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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALCentro de Investigación en Computación
Dr. Salvador Godoy Calderón
Maestría y Doctorado en Ciencias de la Computación
Enfoque lógico-combinatorioen Reconocimiento de
Patrones
Criterios lógico-combinatorios
para agrupamiento de
patrones
Dr. Salvador Godoy Calderón
Contexto …
12 Objetos, de los cuales no conocemos los
patrones que los simbolizan, pero sí
conocemos su matriz de semejanza /
diferencia.El objetivo es agrupar dichos objetos de
cuatro formas diferentes y jerárquicas.
b0-Conexos
b0-Compactos
b0-fuertemente Compactos
b0- Completos Maximales
Dr. Salvador Godoy Calderón
Matriz de Semejanza ...
M.S.
o1 o2 o3 o4 o5 o6 o7 o8 o9 o10 o11 o12
o1 1
o2 .85 1
o3 .75 .90 1
o4 .78 .90 .88 1
o5 .63 .76 .83 .85 1
o6 .70 .62 .50 .58 .48 1
o7 .51 .58 .60 .68 .73 .51 1
o8 .38 .45 .47 .55 .65 .36 .83 1
o9 .43 .56 .65 .63 .80 .27 .66 .66 1
o10 .27 .38 .47 .45 .65 .11 .58 .63 .83 1
o11 .22 .36 .47 .42 .58 .05 .48 .53 .80 .88 1
o12 .13 .27 .33 .30 .50 .01 .51 .51 .70 .85 .80 1
Dr. Salvador Godoy Calderón
Antecedentes …
Sea W un universo de objetos conocidos,W = { o1, . . . , on, }
Sea f una función de semejanza/diferencia sobre los
objetos de W y b 0 un número real que sirve como
umbral en el codominio de f .
Dos objetos oi y oj , en W , son b 0–
Semejantes, si y sólo si,
Un objeto op, en W , se denomina b 0–Aislado, si y sólo si,
0 , s spo f o o
0, i jo of
Definición
Definición
Dr. Salvador Godoy Calderón
b0 – semejanzas ...
{ 1, 2 }{ 2, 1, 3, 4 }{ 3, 2, 4, 5 }{ 4, 2, 3, 5 }{ 5, 3, 4, 9 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 5, 10, 11 }{ 10, 9, 11, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }{ 12, 10, 11 }
Cada patrón forma un conjunto
donde él es el elemento inicial y que
contiene a todos aquellos patrones b0-
semejantes al inicial.M.S. o1 o2 o3 o4 o5 o6 o7 o8 o9 o10 o11 o12
o1 1
o2 .85 1
o3 .75 .90 1
o4 .78 .90 .88 1
o5 .63 .76 .83 .85 1
o6 .70 .62 .50 .58 .48 1
o7 .51 .58 .60 .68 .73 .51 1
o8 .38 .45 .47 .55 .65 .36 .83 1
o9 .43 .56 .65 .63 .80 .27 .66 .66 1
o10 .27 .38 .47 .45 .65 .11 .58 .63 .83 1
o11 .22 .36 .47 .42 .58 .05 .48 .53 .80 .88 1
o12 .13 .27 .33 .30 .50 .01 .51 .51 .70 .85 .80 1
b0-semejanzas
b0
aislado
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 - Conexos ...
Un sub-conjunto de W es un Núcleo b0 –
Conexo, si y sólo si,
Toda pareja de objetos en el núcleo es b0–
Semejante de forma indirecta (mediante una
secuencia de objetos b0– Semejantes)
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 - Conexos ...
Algoritmo (A):
1) Para cada objeto, calcular sus b0-semejanzas.
2) Simplificar fusionando (uniendo) aquellos que
presenten intersección.
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 - Conexos ...
{ 1, 2 }{ 2, 1, 3, 4 }{ 3, 2, 4, 5 }{ 4, 2, 3, 5 }{ 5, 3, 4, 9 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 5, 10, 11 }{ 10, 9, 11, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }{ 12, 10, 11 }
b0-semejanzas
{ 1, 2, 1, 3, 4, 5, …
b0-Conexos:
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 - Conexos ...
