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CredibilityTheory
ChristophChlubna
Credibility Theory
Christoph Chlubna
10. Januar 2012
1 / 18
CredibilityTheory
ChristophChlubna
Gliederung
1 Was ist Credibility Theory
2 Das Problem der Risikobewertung
3 Das individuelle Risiko
4 Die verschiedenen Pramienarten
5 Die Risikofunktion
6 Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
2 / 18
CredibilityTheory
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Gliederung
1 Was ist Credibility Theory
2 Das Problem der Risikobewertung
3 Das individuelle Risiko
4 Die verschiedenen Pramienarten
5 Die Risikofunktion
6 Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
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Gliederung
1 Was ist Credibility Theory
2 Das Problem der Risikobewertung
3 Das individuelle Risiko
4 Die verschiedenen Pramienarten
5 Die Risikofunktion
6 Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
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Gliederung
1 Was ist Credibility Theory
2 Das Problem der Risikobewertung
3 Das individuelle Risiko
4 Die verschiedenen Pramienarten
5 Die Risikofunktion
6 Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
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Gliederung
1 Was ist Credibility Theory
2 Das Problem der Risikobewertung
3 Das individuelle Risiko
4 Die verschiedenen Pramienarten
5 Die Risikofunktion
6 Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
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CredibilityTheory
ChristophChlubna
Gliederung
1 Was ist Credibility Theory
2 Das Problem der Risikobewertung
3 Das individuelle Risiko
4 Die verschiedenen Pramienarten
5 Die Risikofunktion
6 Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
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CredibilityTheory
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Gliederung
1 Was ist Credibility Theory
2 Das Problem der Risikobewertung
3 Das individuelle Risiko
4 Die verschiedenen Pramienarten
5 Die Risikofunktion
6 Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
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CredibilityTheory
ChristophChlubna
Was ist Credibility Theory
1 statistisches Verfahren
2 Bewertung von Versicherungsprodukten
3 basiert auf den zwei Konzepten des individuellen und kollektiven Risikos
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CredibilityTheory
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Was ist Credibility Theory
1 statistisches Verfahren
2 Bewertung von Versicherungsprodukten
3 basiert auf den zwei Konzepten des individuellen und kollektiven Risikos
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Was ist Credibility Theory
1 statistisches Verfahren
2 Bewertung von Versicherungsprodukten
3 basiert auf den zwei Konzepten des individuellen und kollektiven Risikos
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Was ist Credibility Theory
1 statistisches Verfahren
2 Bewertung von Versicherungsprodukten
3 basiert auf den zwei Konzepten des individuellen und kollektiven Risikos
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CredibilityTheory
ChristophChlubna
Das Problem der Risikobewertung
Die zugrunde liegende Aufgabe der Bewertung des Riskos besteht in der Bestimmungder sogenannten reinen Risikopramie Pi = E[Xi]. Dazu betrachten wir eineVersicherung mit einem Portfolio bestehend aus I versicherten Risiken miti = 1, 2, . . . , I . In einer wohldefinierten Versicherungsperiode erzeugt das Risiko i
1 eine Anzahl an Schaden Ni ,
2 mit den Schadenshohen Y(v)i (v = 1, 2, . . . ,Ni ),
3 welche zusammen den Gesamtschaden Xi =∑Ni
v=1 Y(v)i ergeben.
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CredibilityTheory
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Das Problem der Risikobewertung
Die zugrunde liegende Aufgabe der Bewertung des Riskos besteht in der Bestimmungder sogenannten reinen Risikopramie Pi = E[Xi]. Dazu betrachten wir eineVersicherung mit einem Portfolio bestehend aus I versicherten Risiken miti = 1, 2, . . . , I . In einer wohldefinierten Versicherungsperiode erzeugt das Risiko i
1 eine Anzahl an Schaden Ni ,
2 mit den Schadenshohen Y(v)i (v = 1, 2, . . . ,Ni ),
3 welche zusammen den Gesamtschaden Xi =∑Ni
v=1 Y(v)i ergeben.
