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CRISTAIS FOTÓNICOS UNIDIMENSIONAIS COM
METAMATERIAIS DNG
Filipe Miguel Coelho Entradas Pereira da Silva
Dissertação para Obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Júri
Orientadores: Professor Doutor António Luís Campos da Silva Topa
Professor Doutor Carlos Manuel dos Reis Paiva
Presidente: Professor Doutor António José Castelo Branco Rodrigues
Vogal: Professora Doutora Maria Emília Morais da Fonseca e Silva da Costa Manso
Junho de 2008
v
Agradecimentos
Aos orientadores, Professores Doutores Carlos Paiva e António Topa, não só pelo apoio,
disponibilidade e interesse sempre patenteados ao longo desta intensa tarefa, empenhando sem
hesitar a sua experiência e vastos conhecimentos na resolução de todos os percalços e obstáculos
que surgiram, como também pela preocupação em fomentar um ambiente informal, caracterizado
pela motivação e boa disposição permanentes. Aos professores das diversas disciplinas
frequentadas, especialmente no contexto da área de especialização em telecomunicações, pelo
contributo decisivo para a minha formação pessoal e profissional, pela amizade e também pelo
aconselhamento nas alturas de tomada de decisões relevantes. À Joana, pelo constante incentivo e
pela compreensão e paciência demonstradas, especialmente nas fases mais críticas e nos períodos
de ausência. A todos os meus familiares, que sempre constituíram um esteio de estabilidade,
alicerçando e apoiando o meu crescimento social, humano e académico, em especial a minha mãe, o
meu pai, os meus irmãos e a minha tia Lisa. Ao Duarte e ao Edgar, colegas de trabalho e de sala,
com quem partilhei diariamente momentos de avanço e de estagnação próprios de um complexo e
longo percurso, bem como a todos os outros grandes amigos com quem tenho tido o privilégio e o
orgulho de privar.
vii
Resumo A propagação electromagnética no seio dos cristais fotónicos, nomeadamente estruturas periódicas
por camadas, apresenta um comportamento similar ao da localização de electrões de condução
submetidos a um potencial provocado pela interacção com moléculas e átomos vizinhos. Este campo
do conhecimento tem sido amplamente estudado e analisado em profundidade ao longo de décadas
de investigação científica, uma vez que permitiu o desenvolvimento e implementação de circuitos e
dispositivos electrónicos baseados em semicondutores, que constituem as células fundamentais da
tecnologia nos tempos modernos. O advento da mecânica quântica no pretérito século, em
conjugação com o surgimento do paradoxal e não intuitivo conceito de matéria com comportamento
ondulatório descrito pelo dualismo onda-corpúsculo, levou os investigadores a sugerir a confecção de
redes artificiais que encarnariam o próximo passo em termos de organização estrutural cristalina. De
facto, tanto os semicondutores quanto os cristais fotónicos são constituídos por pequenas unidade
dispostas periodicamente, de forma distinta, uma vez que os últimos são compostos por meios
macroscópicos comuns, ao invés de átomos.
Nesse sentido, a sedutora ideia de uma analogia entre estes dois mundos aparentemente díspares
rapidamente foi posta em prática. Noções como o teorema de Bloch para redes periódicas, a zona de
Brillouin ou a teoria das bandas foram modeladas de forma a satisfazer as necessidades desta nova
família de sólidos organizados. A presente tese fornece as ferramentas que permitem deslindar as
propriedades, comportamentos e fenómenos exibidos pelos cristais fotónicos, nomeadamente no
caso unidimensional alternado por camadas, permitindo a caracterização da propagação
electromagnética nestas estruturas. É especialmente enfocada a questão das bandas permitidas e
proibidas ao nível espectral, como função das dimensões e geometria da rede cristalina, assim como
do ângulo da radiação incidente, uma vez que estas estabelecem as bases para alcançar atributos
não disponíveis nos materiais fornecidos pela natureza.
Com o propósito de conduzir a investigação a novos patamares, um tipo de material recentemente
descoberto e alvo de intensos estudos, os meios DNG, é introduzido na estrutura sob a forma de
camadas, proporcionando-lhe interessantes e inovadoras potencialidades relacionadas com o
confinamento da energia e a reversão da direcção da velocidade de fase. Adicionalmente, a análise
por simulação numérica é levada a cabo tendo em linha de conta a dispersão e as perdas. Apesar de
serem considerados negligenciáveis por alguns autores, estes efeitos devem ser considerados, dado
que os meios DNG operam em regiões de frequência contíguas à ressonância dos parâmetros
electromagnéticos. A curto prazo, é expectável que dispositivos baseados em cristais fotónicos
adquiram a capacidade de modelar o comportamento da luz, propiciando a criação de microchips
compactos totalmente ópticos que revolucionariam a informação e as telecomunicações.
Palavras-Chave Cristais Fotónicos; Estruturas Periódicas Unidimensionais por Camadas; Propagação
Electromagnética; Meios DNG; Modelos Dispersivos; Perdas; Teoria das Bandas; Ondas de Bloch.
ix
Abstract The electromagnetic propagation within photonic crystals, namely stratified periodic structures,
behaves in the exact same way as the localization of conduction electrons submitted to a potencial
caused by the interaction with neighbouring molecules and atoms. That constitutes a field of
knowledge widely studied and deeply analyzed through decades of scientific investigation as it
allowed the development and implementation of electronic circuits and devices based on
semiconductors, which are modern life technology fundamental cells. The dawn of quantum
mechanics in the past century, together with the arise of the paradoxical and non intuitive concept of
matter with undulatory behaviour, described by the wave-particle duality, led researchers into
suggesting the concept of artificially made lattices that would become the next step in terms of crystal
structure organization. In fact, both semiconductors and photonic crystals are made of smaller
periodically arranged units, in a diverse manner, as the latter are composed of common macroscopic
media instead of atoms.
Therefore, the alluring idea of an analogy between these two apparently unfamiliar worlds has soon
developed into practice. Notions like the Bloch’s theorem for periodic lattices, the Brillouin zone or the
theory of bands have been tailored to fit the demands of this new kind of organized solid. The present
thesis provides the tools for unveiling the properties, behaviour and phenomena exhibited by photonic
crystals, specifically the one-dimensional alternate stratified case, allowing the characterization of the
electromagnetic propagation throughout these structures. Great attention is devoted to the emergence
of allowed and forbidden bands at a spectral level, according to the lattice’s dimensions and geometry
as well as the angle of incident radiation, as it may be the basis for achieving attributes not available in
existing natural materials.
With the purpose of a further research, a recently discovered and intensely studied type of material,
the DNG media, is introduced in that structure as a layer, providing it with intriguing innovative
capabilities related with the confining of energy and reversal of the direction of phase velocity.
Moreover, the numerical simulation analysis is carried out taking into account both dispersion and
losses. Despite being considered negligible by some authors, these effects must be considered
because DNG media operate in frequency bands close to the constitutive parameters resonances. In
a near future, devices based on photonic crystals are expected to be capable of molding the flow of
light, therefore leading to compact all-optical microchips that shall revolutionize information and
telecommunications.
Keywords Photonic Crystals; Periodic Unidimensional Stratified Structures; Electromagnetic Propagation; DNG Media; Dispersion Models; Losses; Theory of Bands; Bloch Waves.
xi
Índice
Agradecimentos ....................................................................................... v
Resumo .................................................................................................. vii
Abstract ................................................................................................... ix
Índice ..................................................................................................... xi
Lista de Figuras ...................................................................................... xv
Lista de Acrónimos ................................................................................ xix
Lista de Símbolos .................................................................................. xxi
1 Introdução ..................................................................................... 1
1.1 Enquadramento e Panorma Contextual .................................................. 2
1.2 Motivações e Objectivos ........................................................................ 11 1.2 Contribuições Originais ......................................................................... 13
1.2 Estrutura e Organização ........................................................................ 14
2 As Bandas de Energia nos Cristais ............................................. 19
2.1 Os Cristais como Arquétipos das Estruturas Periódicas.........................20
2.2 O Dualismo Onda-Corpúsculo ............................................................... 20 2.2.1 Da Relatividade à Mecânica Ondulatória . ...........................................................20
2.2.2 A Transformação de Lorentz e o Espaço-Tempo ............................................... 21 2.2.3 A Caracterização Relativista das Partículas ....................................................... 23 2.2.4 A Energia no Contexto da Mecânica Relativista ................................................. 24 2.2.5 A Dupla Natureza da Radiação Electromagnética .............................................. 26
2.3 A Teoria das Bandas ............................................................................. 27 2.3.1 Uma Interpretação Estocástica ........................................................................... 27
2.3.2 O Potencial Periódico de Kronig-Penney ............................................................ 30
2.3.3 As Bandas de Energia no Potencial Periódico .................................................... 32
2.4 Transição para os Cristais Fotónicos .................................................... 37
xii
3 Cristais Fotónicos Unidimensionais ............................................. 39 3.1 Uma Perspectiva Sobre a Periodicidade ............................................... 40
3.2 As Estruturas Periódicas Convencionais ............................................... 42 3.2.1 A Condição de Bragg .......................................................................................... 42
3.2.2 O Teorema de Bloch e as Bandas de Frequência Proibidas .............................. 45
3.2.3 Caracterização Matricial das Estruturas Periódicas por Cama ........................... 54
3.2.4 As Propriedades Refractivas dos Cristais Fotónicos .......................................... 58
3.3 Novos Paradigmas dos Cristais Fotónicos ............................................ 81
4 Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos ......................... 83
4.1 Conceptualização e Desenvolvimento dos Metamateriais..................... 84
4.2 Caracterização de Meios DNG .............................................................. 86 4.2.1 Definições e Nomenclatura ................................................................................. 86
4.2.2 A Noção de Índice de Refracção Negativo ......................................................... 87
4.2.3 Cristal Fotónico DPS-DNG .................................................................................. 95
4.3 Modelos Dispersivos ............................................................................. 99 4.3.1 Os Meios DNG como Subconjunto dos Meios NIR ............................................. 99
4.3.2 Modelos Dispersivos Simplificados ................................................................... 106
4.4 Modelo Real dos Cristais Fotónicos DPS-DNG ................................... 109 4.4.1 Os Efeitos da Dependência Espectral ............................................................... 109
4.4.2 A Influência das Perdas ..................................................................................... 115
4.4.3 Aplicação do Modelo de Lorentz ....................................................................... 119
4.5 Caracterização Global das Estruturas DPS-DNG ................................ 123
5 Conclusão ................................................................................. 127
5.1 Discussão e Análise Crítica de Resultados ......................................... 128
5.2 Epílogo e Perspectivas de Desenvolvimento ....................................... 135
Anexo A – Mecânica Ondulatória ......................................................... 139 A.1 Equação de d’Alembert ....................................................................... 140
A.2 Equação de Schrödinger Unidimensional ............................................ 141
A.3 Equação de Schrödinger Independente do Tempo ............................. 142
A.4 Descontinuidade da Derivada da Função de Onda ............................. 142
A.5 Equação Fundamental das Bandas de Energia .................................. 143
xiii
Anexo B – Estruturas Periódicas .......................................................... 145 B.1 Coeficientes da Série de Fourier da Permitividade Eléctrica ............... 146
B.2 Modelo Elíptico para a Componente Imaginária do Número de Onda 147
B.3 Condições nas Interfaces da Estrutura Periódica ................................ 149
B.4 Coeficientes da Matriz de Transmissão ............................................... 150
B.5 Matriz de Transmissão de uma Estrutura Periódica Genérica ............. 152
B.6 Relação de Dispersão Fundamental dos Cristais Fotónicos ............... 153
B.7 Identidade de Chebyshev .................................................................... 154
Referências .......................................................................................... 159
xv
Lista de Figuras
Figura 1.1 Diagrama de dispersão típico. ........................................................................................ 3 Figura 1.2 Representação esquemática de cristais fotónicos 1D, 2D e 3D [6]. .............................. 4 Figura 1.3 Exemplos de cristais fotónicos 1D, 2D e 3D [6]. ............................................................ 4 Figura 1.4 Cristalografia por raios-x [8]. ........................................................................................... 5 Figura 1.5 Interferência construtiva e destrutiva [10]. ...................................................................... 5 Figura 1.6 Fragmentação da função de onda pelo teorema de Bloch [20]. .................................... 9 Figura 1.7 Zona de Brillouin e bandas permitidas e proibidas de energia [21]. .............................. 9 Figura 1.8 Cristal electrónico e cristal fotónico [30]. ...................................................................... 10 Figura 1.9 Pormenor de metamaterial DNG [51]. .......................................................................... 12
Figura 2.1 Órbita de um planeta no espaço-tempo e cone de luz invariante na transformação de Lorentz ............................................................................................. 22
Figura 2.2 Constituição parcelar da energia total de uma partícula. ............................................. 26 Figura 2.3 Potencial periódico arbitrário. ....................................................................................... 30 Figura 2.4 Modelo de Kronig-Penney normal e simplificado. ........................................................ 32 Figura 2.5 Regiões adjacentes do espaço em torno da origem do referencial. ............................ 33 Figura 2.6 Equação de dispersão do número de onda de Bloch................................................... 35 Figura 2.7 Diagrama de dispersão do potencial periódico. ........................................................... 36 Figura 2.8 Espectro das bandas proibidas e permitidas de energia. ............................................ 37 Figura 2.9 Diagrama de dispersão reduzido para a primeira banda de energia. .......................... 38 Figura 2.10 Componente imaginária do número de onda de Bloch. ............................................... 38
Figura 3.1 Incidência sobre cristal fotónico e transmissividade [81][82]. ...................................... 41 Figura 3.2 Diagramas de dispersão da radiação electromagnética. ............................................. 41 Figura 3.3 Imagem SEM de um cristal fotónico de InGaAsP [81]. ................................................ 42 Figura 3.4 Estrutura periódica de camadas alternadas. ................................................................ 43 Figura 3.5 Reflexão de Bragg. ....................................................................................................... 44 Figura 3.6 Diagrama de dispersão e primeira banda proibida. ...................................................... 48 Figura 3.7 Modelos elíptico e real para o diagrama de dispersão. ................................................ 52 Figura 3.8 Diagrama de dispersão complexo na primeira banda de energia. ............................... 52 Figura 3.9 Dissecação matricial da estrutura periódica por camadas. .......................................... 55 Figura 3.10 Diagrama de dispersão de com baixo contraste e 0,5Λ. ............................ 62 Figura 3.11 Visualização tridimensional de , Λ 0, baixo contraste e 0,5Λ. .............. 62 Figura 3.12 Visualização tridimensional de , Λ 6 , baixo contraste e 0,5Λ. ........... 62 Figura 3.13 Diagrama de dispersão de com alto contraste e 0,5Λ. ............................... 63 Figura 3.14 Visualização tridimensional de , Λ 0, alto contraste e 0,5Λ .................. 63
xvi
Figura 3.15 Visualização tridimensional de , Λ 6 , alto contraste e 0,5Λ. .............. 63 Figura 3.16 Diagrama de dispersão de com alto contraste, 0,95Λ e 0,05Λ. .................. 64 Figura 3.17 Visualização tridimensional de , Λ 0, alto contraste, 0,95Λ e
0,05Λ. ..................................................................................................................... 64 Figura 3.18 Visualização tridimensional de , Λ 6 , alto contraste, 0,95Λ e
0,05Λ. ..................................................................................................................... 64 Figura 3.19 Diagrama de dispersão de com baixo contraste, 0,5Λ e 0,5Λ. ................... 67 Figura 3.20 Visualização tridimensional de , com baixo contraste, 0,5Λ e 0,5Λ. ............ 67 Figura 3.21 Diagrama de dispersão de com alto contraste, 0,5Λ e 0,5Λ. ...................... 67 Figura 3.22 Visualização tridimensional de , com alto contraste, 0,5Λ e 0,5Λ. ............... 68 Figura 3.23 Diagrama de dispersão de com alto contraste, 0,95Λ e 0,05Λ. .................. 68 Figura 3.24 Visualização tridimensional de , com alto contraste, 0,95Λ e 0,05Λ. ........... 68 Figura 3.25 Componentes real e imaginária do número de onda de Bloch em Λ 0. ............... 70 Figura 3.26 Componentes real e imaginária do número de onda de Bloch em Λ 3 . ............. 70 Figura 3.27 Componentes real e imaginária do número de onda de Bloch em Λ 6 . ............. 70 Figura 3.28 Múltiplas bandas de energia em Λ 0, com baixo contraste, 0,5Λ e
0,5Λ. ....................................................................................................................... 72 Figura 3.29 Múltiplas bandas de energia em Λ 0, com baixo contraste, 0,75Λ e
0,25Λ. ..................................................................................................................... 72 Figura 3.30 Múltiplas bandas de energia em Λ 0, com alto contraste, 0,5Λ e
0,5Λ. ....................................................................................................................... 73 Figura 3.31 Múltiplas bandas de energia em Λ 0, com alto contraste, 0,95Λ e
0,05Λ. ..................................................................................................................... 73 Figura 3.32 Múltiplas bandas de energia da estrutura de quarto de onda com alto contraste. ...... 75 Figura 3.33 Diagrama de dispersão do cristal fotónico de baixo contraste e respectivos
meios. ........................................................................................................................... 75 Figura 3.34 Diagrama de dispersão da estrutura de quarto de onda e respectivos meios. ............ 75 Figura 3.35 Transmissividade com camadas de espessura similar e alto contraste. ..................... 77 Figura 3.36 Envolvente da transmissividade. .................................................................................. 78 Figura 3.37 Componentes real e imaginária de K da estrutura de quarto de onda. ........................ 78 Figura 3.38 Transmissividade da estrutura de quarto de onda. ...................................................... 79 Figura 3.39 Pormenor da primeira banda de transmissividade nula. .............................................. 80 Figura 3.40 Transmissividade em função do ângulo de incidência em Ω 5.............................. 80 Figura 3.41 Transmissividade em função do ângulo de incidência em Ω 6.............................. 81 Figura 4.1 Diagrama de classificação dos meios. ......................................................................... 87 Figura 4.2 Permitividade eléctrica no plano complexo. ................................................................. 91 Figura 4.3 Componente do índice de refracção no plano complexo. ....................................... 92 Figura 4.4 Índice de refracção no plano complexo. ....................................................................... 94 Figura 4.5 Orientação espacial dos campos, vector de Poynting e constante de
propagação. .................................................................................................................. 95 Figura 4.6 Representação esquemática de um cristal Fotónico DPS-DNG. ................................. 95 Figura 4.7 Componentes real e imaginária de uma estrutura de quarto de onda DPS-DNG. ...... 97 Figura 4.8 Transmissividade de cristais fotónicos DPS-DPS e DPS-DNG. .................................. 98 Figura 4.9 Transmissividade de cristal fotónico DPS-DNG com número variável de células. ...... 98 Figura 4.10 Crescimento das bandas permitidas em estrutura de quarto de onda
desequilibrada. .............................................................................................................. 99
xvii
Figura 4.11 Variação da constante de propagação em estrutura de quarto de onda desequilibrada. ............................................................................................................100
Figura 4.12 Modelo de Lorentz para as partes reais da permitividade e permeabilidade. ............103 Figura 4.13 Modelo de Lorentz para as partes imaginárias da permitividade e
permeabilidade. ..........................................................................................................104 Figura 4.14 Modelo de Lorentz para a parte real do índice de refracção. .....................................105 Figura 4.15 Modelo de Lorentz para a parte imaginária do índice de refracção. ..........................105 Figura 4.16 Modelo de Drude para a parte real do índice de refracção. .......................................106 Figura 4.17 Modelo de Drude para a parte imaginária do índice de refracção. ............................107 Figura 4.18 Modelo dispersivo não causal para a permitividade e permeabilidade. .....................108 Figura 4.19 Modelo dispersivo não causal para o índice de refracção. ........................................108 Figura 4.20 Legenda das figuras relativas aos modelos dispersivos de cristais DPS-DNG. ........110 Figura 4.21 Transmissividade com 1 e modelo linear com 0,1. .....................................110 Figura 4.22 Transmissividade com 5 e modelo linear com 0,1. .....................................111 Figura 4.23 Diagrama de dispersão com 5 e modelo linear com 0,01. ..........................111 Figura 4.24 Transmissividade com 5 e modelo linear com 0,01. ...................................112 Figura 4.25 Transmissividade com 5 e modelo linear com 0,005. .................................112 Figura 4.26 Transmissividade com 20 e modelo linear com 0,1. ...................................112 Figura 4.27 Transmissividade com 20 e modelo linear com 0,01. .................................113 Figura 4.28 Diagrama de dispersão com 20 e modelo linear com 0,001. ......................113 Figura 4.29 Transmissividade com 20 e modelo linear com 0,001. ...............................113 Figura 4.30 Transmissividade com 1 e modelo dispersivo não causal na região DNG. ........114 Figura 4.31 Diagrama de dispersão com modelo dispersivo não causal na transição SNG-
DNG. ...........................................................................................................................114 Figura 4.32 Diagrama de dispersão com modelo dispersivo não causal na transição DNG-
SNG. ...........................................................................................................................115 Figura 4.33 Transmissividade com 20 e modelo dispersivo não causal na região DNG. ......115 Figura 4.34 Diagrama de dispersão com 20 e modelo dispersivo não causal. ......................116 Figura 4.35 Transmissividade com 20 e modelo dispersivo não causal. ...............................116 Figura 4.36 Diagrama de dispersão com 10 e modelo de Drude...........................................117 Figura 4.37 Transmissividade com 10 e modelo de Drude. ...................................................117 Figura 4.38 Transmissividade com 5 e modelo de Drude, com Γ 0. ..................................118 Figura 4.39 Transmissividade com 5 e modelo de Drude com Γ 4 10 Ω . ...................118 Figura 4.40 Transmissividade com 5 e modelo de Drude com Γ 4 10 Ω . ...................118 Figura 4.41 Diagrama de dispersão com 5 e modelo de Drude com Γ 4 10 Ω . ..........118 Figura 4.42 Modelo de Lorentz para as partes reais da permitividade e permeabilidade. ............119 Figura 4.43 Modelo de Lorentz para o índice de refracção. ..........................................................120 Figura 4.44 A região DNG como subconjunto da região NIR. .......................................................120 Figura 4.45 Diagrama de dispersão com 20 e modelo de Lorentz com Ω 0,01. ...............120 Figura 4.46 Transmissividade com 20 e modelo de Lorentz com Ω 0,001. ......................121 Figura 4.47 Transmissividade com 20 e modelo de Lorentz com Ω 0,01. ........................121 Figura 4.48 Transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0. ...............................121 Figura 4.49 Transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,015. ........................122 Figura 4.50 Transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,03. ..........................122 Figura 4.51 Diagrama de dispersão com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,03. .................122 Figura 4.52 Rácio entre e com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0. ................124 Figura 4.53 Rácio entre e com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,01. ...........125 Figura 4.54 Diagrama de transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0. ..........125
xviii
Figura 4.55 Visualização tridimensional do diagrama de transmissividade sem perdas. .............126 Figura 4.56 Diagrama de transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,01. ......126 Figura 4.57 Visualização tridimensional do diagrama de transmissividade com perdas. .............126 Figura 5.1 Cristal fotónico 2D não periódico [92]. ........................................................................136 Figura 5.2 Aplicação de defeitos na rede cristalina de uma estrutura fotónica 2D [98]. .............137 Figura 5.3 Imagens de Fibras de Cristais Fotónicos [92]. ...........................................................138 Figura 5.4 Ilustração de um futuro dispositivo fotónico integrado [102]. .....................................138 Figura B.1 Estrutura periódica de camadas de igual espessura. .................................................146
xix
Lista de Acrónimos
BW Backward Waves
BWM Backward Wave Media
DNG Double Negative
ENG Epsilon Negative
LHM Left-Handed Media
MNG Mu Negative
NIR Negative Index of Refraction
PBG Photonic Band Gap
PC Photonic Crystal
PCF Photonic Crystal Fibers
PIC Photonic Integrated Circuit
QWS Quarter Wave Stack
SEM Scanning Electron Micrograph
SNG Single Negative
TE Polarização Transversal Eléctrica
TM Polarização Transversal Magnética
xxi
Lista de Símbolos evento do espaço-tempo de Minkowski
espessura da primeira camada da estrutura periódica
onda incidente relativa à célula de referência da estrutura periódica
onda incidente relativa à n-ésima célula da estrutura periódica
onda incidente relativa à -ésima camada da n-ésima célula da estrutura periódica
onda incidente relativa à última célula da estrutura periódica
índice identificador das camadas da estrutura periódica
elemento da matriz de transferência
amplitude do campo eléctrico no espectro da constante de propagação
coeficiente de onda de Bloch num período do cristal
espessura da segunda camada da estrutura periódica
onda reflectida relativa à célula de referência da estrutura periódica
onda reflectida relativa à n-ésima célula da estrutura periódica
onda reflectida relativa à -ésima camada da n-ésima célula da estrutura periódica
onda reflectida relativa à última célula da estrutura periódica
índice identificador das camadas da estrutura periódica
elemento da matriz de transferência
campo de indução magnética
coeficiente de onda de Bloch num período do cristal
velocidade da radiação electromagnética no vácuo
valor na origem da característica rectilínea do modelo dispersivo linear
declive da característica rectilínea do modelo dispersivo linear
susceptibilidade eléctrica
susceptibilidade magnética
elemento da matriz de transferência
coeficiente da matriz parcelar auxiliar para obtenção da matriz de transferência
coeficiente da matriz parcelar auxiliar para obtenção da matriz de transferência
xxii
coeficiente da matriz parcelar auxiliar para obtenção da matriz de transferência
coeficiente da matriz parcelar auxiliar para obtenção da matriz de transferência
número de onda no espaço livre normalizado
distância entre o início da estrutura periódica e a primeira interface
distância entre o início da estrutura periódica e a segunda interface
distância entre o início da estrutura periódica e a n-ésima interface
semi-soma do rácio dos índices de refracção a estrutura periódica com o seu inverso
delta de Kronecker
elemento da matriz de transferência
campo eléctrico de deslocamento
Δ condição de Bragg
Δ desfasagem entre as ondas incidente e reflectida
Δ desfasagem entre ondas reflectidas em duas interfaces sucessivas da estrutura periódica
Δ largura espectral da banda proibida
Δ largura espectral aproximada da banda proibida
Δ largura espectral exacta da banda proibida
Δ distância percorrida pela onda reflectida na primeira interface da estrutura periódica
Δ distância percorrida pela onda reflectida na segunda interface da estrutura periódica
Δ distância percorrida pela onda incidente
Δ distância percorrida pela onda reflectida n-ésima interface da estrutura periódica
Δ distância percorrida pela onda reflectida
versor temporal de um referencial do espaço-tempo de Minkowski
primeiro versor espacial de um referencial do espaço-tempo de Minkowski
segundo versor espacial de um referencial do espaço-tempo de Minkowski
terceiro versor espacial de um referencial do espaço-tempo de Minkowski
permitividade eléctrica
permitividade eléctrica no vácuo
permitividade eléctrica na camada de índice 1 da estrutura periódica
permitividade eléctrica na camada de índice 2 da estrutura periódica
permitividade eléctrica relativa
xxiii
componente real da permitividade eléctrica
componente imaginária da permitividade eléctrica
erro associado à largura espectral aproximada da banda proibida
impedância de onda
impedância de onda no vácuo
impedância de onda na camada de índice 1 da estrutura periódica
impedância de onda na camada de índice 2 da estrutura periódica
campo eléctrico
amplitude do campo eléctrico
componente longitudinal do campo eléctrico
componente transversal do campo eléctrico
componente transversal do campo eléctrico
módulo do campo eléctrico na camada de índice 1
módulo do campo eléctrico na camada de índice 2
componente espacialmente periódica do campo eléctrico
energia total de uma partícula
energia própria ou intrínseca de uma partícula
função do número de onda da partícula livre
versor temporal de um referencial no espaço-tempo de Minkowski
primeiro versor espacial de um referencial do espaço-tempo de Minkowski
segundo versor espacial de um referencial do espaço-tempo de Minkowski
terceiro versor espacial de um referencial do espaço-tempo de Minkowski
fase da onda plana
fase da onda reflectida na primeira interface da estrutura periódica
fase inicial da onda reflectida na primeira interface da estrutura periódica
fase da onda reflectida na segunda interface da estrutura periódica
fase inicial da onda reflectida na segunda interface da estrutura periódica
fase da onda incidente
fase inicial da onda incidente
fase da onda reflectida na n-ésima interface da estrutura periódica
xxiv
fase inicial da onda reflectida na n-ésima interface da estrutura periódica
fase da onda reflectida
fase inicial da onda reflectida
coeficiente do modelo dispersivo não causal
Φ amplitude espectral de um feixe de ondas planas
Φ amplitude espectral de um feixe estacionário de ondas planas
vector da rede recíproca
múltiplo dos vectores da rede recíproca
factor de Lorentz e índice identificador das camadas da estrutura periódica
comprimento de onda associado à frequência de perdas da permitividade eléctrica
denominador comum aos elementos da matriz
denominador comum aos elementos da matriz para a equação
denominador comum aos elementos da matriz para a equação
Γ frequência de colisão ou de perdas
Γ frequência de colisão ou de perdas da permitividade eléctrica
Γ frequência de colisão ou de perdas da permeabilidade magnética
constante de Planck
constante de Planck reduzida
campo magnético
amplitude do campo magnético
operador hamiltoniano
transformada de Hilbert
matriz identidade
índice dos valores próprios associados à matriz de transferência
densidade de corrente eléctrica
vector de onda no espaço
número de onda no vácuo
número de onda longitudinal relativo à camada de índice 1
número de onda longitudinal relativo à camada de índice 2
componente longitudinal do número de onda
xxv
número de onda longitudinal relativo à camada de índice com incidência perpendicular
número de onda longitudinal relativo à camada de índice
número de onda longitudinal relativo à camada de índice com incidência perpendicular
número de onda longitudinal relativo à camada de índice
componente real do vector de onda
componente imaginária do vector de onda
limite inferior das velocidades relativas
vector de onda de Bloch
componente imaginária do número de onda de Bloch
componente imaginária do número de onda de Bloch no centro da banda proibida
componente real do número de onda de Bloch
componente longitudinal do vector de onda de Bloch
componente transversal do vector de onda de Bloch
componente transversal do vector de onda de Bloch
módulo do vector de onda de Bloch na camada de índice
normalização do vector da rede recíproca
normalização do vector da rede recíproca
vector de onda próprio
largura das barreiras de potencial no modelo de Kronig-Penney
vector de onda próprio no referencial próprio
vector das coordenadas espaciais do vector de onda próprio
comprimento de onda ou factor de intensidade do potencial cristalino
comprimento de onda associado à frequência de ressonância da permitividade eléctrica
comprimento de onda de de Broglie
valores próprios associados à matriz de transferência
comprimento de onda associado à frequência de plasma da permitividade eléctrica
variável normalizada para o modelo de Lorentz da permitividade eléctrica
variável normalizada para o modelo de Lorentz da permeabilidade magnética
limite inferior da banda de componente real do índice de refracção negativa
xxvi
limite inferior da banda de componente real da permitividade eléctrica negativa
limite inferior da banda de componente real da permeabilidade magnética negativa
limite superior da banda de componente real do índice de refracção negativa
limite superior da banda de componente real da permitividade eléctrica negativa
limite superior da banda de componente real da permeabilidade magnética negativa
matriz diagonal com valores próprios de
elemento da matriz
elemento da matriz
elemento da matriz
elemento da matriz
elemento da matriz
matriz à parte o denominador comum
elemento da matriz
elemento da matriz
elemento da matriz
elemento da matriz
Λ período do cristal fotónico unidimensional por camadas
massa de uma partícula
permeabilidade magnética
permeabilidade magnética no vácuo
permeabilidade magnética na camada de índice 1 da estrutura periódica
permeabilidade magnética na camada de índice 2 da estrutura periódica
valor absoluto da permeabilidade magnética no cristal fotónico unidimensional
permeabilidade magnética relativa
componente real da permeabilidade magnética
componente imaginária da permeabilidade magnética
matriz de transferência da estrutura periódica unidimensional
matriz auxiliar no cálculo da matriz de transferência
elemento da inversa da matriz auxiliar genérica
elemento da inversa da matriz auxiliar genérica
xxvii
matriz auxiliar no cálculo da matriz de transferência
elemento da inversa da matriz auxiliar genérica
elemento da inversa da matriz auxiliar genérica
matriz auxiliar no cálculo da matriz de transferência
matriz auxiliar no cálculo da matriz de transferência
matriz de transferência de entrada da estrutura periódica unidimensional
matriz auxiliar genérica no cálculo da matriz de transferência
matriz de transferência de saída da estrutura periódica unidimensional
índice de refracção
índice de refracção da primeira camada da estrutura periódica
índice de refracção da segunda camada da estrutura periódica
índice de refracção da -ésima camada da estrutura periódica
componente do índice de refracção dependente da permitividade eléctrica
componente do índice de refracção dependente da permeabilidade magnética
componente real do índice de refracção
componente imaginária do índice de refracção
parte real da componente do índice de refracção dependente de
parte real da componente do índice de refracção dependente de
parte imaginária da componente do índice de refracção dependente de
parte imaginária da componente do índice de refracção dependente de
número de células da estrutura periódica
rácio entre os módulos das constantes de propagação em camadas sucessivas
operador gradiente
frequência angular
frequência angular central da banda proibida
frequência de ressonância da permitividade eléctrica
frequência de ressonância da permeabilidade magnética
frequência de plasma da permitividade eléctrica
frequência de plasma da permeabilidade magnética
xxviii
limite inferior da banda proibida e da banda DNG
limite inferior da banda de componente real da permitividade eléctrica negativa
limite inferior da banda de componente real da permeabilidade magnética negativa
limite superior da banda proibida e da banda DNG
limite superior da banda de componente real da permitividade eléctrica negativa
limite superior da banda de componente real da permeabilidade magnética negativa
Ω frequência angular normalizada
Ω frequência angular normalizada de ressonância
Ω frequência angular normalizada de ressonância da permitividade eléctrica
Ω frequência angular normalizada de ressonância da permeabilidade magnética
Ω frequência angular normalizada de plasma
Ω frequência angular normalizada de plasma da permitividade eléctrica
Ω frequência angular normalizada de plasma da permeabilidade magnética
Ω frequência angular normalizada de perdas
Ω frequência angular normalizada de perdas da permitividade eléctrica
Ω frequência angular normalizada de perdas da permeabilidade magnética
frequência angular de plasma auxiliar no modelo dispersivo não causal
momento linear relativo de uma partícula
componente longitudinal do momento linear de uma partícula
variável normalizada para o modelo de Lorentz da permitividade eléctrica
variável normalizada para o modelo de Lorentz da permeabilidade magnética
operador momento linear
probabilidade de localização de uma partícula ou do seu momento linear
parcela da equação de dispersão dos cristais fotónicos unidimensionais por camadas
parcela da equação de dispersão dos cristais fotónicos unidimensionais por camadas
ψ onda plana
ψ módulo da onda plana
amplitude da onda incidente
amplitude da onda reflectida
xxix
onda incidente
onda reflectida
Ψ feixe de ondas planas
Ψ feixe estacionário de ondas planas
Ψ função de onda na região à esquerda da origem do referencial espacial do cristal
Ψ função de onda na região à direita da origem do referencial espacial do cristal
momento linear próprio de uma partícula
número de onda de Bloch
momento linear próprio de uma partícula no referencial próprio
variável normalizada para o modelo de Lorentz da permitividade eléctrica
variável normalizada para o modelo de Lorentz da permeabilidade magnética
vector das coordenadas espaciais do momento linear próprio de uma partícula
função de onda independente do espaço e matriz de diagonalização de
vector das coordenadas espaciais de um referencial do espaço-tempo de Minkowski
coeficiente de reflexão da estrutura periódica unidimensional de células
módulo do índice de refracção
módulo da permitividade eléctrica
módulo da permeabilidade magnética
reflectividade da estrutura periódica unidimensional de células
região de continuidade na função potencial de uma rede cristalina electrónica
região à esquerda da origem do referencial espacial do cristal
região à direita da origem do referencial espacial do cristal
, espaço-tempo de Minkowski
espaço tridimensional
espaço quadridimensional
valor médio do vector de Poynting
primeiro referencial não acelerado
segundo referencial não acelerado
tempo no referencial próprio
coeficiente de transmissão da estrutura periódica unidimensional de células
xxx
espessura da camada de índice
tempo no referencial relativo
ângulo de incidência da radiação electromagnética sobre o cristal fotónico
argumento do índice de refracção
argumento da permitividade eléctrica
argumento da permeabilidade magnética
energia cinética de uma partícula e transmissividade da estrutura periódica de células
envolvente da transmissividade da estrutura periódica unidimensional de células
matriz de transferência da estrutura periódica unidimensional genérica com camadas
velocidade própria de uma partícula
componente espacial ou função de onda independente do tempo
velocidade própria de uma partícula no referencial próprio
vector das componentes espaciais da velocidade própria de uma partícula
energia potencial
notação utilizada no contexto da identidade de Chebyshev
vector próprio associado à matriz de transferência
velocidade de um referencial inercial face ao outro
primeiro elemento do vector próprio associado ao valor próprio
segundo elemento do vector próprio associado ao valor próprio
elemento do vector próprio associado ao valor próprio
elemento do vector próprio associado ao valor próprio na equação ,
função potencial e matriz de colunas correspondentes aos vectores próprios de
elemento da -ésima potência da matriz
elemento da -ésima potência da matriz
elemento da -ésima potência da matriz
elemento da -ésima potência da matriz
elemento da -ésima potência da matriz à parte o denominador comum
elemento da -ésima potência da matriz à parte o denominador comum
elemento da -ésima potência da matriz à parte o denominador comum
xxxi
elemento da -ésima potência da matriz à parte o denominador comum
densidade média de energia eléctrica
densidade média de energia magnética
densidade média de energia eléctrica em meios não dispersivos
densidade média de energia magnética em meios não dispersivos
eixo longitudinal de dimensão espacial de periodicidade da estrutura
coeficiente do versor temporal no referencial próprio
coeficiente do primeiro versor espacial no referencial próprio
primeira coordenada correspondente ao centro no modelo elíptico
coeficiente do segundo versor espacial no referencial próprio
segunda coordenada correspondente ao centro no modelo elíptico
coeficiente do terceiro versor espacial no referencial próprio
coeficiente do versor temporal no referencial relativo
coeficiente do primeiro versor espacial no referencial relativo
coeficiente do segundo versor espacial no referencial relativo
coeficiente do terceiro versor espacial no referencial relativo
versor do eixo longitudinal de dimensão espacial de periodicidade da estrutura
amplitude de onda de Bloch generalizada
amplitude de onda de Bloch
amplitude de onda de Bloch na região à esquerda da origem do referencial espacial do cristal
amplitude de onda de Bloch na região à direita da origem do referencial espacial do cristal
eixo transversal à dimensão espacial de periodicidade da estrutura
versor do eixo transversal à dimensão espacial de periodicidade da estrutura
amplitude de onda de Bloch generalizada
amplitude de onda de Bloch
amplitude de onda de Bloch na região à esquerda da origem do referencial espacial do cristal
amplitude de onda de Bloch na região à direita da origem do referencial espacial do cristal
eixo transversal à dimensão espacial de periodicidade da estrutura
versor do eixo transversal à dimensão espacial de periodicidade da estrutura
número de onda de Bloch normalizado e impedância de onda normalizada
Capítulo 1
Introdução
Este capítulo introduz as temáticas envolvidas na concepção da presente dissertação,
nomeadamente numa perspectiva contextual e de motivação e, adicionalmente, fornece uma
panorâmica dos pressupostos e objectivos que presidem à sua elaboração, bem como uma sinopse
detalhada da sua estrutura e dos aspectos originais relevantes que pretende focar.
