View
215
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Master 2 – Dynamique des fluideset énergétique
Reynald BurReynald.Bur@onera.fr
Cours 3 : Application des équations générales du mouv ementThéorème d'Hugoniot et formule de BernoulliThéorème de la dynalpie
complète linéarisée stationnaire
frottement, flux de chaleur
Equations moyennées (RANS)
instationnaire
théorie des profils minces et de la ligne
portante
Simulation des grosses structures (LES)
Simulation numérique directe (DNS)
Les méthodes de prévision en aérodynamique classiqu e
LES EQUATIONS GENERALES DU MOUVEMENT
APPROXIMATION DU FLUIDE NON VISQUEUX
Cas général : Equations d'Euler
Ecoulement irrotationnel
Equation du potentielMonodimensionnel Bidimensionnel
Supersonique : Méthode des caractéristiques
Transsonique, Supersonique : Méthodes numériques
Tridimensionnel : Méthodes numériques
Ecoulement incompressibleEquation de Laplace
Solutions analytiquesMéthode des singularités
PRISE EN COMPTE DES EFFETS VISQUEUX
L'approximation de couche limite
Problème completRésolution numérique des
équations de Navier -StokesEquations d'Euler :modèles non
visqueux
Méthode de couplage :fluide parfait - fluide
visqueux
ESSAIS EN SOUFFLERIE
EQUATIONS DE NAVIER-STOKES
écoulement monodimensionnel : ne dépend que d'une seulevariable d'espace : X A(X) , V(X) , p(X) , ρρρρ(X) , T(X) ...
écoulement stationnaire , non visqueux , non conducteur dela chaleur , pas de force à distance (absence de gravité, deforces électromagnétiques)
écoulement adiabatique : pas d'échanges de chaleur
Equations d’Euler
Les trois équations fondamentales1. conservation de la masse2. équation du mouvement3. énergie : premier principe
Conservation de la masse ou équation de continuité
0A
dAV
dVd ====++++++++ρρρρρρρρ
tetanconsAVqm ====ρρρρ====
ou, sous forme différentielle :
qm : débit massique (kg/s)
Écoulement monodimensionnel
A(X)
XV
Equation du mouvement
γγγγ==== mFapplication au volume MM'L'L
(((( ))))xA(((( ))))dxxA ++++
dpp ++++
dpp ++++ρρρρ++++ρρρρ d
dVV ++++
p
pρρρρV
xdxx ++++
M'M
L'L
x
expression de l'accélération
dtdV====γγγγ
�
dxdV
VtV
dtdx
dxdV
tV
dtdV ++++
∂∂∂∂∂∂∂∂====++++
∂∂∂∂∂∂∂∂====
stationnairedxdV
VdtdV ==== masse contenue dans MM'LL' Adxρρρρ
Écoulement monodimensionnel
Equation du mouvement
γγγγ==== mF
0dp
dVV ====ρρρρ
++++
(((( ))))[[[[ ]]]] pdAApdApApdxdV
VdxA
++++++++−−−−
====ρρρρ
application au volume MM'L'L
équation d'Euler
(((( ))))xA(((( ))))dxxA ++++
dpp ++++
dpp ++++ρρρρ++++ρρρρ d
dVV ++++
p
pρρρρV
xdxx ++++
M'M
L'L
x
Écoulement monodimensionnel
Théorème d'Hugoniot
0A
dAV
dVd ====++++++++ρρρρρρρρ 0
dpdVV ====
ρρρρ++++continuité mouvement
ρρρρ====
ρρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂====
ddpp
as
2vitesse du son
aV
M ====nombre de Mach
0A
dA
a
V1
VdV
2
2====++++
−−−−
(((( )))) 0A
dAM1
VdV 2 ====++++−−−−
Théorème d'Hugoniot
(((( )))) 0A
dAM1
VdV 2 ====++++−−−−
1M<<<< 0dAdV <<<<écoulement subsonique
la vitesse augmente quand la section diminue
1M >>>> écoulement supersonique 0dAdV >>>>
la vitesse augmente quand la section augmente
1M ==== 0dA ====écoulement sonique
la section est stationnaire : existence d'un col
Théorème d'Hugoniot
écoulement supersoniqueécoulement subsonique
écoulement subsonique-supersonique avec passage par u n col
dM<0
0dA <<<< 0dA <<<<0dM >>>> 0dM >>>>
0dA >>>>0dM <<<< 0dM <<<<0dA >>>>
0dA <<<<0dM >>>>
0dA >>>>0dM >>>>1M ====
0dA ====
Théorème d'Hugoniot : tuyère d'une soufflerie superson ique
Tuyère Mach 2 de la soufflerie S5Ch de l'Onera-Meudon
relation entre la pression et la vitesse dans un écoulement incompressible non visqueuxvalable le long d’une ligne de courant
V1
V2
Ligne de courant
pression statique
pression dynamique
pression d’arrêt ou totale
Détour vers l’incompressible : équation ou formule de B ernoulli
équation du mouvement : 0dp
