque la primera premisa es falsa.
b) Es una falacia porque la primera premisa es falsa.
c) Sera una falacia aunque la primera premisa fuese cierta.
Si los tringulos S y T tienen sus ngulos iguales, son iguales p q
Los tringulos S y T son iguales q
S y T tienen ngulos iguales p
Tabla de la verdad:
Otra forma de resolverlo, Las premisas implican lgicamente la conclusin, es decir, un razonamiento ser
vlido cuando1 2
...n
p p p q .
Aqu vemos que (pq) y q NO implican p por lo tanto es una falacia.
Solucin:Sera una falacia aunque la primera premisa fuese cierta.
Premisas Conclusin
p q pq q p
V V V V V
V F F F V
F V V V F
F F V F F
p q pq q ( pq) q p ( pq)qp
V V V V V V V
V F F F F V VF V V V V F F
F F V F F F V
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Ejercicio: 1.34 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.34 El razonamiento:
Si Pars est en Francia, no est en Amrica
Pars est en Amrica
Pars no est en Francia
a) Es lgicamente vlido.
b) Es una falacia porque la segunda premisa es falsa.
c)
Sera una falacia aunque la segunda premisa fuese cierta.
pq
q
p
Tabla de la verdad:
Otra forma de resolverlo, Las premisas implican lgicamente la conclusin, es decir, un razonamiento ser
vlido cuando1 2
...n
p p p q .
Aqu vemos que(p q) y qimplican p por lo tanto es un razonamiento vlido.
Premisas
p q p q pq q p
V V F F F V F
V F F V V F F
F V V F V V V
F F V V V F V
p q p q pq q ( pq)q (( pq)q)p
V V F F F V F V
V F F V V F F V
F V V F V V V V
F F V V V F F V
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Ejercicio: 1.35 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.35 El razonamiento:
Los domingos voy al campo o voy de compras
El domingo voy de compras
El domingo no voy al campo
a) Es lgicamente vlido, por aplicacin del modus tollendo ponens.
b) Es una falacia.
c) Es lgicamente vlido, por aplicacin del modus ponendo ponens.
p q
q
p
Otra forma de resolverlo, Las premisas implican lgicamente la conclusin, es decir, un razonamiento ser
vlido cuando1 2
...np p p q .
Aqu vemos que(pq) y qNoimplican p por lo tanto NO es un razonamiento vlido.
Solucin:Es una falacia.
Premisas Conclusin
p q pq q p
V V V V F
V F V F F
F V V V V
F F F F V
p q pq ( pq ) q p (( pq )q )p
V V V V F F
V F V F F V
F V V V V V
F F F F V V
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Ejercicio: 1.36 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
Un amigo marciano afirma: Si llueve, llevo paraguas y, tambin, Cuando llevo paraguas, no llueve, de
estas premisasse deduce:
a) Siempre lleva paraguas
b) En Marte nunca llueve.
c)
Algunos marcianos no siempre dicen la verdad
p= llueve;
q= llevo paraguas
p q
q p
p p
Por la ley del silogismo hipottico se deduce p p , es decir Si llueve, entonces no llueve. Estaconclusin significa que no puede llover porque si alguna vez lloviese, p sera verdadera y p falsa,
resultando falsa la expresin p p .
Si hacemos la tabla de verdad de esta simbolizacin:
[(pq) (qp)](pp)
p q p pq qp (pp) [(pq) (qp)] [(pq) (qp)](pp)
VV
F
F
VF
V
F
FF
V
V
VF
V
V
FV
V
V
FF
V
V
FF
V
V
VV
V
V
Solucin:En Marte nunca llueve.
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Ejercicio: 1.37 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.37 El razonamiento:
Si voy al cine, como palomitas
Si como palomitas, tengo sed
Si tengo sed, he ido al cine
a) Es un caso particular del silogismo hipottico.
b) Es un caso particular del modus tollendo tollens.
c) Es una falacia.
p q
q r
r p
Solucin:Es una falacia.
Premisas Conclusin
p q r pq qr rp
V V V V V V
V V F V F V
V F V F V V
V F F F V V
F V V V V F
F V F V F VF F V V V F
F F F V V V
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Ejercicio: 1.38 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.38 De las premisas: Marx, Engles o Lenin eran alguno francs y ni Engles ni Lenin eran franceses,
deducir que Marx era francs
a)
Es una falacia.
b) Es un razonamiento vlido, caso particular del modus tollendo tollens.
c)
Es un razonamiento vlido, caso particular del modus tollendo ponens.
p: Marx era francs.
q: Engles o Lenin eran alguno francs.
p q
q
p
Las premisas implican lgicamente la conclusin, es decir, un razonamiento ser vlido cuando
1 2
...n
p p p q
Para probar la validez de un razonamiento se forma la tabla de verdad de las premisas y la conclusin y se
comprueba que siempre que las premisas toman el valor de verdad V tambin la conclusin toma el valor de
V.
Modus tollendo ponens
Solucin:Es un razonamiento vlido, caso particular del modus tollendo ponens.
p q p q q ((p q) q)) p ((p q) q)) p
V V V F F V V
V F V V V V V
F V V F F F V
F F F V F F V
Premisas Conclusin
p q pwq 5q p
V V V F VV F V V V
F V V F F
F F F V F
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.39 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.39 El razonamiento:
p
p
q
a) Es una falacia.
b) Es lgicamente vlido.
c) Es lgicamente vlido o falaz segn el valor de verdad de q.
Las premisas implican lgicamente la conclusin, es decir, un razonamiento ser vlido cuando
1 2...
np p p q
Representamos la tabla de verdad:
Para probar la validez de un razonamientose forma la tabla de verdad de las premisas y la conclusin y se
comprueba que siempre que las premisas toman el valor de verdad tambin la conclusin toma el valor de
verdad.
Para probar que un razonamiento no es lgicamente vlidobasta encontrar un caso en el que las premisas
sean verdaderas y la conclusin falsa.
Como no tenemos ningn valor que nos haga falso este razonamiento se deduce que es verdadero.
p q p p p q ( p p)q
V V F F V V
V F F F F V
F V V F V V
F F V F F V
Premisas Conclusin
p q p p q
V V V F V
V F V F F
F V F V V
F F F V F
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Autor:EQUIPO DOCENTE Fecha:Jueves, Octubre 20, 2011 11:07pm
La definicin de 'razonamiento lgicamente vlido' del recuadro 1.9 es correcta.