Introdução
2
“The transmitted beam is extinguished much more
rapidly than corresponds to the true absorption of
the crystal.”
C. G. Darwin [1]
1.1 Enquadramento e Panorama Contextual
À medida que as exigências que recaem sobre os recursos tecnológicos, nomeadamente no que diz
respeito à informática e às comunicações, crescem de forma exponencial, as atenções centram-se no
projecto e desenvolvimento de dispositivos ópticos, cuja capacidade, velocidade e largura de banda
apresentam um potencial marcadamente elevado e em grande medida inexplorado. Contudo, esta
tendência tem encontrado nas limitações das propriedades ópticas dos materiais uma barreira,
responsável pelo consubstanciar de um atraso indesejado, em face da incapacidade de estes
reproduzirem de forma rigorosa as funções pretendidas. A actual situação da área da óptica contrasta
com a riqueza de soluções disponível no âmbito da electrónica, em que é viável a implementação de
praticamente qualquer propriedade ou padrão comportamental que se pretenda, por via da
parametrização e dimensionamento dos componentes disponíveis, longa e historicamente
conhecidos, analisados e testados sob a mais variada panóplia de condições. Esta facilidade está
relacionada com o tipo de interacção que os electrões estabelecem com as redes cristalinas dos
materiais presentes no circuito eléctrico, e que estão na base da sua classificação enquanto metais,
semicondutores ou isolantes [2]. De facto, através de alterações pontuais na estrutura, consegue-se
ajustar as propriedades fornecidas pelo meio às pretendidas. É neste contexto que surge a evidente
analogia entre os mundos óptico e eléctrico, detalhada adiante, e que está na base da adaptação do
conceito de rede cristalina electrónica à radiação electromagnética, no que redunda a criação dos
cristais fotónicos.
Assim, o âmago da presente dissertação reside no estudo e dissecação da possibilidade de utilização
de cristais fotónicos enquanto elementos base para a implementação de circuitos ópticos ou de
microondas baseados nos fenómenos refractivos, como sejam os dispositivos de filtragem. Nesse
sentido, importa escalpelizar a influência que a utilização de estruturas periódicas deste tipo imprime
à radiação electromagnética que sobre elas incide, nomeadamente no que diz respeito à organização
da sua característica de transmissividade, ou reflectividade, ao longo do espectro. Com efeito, ao
contrário do que sucede com os meios materiais simples, que se caracterizam por um diagrama de
dispersão linear, os cristais fotónicos permitem, através da modelação e dimensionamento dos meios
que os constituem, alterar a curva de variação espectral da constante de propagação, introduzindo
deformações, não linearidades ou zonas de evanescência da radiação, conforme se ilustra na Figura
1.1 e adiante se desenvolve.
Introdução
3
Figura 1.1 – Diagrama de dispersão típico.
Desde o início da década de oitenta que a estruturação periódica do índice de refracção, à escala do
comprimento de onda, tem sido uma força motriz de intenso incremento da actividade de pesquisa na
área da fotónica. Neste tipo de materiais, a localização, organização espectral e propagação da luz
apresentam propriedades peculiares, que podem ser utilizadas num vasto leque de domínios, desde
a óptica quântica à óptica integrada, passando por aplicações diversas no âmbito das
telecomunicações ou biofotónica [3].
De uma forma geral, os sistemas fotónicos complexos, cuja designação deriva do facto de tornarem a
propagação da radiação electromagnética e a sua descrição e modelação particularmente mais
elaboradas e de apresentarem propriedades amplamente diversas das que caracterizam os
elementos base que os constituem, dividem-se em dois grandes subconjuntos. Por um lado, os
sistemas compostos por materiais dispostos de forma aleatória, destacando-se neste contexto os
estudos [4] e [5]. Por outro lado, as estruturas periódicas, ou redes cristalinas ou ainda cristais
fotónicos, como são vulgarmente designados nos dias de hoje, e que são definidos por sistemas
fotónicos complexos organizados, i.e., os elementos que os compõem encontram-se dispostos e
dimensionados de uma forma estruturada e ciclicamente repetida numa ou em várias direcções do
espaço.
Neste âmbito, é enfocado, ao nível da presente dissertação, o caso particular das redes com células
de largura definida e equivalente ao período, cada uma delas constituída por um número determinado
de camadas de parâmetros electromagnéticos diferenciados. Particulariza-se o caso unidimensional,
porque permite, de uma forma mais simplificada, ilustrar os conceitos e objectivos pretendidos neste
estudo, que se referenciam na secção seguinte. Porém, de um ponto de vista espacial, os cristais
fotónicos bidimensionais e tridimensionais, ilustrados nas Figuras 1.2 e 1.3, constituem áreas de
intenso esforço de investigação no contexto fotónico. A dimensão que se refere, neste âmbito, diz
respeito ao número de direcções espaciais ao longo das quais se verifica periodicidade das
características electromagnéticas dos materiais envolvidos. O único tipo de estrutura que permite a
obtenção de solução analítica fechada é a unidimensional, sendo que as redes cristalinas 2D e 3D
apenas podem ser analisadas do ponto de vista da simulação numérica.
Historicamente, é possível encontrar as raízes do que viriam a ser os cristais fotónicos e a noção de
PBG, do inglês ‘Photonic Band Gap’, expressão que se refere às bandas permitidas e proibidas de
Cristal Fotónico Meio Comum
Introdução
4
frequência que caracterizam estas estruturas, e que são profundamente analisadas no contexto desta
dissertação, recuando mais de uma centena de anos.
Figura 1.2 – Representação esquemática de cristais fotónicos 1D, 2D e 3D [6].
Figura 1.3 – Exemplos de cristais fotónicos 1D, 2D e 3D [6].
Com efeito, a ideia de uma banda proibida unidimensional foi prevista por Lord Rayleigh em 1887, em
conexão com as peculiares propriedades reflectivas de um mineral cristalino de camadas planas
periódicas, identificando uma banda proibida estreita de frequências para a qual era impossibilitada a
passagem de raios luminosos. Adicionalmente, verificou que a cor reflectida pela estrutura era
diferente em função do ângulo de incidência da energia electromagnética, por via da alteração da
distribuição e composição das periodicidades experienciadas pela luz.
Esta experiência não surgiu como um caso isolado. De facto, já desde o século dezassete que os
cristais presentes no mundo natural, admirados pela sua assinalável regularidade e simetria, eram
alvo de investigação científica, despoletada pelos estudos de J. Kepler, em 1611, relativos à
organização das moléculas de água no seu estado sólido. Em 1669, N. Steno analisou com êxito a
organização angular das faces dos cristais e, em 1784, R. Haüi concluiu correctamente que estes
constituem conjuntos de átomos ou moléculas, organizados em células que se repetem
periodicamente ao longo de três direcções principais, não necessariamente ortogonais entre si,
segundo uma estrutura de rede de Bravais [7]. Com a descoberta dos raios-x em 1895, por W.
Röntgen, deu-se início ao ramo da cristalografia, que é a ciência que procura determinar a
organização estrutural dos átomos e moléculas num cristal, através da dispersão sofrida pelos raios-x
que nele penetram. Com efeito, quando a rede cristalina é submetida a um intenso feixe de radiação
electromagnética, tipicamente monocromática, resulta um padrão regular de reflexões nos sucessivos
planos de átomos ou moléculas, igualmente espaçados, conforme se esquematiza na Figura 1.4. Por
variação do ângulo de incidência do feixe sobre a superfície do cristal, o referido padrão sofre
Introdução
5
alterações que, tratadas computacionalmente, permitem obter o panorama da estrutura e disposição
dos seus elementos fundamentais.
Figura 1.4 – Cristalografia por raios-x [8].
Em 1912, Sir W. L. Bragg deu um novo ímpeto ao ramo da cristalografia, ao derivar a condição
homónima [9], que se veio a revelar fulcral no desenvolvimento das teorias em torno das redes
cristalinas, quer no âmbito dos semicondutores, quer no dos cristais fotónicos. O físico britânico
verificou que, ao atingir os átomos constituintes da estrutura, a radiação electromagnética provocava
alterações nas respectivas nuvens electrónicas. Os movimentos de cargas resultantes eram
responsáveis por um fenómeno de re-radiação, sob a forma de ondas dotadas de frequência similar
que, conforme se ilustra na Figura 1.5, sofriam interferências mútuas. Estas podiam ser construtivas
ou destrutivas, em função do cumprimento ou incumprimento da condição de Bragg, que relaciona o
ângulo de incidência da radiação electromagnética sobre o cristal com a distância entre os sucessivos
planos de moléculas ou átomos. Mais concretamente, Bragg postulou que a diferença de percurso
entre duas reflexões em planos contíguos da estrutura deveria constituir um múltiplo do comprimento
de onda, para que se desse a reflexão total.
Figura 1.5 – Interferência construtiva e destrutiva [10].
É nesta conjectura histórica que, em 1914, C. G. Darwin, que nascera no ano da publicação de Lord
Rayleigh acerca da assumpção da existência de uma banda proibida unidimensional, deriva uma
Introdução
6
teoria dinâmica da dispersão de raios-x [1]. Nela, confirma todas as previsões acerca da validade das
gamas de frequências para as quais se torna inviável a propagação de raios-x através de redes
cristalinas naturais, conectando definitivamente o seu aparecimento a uma conjugação de
dimensionamentos das distâncias entre planos consecutivos de átomos e comprimento de onda e
ângulo de incidência da radiação electromagnética. Comprova experimentalmente os hiatos de
propagação, que se revelam no entanto particularmente reduzidos. De facto, e como se demonstra ao
nível do terceiro capítulo da presente dissertação, a largura das bandas proibidas nos cristais é tanto
menor quanto menos significativo o contraste dieléctrico que caracteriza a estrutura e, uma vez que
este se revelara residual nos cristais analisados por Darwin, os seus resultados eram expectáveis.
Adicionalmente, para que se verifique o cumprimento da condição de Bragg e a criação de PBG ’s,
constitui requisito fundamental que o período da estrutura em causa e o comprimento de onda
partilhem a mesma ordem de grandeza. Isto explica a utilização, à época, dos raios-x nos trabalhos
experimentais, cuja frequência é compatível com a separação média dos elementos fundamentais.
No espectro do visível, de comprimento de onda marcadamente superior, os átomos e moléculas que
constituem as redes cristalinas habitualmente encontradas na natureza não cumprem esta condição,
pelo que a obtenção de um efeito similar impõe a criação de estruturas artificiais, os cristais fotónicos.
Todos os estudos relativos à organização das redes periódicas e à difracção de raios-x foram
efectuados no âmbito da física do estado sólido, que consiste no ramo da física responsável pela
caracterização fenomenológica da matéria rígida e sólidos [11], nomeadamente os cristais.
Paralelamente aos avanços científicos granjeados nas áreas mencionadas, o desenvolvimento da
área da electrónica conhecia avanços significativos, impulsionado pelo sucesso dos materiais
semicondutores. A sua principal vantagem face aos clássicos condutores e isolantes reside na sua
condutividade dinâmica e exteriormente controlável, o que os converte em elementos fulcrais na
construção dos componentes e circuitos electrónicos modernos. De uma forma geral, o factor que
define e classifica um material face à sua condutividade diz respeito ao hiato, ou gap, que se traduz
na energia necessária para efectuar a promoção de um electrão da banda de valência para a banda
de condução. Assim, um metal ostenta um gap particularmente reduzido, ou mesmo uma
sobreposição de bandas, ao passo que um isolante se caracteriza por um hiato elevado de energia.
Nos semicondutores, esta banda proibida pode ser controlada exteriormente, e através da associação
de materiais diversos é possível restringir os electrões a patamares de energia bem definidos, no que
resultam propriedades e fenómenos eléctricos distintos dos que caracterizam os materiais que os
constituem separadamente e que se revestem de fundamental relevância no projecto e
implementação de todo o tipo de circuitos.
No âmbito da presente dissertação, pretende-se explorar a inequívoca paridade comportamental
entre a radiação electromagnética em estruturas dieléctricas periódicas artificiais, a que se
convencionou apelidar de cristais fotónicos, e a caracterização das interacções de partículas
clássicas, como os electrões, no seio de cristais reais. Para tal, torna-se evidente a necessidade de
recorrer às ferramentas introduzidas pela teoria quântica, nomeadamente no que diz respeito à
mecânica ondulatória. Assim, o dualismo onda-corpúsculo, que transporta na sua definição o
Introdução
7
pressuposto de que todas as partículas apresentam de forma simultânea características materiais e
ondulatórias surge como ponto de conexão entre dois universos aparentemente díspares.
A descoberta de que a radiação electromagnética apresenta, de forma paralela, indissociável e
simultânea, natureza corpuscular e ondulatória, constitui uma das mais notáveis revoluções
proporcionadas ao mundo da física pela comunidade científica do passado século. No seguimento
dos estudos da radiação do corpo negro de Max Planck [12], considerado o pai da teoria quântica, da
teoria do efeito fotoeléctrico de Albert Einstein em 1905, apelidado de Annus Mirabilis pela
extraordinária relevância dos artigos por si publicados nesse período, e do efeito Compton [13], surgiu
a inegável evidência de que a energia se transmite, transporta e comuta sempre na forma de um
múltiplo da sua quantidade fundamental indivisível, ou quantum, vulgarmente denominado de fotão,
calculada através da relação fundamental . Partindo desta premissa, segue de imediato que
uma partícula de energia apresenta uma frequência angular , numa aparentemente paradoxal
mistura de características corpusculares e ondulatórias, através de uma relação de proporcionalidade
regida pela constante de Planck, determinada experimentalmente.
No contexto destas descobertas, surge uma evidente necessidade de reformulação da mecânica
newtoniana ou clássica, orientada segundo princípios meramente corpusculares, e até mesmo das
relações electromagnéticas propostas por J. Maxwell, construídas com base numa concepção
contínua da energia e numa assumpção puramente ondulatória da radiação. Perante paradigmas
totalmente novos no que diz respeito aos princípios orientadores da física, a teoria da relatividade
restrita de Einstein, que constitui um caso particular da relatividade geral em que os efeitos
gravitacionais são negligenciados, surge como ferramenta essencial no desenvolvimento do dualismo
onda-corpúsculo, em associação com a transformação de Lorentz e o espaço-tempo de Minkowski.
Em 1913, N. Bohr limitava a circulação dos electrões em torno do núcleo a órbitas de energias
discretas e bem definidas [15], proporcionais à constante de Planck, sem no entanto compreender as
propriedades ondulatórias destas partículas. De facto, verificar-se-ia posteriormente que os electrões,
como qualquer outra partícula de matéria, contêm uma função de onda associada, correspondendo
cada órbita a um número inteiro de comprimentos de onda.
É a partir desta conjugação de contribuições científicas de origem diversa que, na sua tese, Louis de
Broglie atinge o postulado fundamental da mecânica ondulatória e, mais especificamente, do
dualismo onda-corpúsculo, ou seja, a evidência de que a radiação electromagnética apresenta a
aparentemente contraditória mistura de propriedades associadas às ondas e à matéria, generalizando
estes pressupostos a todas as partículas, ou seja, considera que os fotões constituem um caso
particular do dualismo onda-corpúsculo. Infere ainda que toda a matéria deve ser simultaneamente
caracterizada por uma frequência, característica ondulatória, e por um momento linear, característica
corpuscular. Esta noção é pouca intuitiva ao nível macroscópico, uma vez que o valor residual da
constante de Planck torna particularmente perceptível a separação entre os conceitos ondulatório e
corpuscular. Com efeito, os objectos discerníveis a olho nu têm associado um comprimento de onda
de tal forma reduzido que se torna indetectável para qualquer dispositivo de medição actualmente
existente. Pelo contrário, no caso de partículas de reduzidas dimensões como os electrões, os
Introdução
8
fenómenos de natureza ondulatória são experimentalmente observáveis. Ainda que atractivo, o
dualismo onda-corpúsculo peca por escasso do ponto de vista axiomático, uma vez que se revela
pouco intuitivo o pressuposto de que a matéria possui características ondulatórias. Neste aspecto,
revelaram-se decisivas as contribuições dos físicos K. Heisenberg, com o princípio da incerteza, e E.
Schrödinger [16], com a equação homónima. É nesta altura arrolada a concepção de que não é
possível conhecer com exactidão e em simultâneo a posição e o momento linear das partículas, o
que implica um abandono do conceito clássico de trajectória, verificando-se ainda que todas estas
são caracterizadas por uma função de onda, na forma de um feixe de ondas planas elementares, que
é uma função do tempo e das suas posições. Neste contexto, o referido feixe, associado à matéria,
surge desprovido de qualquer interpretação física, adoptando-se uma revolucionária perspectiva
estocástica. Com efeito, atribui-se ao quadrado do módulo da função de onda o significado de uma
distribuição de probabilidade de localização da partícula em causa. No caso particular da radiação
electromagnética, cuja modelação e controlo é estudada ao nível dos cristais fotónicos, a mencionada
função de onda aflui na famosa equação de d’ Alembert [17], que se deriva igualmente das equações
de Maxwell. De uma forma geral, para qualquer partícula que não o fotão, a equação de Schrödinger
permite descrever a dinâmica do sistema quântico.
Assim, ao passo que na mecânica clássica o estado de uma partícula fica inteiramente definido
através da especificação da sua posição e velocidade, no contexto da teoria quântica, este é
caracterizado pela função de onda. Em qualquer dos casos, o fulcro da questão reside na descrição
do comportamento do estado do sistema ao longo do tempo. Assim, se na conjuntura clássica essa
função é desempenhada pela segunda lei de Newton, ou princípio fundamental da mecânica, na
física quântica é a equação de Schrödinger que assume esse papel. Conhecida a função de onda
num instante determinado, esta permite aferir a sua evolução em qualquer instante arbitrário.
Escalpelizadas todas as questões em torno das trajectórias e localização das partículas, urge retomar
a questão dos electrões livres nos semicondutores. Uma das formas mais comuns de caracterização
da estrutura de bandas de materiais cristalinos deste tipo é o modelo do electrão livre. No entanto,
trata-se de uma aproximação grosseira que não considera a interacção entre os electrões de
condução e os iões que compõem a estrutura. Assim, recorre-se habitualmente ao modelo de Kronig-
Penney [18], que simula este efeito através de um potencial periódico em forma de pente de Dirac,
que constitui um conjunto infinito de barreiras equidistantes, que limitam a circulação dos electrões.
Cumprida a condição de periodicidade, é possível recorrer ao teorema de Bloch, derivado pelo físico
suíço em 1928, mas cuja base e sustentação matemática já haviam sido formuladas de forma
independente por, entre outros, G. W. Hill em 1877, G. Floquet em 1883 e A. Lyapunov em 1892 [19].
Segundo o referido teorema, a função de onda de uma partícula submetida a um potencial periódico,
denominada de onda de Bloch, pode ser escrita na forma de um produto entre uma onda plana
envolvente e uma função periódica de período equivalente ao da rede cristalina, conforme se ilustra
na Figura 1.6. Inserido o potencial previsto pelo modelo de Kronig-Penney na equação de
Schrödinger e impondo condições de continuidade na fronteira, resulta um problema de valores
próprios, dados pelos possíveis estados de energia dos electrões, e que são periódicos de período
equivalente ao da onda plana envolvente. Assim, pode limitar-se a análise à chamada zona de
Introdução
9
Brillouin, na Figura 1.7, que corresponde a um período, obtendo-se todos os restantes por translação.
Em cada uma destas zonas existe um número infinito de modos de energia que, usualmente, não se
sobrepõem, o que está na origem do surgimento de hiatos. Estes correspondem a estados
energéticos que não são passíveis de ser ocupados pelos electrões do cristal e denominam-se
vulgarmente de bandas proibidas. Em conexão com esta definição, os referidos modos de energia da
zona de Brillouin são também denominados de bandas permitidas.
Figura 1.6 – Fragmentação da função de onda pelo teorema de Bloch [20].
Figura 1.7 – Zona de Brillouin e bandas permitidas e proibidas de energia [21].
Muito embora se tenha assistido a muitos estudos posteriores nesta área, só cerca de um século
após a publicação do trabalho de Lord Rayleigh foi retomado o estudo das estruturas periódicas
unidimensionais de células com parâmetros electromagnéticos distintos por camadas, através do
artigo [22] e livro [23] de P. Yeh e A. Yariv, que sustentam toda a fundamentação teórica deduzida ao
longo do terceiro capítulo da presente dissertação. Nesse âmbito, é analisada a estrutura das bandas,
bem como os fenómenos refractivos associados a este tipo de estruturas, através da sua
caracterização matricial. Estes desenvolvimentos matemáticos tiveram por base o recente
desenvolvimento, à época, dos campos da tecnologia de feixes moleculares [24] e cristalografia, o
que permitia finalmente a criação de estruturas periódicas de camadas de espessura suficientemente
reduzida, de tal forma que se tornasse viável o controlo e modelação do comportamento da radiação
electromagnética na gama das microondas.
,
,
Introdução
10
Em 1987, os trabalhos de S. John [25], mas sobretudo de E. Yablonovitch [26], marcam um ponto de
viragem no estudo destas estruturas periódicas. Bebendo de forma orquestrada os ensinamentos
clássicos da área da cristalografia e difracção de raios-x, de que se destaca a condição de Bragg,
bem como a teoria das bandas e a formulação matemática de Bloch, que constituem bases sólidas do
estudo dos cristais electrónicos, Yablonovitch lança a hipótese de um semicondutor da luz, i.e., um
dispositivo óptico que, em última análise, permitisse modelar e controlar os fenómenos relacionados
com o comportamento da radiação electromagnética. Inovadoramente, apelida-o de cristal fotónico
em 1989 [27], nome que vingou no panorama científico. No seio de um vasto conjunto de analogias
entre fenómenos de natureza óptica e electrónica, atribuiu particular relevância à questão da teoria
das bandas, transladando para o âmbito fotónico conceitos como as redes recíprocas, as zonas de
Brillouin, as relações de dispersão ou as funções de onda de Bloch. Assim, como se ilustra na Figura
1.8, o cristal fotónico pode ser encarado como uma extensão do material semicondutor, em que o
potencial periódico é definido pela expansão em série de Fourier das características
electromagnéticas das camadas que o compõem e o problema de valores próprios, dados pela
frequência e não pela energia, é resolvido utilizando a função de onda concernente aos fotões, i.e., as
equações de Maxwell, por oposição à equação de Schrödinger, associada ao modelo electrónico.
Figura 1.8 – Cristal electrónico e cristal fotónico [30].
De uma forma generalizada, no artigo de 1993 [28], Yablonovitch dissecou esta analogia, estendendo
a sua validade a cristais fotónicos 2D e 3D, dimensões para as quais afirmara, dois anos antes, ter
finalmente almejado uma banda proibida na gama das microondas [29]. Admitiu que os dois
universos em análise partilham características similares, sendo que em ambos os casos uma rede
cristalina espacialmente periódica provoca a manifestação de bandas proibidas ao nível da relação de
dispersão, respectivamente para funções de onda de fotões e de electrões. No entanto, ao passo que
as bandas proibidas electrónicas são geradas por um potencial eléctrico periódico que decorre da
disposição dos átomos e moléculas do material semicondutor, as bandas proibidas fotónicas são o
resultado de uma distribuição periódica de um potencial dieléctrico. A analogia proposta era
extraordinariamente apelativa do ponto de vista científico, considerando a preponderância que a
teoria das bandas em cristais clássicos havia revelado no contexto dos semicondutores. No entanto,
o desenvolvimento dos cristais fotónicos tem-se revelado relativamente tardio e moroso, não só por
não serem comuns na natureza casos de estruturas deste tipo, ao contrário do que ocorre
relativamente às redes cristalinas clássicas, como pela dificuldade inerente à sua concepção artificial,
por força da necessidade de compatibilização das dimensões dos materiais elementares com o
comprimento de onda da radiação electromagnética. Além disso, é inegável a diferenciação
Introdução
11
comportamental entre fotões e electrões, enquanto partículas. De facto, a simples transposição dos
modelos conotados com os materiais semicondutores para o caso fotónico pode redundar em
equívocos e incorrecções, sendo necessário encarar o seu estudo como uma área científica de
pesquisa independente e em fase embrionária de desenvolvimento. Ainda assim, é expectável uma
rápida incorporação desta tecnologia ao nível dos dispositivos ópticos.
Como publicações relevantes actuais na área dos cristais fotónicos, destacam-se as de J.
Joannopoulos [21], S. John [31][32], J. Pendry [33]-[35], K. Sakoda [36] e C. Soukoulis [37]-[39].
1.2 Motivações e Objectivos
A propagação de radiação electromagnética em cristais fotónicos constitui um ramo científico em
franco desenvolvimento, sendo cada vez mais recorrente o desenho, implementação e produção de
componentes ópticos baseados nestes, com múltiplas camadas, definidas por espessuras e
características electromagnéticas diversas, dispostas de forma a suprimir, incrementar ou mutar os
efeitos refractivos ou alterar as suas propriedades de dispersão ou de polarização, o que constitui um
forte pilar de motivação e factor de indução à proliferação da investigação nesta área.
Com a recente obtenção de estruturas artificiais caracterizadas por um índice de refracção negativo,
o que acarreta o desenvolvimento de toda uma nova área de análise científica em franco
desenvolvimento, baseada no conceito recente de metamaterial ou, mais concretamente, de meio
DNG, surge o aliciante desafio de testar e analisar a influência que a sua inclusão em cristais
periódicos pode imprimir às propriedades que estes ostentam.
Assim, os objectivos pretendidos ao nível da presente dissertação passam pela particularização da
análise e caracterização fenomenológica da propagação de radiação electromagnética em cristais
fotónicos unidimensionais de camadas alternadas de materiais de índice de refracção distinto, para o
caso em que se admite a utilização de meios DNG. A introdução de especificidades ímpares,
relacionadas com o efeito de focalização e confinamento da energia e a reversão do sentido do vector
de onda, confere a estes meios a capacidade de exploração de propriedades não encontradas nos
cristais fotónicos comuns.
Os metamateriais podem ser definidos [40], de uma forma simples, por uma estrutura artificial de
materiais combinados de forma a obter propriedades vantajosas e raras. Recorrendo a uma analogia,
é possível considerar que são compostos pelos seus elementos da mesma forma que a matéria é
constituída pelos átomos, pelo que representam o próximo patamar de organização estrutural. Com
efeito, ao prefixo ‘meta’ atribui-se a conotação de ‘depois’, ‘para além de’ ou mesmo ‘de tipo superior’.
Historicamente, a primeira estrutura classificável segundo esta definição data de 1898, quando C.
Bose cria artificialmente um meio que, segundo os padrões de hoje, seria considerado quiral. Alguns
anos mais tarde, Lindman trabalha numa estrutura de hélices dispostas aleatoriamente sobre um
meio base [41], obtendo igualmente um material quiral e, em 1948, Kock demonstra a possibilidade
Introdução
12
de modelação do índice de refracção efectivo de um meio artificial [42], através da disposição
periódica de materiais diversos. Desde então, o estudo de meios artificiais complexos tem conhecido
um crescimento assinalável, fundamentalmente impulsionado por dois motivos. Por um lado, a
questão da escala [43], i.e., os meios disponíveis na natureza não permitem a replicação de
determinados fenómenos para alguns comprimentos de onda. Por outro lado, nem todas as
propriedades que se pretende obter ao nível dos dispositivos fotónicos são praticáveis com recurso a
estruturas moleculares simples, o que torna fundamental a concepção destas estruturas artificiais.
De entre as classes de metamateriais mais estudadas e analisadas actualmente, destacam-se os
meios dieléctricos e magnéticos artificiais, os materiais quirais, anisotrópicos e bianisotrópicos e
principalmente, os meios duplamente negativos, ou DNG, ou de Veselago [44]. Esta designação
deriva do facto de terem sido sugeridos pela primeira vez pelo físico russo em 1968, que estudou a
propagação de radiação electromagnética em meios caracterizados por permitividade eléctrica e
permeabilidade magnética ambas negativas [45]. Concluiu que a direcção do vector de Poynting de
uma onda plana monocromática propagando-se ao longo destes meios era oposta à da velocidade de
fase e vector de onda, o que sugere a noção de BW, do inglês Backward Wave, e o conceito
associado de índice de refracção negativo. Apelidou ainda estes materiais de LHM, do inglês Left
Handed Media pois, contrariamente aos meios duplamente positivos comuns, ou DPS, em que o
triedro composto pelos campos eléctrico e magnético e pelo vector de onda é direito, num meio DNG
a potência electromagnética flui no sentido diametralmente oposto ao da fase da radiação e o triedro
é esquerdo.
No entanto, este trabalho e os conceitos que lhe estavam inerentes não cativaram a atenção da
comunidade científica até recentemente, quando finalmente Smith et al. [46], inspirados pelas
investigações de Pendry [47][48], conseguiram efectivar a construção artificial de um meio com
comportamento DNG na gama das microondas, através da disposição periódica de pequenos
condutores metálicos e ressoadores [49][50], como se ilustra na Figura 1.9.
Figura 1.9 – Pormenor de metamaterial DNG [51].
Assim, os últimos anos têm sido pródigos na investigação, estudo, análise e concepção de estruturas
deste tipo, o que se traduz num factor de motivação adicional à realização da presente dissertação.
Com efeito, trata-se de um campo de inegável potencial de desenvolvimento e aplicabilidade na área
da fotónica, na contínua demanda pela total integração de componentes cada vez mais flexíveis no
Introdução
13
contexto de um circuito óptico, usufruindo das sinergias decorrentes da aplicação das novas
fenomenologias associadas aos meios DNG a estruturas solidamente modeladas e conhecidas, como
os cristais fotónicos. Por outro lado, revela-se um terreno particularmente favorável para a
originalidade e inovação científica, na medida em que constitui uma área de pesquisa recente e
ainda, em certas vertentes, inexplorada.
Conhecem-se actualmente diversos grupos de investigação que devotam os seus esforços à
obtenção de desenvolvimentos e resultados científicos no contexto desta nova classe de materiais,
destacando-se designadamente os trabalhos de Smith [50]-[53] e Pendry [54]-[56], com vários
estudos conjuntos, sendo que este último enfoca especialmente a questão da construção de lentes
perfeitas com recurso a metamateriais DNG. De realçar ainda as publicações de Soukoulis
[57][58][59] e de outros autores [60]-[66], especificamente relativos à inserção de meios DNG em
estruturas periódicas unidimensionais por camadas.
1.3 Contribuições Originais
O estudo introduzido por Veselago [45] em 1968, versando acerca da caracterização da propagação
de radiação em meios descritos por permitividade eléctrica e permeabilidade magnética
simultaneamente negativas, não despertou o interesse da comunidade científica da época, sobretudo
por não se verificar a existência dessa condição nos materiais presentes na natureza, o que tornava
improfícuas as fenomenologias por si descritas.
Assim, torna-se pertinente analisar o significado físico da existência de parâmetros de sinal negativo
e de que forma ocorrem num determinado meio. Os modelos dispersivos mais comuns, como o de
Drude ou o de Lorentz, que descrevem o andamento e dependência das características
electromagnéticas do material com a frequência de trabalho, conceptualmente substituem os átomos
e moléculas que o constituem por um conjunto de osciladores com ressonância numa frequência bem
definida. Para frequências muito inferiores a esse valor, um campo eléctrico aplicado afasta os
electrões do núcleo, induzindo uma polarização codireccional. Por outro lado, para valores da
frequência próximos da ressonância, a polarização induzida torna-se significativa, o que é típico
destes fenómenos. Verifica-se que a magnitude desta, que se encontra indexada à energia
acumulada no meio ao longo de diversos ciclos, é consideravelmente elevada e à medida que a
frequência atravessa a zona de ressonância, a resposta deste, em fase com o campo aplicado,
comuta, passando a apresentar fase simétrica, ou seja, o meio exibe resposta negativa [51].
Embora em número reduzido, não são incomuns os exemplos de materiais na natureza com uma das
características electromagnéticas negativa. No entanto apenas exibem esta propriedade numa gama
reduzida de frequências, contígua à ressonância. Uma vez que, tipicamente, as ressonâncias
associadas à permitividade e à permeabilidade ocorrem, respectivamente, em frequências elevadas e
baixas, não se verifica a existência de meios DNG naturais. Em suma, os fenómenos
Introdução
14
electromagnéticos que dão origem às ressonâncias nos materiais ocorrem na prática em intervalos
separados do espectro, ainda que nenhuma lei da física impeça a sua sobreposição, o que sugere a
concepção de meios DNG de forma artificial [46].
Do exposto, ressaltam duas importantes consequências. Por um lado, as regiões do espectro que se
coadunam com parâmetros negativos do meio constituem pequenos intervalos junto às respectivas
ressonâncias e a gama de frequências que torna o material duplamente negativo corresponde à sua
sobreposição, o que indicia que, em geral, os meios são DNG apenas em faixas muito estreitas [67].
Por outro lado, o facto de se tratar de zonas adjacentes às ressonâncias implica que estes meios se
considerem abundantemente dispersivos, i.e., com uma elevada taxa de variação dos seus
parâmetros electromagnéticos com a frequência.
Esta consideração está na origem das contribuições originais associadas à presente dissertação.
Com efeito, não é realista admitir que as características electromagnéticas dos meios DNG são não
dispersivas, pelo que é imperativa a consideração de modelos apropriados. Adicionalmente, e em
consequência directa do princípio da causalidade, qualquer modelo deve ter em conta a existência de
perdas, ou seja, a dispersão e as perdas constituem duas realidades indissociáveis. Esta presunção é
suportada pelas relações de Kramers-Kronig [68], que evidenciam a correspondência entre as
componentes real e imaginária da função de transferência de um sistema linear e invariante no tempo
causal, de tal forma que, conhecida uma delas em todo o espectro, a outra fica imediatamente
determinada.
Assim, na senda de [69], procura-se emprestar algum realismo ao estudo de cristais fotónicos
unidimensionais por camadas contendo materiais DPS e DNG, de que se destaca os artigos recentes
[60]-[66], abandonando a aproximação grosseira segundo a qual não só as características
electromagnéticas destes permanecem invariantes ao longo do espectro como também não se
verifica a absorção de energia pela estrutura. Com o objectivo de satisfação do referido intento, são
adoptados modelos de diversa ordem, que procuram descrever a realidade de forma rigorosa.
1.4 Estrutura e Organização
A presente dissertação versa acerca do estudo teórico, análise fenomenológica experimental e
simulação numérica das propriedades de cristais fotónicos unidimensionais de camadas alternadas
DPS e DNG. Nesse sentido, o presente capítulo, referente à introdução, fornece uma perspectiva
contextual de desenvolvimento em torno das estruturas periódicas e metamateriais, através de uma
resenha histórica cientificamente fundamentada, bem como uma clarificação das contribuições
originais, os factores motivacionais que presidiram à realização deste trabalho e um guia detalhado
da estrutura organizacional dos temas abordados.
O capítulo 2 focaliza o seu espaço de análise nos pressupostos previstos pela teoria quântica,
nomeadamente no que concerne à mecânica ondulatória e, mais concretamente, ao dualismo onda-
Introdução
15
corpúsculo, como forma de dissecação de todos os fenómenos envolvidos na área das redes
cristalinas electrónicas clássicas, como os semicondutores. Com efeito, a aparentemente paradoxal
indexação de características corpusculares e ondulatórias em simultâneo a todas as partículas, com
posterior aplicação à radiação electromagnética por via dos fotões, surge como profícua ferramenta
no estabelecimento de analogias entre os campos electrónico e fotónico, permitindo ainda lançar as
bases do conhecimento relativas às estruturas periódicas em geral, como a teoria das bandas, o
teorema de Bloch ou as zonas de Brillouin. Assim, numa primeira análise, são expostas histórica e
cientificamente as diversas contribuições que permitiram o desenvolvimento de uma autêntica
revolução ao nível dos conceitos clássicos da física, como a relatividade, a transformação de Lorentz
e o espaço-tempo de Minkowski, que facultam a obtenção de uma caracterização relativista da
energia. Em seguida, é analisada a dupla natureza da radiação electromagnética, que se evidencia
por apresentar a aparentemente contraditória mistura de propriedades associadas às ondas e à
matéria, regendo-se simultaneamente pelo par frequência angular e constante de propagação e pelo
par energia e momento linear, como qualquer partícula. Particulariza-se também a noção de fotão
enquanto elemento fundamental de energia, ou quantum. Trata-se do postulado fundamental do
dualismo onda-corpúsculo, no seguimento dos estudos de de Broglie. Na secção seguinte, introduz-
se brevemente o princípio da incerteza de Heisenberg e deduz-se equação de Schrödinger como
forma de imprimir uma interpretação estocástica aos resultados obtidos no seio da teoria quântica.
Nesse sentido, a função de onda associada a cada partícula material é tratada enquanto densidade
de probabilidade de localização da matéria que lhe esta associada, o que a torna desprovida de
qualquer outro significado físico. Posteriormente, pretende-se estudar a interacção de electrões livres,
ou de condução, com uma estrutura cristalina molecular simples, de forma a obter uma aproximação
realista dos fenómenos presentes em redes semicondutoras. Para tal, recorre-se ao modelo de
Kronig-Penney que, de uma forma simplificada, substitui as forças de interacção electromagnética a
um nível subatómico por degraus de potencial periodicamente espaçados, que se opõem à livre
circulação dos electrões. Com o referido modelo potencial, a equação de Schrödinger unidimensional
independente do tempo, que caracteriza o estado quântico do sistema, e recorrendo ao teorema de
Bloch para estruturas periódicas, resulta um problema de valores próprios, cuja solução consiste na
equação fundamental das bandas de energia. Esta consiste numa relação de dispersão do momento
linear em função da energia associada às partículas, que permite a conceptualização da noção de
banda permitida e proibida, relativa a intervalos de energia, ou modos, que se encontram ou não
acessíveis às partículas.