dVV ====ρρρρ
++++
écoulement incompressible : ρρρρ = ρρρρ0 = constante
ρ+ = =2
0 tan2 i
Vp p cons te
- dans le cas général, la constante de l’équation de Bernoulli change d’une ligne de courant à l’autre
- dans le cas d’un écoulement irrotationnel , cette constante reste la même pour toutes les lignes de courant
Formule de Bernoulli : cas d’un écoulement irrotationn el
ρ+ =2
tan2
Vp cons te à travers tout l’écoulement
vitesse pression
et inversement…
interprétation énergétique : le travail fournitpar les forces de pression est égal aux variationsd’énergie cinétique dans l’écoulement
Formule de Bernoulli : interprétation physique
Formule de Bernoulli : illustration
observation : dépression effort de succion entre les plaquesqui se ferment alors
interprétation : si la vitesse augmente, alors la pression statique diminue
21
2p V gz constρ ρ+ + =
'p p gzρ= +
La pression est modifiée avec l’altitudepar la loi d’hydrostatique :
La formule de Bernoulli devient :
pression de pesanteur
Formule de Bernoulli : cas avec force de gravité
z1
z2V1=0
V2
Applications de la formule de Bernoulli
Le théorème de Torricelli
jet parabolique
on considère la ligne de courantdessinée en rouge pour laquelleon écrit la formule de Bernoulliavec force de gravité :
2 21 1 1 2 2 2
1 1
2 2p V gz p V gzρ ρ ρ ρ+ + = + +
1 2 ap p p= =
2 2V g z= ∆
or : donc :
profil parabolique
Soit une aile dans un écoulement dans les condition s standard au niveau de la mer avec une vitesse de 50 m/s.A un certain point de l’aile, la pression est de 0,9x105N/m2.Calculer la vitesse de l’écoulement en ce point.
V=50m/s
Applications de la formule de Bernoulli
Calcul de la vitesse autour d’un profil
Au niveau de la mer :ρ=1,23kg/m 3 et p=1atm=1,013x10 5N/m2
2 21 1
2 2p V p Vρ ρ∞ ∞+ = +
( ) 22 p pV V
ρ∞
∞
−= +
142.8 /V m s=
Applications de la formule de Bernoulli
Calcul de la vitesse autour d’un profil : solution
2V
pp2
0i ρρρρ++++==== (((( ))))pp2
V i0
−−−−ρρρρ
====Le tube de Pitot
p i
p i
p
p
∆∆∆∆p = p i - p
capteur de pression différentiel
pression à la paroi du canal
V
chaîne de mesure
Applications de la formule de Bernoulli
Sondes du type tube de Pitot utilisées en souffleri e
sonde Pitot ronde sonde Pitot aplatie poursondage de couche limite
Applications de la formule de Bernoulli
Sondes lécheuses utilisées en soufflerie (proche paroi )
sonde pression statique
sonde pression d’arrêt
Applications de la formule de Bernoulli
sonde température
L'antenne de Prandtl : mesure de la vitesse sur un avi on
2V
pp2
0i ρρρρ++++==== (((( ))))pp2
V i0
−−−−ρρρρ
====
mesure par l'antenne de ∆∆∆∆p = p i - p vitesse de l'écoulement
p i
p i
p
pchaîne de
mesure
Applications de la formule de Bernoulli
Applications de la formule de Bernoulli
Antenne de Prandtl ou sonde de Pitot
Localisation au voisinage du bord d’attaque de l’ail e
Mesure de la vitesse sur un avion en écoulement sup ersonique
mesures de p 1 et p i2 et inversion de la formule de Rayleigh (théorie du choc droit)
p i1
p i2
p1
La sonde de Mach
p2
M1 >>>> 1
L’orifice permettant de mesurer la pression statiqu e p2doit se trouver suffisamment en aval (au moins à 10 diamètres)de l’origine du corps cylindrique de la sonde p2 ≈≈≈≈ p1
M1 et vitesse de l'écoulement
En un point d’arrêt de l’écoulement, la vitesse est nulle
Exemples au bord d’attaqued’une aile d’avion
Applications de la formule de Bernoulli
Notion de point d’arrêt d’un écoulement
Le tube de Venturi ou Venturi
22
02
21
01 V
2pV
2p
ρρρρ++++====ρρρρ++++
équation de Bernoulli
sections A 1 et A 2 connues
mesure des pressions p 1 et p 2
(A1) (A2)
p2p1
( )2 11 2
10
2
2 p pV
A1
A
−=
ρ −
V1 débit volumique q v = A1V1 (m3/s)
222111 AVVA ρρρρ====ρρρρ
conservation du débit
(((( ))))021 ρρρρ====ρρρρ====ρρρρ
Applications de la formule de Bernoulli
Applications de la formule de Bernoulli