Supongamos, para simplificar que tenemos dos premisas. En definitiva, lo que se exige
es que sea VERDADERA la siguiente "proposicin condicional"
"SI [Premisa 1 es VERDADERA 'y' Premisa 2 es VERDADERA] ENTONCES [la conclusin es
VERDADERA]"
La tabla de verdad de la proposicin CONDICIONAL est en el recuadro 1.7) (pg. 12).Observemos que un condicional es FALSO slo en el caso en el antecedente (es decir, la
proposicin que est antes de la flecha (o sea, el [ENTONCES]) es VERDADERO y el
consecuente (es decir, la proposicin que est despus de la flecha, o sea el
[ENTONCES]) es FALSO. En todos los dems casos el condicional es VERDADERO. En
particular, cuando el antecedente es FALSO entonces el condicional es VERDADERO, tanto
si el consecuente es VERDADERO como si es FALSO.
En el condicional indicado anteriormente el antecedente es "la conjuncin de las dos
premisas". Si recordamos la tabla de verdad de la conjuncin, (recuadro 1.5, pg. 10),
vemos que la conjuncin es VERDADERA slo cuando lo son ambas proposiciones. En todos
los dems casos es FALSA.
As pues, si una de las dos premisas es FALSA (o lo son las dos), la conjuncin deambas es FALSA. En este caso, el antecedente de la proposicin condicional anterior es
FALSO y, por tanto, dicha proposicin condicional es VERDADERA, sea cual sea el valor
de verdad del consecuente.
Esto es lo que est ocurriendo en este ejemplo.
Cmo es la proposicin condicional cuyo valor de verdad ha de ser VERDADERO para que
el razonamiento sea vlido? Es la siguiente:
SI (p p) ENTONCES q
El antecedente es (p p). Fcilmente vemos que esta proposicin siempre es FALSA,
sea cual sea p. Es intuitivo: afirmar que ocurre una cosa y su contraria al mismotiempo nunca puede ser verdad. Ahora bien, en general, no es conveniente fiarse de la
intuicin, porque podemos equivocarnos. Para estar seguro no hay ms que hacer la
tabla de verdad de la conjuncin de una proposicin y su contraria y comprobar que
todos los valores son FALSO.
As pues el antecedente citado es siempre FALSO. Acudiendo a lo que dijimos antes
respecto del condicional podemos asegurar que la proposicin condicional que da el
razonamiento es VERDADERA, por lo cual el razonamiento es 'vlido'.
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
19/76
Ejercicio: 1.40 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.40 Si A es el conjunto de las vocales, se cumple
a) u A .
b) m A .
c) e A .
1.41 Si A es el conjunto de los siete colores del arco iris, no es cierto
a) azul A .
b) marrn A .
c) naranja A .
1.42 Si A es el conjunto de los animales mamferos, es cierto
a)
oso A .b) cangrejo A .
c) loro A .
1.43 El conjunto A domingos de 2010 est definido
a) Por enumeracin.
b) Por descripcin.c) Por inclusin.
1.44 Si A y B son conjuntos tales que A B , es cierto que
a) Si x A , entonces x B .
b)
Si x B , entonces x A .
c) Si x A , entonces x B .
1.45 Si M y N son conjuntos tales que N M , es cierto que
a)
Si a M , entonces a N .b) Si a M , entonces a N .
c) Si a N , entonces a M .
1.46 Si F y D son los conjuntos: 2009F das festivos de , 2009D domingos de , se cumple
a) F D .
b) D F .c)
F D y D F .
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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1.47 Para cualquier conjunto A se verifica
a) A .
b) A .
c) A A .
1.48 Si 1,2,3A y 3,2,1B , no es correcto afirmar
a) A B .
b) A B .
c) A B .
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
21/76
Ejercicio: 1.49 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.49 Si 1,2,3A y P A es el conjunto de las partes de A, no es correcto afirmar:
a) ( )P A
b) ( )P A
c)
1,2 ( )P A
El conjunto de las partes de un conjunto A es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de
A. Se denota por P A
Elementos .
Conjuntos .
Respuesta,
Entre los subconjuntos de A, que son elementosde P A , est el subconjunto .
Tambin P A como cualquier otro conjuntocontiene a .
En cuanto a 1,2 , es cierto que 1,2 ( )P A o bien que 1,2 ( )P A , esto quiere decir que el conjuntocuyo nico elemento es el conjunto 1,2 est contenido en A.
Pero no es cierto que 1, 2 sea subconjunto de P A porque ello significara que 1 P A y 2 P A
como elemento y debera ser 1 P A y 2 P A como subconjunto.
1.50 Si A es el conjunto de las vocales y P A es el conjunto de las partes de A, no es correcto afirmar:
a) , , , ( )a e a i P A
b) , ( )a e P A
c) , , , ( )a e a i P A
1.51 Si un conjunto A tiene 6 elementos, el nmero de subconjuntos de A es
a) 6.
b)
16.c) 64.
Si el conjunto A tiene nelementos, el conjunto de las partes de A tiene 2n elementos.
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
22/76
Ejercicio: 1.52-1.53 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.52 Si A es el conjunto de los nmeros pares y B es el conjunto de los nmeros mltiplos de 5, A B es
a) .
b) El conjunto de los nmeros mltiplos de 10.c) El conjunto de los nmeros mayores que 10.
1.53 Si A es el conjunto de las comunidades autnomas espaolas y B es el conjunto provincias espaolas,
no es correcto afirmar que
a) ,Cantabria La Rioja A B .
b) ,Galicia Cantabria A B .
c) Islas Baleares A B .
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
23/76
Ejercicio: 1.54 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.54 Si A y B son dos conjuntos disjuntos, no es correcto afirmar que
a) Si a A , entonces a B .
b) Si a B , entonces Ca A .
c) Si a A , entonces a B .
Por lo tanto respuesta correcta c.
Si a A , entonces a B
Si a B , entonces Ca A
Si a A , entonces a B
U
a
A B
UA
a
B
U
aA B
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.55 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.55 Dados dos conjuntos A y B, NO es correcto afirmar que:
a) si x A B , entonces Cx A B o Cx A B .
b) si x A B , entonces x A o x B .
c) si x A B y x A , entonces x B .
En realidad no es que sea incorrecta, sino que es incompleta ya que nos falta por incluir tambin que
x A B que es lo que dice la solucin
Aqu dibujo los tres sitios en donde puede estar la x y como se puede ver A B no est incluido en la
solucin por eso es incompleta y se deduce que es incorrecta
CA B CA B A B
A B Se representa por la zona amarilla:
Cx A B Cx A B
x A B
Cx A B
Cx A B
x A B
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
25/76
Ejercicio: 1.56 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.56 Si dos conjuntos A y B verifican C CA B , es que
a) A B .
b) .A B U
c) C CA B A B U
Aplicando las leyes de Morgan obtenemos:
C C
CC C
CC C
A B
A B
A B
A B U
C
1,2
2,3
1,2,3
A
B
U
3
1
C
C
A
B
3 1
C CA B
1,2 2,3
A B U
U
UBA
3
1 2
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
26/76
Ejercicio: 1.57 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.57 Si dos conjuntos A y B cumplen A B , entonces
a) CA B U = .
b) B A = .
c) C CB A .