No contexto do capítulo 3 é pormenorizadamente descrita, deduzida e analisada toda a base teórica
relativa aos cristais fotónicos unidimensionais, particularmente no caso em que são compostos por
camadas alternadas de materiais de índices de refracção distintos. É fornecida uma visão abrangente
do comportamento da propagação de radiação electromagnética ao longo de estruturas deste tipo,
nomeadamente no que diz respeito aos diagramas de dispersão e propriedades refractivas, em
constante analogia com as características ostentadas pelas redes cristalinas electrónicas clássicas
examinadas no capítulo precedente. Nesse âmbito, começa por ser explicitada a condição de Bragg,
que impõe o valor do ângulo de incidência da radiação sobre o cristal de tal forma que as diferenças
Introdução
16
de percurso entre reflexões em camadas sucessivas sejam múltiplas do comprimento de onda e, por
conseguinte, se tenha uma interferência construtiva e reflexão total. Nesse caso, verificam-se as
propaladas bandas proibidas de frequência, que correspondem a valores da constante de
propagação complexos e correspondente evanescência da radiação ao longo da estrutura. Em
seguida, tal como no caso electrónico, são utilizados os postulados de Bloch para modelar o
comportamento periódico do cristal fotónico, sendo que desta feita são as equações de Maxwell que
descrevem o estado do sistema e não a equação de Schrödinger. É analisada a composição típica
das bandas de frequência na zona de Brillouin irredutível e, em especial, procede-se à aproximação
do andamento da componente imaginária da constante de propagação de Bloch na região espectral
de evanescência por uma elipse. A estrutura periódica é ainda estudada e caracterizada sob o ponto
de vista matricial, através da aplicação de condições fronteira nas interfaces correspondentes às
camadas, de tal forma que possibilite a obtenção de rácios entre as intensidades dos campos à
entrada e à saída do cristal. Dessa forma, viabiliza-se a obtenção de expressões vocacionadas para o
cálculo de grandezas como a transmissividade e a reflectividade. Como exemplo de casos
particulares no contexto dos cristais fotónicos, introduz-se a estrutura de quarto de onda, que se
reveste de considerável relevância pela simetria e regularidade do seu diagrama de dispersão e
organização espectral das bandas, inerente ao facto de apresentar espessuras das camadas que a
constituem proporcionais aos índices de refracção respectivos. De realçar que todos os estudos em
torno do comportamento e caracterização fenomenológica dos cristais fotónicos unidimensionais são
efectuados tomando como variáveis de manipulação factível tanto a frequência trabalho quanto a
direcção de incidência da radiação electromagnética sobre a estrutura.
Seguidamente, no capítulo 4, que constitui uma particularização da análise e caracterização da
propagação de radiação electromagnética em cristais fotónicos de camadas alternadas de materiais
de índice de refracção diverso, no caso de se considerar a inclusão de meios DNG, ressaltam as
contribuições originais da presente dissertação, não só pela forma inovadora e detalhada como são
tratadas as estruturas DPS-DNG, como também pelo acréscimo de realismo às publicações
conhecidas nesta área, por via da consideração de modelos dispersivos causais. Numa primeira
análise, são enunciados os pressupostos que estão na base das noções e definições associadas aos
metamateriais e suas classes mais comuns, com natural enfoque para os meios duplamente
negativos, delimitando-se também as diversas nomenclaturas conhecidas actualmente em função dos
sinais das componentes reais dos parâmetros electromagnéticos. Em seguida, é providenciada uma
análise do comportamento da permitividade e da permeabilidade no plano complexo, com o intuito de
justificar fisicamente a origem do sinal negativo ostentado pelo índice de refracção dos meios DNG.
Segue-se uma aplicação destes conceitos à teoria dos cristais fotónicos, tratada no capítulo
precedente. Assim, é descrita uma estrutura periódica de camadas alternadamente constituídas por
materiais DPS e DNG, do ponto de vista matricial, da relação de dispersão e das propriedades
refractivas. Mais uma vez, particulariza-se o caso da estrutura de quarto de onda, cujas bandas
proibidas igualmente espaçadas e de dimensões uniformes ocupam a totalidade do espectro, com
excepção de um conjunto discreto de pontos, que coincidem com uma parte real da constante de
propagação não nula. O resultado traduz-se na obtenção de picos de transmissividade estreitos e
Introdução
17
acentuados para esses valores da frequência angular de trabalho, que estão na origem da escolha
desta estrutura no remanescente do capítulo. O corolário do trabalho de investigação associado à
presente dissertação surge na secção seguinte, com a introdução de modelos dispersivos para a
camada DNG dos cristais fotónicos em análise. Assim, numa primeira fase, explicita-se a
necessidade de se considerar a dependência do índice de refracção com a frequência por força da
obtenção de valores negativos para as densidades médias das energias eléctrica e magnética. É
tratada ainda a indissociabilidade entre o fenómeno dispersivo e a presença de perdas no material,
através das relações de Kramers-Kronig. O primeiro modelo analisado é o de Lorentz, por se tratar do
mais completo e ajustado à realidade. É com base neste que se verifica através de cálculo numérico
que a região do espectro na qual o meio é duplamente negativo constitui um subconjunto da região
na qual apresenta um índice de refracção negativo, pelo que não se verifica necessariamente uma
sobreposição entre meio DNG e meio NIR, do inglês Negative Index of Refraction. Na secção
seguinte, são descritos modelos adicionais, como o modelo de Drude, que consiste numa
particularização do modelo de Lorentz em que se considera que tanto a permitividade quanto a
permeabilidade apresentam uma frequência de ressonância nula, um modelo genérico muito utilizado
nesta área e a que se convencionou denominar de modelo dispersivo não causal e, por fim, um
modelo linear simples baseado numa variação rectilínea dos valores dos parâmetros
electromagnéticos. Os referidos modelos são então aplicados de forma parcelar, do mais simples ao
mais complexo, às camadas duplamente negativas de cristais fotónicos DPS-DNG de quarto de onda,
de forma a permitir uma avaliação da contribuição dos fenómenos da dispersão e das perdas de
forma individualizada. Na última secção são apresentados os diagramas de dispersão de uma
estrutura típica em função da frequência angular de trabalho e do ângulo de incidência da radiação
sobre esta. São também efectuados comentários de índole geral relativos aos resultados obtidos,
numa perspectiva evolutiva e de fecho da dissertação.
Finalmente, no capítulo 5, que constitui a conclusão, é efectuada uma sinopse de todas as
observações e constatações relevantes produzidas ao longo do trabalho, bem como uma análise
crítica dos resultados obtidos face ao que se considerava expectável, terminando com uma
conjectura de possíveis percursos futuros de investigação científica nesta área.
Capítulo 2
As Bandas de
Energia nos Cristais
Este capítulo fornece uma análise dos pressupostos e considerações que estão na base da mecânica
ondulatória, especificamente no que concerne ao dualismo onda-corpúsculo. Esta noção
aparentemente paradoxal surge, neste contexto, como profícua ferramenta no estabelecimento de
uma relação de analogia entre a teoria das bandas de energia, amplamente escalpelizada no âmbito
das redes cristalinas, e a propagação de radiação electromagnética em estruturas periódicas,
questão abordada no subsequente capítulo.
20
As Bandas de Energia nos Cristais
“The analogy between electromagnetic wave
propagation in multidimensionally periodic
structures and electron wave propagation in real
crystals has proven to be a fruitful one.”
E. Yablonovitch [28]
2.1. Os Cristais como Arquétipo das Estruturas Periódicas
No que se segue, pretende-se explorar a inequívoca paridade comportamental entre a radiação
electromagnética em estruturas dieléctricas periódicas artificiais, a que se convencionou apelidar de
cristais fotónicos, e a caracterização das interacções de partículas subatómicas clássicas, como os
electrões, no seio de cristais reais.
Para tal, torna-se evidente a necessidade de recorrer a toda uma panóplia de desígnios propostos no
âmbito das novas teorias quânticas e, nomeadamente, na mecânica ondulatória. Assim, o dualismo
onda-corpúsculo, que transporta na sua definição o pressuposto de que todas as partículas
apresentam de forma simultânea e perene características materiais e ondulatórias, surge como ponto
de conexão entre estes dois universos aparentemente díspares.
Deste modo, ao atribuir a todas as partículas especificidades próprias das ondas, através de noções
de incerteza e de interpretações estocásticas, como a função de onda, é possível transpor conceitos
corpusculares, amplamente estudados, para o domínio fotónico, como as bandas proibidas e
permitidas de energia, as zonas de Brillouin ou os diagramas de dispersão.
Sobressai do que se encontra exposto no presente capítulo que a equação de Schrödinger não
relativista pode modelar o comportamento de partículas como electrões em interacção com redes
cristalinas de potenciais periódicos, na conjectura proposta pelo modelo de Kronig-Penney,
constituindo o dual das equações de Maxwell para a caracterização espacial e temporal da radiação
electromagnética em estruturas de índice de refracção periódico.
2.2. O Dualismo Onda-Corpúsculo
2.2.1 Da Relatividade à Mecânica Ondulatória
A descoberta de que a radiação electromagnética apresenta, de forma paralela, indissociável e
simultânea, natureza corpuscular e ondulatória, constitui uma das mais notáveis revoluções
21
As Bandas de Energia nos Cristais
proporcionadas ao mundo da física pela comunidade científica do século XX. No seguimento dos
estudos da radiação do corpo negro de Max Planck, da teoria do efeito fotoeléctrico de Albert Einstein
e do efeito Compton, surgiu a inegável evidência de que a energia se transmite, transporta e comuta
sempre na forma de um múltiplo da sua quantidade fundamental indivisível, ou quantum, vulgarmente
denominado de fotão, calculada através da inovadora e desafiante relação [70], com
/2 , em que é a constante de Planck, e a frequência angular, válida para qualquer partícula.
Partindo desta premissa, segue de imediato que uma partícula de energia apresenta uma
frequência angular , numa aparentemente paradoxal mistura de características corpusculares e
ondulatórias. A constante de proporcionalidade ente estas duas grandezas ficou determinada de
forma experimental.
No contexto destas descobertas, surge uma evidente necessidade de reformulação da mecânica
newtoniana ou clássica, orientada segundo princípios meramente corpusculares, e até mesmo das
relações electromagnéticas propostas por J. Maxwell, construídas com base numa concepção
contínua da energia e numa assumpção puramente ondulatória da radiação. No âmbito de um
panorama totalmente novo no que diz respeito aos princípios orientadores da física, a teoria da
relatividade restrita, de Einstein, que constitui um caso particular da relatividade geral em que os
efeitos gravitacionais são negligenciados, surge como ferramenta essencial no deslindar desta
questão.
2.2.2 A Transformação de Lorentz e o Espaço-Tempo
As entidades aparentemente independentes e absolutas, espaço e tempo, surgem interligadas numa
única variedade composta de quatro dimensões, das quais três são espaciais e uma é temporal,
resultando no chamado espaço-tempo de Minkowski [71], designação que deriva do nome do
matemático alemão. Habitualmente denotado de , , este espaço é um campo vectorial real, com
forma bilinear simétrica, não degenerada, e assinatura , 1 1 3 1 , ou , , , , composto
por elementos, habitualmente apelidados de eventos, da forma
, (2.1)
o que obriga à definição dos versores do espaço-tempo de tal forma que
11 . (2.2)
No que se segue, é necessário ter em conta a transformação de Lorentz [72]. Esta surge como forma
de mutação de coordenadas entre um referencial em repouso e outro que se move face a este com
uma velocidade constante arbitrária. Trata-se de uma adaptação relativista da clássica transformação
de Galileu que tem em conta os postulados de Einstein, nomeadamente a invariância da velocidade
da luz e das leis da física em todos os referenciais inerciais.
De facto, a intuitiva ideia de que as coordenadas espaciais de um determinado evento não são
absolutas, mas sim relativas a um determinado referencial, devem neste contexto ser generalizadas,
22
As Ban
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Figura 2.1b
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23
As Bandas de Energia nos Cristais
enviesando-o, deixando porém inalterada a superfície cónica. Mais se observa que, voltando à
generalização de um espaço-tempo quadridimensional, o cone de luz é definido pelo rácio entre a
distância e o tempo. Assim, recorrendo a (2.1), tal corresponde a considerar invariante a relação
. (2.3)
Adicionalmente, conforme se demonstra na secção seguinte, o factor de Lorentz [73], que permite
calcular do ponto de vista relativista noções essenciais como a energia ou o momento linear
associados a uma partícula, é dado por
1
1 / , (2.4)
em que representa o módulo da velocidade de um referencial inercial face ao outro. É importante
realçar que sobressai da teoria da relatividade que todas as velocidades relativas são
necessariamente inferiores ao limite universal [74] que se aceita, embora não esteja liminarmente
demonstrado, ser equivalente à velocidade da radiação electromagnética no vácuo, ou seja,
1299 792 458 · . (2.5)
2.2.3 A Caracterização Relativista das Partículas
Seja um vector do espaço-tempo descrito em dois referenciais não acelerados e ,
caracterizados por uma velocidade relativa , tal como definido em (2.1). Com recurso às
correspondentes bases para o espaço linear, , , , e , , , , tem-se, respectivamente,
utilizando os resultados da secção anterior,
. (2.6)
De (2.3), verifica-se que o quadrado do vector é necessariamente invariante no espaço-tempo.
Definindo uma separação clara entre as coordenadas correspondentes ao espaço e a coordenada
temporal, através de
, (2.7)
o evento vem dado por
, (2.8)
pelo que o seu quadrado, recorrendo a (2.2), é caracterizado pela expressão
· | | . (2.9)
Quando se verifica 0, está-se na situação particular de um vector do tipo luz que, na sua
generalidade, configura o conjunto de afixos que constituem a hipersuperfície cónica referida
anteriormente. Mais se infere que os vectores tais que 0, do tipo tempo, que correspondem a
regiões do espaço delimitadas pela hipersuperfície cónica, são passíveis de ser experienciadas por
24
As Bandas de Energia nos Cristais
um observador na origem do espaço-tempo, ao passo que os vectores tais que 0, do tipo
espaço, na zona exterior à mencionada superfície, são consistentes com regiões do espaço não
atingíveis, sob pena de se ultrapassar o limite universalmente aceite da velocidade da radiação
electromagnética no vácuo, .
Considere-se agora uma partícula de massa que se encontra estática face ao referencial de inércia
. É possível demonstrar [74] que a sua velocidade própria é dada por
. (2.10)
Desta forma, o momento linear próprio vem, por definição,
, (2.11)
incluindo o momento linear relativo,
. (2.12)
É ainda possível definir a energia própria [74], ou intrínseca, da partícula, através da famosa relação
, (2.13)
sendo a energia total dada por
. (2.14)
As expressões (2.12) e (2.14) configuram as denominadas correcções de Einstein,
. (2.15)
De (2.11) e (2.14), exprime-se o momento linear próprio da partícula em função da sua energia,
. (2.16)
Por analogia com esta expressão, facilmente se constata a necessidade de encontrar um vector do
espaço-tempo, em , que manifeste a influência relativista sobre o vector de onda habitual do
espaço , no que constitui o designado vector de onda próprio,
, (2.17)
e em que é o citado vector de onda no espaço,
1 . (2.18)
2.2.4 A Energia no Contexto da Mecânica Relativista
Em virtude dos resultados da secção anterior e invocando as expressões (2.8), (2.16) e (2.17),
podemos assumir que o vector genérico , o vector momento linear próprio e o vector de onda
próprio constituem eventos do espaço-tempo ,
25
As Bandas de Energia nos Cristais
, , . (2.19)
Com efeito, tal como se aferiu, qualquer produto entre estes vectores, que naturalmente inclui o seu
quadrado, constitui um invariante no espaço de Minkowski. A título de exemplo, o quadrado da
velocidade, definida por (2.10), vem dado por
· . (2.20)
O seu valor tem que ser invariante, pelo que no referencial próprio, 1 e | | 0, se tem
. (2.21)
De (2.20) e (2.21), obtém-se o coeficiente de Lorentz, definido em (2.4),
1
1 /. (2.22)
O produto · , por outro lado, é dado por
· · · , (2.23)
ou seja, resulta que a fase de uma onda é invariante no espaço-tempo. Este efeito é de fulcral
relevância no seio de toda a estrutura teórica que sustenta a transformação de Lorentz, uma vez que
prova que determinados fenómenos electromagnéticos, como a interferência entre ondas, ocorrem de
forma idêntica, qualquer que seja o referencial considerado.
Adicionalmente, de (2.19), vem para o quadrado do momento linear próprio , com | | : ,
· . (2.24)
Uma vez que no seu referencial próprio 0 0, o momento linear próprio vem dado por
, (2.25)
a energia intrínseca vem, utilizando (2.24) e (2.25),
. (2.26)
No caso genérico de uma partícula que não se encontra em repouso, utilizando (2.12) e (2.20), o
momento linear próprio é regido pela expressão
, (2.27)
pelo que, de (2.24) e (2.27), resulta
, (2.28)
26
As Bandas de Energia nos Cristais
ou seja, a energia total da partícula equivale à energia de repouso, ou intrínseca, à parte uma
constante de proporcionalidade equivalente ao coeficiente de Lorentz. Mais se verifica que, igualando
os invariantes (2.24) e (2.25), e tendo em conta (2.26), se retira
. (2.29)
Desta forma, aventa-se a hipótese de encarar a energia total de uma partícula como a hipotenusa de
um triângulo rectângulo caracterizado por um cateto de comprimento equivalente à energia intrínseca
e outro de comprimento variável com uma quantidade proporcional ao quadrado do módulo do
momento linear próprio, conforme o esquema da Figura 2.2. Sem prejuízo do que foi exposto
anteriormente, a energia total (2.28) pode ser decomposta em dois elementos fundamentais, a
energia própria (2.26) e a energia cinética, o que implica que esta seja definida através da expressão
1 . (2.30)
Figura 2.2 - Constituição parcelar da energia total de uma partícula.
2.2.5 A Dupla Natureza da Radiação Electromagnética
Em virtude dos resultados alcançados, chega-se necessariamente a uma relação de
proporcionalidade entre os vectores momento linear próprio e vector de onda próprio supra
mencionados. De facto, da relação fundamental intuída por Einstein, , e das expressões (2.19)
na forma das suas componentes temporais, extrai-se
. (2.31)
Dadas as propriedades de invariância anteriormente inferidas, incorre de imediato que existe, com
toda a generalidade, uma relação de proporcionalidade directa entre os vectores e do espaço de
Minkowski, regida pela constante , pelo que as componentes espaciais de (2.19),
, (2.32)
também respeitam esta relação, ou seja,
. (2.33)
27
As Bandas de Energia nos Cristais
No que se segue, analisa-se o caso particular da quantidade fundamental da radiação
electromagnética, o fotão. De facto, e tomando para o número de onda no vácuo [17],
, (2.34)
é viável considerar invariante e constante o quadrado do vector de onda próprio,
· 0 . (2.35)
Posto isto e recorrendo a (2.11) e (2.31), surge de imediato a prova de que a massa do fotão é nula,
0 0 . (2.36)
Chega-se assim ao postulado fundamental da mecânica ondulatória e, mais especificamente, do
dualismo onda-corpúsculo, ou seja, a evidência de que a radiação electromagnética apresenta a
aparentemente contraditória mistura de propriedades associadas às ondas e à matéria. Esta situação
é ilustrada pelas duas equações fundamentais,
. (2.37)
De facto, é hoje incontestável a presunção de que os fotões apresentam a energia quântica mínima e
todas as características ondulatórias, como os fenómenos de interferência, e paralelamente, embora
com massa nula, apresentam um momento linear, numa clara manifestação material.
Na sua tese, Louis de Broglie generaliza estes pressupostos a toda a matéria, ou seja, considera que
os fotões constituem um caso particular do dualismo onda-corpúsculo [75]. Mais se acrescenta que
qualquer partícula deverá ser caracterizada por uma energia e um momento linear próprios e que a
qualquer elemento de matéria pode ser atribuído um vector de onda próprio. Assim, a natureza
simultaneamente ondulatória e corpuscular constitui um desígnio incontornável do novo universo
regido pela mecânica ondulatória, podendo mesmo admitir-se não ser nula a massa do fotão. Esta
noção não é intuitivamente aceite ao nível do mundo macroscópico, uma vez que o valor residual da
constante de Planck torna particularmente perceptível a separação entre os conceitos ondulatório e
corpuscular.
2.3. A Teoria das Bandas
2.3.1 Uma Interpretação Estocástica
Da totalidade do que foi exposto anteriormente, infere-se que a essência da mecânica ondulatória
assenta no postulado de que a cada partícula se encontra associado um leque de características
ondulatórias. Deste modo, define-se o comprimento de onda de de Broglie a partir de (2.33),
28
As Bandas de Energia nos Cristais
22
. (2.38)
Uma vez que este comprimento de onda é proporcional à constante de Planck, o seu valor é residual,
num contexto macroscópico. Assim, o referido comportamento ondulatório apenas tem significado
quando aplicado a nível atómico, de tal forma que se tenha partículas cujas dimensões lineares se
coadunem com ordens de grandeza desta magnitude.
Ainda que a um nível microscópico, o dualismo onda-corpúsculo peca por escasso do ponto de vista
axiomático, uma vez que surge como pouco racional o pressuposto de que a matéria possui
características ondulatórias. Neste aspecto, revelaram-se decisivas as contribuições de diversos
físicos, como K. Heisenberg e E. Schrödinger, envolvidos na consecução da mecânica ondulatória e,
posteriormente, da teoria quântica, amplamente aceite pela comunidade científica. Neste âmbito,
desenvolveu-se a concepção [76] de que não é possível conhecer com exactidão e simultaneidade a
posição e o momento linear de uma partícula. O chamado princípio da incerteza de Heisenberg
implica um abandono do conceito clássico de trajectória. Mais se afere que as partículas são
caracterizadas por uma função de onda, na forma de um feixe de ondas planas elementares, que é
uma função do tempo e das suas posições. Sendo a onda plana [17] caracterizada por
ψ , ψ exp ψ exp · , (2.39)
em que ψ é o módulo e a fase, e uma vez que se pretende obter soluções unidimensionais no
espaço, o feixe vem caracterizado pela expressão
Ψ ,1
√2Φ exp . (2.40)
Trata-se de uma equação construída com base no par de Fourier referente à decomposição do feixe
nas suas componentes relativas ao número de onda longitudinal,
Ψ1
√2Φ exp
Φ1
√2Ψ exp
, (2.41)
no caso em que se considera o feixe estacionário, em 0, i.e.,
Ψ Ψ , 0Φ Φ , 0 . (2.42)
Na conjectura da mecânica ondulatória, o feixe de ondas planas associado a cada partícula surge
desprovido de qualquer interpretação física, adoptando-se uma revolucionária perspectiva
estocástica. De facto, atribui-se ao quadrado do módulo da função de onda o significado de uma
distribuição de probabilidade [74] de localização da partícula correspondente. Nesse sentido, a
probabilidade de esta se encontrar no intervalo , é calculada através de
, |Ψ , | , (2.43)
ao passo que a probabilidade de o seu momento linear estar contido no intervalo , vem
29
As Bandas de Energia nos Cristais
, |Φ , | . (2.44)
Torna-se relevante realçar que as distribuições estatísticas associadas à matéria se encontram em
permanente analogia com as características ondulatórias relacionadas com o comportamento da
radiação electromagnética. Assim, a onda plana elementar (2.39), que pode ser escrita na forma
ψ ψ exp · , (2.45)
com recurso aos postulados relativistas dá origem à equação de Klein-Gordon,
ψ1c
ψψ 0 , (2.46)
que, por sua vez, no caso em que se considera que a partícula é um fotão, i.e., a massa é nula,
conduz à sobejamente conhecida equação de d’ Alembert [17], ou equação das ondas,
ψ1c
ψ0 , (2.47)
conforme se encontra demonstrado no Anexo A.1. Esta, como é sabido, advém das equações de
Maxwell e exprime em termos espaciais e temporais a propagação da radiação electromagnética.
Retomando a função de onda supra referida, facilmente se infere a equação de Schrödinger
unidimensional,
Ψ2
ΨΨ , , (2.48)
cuja demonstração se encontra patenteada no Anexo A.2. Esta permite descrever a dinâmica de um
sistema quântico no caso de apenas se verificar a existência de uma dimensão espacial, o que
constitui o caso de interesse no estudo efectuado ao nível das bandas de energia. Na mecânica
clássica, o estado de uma partícula fica inteiramente definido através da especificação da sua
posição e velocidade. Por outro lado, no âmbito da teoria quântica, o referido estado é caracterizado
pela função de onda (2.40). Em qualquer dos casos, o fulcro da questão reside na descrição do
comportamento do estado do sistema ao longo do tempo. Assim, se na conjuntura clássica essa
função é desempenhada pela segunda lei de Newton, ou princípio fundamental da mecânica, no raio
de acção da física quântica é a equação de Schrödinger que assume o papel. Deste modo, conhecida
a função de onda num instante determinado, é viável a aferição da sua evolução temporal e, em
consequência, torna-se possível exprimi-la para qualquer instante arbitrário.
Uma vez que se efectua um estudo das bandas de energia com base na análise simplista e
meramente ilustrativa da propagação de ondas monocromáticas em estruturas periódicas, e dada a
relação fundamental amplamente mencionada, conclui-se que o sistema quântico ostenta um
nível de energia constante e bem definido. Nesse sentido, pode ser descrito por uma função de onda
estacionária [77], ou seja, apoiada numa distribuição de probabilidade que apenas varia
espacialmente, mantendo-se fixa ao longo do tempo. Com efeito, se a onda plana elementar (2.39)
for decomposta nas duas componentes expostas,
30
As Bandas de Energia nos Cristais
ψ , ψ ψ ψ , (2.49)
e tendo em conta a expressão da densidade de probabilidade, vem
, |Ψ | |Ψ | , (2.50)
uma vez que 1, ou seja, para a onda estacionária em análise a definição de densidade de
probabilidade não encerra dependência com o tempo. Tal epílogo implica que as regiões de
equiprobabilidade de localização espacial das partículas permanecem imutáveis face à coordenada
temporal, no que configura uma situação de distribuição da matéria estática, habitualmente
classificada de estado estacionário.
Acto contínuo, emerge a necessidade de considerar a equação de Schrödinger independente do
tempo,
20 , (2.51)
que advém de (2.48) por separação de variáveis da função de onda Ψ , ,
Ψ , , (2.52)
conforme demonstrado no Anexo A.3.
Evocando (A.25), esta pode ser escrita na forma
, (2.53)
que configura uma equação de valores próprios do operador hamiltoniano, em que o estado
estacionário representa a função própria.
2.3.2 O Potencial Periódico de Kronig-Penney
Com o desígnio de dar início ao estudo das características das bandas de energia, procede-se no
que se segue à análise do comportamento de uma partícula submetida a um potencial periódico,
conforme o esquema da Figura 2.3, uma vez que apresenta especificidades muito similares às dos
meios periódicos, que são dissecados no próximo capítulo e que servem de base à consecução de
estruturas baseadas em propriedades fotónicas complexas.
Figura 2.3 - Potencial periódico arbitrário.
31
As Bandas de Energia nos Cristais
Nesse sentido, são introduzidas ao nível da equação de Schrödinger independente do tempo (2.51)
as mudanças de variável relativas ao potencial e à energia,
2
2
, (2.54)
o que resulta numa equação diferencial de Sturm-Liouville [78],
0 . (2.55)
No caso particular de uma partícula livre, i.e. 0, , de (A.16) e (2.37) vem
2 , (2.56)
em que representa o número de onda da partícula no espaço livre, sendo o seu estado
caracterizado pela expressão
0 . (2.57)
Uma vez que o potencial é periódico de período , ou seja,
, (2.58)
torna-se imperioso recorrer ao teorema de Bloch, ou de Floquet, que postula que as soluções da
equação de Schrödinger independente do tempo verificam a condição
. (2.59)
De facto, considerando o meio ilimitado, a deslocação de um período segundo o eixo espacial não
altera as condições na fronteira, pelo que a hipótese de ser solução acarreta implicitamente que
também o seja. Assim, sendo o número de onda de Bloch, ou seja, a constante de
propagação da partícula submetida ao potencial periódico, resulta
Ψ , (2.60)
de onde se retira, com recuso a (2.59) e (2.60),
Ψ Ψ . (2.61)
No que se segue, faz-se uso do modelo de Kronig-Penney [18]. Este descreve os estados de uma
partícula quântica que se move numa região caracterizada por um potencial definido por uma
sucessão de barreiras rectangulares similares e equidistantes, segundo a disposição patenteada na
Figura 2.4a. Por uma questão de simplicidade e uma vez que tal não introduz alterações de relevo na
análise que se pretende efectuar ao nível das bandas de energia, considera-se que a largura das
barreiras de potencial tende a anular-se e a altura varia de tal forma que a área permaneça
invariante. Resulta então a distribuição delta de Dirac, no âmbito do modelo de Kronig-Penney
simplificado, com / ,
32
As Bandas de Energia nos Cristais
, (2.62)
representada na Figura 2.4b. O factor em (2.62) pode ser utilizado para regular a intensidade do
potencial cristalino.
Figura 2.4 - Modelo de Kronig-Penney normal e simplificado.
2.3.3 As Bandas de Energia no Potencial Periódico
Dividindo o espaço em regiões de continuidade da função potencial, de tal forma que
1 1 , (2.63)
e com a constante de propagação em espaço livre dada por (2.56), o teorema de Floquet admite uma
solução representada por uma sobreposição de duas ondas de Bloch, na forma
Ψ , (2.64)
para a região . No contexto deste teorema, apenas se torna necessário encontrar uma solução da
função de onda no intervalo de um período, uma vez que esta pode ser gerada em qualquer outra
região do espaço por aplicação da recursividade. Assim, introduzindo os coeficientes
, (2.65)
resulta, para (2.64),
Ψ . (2.66)
Analogamente, vem para a região uma solução do tipo
Ψ . (2.67)
De forma a relacionar a solução da equação de Schrödinger nas duas regiões contíguas do espaço
referidas, recorre-se a (2.61), verificando-se que configuram estados equivalentes, à parte uma
diferença de fase proporcional ao número de onda de Bloch ,
Ψ Ψ . (2.68)
33
As Bandas de Energia nos Cristais
De (2.66) e (2.67), por aplicação de (2.68), vem
. (2.69)
Evidenciando os expoentes,
0 , (2.70)
surgem de imediato as expressões que relacionam os coeficientes concernentes a cada região,
. (2.71)
No que se segue, abordam-se os requisitos a ser cumpridos no âmbito das condições na fronteira.
Assim, tendo em conta que a função de onda é, por definição, contínua, é necessário que nos pontos
limite que constituem fronteira entre regiões adjacentes, , venha
Ψ Ψ , (2.72)
expressão que se obtém por substituição do valor na fronteira, , em (2.66) e (2.67).
Relativamente à derivada da função de onda, a continuidade só prevaleceria no caso de não se
verificarem descontinuidades infinitas. Uma vez que o potencial periódico é definido por uma
distribuição delta de Dirac (2.62), demonstra-se no Anexo A.4 que a descontinuidade na derivada de
um ponto genérico da função de onda é determinada por
Ψ ΨΨ . (2.73)
Considere-se doravante o potencial periódico representado na Figura 2.5, com um dos pontos de
potencial não nulo coincidente com a origem do eixo espacial, 0, dando origem a duas regiões
adjacentes, no seio das quais as funções de onda, Ψ e Ψ , seguem as regras supra
postuladas, no âmbito do teorema de Floquet. Neste sentido, as conclusões obtidas para o caso
particular em análise podem ser generalizadas para todo o espaço, por simetria translacional,
conforme já explicitado anteriormente. Os termos em língua inglesa ‘left’ (esquerda) e ‘right’ (direita)
estão na origem dos índices ‘ ’ e ‘ ’, estando subjacente a localização relativa de cada uma das
zonas do espaço face à origem do referencial.
Figura 2.5 - Regiões adjacentes do espaço em torno da origem do referencial.
34
As Bandas de Energia nos Cristais
De (2.63), com 0,1 as regiões do espaço são formalmente definidas por
0 0 , (2.74)
pelo que a função de onda vem, de (2.64), (2.67) e (2.71),
ΨΨ Ψ
. (2.75)
Desenvolvendo (2.75) através da fórmula de Euler,
cos sin , (2.76)
e definindo as novas constantes complexas
, (2.77)
tem-se finalmente, após alguma manipulação algébrica,
Ψ sin cosΨ sin cos . (2.78)
Tomando as condições na fronteira, na origem do referencial 0, para a função de onda (2.72),
bem como para a sua derivada (2.73),
Ψ 0 Ψ 0ΨR ΨL 0 ΨR 0 , (2.79)
e as expressões respeitantes às derivadas em ambas as regiões,
ΨR cos sin
ΨL cos sin, (2.80)
resulta finalmente de (2.62), (2.78) e (2.79) o sistema de equações homogéneo,
sin cos
cos sin 0 ΨR 0, (2.81)
que pode ser representado na forma matricial,
sin cos 11 cos sin /
0
0. (2.82)
A solução trivial, 0 0 , não tem relevância do ponto de vista físico, dado que conduz à
função de onda de amplitude nula e, portanto, à inexistência de matéria no sistema. Assim, importa
obter a solução que anule o determinante da matriz principal. Introduzindo as mudanças de variável
e , que estabelecem normalizações para os números de onda em espaço livre e no
meio periódico, respectivamente, obtém-se a equação fundamental das bandas de energia,
35
As Bandas de Energia nos Cristais
cos cos 2sin
, (2.83)
cuja demonstração se remete para o Anexo A.5. Trata-se de uma equação transcendente e, como tal,
não comporta resolução analítica. Define uma relação entre os modos de propagação no meio
periódico, através do número de onda de Bloch , e a energia do sistema, através do número de onda
. Uma vez que a energia, pelas relações do dualismo onda-corpúsculo (2.37), equivale à frequência
angular, à parte a constante de Planck, resulta que (2.83) configura uma equação de dispersão da
função de onda. Como tal, deve descrever as modificações à característica de dispersão em espaço
livre impostas pela estrutura periódica, tal como se pode verificar na Figura 2.6. Esta reflecte a
sobreposição de ambos os membros de (2.83) para 3 . O segundo membro da equação pode
tomar qualquer valor em função da intensidade do potencial periódico e da energia do sistema. No
entanto, ao primeiro membro não é facultada a hipótese de assumir valores fora do intervalo 1, 1 ,
sob pena de o número de onda de Bloch se tornar complexo.
Neste contexto, surge a noção de banda de energia. Os valores de , e consequentemente da
energia , que levam a que o primeiro membro de (2.83) se encontre abrangido pelo intervalo
mencionado, ou seja, que originam valores reais do número de onda , constituem as chamadas
bandas permitidas de energia. Em contrapartida, os valores de que conduzem a números de onda
de Bloch complexos promovem a não existência de solução para a função de onda, no que
habitualmente se designa de hiatos ou bandas proibidas de energia, realçadas na Figura 2.6. Resulta
do exposto a inexistência de estados estacionários num potencial periódico de Kronig-Penney com o
valor da energia contido num dos intervalos proibidos.
O correspondente diagrama de dispersão , que relaciona a constante de propagação no meio
potencial periódico com a energia e, consequentemente, com a frequência angular, encontra-se
exposto na Figura 2.7. De (A.16) e (2.33), advém
2 2 . (2.84)
Figura 2.6 - Equação de dispersão do número de onda de Bloch.
36
As Bandas de Energia nos Cristais
Agregando a mudança de variável , redunda para a energia
2 2 . (2.85)
Definindo a normalização
2 , (2.86)
vem finalmente
, (2.87)
expressão que está na origem do diagrama de dispersão da Figura 2.7. Os valores de são
obtidos por simulação numérica de (2.83), visto tratar-se de uma equação transcendente. A largura
dos intervalos proibidos de energia é variável e depende da intensidade do potencial periódico, ,
definida anteriormente. No entanto, as suas localizações no diagrama são fixas e ocorrem para
valores do número de onda de Bloch normalizado, , múltiplos de . Nesse sentido, a característica
de dispersão combina propriedades dos modelos da partícula livre e da partícula numa caixa [79].
Assim, embora sejam admitidas exclusivamente bandas discretas de energia, a forma geral que
acompanha o andamento das curvas correspondentes é parabólica, a tracejado na figura. Esta é
obtida considerando as barreiras de potencial infinitesimais, pelo que é dada pela expressão
, (2.88)
que configura uma solução coincidente com (2.87) nos pontos múltiplos de , de descontinuidade da
energia.
Focalizando a equação (2.83), facilmente se infere que a dependência com a constante de
propagação no meio periódico, através de cos , implica que o número de onda da partícula livre
seja periódico, de período 2 / e, em consequência de (2.84), também a energia. Na realidade,
substituindo o segundo membro da equação de dispersão por cos 2 , com inteiro, este
mantém o valor, pelo que advém de (2.83) uma solução similar.
Figura 2.7 - Diagrama de dispersão do potencial periódico.
37
As Bandas de Energia nos Cristais
Desta forma, o diagrama da Figura 2.7 pode ser expandido, em cada uma das bandas de energia, a
todo o espectro do número de onda de Bloch, dando origem ao gráfico da Figura 2.8. Neste caso, são
particularmente visíveis as soluções periódicas da característica de dispersão, correspondentes aos
diversos modos da função de onda que se propagam para cada valor permitido da energia ou, por
utilização da relação fundamental, da frequência angular. Torna-se identicamente clara a existência
de hiatos, ou seja, intervalos de energia para os quais os citados modos de propagação se tornam
evanescentes.
Figura 2.8 - Espectro das bandas proibidas e permitidas de energia.
Partindo do que foi previamente referido, fica subjacente o pressuposto de que uma análise ao
primeiro par de modos de propagação é suficiente, no que constitui o designado diagrama de
dispersão reduzido, uma vez que o restante espectro pode ser obtido por expansão translacional.