Le ressaut hydraulique
L’eau qui coule du robinet… Autour de l’impact de l’ea u au fond de l’évier, on observe une brusque augmentation du niveau de l’eau
c’est le phénomène du ressaut hydraulique
instabilités et influence de la tension de surface
Applications de la formule de Bernoulli
Le mascaret
Quand la marée remonte un fleuve, si celle-ci est suf fisamment forte, alors on peut observer le phénomène du mascaret qui fait le bonheur des surfeurs !Le mascaret est un ressaut qui remonte le cours du fleuve avec la marée
en France : sur la Garonne et la Dordogne
Applications des équations de conservation
Le théorème de la dynalpie
hypothèses : écoulement stationnaire , pas de forces à distance
(((( )))) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −−−−====ρρρρ)S()S(
dSPdSVn.V��
�
�
équation fondamentale de la mécanique pour un systèm e à masse variable
(((( )))) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ υυυυυυυυυυυυρρρρ++++−−−−====ρρρρ++++
υυυυρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂
)()()()(. dfdSPdSVnVdV
t SS
���
�
��
(((( )))) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ υυυυυυυυυυυυρρρρ++++−−−−====ρρρρ++++
υυυυρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂
)()()()(. dfdSPdSVnVdV
t SS
���
�
��
Applications des équations de conservation
Le théorème de la dynalpie
vecteur dynalpie (((( ))))VnVPD�
�
���
.ρρρρ++++====
en écoulement stationnaire, l'intégrale du vecteur dy nalpie surune surface fermée ne contenant aucun obstacle est n ulle
0dSD)S(
====∫∫∫∫∫∫∫∫�
(((( )))) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −−−−====ρρρρ)S()S(
dSPdSVn.V��
�
�
(((( ))))[[[[ ]]]] 0dSVnVPS
====ρρρρ++++∫∫∫∫∫∫∫∫ )(.�
�
��
Expression des efforts aérodynamiques sur un corps
la surface (S 2) se confond avec la surface du corps
le théorème de la dynalpie est appliqué au volume dé finipar la réunion de (S 1) et (S2)
Applications des équations de conservation
dynalpieD�
dS
(((( ))))1S
(((( ))))2S
R�
Expression des efforts aérodynamiques sur un corps
le flux de quantité de mouvement sur (S 2) est nul :surface imperméable
∫∫∫∫∫∫∫∫ ====)( 2S
RdSP��
résultante des efforts aérodynamiques
théorème de la dynalpie
∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ====++++)( )(1 2S S
0dSPdSD��
∫∫∫∫∫∫∫∫−−−−====)( 1S
dSDR��
en écoulement stationnaire, sans forces à distance, la résultantedes forces aérodynamiques est égale à l'opposé de l'int égrale duvecteur dynalpie sur une surface fermée entourant le c orps
Applications des équations de conservation
Action d'un écoulement sur une nacelle propulsive : p ousséeet traînée de captation
(S1) s'appuie sur les lèvres d'entrée de la prise d'air(S2) s'appuie sur les lèvres de sortie de la tuyère
(S3) se confond avec toutes les surfaces internes imperméablesen contact avec le fluide
Applications des équations de conservation
I (entrée d'air) E (tuyère)
moteur
(((( ))))1S (((( ))))2S
(((( ))))3S
Action d'un écoulement sur une nacelle propulsive : p ousséeet traînée de captation
l'effort propulsif résulte des actions de contact in ternes
dSPR)S( 3
∫∫∫∫∫∫∫∫====��
Applications des équations de conservation
le flux de quantité de mouvement à travers (S 3) est nul
théorème de la dynalpie
(((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]]∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −−−−====ρρρρ++++++++ρρρρ++++)( )()(
..2S SS 31
dSPdSVnVPdSVnVP�
�
��
�
��
++++−−−−==== ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫)( )(2 1S S
dSDdSDR���
Action d'un écoulement sur une nacelle propulsive : p ousséeet traînée de captation
x�
est le vecteur unitaire porté par la vitesse amont dirigé selon
∞∞∞∞V�
∞∞∞∞V�
Poussée interne de la nacelle propulsive
TFP −−−−====
Applications des équations de conservation
Poussée de la tuyère xdSDF2S
�
�
.)(