La respuesta correcta es la c, como se puede ver BC, que es la zona verde, est incluido dentro de A
Cque
es la zona verde ms la zona amarilla.
La respuesta bno es correcta ya que B A no tiene porque ser necesariamente el conjunto vaco.
La respuesta ano es correcta porque CA B no es igual al universo ya que nos queda la zona amarilla sinincluir y puede darse el caso que hubiese al menos un elemento ah.
{ }{ }
{ }
1,21,2,3
1,2,3,4,5
A
B
U
=
=
=
{{ }3,4,54,5
C
C
A
B
=
=
Se cumple NO se cumple NO se cumple
{ } { }4,5 3,4,5
C CB A
{ } { } { }1,2 4,5 1,2, 4,5
CA B U =
=
{ } { } { }1,2,3 1, 2 3
B A =
=
U
B
A
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
27/76
Ejercicio: 1.58 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.58 Si dos conjuntos A y B cumplen CA B , no es correcto afirmar que
a) A B .
b) A B U .
c) CB A .
Si CA B o CB A quiere decir que son conjuntos disjuntos A B , en el diagrama de Venn vemos
que A, la zona roja est dentro de BCque es la zona roja ms la zona verde.
4
1,2
1,2,3,4,5
A
B
U
1,2,3,5
3,4,5
C
C
A
B
Se cumple NO se cumple Se cumple
1,2 4
A B
4 1,2 1,2,4
A B U
1,2 1,2,3,5 3
CB A
U
3
54
A
1
2
B
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
28/76
Ejercicio: 1.59 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.59 Si A y B son dos conjuntos tales que A B B , se cumple
a) A B .
b) B A A .
c) C CA B .
Resultado 1.21, pgina 35Si A B entonces A B B , Si A es un subconjunto de B, todos los elementos de A estn en B, por
esto la unin de los dos es B.
1 1,2 1,2
A B B
1
1,2
1,2,3
A
B
U
2,3
3
C
C
A
B
Se cumple NO se cumple NO se cumple
1 1,2
A B
1,2 1 1,2
B A A
2,3 3 3
C CA B
U
3
2
B
1
A
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
29/76
Ejercicio: 1.60 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.60 Si A y B son dos conjuntos, es igual a C
A B
a) C CA B .
b) CA B .
c)
B A.
Aplicando las leyes de Morgan obtenemos:
C
CC
C
A B
A B
A B
A B Es la zona roja.
C
A B Es la zona amarilla ms la zona blanca ms la zona verde, que es igual a .CA BC
A Es la zona amarilla ms la zona verde.
B Es la zona amarilla ms la zona blanca.C
A B Es la zona amarilla ms la zona blanca ms la zona verde, que es igual a C
A B
UBA
2,3
1,3
1,2,3
A
B
U
1
2
C
C
A
B
1,3
1,3
C
C
A B
A B
12 3
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
30/76
Ejercicio: 1.61 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.61 Si A y B son dos conjuntos que cumplen CA B B entonces:
a) A B U .
b) CA B .
c) CB A
Resultado 1.20, pgina 34. La unin de dos conjuntos contiene a cualquiera de los dos conjuntos que se
unen:
El enunciado dice CA B B
Por lo tanto tenemos que C CB A B y CA A B
Tenemos C CB A B B y para que esta igualdad se cumpla CB o bien B U .
Resultado 1.22 UC El complementario del conjunto vaco es el conjunto universal. Como el
conjunto vaco no tiene elementos, ningn elemento del conjunto universal puede pertenecer al conjuntovaco.
Resultado 1.23 CU El complementario del conjunto universal es el conjunto vaco. Como todos los
elementos pertenecen al conjunto universal, ningn elemento no pertenece al universal.
Si sustituimos en la igualdad C CB A B B a CB tenemos:
A B
A B
A U
Si sustituimos en la igualdad C CB A B B a CB U llegamos a una contradiccin, ya que el
conjunto universal no puede ser igual al conjunto vaco.
U A U
U A
U U
1,2
1,2
1,2
A
B
U
C
C
A
B
1,2 1,2
CA B B
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
31/76
Ejercicio: 1.62 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.62 Si A y B son dos conjuntos que cumplen C
A B B entonces:
a) A B
b)C
B A
c)
CA B
C
C
C C
C
A B B
A B B
A B B
B A
Resultado 1.13 pgina 33.
Si CB A , entonces C CA B B . Si BCes un subconjunto de A todos los elementos de BCy slo estosson comunes a A y BC.
Resultado 1.20, pgina 34.La unin de dos conjuntos contiene a cualquiera de los dos conjuntos que se unen:
A A B B A B
C
CC
C
C C
C
A B B
A B B
A B B
A B A B
A B
1,2
2,3
1,2,3
A
B
U
3
1
2,3
C
C
C
A
B
A B
2,3 2,3
C
A B B
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
32/76
Ejercicio: 1.63 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.63 Si A y B son dos conjuntos tales que ( )C
A B A = , se cumple
a) B A .b) A U= .
c) A = y B U= .
Resultado 1.13 pgina 33.La interseccin de dos conjuntos est contenida en cualquiera de los conjuntos que se intersectan.
A B A A B B
( )C
A B A = Aplicamos las leyes de Morgan:
C CA B A =
Por lo tanto tenemos que C C CA B A y C C CA B B
Continuamos C C CA B A A =
Y como CA A necesariamente A =
{ }{ }1,2,31,2,3
A
B
U
=
=
=
{ }1,2,3C
C
A
B
=
=
( )C
A B A =
=
Hola, Antonio.
En efecto,
C CA A A = A A =
Jos Mara
UA
31
2
B
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
33/76
Ejercicio: 1.64 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.64 Si dos conjuntos A y B son dos conjuntos tales que C
A B B , se cumple
a) A B U .
b) B U .
c) A B .