Assim, representa-se na Figura 2.9 a característica de dispersão no intervalo 0, 2 , para o
caso particular da primeira banda de energia. Para valores contidos na banda proibida, o número de
onda de Bloch assume uma natureza complexa. A componente real mantém-se, porém acrescida de
uma componente imaginária,
, (2.89)
esboçada a tracejado na figura, o que torna evanescentes todos os modos de propagação da função
de onda no meio periódico que tenham por base um valor de energia que integre um dos hiatos
precedentemente definidos.
2.4. Transição para os Cristais Fotónicos
No capítulo seguinte, efectua-se uma análise em profundidade das estruturas artificiais de índice de
refracção unidimensionalmente periódico, por camadas, no que configura um meio habitualmente
designado por cristal fotónico. Nesse sentido e no seguimento de tudo o que foi exposto, tem toda a
38
As Bandas de Energia nos Cristais
lógica transpor para esse contexto as noções adquiridas no âmbito das redes cristalinas, como os
diagramas de dispersão e a teoria das bandas de energia.
Figura 2.9 - Diagrama de dispersão reduzido para a primeira banda de energia.
De facto, em analogia com os electrões num cristal, as ondas electromagnéticas que se propagam
em estruturas com as características citadas encontram-se organizadas em bandas fotónicas,
separadas por hiatos que correspondem a modos evanescentes, ou seja, grupos de frequências para
as quais se dá uma interferência construtiva entre as ondas incidente e reflectida nas sucessivas
camadas. Trata-se de um fenómeno conhecido por reflexão de Bragg e cuja análise conhece
desenvolvimentos nas secções subsequentes. A título ilustrativo, encontra-se delineada na Figura
2.10 a curva correspondente à componente imaginária da constante de propagação no meio
periódico em estudo, na qual são facilmente perceptíveis os intervalos de energia, ou frequência,
correspondentes às bandas proibidas.
Tal fenómeno encontra inúmeras aplicações, em dispositivos como cavidades, ressoadores, lasers ou
antenas [37], destacando-se ainda o caso dos filtros de banda estreita, sobretudo quando se introduz
a possibilidade de utilização de compostos metamateriais.
Figura 2.10 - Componente imaginária do número de onda de Bloch.
Capítulo 3
Cristais Fotónicos
Unidimensionais
Este capítulo fornece uma visão global do comportamento da propagação de radiação
electromagnética em estruturas caracterizadas por um índice de refracção unidimensionalmente
periódico, nomeadamente no que diz respeito às bandas proibidas e permitidas, em permanente
analogia com os axiomas quânticos das partículas em cristais. Fazendo uso da caracterização
matricial, são enfatizadas propriedades singulares deste tipo de meios, nomeadamente no que
concerne aos diagramas de dispersão e às características de reflexão e refracção.
40
Cristais Fotónicos Unidimensionais
“One of the remarkable aspects of the human
civilisational development is the intention to create
or construct something that is not available in
natural surroundings.”
M. Lapine e S. Tretyakov [40]
3.1 Uma Perspectiva Sobre a Periodicidade
Os metamateriais são estruturas que interagem com a radiação electromagnética, nomeadamente a
luz, reproduzindo determinadas características ou efeitos não encontrados habitualmente no estado
natural da matéria. Nesse sentido, podem ser utilizados enquanto elemento base em diversos
mecanismos ópticos, pelo que constitui objectivo geral da presente dissertação analisar, do ponto de
vista estrutural, a influência e alterações comportamentais que decorrem da sua inclusão em
estruturas periódicas.
Assim, procede-se neste capítulo à descrição e caracterização de toda a fenomenologia
electromagnética que está na base dos cristais fotónicos, nomeadamente no que concerne ao caso
unidimensional, de forma a permitir uma posterior inclusão dos meios duplamente negativos e uma
consequente dissecação analítica das transformações que materiais deste género podem imprimir à
estrutura, do ponto de vista funcional e enquanto dispositivos ópticos.
Do leque de características ostentadas por estes meios artificiais, sobressai a questão das bandas de
energia, fenómeno representado a título ilustrativo na Figura 3.1, com destaque para a manifestação
de bandas proibidas no gráfico da transmissividade. De facto, no seio de um vasto conjunto de
analogias conhecidas entre fenómenos de natureza óptica e electrónica, este assume particular
relevância, quer por se tratar de um assunto amplamente escalpelizado, quer em virtude da
assinalável quantidade de aplicações que daí decorrem, como sejam a concepção de filtros eficazes
ou a inibição da emissão espontânea em elementos de circuitos ópticos. Assim, se as interacções de
partículas como os electrões com redes cristalinas de semicondutores clássicas, analisadas no
capítulo precedente, podem ser descritas pela teoria das bandas, o mesmo sucede com a radiação
electromagnética, sob a forma de um distinto espécime de partículas, os fotões, propagando-se
através de estruturas dieléctricas periódicas, na senda dos resultados da teoria quântica e mais
concretamente do dualismo onda-corpúsculo.
É no âmbito deste paradigma de analogias que nasce a conceptualização de bandas fotónicas de
frequência proibida, da expressão inglesa ‘photonic bandgaps’ ou PBG, e a transladação de conceitos
[80] como as redes recíprocas, as zonas de Brillouin, as relações de dispersão ou as funções de onda
de Bloch para o contexto das ondas electromagnéticas, conforme se apresenta nas secções
subsequentes. A designação adoptada tem a ver com o facto de se pretender definir intervalos de
41
Cristais Fotónicos Unidimensionais
frequência para os quais as ondas electromagnéticas não apresentam capacidade de se propagar,
independentemente do ângulo de incidência com o cristal fotónico.
Figura 3.1 – Incidência sobre cristal fotónico e transmissividade [81][82].
Em suma, é viável admitir que os dois patamares em análise partilham paralelamente características
similares, sendo que em ambos os casos um potencial espacialmente periódico provoca a
manifestação de bandas proibidas de energia ao nível da relação de dispersão, respectivamente para
funções de onda de fotões e de electrões. No entanto, ao passo que as bandas proibidas electrónicas
são geradas por um potencial eléctrico periódico que decorre da disposição dos átomos que
constituem a rede cristalina de material semicondutor, as bandas proibidas fotónicas são o resultado
de uma distribuição periódica de um potencial dieléctrico. Na Figura 3.2 encontram-se esboçados os
diagramas de dispersão genéricos para o caso da radiação propagando-se em espaço livre e ao
longo de um cristal fotónico, de forma a evidenciar o aparecimento das bandas proibidas.
Figura 3.2 – Diagramas de dispersão da radiação electromagnética.
A analogia proposta apresenta-se como uma evidência extraordinariamente apelativa do ponto de
vista científico. De facto, considerando a tremenda preponderância que a teoria das bandas em
cristais clássicos motivou ao nível da electrónica, é de supor um impacto de magnitude
marcadamente mais vincada no caso dos cristais fotónicos.
42
Cristais Fotónicos Unidimensionais
No entanto, o advento destes meios no panorama científico [83] revela-se relativamente tardio e
moroso. Uma das causas que justificam essa situação prende-se com o facto de não serem comuns
na natureza casos de estruturas periódicas fotónicas deste tipo, ao contrário do que ocorre
relativamente às redes cristalinas clássicas, nas quais os átomos se encontram dispostos de forma
favorável à interacção com os electrões. Isto implica que a sua concepção seja fundamentalmente
obtida do ponto de vista artificial. Nesse sentido, e tendo em atenção que a obtenção de
determinadas funcionalidades ópticas a partir de cristais fotónicos requer, entre outros factores de
diversa ordem, que o período da rede se coadune com ordens de grandeza comparáveis ao
comprimento de onda da radiação incidente [36], facilmente se infere que a sua confecção é crítica
quando se trabalha com determinadas gamas de frequência, como é o caso do espectro do visível.
Deste modo, e apesar da aparentemente frutífera analogia supra descrita, é necessário ter em
consideração que, para além de toda a problemática associada ao fabrico de estruturas periódicas de
reduzidas dimensões, é inegável a diferenciação comportamental entre fotões e electrões, enquanto
partículas. Assim, a simples transposição dos modelos conotados com as redes cristalinas
semicondutoras para o caso dos cristais fotónicos, dada a complexidade inerente, pode redundar em
equívocos e incorrecções, sendo necessário encarar o seu estudo como uma área científica de
pesquisa independente. Na Figura 3.3 encontra-se reproduzida uma imagem SEM, ‘Scanning
Electron Micrograph’, de uma rede cristalina real.
Figura 3.3 – Imagem SEM de um cristal fotónico de InGaAsP [81].
3.2 As Estruturas Periódicas Convencionais
3.2.1 A Condição de Bragg
As características electromagnéticas de uma estrutura periódica podem ser descritas através de uma
simetria translacional dos tensores permitividade eléctrica,
, (3.1)
e permeabilidade magnética,
43
Cristais Fotónicos Unidimensionais
, (3.2)
em que é um vector genérico do espaço e é um vector tal que se verifique uma similitude das
características do meio em e em , ou seja, define o período da estrutura.
Considerando meios não magnéticos cuja variação periódica das relações constitutivas é
unidimensional, o tensor permitividade eléctrica é descrito por
Λ , (3.3)
em que é um inteiro e Λ representa o período. Nesse sentido, representa-se a título ilustrativo na
Figura 3.4 um meio periódico simples constituído por camadas alternadas de dois materiais de
índices de refracção distintos.
Figura 3.4 - Estrutura periódica de camadas alternadas.
Assumindo que a radiação electromagnética incide no meio periódico segundo um ângulo ,
conforme esquematizado na Figura 3.5, é progressivamente reflectida e refractada em cada uma das
interfaces que constituem a fronteira entre camadas, provocando interferência construtiva ou
destrutiva. Considere-se uma incidência perpendicular, /2 , e | |. Tendo em conta as
ondas incidente e reflectida,
exp exp , (3.4)
com as respectivas fases dadas por
, (3.5)
em que as fases iniciais se admitem nulas, i.e.,
0 , (3.6)
vem, para a origem do referencial, 0,
Λ
… …
44
Cristais Fotónicos Unidimensionais
0 Δ 0 0
0 Δ 2Λ2 Λ
Δ 0 0 0 Λ . (3.7)
Considerando, no que se segue, a interferência de duas ondas reflectidas em interfaces localizadas,
no eixo espacial longitudinal, em dois múltiplos sucessivos do período da estrutura, obtém-se para as
fases respectivas na origem,
0 Δ Δ 0 Λ Λ 2 Λ0 Δ 2Δ 0 2 Λ 2 Λ 4 Λ , (3.8)
uma vez que, como facilmente se infere por análise da Figura 3.5,
0 Δ Δ 0 Λ Λ 2 Λ . (3.9)
Resulta, assim, com toda a generalidade, a diferença de fase
Δ 0 0 0 2 1 Λ 2 Λ 2 Λ . (3.10)
Tendo em conta que a interferência construtiva originada por reflexões em camadas sucessivas da
estrutura se verifica quando estas se encontram em fase, tem-se
Δ 0 2 2 Λ 2 , (3.11)
com inteiro, no que configura a expressão habitualmente designada por condição de Bragg,
Δ 22Λ 0 . (3.12)
Esta surge historicamente como desfecho de experiências levadas a cabo pelo físico homónimo no
contexto da difracção de raios-x em superfícies cristalinas [9], sendo viável, tal como demonstrado em
(3.12), a sua generalização à propagação de radiação electromagnética em cristais fotónicos, em
analogia com o estudo das bandas de energia levado a cabo no âmbito do capítulo precedente.
Assim, torna-se evidente que os intervalos de frequência que conduzem ao cumprimento da condição
de Bragg, inerentemente associada a uma reflexão total da energia incidente ao nível das interfaces
que separam as camadas do meio periódico, constituem, na realidade, as propaladas bandas
proibidas de energia, ou seja, gamas de frequência para as quais se torna evanescente a propagação
ao longo da estrutura.
Figura 3.5 – Reflexão de Bragg.
…
Λ
2Λ
45
Cristais Fotónicos Unidimensionais
No seguimento do exposto, tendo em conta a relação fundamental entre a constante de propagação e
o comprimento de onda e arrolando agora um ângulo genérico de incidência no cristal, vem para
o número de onda longitudinal
| | cos cos2
cos , (3.13)
pelo que, de (3.12), decorre
Λ 0 2
cos Λ 0 2Λ cos , (3.14)
expressão que estabelece um resultado generalizado para a condição de Bragg.
3.2.2 O Teorema de Bloch e as Bandas de Frequência Proibidas
Uma vez restrita a análise comportamental a cristais fotónicos não magnéticos e dado que a
periodicidade do meio deriva de uma variação espacial longitudinalmente homogénea do tensor
permitividade eléctrica, este pode ser expandido com recurso a uma série de Fourier,
exp · , (3.15)
em que percorre todos os vectores da rede recíproca , contemplando os múltiplos da variação
espacial da estrutura periódica. Assim, num meio unidimensional, vem
2Λ
2Λ , (3.16)
com inteiro. Adicionalmente, o campo eléctrico que se propaga no meio em análise pode também
ser descrito por um integral de Fourier, por decomposição em coeficientes da constante de
propagação,
· . (3.17)
Tendo em conta que a propagação da radiação electromagnética obedece à equação de onda (A.12),
que pode ser reescrita na forma [17],
0 , (3.18)
substituindo (3.15) e (3.17) em (3.18), vem
· · 0 . (3.19)
Colocando em evidência o termo de fase, a equação (3.19) é satisfeita para
0 . (3.20)
O somatório abrange todos os vectores da rede recíproca e resulta um sistema de equações
homogéneas em ordem aos coeficientes , para cada valor distinto do vector de onda . Por
46
Cristais Fotónicos Unidimensionais
princípio, poderia ser obtida uma solução igualando o determinante a zero. No entanto, verifica-se
que apenas os coeficientes da forma se encontram acoplados, o que conduz a uma
fragmentação do sistema em subconjuntos de equações que integram os coeficientes e
, para um dado vector de onda e para todos os valores possíveis de . Assim, optando
por uma resolução independente dos subconjuntos referidos, vem [23] para cada , a solução
· · , (3.21)
com
· . (3.22)
Particularmente, no caso de interesse, admitindo uma única dimensão espacial, resulta de (3.15)
, (3.23)
em que é um inteiro, pelo que de (3.22) reverte
, (3.24)
que constitui uma expressão periódica em de período Λ. Assim, (3.21) estabelece o designado
teorema de Bloch, ou de Floquet, para os cristais fotónicos, por analogia com as preposições
registadas ao nível do precedente capítulo, no âmbito dos cristais electrónicos. Deste modo, o campo
eléctrico (idêntica análise seria verificável para o caso do campo magnético),
· , (3.25)
é caracterizado por uma parcela relativa à fase (regida pelo vector de onda de Bloch ) e por uma
componente de amplitude periódica,
. (3.26)
Verifica-se deste modo a existência de uma relação de dispersão que está na base de todas as
características patenteadas por este tipo de meios e referenciadas a título introdutório, como sejam
as peculiariedades ao nível das características de reflexão e refracção, associadas à manifestação
das denominadas bandas de energia. No caso particular em que não existe periodicidade no meio, ou
seja, este é consistente com um índice de refracção perene e homogéneo ao longo da dimensão
espacial, (3.26) traduz uma constante no que configura uma situação de modos normais de
propagação associados a ondas planas, caracterizadas pela constante de propagação de Bloch. Por
outro lado, no caso geral, (3.17) estabelece uma sobreposição dos modos de propagação de Bloch
descritos por (3.25) para cada vector de onda . Admitindo que este apenas exibe componente
longitudinal, ou seja, que a propagação se faz através de uma incidência normal às superfícies de
índice de refracção constante do meio, com 0 e | |, vem, de (3.24) e (3.25),
47
Cristais Fotónicos Unidimensionais
. (3.27)
Considerando ainda que os vectores de onda e campo eléctrico são ortogonais, i.e., · 0, e ainda
que os coeficientes da expansão em série de Fourier da permitividade dieléctrica são escalares, no
que se coaduna com um meio isotrópico, advém de (3.20) a expressão
. (3.28)
A onda de Bloch relativa ao número de onda específico decorre da resolução da expressão (3.28)
para , no que resulta um conjunto infinito de equações em ordem a coeficientes da forma
. Nesse sentido, a única maneira de obter uma solução explícita passa pela adopção de
aproximações razoáveis. Tomando (3.28) para ,
1, (3.29)
para ,
1 , (3.30)
e para ,
1 , (3.31)
com
11 , (3.32)
verifica-se que, cumpridas as condições
| |, (3.33)
os coeficientes e se tornam dominantes, ou seja, as ondas planas descritas pelos
números de onda e prevalecem sobre todas as restantes, no que configura uma situação de
acoplamento ressonante. Assim, considerando todos os termos adicionais negligenciáveis, (3.28)
desdobra-se num sistema de apenas duas equações que, na forma matricial, fica
0
0. (3.34)
Tendo em conta que se é uma função dieléctrica real, e uma vez que se pretende obter
uma solução não trivial para (3.34), ou seja, excluindo a hipótese segundo a qual ambos os
coeficientes são nulos porquanto tal conjectura é consistente com a inexistência de propagação da
radiação electromagnética no meio periódico, torna-se imperioso anular o determinante da matriz
principal, no que resulta a expressão
48
Cristais Fotónicos Unidimensionais
0 , (3.35)
que, pela sua natureza, assume as características de uma relação de dispersão. Analisando (3.12),
facilmente se constata que (3.33) equivale, na realidade, à condição de Bragg, ou seja,
12 Λ .
(3.36)
Quando esta é satisfeita, revertem de (3.35) as frequências angulares, calculadas no Anexo B.2,
12
1
12
1 , (3.37)
que estabelecem os limites da gama de frequências que até aqui se tem vindo a denominar de banda
proibida.
Na Figura 3.6 encontra-se esboçado o diagrama de dispersão típico de um cristal fotónico, aferido
com recurso à expressão (3.35), para o caso específico de células periódicas com duas camadas de
idêntica espessura, 0,5Λ, e com um período arbitrário Λ 0,185 .
Figura 3.6 – Diagrama de dispersão e primeira banda proibida.
Dado o formato apresentado pela relação de dispersão (3.35), torna-se imperativo obter os
coeficientes da expansão em série de Fourier da função permitividade eléctrica ao longo da
coordenada espacial (3.23), análise efectuada no âmbito do Anexo B.1. Considera-se que o índice de
refracção, regido por um perfil do tipo (B.1), é dado por um par de valores considerado usual no
contexto dos materiais tipicamente utilizados na construção de estruturas periódicas fotónicas,
3,4 , Λ 0,5 Λ3,2 , 0,5 Λ 1 Λ . (3.38)
49
Cristais Fotónicos Unidimensionais
De (B.9) e (B.10), retiram-se os dois primeiros coeficientes da expansão em série de Fourier da
função permitividade eléctrica correspondentes aos índices de refracção assumidos (3.38), com a
permitividade eléctrica no vácuo 8,854 10 · ,
2 96,5 10
3,7 10 (3.39)
Introduzindo os coeficientes (3.39) na relação de dispersão (3.35), resulta a curva da Figura 3.6,
correspondente à componente real do número de onda de Bloch . Tal como era esperado, surge um
hiato na frequência para o qual não se manifesta qualquer constante de propagação real e que se
coaduna com a existência da primeira banda proibida de energia, identificado pela zona de
preenchimento colorido na imagem, e delimitada pelos extremos calculados com recurso às
expressões (3.37), para Λ e 4 10 · ,
1,573 ·1,513 ·
. (3.40)
Estes valores estão em completo acordo com os resultados obtidos graficamente, por simulação
numérica. De facto, e na senda das conclusões obtidas no capítulo antecedente, no âmbito dos
cristais reais, confirmam-se singularidades análogas na propagação de radiação electromagnética em
meios caracterizados por um índice de refracção periódico. Assim, para frequências angulares
contidas no intervalo mencionado, o número de onda de Bloch torna-se complexo, o que é
consistente com a evanescência da radiação incidente e sua consequente reflexão. Nesse contexto,
ostenta uma componente real constante e uma componente imaginária variável,
Λ12
12 , . (3.41)
Para todas as frequências não contidas na banda proibida, o número de onda de Bloch é real, o que
se coaduna com uma situação de propagação da radiação ao longo da direcção espacial definida.
Adicionalmente, das condições (3.33), retira-se a frequência angular central da banda proibida,
12
1 . (3.42)
Por outro lado, de (3.35), ressalta a expressão
12
12 2
, (3.43)
que configura uma forma exacta da equação de dispersão que relaciona a frequência angular de
trabalho com a componente imaginária do número de onda de Bloch, na banda proibida. Substituindo
a frequência angular de trabalho por em (3.43), vem
50
Cristais Fotónicos Unidimensionais
12 0 . (3.44)
Por experiência prática [23], verifica-se que o módulo da componente imaginária do número de onda
de Bloch é desprezável face à componente real, i.e.,
| |12 . (3.45)
Nesse sentido, torna-se viável negligenciar o termo em na equação (3.44), resultando
12 0 , (3.46)
de onde se retira a componente imaginária do número de onda de Bloch no centro da banda proibida,
14 , (3.47)
que corresponde ao seu valor máximo. Os cálculos intermédios encontram-se expostos no contexto
do Anexo (B.2).
Outro parâmetro físico da banda proibida de particular interesse reside na obtenção da sua largura
Δ . Nesse contexto, é útil analisar a razão entre os módulos dos dois primeiros coeficientes da
expansão em série de Fourier da função permitividade eléctrica (B.9) e (B.10),
2 . (3.48)
Nas estruturas periódicas habitualmente arquitectadas, o contraste entre os índices de refracção
correspondentes a cada uma das camadas que constituem as células é baixo, ou seja, são
normalmente utilizados materiais de tal forma que . Nestas condições, de (3.48) é legítimo
inferir a aproximação segundo a qual
0 . (3.49)
A largura da banda proibida é, por definição, equivalente ao dobro do módulo da diferença entre um
dos extremos e a frequência central ,
Δ 2| | 2| | . (3.50)
Por outro lado, de (3.37) e (3.42), retira-se
12
1 12
1 1
1 1.
(3.51)
Assim, conforme demonstração do Anexo (B.2), vem
51
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Δ . (3.52)
Trata-se de um resultado aproximado, porém válido e rigoroso dentro das condições de baixo
contraste mencionadas. No caso do problema prático em análise, com a permitividade eléctrica da
estrutura caracterizada pelos coeficientes (3.39), reverte
Δ 59,127 · . (3.53)
Comparando com o resultado exacto,
Δ 59,181 · , (3.54)
verifica-se que o erro é residual,
Δ ΔΔ 100 0,09% . (3.55)
Em virtude de a banda proibida se encontrar delimitada pelas frequências angulares (3.37), que
definem a largura de banda Δ (3.52), e o facto de ser caracterizada por uma frequência angular
central (3.42) para a qual a componente imaginária do numero de onda de Bloch é máxima,
(3.47), sugere a adopção de um modelo elíptico para parametrizar o comportamento de .
Dado um espaço com um referencial ortogonal e ortonormado, a elipse centrada em , e
com semi-eixos de comprimento e , consiste no lugar geométrico dos pontos genéricos da forma
que cumprem a condição
1 . (3.56)
Desta forma, a equação de dispersão que relaciona a componente imaginária do número de onda de
Bloch com a frequência angular pode ser aproximada pela expressão
Δ2
1 , (3.57)
uma vez que no centro da banda proibida, para , a frequência é , ao passo que para
0,5Δ vem 0. Substituindo (3.47) e (3.52) em (3.57), resulta
14
ω2
1 , (3.58)
ou, com alguma manipulação algébrica,
12
ω 2 . (3.59)
A curva correspondente à relação de dispersão baseada num modelo elíptico (3.59) encontra-se
esboçada na Figura 3.7, sobreposta ao gráfico da relação de dispersão real (3.43), obtido por
52
Cristais Fotónicos Unidimensionais
simulação numérica. Como facilmente se constata, há uma sobreposição quase total das curvas, pelo
que a utilização do modelo aproximado é legítima, permitindo simplificar significativamente os
cálculos envolvidos na obtenção das grandezas relacionadas com as bandas proibidas.
Figura 3.7 – Modelos elíptico e real para o diagrama de dispersão.
Na Figura 3.8 representam-se as componentes real, a traço contínuo, e imaginária, a tracejado, do
número de onda de Bloch na primeira banda de energia, face à frequência angular de trabalho, com
realce para as respectivas zonas permitidas e proibida. Por observação do gráfico, verifica-se que a
relação de dispersão segue um andamento aproximadamente linear para zonas de frequência
suficientemente afastadas da banda proibida, o que sugere uma situação análoga à da propagação
em espaço livre, quer para a onda incidente, quer para a onda reflectida. Por outro lado, para
frequências no intervalo , , dá-se um acoplamento entre estas, ou seja, uma sobreposição
construtiva de fases, prevista pela condição de Bragg (3.12) supra descrita, e que se manifesta sob a
forma de uma reflexão total da energia electromagnética que se faz incidir sobre a estrutura periódica.
Figura 3.8 – Diagrama de dispersão complexo na primeira banda de energia.
53
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Nesse caso, a parte real do número de onda de Bloch é constante, Λ , ao passo que a parte
imaginária pode ser aproximadamente descrita pelo modelo elíptico (3.59). De notar que a parte
imaginária, cuja amplitude se encontra triplicada na Figura 3.8, de forma a permitir um melhor realce
da sua forma aproximadamente elíptica, apresenta um módulo bastante inferior ao que está
associado à parte real, pelo que a aproximação (3.45) também se reveste de acentuada validade.
De realçar que a dedução da relação de dispersão (3.35) partiu do pressuposto do cumprimento das
condições (3.33), ou seja, da existência de um acoplamento entre os coeficientes e ,
no que reverte uma primeira banda proibida de largura Δ essencialmente regida pelo primeiro
coeficiente da expansão em série de Fourier da função permitividade eléctrica, , conforme é
confirmado pela expressão (3.52). Tomando o conjunto de condições mais geral,
| |, (3.60)
para inteiro, revertem expressões similares ao sistema de duas equações (3.34), para o caso de um
acoplamento entre os coeficientes genéricos e ,
0
0. (3.61)
De (3.61), redunda agora a condição geral de Bragg,
12 Λ , (3.62)
equivalente à expressão (3.12) obtida anteriormente. Por analogia, verifica-se que a cada inteiro
está associada uma onda reflectida de amplitude regida pelo coeficiente em acoplamento
com a onda incidente, num fenómeno de troca de energia electromagnética entre modos, para
intervalos de frequência bem determinados. Esta situação é traduzida fisicamente por uma infinidade
de bandas proibidas de energia de ordem , separadas por múltiplos de no eixo Λ do diagrama de
dispersão do cristal fotónico, a que correspondem as gamas de frequência para as quais cada uma
das ondas planas de Bloch reflectidas sofre uma interferência construtiva de fase nas sucessivas
camadas da estrutura, originando uma reflexão total da radiação incidente, de acordo com a teoria de
Bragg. Assim, de (3.62) e em concordância com (3.52) cada banda proibida genérica de ordem é
caracterizada por uma largura
Δ , (3.63)
regida pelo coeficiente . Da expressão (B.8),
2 1 , (3.64)
que permite calcular os coeficientes da expansão em série de Fourier da função permitividade
dieléctrica para a estrutura periódica típica em análise, retratada na Figura B.1, afere-se que o
módulo dos coeficientes de ordem ímpar, 2 1, com inteiro, é dado por
54
Cristais Fotónicos Unidimensionais
12 1 1 1 1
1, (3.65)
enquanto que o módulo dos coeficientes de ordem par, 2 , é nulo,
12 1 1 1 1 0 . (3.66)
Assim, de (3.23), a expansão em série de Fourier da função permitividade eléctrica vem
, (3.67)
com os respectivos coeficientes sujeitos à sucessão imposta por (3.65),
2 1 12 1
2 12 1 , (3.68)
i.e., cada coeficiente é sempre menor que o que o precede, , pelo que de (3.63)
se conclui que
Δ Δ . (3.69)
De facto, verifica-se que as bandas proibidas, correspondentes a um número de onda de Bloch
complexo e respectiva evanescência da radiação incidente sobre o cristal fotónico, se repetem
indefinidamente para valores de Λ múltiplos ímpares de , caracterizando-se por uma largura cada
vez menor à medida que se faz incrementar a frequência angular de trabalho. Na prática, verifica-se
que a diminuição da largura das referidas bandas se dá de forma muito acentuada, pelo que apenas
as que estão associadas aos primeiros coeficientes são significativas.
3.2.3 Caracterização Matricial das Estruturas Periódicas por Camadas
No que se segue, examina-se analiticamente o caso de interesse no seio dos cristais fotónicos, que
consiste de uma estrutura periódica de camadas alternadas de materiais caracterizados por índices
de refracção distintos e incidência não ortogonal, o que origina uma dependência da relação de
dispersão com a polarização. Ao nível do presente capítulo, admite-se que estes apresentam valores
constantes, tanto em relação à coordenada espacial como ao espectro, uma vez que se admitem
independentes da frequência de trabalho. A consideração de modelos dispersivos é efectuada
apenas no contexto do capítulo seguinte. O perfil do índice de refracção, no seguimento do esquema
da Figura 3.4, com inteiro, é dado por
, Λ Λ , Λ 1 Λ , (3.70)
em que e são, respectivamente, as espessuras das camadas de índice de refracção e ,
conforme se encontra representado na Figura 3.9. A distribuição típica do campo eléctrico ao longo
da estrutura é descrita por
, . (3.71)
55
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Admite-se que a propagação se efectua ao longo do plano , sendo a dimensão espacial que
serve de base à periodicidade da estrutura e a componente segundo o eixo da constante de
propagação, que se assume constante, sendo nula a componente segundo o eixo , 0. Tal
como representado na Figura 3.9, considera-se que o campo eléctrico em cada camada do meio
pode ser descrito com recurso a um vector coluna,
, (3.72)
constituído pelas ondas planas incidente e reflectida, sendo o índice correspondente à -ésima
célula de espessura correspondente ao período Λ e 1,2 a respectiva camada.
Figura 3.9 – Dissecação matricial da estrutura periódica por camadas.
De (3.72), a componente do campo que depende da componente espacial é dada por
, (3.73)
pelo que, de (3.71), a distribuição do campo eléctrico na estrutura vem
, , (3.74)
com o número de onda longitudinal relativo a cada uma das camadas 1,2 de índice de
refracção , descrito pela expressão
, (3.75)
uma vez que o índice de refracção [17] resulta do rácio entre os módulos da constantes de
propagação na estrutura e no vácuo,
. (3.76)
Para estabelecer uma relação entre os vectores colunas que caracterizam cada conjunto de camadas
consecutivas, torna-se imperioso fazer uso das condições na fronteira das interfaces que as separam.
b b ba a a
Célula 1 Célula Célula 1
… …
56
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Nesse sentido, no contexto de uma célula, apenas um dos vectores coluna ou uma componente de
cada um dos vectores coluna pode ser fixados arbitrariamente. Considerando que a propagação se
efectua com suporte em ondas caracterizadas por um campo vectorial eléctrico ortogonal face ao
plano de propagação , i.e., ondas com polarização transversal eléctrica (TE),
0
, (3.77)
a continuidade do campo eléctrico e da sua derivada implica que se verifique
. (3.78)
As condições na fronteira (3.78), aplicadas a uma estrutura periódica genérica como a da Figura 3.9
são deduzidas e obtidas no âmbito do Anexo B.3,
, (3.79)
podendo ser escritas em subconjuntos de duas equações, sob a forma matricial,
1 1
1 1, (3.80)
para a interface 1 Λ e
, (3.81)
para a interface 1 Λ .
Com base no conjunto de equações que regem as condições nas interfaces que separam as
camadas constituintes da estrutura periódica, obtém-se no contexto do Anexo B.4 os coeficientes que
compõem a matriz de transferência, ou transição, . Esta relaciona as amplitudes dos campos
incidente e reflectido em células contíguas, para camadas do mesmo tipo, 1. De realçar que uma
relação entre amplitudes dos campos em camadas do tipo 2 ou para uma polarização diversa,
como a polarização transversal magnética (TM), redundaria numa matriz de transição distinta. Em
todo o caso, trata-se de uma relação entre amplitudes complexas de ondas planas em camadas de
geometria semelhante e caracterizadas pelo mesmo índice de refracção, pelo que a matriz ,
definida pela relação
, (3.82)
57
Cristais Fotónicos Unidimensionais
e pelos coeficientes (B.52)
cos12 sin
12 sin
12 sin
cos12 sin
, (3.83)
é necessariamente unimodular, i.e.,
det 1 1 . (3.84)
De facto, o produto vem, de (3.83),
cos14 2 sin , (3.85)
ao passo que, para o produto , se tem
14 2 sin , (3.86)
pelo que resulta para o determinante de ,
cos sin 1 , (3.87)
tal como previsto.
Como foi referido, é possível fixar arbitrariamente um vector coluna da forma (3.72), tornando todos
os restantes directamente dependentes deste, por meio de uma relação de transformação. Deste
modo, tomando como referência a célula 0, decorre imediatamente que (3.82) assume o carácter
de uma sucessão,
. (3.88)
A expressão (3.88) pode ser escrita na forma
. (3.89)
Dada a inversa da matriz de transferência,
adjdet adj , (3.90)
na qual se faz uso da propriedade da matriz unimodular (3.84), resulta a relação que permite aferir as
amplitudes complexas dos campos em qualquer célula do cristal, dado o seu valor ao nível da célula
de referência,
. (3.91)
58
Cristais Fotónicos Unidimensionais
No contexto do Anexo B.5, encontra-se deduzida a expressão que permite calcular a matriz de
transmissão genérica de uma estrutura periódica caracterizada por células de camadas de
espessuras arbitrárias, caracterizadas por índices de refracção constantes, não dispersivos e
mutuamente distintos,
12
1 11 1
, (3.92)
em que representa o rácio entre os módulos das constantes de propagação (B.59) em duas
camadas sucessivas da estrutura.
3.2.4 As Propriedades Refractivas dos Cristais Fotónicos
Para avaliar a possibilidade de utilização de estruturas baseadas em cristais fotónicos em funções tão
complexas quanto a filtragem, torna-se imperioso caracterizá-las do ponto de vista das suas
propriedades refractivas. Nesse sentido, toda a fenomenologia já analisada, associada à reflexão de
Bragg e à ocorrência de bandas proibidas e permitidas de frequência, se reveste de particular
utilidade, nomeadamente a caracterização matricial supra deduzida.
Do teorema de Bloch, dissecado no contexto da segunda secção do presente capítulo, reverte a
evidência de que a amplitude complexa do campo eléctrico (3.27) no interior da estrutura apresenta
uma evolução do tipo
, , (3.93)
em que se admite, tal como anteriormente, que a incidência se dá paralelamente ao plano , i.e.,
0 e ainda que é periódica de período Λ, ou seja,
Λ , (3.94)
com inteiro. Adicionalmente, depreende-se de (3.93) que a componente do campo que depende da
coordenada longitudinal vem
. (3.95)
Considera-se, por uma questão de simplicidade, a notação , em que a constante representa
o número de onda de Bloch. De (3.71) e (3.73), a componente periódica do campo é descrita por
, (3.96)
na célula 1. Efectuando uma translação espacial correspondente a um período, vem
Λ , (3.97)
para a célula . De (3.94), para 1, resulta
Λ . (3.98)
Assim, de (3.95),
59
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Λ Λ , (3.99)
pelo que a relação entre dois vectores coluna na forma (3.72) correspondentes a camadas do mesmo
tipo e em células contíguas de período Λ da estrutura obedece, por definição, a
Λ. (3.100)
Recuperando a matriz de transferência definida na secção anterior (3.82), redunda
, (3.101)
que constitui uma equação de valores próprios. Desta forma, o factor de fase representa o
conjunto de valores próprios , com 1,2 , da matriz , pelo que cumpre a condição
det 0 0 , (3.102)
em que simboliza a matriz identidade.
Resolvendo (3.102), reverte
0 0 . (3.103)
Recorrendo à fórmula resolvente e ao facto de a matriz ser unimodular (3.84), vem para os valores
próprios o conjunto de duas soluções
42 2 2 1 . (3.104)
Os vectores próprios associados são obtidos com recurso à condição
0 , (3.105)
pelo que se tem
0
0 . (3.106)
Um dos componentes , com 1,2 , do vector próprio associado ao valor próprio , pode
ser imposto arbitrariamente. Assim, assumindo e considerando a equação que resulta da
primeira linha da matriz quadrada de (3.106), vem
0 , (3.107)
pelo que o vector próprio obtido, à parte uma constante arbitrária, se escreve na forma
. (3.108)
De uma forma geral, o vector coluna correspondente a uma célula genérica pode ser obtido a partir
do vector próprio (3.108), fazendo uso da propriedade (3.91),
60
Cristais Fotónicos Unidimensionais
. (3.109)
No que se segue, faz-se uso da espargida e prática relação matemática [84],
ln 1 cosh . (3.110)
Comparando (3.110) com a solução dos valores próprios (3.104) e tomando
2 , (3.111)
obtém-se a expressão
ln 2 2 1 ln Λ cosh 2 , (3.112)
ou, tendo em atenção a relação cosh cos ,
Λ cos 2 1Λ cos 2 . (3.113)
Em (3.110) apenas se fez uso de um dos valores próprios (3.104). De facto, e como já se demonstrou
anteriormente, a matriz de transferência é unimodular (3.87). Uma vez que o determinante de uma
matriz genérica é dada pelo produto dos seus valores próprios, i.e.,
det λ , (3.114)
o valor próprio relativo a 2 pode ser obtido directamente de ,
det 1 1 1
. (3.115)
Uma vez que os coeficientes e (3.83) da matriz de transferência dependem da frequência
angular de trabalho e também da componente da constante de propagação paralela às interfaces que
compõem a estrutura, através do número de onda longitudinal correspondente a cada camada
(3.75), a expressão (3.113) constitui a equação de dispersão na forma , , que relaciona o
número de onda de Bloch com a frequência e com o ângulo de incidência da radiação
electromagnética com o cristal fotónico. Para valores destas grandezas de tal forma que | | 1,
resulta para o número de onda um valor real, que é consistente com a ondas de Bloch que se
propagam ao longo da estrutura. Por outro lado, se | | 1, reverte para um número complexo na
forma (3.41), no que constitui uma situação de evanescência da radiação incidente ao longo da
estrutura. Nesse sentido, volta a ser possível identificar claramente, ao nível da relação de dispersão,
as gamas de frequência e de ângulo de incidência coniventes com as apelidadas bandas permitidas e
proibidas, cujos valores extremos, já escalpelizados na secção anterior (3.37), obedecem à condição
intermédia | | 1.