{ 1, 2 }{ 2, 1, 3, 4 }{ 3, 2, 4, 5 }{ 4, 2, 3, 5 }{ 5, 3, 4, 9 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 5, 10, 11 }{ 10, 9, 11, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }{ 12, 10, 11 }
b0-semejanzas
{ 1, 2, 1, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12 }
b0-Conexos:
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 - Conexos ...
{ 1, 2 }{ 2, 1, 3, 4 }{ 3, 2, 4, 5 }{ 4, 2, 3, 5 }{ 5, 3, 4, 9 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 5, 10, 11 }{ 10, 9, 11, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }{ 12, 10, 11 }
b0-semejanzas
{ 1, 2, 1, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12 }
{ 6 }
b0-Conexos:
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 - Conexos ...
{ 1, 2 }{ 2, 1, 3, 4 }{ 3, 2, 4, 5 }{ 4, 2, 3, 5 }{ 5, 3, 4, 9 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 5, 10, 11 }{ 10, 9, 11, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }{ 12, 10, 11 }
b0-semejanzas
{ 1, 2, 1, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12 }
{ 6 }
{ 7, 8 }
b0-Conexos:
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 - Conexos ...
{ 1, 2 }{ 2, 1, 3, 4 }{ 3, 2, 4, 5 }{ 4, 2, 3, 5 }{ 5, 3, 4, 9 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 5, 10, 11 }{ 10, 9, 11, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }{ 12, 10, 11 }
b0-semejanzas
{ 1, 2, 1, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12 }
{ 6 }
{ 7, 8 }
üNúcleos b0 -
Conexos ..
b0-Conexos:
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 - Compactos ...
Un sub-conjunto de W es un Núcleo b0 –
Compacto, si y sólo si,
Para cada objeto en el núcleo, se encuentra
también, en el mismo núcleo, aquel objeto con el
que tiene máxima semejanza.
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 - Compactos ...
Algoritmo (B):
1) Calcular los conjuntos b0-compactos iniciales
incluyendo, para cada objeto, aquel con el que
tiene máxima semejanza.
2) Simplificar fusionando (uniendo) aquellos que
presenten intersección.
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 - Compactos ...
{ 1, 2, 3, 4 }{ 2, 3, 4 }{ 3, 2, 4 }{ 4, 2, 3 }{ 5, 4, 3, 2 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 10, 11 }{ 10, 11 }{ 11, 10 }{ 12, 10, 11 }
b0-Compactosiniciales :
{ 1, 2, 1, 3, 4, 5 }
b0-Compactos:
Dr. Salvador Godoy Calderón
{ 1, 2, 3, 4 }{ 2, 3, 4 }{ 3, 2, 4 }{ 4, 2, 3 }{ 5, 4, 3, 2 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 10, 11 }{ 10, 11 }{ 11, 10 }{ 12, 10, 11 }
Núcleos b0 - Compactos ...
b0-Compactosiniciales :
{ 1, 2, 1, 3, 4, 5 }
{ 6 }
b0-Compactos:
Dr. Salvador Godoy Calderón
{ 1, 2, 3, 4 }{ 2, 3, 4 }{ 3, 2, 4 }{ 4, 2, 3 }{ 5, 4, 3, 2 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 10, 11 }{ 10, 11 }{ 11, 10 }{ 12, 10, 11 }
Núcleos b0 - Compactos ...
b0-Compactosiniciales :
{ 1, 2, 1, 3, 4, 5 }
{ 6 }
{ 7, 8 }
b0-Compactos:
Dr. Salvador Godoy Calderón
{ 1, 2, 3, 4 }{ 2, 3, 4 }{ 3, 2, 4 }{ 4, 2, 3 }{ 5, 4, 3, 2 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 10, 11 }{ 10, 11 }{ 11, 10 }{ 12, 10, 11 }
Núcleos b0 - Compactos ...
b0-Compactosiniciales :
{ 1, 2, 1, 3, 4, 5 }
{ 6 }
{ 7, 8 }
{ 9, 10, 11, 12 }
b0-Compactos:
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 - Compactos ...