Resultado 1.13 pgina 33.La interseccin de dos conjuntos est contenida en cualquiera de los conjuntos que se intersectan
A B A A B B
C
A B B que es equivalente a:
CB A B
C
C
B A B B
B B
Y como CB B necesariamente CB
1,2,3
1,2,3,4
1,2,3,4
A
B
U
3,4
4
C
C
A
B
4
C
A B B
B
UA B
41
2
3
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
34/76
Ejercicio: 1.65 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.65 Si A y B son dos conjuntos, el conjunto C
C CA B es igual a
a) CA B .b) CA B .
c)
A B .
Tenemos la igualdad:
CC C
CC
C C
CC
C
A B
A B
A B
A B
1,2
1,2,3
1,2,3,4
A
B
U
3,4
4
C
C
A
B
3
1,2,4
1,2,4
C C
CC C
C
A B
A B
A B
U
4
A B
31
2
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
35/76
Ejercicio: 1.66 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.66 Si A y B son dos conjuntos, el conjunto CA B A es igual a
a) B A .
b) A B .
c) B .
Tenemos la igualdad:
C
C
A B A
A B A A
A B
A B
1,2,3
1,2,4
1,2,3,4
A
B
U
4
3
C
C
A
B
1,2,4
1, 2
1,2
C
C
B A
A B A
A B
UA B
3
4
1
2
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
36/76
Ejercicio: 1.67 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.67 Si A y B son dos conjuntos, el conjunto C CA B A es igual a
a) CA B .
b) A .
c)
A B.
Tenemos la igualdad:
C C
C C
C
C
A B A
A A B A
B A
B A
A B
Si partimos de la expresin C CA B A tenemos que:
ACes la zona amarilla y la zona verde
BCes la zona roja y la zona verde
Si ahora estas dos zonas hacemos la interseccin con A, el resultado ser A B.
UA B
A-B
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
37/76
Ejercicio: 1.68 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.68 Si A y B son dos conjuntos el conjunto ( )CA B A es igual a
a) A .
b) CA B .
c) A B .
Si partimos de la expresin ( )CA B A tenemos que:
A es la zona blanca y la zona roja
BCes la zona roja y la zona verde
CB A es la zona roja, es decir A B
Si ahora estas dos zonas hacemos la unin con A, que es la zona blanca ms la zona roja, el resultado ser
A.
{ }
{ }
{ }
1,2
1,2,3
1,2,3,4
A
B
U
=
=
=
{ }
{ }
3,4
4
C
C
A
B
=
=
( ) { } { } { }( ) { } { }
{ }
{ }
) 1, 2 4 1, 2 1, 2 1, 2
) 1, 2, 4
) 1
C
C
a A B A A
b A B
c A B
= = = =
=
=
U
4
A B
31
2
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
38/76
Ejercicio: 1.69 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.69 Si A y B son dos conjuntos que cumplen B A B entonces:
a) A
b) A B A
c) A B B
Cuando tenemos B A B o A B A , quiere decir que son conjuntos disjuntos A B .
Tenemos que utilizar el Resultado 1.14 pgina 33.Si B est contenido en A, entonces la interseccin de A y B es igual a B, Si B A entonces A B B .
C
C
B A B
B A B
B A
CB A es lo mismo que CA B y es igual a CA B A y resulta A B A
La nica respuesta correcta es la que se deduce lgicamentedel enunciado, es decir, aquella para la que
se verifica que el enunciado implicadicha respuesta.Dicho de otra forma, la proposicin condicional enunciadorespuesta es una tautologa.
3,4
1,2
1,2,3,4
A
B
U
1,2
3,4
C
C
A
B
NO se cumple Se cumple NO se cumple
3,4
A
3,4 1,2 3, 4
A B A
3,4 1,2 1,2,3,4
A B B
U
3
4
A
1
2
B
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
39/76
Ejercicio: 1.70 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.70 La propiedad de idempotencia de la interseccin de conjuntos significa que, para cualquier conjunto A, es
a) .A
b) A U A .
c) A A A .
La propiedad de idempotencia de la interseccin es: A A A
1.71 La propiedad de asociativa de la interseccin de conjuntos afirma que
a)
.A B B A
b) . A B C A B C c)
.A B B
La propiedad de asociativa de la interseccin es: A B C A B C
1.72 La propiedad de conmutativa de la unin de conjuntos garantiza que
a)
A B B A .
b) . A B C A B C c)
.A A A
La propiedad de conmutativa de la unin es: .A B B A
1.73 La propiedad de distributiva de la unin respecto de la interseccin expresa que
a) A B C A B A C .
b) . A B C A B A C
c) . A B C A B A C
La propiedad de distributiva de la unin respecto de la interseccin es: A B C A B A C .
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
40/76
Ejercicio: 1.74 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.74 Entre tres conjuntos A, B, C, si se cumple A B C A B A C
A y B C son disjuntos.
B C A B C .
A B C y .
0A B C
Resultado 1.13 pgina 33. La interseccin de dos conjuntos est contenida en cualquiera de los conjuntosque se intersectan. A B A , A B B .
Resultado 1.20, pgina 34.La unin de dos conjuntos contiene a cualquiera de los dos conjuntos que se
unen. A A B , B A B .
El enunciado dice que: A BB CC AA
Si miramos el lado derecho vemos que: A B A C A B C , de aqu deducimos que:
A BB CA C
A
de aqu deducimos segn el resultado 1.13 del libro que:
A B C y como A BB CA C entonces A B C A , por lo tanto
B C A
Por otro lado segn el resultado 1.13 del libro tambin tenemos que: y como
de aqu deducimos que
A B C B C
A BB CA C A B C B C , segn el resultado 1.20tenemos A B C
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
41/76
Ejercicio: 1.75 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.75 Las leyes de Morgan no garantizan que
a) ( )C C C
A B A B = .
b) ( )C C CA B A B = .
c)
( )C C CA B A B = .
Las leyes de Morgan no garantizan ( )C C C
A B A B = .
1.76 Si dos conjuntos A y B verifican ( )C C CA B A B = se cumple
d) A B= .
e) A B U = .
f)
A B U= = .
Tenemos la igualdad:
( ) ( )
( ) ( )
C C C
C C C C
A B A B
A B A B
A B
=
=
=
{ }
{ }
{ }
1,2
1,2
1,2,3
A
B
U
=
=
=
{ }
{ }
3
3
C
C
A
B
=
=
( ) ( ) { }( ) { } { } { }{ }
) 1, 2 3 3 3
) 1,2
) ,
CC C Ca A B A B
b A B U
c A B U NO se cumple
= = =
=
= =
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
42/76
Ejercicio: 1.77 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.77 Si A y B son dos conjuntos se verifica
a) . C
A A B A B
b) C
A B B A .
c)
A B A B A B B A .