Nas Figuras 3.10 a 3.18 encontram-se representados os diagramas de dispersão da componente real
do número de onda de Bloch , i.e., , segundo a forma descrita por (3.41), em função da
61
Cristais Fotónicos Unidimensionais
frequência angular de trabalho e da componente da constante de propagação ortogonal à direcção
espacial de periodicidade do meio que, por definição, está estritamente relacionada com o ângulo
de incidência. De facto, por concatenação das Figuras 3.5 e 3.9, resulta, de (3.13),
sin , (3.116)
em que representa o ângulo segundo o qual a radiação electromagnética incide sobre a estrutura
periódica. Nos casos em análise, admite-se que esta é semi-ilimitada e constituída por células que
agregam duas camadas, 1,2 , conforme disposto na Figura 3.9, e cujos índices de refracção
, e espessuras , se fazem variar.
Na Figura 3.10, considera-se um cristal fotónico de baixo contraste, 3,0 e 3,4, o que
configura uma situação de validade da aproximação (3.49) e, consequentemente, de todos os
resultados obtidos na secção relativa ao teorema de Bloch, nomeadamente no que diz respeito às
larguras e extremos das bandas proibidas de frequência, à relação de proporcionalidade directa entre
a largura de cada uma das bandas mencionadas e o respectivo coeficiente da expansão em série de
Fourier da função permitividade eléctrica com o mesmo índice, e ainda à utilização de modelos
elípticos para a caracterização do andamento da componente imaginária do número de onda de
Bloch nas zonas de propagação evanescente. Estas zonas de inexistência de propagação dizem
respeito às regiões do gráfico de coloração mais escura e podem classificar-se em dois grandes
tipos, em função do fenómeno que as origina. Assim, na Figura 3.10, os corredores ou intervalos de
coloração escura que intermedeiam corredores ou intervalos de coloração variável e de largura mais
elevada ao nível do andamento segundo o eixo relativo à frequência angular, constituem as supra
mencionadas bandas proibidas de frequência, cujo tratamento analítico e numérico se encontra
amplamente escalpelizado no contexto das anteriores secções do presente capítulo e que resultam
de interferências de fase construtivas da radiação que é reflectida nas diversas camadas que
compõem a estrutura, segundo o estipulado pela condição de Bragg (3.12). Por outro lado, a grande
região de coloração escura na zona inferior direita do gráfico diz respeito a pares de valores do
número de onda e da frequência angular de trabalho pertencentes a rectas características de
dispersão de índice de refracção efectivo superior aos índices de refracção das camadas que
constituem a estrutura. Esta situação torna-se mais clara no caso de cristais fotónicos de elevado
contraste. Nas Figuras 3.11 e 3.12 encontram-se esboçadas as visualizações tridimensionais do
mesmo diagrama de dispersão, com enfoque para os planos de Λ 0 e Λ 6 ,
respectivamente. É necessário ter em conta que, ao fixar um ponto determinado Λ, redunda de
imediato um plano correspondente a um diagrama de dispersão da componente real do número de
onda de Bloch , face à frequência angular . De (3.48) e (3.63), verifica-se que a largura das
bandas proibidas é proporcional aos coeficientes da expansão em série de Fourier da permitividade
eléctrica e que estes, por seu turno, são directamente proporcionais ao contraste que caracteriza as
camadas da estrutura. Assim, no caso em análise, com baixo contraste, seria de esperar residual
largura das bandas proibidas, o que se confirma por observação das Figuras 3.10 a 3.12. O reduzido
62
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Figura 3.10 – Diagrama de dispersão de com baixo contraste e , .
Figura 3.11 – Visualização tridimensional de , , baixo contraste e , .
Figura 3.12 – Visualização tridimensional de , , baixo contraste e , .
32
3
0
16 10
3 0 0
6
Λ
Λ ·
63
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Figura 3.13 – Diagrama de dispersão de com alto contraste e , .
Figura 3.14 – Visualização tridimensional de , , alto contraste e , .
Figura 3.15 – Visualização tridimensional de , , alto contraste e , .
32
3
0
16 10
3 0 0
6
Λ
Λ ·
64
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Figura 3.16 – Diagrama de dispersão de com alto contraste, , e , .
Figura 3.17 – Visualização tridimensional de , , alto contraste, , e , .
Figura 3.18 – Visualização tridimensional de , , alto contraste, , e , .
32
3
0
16 10
3 0 0
6
Λ
Λ ·
65
Cristais Fotónicos Unidimensionais
contraste está ainda na base do formato aproximadamente linear que os diagramas de dispersão de
exibem em cada plano específico Λ. Esta situação é também marcadamente intuitiva, uma vez
que no caso limite de índices de refracção similares nas duas camadas que compõem cada célula da
estrutura, ou seja, um meio simples caracterizado por , ter-se-ia relações de dispersão
rectilíneas e de declive proporcional a , na senda do formato ilustrado na Figura 3.2.
Na Figura 3.13, representa-se o diagrama de dispersão da uma estrutura geometricamente similar à
retratada pela Figura 3.10, i.e., com 0,5Λ, porém com camadas caracterizadas por índices de
refracção 2 e 4, no que configura uma situação de elevado contraste. Neste caso, as
bandas proibidas são caracterizadas por uma largura muito superior em termos de frequência e as
aproximações anteriormente postuladas perdem validade. As rectas a branco, quer na Figura 3.10,
quer na Figura 3.13, representam as características de dispersão que dois meios simples com índices
de refracção ou apresentariam. Como facilmente se infere por observação das Figuras 3.14 e
3.15, que correspondem a visualizações tridimensionais do mesmo diagrama de dispersão, com
destaque para os planos de Λ 0 e Λ 6 respectivamente, as bandas permitidas e proibidas
apresentam características amplamente diversas em função da sua localização no espaço
geométrico do diagrama de dispersão face aos planos verticais definidos pelas referidas rectas.
Assim, para pares de valores de e pertencentes a rectas características de dispersão fictícias
associadas à propagação em meios de índice de refracção inferior a e , ou seja, de declive
superior a ambas as rectas a branco traçadas na Figura 3.13, as bandas proibidas e permitidas
apresentam um formato tradicional e regular, que se coaduna com o estudo efectuado ao nível do
presente capítulo. No entanto, para pares de valores de e situados na região do diagrama de
dispersão delimitada pelas duas rectas a branco, em virtude da condição elementar (3.75) e uma vez
que se tem um índice de refracção efectivo , a constante de propagação longitudinal
nas camadas 1, , é necessariamente complexa. Deste modo, a propagação é evanescente em
toda a estrutura, uma vez que por força da disposição intercalada do cristal, a constante de
propagação longitudinal nas camadas 2, , depende de . As características de dispersão
num plano específico Λ tornam-se horizontais, como fica particularmente claro na Figura 3.15, o
que anula a largura das bandas permitidas, tornando inexistente a propagação em todo o espectro.
Finalmente, para pares de valores de e pertencentes a rectas características de dispersão
fictícias associadas à propagação em meios de índice de refracção superior a e , no que
corresponde à região do diagrama de dispersão abaixo das rectas a branco na Figura 3.13, tem-se
, pelo que de (3.75) sobressai que a constante de propagação longitudinal , tanto
para a camada 1 quanto para a camada 2, é complexa. Nesse sentido, a propagação é
evanescente em toda a estrutura, conforme demonstra a existência de uma considerável região de
coloração escura na zona inferior direita da Figura 3.13.
Por fim, representa-se na Figura 3.16 o diagrama de dispersão de uma estrutura de elevado
contraste, mas geometricamente díspar, uma vez que se admite que uma das camadas apresenta
uma espessura manifestamente superior face à outra, com 0,95Λ e 0,05Λ. A desigualdade
geométrica do cristal, aliada ao considerável valor do contraste, é responsável por um visível
66
Cristais Fotónicos Unidimensionais
incremento na largura das bandas, quer permitidas quer proibidas, provocando um superior
espaçamento espectral das características de dispersão. Por outro lado, estas especificidades
configuram uma situação particularmente similar à do potencial periódico de Kronig-Penney aplicado
aos cristais electrónicos, no âmbito do precedente capítulo, se se considerar negligenciável a
espessura da camada 2 face ao período Λ da estrutura, ou seja, Λ, o que em primeira
aproximação entraria em analogia com a função delta de Dirac então utilizada para modelar a função
potencial. De facto, da observação das Figuras 3.17 e 3.18, que correspondem à visualização
tridimensional do diagrama de dispersão da Figura 3.16, com relevo para os planos de Λ 0 e
Λ 6 respectivamente, sobressai de imediato, tal como é característico dos cristais electrónicos,
um andamento aproximadamente sinusoidal das características dispersivas, e não linear e rectilíneo
como sucede com as estruturas fotónicas de reduzido contraste. De referir ainda que, nesta estrutura,
apenas a primeira banda proibida se encontra abrangida pela região do diagrama de dispersão
delimitada pelas duas rectas a branco, pelo que apenas se verifica a subsistência de propagação nas
regiões contíguas às bandas proibidas de ordem , com 2 inteiro.
As Figuras 3.19 a 3.24 contêm, tal como anteriormente, a representação do diagrama de dispersão
para as três estruturas periódicas analisadas, mas para o caso da componente imaginária do número
de onda de Bloch , . A zona inferior direita dos gráficos corresponde, conforme já explicitado, a
pares de valores da constante de propagação transversal e da frequência angular de trabalho
pertencentes a rectas características de dispersão fictícias associadas à propagação em meios de
índice de refracção superior a e , i.e., com menor declive que as rectas a branco esboçadas nos
gráficos antecedentes. Esta região, que se coaduna com uma evanescência da propagação ao longo
da estrutura, à qual se encontra naturalmente associado um elevado módulo da componente
imaginária, não é representada nos gráficos seguintes, de forma a realçar a evolução de nas
bandas proibidas, que constituem as zonas de interesse na análise dos cristais fotónicos.
Assim, as Figuras 3.19 e 3.20 contêm, respectivamente, o diagrama de dispersão da componente
imaginária de em função da frequência angular e da constante de propagação transversal e a sua
visualização tridimensional, para o caso de uma estrutura de baixo contraste e camadas de igual
espessura. Na senda do que foi exposto anteriormente, as bandas proibidas de frequência são, nesta
situação particularmente próximas e de reduzida largura, o mesmo sucedendo com a amplitude de ,
que se restringe a uma gama de valores pouco significativa.
Pelo contrário, numa estrutura geometricamente similar mas de elevado contraste, como é o caso do
cristal cujo diagrama de dispersão é retratado pelas Figuras 3.21 e 3.22, as bandas proibidas surgem
mais espaçadas e com dimensões vincadamente superiores, tanto ao nível espectral, com um
incremento da gama de frequências conducentes à evanescência da propagação, quanto ao nível da
amplitude da componente imaginária da constante de propagação, conforme documenta a evidente
divergência na escala de valores patenteada nas Figuras 3.19 e 3.21.
Por fim, as Figuras 3.23 e 3.24 dizem respeito à já referida estrutura geometricamente desequilibrada,
com 0,95Λ e 0,05Λ, e que procura transpor para os cristais fotónicos as propriedades de um
cristal electrónico clássico, descrito por uma função potencial regida pelo potencial periódico de
67
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Figura 3.19 – Diagrama de dispersão de com baixo contraste, , e , .
Figura 3.20 – Visualização tridimensional de , com baixo contraste, 0,5Λ e 0,5Λ.
Figura 3.21 – Diagrama de dispersão de com alto contraste, , e , .
32
3
0
1 10
3 0 0
6
Λ
Λ ·
32
3
0
14 10
3 0 0
6
Λ
Λ ·
68
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Figura 3.22 – Visualização tridimensional de , com alto contraste, 0,5Λ e 0,5Λ.
Figura 3.23 – Diagrama de dispersão de com alto contraste, 0,95Λ e 0,05Λ.
Figura 3.24 – Visualização tridimensional de , com alto contraste, 0,95Λ e 0,05Λ.
32
3
0
8 10
3 0 0
6
Λ
Λ ·
69
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Kronig-Penney. Neste caso, resultam bandas proibidas de formato bastante regular,
aproximadamente sinusoidal em cada plano Λ, bem como um crescimento da amplitude da
componente imaginária do número de onda de Bloch com a frequência. Adicionalmente, é possível
constatar a não existência de sobreposição de modos de propagação.
Em suma, no cômputo das estruturas analisadas, verifica-se por simulação numérica toda a
caracterização anteriormente aventada por via do estudo teórico. Assim, quanto maior a assimetria
geométrica da estrutura, mais espaçadas, amplas e regulares se tornam as bandas proibidas e
permitidas de frequência, tomando-se como caso limite a situação em que a espessura de uma das
camadas que constituem as células de período Λ é infinitesimal, o que está na origem de
características de dispersão similares à dos cristais electrónicos. Por outro lado, quanto mais
reduzido o contraste dieléctrico, menores as larguras das bandas proibidas, tornando-se
aproximadamente rectilíneas as formas das relações de dispersão dos diversos modos, em troços
suficientemente afastados destas. No limite em que se admite índices de refracção similares nas
duas camadas que compõem cada célula da estrutura, ou seja, um meio simples caracterizado por
, revertem de imediato relações de dispersão lineares em todo o espectro e de declive
proporcional a . No extremo oposto, a assumpção de índices de refracção de valores díspares
conduz à maximização da magnitude das bandas proibidas, quer por via da sua largura, quer por
incremento da amplitude da componente imaginária da constante de propagação. Finalmente,
constata-se que a proximidade entre as diversas bandas que caracterizam o cristal fotónico é tanto
mais acentuada, quanto maior a amplitude do número de onda transversal e, por via de (3.116), o
ângulo da incidência da radiação electromagnética. Assim, o espaçamento máximo entre bandas é
obtido no caso particular em que 0 e que diz respeito a uma situação de incidência
perpendicular da radiação sobre a estrutura.
Nas Figuras 3.25, 3.26 e 3.27 é possível observar o andamento das componentes real e imaginária
do número de onda de Bloch com a frequência, para uma estrutura assimétrica do ponto de vista
geométrico, com 0,75Λ e 0,25Λ, e de elevado contraste, particularmente nos planos Λ 0,
Λ 3 e Λ 6 respectivamente, i.e., tomando ângulos de incidência diversos. Dada a
considerável assimetria, 3 , as bandas proibidas ostentam uma largura relevante face às
estruturas de baixo contraste e encontram-se periodicamente espaçadas. No entanto, verifica-se
ainda a sobreposição de modos de propagação em alguns intervalos de frequência, conforme é bem
patente na Figura 3.25. Realce ainda para a forma aproximadamente sinusoidal da característica de
dispersão, que está indexada ao elevado contraste considerado. No plano de dispersão Λ 3 ,
esboçado na Figura 3.26, fica claro que uma zona considerável do espectro se encontra já contida na
região delimitada pelas rectas a branco representadas nas figuras anteriores, de declive proporcional
ao índice de refracção de cada uma das camadas, e que corresponde a uma situação de
evanescência da propagação. De facto, a característica de dispersão torna-se vertical nas gamas de
valores de frequência relativos às bandas permitidas, o que se traduz na anulação da sua largura. No
caso da Figura 3.27, com Λ 6 , todo o espectro analisado se encontra abrangido pela região
mencionada, pelo que resulta um perfil rectangular para a característica de dispersão da componente
70
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Figura 3.25 – Componentes real e imaginária do número de onda de Bloch em Λ 0.
Figura 3.26 – Componentes real e imaginária do número de onda de Bloch em Λ 3 .
Figura 3.27 – Componentes real e imaginária do número de onda de Bloch em Λ 6 .
Λπ
Λπ
Λπ
Λ
Λ
Λ
71
Cristais Fotónicos Unidimensionais
real da constante de propagação. Assim, no intervalo referido, as bandas permitidas apresentam uma
largura infinitesimal e todo o espaço espectral é constituído por bandas proibidas, pelo que as ondas
de Bloch são evanescentes, o que inviabiliza a propagação de radiação electromagnética na
estrutura. Verifica-se ainda que a componente imaginária de ostenta uma característica de forma
não exactamente elíptica, embora esta a posso modelar com razoável precisão, conforme exposto ao
nível da secção relativa ao teorema de Bloch.
Considerando, por uma questão de simplicidade, uma incidência da radiação electromagnética
perpendicularmente à orientação das células que compõem o cristal fotónico, ou seja, 0, reverte
simplesmente de (3.75) a expressão geral da constante de propagação longitudinal relativa a cada
camada do tipo da estrutura,
, (3.117)
pelo que qualquer rácio de constantes de propagação longitudinais se pode escrever na forma de um
rácio de índices de refracção,
, (3.118)
em que e são inteiros não nulos que identificam a camada em questão no contexto de cada
célula. No caso em análise no presente capítulo, com células de duas camadas, tem-se , 1,2 .
Assim, encontra-se patenteada no Anexo B.6 a dedução da versão final da equação de dispersão
, para o caso particular de radiação electromagnética incidindo perpendicularmente sobre a
estrutura periódica,
cos Λ cos cos12 sin sin , (3.119)
que relaciona a frequência angular de trabalho com a constante de propagação correspondente às
ondas de Bloch na estrutura, na situação singular de esta ser constituída por células de duas
camadas, de espessuras e , e às quais estão associados índices de refracção não dispersivos e
espacialmente invariantes, e .
Representam-se nas Figuras 3.28 a 3.31 as soluções da componente real da equação de dispersão
(3.119), correspondentes a diversos modos de propagação das ondas de Bloch para estruturas de
características distintas. Assim, no caso de uma estrutura geometricamente simétrica, na Figura 3.28,
cuja análise em termos da expansão em série de Fourier da função permitividade eléctrica se
encontra na secção relativa ao Teorema de Bloch, redunda de (3.66) que os coeficientes de ordem
par são nulos. Por outro lado, na aproximação de baixo contraste, a largura de cada banda proibida é
directamente proporcional ao respectivo coeficiente (3.63). Confirma-se assim, por via gráfica, que as
bandas proibidas de ordem par apresentam uma largura nula, i.e., apenas ostentam existência
efectiva enquanto hiatos de frequência caracterizados por tornar evanescente a propagação de
radiação electromagnética na estrutura as bandas proibidas de ordem ímpar. De facto, tornando a
estrutura geometricamente assimétrica, por hipótese através da adopção das espessuras 0,75Λ
72
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Figura 3.28 – Múltiplas bandas de energia em Λ 0, com baixo contraste, 0,5Λ e 0,5Λ.
Figura 3.29 – Múltiplas bandas de energia em Λ 0, com baixo contraste, 0,75Λ e 0,25Λ.
e 0,25Λ, resulta o diagrama de dispersão da Figura 3.29, com bandas proibidas de qualquer
ordem com largura não nula. Quer na Figura 3.28, quer na Figura 3.29, fica bem patente a forma
típica da característica de dispersão dos diversos modos presentes num cristal fotónico de reduzido
contraste, aproximadamente rectilínea para gamas de frequência suficientemente afastadas das
bandas proibidas.
No diagrama de dispersão da Figura 3.30, relativo a um cristal fotónico geometricamente simétrico,
porém com 2 e 4, o elevado contraste torna inaceitável a aproximação (3.49) e, por
consequência, a relação de proporcionalidade directa (3.63) entre os coeficientes da expansão em
série de Fourier e a largura das bandas proibidas da mesma ordem, pelo que o aparecimento de
hiatos espectrais não nulos de ordem par emerge com naturalidade. Embora a característica de
dispersão de cada um dos modos de propagação evidenciados por esta estrutura apresente um
Λπ
Λπ
Λ
Λ
73
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Figura 3.30 – Múltiplas bandas de energia em Λ 0, com alto contraste, 0,5Λ e 0,5Λ.
Figura 3.31 – Múltiplas bandas de energia em Λ 0, com alto contraste, 0,95Λ e 0,05Λ.
comportamento aproximadamente sinusoidal com a frequência, constata-se a existência de modos
sobrepostos. O mesmo não sucede no diagrama da Figura 3.31, referente ao cristal fotónico de alto
contraste, marcadamente assimétrico do ponto de vista geométrico. Tal como referido anteriormente,
este apresenta evidentes similitudes com o cristal electrónico clássico de potencial periódico,
segundo o modelo de Kronig-Penney, como comprova o seu espectro de bandas proibidas e
permitidas, esboçado na Figura 2.8.
Considere-se, no que se segue, o caso particular de uma estrutura caracterizada por uma
dependência das espessuras das camadas com o correspondente índice de refracção, na forma
2 , (3.120)
Λπ
Λπ
Λ
Λ
74
Cristais Fotónicos Unidimensionais
no que resulta
2
2
. (3.121)
Substituindo (3.121) em (3.119) e tendo em conta (3.117), vem
cos Λ cos Ωπ2
12 sin Ω
π2 , (3.122)
com a frequência angular normalizada
Ω . (3.123)
O primeiro termo do segundo membro de (3.122) é um produto simples de co-senos, porquanto
necessariamente de módulo não superior à unidade, tornando-se nulo para Ω ímpar. Já o segundo
termo, um produto de senos por uma constante dependente da soma do rácio dos índices de
refracção e com a sua inversa, apresenta um módulo nunca inferior à unidade e anula-se para
valores pares de Ω. Assim, com inteiro positivo, reverte para a equação de dispersão (3.122),
cos Λ12 , Ω 2 1
1 , Ω 2. (3.124)
Para Ω ímpar, tem-se Λ arccos , com 1, que corresponde ao centro das bandas proibidas,
com a constante de propagação de Bloch dada pela expressão clássica (3.41). Por outro lado, com Ω
par, resulta Λ arccos 1 2 , com inteiro, que constitui o centro das bandas permitidas. Estas
são formadas por sobreposição de dois modos de propagação periódicos, conforme é possível
constatar no diagrama de dispersão da Figura 3.32. Um cristal fotónico com estas particularidades do
ponto de vista geométrico é habitualmente designado de estrutura de quarto de onda, da expressão
anglo-saxónica ‘quarter wave stack’, sendo caracterizado pela simetria e regularidade da sua relação
de dispersão. De facto, e conforme retrata a Figura 3.32, as bandas proibidas e permitidas
distribuem-se harmoniosamente pelo espectro e apresentam largura constante, sendo que as últimas
resultam constantemente da sobreposição de dois modos de propagação contíguos. Estas estruturas,
pela previsibilidade e regularidade da sua organização espectral, revestem-se de particular utilidade
no estudo e análise das características reflectivas e refractivas dos cristais fotónicos.
Nas Figuras 3.33 e 3.34 reproduz-se o enquadramento da característica de dispersão de duas
estruturas periódicas, respectivamente de reduzido e elevado contraste, face aos diagramas
correspondentes a dois meios simples de índices de refracção e . Tal como se previra, o
decremento do contraste provoca quer uma diminuição das bandas proibidas, quer uma aproximação
da forma da característica de dispersão do cristal às dos materiais que compõem as respectivas
camadas. A Figura 3.34, em particular, diz respeito à referida estrutura de quarto de onda, de alto
contraste, permitindo evidenciar o andamento regular do número de onda de Bloch, com a frequência,
bem como a constância da distância de separação entre bandas proibidas.
75
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Figura 3.32 – Múltiplas bandas de energia da estrutura de quarto de onda com alto contraste.
Figura 3.33 – Diagrama de dispersão do cristal fotónico de baixo contraste e respectivos meios.
Figura 3.34 – Diagrama de dispersão da estrutura de quarto de onda e respectivos meios.
Λπ
Λ
Λπ
Λπ
Λ
Λ
76
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Para obter as características refractivas do cristal fotónico, recorre-se à equação matricial (3.88), que
relaciona o vector coluna relativo às amplitudes complexas das ondas de Bloch incidente e reflectida
na interface que separa o meio exterior da estrutura com o vector coluna respeitante à célula de
ordem . Admite-se, no que se segue, que o cristal é espacialmente limitado a células, pelo que
esta constitui igualmente fronteira com o exterior, resultando
. (3.125)
A potência da matriz de transferência , no segundo membro da equação, pode ser obtida com
recurso à identidade de Chebyshev, cuja demonstração se encontra documentada ao nível do Anexo
B.7, revertendo a expressão
, (3.126)
onde se introduz a notação
sin Λsin Λ . (3.127)
O coeficiente de reflexão, por definição, é calculado através do rácio das amplitudes complexas das
ondas reflectida e incidente à entrada da estrutura, na condição de não se fazer incidir radiação
electromagnética no final desta, i.e., 0, pelo que se tem
. (3.128)
De (3.125), (3.126) e (3.128), vem
, (3.129)
ou, substituindo (3.127),
sin Λsin Λ sin 1 Λ . (3.130)
A reflectividade [23], que se reveste de particular utilidade no contexto do presente trabalho analítico,
é dada por
| | N| |
| | sin Λsin Λ
, (3.131)
de onde resulta, de imediato, a expressão da transmissividade,
11
1 | | sin Λsin Λ
. (3.132)
O coeficiente da matriz de transferência assume uma importância fulcral no cálculo de grandezas
deste tipo uma vez que, conforme ressalta de (3.131), modela por si só a reflectividade de um cristal
77
Cristais Fotónicos Unidimensionais
baseado numa célula única,
| || | 1 | |
1 . (3.133)
Uma vez que a reflectividade de um cristal fotónico unicelular típico é habitualmente muito inferior à
unidade [22], é possível admitir, por aproximação, que | | . Por outro lado, para estruturas
com um número de células suficientemente elevado, o segundo termo do denominador de (3.131)
varia rapidamente com e, consequentemente, com a frequência angular e com a constante de
propagação transversal que, por seu turno, se encontra directamente indexada ao ângulo de
incidência da radiação electromagnética sobre o cristal. Nesse sentido, o referido termo domina a
estrutura espectral das grandezas em análise, sendo responsável pelas rápidas oscilações que se
podem observar na Figura 3.35, que corresponde à transmissividade de uma estrutura fotónica
geometricamente simétrica e de elevado contraste.
Figura 3.35 – Transmissividade com camadas de espessura similar e alto contraste.
Os nulos de transmissividade coincidem com os centros das bandas proibidas, como fica claro por
comparação da Figura 3.35 com a Figura 3.25, que ilustra o diagrama de dispersão das componentes
real e imaginária do número de onda de Bloch, para a mesma estrutura. Por outro lado, ressalta de
(3.132), com o segundo termo do denominador descrito por uma quociente entre senos com razão de
velocidade de variação de fase de , que a envolvente a transmissividade segue uma envolvente
1
1 | |sin Λ
. (3.134)
esboçada a azul na Figura 3.36. É importante realçar que os resultados alcançados apenas se
revestem de validade no âmbito dos intervalos espectrais correspondentes às bandas permitidas, i.e.,
com real. Nas bandas proibidas, com complexo e dado por (3.41), tem-se
Λ
78
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Λ Λ , (3.135)
com inteiro, resultando para a reflectividade,
| |
| | sinh Λsinh Λ
, (3.136)
e para a transmissividade,
1
1 | | sinh Λsinh Λ
. (3.137)
Figura 3.36 – Envolvente da transmissividade.
Conhecidas as expressões que permitem obter todas as grandezas relacionadas com as
características de reflexão e refracção dos cristais fotónicas, importa proceder à sua aplicação a
estruturas com um comportamento mais regular das características de dispersão, como é o caso das
supra referidas estrutura de quarto de onda, cujo andamento espectral das componentes real e
imaginária da constante de propagação de Bloch se representa na Figura 3.37.
Figura 3.37 – Componentes real e imaginária de da estrutura de quarto de onda.
Ω ·
Λπ
Λ
,
79
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Tal como se previra, o diagrama de dispersão da estrutura de quarto de onda caracteriza-se por uma
distribuição particularmente homogénea das bandas permitidas e proibidas, cuja amplitude e largura
se mantêm inalteradas ao longo de todo o espectro. O correspondente gráfico de transmissividade,
na Figura 3.38, que reproduz com considerável acuidade os resultados alcançados em [60], confirma
estes pressupostos. Para efeitos de simulação numérica, admitiu-se um contraste elevado, com
2 e 4. No entanto, torna-se premente realçar que as oscilações provocadas pelo termo
trigonométrico de rápida variação de fase em (3.132) são de magnitude tanto menor, quanto mais
reduzido o contraste dieléctrico que caracteriza o cristal. Como se referira, os múltiplos ímpares da
frequência angular normalizada Ω correspondem aos centros das bandas proibidas, o que se
coaduna com uma situação de transmissividade nula, ao passo que os múltiplos pares da referida
grandeza dizem respeito aos centros das bandas permitidas, dotando a envolvente da
transmissividade do seu valor máximo.
Figura 3.38 – Transmissividade da estrutura de quarto de onda.
As oscilações mencionadas podem ser observadas com maior rigor na Figura 3.39, que realça a
característica de transmissividade da mesma estrutura no caso particular da primeira banda proibida
de frequência, centrada em Ω 1. Para analisar a dependência da transmissividade com o ângulo de
incidência da radiação electromagnética sobre a estrutura, faz-se variar esta grandeza no intervalo
0,5 ; 0,5 que corresponde, segundo o esquema da Figura 3.5, ao seu intervalo de valores
admissíveis, fixando, em simultâneo, a frequência angular de trabalho. Assim, a característica de
transmissividade da estrutura de quarto de onda, com alto contraste, encontra-se esboçada nas
Figuras 3.40 e 3.41, para Ω 5 e para Ω 6, respectivamente. A primeira é relativa a um valor ímpar
da frequência normalizada, porquanto correspondente ao centro de uma banda proibida, ao passo
que a segunda, baseada num valor par da frequência normalizada, diz respeito ao centro de uma
Ω ·
80
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Figura 3.39 – Pormenor da primeira banda de transmissividade nula.
banda permitida. Nesse sentido, surge com naturalidade a evidência de que a transmissividade
assume os valores 0 e 1, no valor central do eixo das abcissas dos gráficos das Figuras 3.40
e 3.41 respectivamente, uma vez que este corresponde ao caso particular da incidência
perpendicular, i.e., 0 . Deste modo, de (3.116) resulta para a constante de propagação
transversal 0. De referir ainda que, em qualquer dos casos, a variação de para uma frequência
fixa provoca a mutação da característica de dispersão da estrutura, que percorre várias bandas
proibidas e permitidas adjacentes. Esta situação torna-se particularmente clara nos gráficos
referentes aos diagramas de dispersão dos cristais fotónicos em função de e de , das Figuras
3.10 a 3.18. Assim, apenas para um ângulo de reduzida abertura se pode garantir a permanência da
zona de funcionamento numa banda determinada.
Figura 3.40 – Transmissividade em função do ângulo de incidência em Ω 5.
Ω ·
81
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Figura 3.41 – Transmissividade em função do ângulo de incidência em Ω 6.
Por uma questão de rigor, torna-se necessário referir que todos os resultados obtidos por simulação
numérica na presente secção, no âmbito da transmissividade de cristais fotónicos, se baseiam em
estruturas periódicas de 20 células, valor tipicamente aceite como vulgar na literatura, pelo que a
crítica comparativa se reveste de legitimidade. Por outro lado, admite-se que o cristal se encontra
imerso num meio com índice de refracção , que coincide com o da primeira camada em contacto
com o exterior. Só desta forma permanecem válidos todos os pressupostos obtidos no âmbito da
caracterização matricial, introduzida na secção anterior. No caso de se pretender analisar o
comportamento e fenomenologia associados a este tipo de estruturas em ambientes diversos, como
seja o ar ou o vácuo, é necessário levar em consideração as condições fronteira associadas às novas
interfaces, relativas ao início e ao fim do cristal. Assim, a equação (3.125) surge reescrita, de forma a
incluir as novas matrizes de transferência da entrada e da saída ,
. (3.138)
3.3 Novos Paradigmas dos Cristais Fotónicos
A propagação de radiação electromagnética em estruturas periódicas, habitualmente designadas
neste contexto por cristais fotónicos, constitui um ramo científico em franco desenvolvimento. É muito
frequente o estudo, desenho e produção de componentes ópticos baseados nestes, com múltiplas
camadas, definidas por espessuras e características electromagnéticas diversas, organizadas de
forma a suprimir ou aumentar efeitos de reflectividade ou transmissividade ou alterar as suas
propriedades de dispersão ou de polarização [68].
82
Cristais Fotónicos Unidimensionais
Estes fenómenos são análogos aos que se encontram associados às redes cristalinas sólidas, como
os semicondutores, tratadas ao nível do capítulo precedente. Nesse caso, trata-se de caracterizar as
funções de onda relativas a partículas, como os electrões, e que definem univocamente a densidade
de probabilidade da sua localização na estrutura, quando submetidos a um potencial periódico. Tal
como nos cristais fotónicos, surgem bandas proibidas, que nesse caso são gamas de energia que
não se encontram acessíveis. Esta similitude comportamental entre dois tipos de partículas, os
electrões e os fotões, levou a que se apelidassem de cristais fotónicos as estruturas em rede que são
alvo de análise no presente capítulo.
Estas podem ser ou não periódicas, contendo em qualquer dos casos uma, duas ou três dimensões
espaciais. Apenas as redes fotónicas periódicas unidimensionais são alvo de estudo nesta
dissertação, destacando-se neste contexto dois grandes tipos, que diferem pela existência ou não de
características electromagnéticas continuamente variantes. Nos casos em que esta condição se
verifica, o estudo é direccionado para a dissecação da estrutura através da obtenção dos coeficientes
em série de Fourier das funções permitividade eléctrica e permeabilidade magnética. Quando o cristal
consiste de camadas alternadas de materiais de índice de refracção diverso, porém espacialmente
invariantes em intervalos determinados e correspondentes às respectivas espessuras, recorre-se a
um tratamento matricial. Em qualquer das situações, os cristais fotónicos constituem ou estão na
base de dispositivos flexíveis e com dotações diversas, como sejam a utilização como espelhos que
reflectem ondas que sobre eles incidam em determinados ângulos ou como filtros selectivos que
permitem ou evitam a passagem de determinadas gamas de frequência. Torna-se relevante referir
que a obtenção de propriedades deste tipo apenas é conseguida quando as ondas ópticas,
inerentemente periódicas, interagem com a estrutura periódica, o que requer que as referidas
periodicidades sejam compatíveis, no sentido em que apresentem escalas da mesma ordem de
grandeza.
Com o advento dos metamateriais e, mais especificamente, dos meios DNG, o que acarreta a
consequente introdução do conceito de índice de refracção negativo, reveste-se de particular
interesse a análise da influência que a sua inclusão, ainda que parcial, no seio dos cristais fotónicos,
traria ao nível de toda a fenomenologia envolvida. Por outro lado, não é realista considerar que as
características electromagnéticas dos meios que os constituem são espectralmente invariantes, pelo
que é imperativa a consideração de modelos dispersivos. Estas apreciações constituem o cerne do
capítulo seguinte.
Capítulo 4
Cristais Fotónicos com Meios
DNG Dispersivos
Este capítulo constitui uma particularização da análise e caracterização da propagação de radiação
electromagnética em cristais fotónicos de camadas alternadas de materiais de índice de refracção
diverso, efectuada de forma geral no contexto do capítulo anterior, através da introdução de materiais
duplamente negativos, ou DNG. São especialmente enfocadas as peculiaridades que lhes estão
associadas, face aos meios DPS clássicos, e a forma como estas permitem a obtenção de
propriedades não evidenciadas por estruturas periódicas comuns. Adicionalmente, procura-se
emprestar algum realismo ao estudo de cristais deste tipo, abandonando a aproximação grosseira
segundo a qual as características electromagnéticas do meio permanecem invariantes ao longo do
espectro. Assim, são adoptados distintos modelos dispersivos, que acarretam, pelo princípio da
causalidade, a consideração das perdas, em constante comparação com o caso ideal.
84
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
“In an ideal world, magnetic and electrical field
lines can be placed anywhere that the laws of
physics allow and a suitable metamaterial found to
accommodate the desired configuration of fields.”
J. Pendry [85]
4.1 Conceptualização e Desenvolvimento dos Metamateriais
O percurso e o desenvolvimento da ciência sempre foram marcados pela obtenção de fenómenos ou
características não existentes de forma natural no meio ambiente. Assim, através da transformação,
reorientação, combinação e manipulação de materiais básicos, prossegue-se uma demanda contínua
pela consecução de propriedades úteis, de forma cada vez mais acelerada e profunda. O limite óbvio
para esta actividade surge ao nível atómico, uma vez que este constitui o patamar fundamental da
matéria e surge como barreira intransponível à expansão desta actividade.
Desta forma, no contexto de uma evidente necessidade de encontrar um curso de progresso que
avance paralelamente à manipulação pura e simples dos meios, surge a noção de metamaterial. Este
pode ser definido [40], de uma forma simplista, por uma estrutura artificial de materiais, combinados
de forma a obter propriedades vantajosas e incomuns. Mesmo uma definição particularmente flexível
como esta, limita de forma óbvia o conceito pretendido. Na realidade, a noção de material é ela
própria ambígua. Ainda assim, e recorrendo a uma analogia, é possível considerar que os
metamateriais são compostos pelos seus elementos da mesmo forma que a matéria é constituída
pelos átomos. Porém, estes elementos estruturais são materiais convencionais, pelo que os
metamateriais representam o próximo patamar de organização estrutural, o que está na origem da
sua designação. De facto, ao prefixo ‘meta’ atribui-se a conotação de ‘depois’, ‘para além de’ ou
mesmo ‘de tipo superior’. Existe ainda muita controvérsia em torno desta definição, que tem sofrido
permanentes mutações, sobretudo em virtude de se tratar de uma área de amplo tratamento científico
em anos recentes. Porém, é amplamente aceite, no contexto do electromagnetismo [86], que um
metamaterial é um objecto cujas propriedades advêm mais significativamente da sua estrutura e da
forma de organização dos elementos que os compõem, do que das características que estes
ostentam singularmente.
Em termos da influência sobre a radiação electromagnética, o principal efeito que a maior parte dos
materiais clássicos acarreta é o da modelação dos campos que sobre ele incidem, de uma forma bem
determinada e que pode ser descrita pelos parâmetros permitividade eléctrica e permeabilidade
magnética. Com o advento dos metamateriais, estas relações tornam-se amplamente mais
complexas e artificialmente moldáveis, o que está na base da persecução de características
pretendidas para o funcionamento de determinados dispositivos. Nos meios normais, os referidos
parâmetros dependem da escala que se considera. De facto, entende-se por características
electromagnéticas do meio os coeficientes que modelam o comportamento global da estrutura,
85
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
funcionando em bloco e não como um aglomerado de contribuições individuais dos átomos ou
moléculas que a compõem. Assim, só faz sentido a sua assumpção enquanto elementos
caracterizadores do material se a escala das suas dimensões lineares for comparável à dos
comprimentos de onda que estão envolvidos no processo. O mesmo se passa com os metamateriais,
aos quais surgem associados parâmetros caracterizadores globais, como a permitividade, a
permeabilidade ou o índice de refracção, o que implica que os materiais comuns que estão na base
da sua concepção apresentem dimensões desprezáveis face aos comprimentos de onda da radiação
electromagnética envolvida.