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CredibilityTheory
ChristophChlubna
Individuelles Risiko
Das individuelle Risiko erzeugt Gesamtschaden Xj mit (j = 1, 2, . . . , n).Mit den Beobachtungen aus vergangenen Perioden X = (X1, . . . ,Xn) als Basis, wollenwir nun die Gesamtschaden fur zukunftige Perioden schatzen, zum Beispiel Xn+1.Hierzu mussen wir einige Standardannahme uber die Verteilungsfunktion derZufallsvariablen Xj treffen:
1 (Stationaritat) Alle X ′j s sind identisch verteilt mit Verteilungsfunktion F (x).
2 (Bedingte Unabhangigkeit) Die stochastischen Großen Xj mit j = 1, 2, . . . , nsind bedingt unabhangig (mit Verteilung F (x)).
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Individuelles Risiko
Das individuelle Risiko erzeugt Gesamtschaden Xj mit (j = 1, 2, . . . , n).Mit den Beobachtungen aus vergangenen Perioden X = (X1, . . . ,Xn) als Basis, wollenwir nun die Gesamtschaden fur zukunftige Perioden schatzen, zum Beispiel Xn+1.Hierzu mussen wir einige Standardannahme uber die Verteilungsfunktion derZufallsvariablen Xj treffen:
1 (Stationaritat) Alle X ′j s sind identisch verteilt mit Verteilungsfunktion F (x).
2 (Bedingte Unabhangigkeit) Die stochastischen Großen Xj mit j = 1, 2, . . . , nsind bedingt unabhangig (mit Verteilung F (x)).
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CredibilityTheory
ChristophChlubna
Individuelle Pramie
Definition:Die individuelle Pramie eines Risikos mit Risikoprofil θ ist gegeben durch
µ(θ) := P ind (θ) = E [Xn+1|θ].
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Individuelle Pramie
Definition:Die individuelle Pramie eines Risikos mit Risikoprofil θ ist gegeben durch
µ(θ) := P ind (θ) = E [Xn+1|θ].
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CredibilityTheory
ChristophChlubna
Kollektive Pramie
Definition:Die Wahrscheinlichkeitsverteilung U(θ) nennt man die Strukturfunktion des Kollektivs.
Definition:Die kollektive Pramie, oder auch Tarifstufe genannt, ist gegeben durch
µ0 := Pcoll =
∫Θµ(θ)dU(θ) = E [Xn+1].
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CredibilityTheory
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Kollektive Pramie
Definition:Die Wahrscheinlichkeitsverteilung U(θ) nennt man die Strukturfunktion des Kollektivs.
Definition:Die kollektive Pramie, oder auch Tarifstufe genannt, ist gegeben durch
µ0 := Pcoll =
∫Θµ(θ)dU(θ) = E [Xn+1].
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Kollektive Pramie
Definition:Die Wahrscheinlichkeitsverteilung U(θ) nennt man die Strukturfunktion des Kollektivs.
Definition:Die kollektive Pramie, oder auch Tarifstufe genannt, ist gegeben durch
µ0 := Pcoll =
∫Θµ(θ)dU(θ) = E [Xn+1].
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CredibilityTheory
ChristophChlubna
Das Zwei-Urnen Modell und die Bayes Pramie
1 Bedingt durch das Ereignis Θ = θ sind die X1,X2, . . . unabhangig und identischverteilt mit Verteilungsfunktion Fθ.
2 Θ ist eine stochastische Große mit Verteilung U.
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Das Zwei-Urnen Modell und die Bayes Pramie
1 Bedingt durch das Ereignis Θ = θ sind die X1,X2, . . . unabhangig und identischverteilt mit Verteilungsfunktion Fθ.
2 Θ ist eine stochastische Große mit Verteilung U.
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Bayes Pramie
Definition:Die Bayes Pramie ist definiert duch
µ(Θ) = PBayes := E [µ(Θ)|X].
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Bayes Pramie
Definition:Die Bayes Pramie ist definiert duch
µ(Θ) = PBayes := E [µ(Θ)|X].