La respuesta correcta es la c. Vamos a verla representada en un diagrama de Venn
Tenemos la igualdad A B A B A B B A .
A B
Es la zona de color amarillo ms la zona de color rojo
A B Es la zona de color rojo
U
BA
La primera parte de la igualdad es: A B A B lo nico que hemos hecho es restar la A B a la
. A B
A la parte que est pintada de color amarillo y rojo, A B , le restamos la parte pintada de color rojo,
, que se corresponde a la primera parte de la igualdad, es decirA B A B A B
Que es igual a la segunda parte de la igualdad A B B A
UBA
A-B B-A
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
43/76
Ejercicio: 1.78 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.78 Si dos conjuntos A y B verifican , se cumple C
A A B A B
a) .CA B
b)
.B A
c)
.A B
La respuesta correcta es la b. Vamos a verla representada en un diagrama de Venn
Tenemos la igualdad:
C
CC
A A B A B
A A B A B
A A B A B
A B A B
A B
A es la zona verde y la zona roja.
C
A B
Es la zona amarilla y la roja.
Por lo tanto si hacemos C
A A B nos queda la zona verde que nos coincide con la interseccin
A B .
Y teniendo en cuenta que si A B A B entonces A = B. Y de aqu deducimos que B A .
U
3BA
No hay ninguna respuesta que sea A = B, pero cuando se cumple que A = B, quiere decir que tienen los
mismos elementos y de aqu deducimos que B A , haciendo un pequeo ejemplo sera:
1,2
1,2
1,2,3
A
B
U
3
3
C
C
A
B
CA B U
B A
A B A
Que coincide con la respuesta b.
1
2
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
44/76
Ejercicio: 1.79 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.79 Si dos conjuntos A y B verifican C
A B B A , se cumple
a)
CB A .
b) B A .
c) A B
.
La respuesta correcta es la a. Vamos a verla representada en un diagrama de Venn
Tenemos la igualdad:
C
CC C
C C
C
A B B A
A B B A
A B B A
A B
Tenemos como resultado que que es lo mismo queCA B CB A .
B que es la zona verde es igual a ACque es la zona verde ms la zona azul.
C
B A Es la zona amarilla ms la zona azul
UB
B-A
A
A-B
Para la igualdad del enunciado vemos que se cumple. C
A B B A
1,2
3
1,2,3
A
B
U
3
1,2
C
C
A
B
1,2 3
1,2 1, 2
C
C
A B B A
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
45/76
Ejercicio: 1.80-1.82 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.80 En el conjunto de palabras , , , ,A uno dos tres cuatro cinco se define la aplicacin fque asigna a
cada una su nmero de letras. Entonces
a) 1f uno .
b)
5f cinco .c) 3f tres .
1.81 Para ordenar por orden alfabtico las palabras del conjunto , , , ,A uno dos tres cuatro cinco seasigna a cada una el lugar que ocupa en dicho orden. Entonces
a) La imagen de tres es 4 y la preimagen de 2 es dos.
b) La imagen de uno es 4 y la preimagen de 1 es cinco.
c) La imagen de cuatro es 2 y la preimagen de 1 es cinco.
1.82 Se considera la abreviatura de cada palabra del diccionario, compuesta por sus dos primeras letras
seguidas de un punto. Entonces
a) que. es la imagen de queso.
b)
fres la imagen de fruta.c) ar. tiene como preimagen arma.
B
3
4
5
6
uno
dos
tres
cuatro
cinco
f
A
B
1
2
3
4
5
cinco
cuatro
dos
tres
uno
f
A
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
46/76
Ejercicio: 1.83 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.83 La abreviatura de las palabras del diccionario, definida por sus dos primeras letras seguidas de un
punto, es una aplicacin bien definida en el conjunto de palabras del diccionario?
a) S.
b)
No, porque hay palabras distintas con las misma abreviatura.
c)
No, porque las palabras de una sola letra no tienen abreviatura.
Lo que nos estn preguntando es si cumplen con la propiedad de aplicacin una abreviatura definida de la
siguiente manera: sus dos primeras letras seguidas de un punto en el conjunto de todas las palabras del
diccionario.
Definicin,
Una aplicacin entre dos conjuntos A y B es una transformacin que convierte cada elemento del
conjunto A en un nico elemento del conjunto B.
La respuestacdice que las palabras de una letra no tienen abreviatura, el enunciado nos pide dos letras y
un punto. Por lo tanto habra palabras en el conjunto inicial sin imagen y ya no cumplira con la condicin
de aplicacin.
La respuesta bsignifica que la correspondencia no es inyectiva, no que no sea aplicacin.
Definicin deaplicacin inyectiva: a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un solo valor de
final tal que, en el conjunto inicial no puede haber dos o ms elementos que tengan la misma imagen.
B
a
b
c
d
1
2
3
4
f
A
B
li....
libro
litro
f
A
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
47/76
Ejercicio: 1.84 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.84 La abreviatura de las palabras del diccionario de ms de dos letras, definida por sus dos primeras
letras seguidas de un punto, es una aplicacin inyectiva?
a)
S.
b) No, porque hay palabras distintas con las misma abreviatura.
c)
No, porque las abreviaturas r.o qt.no corresponden a ninguna palabra.
Una aplicacin entre dos conjuntos A y B es una transformacin que convierte cada elemento del
conjunto A en un nico elemento del conjunto B.
Al haber distintas palabras con la misma abreviatura ya no cumple con la condicin de aplicacin
inyectiva, sera correcta lab.
Definicin deaplicacin inyectiva: a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un solo valor de
final tal que, en el conjunto inicial no puede haber dos o ms elementos que tengan la misma imagen.
Lacno sera correcta ya que no hay en el diccionario ninguna palabra cuyas dos primeras letras sean r. o
qt.
B
a
b
c
d
1
2
3
4
f
A
B
li....
libro
litro
f
A
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
48/76
Ejercicio: 1.85 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.85 Asignar a cada nmero del conjunto { }0,1,2,3,...N = , la suma de sus cifras, define una aplicacin con
dominio N y rango N?
a) Si.
b) No, porque 10 y 100 tienen la misma imagen.
c)
No, porque puede haber nmeros en N que no sean la suma de las cifras de ningn nmero.
1.87 La aplicacin :s N N que asigna a cada elemento de { }0,1,2,3,...N = la suma de sus cifras:
a) Es inyectiva.
b)
No es inyectiva porque s(12) = s(21) = 3.
c) No es inyectiva, porque 0 slo es imagen de 0.
1.90 La aplicacin :s N N que asigna a cada elemento de { }0,1,2,3,...N = la suma de sus cifras:
a)
Es sobreyectiva.
b)
No es sobreyectiva.
c) No se puede saber.