{ 1, 2, 3, 4 }{ 2, 3, 4 }{ 3, 2, 4 }{ 4, 2, 3 }{ 5, 4, 3, 2 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 10, 11 }{ 10, 11 }{ 11, 10 }{ 12, 10, 11 }
{ 1, 2, 1, 3, 4, 5 }
b0-Compactosiniciales :
{ 6 }
{ 7, 8 }
{ 9, 10, 11, 12 } üNúcleos b0 - Compactos
...
b0-Compactos:
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 – fuertemente Compactos ...
Un sub-conjunto de W es un Núcleo b0 –
fuertemente Compacto, si y sólo si,
Es un Núcleo b0 – Compacto y además es
irreducible (ninguno de sus subconjuntos es b0–
Compacto)
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 – fuertemente Compactos ...
Algoritmo (C):
1) Calcular los conjuntos b0-compactos iniciales.
2) Simplificar eliminando aquellos que:
a) Son sub-conjuntos de algún otro (conservar el super-conjunto),
b) Son repetidos. (copias de algún otro
conjunto)
Dr. Salvador Godoy Calderón
{ 1, 2, 3, 4 }{ 2, 3, 4 }{ 3, 2, 4 }{ 4, 2, 3 }{ 5, 4, 3, 2 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 10, 11 }{ 10, 11 }{ 11, 10 }{ 12, 10, 11 }
Núcleos b0 – fuertemente Compactos ...
b0-Compactosiniciales :
{ 1, 2, 1, 3, 4 }
b0-fuertemente Compactos:
Dr. Salvador Godoy Calderón
{ 1, 2, 3, 4 }{ 2, 3, 4 }{ 3, 2, 4 }{ 4, 2, 3 }{ 5, 4, 3, 2 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 10, 11 }{ 10, 11 }{ 11, 10 }{ 12, 10, 11 }
Núcleos b0 – fuertemente Compactos ...
b0-Compactosiniciales :
{ 1, 2, 1, 3, 4 } { 2, 3, 4, 5 }
b0-fuertemente Compactos:
Dr. Salvador Godoy Calderón
{ 1, 2, 3, 4 }{ 2, 3, 4 }{ 3, 2, 4 }{ 4, 2, 3 }{ 5, 4, 3, 2 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 10, 11 }{ 10, 11 }{ 11, 10 }{ 12, 10, 11 }
Núcleos b0 – fuertemente Compactos ...
b0-Compactosiniciales :
{ 1, 2, 1, 3, 4 } { 2, 3, 4, 5 } { 6 }
b0-fuertemente Compactos:
Dr. Salvador Godoy Calderón
{ 1, 2, 3, 4 }{ 2, 3, 4 }{ 3, 2, 4 }{ 4, 2, 3 }{ 5, 4, 3, 2 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 10, 11 }{ 10, 11 }{ 11, 10 }{ 12, 10, 11 }
Núcleos b0 – fuertemente Compactos ...
b0-Compactosiniciales :
{ 1, 2, 1, 3, 4 } { 2, 3, 4, 5 } { 6 } { 7, 8 }
b0-fuertemente Compactos:
Dr. Salvador Godoy Calderón
{ 1, 2, 3, 4 }{ 2, 3, 4 }{ 3, 2, 4 }{ 4, 2, 3 }{ 5, 4, 3, 2 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 10, 11 }{ 10, 11 }{ 11, 10 }{ 12, 10, 11 }
Núcleos b0 – fuertemente Compactos ...
b0-Compactosiniciales :
{ 1, 2, 1, 3, 4 } { 2, 3, 4, 5 } { 6 } { 7, 8 } { 9, 10, 11 }
b0-fuertemente Compactos:
Dr. Salvador Godoy Calderón
{ 1, 2, 3, 4 }{ 2, 3, 4 }{ 3, 2, 4 }{ 4, 2, 3 }{ 5, 4, 3, 2 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 10, 11 }{ 10, 11 }{ 11, 10 }{ 12, 10, 11 }
Núcleos b0 – fuertemente Compactos ...
b0-Compactosiniciales :
{ 1, 2, 1, 3, 4 } { 2, 3, 4, 5 } { 6 } { 7, 8 } { 9, 10, 11 } { 10, 11, 12 }
b0-fuertemente Compactos:
Dr. Salvador Godoy Calderón
{ 1, 2, 3, 4 }{ 2, 3, 4 }{ 3, 2, 4 }{ 4, 2, 3 }{ 5, 4, 3, 2 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 10, 11 }{ 10, 11 }{ 11, 10 }{ 12, 10, 11 }
Núcleos b0 – fuertemente Compactos ...