==== ∫∫∫∫∫∫∫∫
Traînée de captation xdSDT1S
�
�
.)(
−−−−==== ∫∫∫∫∫∫∫∫
Applications des équations de conservation
Traînée d'un corps en écoulement uniforme
(S3) : surface ou tube de courant
écoulement uniforme dans (S 1)
pression redevenue uniforme dans (S 2) p = p ∞∞∞∞
(((( ))))1S (((( ))))2S
(((( ))))3S
(((( ))))1C (((( ))))2C
(((( ))))2P(((( ))))1P
∞∞∞∞V�
R
Applications des équations de conservation
Traînée d'un corps en écoulement uniforme
(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ρρρρ−−−−====ρρρρ ∞∞∞∞∞∞∞∞ )S()S( 21
dSn.VdSn.V�
�
�
�
conservation du débit dans le tube de courant (S 3) :
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∩∩∩∩ ∞∞∞∞∩∩∩∩++++====
)S()S()S()S( 2121
dSnpdSD�
�
(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ρρρρ++++ρρρρ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ )S()S( 21
dSVn.VdSVn.V�
�
��
�
�
bilan sur (S 1) et (S2) :
Applications des équations de conservation
Traînée d'un corps en écoulement uniforme
∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫====)( )(3 3S S
dSnpdSD�
�
(S3) : surface de courant aucun flux de mass e ne la traverse
(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ρρρρ−−−−====ρρρρ)S()S( 21
dSVn.VdSVn.V�
�
��
�
�
le vecteur étant constant∞∞∞∞V�
bilan sur (S 3) :
Applications des équations de conservation
Traînée d'un corps en écoulement uniforme
(((( ))))(((( ))))
−−−−ρρρρ++++−−−−==== ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∪∪∪∪∪∪∪∪ ∞∞∞∞∞∞∞∞)()()( )(
.321 2SSS S
dSVVnVdSnpR��
�
�
�
�
∞∞∞∞→→→→ pp(C1) devient très grand à grande distance :(plan de Trefftz )
effort aérodynamique sur le véhicule :
Applications des équations de conservation
Traînée d'un corps en écoulement uniforme
(((( ))))(((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ ∞∞∞∞−−−−ρρρρ−−−−====)(
.2S
dSVVnVR��
�
��
∫∫∫∫∫∫∫∫ ∪∪∪∪∪∪∪∪ ∞∞∞∞ →→→→)()()( 321 SSS
0dSnp�
comme p = constante sur (S 1) ∪∪∪∪ (S2) ∪∪∪∪ (S3) surface fermée
traînée T : projection de sur la vitesse amo ntR�
(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ ∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞ −−−−ρρρρ−−−−====)(
..2S
dSVVnVV
VT
��
�
�
�
�
Applications des équations de conservation
(((( ))))(((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
−−−−ρρρρ−−−−====)S( 2
dSV.VVn.VV1
T���
�
�
∫∫∫∫∫∫∫∫
−−−−
ρρρρρρρρ====
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞)S(x
2 AdS
Vu
1Vu
2C
Méthode de Betz pour la détermination de la traînée d 'un profil
u : composante de la vitesse selon ∞∞∞∞V�
AV21
TC
2x
∞∞∞∞∞∞∞∞ρρρρ====coefficient de traînée
(((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ ∞∞∞∞−−−−ρρρρ−−−−====)S( 2
dSVuuT
Applications des équations de conservation
Méthode de Betz pour la détermination de la traînée d 'un profil
la traînée se déduit d'un sondage du sillage suffisa mment loinen aval du profil
onde de choc
zone rotationnelle
sillage visqueux
traînée d'onde
traînée de frottement
1M <<<<1M >>>> 1M <<<<
∞∞∞∞V�
2y
1y
u
u
Pearcey, 1962
déclenchementtransition
couche limite
décollement dela couche limite
onde de choc
onde de choc
sillageinteraction choc -couche limite
Applications des équations de conservation
Exemple d’écoulement autour d’un profil transsonique
1M <<<<
1M >>>>
1M <<<<
document Onera
Applications des équations de conservation
Ecoulement autour d’un profil supercritique
1M <<<<
24,1M0 ====
1M >>>>
1M >>>>
1M <<<<
document ISL
Ecoulement autour d’un projectile en vol supersonique
Applications des équations de conservation
Applications des équations de conservation
(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ ∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞ −−−−ρρρρ−−−−====)(
..2S
dSVVnVV
VT
��
�
�
�
�
(((( ))))∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ −−−−====δδδδ====δδδδ−−−−δδδδ VVVVVhhT
�����
..