1.91 La aplicacin :s N N que asigna a cada elemento de { }0,1,2,3,...N = la suma de sus cifras:
a) Es biyectiva.
b)
No es biyectiva porque no es inyectiva.
c) No es biyectiva porque no es sobreyectiva.
La aplicacin s: NNque asigna a cada elemento de N = {0,1,2,3,} la suma de sus cifras:
Solucin:Es sobreyectiva, NO es inyectiva y NO es biyectiva.
s: sumar sus cifras
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
49/76
Ejercicio: 1.86 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.86 La aplicacin :s N N que asigna a cada elemento de { }0,1,2,3,...N = la suma de sus cifras:
a) La imagen de 128 es 11 y una preimagen de 11 es 2.
b) La imagen de 11 es 2 y una preimagen de 7 es 52.c)
La imagen de 52 es 7 y una preimagen de 128 es 11.
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
50/76
Ejercicio: 1.88 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.88 La aplicacin :s N N que asigna a cada elemento de { }0,1,2,3,...N = la suma de sus cifras, cumple
a) { }( ) { }2,10,11,100,101 1,2s = .
b) {( ) { }2,3,30,301 2,3s = .
c)
{ }( )26 8s = .
La relacin que establece la aplicacin ses la suma de sus cifras, por lo tanto:
En la respuesta a, tenemos
La respuesta aes correcta, ya que lo primero cumple la propiedad de aplicacin que dice:Una aplicacinentre dos conjuntos A y B es una transformacin que convierte cada elemento del conjunto A
en un nico elemento del conjunto B.
La b no es correctaporque no cumple con la propiedad de ser aplicacin ya que 301 no tiene imagen, es decir
no est relacionado con un elemento del conjunto final y no es aplicacin.
La c no es correcta ya que hay un error de notacindebera ser s({26})={8}
2
1011
100
101
1
2
23
30
301
3
2
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.89 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.89 La aplicacin que asigna a cada elemento de:s N N 0,1,2,3,...N la suma de sus cifras, cumple
a) 1 2 2 10 0,1,2,3,...ks k .b)
1 1 10 0,1,2,3,...ks k .c)
1 0s No est definido.
La relacin que establece la aplicacin ses la suma de sus cifras, por lo tanto:
La respuesta a, dice que la funcin inversa de spara el elemento 2 del conjunto final es igual a los elementos
del conjunto inicial que cumplen la regla 210kpara los elementos de k 0, 1,2, 3,
El primer elemento del conjunto inicial sera 2100 = 2
El segundo elemento del conjunto inicial sera 2101 = 20
El tercero elemento del conjunto inicial sera 2102 = 200
El cuarto elemento del conjunto inicial sera 2103 = 2000
etc.,
Representado en un diagrama de Venn tenemos
2
1120101
110.200
2
Esta respuesta sera correcta si no fuese que en el conjunto inicial definido por N = {0,1,2,3,4,,11,101,
110, etc} tambin tenemos 11 que suma 2, 101 que suma 2, etc, y que no cumplen la regla 210k.
La respuesta b, dice que la funcin inversa de spara el elemento 1 del conjunto final es igual a los elementos
del conjunto inicial que cumplen la regla 10kpara los elementos de k 0, 1,2, 3,
Y en este caso si que se cumple.
La respuestac
es falsa ya que si est definido el elemento 0 del conjunto final se relaciona con el elemento 0 delinicial.
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
52/76
Ejercicio: 1.92 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.92 Asignar a cada nmero del conjunto 0,1,2,3,...N el nmero que se obtiene al multiplicarlo por 3 y
sumar 1 al producto, 3 1n , define una aplicacin con dominio N y rango N?
a) S.
b) No, porque 6 no es imagen de ningn elemento de N.
c) No, porque para multiplicarlos por 3 hay que hacer infinitas operaciones.
1.94 La aplicacin :f N N que asigna a cada n N el nmero 3 1n
a)
No es inyectiva.
b) Es inyectiva, porque hay nmeros en N que no son imagen de ninguno de N. (Aqu se est
definiendo la aplicacin sobreyectiva)
c) Es inyectiva, porque no coinciden las imgenes de nmeros distintos.
1.95 La aplicacin :f N N que asigna a cada n N el nmero 3 1n
a) Es sobreyectiva.
b) No es sobreyectiva, porque hay nmeros en N que no son imagen de ninguno de N.
c)
No es sobreyectiva, porque hay nmeros distintos de N que tienen la misma imagen.
1.98 La aplicacin :f N N que asigna a cada n N el nmero 3 1n
a) Es biyectiva.
b) No es biyectiva, porque no es inyectiva.
c) No es biyectiva, porque no es sobreyectiva.
La aplicacinf: NNque asigna a cada elemento de N = {0,1,2,3,} el nmero 3n+1:
Solucin:Es inyectiva, NO es sobreyectiva, NO es biyectiva.
0
1
2
4..
.
0
1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
12
13
...
f:3n+1
N N
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Ejercicio: 1.93 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.93 La aplicacin :f N N que asigna a cada n N el nmero 3 1n cumple
a) La imagen de 7 es 22 y una preimagen de 24 es2
73
.
b) La preimagen de 1 es 4 y una imagen de 6 es 19.
c)
La preimagen de 7 es 2 y una imagen de 5 es 16.
Solucin: La preimagen de 7 es 2 y una imagen de 5 es 16.
La respuestaano es correcta porque2
73
no es un nmero natural.
N
4
7
16
19
22
1
2
5
6
7
f:3n+1
N
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Ejercicio: 1.96 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.96 La aplicacin :f N N que asigna a cada n N el nmero 3 1n , cumple
a) 1, 3, 4, 5 4, 7,10,13, 21f .b) 2,4,10 7,13,31f .
c)
6 19f .
Segn esto la respuesta a, no es una aplicacin.
La respuesta b, es correcta.
La respuesta c, no es correcta la notacin, debera de ser as:f ({6}) = 19.
N N
2
4
10
7
13
31
f:3n+1
f:3n+1N N
1
3
45
4
7
1013
21
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.97 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.97 La aplicacin :f N N que asigna a cada n N el nmero 3 1n , cumple
a) 1 10,15,22 3,7f .b) 1 22 7f .
c)
1 37, 40,46 12,15f
.
Segn esto la respuesta a, es una aplicacin.
La respuesta b, no es correcta la notacin, debera de ser as: {7}.
La respuesta c, no aplicacin, ya que el elemento 13 no est en el conjunto inicial.