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CredibilityTheory
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Risikofunktion
Sei L(θ,T (x)) die Verlustfunktion, wenn θ der wahre Parameter ist.Die Risikofunktion des Schatzers T ist gegeben durch
RT (θ) := Eθ[L(θ,T )] =
∫Rn
L(θ,T (x))dFθ(x).
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Risikofunktion
Sei L(θ,T (x)) die Verlustfunktion, wenn θ der wahre Parameter ist.Die Risikofunktion des Schatzers T ist gegeben durch
RT (θ) := Eθ[L(θ,T )] =
∫Rn
L(θ,T (x))dFθ(x).
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Bayes Risiko
Definition:Das Bayes Risiko des Schatzers T , mit Bezug auf die a priori Verteilung U(θ) istgegeben durch
R(T ) :=
∫ΘRT (θ)dU(θ).
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Bayes Risiko
Definition:Das Bayes Risiko des Schatzers T , mit Bezug auf die a priori Verteilung U(θ) istgegeben durch
R(T ) :=
∫ΘRT (θ)dU(θ).
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Quadratische Verlustfunktion
Eine besondere Form der Verlustfunktion ist die quadratische Verlustfunktion
L(θ,T (x)) = (µ(θ)− T (x))2.
Satz:Der Bayes Schatzer bezuglich der quadratischen Verlustfunktion ist gegeben durch
µ(Θ) = E [µ(Θ)|X].
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Quadratische Verlustfunktion
Eine besondere Form der Verlustfunktion ist die quadratische Verlustfunktion
L(θ,T (x)) = (µ(θ)− T (x))2.
Satz:Der Bayes Schatzer bezuglich der quadratischen Verlustfunktion ist gegeben durch
µ(Θ) = E [µ(Θ)|X].
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Quadratische Verlustfunktion
Eine besondere Form der Verlustfunktion ist die quadratische Verlustfunktion
L(θ,T (x)) = (µ(θ)− T (x))2.
Satz:Der Bayes Schatzer bezuglich der quadratischen Verlustfunktion ist gegeben durch
µ(Θ) = E [µ(Θ)|X].
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CredibilityTheory
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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
Modellannahme Das einfache Credibility Modell
1 Die stochastischen Großen Xj mit (j = 1, . . . , n) sind, bedingt in Θ = θ,unabhangig mit identischer Verteilungsfunktion Fθ und bedingten Momenten
µ(θ) = E [Xj |Θ = θ],
σ2(θ) = Var[Xj |Θ = θ].
2 Θ ist eine stochastische Große mit Verteilung U(θ).
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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
Modellannahme Das einfache Credibility Modell
1 Die stochastischen Großen Xj mit (j = 1, . . . , n) sind, bedingt in Θ = θ,unabhangig mit identischer Verteilungsfunktion Fθ und bedingten Momenten
µ(θ) = E [Xj |Θ = θ],
σ2(θ) = Var[Xj |Θ = θ].
2 Θ ist eine stochastische Große mit Verteilung U(θ).
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CredibilityTheory
ChristophChlubna
Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
Satz:Die Credibility Pramie unter den Annahmen des einfachen Credibility Modells istgegeben durch
µ(Θ) = αX + (1− α)µ0,
mit
X = 1n
∑nj=1 Xj ,
µ0 = E [µ(Θ)],
α = n
n+ σ2
τ2
.
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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
Satz:Die Credibility Pramie unter den Annahmen des einfachen Credibility Modells istgegeben durch
µ(Θ) = αX + (1− α)µ0,
mit
X = 1n
∑nj=1 Xj ,
µ0 = E [µ(Θ)],
α = n
n+ σ2
τ2
.
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CredibilityTheory
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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
1 µ0 ist der beste Schatzer, der auf dem a priori-Wissen allein basiert.Der quadratische Verlust ist
E [(µ0 − µ(Θ))2] = Var(µ(Θ)) = τ2
2 X ist der bestmogliche, lineare und individuell erwartungstreue Schatzer, der nurauf dem Beobachtungsvektor X basiert.Mit quadratischem Verlust
E [(X− µ(Θ))2] = E [σ2(Θ)/n] = σ2/n.