Relation d'Oswatitsch pour la traînée généralisée
1V
VV <<<<<<<<−−−−
∞∞∞∞
∞∞∞∞ ∞∞∞∞−−−−====δδδδ VVV���
à grande distance posons
VVhh T
��
δδδδ++++δδδδ====δδδδ .enthalpie totale
ρρρρδδδδ++++δδδδ====δδδδ p
sThthermodynamique
sTh δδδδ====δδδδ ∞∞∞∞car δδδδp = 0 entre (S 2) et (S1)
Applications des équations de conservation
Relation d'Oswatitsch pour la traînée généralisée
débit massique traversant l'élément de surface dS(((( ))))dSnVdq m
�
�
.ρρρρ====
(((( )))) sThhhVV.V TT δδδδ−−−−δδδδ====δδδδ−−−−δδδδ====−−−− ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
���
(((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ δδδδ−−−−δδδδ==== ∞∞∞∞∞∞∞∞
)( 2S mT dqhsTV1
T
(((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ δδδδ==== ∞∞∞∞∞∞∞∞
)( 2S mdqsTV1
T
la traînée d'un véhicule est directement liée au flux de l'entropiequ'il produit au travers d'une surface l'entourant
écoulement adiabatique 0h T ====δδδδ
on a :
Applications des équations de conservation
(((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ δδδδ==== ∞∞∞∞∞∞∞∞
)( 2S mdqsTV1
T
Source de la traînée
la traînée est une conséquence de la production d'ent ropie
en absence de flux de chaleur, la seule source d'entro pie estla viscosité du fluide
∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂
ττττρρρρ
====i
i
i
jij x
qx
u1dtds
Téquation de l'énergie(pas de réactions chimiques)
fluide non visqueux absence de traînée
Paradoxe de d'Alembert
tourbillon d'extrémité traînée induite
nappe de sillage traînée visqueuse
Applications des équations de conservation
Traînée visqueuse et traînée induite
couches limites sur l'aile donnant la nappe de silla ge ou sillage
traînée visqueuse
ondes de choc
traînée d'onde (ou de choc)
tourbillons issus des extrémités de l'aile résultant du contournement
traînée induite par la portance
dans tous les cas, c'est la viscosité qui est à l'orig ine de la traînée
Applications des équations de conservation
Source de la traînée
Applications des équations de conservation
Détermination de la traînée d'une aile
méthode de Betz traînée déduite d'une exploration de l'écoulement dans un plan situé loin en aval de la m aquette
exploration par sonde de Pitot ou sonde de pression mu lti-trouspression statique p et pression d’arrêt p i
mesures optiques non intrusives PIV - LDVchamp de vitesse u
cette méthode s'applique aussi à partir d’un champ c alculé par résolution des équations de Navier-Stokes
maquette Airbus munie de nacelles TFN ( Through Flow Nacelle)
Détermination de la traînée par sondage du sillage d e l’aile
dispositif de sondage
demi maquettemontée à la paroi
péniche
soufflerie transsonique Onera - S1MA
Applications des équations de conservation
dispositif de sondage en aval de la maquette dans l asoufflerie S1MA du Centre Onera de Modane-Avrieux
mât verticaltête de roulis du DSGM
sonde 5 trous
lame porte sonde
DSGM
Applications des équations de conservation
Détermination de la traînée par sondage du sillage d e l’aile
Distributions de pression d'arrêt dans le sillage de l ’aile
sillage visqueux
sillage du choc
Applications des équations de conservation
Répartition de pression d'arrêt dans le sillage de l' aile
sillage visqueux et tourbillon de bout d'aile
traînée visqueuse
traînée induite
© Airbus France 2001
45,0C,70,0M z ========∞∞∞∞
Applications des équations de conservation
Densité locale de traînée visqueuse et de traînée induite
© Airbus France 2001
45,0C,70,0M z ========∞∞∞∞
Applications des équations de conservation
55,0C,85,0M z ========∞∞∞∞© Airbus France 2001
Densité locale de traînée de choc
Applications des équations de conservation
Recommended