N N
12
13
15
37
40
46
f:3n+1
N N
3
710
15
22
f:3n+1
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.99 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.99 Si f es la aplicacin :f N N que asigna a cada n N el nmero 3 1n y g f f es la
composicin defconsigo misma, se cumple
3 31g .
3 28g
. 3 10g .
La aplicacin g es la composicin de f consigo misma, es decir aplico f dos veces a los valores que se
proponen 3n + 1, en este caso el valor 3.
g(3) = 3n + 1 = 33+ 1 = 10
Si vuelvo a aplicar la funcin tenemos:
g(10) = 3n + 1 = 310+ 1 = 31
3 10 31
3n + 1 3n + 1
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.100 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.100 Si fes la aplicacin :f N N que asigna a cada n N el nmero 3 1n y ses la aplicacin que
asigna a cada elemento de 0,1,2,3,...N la suma de sus cifras, se cumple
a) 15 10s f .
b)
15 19s f .
c) 15 15s f .
La primera funcin f nos dice que a cada n, es decir a cada nmero del primer conjunto lo tenemos que
multiplicar por 3 y sumarle 1. Una vez que obtenemos este resultado aplicamos la segunda funcin gque nos
dice que a cada elemento del conjunto inicial hay que sumar sus cifras.
Si empezamos por el 1 al aplicar la funcin fvemos que 1 por 3 ms 1 es 4 y al aplicar la segunda funcin g
como solo hay una cifra el resultado es 4.
Si analizamos el valor 15 que es el que propone la solucin vemos que 3 por 15 ms 1 es 46 y la suma de sus
cifras es 10, que es la solucin A.
4
7..
.
46
4
7..
.
10
Suma sus
cifras
s
1
2..
.
15
4
7..
.
46
3n+1
f
N N N N
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Ejercicio: 1.101-1.102 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.101 Si f es la aplicacin :f N N que asigna a cada n N el nmero 3 1n y s la aplicacin
:s N N que asigna a cada elemento de 0,1, 2,3,...N la suma de sus cifras, cumple
10 5f s .
12 9f s . 13 13f s .
La aplicacinf: NNasigna a cada n N el nmero 3n + 1, ys es la aplicacin s: NN que asigna a cada
elemento de N = {0,1,2,3,} la suma de sus cifras, se cumple:
Recordar que f s se leescompuesta con f y que primero se aplicasy luegof.
Lo primero realizo la aplicacinsque es la suma de sus cifras por lo tanto el valor 13 resultara 4.
Ahora a 4le aplicofque es la aplicacin 3n + 1y resulta que 34+1 = 13
f s (13) = f(4) = 34+ 1 = 13
1.102 Si ses la aplicacin :s N N que asigna a cada elemento de 0,1,2,3,...N la suma de sus cifras
a) 548 17s s .
b) 548 8s s .
c)
548 6s s .
s es la aplicacin s: NN que asigna a cada elemento de N = {0,1,2,3,} la suma de sus cifras, en este caso
lo aplico dos veces y resulta que:
s(548)=17
y si lo vuelvo a aplicar resulta
s(17)=8
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.103-1.105 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.103 Dado el conjunto 1,2,3,4,5B , si :f A B es una aplicacin sobreyectiva, el cardinal de A debe
cumplir.
a) # 5A .
b)
# 5A .c) # 5A .
Una funcin :f A B es, sobreyectivacuando cada elemento de "B" es la imagen de como mnimo un
elemento de "A".
Segn esto el #(A) 5
1.104 Dado el conjunto 1,2,3,4A , si :f A B es una aplicacin inyectiva, el cardinal de B debecumplir.
a) # 4B .
b) # 4B .
c) # 4B .
Una funcin :f A B es inyectivasi a cada valor del conjunto A le corresponde un valor distinto en el
conjunto B de f. Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor de B tal que, en el
conjunto A no puede haber dos o ms elementos que tengan la misma imagen.
Segn esto el #(B) 4
A B
a
b
cd
e
f
1
2
34
5
A B
1
2
3
4
a
b
c
d
e
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1.105 Si :f A B es una aplicacin biyectiva, puede asegurarse.
a) # #A B .
b) # #A B .
c) # #A B .
Una funcin :f A B es, biyectivasi es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos loselementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del
conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.
Segn esto el #(A) = #(B)
A B
1
2
3
4
a
b
c
d
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.106 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.106 Si A y B son dos conjuntos tales que sus cardinales verifican # # #A B A B , entonces:
a) CA B .
b) CA B .
c) .C CA B
Resultado 1.32. Si , entoncesA B #A B A B # # .
Tenemos que recurrir a la frmula general: BABABA #### , si la comparamos
con la del enunciado,
# ### BB AA A B
# ## AA BB
## # AB BAA B
## # AB BAA B
# 0A B
De esto podemos deducir que # ya que el enunciado no aporta ningn dato sobre el
cardinal de la interseccin.
A B 0
0
Si quiere decir que y llegamos a la conclusin que y # A B A B CA B CB A .
U
ABC
A B
BAC
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Ejercicio: 1.107 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.107 Si A y B son dos conjuntos tales que B A B , se cumple:
a) # # #B A B .
b) # # #B A A B .
c) B . # # #A B A
Resultado 1.32. Si , entoncesA B # # #A B A B .
Si B A B quiere decir que A B , es decir son disjuntos y esto implica que y si
miramos en la frmula general tenemos:
# 0A B
BABABA ####
# # #A B A B 0
Por lo tanto respuesta correcta c.
3,4
1,2
1,2,3,4
A
B
U
1,2
3,4
C
C
A
B
Se cumple Se cumple
3,4 1,2 3,4
A B A
1,2 3,4 1,2
B A B
U
3
4
A B
1
2
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.108 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.108 Si y A es un subconjunto de U, entonces: # U n
a) # #CA A
b) # #CA n A
c) 0 # #CA A
La respuesta correcta es la b, # #CA n A
El enunciado dice que el cardinal del conjunto universal es n, es decir que tiene nelementos, y que A es un
subconjunto de U, lo que dice la respuesta bes que el cardinal del complementario de A es igual a n, que es
el total de elementos del universo, menos el cardinal de A.
Visto de otra forma si despejamos la nquedara:
# #Cn A A
Habamos dicho que nera el total de elementos por lo tanto nson todos los elemento que hay en A y lo queno hay en A, es decirA
C y su suma tiene que ser n.
Si por ejemplo tenemos un universo con 10 elementos y el conjunto A tiene 3 elementos, ACtiene que tener
7 elementos.