{ 1, 2, 1, 3, 4 } { 2, 3, 4, 5 } { 6 } { 7, 8 } { 9, 10, 11 } { 10, 11, 12 }
b0-Compactosiniciales :
üNúcleos b0 – fuertemente Compactos
...
b0-fuertemente Compactos:
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 – Completos Maximales ...
Un sub-conjunto de W es un Núcleo b0 –
Completo Maximal, si y sólo si,
Toda pareja de objetos en el núcleo es b0 –
Semejante de forma directa.
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 – Completos Maximales ...
Algoritmo (D):
2) Para cada conjunto de b0-semejanza, de
cardinalidad k, calcular todos sus subconjuntos
de cardinalidad 2 … k
1) Calcular las b0-semejanzas de cada objeto.
3) Simplificar eliminando conjuntos que:
a) No satisfacen la definición de Núcleo
de b0-Completo Maximal,
b) Repetidos,
c) Son sub-conjuntos de algún núcleo
previo.
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 – Completos Maximales ...
{ 1, 2 }{ 2, 1, 3, 4 }{ 3, 2, 4, 5 }{ 4, 2, 3, 5 }{ 5, 3, 4, 9 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 5, 10, 11 }{ 10, 9, 11, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }{ 12, 10, 11 }
b0-semejanzas{ 1, 2 }
b0-Completos Maximales:
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 – Completos Maximales ...
{ 1, 2 }{ 2, 1, 3, 4 }{ 3, 2, 4, 5 }{ 4, 2, 3, 5 }{ 5, 3, 4, 9 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 5, 10, 11 }{ 10, 9, 11, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }{ 12, 10, 11 }
b0-semejanzas
{ 2, 1 } { 2, 3 } {2, 4}{2, 1, 3 } {2, 1, 4} {2, 3, 4}{2, 1, 3, 4}
{ 1, 2 }
b0-Completos Maximales:
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 – Completos Maximales ...
{ 1, 2 }{ 2, 1, 3, 4 }{ 3, 2, 4, 5 }{ 4, 2, 3, 5 }{ 5, 3, 4, 9 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 5, 10, 11 }{ 10, 9, 11, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }{ 12, 10, 11 }
b0-semejanzas
{ 3, 2 } { 3, 4 } {3, 5}{ 3, 2, 4 } { 3, 2, 5} { 3, 4, 5}{ 3, 2, 4, 5 }
{ 1, 2 }
{ 2, 3, 4 }
b0-Completos Maximales:
Dr. Salvador Godoy Calderón
{ 4, 2 } { 4, 3 } {4, 5}{ 4, 2, 3 } { 4, 2, 5} { 4, 3, 5}{ 4, 2, 3, 5 }
Núcleos b0 – Completos Maximales ...
{ 1, 2 }{ 2, 1, 3, 4 }{ 3, 2, 4, 5 }{ 4, 2, 3, 5 }{ 5, 3, 4, 9 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 5, 10, 11 }{ 10, 9, 11, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }{ 12, 10, 11 }
b0-semejanzas{ 1, 2 }
{ 2, 3, 4 }{ 3, 4, 5}
b0-Completos Maximales:
Dr. Salvador Godoy Calderón
{ 5, 3 } { 5, 4 } { 5, 9 }{ 5, 3, 4 } { 5, 3, 9} { 5, 4, 9}{ 5, 3, 4, 9 }
Núcleos b0 – Completos Maximales ...
{ 1, 2 }{ 2, 1, 3, 4 }{ 3, 2, 4, 5 }{ 4, 2, 3, 5 }{ 5, 3, 4, 9 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 5, 10, 11 }{ 10, 9, 11, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }{ 12, 10, 11 }
b0-semejanzas{ 1, 2 }
{ 2, 3, 4 }{ 3, 4, 5}
b0-Completos Maximales:
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 – Completos Maximales ...