Adicionalmente à questão da escala, surge a necessidade de clarificação da problemática referente
ao número de elementos estruturais. Na realidade, um material comum apenas pode ser encarado
enquanto tal quando uma quantidade significativa de unidades individuais que o compõem está
presente, quer se trate de um único tipo ou espécie, quer seja um composto organizado segundo um
padrão determinado. Nesta altura, torna-se relevante frisar que os próprios cristais fotónicos, tema
central da presente dissertação, podem ser classificados como metamateriais [87], quando cumprida
a questão da escala supra referida. No entanto, no âmbito deste trabalho de análise, as estruturas
periódicas estudadas não são analisadas globalmente enquanto matéria indiferenciável, mas sim
enquanto arranjo periódico de células constituídas por camadas alternadas de características
electromagnéticas distintas. Admite-se sim, no âmbito do presente capítulo, que as células
mencionadas são formadas por um par de camadas, sendo uma composta de um material comum e
a outra de um metamaterial, segundo especificidades que adiante se definem. Retomando a questão
do número de elementos, é conveniente referir que no que diz respeito à resposta de um material, o
que por via da analogia previamente explicitada também é válido para um metamaterial, esta traduz a
média ponderada das diversas contribuições individuais, através da adopção de parâmetros de
validade macroscópica. Para que esta seja consistente e mesmo estatisticamente válida, torna-se
imperioso considerar um número elevado de elementos fundamentais.
As questões expostas, relativamente à escala e ao número de unidades individuais, são comuns aos
materiais clássicos e aos metamateriais. No entanto, estes últimos ostentam uma vantagem
competitiva evidente sobre os primeiros. As células ou elementos estruturais são artificiais, pelo que
podem ser desenhadas, esquematizadas e implementadas tendo em vista resultados específicos, ao
contrário do que sucede com os materiais típicos, que são compostos por elementos básicos
encontrados na natureza e listados na tabela periódica. Assim, as características dos metamateriais
podem ser projectadas a partir de um nível primário, podendo os seus elementos, que consistem de
pseudo átomos artificiais, assumir propriedades particularmente variadas. Adicionalmente, por muitos
avanços que se vislumbrem ao nível tecnológico, as manipulações de materiais a nível atómico,
referenciadas no início desta secção, revestem-se de uma complexidade indubitavelmente superior à
que está associada ao arranjo e disposição de materiais comuns segundo uma estrutura ordenada,
tal como sucede nos metamateriais, o que as torna inclusivamente mais dispendiosas. Mais se
constata que, no caso dos metamateriais, é não só possível construir de raiz um meio com
determinadas características electromagnéticas pretendidas, como também é viável o seu ajuste e
controlo durante as operações relativas ao seu funcionamento, usando ferramentas e mecanismos
86
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
inerentes à própria estrutura [40]. Outra vantagem dos metamateriais face aos materiais vulgares diz
respeito à sua inequivocamente mais simples facilidade de análise, especificação e padronização
comportamental. De facto, conhecendo as propriedades associadas a uma única célula fundamental
de um metamaterial, é possível obter de forma fechada e exacta, com recurso às leis da
electrodinâmica clássica, a caracterização e a resposta da estrutura como um todo, através de uma
generalização ponderada, ao nível macroscópico. Nos materiais comuns, por seu turno, as células
fundamentais são os próprios átomos ou moléculas que as constituem, pelo que uma análise deste
género se revestiria de abundante complexidade e implicaria a utilização de recursos científicos mais
gerais, como a mecânica quântica.
Definidos os pressupostos que estão na base da noção e definição de metamaterial, importa
conhecer as suas potencialidades e áreas de aplicação. De entre as classes de metamateriais
presentemente mais comuns, destacam-se os meios dieléctricos e magnéticos artificiais, os materiais
quirais, anisotropia e bianisotropia e principalmente, os meios DNG, ou de Veselago [45], que são
alvo de análise no presente capítulo, enquanto elemento base de camadas de cristais fotónicos, em
alternância com camadas DPS. Estes acrónimos são definidos e escalpelizados na secção seguinte.
Sugeridos pela primeira vez na década de sessenta por Viktor Veselago, os meios DNG constituem o
expoente máximo da actual linha de investigação científica em torno dos metamateriais. Na sua
génese, resultam da conjugação de diversos elementos e matérias, organizados e estruturados de tal
forma que, macroscopicamente, ambas as características electromagnéticas, permitividade eléctrica
e permeabilidade magnética, apresentem, ainda que numa gama reduzida de frequências, um valor
negativo. Como fica claro em secções subsequentes, surge em consequência um índice de refracção
negativo, que está na base de noções aparentemente contraditórias e pouco intuitivas. Constata-se
ainda que o vector de onda associado à radiação incidente sobre estes materiais e o vector de
Poynting partilham a direcção, mas não o sentido. De facto, ao passo que num meio DPS clássico, o
triedro composto pelos campos eléctrico e magnético e pelo vector de onda é direito, num meio DNG
a potência electromagnética flui no sentido diametralmente oposto ao da fase da radiação e o triedro
é esquerdo. Por estes motivos, estes meios são também habitualmente designados por BWM ou
LHM, das expressões anglo-saxónicas ‘Backward Wave Media’ e ‘Left-Handed Media’,
respectivamente.
4.2 Caracterização de Meios DNG
4.2.1 Definições e Nomenclatura
As características electromagnéticas de um meio específico, permitividade eléctrica e
permeabilidade magnética , são grandezas complexas, pois este apresenta inerentemente perdas,
conforme fica claro em secções posteriores. Nesse sentido, podem ser decompostas nas suas
componentes real e imaginária,
87
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
, (4.1)
pelo que se tem
. (4.2)
Define-se por meio DNG ou Duplamente Negativo, do inglês ‘Double Negative’, um material cujas
características electromagnéticas e encontrem condicionas às imposições
, 0 , (4.3)
sendo que um meio comum DPS ou Duplamente Positivo, do inglês ‘Double Positive’, analisado nos
capítulos precedentes no seio dos cristais fotónicos, respeita restrições complementares,
, 0 . (4.4)
Das combinações possíveis de sgn e de sgn , remanescem os meios do tipo SNG ou
Simplesmente Negativo, do inglês ‘Single Negative’, sujeitos à limitação
0 , (4.5)
e que podem ser subdivididos em meios do tipo ENG e MNG, acrónimos para ‘Epsilon Negative’ e
para ‘Mu Negative’, que apresentam a parte real das características electromagnéticas de sinal
oposto e respectivamente, 0 ou 0. O diagrama da Figura 4.1 ilustra a localização de cada
um dos meios considerados num sistema de eixos formado pelas componentes reais de e de .
Figura 4.1 – Diagrama de classificação dos meios.
4.2.2 A Noção de Índice de Refracção Negativo
As relações constitutivas clássicas de um meio genérico encontram-se, na realidade, descritas no
domínio da frequência, ou seja,
Meios
ENG
Meios
DNG
Meios
MNG
Meios
DPS
88
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
, (4.6)
com as respectivas características electromagnéticas, permitividade eléctrica e permeabilidade
magnética, dadas por
11 , (4.7)
onde e representam, respectivamente, as susceptibilidades eléctrica e magnética.
No que se segue, considere-se uma propagação da radiação electromagnética segundo o eixo
espacial e o campo eléctrico polarizado segundo , de tal forma que se tenha
expexp , (4.8)
com o rácio entre módulo da constante de propagação e constante de propagação no vácuo,
, (4.9)
definido pelo índice de refracção, i.e.,
, (4.10)
e com a velocidade da luz no vácuo,
. (4.11)
Considerando as duas primeiras equações de Maxwell,
∂∂ , (4.12)
na situação de inexistência de corrente de condução, 0, e recorrendo aos operadores diferenciais
de espaço e de tempo no plano complexo,
, (4.13)
resulta, tendo em conta as relações constitutivas (4.6),
. (4.14)
De (4.8), tem-se
expexp , (4.15)
pelo que, substituindo (4.14) em (4.15), reverte
89
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
00 , (4.16)
ou, na forma matricial,
0
0. (4.17)
Uma vez que não se pretende obter a solução trivial 0, que corresponde à inexistência de
radiação electromagnética no meio em questão, anula-se o determinante da matriz principal,
0 , (4.18)
que, considerando (4.9) e (4.11), fica
. (4.19)
Dada a definição de índice de refracção (4.10), obtém-se finalmente a expressão que permite a sua
obtenção em função das características electromagnéticas do meio,
. (4.20)
A impedância de onda do meio, por seu lado, de (4.16), vem dada por
. (4.21)
Definindo por impedância de onda normalizada o rácio entre a impedância de onda num meio
genérico e a impedância de onda no vácuo,
, (4.22)
resulta, de (4.9), (4.10), (4.11) e (4.21),
. (4.23)
Definida a impedância de onda normalizada, que fornece uma relação entre as amplitudes dos
campos eléctrico e magnético, e o índice de refracção, que alude à magnitude da constante de
propagação no meio em causa, em ambos os casos face aos seus valores no vácuo, é possível,
considerando (4.21) e (4.23), escrever as equações das amplitudes complexas dos campos na forma
exp
exp , (4.24)
uma vez que, de (4.20), o índice de refracção é da forma
, (4.25)
decomposto nas suas componentes real e imaginária,
90
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
. (4.26)
De (4.24), redunda o valor médio do vector de Poynting,
12
12| | 1
exp 2 . (4.27)
Como facilmente se infere de (4.27), tanto a componente imaginária do índice de refracção como,
por força da relação (4.10), a da constante de propagação, são necessariamente positivas, pois de
outra forma não se verificaria uma extinção da energia ao longo do sentido positivo do eixo ,
coincidente com a propagação da radiação, condição que caracteriza um meio passivo.
No segundo membro da expressão (4.27), tendo em conta (4.23), pode-se escrever o factor que
depende da impedância de onda normalizada como
1. (4.28)
Considera-se que o meio é passivo, i.e., , , 0, e também DNG, logo, , 0.
Adicionalmente, como fica claro em secções posteriores, 0. Assim, a expressão (4.28) é
necessariamente não negativa e a potência flui no sentido positivo do eixo , que coincide com o de
propagação,
· 0 . (4.29)
Com o intuito de obter uma inspecção da expressão para o índice de refracção de um meio DNG,
torna-se necessário efectuar uma análise ao comportamento das características electromagnéticas
deste no contexto do plano complexo. De notar que é possível arrolar uma decomposição de ,
descrito por (4.20), em duas componentes dependentes exclusivamente da permitividade eléctrica e
da permeabilidade magnética,
. (4.30)
É suficiente efectuar o estudo da permitividade eléctrica, uma vez que os resultados relativos à
permeabilidade magnética decorrem por analogia. Nesse sentido, atente-se ao esquema da Figura
4.2, em que e representam, respectivamente, o argumento e o módulo de , que assim pode ser
escrito na forma
exp . (4.31)
De (4.30) e (4.31), definindo
, (4.32)
91
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
Figura 4.2 – Permitividade eléctrica no plano complexo.
tem-se
exp 2
exp 2
, (4.33)
conforme se representa no esquema do plano complexo da Figura 4.3, com as grandezas expressas
em (4.31), para o caso de , descritas por
cos
sin
. (4.34)
Uma vez que, por definição de meio DNG passivo, 0 e 0, resulta cos , sin 0 no que
implica uma gama de variação de ângulo restrita ao intervalo
2 , . (4.35)
Dado que o argumento da componente do índice de refracção corresponde a metade do ângulo
formado pelas componentes real e imaginária da permitividade eléctrica, sobressai de imediato de
(4.35) que o seu valor se encontra limitado ao intervalo
arg 2 4 , 2 . (4.36)
É possível escrever (4.33) na forma
sin 2 cos 2 , (4.37)
92
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
Figura 4.3 – Componente do índice de refracção no plano complexo.
com as relações trigonométricas
cos 21 cos
2
sin 21 cos
2
, (4.38)
ou, substituindo (4.34) em (4.38),
cos 212 1
sin 212 1
. (4.39)
Recorrendo ao esquema da Figura 4.2, a (4.33), a (4.34) e a (4.39), tem-se para as partes real e
imaginária da componente do índice de refracção, com sgn | | e | | ,
| |2 1 1
sgn
1
| |2 1 1
sgn
1
. (4.40)
Da análise desta expressão, facilmente se constata que , o que está de acordo com o
intervalo (4.36) para arg , dado que sgn 1, por se tratar de um meio DNG. Considerando o
caso limite em que não se verificam perdas, i.e., 0, resulta
2
93
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
0
| | | | . (4.41)
Por analogia, e tendo em conta que todos as premissas, gráficos e cálculos são similares para o caso
da permeabilidade magnética, reverte de imediato para a componente do índice de refracção,
| |2 1 1
sgn
1
| |2 1 1
sgn
1
, (4.42)
e no caso limite da inexistência de perdas, 0, a expressão
0
| | | | . (4.43)
Como corolário de (4.41) e (4.43), mantendo a ausência de perdas, 0, e fazendo uso da
expressão (4.30), obtém-se finalmente o índice de refracção relativo a um meio DNG que é, em valor
absoluto, equivalente ao do correspondente meio DPS, mas de sinal contrário,
| | | | , (4.44)
o que constitui demonstração de que, nos meios DNG, é negativo.
No caso mais geral, em que se admite a existência de perdas ao nível de ambas as características
electromagnéticas, de (4.30) e (4.32), fica
, (4.45)
e, tendo em conta a constatação de que , , , que sobressai de (4.40) e (4.42), e também a
condição (4.36), válida por analogia, e que implica que , , , 0, vem
00 . (4.46)
Desta forma, quer o meio DNG apresente ou não perdas, a parte real do índice de refracção é
inerentemente nula. Mais se observa que, de (4.33),
exp exp 2 , (4.47)
ou seja, o argumento de é calculado através da média dos ângulos que relacionam as componentes
real e imaginária de cada uma das características electromagnéticas. Dado que estes se encontram
limitados à gama de valores (4.36), que também é válida para , por analogia, arg encontra-se
condicionado ao intervalo
94
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
arg 2 2 , , (4.48)
conforme se representa no esquema da Figura 4.4.
Figura 4.4 – Índice de refracção no plano complexo.
Destes resultados sobressai a sustentação teórica das BW, expressão utilizada para designar ondas
de radiação electromagnética que apresentam um sentido de propagação inverso ao do sentido do
fluxo de potência associado. De facto, a constante de propagação é proporcional ao índice de
refracção segundo a expressão (4.10), pelo que se tem
, (4.49)
ou decompondo nas componentes real e imaginária,
. (4.50)
Como fica claro por análise das equações (4.24) e (4.27), a parte imaginária da constante de
propagação actua como factor de atenuação exponencial da energia electromagnética, ficando
indexada à parte real a definição da direcção e sentido da propagação, bem como da velocidade de
fase. De (4.29), (4.46) e (4.50), redunda
· 0· 0 , (4.51)
ou seja, tal como se referira anteriormente, a constante de propagação e o vector de Poynting
partilham a direcção, mas não o sentido. De facto, ao passo que num meio DPS clássico, o triedro
, , é direito, num meio DNG a potência electromagnética flui no sentido diametralmente oposto
ao da fase da radiação, i.e., o triedro , , é esquerdo, conforme se ilustra na Figura 4.5.
95
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
Figura 4.5 – Orientação espacial dos campos, vector de Poynting e constante de propagação.
4.2.3 Cristal Fotónico DPS-DNG
Definidas as condições que estão na base da noção de um meio DNG, nomeadamente o facto de,
quer as características electromagnéticas permitividade e eléctrica e permeabilidade magnética, quer
o índice de refracção, apresentarem parte real negativa, procede-se, no que se segue, à sua
aplicação no seio dos cristais fotónicos, escalpelizados no capítulo precedente. Numa primeira fase,
torna-se necessário recuperar a formulação clássica da relação de dispersão das estruturas
periódicas no caso particular de incidência perpendicular da radiação electromagnética, i.e., 0,
tal como ficou demonstrado no Anexo B.6 e amplamente analisado no contexto do Capítulo 3,
cos Λ cos cos sin sin , (4.52)
em que a semi-soma do rácio dos índices de refracção com o seu inverso é definido por
12 1 . (4.53)
Assume-se que não se verifica quer dependência espectral das características electromagnéticas
quer perdas, pelo que as características electromagnéticas dos meios envolvidos assumem a
natureza de grandezas reais. Mais se considera que o cristal fotónico apresenta um valor absoluto de
similar ao nível das camadas DPS e DNG, ou seja, | | | |, e que a sua estrutura segue a
representação esboçada na Figura 4.6.
Figura 4.6 – Representação esquemática de um cristal Fotónico DPS-DNG.
Meio DPS Meio DNG
…
0 0 0 0
0 0 0 0
DPS DNG DPS DNG
96
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
Tendo em conta as expressões do índice de refracção (4.20) e da impedância de onda (4.23), é
possível reescrever (4.53) na forma
12
12
12 , (4.54)
em que e , representam respectivamente as impedâncias de onda nas camadas 1 e 2.
De um ponto de vista genérico, recorrendo a (4.2) e a (4.25), a impedância de onda normalizada
(4.23) pode ser escrita como
, (4.55)
pelo que, por analogia com os resultados obtidos na secção anterior para o caso do índice de
refracção (4.41) e (4.43), no caso de se admitir inexistência de perdas, vem, para um meio DNG,
| |
| |
| |
| |0 , (4.56)
e, por via de (4.23), também 0, i.e., as impedâncias de onda relativas aos meios que constituem a
estrutura periódica são positivas, quer se trate de um material DPS, quer seja DNG. Assim, a
expressão (4.53) permanece invariante, independentemente do meio considerado. O mesmo não
sucede no caso das constantes de propagação , descritas por (3.117),
, (4.57)
que são directamente proporcionais aos índices de refracção respectivos. Relativamente às camadas
1, constituídas por meios DNG, presencia-se a formação das supra referidas Backward Waves
(BW), resultando 0. Nas camadas 2, por seu turno, o material é DPS, no que reverte 0.
Substituindo estas considerações em (4.52), obtém-se a equação de dispersão fundamental [88] de
um cristal fotónico DPS-DNG,
cos Λ cos | | cos12 sin | | sin . (4.58)
Considerando o caso particular da estrutura de quarto de onda, com as espessuras das camadas
dadas por (3.121), a relação de dispersão vem
cos Λ cos Ωπ2
12 sin Ω
π2 , (4.59)
com a frequência angular normalizada,
Ω . (4.60)
Tendo em atenção a expressão trigonométrica clássica
97
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
cos sin 1 , , (4.61)
verifica-se, dada a condição (4.53), que os membros da equação (4.59) apresentam um valor nunca
inferior à unidade. Assim, com inteiro, a constante de propagação de Bloch é imaginária pura em
todo o espectro, à excepção dos pontos
sin Ωπ2 0 Ω 2 , (4.62)
ou seja, a parte real de é discreta [61], só se manifestando para valores pares da frequência
angular normalizada. Nesse caso, tem-se
cos Λ 1 2 Λ . (4.63)
Conforma retrata a Figura 4.7, a componente imaginária do número de onda de Bloch, da qual
apenas se representa o primeiro modo, anula-se em pontos discretos do espectro, nos quais a
respectiva componente real se manifesta, através de modos diversos, periodicamente espaçados nos
eixos e .
Figura 4.7 – Componentes real e imaginária de uma estrutura de quarto de onda DPS-DNG.
Numa estrutura deste tipo, cada frequência discreta, correspondente a uma onda plana com
também ele discreto, leva a que cada camada se torne transparente para os meios vizinhos, no que
se coaduna com a criação de um modo de propagação ao longo do cristal. Por outro lado, radiação
incidente caracterizada por qualquer outra frequência satisfaz a condição de Bragg, conduzindo à sua
total reflexão pelas células que compõem a rede. Desta forma, torna-se possível a obtenção de picos
de transmissividade acentuados centrados nestes valores da frequência angular, conforme é visível
na Figura 4.8, que traduz o gráfico correspondente a um cristal fotónico de camadas alternadas DPS-
DNG, face à representação clássica já esboçada no capítulo anterior, respeitante a um cristal DPS-
DPS simples. A largura das bandas de transmissividade é consideravelmente reduzida, o que permite
a sua utilização como filtro selectivo de elevado factor de qualidade, e tanto menor quanto mais
Λπ
Ω ·
98
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
elevado o número de células que constituem a estrutura periódica, tal como fica claro na Figura 4.9, o
que confirma os resultados de [60].
Figura 4.8 – Transmissividade de cristais fotónicos DPS-DPS e DPS-DNG.
Figura 4.9 – Transmissividade de cristal fotónico DPS-DNG com número variável de células.
Ω ·
Ω ·
99
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
O fenómeno de discretização da constante de propagação que está na base da estrutura de quarto
de onda constitui uma ressonância obtida por via puramente geométrica, e que está relacionada com
a dependência das espessuras das camadas com os índices de refracção respectivos. No entanto,
qualquer ligeiro desequilíbrio a este nível provoca a perda de ressonância e o aparecimento gradual
de bandas permitidas, visível nas Figura 4.10 e 4.11. Este desfasamento é cíclico na frequência, pelo
que, a intervalos espectrais bem definidos, se repetem pontualmente as condições que configuram
uma estrutura de quarto de onda.
Figura 4.10 – Crescimento das bandas permitidas em estrutura de quarto de onda desequilibrada.
4.3 Modelos Dispersivos
4.3.1 Os Meios DNG como Subconjunto dos Meios NIR
Os resultados obtidos no contexto das Figuras 4.10 e 4.11 deixam antever a influência que
fenómenos como a dependência espectral dos parâmetros electromagnéticos podem acarretar ao
nível das características de dispersão e de transmissividade de cristais deste tipo. De facto, a
subordinação dos índices de refracção ao valor da frequência, alvo de análise nesta secção e
subsequentes, constitui um efeito inerente a qualquer meio na natureza, e que não pode ser
negligenciado, uma vez que produziria efeitos similares aos de desequilíbrios geométricos
anteriormente descritos, alterando por esta via as características comportamentais do cristal. É
habitual calcular as densidades médias de energia eléctrica e magnética através das expressões
Ω ·
Λπ
100
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
Figura 4.11 – Variação da constante de propagação em estrutura de quarto de onda desequilibrada.
14
| |
14
| | . (4.64)
Na realidade, as equações (4.64) constituem uma aproximação que resulta de se considerar que o
meio é não dispersivo. Trata-se de uma solução forçada e irrealista, uma vez que não é possível a
verificação deste pressuposto na prática. Com efeito, quando um determinado meio é excitado por via
de energia electromagnética, o princípio da causalidade impõe que a sua resposta impulsiva apenas
se inicie após esse instante e nunca a priori, uma vez que de outra forma se estaria a admitir a
suposição incongruente de que o material possui capacidade de se antecipar a variações futuras das
condições a que é submetido. Por outro lado, em meio algum o vector polarização acompanha
instantaneamente a aplicação de um campo electromagnético, pelo que as relações constitutivas
clássicas (4.6) se encontram, na realidade, descritas no domínio espectral, e não no domínio do
tempo, tal como se referira. Ainda assim, a utilização das aproximações (4.64) pode ser levada a
cabo com validade em alguns meios, sobretudo quando os campos se caracterizam por uma reduzida
intensidade, podendo desta forma considerar-se, por aproximação, lineares. No caso dos meios
DNG, no entanto, tal é inviável, desde logo pela constatação simples e imediata de que se obteria
valores negativos para as densidades médias de energia eléctrica e magnética, por via da própria
definição de meio duplamente negativo (4.3). Assim, torna-se vital recorrer às expressões exactas
[89] que permitem o cálculo destas grandezas para meios dispersivos,
14
| |
14
| | , (4.65)
que naturalmente, no caso particular em que as características electromagnéticas do meio não
apresentam qualquer dependência com a frequência, resultam nas expressões (4.64).
Ω ·
Λπ
101
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
A constatação da obrigatoriedade da consideração da dispersão em meios DNG obriga à utilização
de modelos para o andamento espectral de e , que são analisados em seguida. De realçar que,
em consequência directa do princípio da causalidade, qualquer modelo deve levar em consideração a
existência de perdas, i.e., a dispersão e as perdas constituem duas realidades indissociáveis. Esta
presunção é suportada pelas relações da transformada de Hilbert, ou de Kramers-Kronig [68],
1 2
21 , (4.66)
que evidenciam a correspondência entre as componentes real e imaginária da função de
transferência de um sistema linear e invariante no tempo causal, pelo que se uma das partes é
conhecida em todo o espectro, a outra fica imediatamente determinada.
Considere-se então um modelo de Lorentz [68] para as características electromagnéticas do meio,
que se admite ainda linear, isotrópico e desprovido de acoplamento magnetoeléctrico,
1
1 , (4.67)
em que Γ , , , e , representam, respectivamente, as frequências de colisão, relativas às
perdas, as frequências de ressonância e as frequências de plasma, quer no caso da permitividade
eléctrica, quer para a permeabilidade magnética.
É possível discriminar as partes real e imaginária de , por via de manipulação algébrica simples,
ΓΓ
ΓΓ
. (4.68)
Para determinar a banda de frequências consistente com um meio DNG, i.e., com a parte real da
permitividade negativa, torna-se necessário anular esta componente,
0 2 Γ 0 , (4.69)
e, acto contínuo, aplicar a fórmula resolvente,
2 2 Γ Γ 2Γ 4Γ , (4.70)
da qual resultam os extremos da banda espectral que se caracteriza por conduzir a valores
negativos da componente real da permitividade eléctrica. No caso específico em que se admite a
inexistência de perdas, Γ 0, vem
, (4.71)
102
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
tendo-se, por analogia, para a permeabilidade magnética,
. (4.72)
Os pares de frequências angulares (4.71) e (4.72) delimitam ao intervalos espectrais em que a
permitividade eléctrica e a permeabilidade magnética, respectivamente, apresentam parte real
negativa. Por definição, o meio torna-se DNG na intersecção dos referidos conjuntos, i.e., no intervalo
, , , . (4.73)
Admitindo que (4.73) constitui um conjunto não vazio e que se verificam as condições relacionais
, a gama de frequência para a qual o meio é duplamente negativo vem
simplesmente
, , . (4.74)
Considerando um modelo de Drude [89], posteriormente analisado, e que parte da premissa de que
as frequências de ressonância são nulas, ou seja, 0, vem, de (4.70), para a
permitividade
0
Γ , (4.75)
e, por analogia, para a permeabilidade,
0
Γ , (4.76)
pelo que, no contexto deste modelo, a gama de frequências correspondentes à classificação do meio
como duplamente negativo obedece à intersecção
, , , 0, 0, , (4.77)
no que resulta
, 0,min , . (4.78)
No que se segue, introduzem-se os comprimentos de onda
2 2
2
2
2
, (4.79)
no que resulta para a permitividade eléctrica, de (4.67),
103
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
11
. (4.80)
Introduzindo as variáveis
1 2
21
2
, (4.81)
redunda, após manipulação algébrica, o modelo de Lorentz para a permitividade eléctrica,
11 1
, (4.82)
e, por analogia, para a permeabilidade magnética,
11 1
. (4.83)
Nas Figuras 4.12 e 4.13 representam-se as curvas referentes ao modelo de Lorentz, para as
componentes real e imaginária da permitividade eléctrica e da permeabilidade magnética,
considerando, para efeitos de simulação numérica, os valores 1, 0,8, 100,
0,3 e 0,32 . De destacar os comprimentos de onda de ressonância, que
correspondem a transições abruptas do sinal das componentes reais, bem como a máximos das
componentes imaginárias, relativas às perdas.
Figura 4.12 – Modelo de Lorentz para as partes reais da permitividade e permeabilidade.
0,2122
0,2386 0,3200
0,3000
DNG
104
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
Figura 4.13 – Modelo de Lorentz para as partes imaginárias da permitividade e permeabilidade.
Tal como previsto pelas equações (4.71) a (4.74), os intervalos correspondentes a componentes reais
negativas das características electromagnéticas apresentam uma zona de sobreposição, que constitui
a gama espectral para a qual o meio é DNG, assinalada a sombreado na Figura 4.12, e que é
delimitada por
, , 0,2386; 0,3000 . (4.84)
As duas regiões restantes a sombreado dizem respeito às zonas em que o meio se comporta como
SNG, particularmente como ENG no intervalo
, 0,2122; 0,2386 , (4.85)
e como MNG no intervalo
, 0,3000; 0,3200 . (4.86)
Das expressões (4.34) e (4.45), resulta a simulação numérica do modelo de Lorentz para o
andamento espectral do índice de refracção de um meio caracterizado pela permitividade eléctrica
(4.82) e pela permeabilidade magnética (4.83), cujas componentes real e imaginária se encontram
esboçadas nas Figuras 4.14 e 4.15, respectivamente. De notar que a região do espectro na qual a
parte real de é negativa, habitualmente apelidada de NIR, da expressão anglo-saxónica ‘Negative
Index of Refraction’, é restringida pelos comprimentos de onda
, 0,2280; 0,3090 . (4.87)
Fica desta forma claro, da análise das gamas de valores (4.84) e (4.87), que o facto de o meio
apresentar um índice de refracção negativo, embora necessário, não constitui condição suficiente
para que seja DNG, i.e., o intervalo de frequências que tornam o meio DNG é um subconjunto do
intervalo que conduz a uma parte real do índice de refracção negativa, ou NIR. Esta situação torna-se
particularmente evidente por observação do esquema da Figura 4.15, que se encontra sobreposto à
componente imaginária de .
105
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
Figura 4.14 – Modelo de Lorentz para a parte real do índice de refracção.
Figura 4.15 – Modelo de Lorentz para a parte imaginária do índice de refracção.
Da expressão (4.46), que permite obter a componente real do índice de refracção, ressalta a
condição que é necessário impor para que o meio seja NIR,
, (4.88)
ou, tendo em conta (4.40) e (4.42),
, (4.89)
no que resulta, após manipulação algébrica,
. (4.90)
No caso dos meios DNG, com , 0, verifica-se
NIR
0,2280 0,3090
DNG DPS DPS
NIR
106
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
, (4.91)
que, como fica claro, constitui um caso particular da condição (4.90), necessária para que o meio seja
NIR, i.e., apresente um índice de refracção negativo.
4.3.2 Modelos Dispersivos Simplificados
O modelo de Drude, mencionado na secção anterior, constitui uma particularização do modelo de
Lorentz, em que se admite que tanto a permitividade eléctrica quanto a permeabilidade magnética
apresentam uma frequência de ressonância nula, ou seja, 0, pelo que, de (4.67), vem
1 Γ
1Γ
. (4.92)
Considerando, para efeitos de simulação numérica, que tanto a frequência angular de plasma
normalizada, quanto a frequência de colisão, são similares para e , e dadas, respectivamente, por
Ω Ω Ω µ 140 e Γ Γ Γ 1,2 10 Ω , resulta o gráfico da Figura 4.16, que caracteriza o
andamento espectral da componente real de , e , bem como o gráfico da Figura 4.17, que contém
a curva da componente imaginária das mesmas grandezas. Como era expectável, a evolução do
índice de refracção com a frequência sobrepõe-se, nos dois gráficos mencionados, à das
características electromagnéticas do meio, em virtude de se ter adoptado valores equivalentes para
ambas. Por outro lado, e também em consequência disto, as regiões SNG são inexistentes, ou de
largura nula, pelo que se trata de um caso peculiar em que o conjunto DNG é coincidente com o
conjunto NIR.
Figura 4.16 – Modelo de Drude para a parte real do índice de refracção.
Ω ·
107
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
Figura 4.17 – Modelo de Drude para a parte imaginária do índice de refracção.
De facto, um dos grandes desafios que a realização de meios deste tipo comporta é o de tornar as
ressonâncias da permitividade eléctrica e da permeabilidade magnética tão próximas quanto possível,
de forma a que a região DNG tenha uma largura similar à da região NIR, no que confere um máximo
aproveitamento das capacidades do meio enquanto metamaterial. Tal possibilita ainda, por via
indirecta, que se trabalhe em regiões aproximadamente lineares, evitando variações abruptas das
grandezas envolvidas, que estão muitas vezes na origem da total distorção das características e
funcionalidades pretendidas para os dispositivos aos quais servem de base.
Nesse sentido, é muito comum nesta área a adopção do modelo dispersivo não causal que, embora
não considere as perdas, o que, na senda do que foi referido na secção anterior, o torna irrealista, é
bastante razoável como solução aproximada num número considerável de casos, no domínio das
microondas [90]. A evolução das características electromagnéticas do meio vem assim, com o
coeficiente 0 1,
Ω 1ΩΩ
Ω 1Ω
Ω Ω
. (4.93)
Admitindo a frequência de plasma normalizada Ω 200 e a frequência de ressonância normalizada
Ω 80, tem-se 0 para Ω 200 e 0 para Ω 200. Por outro lado, tem-se 0
para Ω 80 e, para se fixar 0 para 80 120, é necessário impor para o valor
0 Ω
1 1ΩΩ 0,5556 . (4.94)
As características espectrais da permitividade eléctrica e da permeabilidade magnética, na Figura
4.18, e do índice de refracção, na Figura 4.19, confirmam por via de simulação numérica, os
parâmetros previamente assumidos para o modelo. As zonas a sombreado, em ambos os gráficos,
permitem realçar as regiões em que o meio é SNG ou DNG, em função da variação da coloração.
Ω ·
108
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
Figura 4.18 – Modelo dispersivo não causal para a permitividade e permeabilidade.
Figura 4.19 – Modelo dispersivo não causal para o índice de refracção.
Observando o diagrama da Figura 4.3, facilmente se constata que, em face da inexistência de
perdas, que se manifesta por uma componente imaginária nula das características electromagnéticas
do meio, se verifica , , com inteiro e par ou ímpar, respectivamente quando as
componentes reais destas grandezas são positivas ou negativas. Por outro lado, os módulos são
simplesmente dados por | | e | | e, de (4.33) e (4.45), ressalta
exp 2 exp 2| | | | exp 2 exp 2 , (4.95)
pelo que o índice de refracção, em cada região do espectro, vem
| | | | exp 0 exp 0 | | | |
| | | | exp 2 exp 2| | | |
| | | | exp 2 exp 0 | | | |
| | | | . (4.96)
Ω ·
Ω ·
DNG SNG SNG
DNG SNG SNG
109
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
Estas expressões estão de acordo com as regiões esboçadas na Figura 4.19. De notar que apenas
as regiões DPS e DNG apresentam parte real não nula, pelo que nas zonas SNG a propagação é
evanescente. Torna-se relevante realçar que esta situação deriva da premissa irrealista de que o
meio não apresenta perdas o que, tal como se referia na secção anterior, colide com as relações de
Kramers-Kronig (4.66).
4.4 Modelo Real dos Cristais Fotónicos DPS-DNG
4.4.1 Os Efeitos da Dependência Espectral
Introduzidos os modelos que permitem avaliar o efeito dispersivo inerente às características
electromagnéticas do meio, importa estimar o seu efeito sobre o comportamento das curvas de
transmissividade de cristais fotónicos típicos. Para tal recorre-se à estrutura de quarto de onda, QWS,
amplamente estudada em secções anteriores, e cujo diagrama de transmissividade, no caso em que
se negligencia a dispersão, se encontra esboçado na Figura 4.9, para um número variável de células
que compõem a estrutura. Verificara-se então que as propriedades refractivas particularmente
harmoniosas e homogéneas deste tipo de cristal fotónico assentam no surgimento de valores
discretos da componente real da constante de propagação, coincidentes com a anulação da
componente imaginária respectiva e sucessivamente equidistantes. Por outro lado, foi possível
concluir que as bandas de transmissividade notavelmente estreitas, o que se reveste de particular
utilidade na construção de filtros selectivos, resultam desta ressonância geométrica, que se
caracteriza por ser peculiarmente instável. De facto, conforme ilustram as Figuras 4.10 e 4.11,
qualquer ligeira perturbação na espessura das camadas que compõem cada célula, indexadas ao
índice de refracção respectivo, desequilibra a estrutura, distorcendo inapelavelmente as propriedades
anteriormente registadas. Dada a relação biunívoca entre o período da estrutura e o índice de
refracção, torna-se crível que uma perturbação espectral ao nível deste último, como seja o efeito
dispersivo, alvo de análise no presente capítulo, produza o mesmo efeito, pelo que qualquer estudo
que verse sobre as propriedades refractivas de cristais fotónicos deve incluir, impreterivelmente, os
efeitos dispersivos do meio e as perdas que estes acarretam, por via das relações de Kramers-
Kronig.
Admite-se, em primeira análise, que as perdas são negligenciáveis e que a dispersão se manifesta
simplesmente sob a forma de características rectilíneas de declive variável , na forma
Ω Ω Ω , (4.97)
em que o coeficiente representa o valor da permitividade e da permeabilidade no ponto de
frequência angular normalizada nula, Ω 0, escolhido de tal forma que estas sejam pontualmente
similares ao caso não dispersivo em Ω 100.
110
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
No que se segue, em todas as representações gráficas relativas a cristais fotónicos DPS-DNG
tocantes aos diversos modelos dispersivos já mencionados, considera-se, salvo indicação em
contrário, que as componentes real e imaginária da constante de propagação, bem com a
característica de transmissividade, são regidos pelo esquema de cores descrito na Figura 4.20.
Figura 4.20 – Legenda das figuras relativas aos modelos dispersivos de cristais DPS-DNG.
O gráfico da Figura 4.21 contém, para efeito de comparação, a curva de transmissividade de uma
rede cristalina unicelular, nos casos que se considera ou negligencia o modelo dispersivo linear, com
um declive elevado, 0,1. Como se observa, o efeito de dependência espectral sobre as
características electromagnéticas do meio provoca um incremento do valor médio da componente
imaginária da constante de propagação, em contraste com o diagrama de dispersão do meio ideal,
retratado na Figura 4.7, o que impõe uma diminuição do valor médio da transmissividade ao longo do
intervalo examinado.
Figura 4.21 – Transmissividade com 1 e modelo linear com 0,1.