Dibujndolo sera:
El Universo tiene 10 elementos, el conjunto A en rojo tiene 3 elementos y el conjunto ACen azul tiene que
tener forzosamente 7 para completar los elementos del universo.
U x x
x x
x x x Ac
A
x x x
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
64/76
Ejercicio: 1.109 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.109 Si A y B son dos conjuntos tales que cumplen # 6A y # A B 2 entonces # A B es igual a
a) 2.
b) 4.
c) 6.
Si aplicamos la frmula tenemos que:
# # #
6 2 #
4 #
A A B A B
A B
A B
Por lo tanto respuesta correcta b.
U
X
X
BA
X
X
X
X
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
65/76
Ejercicio: 1.110 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.110 Si A y B son dos conjuntos tales que # 1B 4 y # A B 8 , entonces:
a) 2 . # 2A B
b) . # 6A B
c)
. # 6B A
Si aplicamos la frmula tenemos que:
# # #
14 # 8
14 8 #
6 #
B B A A B
B A
B A
B A
Por lo tanto respuesta correcta c.
UA B
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
66/76
Ejercicio: 1.111 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.111 Si A y B son dos conjuntos tales que # 1A B 6 , # 1A 0 y # B 9 entonces # A B es
igual a:
a) 1.
b) 3.
c)
9.
Si aplicamos la frmula tenemos que:
# # # #
16 10 9 #
3 #
3 #
A B A B A B
A B
A B
A B
Por lo tanto respuesta correcta b.
UA
X X
X X
X X
X
B
X X
X X
X X
X
X
X
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.112 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.112 Si A y B son dos conjuntos tales que 2# ## AA B B , se verifica:
a) A B .
b) # #A B A .
c) # 0A B .
Frmula general: ## ##A B AA BB
Enunciado: 2# ## B BA A
Sustituimos en la frmula general el cardinal de A y B por 2 # A B :
BABABA ####
2# ## A BA B A B
Llegamos a esta conclusin:
BABA ##
Si lo vemos representado en el diagrama de Venn, vemos que cuando el cardinal de la unin e interseccin
son iguales el conjunto A es igual al B, por lo tanto la respuesta buena es la a.
U
A B
X
X
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.113 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.113 Si A y B son dos conjuntos tales que # A B siempre es menor o igual que:
a) . # #A B
b) . # #A B
c)
# #A B B A .
Partimos de la frmula general: BABABA ####
Tiene que ser siempre # 0A B
Por lo tanto # # # A B A B
# # #
6 5 3
A B A B
U
BA
X X
X
X
X
X
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
69/76
Ejercicio: 1.114 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.114 Si A y B son dos conjuntos tales que # A B siempre es mayor o igual que:
a) # #A B .
b) # #A A B .
c)
# #A B B A .
Partimos de la frmula: # ### A BA ABA B B
Como se puede ver en el diagrama de Venn el cardinal de la unin es igual al cardinal de A-B msel cardinal
de B-A msel cardinal de la interseccin de A y B.
La respuesta correcta sera la c ya que # A B siempre va a ser mayor o igual que # # BA AB a
falta de conocer el valor del cardinal de la interseccin.
UA
A-B
B
B-AAB
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.115 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.115 Si A y B son dos conjuntos, # A B no puede afirmase que sea igual a:
a) # #A B
b) # #A A B
c)
# #A B B
La respuesta anos dice que excepto que BdA no es posible la igualdad.
# # # A B A B
(A-B) es la zona amarilla
A es la zona amarilla ms la zona blanca.
B es la zona blanca
En este caso #(A) - #(B) coincide con #(A-B)
U
A
B
La repuesta bpor definicin es:
# # #A A B A B
# # #A B A A B
UBA
A-B B-AAB
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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La respuesta cdice:
# B # #A B BA
Si analizamos la frmula general BABABA ####
# Bvemos que:
# ## A BA BA
# A B
es equivalente a . # #A A B
A B es la zona roja.
A es la zona roja ms la zona azul.
A B es la zona roja ms la zona azul ms amarilla.
B es la zona amarilla ms la zona azul.
Entonces es cierto que se cumple # #A B# BA B
U
A-B
BA
AB
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.116 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.116 Si A y B son dos conjuntos # #A B A B es igual a:
a) . # #A B
b) . # #A B B A
c)
# #A B .
Si analizamos la frmula # # # #A B A B B A A B vemos que:
# # # #A B A B A B B A
A B es la zona roja.
B A es la zona amarilla.
A B es la zona roja ms la zona azul ms amarilla.
A B es la zona azul.
U
A-B
BA
B-AAB
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.117 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.117 Si A y B son dos conjuntos el conjunto, la igualdad # # 2 #A B A B
a) Es imposible.
b) Slo se cumple cuando A = B.
c) Slo se cumple si A y B son disjuntos.
Si analizamos la igualdad 2# ## B BA A vemos que utilizando la frmula general:
## ##A B AA BB
2# ## A BA B A B
2# ## A BA B A B
# #A B A B
# #A B
#(A) = 3.
#(B) = 3.
# 3A B
# # 2 #A B A B
3 3 2 3
6 6
U
1
2
3
A B
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.118 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.118 Si A y B son dos conjuntos que verifican # # #B A A B y # 12A B , se cumple
a) # 6A .
b) # 9B .
c)
# 3A B .
Si analizamos la igualdad vemos que utilizando la frmula general:
## # AB A B
# 12A B
BABABA ####
# #12 # #A AA AB B
12 2 # A 12 2 # A
# 6A
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.119 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.119 Si A y B son dos conjuntos tales que #(A B) = #(A) + #(A B) y #(B) = 16 , se verifica:
a) #(A) = 12 .
b) #(A B) = 20 .
c) #(A B) = 8 .
Frmula general: # # # #A B A B A B
Enunciado:
# ## A AA B B y
16# B
#(AB) = #(A) + #(B) #(AB)
#(A) + #(AB) = #(A) + 16 #(AB)
#(AB) + #(AB)= #(A) #(A) + 16
2#(AB) = 16
#(AB) = 8
UA B
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1
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Ejercicio: 1.120 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
1.120 Si A y B son dos conjuntos tales que #(A B) = 9 , # 6B A y #(A B) = 27 , se verifica:
a) #(A B) = 9 .
b) #(A) = 21.
c)
#(B) = 15.
# # # #A B A B B A A B
27 9 6 # A B
# 12A B
# # #A A B A B
# 9 12 21A
# # #B B A A B
# 6 12 18B
A B es la zona roja.
B A es la zona amarilla.
A B es la zona blanca.
U
A B
XXX
XXX
XXX
XX
XX
XX
XXX
XXX
XXX
XXX
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