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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
1 µ0 ist der beste Schatzer, der auf dem a priori-Wissen allein basiert.Der quadratische Verlust ist
E [(µ0 − µ(Θ))2] = Var(µ(Θ)) = τ2
2 X ist der bestmogliche, lineare und individuell erwartungstreue Schatzer, der nurauf dem Beobachtungsvektor X basiert.Mit quadratischem Verlust
E [(X− µ(Θ))2] = E [σ2(Θ)/n] = σ2/n.
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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
1 µ0 ist der beste Schatzer, der auf dem a priori-Wissen allein basiert.Der quadratische Verlust ist
E [(µ0 − µ(Θ))2] = Var(µ(Θ)) = τ2
2 X ist der bestmogliche, lineare und individuell erwartungstreue Schatzer, der nurauf dem Beobachtungsvektor X basiert.Mit quadratischem Verlust
E [(X− µ(Θ))2] = E [σ2(Θ)/n] = σ2/n.
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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
1 κ = σ2
τ2 wird der Credibility Koeffizient genannt. Er kann auch durch
κ = ( σµ0
)2( τµ0
)−2 dargestellt werden.τµ0
ist der Koeffizient fur die Variation von µ(Θ). Er ist ein Maß fur die
Heterogenitat eines Portfolios.σµ0
=√
E [Var[Xj |Θ]]/E [Xj ] ist ein Maß fur die Variation innerhalb der
Risikokategorien.
2 α ist das sogenannte Credibility Gewicht. Es wachst, wenn
1 Die Zahl an beobachteten Jahren n wachst,2
τµ0
, das Maß fur die Heterogenitat des Portfolios, wachst,
3σµ0
, die Variation innerhalb der Risikokategorien, sinkt.
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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
1 κ = σ2
τ2 wird der Credibility Koeffizient genannt. Er kann auch durch
κ = ( σµ0
)2( τµ0
)−2 dargestellt werden.τµ0
ist der Koeffizient fur die Variation von µ(Θ). Er ist ein Maß fur die
Heterogenitat eines Portfolios.σµ0
=√
E [Var[Xj |Θ]]/E [Xj ] ist ein Maß fur die Variation innerhalb der
Risikokategorien.
2 α ist das sogenannte Credibility Gewicht. Es wachst, wenn
1 Die Zahl an beobachteten Jahren n wachst,2
τµ0
, das Maß fur die Heterogenitat des Portfolios, wachst,
3σµ0
, die Variation innerhalb der Risikokategorien, sinkt.
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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
1 κ = σ2
τ2 wird der Credibility Koeffizient genannt. Er kann auch durch
κ = ( σµ0
)2( τµ0
)−2 dargestellt werden.τµ0
ist der Koeffizient fur die Variation von µ(Θ). Er ist ein Maß fur die
Heterogenitat eines Portfolios.σµ0
=√
E [Var[Xj |Θ]]/E [Xj ] ist ein Maß fur die Variation innerhalb der
Risikokategorien.
2 α ist das sogenannte Credibility Gewicht. Es wachst, wenn
1 Die Zahl an beobachteten Jahren n wachst,2
τµ0
, das Maß fur die Heterogenitat des Portfolios, wachst,
3σµ0
, die Variation innerhalb der Risikokategorien, sinkt.
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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
Satz:
Der quadratische Verlust der Credibility Pramie istµ(Θ) gegeben durch
E
[(µ(Θ)− µ(Θ)
)2]
= (1− α)τ2
= ασ2
n.
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Die Credibility Pramie im einfachen Credibility Modell
Satz:
Der quadratische Verlust der Credibility Pramie istµ(Θ) gegeben durch
E
[(µ(Θ)− µ(Θ)
)2]
= (1− α)τ2
= ασ2
n.
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ChristophChlubna
Vielen Dank fur die Aufmerksamkeit!
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