Idêntica análise pode ser feita para os gráficos das Figuras 4.22, 4.24 e 4.25, respeitantes ao modelo
linear, com declive progressivamente menor. Tal como anteriormente se explicitara, a componente
imaginária deixa de se anular apenas nos pontos discretos correspondentes a valores pares da
frequência angular normalizada Ω, o que introduz efeitos diversos. Por um lado, as anteriormente
estreitas bandas de passagem alargam, em virtude da eliminação da discretização da constante de
propagação, o que está igualmente na origem do surgimento de lobos laterais, provocados pela
,Λπ
Ω ·
111
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
rápida oscilação do valor de . Por outro lado, são criadas pequenas bandas de passagem
secundárias, que intermedeiam as principais, em consequência dos troços anteriormente
inexistentes, em que 0. De notar que, como se torna particularmente claro na Figura 4.25, com
um declive já relativamente baixo, no que constitui uma situação de quase constância do índice de
refracção, apenas na vizinhança da frequência central Ω 100, se dá uma sobreposição parcial das
características de transmissividade dos meios com e sem modelo dispersivo, o que dá ideia da total
adulteração que a não consideração deste efeito pode imprimir aos resultados obtidos. A título
ilustrativo, representa-se na Figura 4.23 o diagrama de dispersão do cristal com modelo linear de
declive 0,01 que, quando comparado com o da Figura 4.7, no caso ideal, contribui para reforçar a
ideia da relevância dos modelos dispersivos.
Figura 4.22 – Transmissividade com 5 e modelo linear com 0,1.
Figura 4.23 – Diagrama de dispersão com 5 e modelo linear com 0,01.
O procedimento é repetido na obtenção dos gráficos das Figuras 4.26 a 4.29, para um cristal fotónico
DPS-DNG de 20 camadas e modelo dispersivo linear, com declive progressivamente menor. Tal
como se verificara anteriormente, o constante incremento do valor médio da componente imaginária
de , na Figura 4.26, provoca uma gradual diminuição do valor médio da transmissividade.
Ω ·
Ω ·
,Λπ
Λπ
112
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
Figura 4.24 – Transmissividade com 5 e modelo linear com 0,01.
Figura 4.25 – Transmissividade com 5 e modelo linear com 0,005.
Nas Figuras 4.27 e 4.29, com declives menos acentuados, dá-se uma maior aproximação da
característica de transmissão à situação ideal. No entanto, à medida que se caminha para zonas
espectrais mais afastadas da frequência central Ω 100, as bandas permitidas, que se caracterizam
por uma parte real nula da constante de propagação, abrangem uma maior gama de frequências, o
que está em estreita relação com o alargamento das regiões de transmissividade aproximadamente
unitária, perdendo-se alguma da capacidade de filtragem selectiva.
Figura 4.26 – Transmissividade com 20 e modelo linear com 0,1.
Ω ·
Ω ·
,Λπ
,Λπ
Ω ·
,Λπ
113
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
Figura 4.27 – Transmissividade com 20 e modelo linear com 0,01.
Figura 4.28 – Diagrama de dispersão com 20 e modelo linear com 0,001.
Figura 4.29 – Transmissividade com 20 e modelo linear com 0,001.
Admita-se agora que a dispersão do meio é bem descrita pelo modelo dispersivo não causal,
analisado na secção anterior, que embora negligencie as perdas, tal como o modelo linear, apresenta
um comportamento que é possível aproximar com elevado grau de razoabilidade a muitos materiais,
especialmente no domínio das microondas. Tal como fica evidente nas Figuras 4.18 e 4.19, apenas
existe propagação ao longo da estrutura periódica no intervalo espectral Ω 80,120 , que coincide
com a zona na qual o meio é DNG. Nas regiões SNG adjacentes, o índice de refracção torna-se
imaginário puro (4.96), o que está na origem da evanescência da radiação incidente sobre o cristal.
De facto, apenas nas regiões DPS e DNG se consegue antever passagem de energia
Ω ·
Ω ·
Ω ·
,Λπ
,Λπ
Λπ
114
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
electromagnética e consequente transmissividade não nula. Representa-se na Figura 4.30 a evolução
desta grandeza em função da frequência, em comparação com o caso em que se despreza o modelo
dispersivo, bem como a componente imaginária da constante de propagação, para uma estrutura
unicelular. Esta apresenta valores médios mais elevados junto aos extremos da banda analisada, em
virtude de estes constituírem intervalos de transição para regiões DNG, nas quais é imaginário
puro, e uma oscilação mais acentuada na vizinhança de Ω 80. De facto, trata-se da frequência
correspondente à ressonância da permeabilidade magnética, o que acarreta não só uma mudança de
sinal, como também uma transição brusca do valor absoluto desta grandeza. Na passagem da região
DNG para a região SNG através de Ω 80, a permeabilidade é instantaneamente infinita e, acto
contínuo, também o índice de refracção e a constante de propagação. Por outro lado, torna-se
imaginário puro, o que explica o comportamento de , na Figura 4.31, na região Ω 80. Na outra
transição SNG-DNG, que se dá na frequência angular normalizada Ω 120, pelo contrário, não se
verifica qualquer ressonância, resultando a mudança apenas da passagem da permeabilidade
magnética de valores negativos para valores positivos, através da sua anulação. Assim, conforme fica
claro na Figura 4.32, a propagação ao longo da estrutura torna-se evanescente para Ω 120, já que
na região SNG o índice de refracção é imaginário puro, porém de módulo progressivamente
crescente, acompanhando o aumento gradual ao longo do espectro dos valores absolutos das
características electromagnéticas do meio.
Figura 4.30 – Transmissividade com 1 e modelo dispersivo não causal na região DNG.
Figura 4.31 – Diagrama de dispersão com modelo dispersivo não causal na transição SNG-DNG.
Ω ·
,Λπ
Ω ·
Λπ
115
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
Figura 4.32 – Diagrama de dispersão com modelo dispersivo não causal na transição DNG-SNG.
Na Figura 4.33 encontra-se esboçada a característica de transmissividade na região do espectro em
que o meio é DNG, segundo o modelo dispersivo não causal, no caso em que a estrutura periódica
contém 20 células. Tal como no cristal unicelular, a componente imaginária da constante de
propagação apresenta valores médios mais elevados junto das frequências que delimitam o intervalo
e que correspondem a zonas de transição do material de DNG para SNG, apresentando também um
valor mínimo, que está na origem da região de elevada transmissividade média no gráfico. As Figuras
4.34 e 4.35 exibem, respectivamente, o diagrama de dispersão e a curva de transmissividade do
mesmo cristal fotónico em torno da frequência central da região DNG, Ω 100. Tal como se
constatara através do modelo linear, com o advento da dispersão as zonas de parte imaginária da
constante de propagação nula deixam de ser discretas e periodicamente espaçadas, o que suscita a
total descaracterização das propriedades refractivas da estrutura, face ao caso ideal.
Figura 4.33 – Transmissividade com 20 e modelo dispersivo não causal na região DNG.
4.4.2 A Influência das Perdas
Os modelos previamente aplicados a cristais fotónicos DPS-DNG típicos apenas levavam em linha de
conta o efeito dispersivo originado pela dependência das características electromagnéticas do meio
Ω ·
Λπ
Ω ·
,Λπ
116
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
duplamente negativo com a frequência de trabalho. Tal como se referira, esta hipótese, embora
razoável dentro de determinadas condições, é irrealista, por se basear em modelos não causais. De
facto, para se obter uma visão correcta e rigorosa dos fenómenos envolvidos e da forma como
influenciam as características refractivas das estruturas, é necessário considerar as perdas.
Figura 4.34 – Diagrama de dispersão com 20 e modelo dispersivo não causal.
Figura 4.35 – Transmissividade com 20 e modelo dispersivo não causal.
Numa primeira análise, admita-se que a dispersão no cristal é regida por um modelo de Drude,
analisado na secção anterior, cujo andamento espectral é razoavelmente simples, em virtude das
frequências de ressonância na origem. De frisar que, em face dos parâmetros adoptados, a estrutura
é DNG para Ω 140 e DPS no espectro restante. Conforme é visível no diagrama de dispersão da
Figura 4.36, em virtude da consideração das perdas, a constante de propagação torna-se complexa
para todas as frequências, deixando de ser tão clara a distinção entre bandas permitidas e proibidas.
De facto, a propagação é evanescente em todo o espectro, pelo que importa definir as regiões que
conduzem a uma maior ou menor atenuação da amplitude dos campos envolvidos. Observando o
andamento da transmissividade na zona DNG, na Figura 4.37, verifica-se uma diminuição do valor
médio desta grandeza, gerado pelas perdas, em adição à distorção introduzida pelo fenómeno
dispersivo. De realçar que, como demonstram as Figuras 4.16 e 4.17, nas proximidades da
frequência de transição, Ω 140, a curva da componente real do índice de refracção apresenta um
Ω ·
Λπ
Ω ·
,Λπ
117
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
crescimento mais lento, o que é limitativo da dispersão, e a da componente imaginária é bastante
reduzida, o que indicia fraca amplitude de perdas. Justifica-se assim uma maior proximidade,
constatável na Figura 4.37, entre as características de transmissividade real e ideal, no intervalo que
antecede a transição DNG-DPS.
Figura 4.36 – Diagrama de dispersão com 10 e modelo de Drude.
Figura 4.37 – Transmissividade com 10 e modelo de Drude.
Nas Figuras 4.38, 4.39 e 4.40 representa-se a curva de transmissividade de um cristal fotónico DPS-
DNG de 5 células, com a camada DNG descrita por um modelo de Drude com frequências de
perdas Γ 0, Γ 4 10 Ω e Γ 4 10 Ω , respectivamente. Constata-se que, quando as perdas
não são nulas, a constante de propagação se torna complexa em todo o espectro, conforme se
destaca na Figura 4.41, o que origina uma atenuação global da amplitude dos campos e,
consequentemente, da energia electromagnética transferida ao longo da estrutura, em adição à
distorção causada pela dispersão. De referir que, com Γ 4 10 Ω , na Figura 4.40, embora o rácio
entre as componentes imaginária e real das características electromagnéticas seja sempre inferior a
0,2%, i.e., considerando reduzida magnitude relativa das perdas, a adulteração da curva de
transmissividade face ao caso ideal é evidente.
Ω ·
Λπ
Ω ·
,Λπ
118
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
Figura 4.38 – Transmissividade com 5 e modelo de Drude, com Γ 0.
Figura 4.39 – Transmissividade com 5 e modelo de Drude com Γ 4 10 Ω .
Figura 4.40 – Transmissividade com 5 e modelo de Drude com Γ 4 10 Ω .
Figura 4.41 – Diagrama de dispersão com 5 e modelo de Drude com Γ 4 10 Ω .
Ω ·
Ω ·
Ω ·
Ω ·
,Λπ
,Λπ
,Λπ
Λπ
119
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
4.4.3 Aplicação do Modelo de Lorentz
Os modelos apensos às secções anteriores permitiram avaliar, de forma simplificada e sistemática, a
influência que os fenómenos dispersivos, em conjugação com as perdas, acarretam sobre o
comportamento das características refractivas de cristais fotónicos de camadas alternadas DPS e
DNG. Contudo, o desfasamento face à realidade reduz a sua relevância a um âmbito meramente
académico e ilustrativo. De facto, para se obter, por via da simulação numérica, resultados que se
aproximem com razoável rigor dos observados experimentalmente para meios típicos, torna-se
imperioso recorrer a modelos mais completos, como o de Lorentz, descrito por (4.67) ou, recorrendo
às frequências angulares normalizadas,
Ω 1Ω
Ω Ω Ω
Ω 1Ω
Ω Ω Ω Ω
. (4.98)
Admitindo as frequências de plasma Ω 200 e Ω 70, as frequências de ressonância Ω 2 e
Ω 80 e os coeficientes de perdas Ω Ω Ω 0,01, resultam as curvas das partes reais da
permitividade eléctrica e da permeabilidade magnética da Figura 4.42, onde se destacam as regiões
em que o meio é DNG ou SNG. Na Figura 4.43, é possível observar o quadro geral do andamento
das componentes real e imaginária do índice de refracção e na Figura 4.44 representa-se uma visão
mais próxima e detalhada das mesmas grandezas, o que permite obter um retrato mais claro da
magnitude das perdas introduzidas pelo modelo de Lorentz na região DNG. De realçar que o material
se comporta como DNG no intervalo Ω 80; 106,3 e como NIR no intervalo Ω 63,2; 127,1 . As
gamas de valores referidas, em conjugação com a observação da Figura 4.44, permitem confirmar a
noção, lançada em secções anteriores, de zona DNG como subconjunto da zona NIR, destacada a
sombreado.
Figura 4.42 – Modelo de Lorentz para as partes reais da permitividade e permeabilidade.
No Modelo de Lorentz, ao contrário do que se verificava no modelo dispersivo não causal,
consideram-se as perdas e a parte real de não se anula quando se efectua a transição de uma
região DNG para uma região SNG. No entanto, o seu valor absoluto continua a ser particularmente
SNG DNG SNG
Ω ·
120
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
baixo em comparação com o da parte imaginária, pelo que, em primeira aproximação, é expectável
que a curva da componente imaginária da constante de propagação, na Figura 4.45, siga andamento
similar aos que se verificava para o modelo X, nas Figuras 4.31 e 4.32, fora da zona DNG.
Figura 4.43 – Modelo de Lorentz para o índice de refracção.
Figura 4.44 – A região DNG como subconjunto da região NIR.
Figura 4.45 – Diagrama de dispersão com 20 e modelo de Lorentz com Ω 0,01.
Nas Figuras 4.46 e 4.47 encontram-se expostas as curvas de transmissividade, na região DNG, de
um cristal fotónico de 20 células, com camadas pares regidas pelo modelo de Lorentz (4.98),
respectivamente com Ω 0,001 e Ω 0,01. Confirma-se a distorção da curva face ao caso ideal,
DNG
Ω ·
Ω ·
Ω ·
Λπ
121
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
por via da dispersão e das perdas, sendo que estas últimas estão igualmente na origem da
diminuição do valor médio da energia electromagnética que atravessa a estrutura fotónica.
Figura 4.46 – Transmissividade com 20 e modelo de Lorentz com Ω 0,001.
Figura 4.47 – Transmissividade com 20 e modelo de Lorentz com Ω 0,01.
O mesmo fenómeno pode ser observado localmente, em torno da região espectral central da banda
DNG, para o caso de um cristal fotónico de 5 células, com Ω 0, Ω 0,015 e Ω 0,03,
respectivamente nas Figuras 4.48, 4.49 e 4.50, i.e., aumentando gradativamente o coeficiente de
perdas. Mesmo no pior caso, com o rácio entre as componentes imaginária e real das características
electromagnéticas sempre inferior a 0,25%, mantém-se a deturpação da curva de transmissividade
face ao caso ideal, tal como se constara previamente com outros modelos.
Figura 4.48 – Transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0.
Ω ·
Ω ·
,Λπ
,Λπ
Ω ·
,Λπ
122
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
Figura 4.49 – Transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,015.
Figura 4.50 – Transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,03.
De realçar que o mesmo coeficiente Ω produz uma atenuação mais significativa quando aplicado a
estruturas de mais elevado número de células, como facilmente se certifica comparando os casos
5 e 20, uma vez que a extensão percorrida pela radiação electromagnética ao atravessar o
cristal é superior, o que implica uma maior sujeição aos efeitos das perdas. Desta constatação
sobressai a importante conclusão de que os fenómenos dispersivos e em particular as perdas são
limitativos da dimensão a atribuir a um dispositivo baseado em cristais fotónicos DPS-DNG.
Finalmente, expõe-se a título ilustrativo, na Figura 4.51, o diagrama de dispersão referente à
derradeira estrutura analisada, com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,03. A componente
imaginária da constante de propagação é não nula em todo o espectro, o que implica uma
relativização da noção de bandas permitidas e proibidas.
Figura 4.51 – Diagrama de dispersão com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,03.
Ω ·
,Λπ
,Λπ
Ω ·
Λπ
Ω ·
123
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
4.5 Caracterização Global das Estruturas DPS-DNG
Neste capítulo, procede-se ao estudo e análise, por via de simulação numérica, de cristais fotónicos
de camadas alternadas de características electromagnéticas distintas, com a variante proporcionada
pela introdução de meios DNG. Estes constituem a tendência mais forte da actual linha de
investigação em torno dos metamateriais e a sua mais relevante peculiaridade reside no facto de
apresentarem um índice de refracção de parte real negativa. Esta percepção aparentemente
paradoxal acarreta novas conceptualizações, como a noção de Backward Wave (BW) ou de Left-
Handed Media (LHM). De facto, verifica-se que, de uma forma pouco intuitiva, a constante de
propagação e, por consequência, a velocidade de fase, apresentam a mesma direcção que o fluxo de
energia electromagnética, porém em sentido oposto, o que provoca uma distorção no triedro formado
pelo vector de onda e pelos campos eléctrico e magnético, que passa a ser esquerdo. Estas
propriedades introduzem vantagens inequívocas, no âmbito dos cristais fotónicos relativamente à
implementação de filtros selectivos, quer no domínio das microondas quer no domínio óptico, embora
importe referir que a produção de materiais que exibam parâmetros negativos em zonas espectrais
correspondentes a pequenos comprimentos de onda se encontra ainda num estádio embrionário de
desenvolvimento [91]. O facto de o sentido de evolução da fase se reverter nas camadas DNG,
resulta numa maior taxa de incidência construtiva das fases das ondas reflectidas nas diversas
interfaces da estrutura, na senda dos estudos referentes à condição de Bragg, dissecada no capítulo
anterior. De facto, o fenómeno de reflexão total, associado às bandas proibidas de energia, estende-
se a regiões mais amplas do espectro, o que se traduz no aparecimento de pequenas gamas
estreitas de transmissividade unitária, úteis no âmbito de uma filtragem passa-banda de elevado
factor de qualidade. Por outro lado, quando a incidência da radiação electromagnética sobre a rede
cristalina não é normal à sua fronteira, os meios DNG emprestam à estrutura uma relevante
propriedade, relacionada com a focagem. Com efeito, cada vez que a radiação se depara com uma
interface DPS-DNG, a transmissão faz-se através de um ângulo negativo, pelo que a componente do
vector de onda segundo o eixo , perpendicular à direcção de propagação , vai comutando
permanentemente de sentido, o que permite confinar a energia electromagnética que atinge o final da
estrutura a uma faixa limitada, evitando a sua dispersão espacial.
No caso particular da estrutura de quarto de onda, com as espessuras das camadas indexadas ao
valor do índice de refracção respectivo, verifica-se a ocorrência de uma ressonância espacial, que
redunda na discretização da constante de propagação na estrutura, i.e., as bandas permitidas
tornam-se pontuais ou de largura tendencialmente nula, o que poderia estar na base da concepção
de um filtro ideal. No entanto, facilmente se verifica que a referida ressonância depende de um
equilíbrio geométrico de elevada sensibilidade, uma vez que qualquer pequena perturbação ao nível
do dimensionamento da estrutura ou das características electromagnéticas do meio faz distorcer por
completo a organização espectral das bandas proibidas e permitidas.
É neste contexto que a dispersão assume particular relevância. Com efeito, a variação dos
parâmetros dos materiais com a frequência ou, mais concretamente, do índice de refracção que os
124
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
caracteriza, não pode ser negligenciada no âmbito do estudo de cristais fotónicos DPS-DNG,
conforme ficou patente neste capítulo. Por adulterar por completo quer o diagrama de dispersão quer
a característica de transmissão que estão associados à estrutura, é necessário conhecer, modelar e
considerar os efeitos dispersivos em qualquer projecto de implementação de um dispositivo óptico ou
de microondas baseado num cristal deste tipo. Adicionalmente, por via da consideração das relações
de Kramers-Kronig (4.66), a manifestação das perdas é indissociável do fenómeno da dispersão,
surgindo neste contexto como um efeito colateral inerente à não idealidade dos materiais polarizados
por via de radiação electromagnética.
Para ilustrar precisamente a influência dos dois efeitos referidos, representam-se nas Figuras 4.52 e
4.53 os rácios entre as componentes imaginária e real da constante de propagação em função da
frequência angular normalizada e do ângulo de incidência da radiação electromagnética sobre a
estrutura, respectivamente sem e com perdas. Conforme se atestara, com a introdução das perdas
ao nível dos modelos utilizados, a noção de bandas permitidas e proibidas torna-se dúbia e
desaconselhável, uma vez que a parte imaginária de é não nula em todo o espectro. Nesse
sentido, o recurso ao rácio mencionado surge como alternativa viável na classificação das diversas
gamas de frequência, i.e., embora a radiação seja evanescente para qualquer valor de Ω, trata-se de
averiguar quais as bandas que permitem uma maior distância de propagação. Em primeira análise,
constata-se que, ainda que com um reduzido coeficiente de perdas Ω 0,01, as regiões do
diagrama em que o rácio não excede os 5% são escassas e de reduzida dimensão, face às bandas
permitidas da estrutura sem perdas, o que atesta a necessidade de se considerar estes fenómenos
na presente análise. Por outro lado, é necessário ter em conta o ângulo de incidência da radiação
sobre a estrutura, uma vez que qualquer mudança adultera totalmente a disposição das bandas. Da
observação cuidada das Figuras 4.52 e 4.53, ressalta de imediato que as bandas permitidas e
proibidas ou, mais rigorosamente, as regiões de maior ou menor evanescência, no caso de se admitir
perdas, são tanto mais numerosas e próximas quanto maior o ângulo .
Figura 4.52 – Rácio entre e com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0.
93
94
95
96
97
0 0,250,125
Ω ·
0
5
20
20
%
125
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
Figura 4.53 – Rácio entre e com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,01.
Nas Figuras 4.54 e 4.55, encontram-se esboçados o diagrama de transmissividade de um cristal
fotónico DPS-DNG e a respectiva visualização tridimensional, com Ω 0, ao passo que as Figuras
4.56 e 4.57 realçam as mesmas grandezas, para o caso em que não se negligencia as perdas. Como
corolário dos resultados alcançados, surge a evidência de que a característica de transmissividade é
consideravelmente atenuada, ainda que se admita um reduzido coeficiente de perdas, Ω 0,01, e
uma estrutura de apenas 5 células. Com efeito, no projecto e dimensionamento de cristais
fotónicos, é imprescindível a consideração de um modelo completo, como o de Lorentz, uma vez que
a dispersão faz degenerar a disposição espectral das bandas e as perdas reduzem substancialmente
a percentagem de energia electromagnética que atravessa a estrutura, limitando de forma irrevogável
a sua dimensão máxima.
Figura 4.54 – Diagrama de transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0.
93
94
95
96
0 0,250,125
Ω ·
0
5
20
20
%
97
93
94
95
96
0 0,250,125
Ω ·
97
126
Cristais Fotónicos com Meios DNG Dispersivos
Figura 4.55 – Visualização tridimensional do diagrama de transmissividade sem perdas.
Figura 4.56 – Diagrama de transmissividade com 5 e modelo de Lorentz com Ω 0,01.
Figura 4.57 – Visualização tridimensional do diagrama de transmissividade com perdas.
0,25
0 93
97 95
Ω ·
93
94
95
96
0 0,250,125
Ω ·
97
0,25
0 93
97 0
1
95 Ω ·
0
1
Capítulo 5
Conclusão
Este capítulo encerra a presente dissertação, compilando uma discussão e análise crítica dos
resultados obtidos face ao que era pretendido e projectando as possibilidades de evolução futura do
conhecimento científico nesta área, assinalando os passos e contribuições dados nesse sentido e
destacando todo um conjunto de aplicações que daí advêm.
128
Conclusão
“Nanostructured materials containing ordered
arrays of holes could lead to an optoelectronics
revolution, doing for light what silicon did for
electrons. […] Unlike lattices of atoms, photonic
crystals have structural possibilities limited only by
the human imagination. Any shape can be
sculpted at the lattice sites.”
E. Yablonovitch [92]
5.1 Discussão e Análise Crítica de Resultados
Constitui pretensão da presente dissertação o estudo teórico, análise de hipóteses, modelação e
simulação numérica da propagação de radiação electromagnética em cristais fotónicos constituídos
por camadas alternadas de materiais DPS e DNG. Nesse sentido, optou-se por efectuar uma
abrangente dissecação teórica da organização estrutural, espacial e espectral, bem como das
propriedades e comportamento das estruturas periódicas fotónicas. Esta é frequentemente baseada
nos sedimentados conhecimentos adquiridos pela comunidade científica ao longo dos anos, no
contexto das redes cristalinas moleculares, de que são exemplo dispositivos electrónicos como os
semicondutores, pela sua proliferação e disseminação em circuitos de diversa ordem, sendo hoje em
dia considerados elementos fundamentais do ponto de vista tecnológico. Isso torna a sua
caracterização fenomenológica particularmente explorada, o que se reveste de ampla utilidade na
aplicação desses conhecimentos ao caso fotónico, por analogia.
Assim, no contexto do estudo das redes cristalinas moleculares, modeladas por um potencial
periódico de Kronig-Penney, e sua interacção com os electrões de condução, cujo estado quântico é
regido pela equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo, foi deduzida a equação
fundamental das bandas de energia, que resulta de um problema de valores próprios. Esta origina um
diagrama de dispersão que relaciona os modos energéticos acessíveis a cada partícula com a
constante de propagação da função de onda que lhes está associada, que pelos dissecados
postulados da teoria quântica descreve a sua densidade de probabilidade de localização no seio da
rede cristalina. É neste contexto que surgem os conceitos de bandas proibidas e permitidas de
energia e zonas de Brillouin, noções muito gratas à área dos dispositivos electrónicos semicondutores
e de potencial elevado de aplicabilidade aos cristais fotónicos, tema central da presente dissertação.
Foi possível verificar, de forma gráfica e por via de simulação numérica da equação transcendente
que resulta do referido problema de valores próprios, que para determinadas gamas de valores da
energia, que se coadunam com a definição de hiatos ou bandas proibidas, se verifica a inexistência
de estados estacionários no cristal electrónico. Verificou-se que a largura dos mencionados intervalos
proibidos de energia é variável e depende da intensidade do potencial periódico considerado. No
entanto, foi possível constatar que as suas localizações no diagrama são fixas e ocorrem para valores
129
Conclusão
do número de onda de Bloch normalizado múltiplos de . Estas observações permitiram concluir que
a característica de dispersão de uma rede cristalina deste tipo combina propriedades dos modelos da
partícula livre e da partícula numa caixa, pelo que embora sejam admitidas bandas discretas de
energia, a sua envolvente revelou-se parabólica.
O vasto conjunto de analogias partilhadas pelos cristais electrónicos e fotónicos foi particularmente
útil na prossecução dos objectivos propostos, com especial ênfase para a teoria das bandas, quer por
se tratar de um assunto amplamente investigado, quer por via da assinalável quantidade de
aplicações que dela podem decorrer, como a concepção de filtros de banda estreita ou a inibição da
emissão espontânea em elementos de circuitos ópticos. Numa primeira fase, foram utilizadas duas
ferramentas conhecidas. A condição de Bragg, que provém dos estudos da cristalografia por raios-x
[9], e o Teorema de Bloch, utilizado na construção dos modelos de cristais moleculares. Serviram de
base ao enquadramento de um problema de valores próprios, em tudo similar ao que esteve na base
da equação fundamental das bandas de energia nas redes cristalinas electrónicas, porém com o
estado do sistema descrito pelas equações de Maxwell e não pela equação de Schrödinger, por se
tratar de radiação electromagnética, i.e., o caso particular das partículas de massa nula, os fotões.
Nesse contexto, foram confirmados todos os resultados, quer teóricos quer experimentais, obtidos por
autores como Yariv e Yeh [22][23] e Saleh e Teich [68], relativos à zona de Brillouin, bandas
permitidas e proibidas de frequência, respectivas larguras e valores extremos e dependência com os
coeficientes da expansão em série de Fourier dos parâmetros electromagnéticos. Para a componente
imaginária da constante de propagação de Bloch, foi proposta com sucesso uma aproximação por um
modelo elíptico, como forma de obviar a imensamente complexa expressão exacta. Esta opção
revelou-se rigorosa e apropriada, uma vez que foi possível observar, através da simulação numérica
do diagrama de dispersão reduzido, uma quase sobreposição do modelo face ao caso real.
Demonstrou-se ainda com sucesso que, no caso dos cristais fotónicos de período espacial composto
por pares de camadas de material não magnético e permitividades eléctricas constantes por
patamares, os módulos dos coeficientes pares da expansão em série de Fourier são nulos e os
ímpares são continuamente decrescentes. Uma vez que, por aproximação, se prova que nas
estruturas periódicas de baixo contraste a largura da banda proibida de determinada ordem é
directamente proporcional ao correspondente coeficiente de Fourier da permitividade, fica vincada a
ideia de que no cristal em causa apenas surgem hiatos de frequência de ordem ímpar e
constantemente mais estreitos. Esta observação constitui uma contribuição original não prevista pelas
publicações supra referidas, podendo revelar-se de peculiar relevância no dimensionamento de
dispositivos ópticos baseados em cristais fotónicos, cujas funções dependem muito frequentemente
da organização estrutural e disposição das bandas permitidas e proibidas de frequência, que neste
caso particular adquirem um grau adicional de liberdade.
No seguimento do lançamento das bases teóricas relativas aos cristais fotónicos por camadas, surgiu
a necessidade de proceder à sua caracterização matricial, impulsionada pelo carácter harmonioso e
periódico destas estruturas, sob a forma de uma matriz de transferência que relacionasse as
amplitudes dos campos à saída e à entrada. Este tratamento, que teve por base as condições de
continuidade dos campos e suas derivadas nas interfaces das camadas, foi também motivado pela
130
Conclusão
necessidade de tratamento numérico e gráfico das propriedades refractivas e reflectivas dos cristais,
que constituem uma ferramenta de análise espectral por excelência. A obtenção de resultados neste
campo, nomeadamente uma relação de dispersão generalizada, permitiu a simulação numérica e
representação gráfica do diagrama de dispersão e respectiva visualização tridimensional, quer em
função da frequência angular de trabalho, quer em função do ângulo de incidência da radiação
electromagnética sobre a estrutura, para cristais fotónicos diversos, por variação dos seus
parâmetros controláveis, dimensões espaciais das camadas e contraste dieléctrico. Estes diagramas,
por sua vez, foram obtidos em duas variantes, relativas às componentes real e imaginária da
constante de propagação. Na globalidade das estruturas analisadas, verificou-se que as bandas
proibidas e permitidas de frequência são tão mais espaçadas, amplas e regulares, quanto maior a
assimetria geométrica. No limite em que uma das camadas apresenta uma espessura infinitesimal,
tem-se curvas dispersivas dos diversos modos permitidos de propagação aproximadamente
sinusoidais, similares às obtidas no contexto dos cristais electrónicos, no capítulo 2. De facto, era
previsível que tal se verificasse, porquanto a equação fundamental das bandas foi derivada a partir de
um potencial periódico de Kronig-Penney constituído por um pente de Dirac, ou seja, as regiões de
potencial não nulo apresentam também espessura infinitesimal. Adicionalmente, foi também possível
observar uma dependência clara entre o contraste dieléctrico que caracteriza as camadas das
estruturas e as respectivas larguras das bandas proibidas. Quanto mais reduzida em módulo a
diferença entre os índices de refracção das camadas, mais estreitos se revelam os hiatos de
frequência, tornando-se aproximadamente rectilíneas as formas das relações de dispersão dos
diversos modos. No limite em que as camadas são electromagneticamente similares, resulta de
imediato um diagrama de dispersão linear em todo o espectro e de declive proporcional ao respectivo
índice de refracção. O fenómeno referido sugere a utilização de cristais fotónicos de reduzido
contraste para aplicações que nele se baseiam de forma directa, como os filtros selectivos. Por outro
lado, no extremo oposto em que os índices de refracção apresentam valores díspares, dá-se a
maximização da magnitude das bandas proibidas, quer por via da sua largura quer pelo incremento
da amplitude da componente imaginária da constante de propagação. No que diz respeito à influência
do ângulo de incidência, que está associado à componente transversal da constante de propagação,
verificou-se que a sua dilatação conduz a uma maior proximidade entre bandas, i.e., constatou-se um
estreitamento espectral, sendo que o espaçamento máximo entre estas e consequente valor supremo
da largura ocorre no caso em que a incidência é perpendicular à fronteira do cristal. De realçar ainda,
ao nível dos diagramas de dispersão obtidos, a existência de zonas de transição, demarcadas pelas
rectas de declive correspondente ao inverso do índice de refracção de cada uma das camadas que
compõem a estrutura. Os pares de valores de frequência angular de trabalho e do ângulo de
incidência, ou por inerência a componente imaginária da constante de propagação transversal, que
correspondem a pontos pertencentes a rectas fictícias passando na origem e de declive superior ao
das duas rectas mencionadas, dizem respeito à chamada região normal de funcionamento, onde se
desenvolvem as comuns bandas permitidas e proibidas. No caso particular dos pontos pertencentes à
recta de maior declive, está-se no caso particular em que a constante de propagação transversal
iguala o módulo do número de onda de Bloch nas camadas de menor índice de refracção, o que
131
Conclusão
implica o anulação da constante de propagação longitudinal. De facto, nas camadas de velocidade de
grupo superior, a direcção do vector de onda torna-se paralela às interfaces e não se verifica
propagação ao longo da direcção de periodicidade da estrutura. Para pontos situados na região
compreendida pelas duas rectas, a constante de propagação fica necessariamente complexa nas
camadas referidas, pelo que se tornam nulos os intervalos de frequência que intermedeiam as
bandas proibidas, correspondentes às bandas permitidas. Finalmente, para pontos pertencentes a
rectas fictícias passando na origem e de declive menor que as duas rectas mencionadas, o fenómeno
passa a ser comum a todas as camadas da estrutura e não apenas às camadas de menor velocidade
de grupo, pelo que redunda uma única super banda proibida que ocupa a totalidade do espectro e
torna a propagação evanescente em qualquer condição. Estes resultados assumem uma
considerável relevância, pois indiciam a possibilidade de um controlo quase absoluto sobre as
dimensões, disposição e localização das bandas de frequência associadas a um determinado cristal
fotónico, por simples manipulação das espessuras das suas camadas, do contraste dieléctrico e
ainda do ângulo de incidência da radiação electromagnética.
Nas deduções e simulações numéricas seguintes, passou a admitir-se, por uma questão de
simplicidade do ponto de vista ilustrativo, a situação particular de incidência perpendicular. Nesse
âmbito, foi possível obter uma amplamente útil equação de dispersão fundamental para os cristais
fotónicos unidimensionais por camadas, em função das dimensões geométricas, índices de refracção
e ângulo de incidência, em analogia com a equação fundamental das bandas de energia, que se
havia derivado no contexto das redes cristalinas electrónicas. Esta relação serviu de base à obtenção
por simulação numérica dos diagramas de dispersão de estruturas de diversas combinações de
parâmetros, reforçando-se as conclusões previamente obtidas relativamente à influência que estes
exercem sobre a dimensão, disposição e forma das bandas permitidas e proibidas.
Fundamentadas as bases teóricas do conhecimento e os postulados fundamentais das estruturas
fotónicas unidimensionalmente periódicas, introduziu-se um tipo de cristal muito particular e que
serviu de suporte a todo o trabalho de análise de características refractivas e reflectivas, a estrutura
de quarto de onda, caracterizada por uma dependência das espessuras das camadas com o índice
de refracção, de tal forma que o dobro do produto destas grandezas equivalha a . Cumprida esta
imposição geométrica, obteve-se um diagrama de dispersão com bandas proibidas e permitidas
harmoniosamente distribuídas pelo espectro e de largura constante, sendo que as últimas resultam
em todos os casos da sobreposição de dois modos de propagação contíguos. Estas estruturas, pela
previsibilidade e regularidade da sua organização espectral, constituíram o elemento base dos
trabalhos de análise e simulação numérica subsequentes.
A identidade de Chebyshev e a matriz de transferência genérica previamente aferida viabilizaram a
obtenção de expressões para a reflectividade e transmissividade destas redes cristalinas e, por esta
via, de gráficos de simulação numérica destas grandezas. Através destes, observou-se que, tal como
era expectável, a transmissividade é nula nas gamas de frequência correspondentes às bandas
proibidas. Nas bandas permitidas, por seu turno, constatou-se que esta é não nula e caracterizada
por oscilações, de frequência tanto mais acentuada quanto maior o número de células que compõem
132
Conclusão
a estrutura, de valor médio mais elevado no valor central de frequência e de amplitude menor em
estruturas de contraste dieléctrico mais reduzido. Idêntica análise foi efectuada para a obtenção dos
gráficos de transmissividade em função do ângulo de incidência, por fixação do valor de frequência,
no que resultaram conclusões semelhantes.
Um passo fundamental desta dissertação consistiu na aplicação de materiais DNG aos cristais
fotónicos analisados teoricamente. Mais concretamente, optou-se pela concepção de uma estrutura
periódica unidimensional de camadas DPS e DNG alternadas. Para tal, foi necessário recuperar
conceitos muito em voga na literatura actual, em torno dos metamateriais, como o índice de refracção
negativo ou NIR, Backward Waves ou Left-Handed Media. Assim, para justificar o sinal negativo do
índice de refracção e, consequentemente, da constante de propagação em meios DNG, foi efectuada
uma análise do comportamento dos parâmetros electromagnéticos no plano complexo. Aplicando
este inovador resultado à estrutura de quarto de onda previamente definida, obteve-se um diagrama
de dispersão caracterizado por uma constante de propagação de Bloch imaginária pura em todo o
espectro, à excepção de pontos periodicamente espaçados, nos quais se manifesta também a parte
real da mesma grandeza, através de modos discretos de propagação. Nesta estrutura, cada
frequência discreta, correspondente a uma onda plana com vector de onda também ele discreto, leva
a que cada camada se torne transparente para os meios vizinhos, no que se coaduna com a criação
de um modo de propagação ao longo do cristal. Por outro lado, radiação incidente caracterizada por
qualquer outra frequência satisfaz a condição de Bragg, conduzindo à reflexão total. Deste cenário
resultou uma curva de transmissividade com picos acentuados centrados nestes valores da
frequência e largura consideravelmente reduzida e tanto menor quanto mais elevado o número de
células, o que indicia a possibilidade da utilização destas estruturas como filtros selectivos de
considerável factor de qualidade.