{ 1, 2 }{ 2, 1, 3, 4 }{ 3, 2, 4, 5 }{ 4, 2, 3, 5 }{ 5, 3, 4, 9 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 5, 10, 11 }{ 10, 9, 11, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }{ 12, 10, 11 }
b0-semejanzas
{ 6 }
{ 1, 2 }
{ 2, 3, 4 }{ 3, 4, 5}
{ 7, 8 }
b0-Completos Maximales:
{ 5, 9 }
Dr. Salvador Godoy Calderón
{ 9, 5 } { 9, 10 } { 9, 11 }{ 9, 5, 10 } { 9, 5, 11} { 9, 10, 11}{ 9, 5, 10, 11 }
Núcleos b0 – Completos Maximales ...
{ 1, 2 }{ 2, 1, 3, 4 }{ 3, 2, 4, 5 }{ 4, 2, 3, 5 }{ 5, 3, 4, 9 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 5, 10, 11 }{ 10, 9, 11, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }{ 12, 10, 11 }
b0-semejanzas{ 1, 2 }
{ 2, 3, 4 }{ 3, 4, 5}
b0-Completos Maximales:
{ 6 }{ 7, 8 }
{ 5, 9 }
Dr. Salvador Godoy Calderón
{ 10, 9 } { 10, 11 } { 10, 12 }{ 10, 9, 11 } { 10, 9, 12} { 10, 11, 12 }{ 10, 9, 11, 12 }
Núcleos b0 – Completos Maximales ...
{ 1, 2 }{ 2, 1, 3, 4 }{ 3, 2, 4, 5 }{ 4, 2, 3, 5 }{ 5, 3, 4, 9 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 5, 10, 11 }{ 10, 9, 11, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }{ 12, 10, 11 }
b0-semejanzas{ 1, 2 }
{ 2, 3, 4 }{ 3, 4, 5}
{ 9, 10, 11}
b0-Completos Maximales:
{ 6 }{ 7, 8 }
{ 5, 9 }
Dr. Salvador Godoy Calderón
{ 11, 9 } { 11, 10 } { 11, 12 }{ 11, 9, 10 } { 11, 9, 12} { 11, 10, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }
Núcleos b0 – Completos Maximales ...
{ 1, 2 }{ 2, 1, 3, 4 }{ 3, 2, 4, 5 }{ 4, 2, 3, 5 }{ 5, 3, 4, 9 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 5, 10, 11 }{ 10, 9, 11, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }{ 12, 10, 11 }
b0-semejanzas
{ 10, 11, 12 }
{ 1, 2 }
{ 2, 3, 4 }{ 3, 4, 5}
b0-Completos Maximales:
{ 9, 10, 11}
{ 6 }{ 7, 8 }
{ 5, 9 }
Dr. Salvador Godoy Calderón
{ 12, 10 } { 12, 11 }{ 12, 10, 11 }
Núcleos b0 – Completos Maximales ...
{ 1, 2 }{ 2, 1, 3, 4 }{ 3, 2, 4, 5 }{ 4, 2, 3, 5 }{ 5, 3, 4, 9 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 5, 10, 11 }{ 10, 9, 11, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }{ 12, 10, 11 }
b0-semejanzas{ 1, 2 }
{ 2, 3, 4 }{ 3, 4, 5}
b0-Completos Maximales:
{ 10, 11, 12 }
{ 9, 10, 11}
{ 6 }{ 7, 8 }
{ 5, 9 }
Dr. Salvador Godoy Calderón
Núcleos b0 – Completos Maximales ...
{ 1, 2 }{ 2, 1, 3, 4 }{ 3, 2, 4, 5 }{ 4, 2, 3, 5 }{ 5, 3, 4, 9 }{ 6 }{ 7, 8 }{ 8, 7 }{ 9, 5, 10, 11 }{ 10, 9, 11, 12 }{ 11, 9, 10, 12 }{ 12, 10, 11 }
b0-semejanzas{ 1, 2 }
{ 2, 3, 4 }{ 3, 4, 5}
b0-Completos Maximales:
üNúcleos b0 – Completos
Maximales...
{ 10, 11, 12 }
{ 9, 10, 11}
{ 6 }{ 7, 8 }
{ 5, 9 }
Dr. Salvador Godoy Calderón
Dr. Salvador Godoy Calderón
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALCentro de Investigación en Computación
Dr. Salvador Godoy Calderón
Maestría y Doctorado en Ciencias de la Computación , CIC-IPN
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