No entanto, estas simulações numéricas, que foram consideradas nas publicações de autores
diversos, pecam pela assumpção da aproximação irrealista segundo a qual não se verifica a
dependência dos índices de refracção dos materiais com a frequência. De facto, a dispersão constitui
um efeito inerente a todos os materiais na natureza, não podendo ser negligenciada, especialmente
no caso dos meios duplamente negativos, cuja gama espectral se situa particularmente próxima da
frequência de ressonância. Esta constatação obrigou à utilização de modelos para o andamento
espectral da permitividade e da permeabilidade e, em consequência directa do princípio da
causalidade, suportado pelas relações de Kramers-Kronig, também as perdas foram consideradas, no
que constitui a principal contribuição original emprestada por este trabalho à investigação levada
actualmente a cabo pela comunidade científica nesta área. Este pressupostos são especialmente
relevantes no caso do cristal fotónico estudado, a estrutura de quarto de onda, cujas propriedades ao
nível das bandas de frequência resultam da dependência das espessuras das camadas com o índice
de refracção, o que a torna particularmente sensível do ponto de vista geométrico a oscilações no
valor desta grandeza.
Numa primeira fase, foi introduzido o modelo de Lorentz que, sendo o mais completo, se revelou útil
na conceptualização por via experimental da zona DNG como subconjunto da zona NIR. Como ficou
133
Conclusão
claro por análise dos valores numéricos obtidos, o facto de o meio apresentar um índice de refracção
negativo, embora necessário, não constitui condição suficiente para que seja DNG, i.e., o intervalo de
frequências que tornam o meio DNG é um subconjunto do intervalo que conduz a uma parte real do
índice de refracção negativa, ou NIR. Em seguida, foram admitidos e estudados outros modelos
menos complexos, como o de Drude, o dispersivo não causal ou o linear simples.
Introduzidos os modelos que permitem avaliar o efeito dispersivo inerente às características
electromagnéticas do meio, procedeu-se ao âmago da presente dissertação, que consistia na
avaliação do seu efeito sobre o comportamento das curvas de transmissividade dos cristais fotónicos
DPS-DNG, nomeadamente a estrutura de quarto de onda. Esta havia revelado, na situação ideal não
dispersiva, propriedades refractivas particularmente harmoniosas e homogéneas, que assentam no
surgimento de valores discretos da componente real da constante de propagação, coincidentes com a
anulação da componente imaginária respectiva e sucessivamente equidistantes. No entanto, dada a
relação biunívoca entre o período da estrutura e o índice de refracção, era expectável que uma
perturbação espectral ao nível deste último, como seja o efeito dispersivo, produzisse um
desequilíbrio geométrico, distorcendo as formas originais dos gráficos de transmissividade.
Para avaliar de forma independente os efeitos da dispersão e das perdas sobre as propriedades da
estrutura, foram inicialmente admitidos apenas o modelo linear simples, que considera que não se
verifica a absorção de energia pelo material ao longo da estrutura e que a dependência dos
parâmetros electromagnéticos com a frequência se dá segundo um andamento rectilíneo, fazendo-se
variar progressivamente o declive, e o modelo dispersivo não causal, que sugere um andamento mais
complexo das componentes reais da permitividade e permeabilidade, mas negligencia também as
perdas. Em qualquer dos casos, ficou muito clara uma total descaracterização das propriedades
refractivas da estrutura, com o advento da dispersão. De facto, as zonas de componente imaginária
da constante de propagação nula deixaram de ser discretas e periodicamente espaçadas, surgindo
um panorama totalmente novo e completamente díspar ao nível do diagrama de dispersão.
Os modelos previamente aplicados a cristais fotónicos DPS-DNG típicos apenas levavam em linha de
conta o efeito dispersivo originado pela dependência das características electromagnéticas do meio
duplamente negativo com a frequência de trabalho. Tal como se referira, esta hipótese, embora
razoável dentro de determinadas condições, é irrealista por se basear em modelos não causais. De
facto, para se obter uma visão correcta e rigorosa dos fenómenos envolvidos e da forma como
influenciam as características refractivas das estruturas, foi necessário considerar o fenómeno das
perdas, através dos modelos de Drude e especialmente de Lorentz, sendo que o primeiro consiste de
uma particularização do último no caso em que se consideram as frequências de ressonância de
ambos os parâmetros electromagnéticos sobrepostas e coincidentes com a origem. De facto, em
todos os modelos simplificados previamente considerados o desfasamento face à realidade reduz a
sua relevância a um âmbito meramente académico e ilustrativo. Para se obter por via da simulação
numérica resultados que se aproximem com razoável rigor dos observados experimentalmente para
meios típicos, tornou-se imperioso recorrer a modelos mais completos, como o de Lorentz. De uma
forma geral, ressaltou da análise dos diagramas de dispersão que, em virtude da consideração das
134
Conclusão
perdas, a constante de propagação se tornou complexa para todos os valores de frequência, o que
implicou uma relativização da noção de bandas proibidas e permitidas. Com efeito, a propagação
tornou-se evanescente em todo o espectro, surgindo a necessidade de definição das regiões que
conduzem a uma maior ou menor atenuação da amplitude dos campos envolvidos, por oposição à
anterior noção rígida de bandas. Por observação do andamento da transmissividade na zona DNG,
verificou-se uma evidente e esperada diminuição do valor médio desta grandeza, por influência das
perdas, em adição à distorção introduzida pelo fenómeno dispersivo. De facto, mesmo escolhendo
coeficientes de perdas de tal forma que no pior caso se tivesse um rácio entre as componentes
imaginária e real dos parâmetros electromagnéticos inferior a um quarto de ponto percentual, ou seja,
considerando uma reduzida magnitude relativa das perdas, a adulteração da curva de
transmissividade face ao caso ideal revelou-se evidente. Outra conclusão relevante que resultou
deste estudo foi o facto de o mesmo coeficiente de perdas produzir uma atenuação mais significativa
quando aplicado a estruturas com mais elevado número de células, uma vez que a extensão
percorrida pela radiação electromagnética ao atravessar o cristal é obviamente superior, o que
implica uma maior sujeição ao efeito de absorção pelo material. Assim, constata-se que os
fenómenos dispersivos, em particular as perdas, são bastante limitativos da dimensão máxima
aplicável a um dispositivo baseado em cristais fotónicos DPS-DNG.
Em suma e de uma forma geral e globalizante, procedeu-se ao nível da presente dissertação ao
estudo e análise, por via de dissecação teórica e simulação numérica, de cristais fotónicos
unidimensionais de camadas alternadas de características electromagnéticas distintas, com a
variante proporcionada quer pela introdução dos meios duplamente negativos quer pela consideração
das suas propriedades dispersivas e perdas. Os meios DNG constituem a mais forte tendência de
investigação actual em torno dos metamateriais, por via do conceito pouco intuitivo de índice de
refracção e velocidade de fase negativos, que acarretam novas conceptualizações, como a noção de
Backward Wave ou Left-Handed Media. Estas características traduzem-se na apresentação de
sentidos opostos por parte da velocidade de fase e do vector de Poynting, o que está na origem da
distorção do triedro formado vector de onda e pelos campos eléctrico e magnético, que passa a ser
esquerdo.
Muito embora a produção de materiais duplamente negativos em regiões de reduzido comprimento
de onda se encontre ainda pouco desenvolvida, as propriedades citadas introduzem vantagens
inequívocas no âmbito dos cristais fotónicos. Por um lado, a reversão do sentido de evolução da fase
resulta numa maior taxa de incidência construtiva das fases das ondas reflectidas nas diversas
interfaces da estrutura, no seguimento da teoria de Bragg, com o fenómeno de reflexão total
associado às bandas proibidas a estender-se a regiões mais amplas do espectro. Por outro lado, nos
casos em que a incidência da radiação electromagnética sobre a estrutura não é perpendicular, os
meios DNG permitem que esta adquira uma relevante capacidade de focagem, uma vez que em cada
interface DPS-DNG a transmissão é efectuada segundo um ângulo negativo. Assim, a componente
transversal da constante de propagação comuta permanentemente de sentido, o que permite confinar
a energia que atinge o final da rede cristalina a uma faixa limitada, evitando a dispersão espacial.
135
Conclusão
É neste âmbito que ressalta a mais relevante conclusão emprestada pela presente dissertação ao
estudo e conhecimento científico nesta área. A dependência do índice de refracção dos materiais que
compõem o cristal fotónico DPS-DNG com a frequência não pode ser negligenciada, por adulterar por
completo quer o diagrama de dispersão quer a característica de transmissão que lhe estão
associados. Assim, torna-se impreterível estudar, analisar e modelar os efeitos dispersivos em
qualquer projecto de implementação de um dispositivo óptico ou de microondas baseado nestas
estruturas. Mais se acrescenta que, por via das relações de Kramers-Kronig, a manifestação das
perdas é indissociável do fenómeno da dispersão, surgindo como efeito colateral inerente à não
idealidade da relação dos materiais com a propagação de radiação electromagnética e culminando no
desaparecimento das noções clássicas de bandas proibidas e permitidas de frequência, uma vez que
o vector de onda de Bloch se torna complexo em todo o espectro.
5.2 Epílogo e Perspectivas de Desenvolvimento
Estabelecidos os fundamentos e pressupostos teóricos em torno dos cristais fotónicos DPS-DNG
unidimensionais e criticamente analisadas as conclusões e constatações que ressaltam do seu
estudo nas diversas vertentes, importa conhecer as perspectivas de desenvolvimento futuro e as
pontes do conhecimento que a presente dissertação permite lançar.
Os cristais fotónicos são estruturas artificiais periódicas nas quais a radiação e fluxo de energia
electromagnética podem ser moldados e controlados, da mesma forma que as bandas de energia são
manipuladas nos cristais semicondutores. Os desenvolvimentos nesta área envolvem a descoberta e
criação de redes cristalinas de dimensões, disposições e formatos diversos de tal forma que
apresentem propriedades consideradas úteis, de que é exemplo o aparecimento de bandas proibidas
fotónicas, PBG. Com efeito, os estudos devotados aos cristais fotónicos revelam-se amplamente
transversais, percorrendo áreas tão distintas quanto a física, a óptica, a cristalografia, a teoria
quântica, o electromagnetismo ou até mesmo a biologia. No campo da caracterização geral e futuras
aplicações, destacam-se publicações de autores tão diversos como J. Joannopoulos [21], K. Busch
[93], K. Inoue e K. Ohtaka [94], K. Yasumoto [95] ou J. Lourtioz [96].
Uma das aplicações futuras a decorrer do presente trabalho pode passar pelo estudo e
implementação de um dispositivo baseado nas propriedades espectrais deste tipo de estruturas,
nomeadamente no que concerne à dimensão, localização e tipo de bandas. Conforme redundou da
análise efectuada ao nível do pretérito capítulo, a utilização de meios DNG intercalados com os meios
DPS clássicos permite melhorar a taxa de verificação de interferência construtiva das reflexões
provenientes das diversas interfaces, aumentando a largura das bandas proibidas e, por esta via,
permitindo a criação de picos de transmissividade unitária isolados, que se coadunam com o modo de
funcionamento de filtros selectivos, de inegável utilidade nos circuitos ópticos.
136
Conclusão
Outra área de amplo potencial que deriva do estudo de cristais fotónicos está relacionada com o
controlo da emissão espontânea. Durante muito tempo este foi considerado um fenómeno natural
inultrapassável. No entanto, com o advento das estruturas periódicas e das PBG, surgiu a
possibilidade de introdução deste tipo de redes cristalinas na concepção de dispositivos ópticos, de
forma a melhorar ou refinar as suas propriedades. De uma forma simplificada, quando ao nível de um
determinado material se dá a recombinação de electrões e lacunas, é produzido um fotão de
frequência bem determinada. Se se verificar a presença de um cristal fotónico caracterizado por uma
banda que inclua a frequência referida, não fica disponível qualquer localização para o fotão,
limitando-se assim a taxa de emissão espontânea, o que acarreta um número considerável de
consequências e aplicações na área dos dispositivos semicondutores fotónicos [97]. Com efeito, o
controlo coerente e efectivo sobre este fenómeno poderá vir a permitir o projecto de desenvolvimento
e implementação de memórias ópticas e, por consequência, computadores ópticos quânticos [93].
Para tal, não é possível limitar o âmbito desta área científica ao caso unidimensional. Nesse sentido,
uma das possíveis evoluções da análise exposta na presente dissertação passa pela transposição
dos resultados para as estruturas 2D e 3D, nomeadamente no que diz respeito à utilização de meios
DNG e à consideração de modelos dispersivos causais. As estruturas pluridimensionais permitem a
concepção e fabrico de redes cristalinas não limitadas ao conjunto de camadas periodicamente
dispostas, mas sim através de configurações mais complexas, como se ilustra na Figura 5.1, de que é
exemplo a criação de lacunas sobre um substrato de um determinado material, com formas e
localizações diversas, podendo mesmo constituir um padrão não linear, calculadas com objectivo de
proporcionar determinados comportamentos e propriedades no domínio da óptica, desde a privação
da passagem de radiação em zonas determinadas até à modelação e alteração de impulsos de luz.
De referir que, ao contrário do que sucede com os cristais fotónicos unidimensionais clássicos, as
estruturas 2D e 3D não permitem uma caracterização analítica, o que impõe a utilização da via da
simulação numérica para o seu estudo.
Figura 5.1 – Cristal fotónico 2D não periódico [92].
A sempre presente analogia entre as redes cristalinas electrónicas e os cristais fotónicos tem
constituído uma fonte inesgotável de recursos técnicos e ferramentas teóricas, cuja aplicação ao
mundo da óptica se tem revelado frutífera e bem sucedida. Como é sabido, os semicondutores são
137
Conclusão
hoje em dia um elemento fundamental enquanto matéria-prima para a construção de dispositivos
electrónicos, que estão na base de grande parte dos avanços tecnológicos da era moderna,
nomeadamente no campo da informática, contribuindo de forma decisiva para o crescimento da
economia global. Os cristais fotónicos, enquanto semicondutores da luz, podem transportar esta
revolução aos campos da informação e telecomunicações, levando mais longe o fenómeno evolutivo,
através de conceitos como fibras ópticas de elevada capacidade, nanotecnologia laser ou circuitos
integrados fotónicos, que se prevê que venham a substituir os actuais microchips. A magia em torno
dos semicondutores, que passa por processos como a comutação ou a construção de funções
lógicas, encontra-se intimamente ligada ao controlo da localização de electrões e lacunas, por via da
existência de bandas de energia. Estas, por seu turno, dependem directamente da organização
estrutural do cristal, nomeadamente o tipo de átomos e moléculas, o espaçamento entre eles e a
forma e disposição da rede. Através da inserção de agentes dopantes em substituição de
determinados elementos originais da estrutura, ou ocupando espaçamentos existentes entre estes,
ou ainda da criação de defeitos em localizações específicas da rede cristalina, é possível controlar de
forma directa a localização e movimento dos electrões, modelando assim as propriedades do
semicondutor. Transportando este conceito para o domínio fotónico, como ilustra a Figura 5.2, é
igualmente viável a obtenção de características não permitidas por uma estrutura periódica simples,
e.g., preenchendo determinadas lacunas do cristal ou implementando uma rede não linear. Neste
âmbito, podem ser alcançados efeitos tão diversos quanto o surgimento de cavidades, na Figura 5.2
a), ou a condução de energia electromagnética segundo um percurso determinado, na Figura 5.2 b).
Figura 5.2 – Aplicação de defeitos na rede cristalina de uma estrutura fotónica 2D [98].
Os fenómenos associados à aplicação de defeitos aos cristais fotónicos sugerem outro filão de
pesquisa que certamente se revelará influente no mundo das comunicações ópticas, sendo
actualmente alvo de intensa atenção por parte de grupos de investigação diversos. De facto, uma
estrutura periódica fotónica 2D simples, desde que dotada de uma PBG na frequência de trabalho,
pode impedir a propagação da radiação electromagnética através do plano que define. Transladando
esta região espacial segundo uma terceira dimensão, é possível obter uma nova concepção de fibra
óptica, as denominadas fibras de cristais fotónicos ou PCF, Photonic Crystal Fibers. As fibras ópticas
comuns são dotadas de um núcleo de elevado índice de refracção, de forma a confinar a luz através
da reflexão total interna. As PCF, por seu lado, consistem de um túnel de ar ou vácuo revestido por
a) b)
138
Conclusão
um cristal fotónico com PBG no comprimento de onda de trabalho, na Figura 5.3, tendo sido
sugeridas pela primeira vez por P. Russell em estudos não publicados de 1991 e posteriormente
detalhados em 2003 [99]. A potência óptica que pode ser transportada através desse espaço vazio
central é amplamente superior à que o vidro se permite suportar, o que acarreta um considerável
aumento da capacidade de transporte de informação, face à tecnologia actual. A este nível, é
pertinente referenciar as obras [83][100][101].
Figura 5.3 – Imagens de Fibras de Cristais Fotónicos [92].
Finalmente, uma das aplicações futuras mais atractivas no campo dos cristais fotónicos diz respeito
ao sonho da total integração óptica, conforme ilustra a Figura 5.4. Com efeito, a criação de um
Circuito Fotónico Integrado ou PIC, do inglês Photonic Integrated Circuit, capaz de efectuar um
processamento de sinais puramente óptico, ganhou um admirável impulso com o advento dos cristais
fotónicos. Este conceito é fundamentado nas propriedades das estruturas artificiais fotónicas, que
permitem eliminar, reter ou amplificar a propagação de luz ao longo de circuitos ópticos, no que se
coaduna com a definição de funções lógicas e, em última análise, a criação de transístores fotónicos.
A criação de redes cristalinas fotónicas compostas por materiais semicondutores, numa agregação
das plataformas electrónica e óptica, será uma das áreas de mais intenso labor por parte da
comunidade científica devota a este domínio nos anos vindouros.
Figura 5.4 – Ilustração de um futuro dispositivo fotónico integrado [102].
Anexo A
Mecânica Ondulatória
Este Anexo contém relevantes demonstrações no domínio da mecânica ondulatória, de onde se
destaca a equação de Schrödinger nas suas diversas variantes. Abrange ainda resultados
fundamentais no contexto das funções de onda e das bandas de energia em redes cristalinas.
140
Mecânica Ondulatória
A.1 Equação de d’ Alembert
No contexto dos resultados obtidos no âmbito da mecânica ondulatória, assume-se que, a cada
partícula, se encontra associado um feixe de ondas planas. A onda plana elementar genérica é
caracterizada pelo seu módulo ψ e fase ,
ψ ψ exp . (A.1)
Uma vez que, no espaço-tempo, a fase de uma onda é dada pela expressão (2.23), vem
ψ , ψ exp · . (A.2)
Dadas as relações fundamentais (2.37), resulta
ψ , ψ exp · . (A.3)
Determinando a derivada parcial temporal e o laplaciano da expressão anterior, tem-se
ψψ exp · ψ (A.4)
ψ
ψ exp · ψ (A.5)
ψψ , (A.6)
ψ ψ exp · ψ (A.7)
ψ ψ exp · ψ (A.8)
Ψ ψ . (A.9)
Substituindo (A.6) e (A.9) na equação (2.29), que define a composição parcelar da energia, obtém-se
a relação
ψψ
ψ ψ . (A.10)
Dividindo ambos os membros de (A.10) pelo factor multiplicativo de ψ, chega-se à equação de
Klein-Gordon,
ψ1c
ψψ 0 , (A.11)
que no limite em que 0, correspondente à massa da quantidade fundamental de energia, o fotão,
conduz à equação de d’ Alembert que, como seria de prever, rege a propagação da radiação
electromagnética,
141
Mecânica Ondulatória
ψ1c
ψ0 . (A.12)
A.2 Equação de Schrödinger Unidimensional
Dadas as relações fundamentais (2.37), a expressão do feixe de ondas planas decomposto em série
de Fourier nas componentes relativas ao número de onda longitudinal (2.40) pode ser expressa em
função das componentes relativas ao momento linear,
Ψ ,1
√2Φ exp . (A.13)
Uma vez que a energia total de uma partícula, que é dada pelas soma das contribuições das energias
cinética [73],
12 2 2 , (A.14)
e potencial , pode ser escrita na forma
2 , (A.15)
resulta, no caso de uma partícula livre, 0, ,
2 . (A.16)
Determinando a derivada parcial temporal e o laplaciano da expressão do feixe,
Ψ 1√2
Φ exp , (A.17)
Ψ 1√2
Φ exp (A.18)
Ψ 1
√2Φ exp , (A.19)
e recorrendo a (A.17) e (A.19), retira-se
Ψ2
Ψ 1√2
Φ exp . (A.20)
No caso da partícula livre (A.16), resulta finalmente
Ψ2
Ψ . (A.21)
Introduzindo os conceitos de operador momento linear,
, (A.22)
142
Mecânica Ondulatória
e o operador hamiltoniano, associado à energia da partícula livre,
2 2 , (A.23)
a equação de Schrödinger pode ser escrita na forma simples
ΨΨ . (A.24)
No caso de se considerar uma partícula sujeita a uma força, a energia vem dada por (A.15), pelo que
o operador hamiltoniano fica
2 . (A.25)
Assim, tem-se para a equação de Schrödinger unidimensional
Ψ2
ΨΨ , . (A.26)
A.3 Equação de Schrödinger Independente do Tempo
Nos casos em que a densidade de probabilidade corresponde a um estado estacionário, i.e., não
varia ao longo do eixo temporal, faz todo o sentido apurar a equação de Schrödinger independente do
tempo. Nesse sentido, recorre-se à separação de variáveis na função de onda,
Ψ , . (A.27)
Introduzindo (A.27) na equação de Schrödinger (A.26), resulta
Q2 . (A.28)
Dividindo ambos os membros de (A.28) pela função de onda (A.27), tem-se
1 Q2
1. (A.29)
De facto, uma vez que a equação (A.29) ostenta um membro com dependência temporal e outro com
dependência espacial, é condição necessária para que a expressão seja válida que haja uma
equivalência a uma constante, que no caso constitui a energia do sistema quântico em análise. Posto
isto, resulta de imediato de (A.29) a equação de Schrödinger independente do tempo,
2 . (A.30)
A.4 Descontinuidade da Derivada da Função de Onda
A equação diferencial de Sturm-Liouville (2.55), que representa a normalização adoptada para a
equação de Schrödinger independente do tempo (2.51), pode ser expressa na forma
143
Mecânica Ondulatória
. (A.31)
Uma vez que o potencial é descrito por uma distribuição delta de Dirac, o que implica que a derivada
da função de onda não é contínua nos pontos pertencentes ao conjunto que define as condições na
fronteira, torna-se inevitável considerar um intervalo centrado no ponto genérico e de largura 2 ,
de tal forma que
. (A.32)
Considerando o limite em que 0, i.e., um intervalo infinitesimal, o integral do segundo membro da
equação anula-se, por ser contínua a função de onda, pelo que se retira
lim lim 0 , (A.33)
o que equivale a impor a descontinuidade no ponto dada por
. (A.34)
A.5 Equação Fundamental das Bandas de Energia
Adoptando as normalizações e , vem para o determinante da matriz principal de (2.82)
sin sin cos 1 . (A.35)
Dividindo ambos os membros da equação (A.35) pelo número de onda da partícula livre, vem
sin sin cos 1 . (A.36)
Desenvolvendo o quadrado do segundo membro de (A.36),
cos 1 cos 2 cos 1 , (A.37)
e incorporando (A.37) em (A.36), resulta
sin sin cos 2 cos 1 , (A.38)
Por aplicação da relação trigonométrica sin cos 1, (A.38) origina a expressão quadrática
2 1 0 , (A.39)
em que é uma função do número de onda da partícula livre e, consequentemente, da sua
energia, dada por
cos 2sin
. (A.40)
144
Mecânica Ondulatória
Resolvendo (A.39) em ordem a (A.40), chega-se a
12 cos , (A.41)
que está na base da equação fundamental das bandas de energia,
cos cos 2sin
. (A.42)
Anexo B
Estruturas Periódicas
Este Anexo surge como suporte para deduções relevantes no âmbito das características
electromagnéticas de cristais fotónicos baseados em estruturas periódicas constituídas por células
contíguas similares. Adoptando uma concepção segundo a qual estas são constituídas por camadas
de índices de refracção constantes e mutuamente distintos, dá-se ênfase à expansão em coeficientes
da série de Fourier da função permitividade eléctrica, que permite um tratamento amplamente mais
simplificado de meios periódicos, bem como a uma caracterização matricial da estrutura, com base
nas condições nas interfaces, que está na origem da obtenção dos diversos parâmetros a ela
associados.
146
Estruturas Periódicas
B.1 Coeficientes da Série de Fourier da Permitividade Eléctrica
Dada uma estrutura periódica constituída por células de duas camadas de espessura equivalente, tal
como esquematizado na Figura B.1, de tal forma que se tem um índice de refracção constante por
patamares, com 0,5Λ e inteiro, vem de (3.70)
, Λ 0,5 Λ , 0,5 Λ 1 Λ . (B.1)
Figura B.1 – Estrutura periódica de camadas de igual espessura.
A expansão em série de Fourier da permitividade eléctrica é dada por (3.23), com os coeficientes
respectivos [84] calculados através da expressão
1Λ . (B.2)
O índice de refracção [17] é obtido com recurso a
. (B.3)
Uma vez que o meio é não magnético, 1, , é possível exprimir a função permitividade
eléctrica ao longo da coordenada espacial em função de ,
, (B.4)
sendo que o seu valor no vácuo é constante, 8,854 10 · .
Tomando os valores da permitividade eléctrica em cada uma das camadas, e , de tal forma que
, Λ 0,5 Λ , 0,5 Λ 1 Λ
, (B.5)
vem, de (B.2) e (B.5), para uma célula arbitrária com início na origem do referencial espacial,
… …
0,5Λ 0,5Λ 0,5Λ 0,5Λ
147
Estruturas Periódicas
1Λ , (B.6)
o que, introduzindo a restrição geométrica 0,5Λ, impõe
2
,
,. (B.7)
De (B.7), redunda a expressão
2 1 . (B.8)
Assim, vem para o coeficiente de ordem 1 da expansão em série de Fourier, de (B.5) e (B.8),
2 11
. (B.9)
Da mesma forma, obtém-se de (B.5) e (B.6) o coeficiente de ordem 0 que, por definição,
corresponde ao valor médio da permitividade eléctrica no espaço de um período ou célula,
1Λ
,, 2 2 . (B.10)
B.2 Modelo Elíptico para a Componente Imaginária do Número de Onda
Dada a relação de dispersão (3.35) que caracteriza a estrutura periódica em análise, é possível obter
as frequências angulares que correspondem aos extremos da banda proibida, por substituição do
número de onda de Bloch pela condição de Bragg (3.36),
14 0 , (B.11)
resultando, após manipulação algébrica simples,
14
12
1
12
1 . (B.12)
Introduzindo o número de onda de Bloch (3.41), na forma ,
12
12
12
12
12
, (B.13)
com , na relação de dispersão (3.35), reverte a expressão
12
12 0 . (B.14)
Desenvolvendo o produto de complexos conjugados e agrupando os termos semelhantes, vem
148
Estruturas Periódicas
12
12 2 0 , (B.15)
expressão que constitui uma forma exacta da equação de dispersão que relaciona a frequência
angular de trabalho com a componente imaginária do número de onda de Bloch, na banda proibida.
Substituindo a frequência angular de trabalho por , dada por (3.42), em (B.15), vem
12
12
12
12
12
12 0 , (B.16)
que equivale a
116
18
12
12
116
12 0 , (B.17)
ou, agrupando as potências semelhantes,
12 0 . (B.18)
Fazendo uso da aproximação (3.45),
12 0 , (B.19)
e substituindo a componente imaginária pela sua expressão original (3.41),
, (B.20)
resulta finalmente a componente imaginária do número de onda de Bloch no centro da banda
proibida,
1 12
14 , (B.21)
que corresponde ao seu valor máximo.
De (3.50) e (3.51), reverte para a largura da banda proibida a expressão
Δ 2
1
21 1
1
. (B.22)
Tendo em conta a aproximação [84],
1 112 , 1 (B.23)
e assumindo a condição (3.49), é exequível admitir que
149
Estruturas Periódicas
1 1 2 . (B.24)
Assim, a equação (B.22) pode ser escrita na forma
Δ 21 1 2
1 2
22
22
22
, (B.25)
ou, invocando novamente a condição (3.49), segundo a qual ,
Δ . (B.26)
B.3 Condições nas Interfaces da Estrutura Periódica
De (3.74), e considerando polarização transversal eléctrica (TE), o campo eléctrico que se propaga
nas células 1 e vem dado por
é
é
. (B.27)
Recorrendo a (B.27) e aplicando as condições nas interfaces (3.78) vem, para fronteiras entre
células,
, (B.28)
e para fronteiras entre camadas da mesma célula,
. (B.29)
Assim, resulta para a interface correspondente aos pontos 1 Λ
, (B.30)
e 1 Λ , com Λ ,
, (B.31)
ambos assinalados na Figura 3.9.
Os campos (B.27) admitem as derivadas parciais em ordem à coordenada espacial correspondente à
direcção de propagação da radiação,
é
é
. (B.32)
150
Estruturas Periódicas
Aplicando novamente as condições nas interfaces (3.78), reverte, para fronteiras entre células,
, (B.33)
e para a fronteira entre camadas da mesma célula,
. (B.34)
Desta forma, provém para a interface correspondente respectivamente aos pontos 1 Λ
, (B.35)
e 1 Λ , com Λ ,
. (B.36)
B.4 Coeficientes da Matriz de Transmissão
A matriz de transição que permite obter a transformação operada sobre os valores das ondas
incidente e reflectida correspondentes a duas células consecutivas do cristal fotónico é da forma
, (B.37)
em que , , e representam os respectivos coeficientes.
De (3.80) e (3.81), redunda a equação
, (B.38)
com as matrizes , 1,2,3,4, caracterizadas pelas expressões
1 11 1 , (B.39)
, (B.40)
, (B.41)
. (B.42)
A inversa de uma matriz genérica : , com 2, pode ser espontaneamente obtida através de
adjdet
1. (B.43)
Assim, de (B.39) e (B.41) revertem as matrizes inversas,
151
Estruturas Periódicas
121 11 1 , (B.44)
para 1, e
12 , (B.45)
para 3. No seguimento da equação (B.38), o primeiro processo multiplicativo vem
12
1 1
1 1. (B.46)
Da multiplicação do terceiro operando (B.41) e da relação Λ ,
14 , (B.47)
surgem os coeficientes
1 1 2 cos sin
1 1 2 cos sin
1 1 2 cos sin
1 1 2 cos sin
, (B.48)
simplificados com recurso às expressões que relacionam os operadores trigonométricos com a
exponencial complexa,
cos 2
sin 2
. (B.49)
Finalmente, multiplicando (B.47) pelo quarto operando (B.42),
, (B.50)
emanam os coeficientes da matriz de transição ,
12 cos
12 sin
12 cos
12 sin
12 cos
12 sin
12 cos
12 sin
12 cos
12 sin
12 cos
12 sin
12 cos
12 sin
12 cos
12 sin
, (B.51)
que podem ser escritos na forma simplificada
152
Estruturas Periódicas
cos12 sin
12 sin
12 sin
cos12 sin
. (B.52)
B.5 Matriz de Transmissão de uma Estrutura Periódica Genérica
Considere-se uma estrutura periódica genérica constituída por células de camadas de espessuras
arbitrárias, caracterizadas por índices de refracção constantes e não dispersivos, porém mutuamente
distintos , de tal forma que
, , (B.53)
com inteiro no intervalo 1, , periodicidade Λ e Λ , em que e são
abcissas que delimitam cada camada de espessura . De (3.73), a distribuição da
componente do campo eléctrico que depende da coordenada espacial, na camada , vem
. (B.54)
Nesse sentido, a matriz de transferência que permite obter a transformação operada sobre os valores
das ondas incidente e reflectida correspondentes à estrutura periódica genérica na camada de
duas células contíguas , com radiação electromagnética incidente caracterizada por uma
polarização transversal eléctrica (TE), no seguimento do caso particular anterior, é calculada através
da expressão
, (B.55)
em analogia com (B.37). Inserindo as condições na fronteira (3.79), válidas para o caso particular
1 camada, surge da matriz (B.46),
12
1 1
1 1 , (B.56)
correspondente a uma interface arbitrária. Generalizando para a estrutura de 1 camadas, resulta
12
1 1
1 1 , (B.57)
ou, de forma mais simplificada,
153
Estruturas Periódicas
12
1 11 1
, (B.58)
em que representa o rácio entre os módulos das constantes de propagação em duas camadas
sucessivas da estrutura,
. (B.59)
De notar que se verifica uma repetição dos parâmetros de em camadas,
, (B.60)
com inteiro, o que implica que
1
Λ
. (B.61)
B.6 Relação de Dispersão Fundamental dos Cristais Fotónicos
A expressão (3.113), com recurso aos coeficientes da matriz de transferência (B.52) e aos
operadores trigonométricos na forma exponencial complexa (B.49), pode ser escrita na configuração
expandida
cos Λ 2 2 , (B.62)
com a parcela regida por
cos 2cos cos , (B.63)
e a parcela por
12 sin
sin sin . (B.64)
De (B.62), considerando as nomenclaturas (3.116) e (3.117) associadas ao caso particular de
radiação electromagnética incidindo perpendicularmente sobre a estrutura periódica, resulta
finalmente
cos Λ cos cos12 sin sin , (B.65)
154
Estruturas Periódicas
que configura a versão final da equação de dispersão , que relaciona a frequência angular de
trabalho com a constante de propagação correspondente às ondas de Bloch na estrutura, na situação
singular de esta ser constituída por células de duas camadas, de espessuras e , e às quais estão
associados índices de refracção não dispersivos e espacialmente invariantes, e .
B.7 Identidade de Chebyshev
No que se segue, procede-se à dedução da Identidade de Chebyshev, útil no cálculo de potências de
matrizes unimodulares, como é o caso de uma matriz de transferência aplicada a uma estrutura
periódica fotónica composta por células. A equação dos vectores próprios de (3.106) vem dada
por
0
0 . (B.66)
Uma vez que um dos valores próprios , com 1,2 é necessariamente da forma (3.104),
é possível admitir que , resultando imediatamente de (3.115) a imposição . Por
outro lado, de (B.66), redunda o sistema de duas equações a duas incógnitas,
0
0 . (B.67)
Qualquer das duas equações permite a obtenção de vectores próprios válidos e, adicionalmente, uma
vez que singularmente correspondem a equações simples a duas incógnitas, um dos seus
componentes pode ser fixado arbitrariamente. Assim, identificando por , os vectores próprios
relativos a cada uma das equações, e consignando e , resulta
, (B.68)
pelo que os valores próprios de associados a cada valor próprio se escrevem na forma
. (B.69)
Para efeitos de cálculo de potências de matrizes, reveste-se de particular relevância a utilização da
diagonalização, que consiste na concepção de uma matriz quadrada de tal forma que se tenha
, (B.70)
em que é uma matriz caracterizada por uma diagonal principal formada pelos valores próprios de ,
sendo nulos os restantes elementos, ou seja,
155
Estruturas Periódicas
0 ,, , (B.71)
com e inteiros não nulos, e com o símbolo relativo ao delta de Kronecker. Uma vez que a
matriz inversa de corresponde ao quociente de uma matriz de colunas correspondentes aos
vectores próprios de pela raiz quadrada do seu determinante,
det1
, (B.72)
decorre de imediato a expressão da matriz ,
adjdet
1. (B.73)
De forma a verificar a veracidade da condição (B.70), é necessário efectuar a multiplicação
1
1 1 (B.74)
em que ,
, (B.75)
define o denominador comum a todos os elementos da matriz descrita por
. (B.76)
Tomando no que se segue , as expressões (B.69) e (3.115), e a equação resultante da relação
de dispersão (3.113),
2cos Λ , (B.77)
vem para o elemento ,
, (B.78)
e, tendo em conta o facto de ser unimodular (3.87),
2 cos Λ cos Λ 0 . (B.79)
156
Estruturas Periódicas
Identicamente, para o elemento , de (B.76),
, (B.80)
o que, recorrendo a (3.87) e (B.77), conduz a
2cos Λ 2 cos Λ cos Λ 0 . (B.81)
Para o elemento , de (B.76), vem
1 , (B.82)
e, recorrendo a (3.87) e (B.76),
2 1 cos Λ . (B.83)
Finalmente, vem para o elemento ,
1 , (B.84)
que, tendo em conta (3.87) e (B.76),
2 cos Λ 1 . (B.85)
Uma vez que o denominador comum vem dado por
2 sin Λ , (B.86)
e dada a relação (B.74), resulta de (B.83) e (B.86),
1 cos Λsin Λ
1 cos Λ sin Λ cos Λsin Λ
sin Λ sin Λ cos Λsin Λ cos Λ sin Λ , (B.87)
e de (B.85) e (B.86),
cos Λ 1sin Λ
cos Λ sin Λ cos Λ 1sin Λ
sin Λ sin Λ cos Λsin Λ cos Λ sin Λ . (B.88)
Deste modo, de (B.74) reverte
00
, (B.89)
o que está de acordo com (B.70).
Elevando (B.89) a uma potência de ordem , tem-se
157
Estruturas Periódicas
00
, (B.90)
de onde decorre de imediato uma expressão para a potência de ordem da matriz de transferência
,
00
. (B.91)
Recorrendo a (B.72), (B.73) e (B.75) e desenvolvendo os produtos matriciais, vem
1 00
1
1
1. (B.92)
A expressão (B.92) constitui um resultado que pode ser aplicado independentemente em cada
elemento da matriz com , . Assim, o denominador , com , vem
2 sin Λ . (B.93)
Da mesma forma, tendo em conta (B.49), (B.69) e (B.92), com , tem-se
2 sin Λ , (B.94)
e também,
2 sin Λ sin 1 Λ . (B.95)
Utilizando as mesmas expressões para , fica
2 sin Λ , (B.96)
e, adicionalmente,
2 sin Λ sin 1 Λ . (B.97)
Utilizando (B.86) e (B.92), tem-se para (B.96) e (B.97),
158
Estruturas Periódicas
sin Λ sin 1 Λsin Λ
sin Λsin Λ
, (B.98)
ao passo que para os elementos (B.94) e (B.95), fica
sin Λ sin 1 Λsin Λ
sin Λsin Λ
. (B.99)
Das duas pretéritas expressões, obtém-se finalmente o resultado relativo à potência de ordem
(B.92) da matriz de transferência da estrutura periódica,
sin Λ sin 1 Λsin Λ
sin Λsin Λ
sin Λsin Λ
sin Λ sin 1 Λsin Λ
. (B.100)
Neste ponto, faz sentido, por uma questão de simetria e simplicidade, introduzir a notação
sin Λsin Λ , (B.101)
que permite reescrever a potência (B.100) na forma que se denomina de identidade de Chebyshev,
. (B.102)
159
Referências
Referências
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