coordenadasRetangulares...

Sistemas de coordenadascoordenadas Retangulares

Edward Montenegro

Programa Cidade Olímpica Educacional

20 de Abril de 2020

Posicionamento

Muitas vezes ouvimos falar de pessoasque se perdem em regiões inóspitas.Estar perdido significa que alguém nãosabe se localizar a partir de um ponto dereferência.Dizemos que as pessoas não conhecemas coordenadas do ponto onde elas es-tão.Estar perdido significa não saber as co-ordenadas geográficas: Latitude e Lon-gitude.

Figura: A figura mostra uma pessoaperdida na selva. Fonte: internet

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Por muito tempo os navegadores não dispunham de um método seguro para determi-nar as coordenadas geográficas.No século XVIII esse problema foi resolvido por um carpinteiro inglês, que conseguiuconstruir um cronômetro marítimo de grande precisão.

Figura: O relógio marítimo H4 criado por John Harrison. Fonte: Wikipédia

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A determinação de um objeto na superfí-cie terrestre continuará sendo uma ques-tão de grande relevância.Do ponto de vista militar, o posiciona-mento é de vital importância estratégica.Do ponto de vista econômico, a relevân-cia do posicionamento passou a ser cadavez maior.Isso vale tanto para a navegação nos riosda Amazônia como para localização deaviões em regiões inóspitas.

Figura: Os sistemas de coordenadastambém são uteis para localização dosavioes durante uma viagem. Fonte: In-ternet

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Espaço Físico: Posição no Espaço

Os fenômenos físicos são percebidos eanalisados como uma sucessão de even-tos.A grosso modo, podemos imaginar umevento como algo ocorrendo num deter-minado tempo e num ponto no espaço(o conjunto de pontos no espaço).Alguns fenômenos de nosso interesse nadisciplina de Física, como a queda de umobjeto ou o deslocamento de um carro,será sempre registrado como uma suces-são de eventos, cada qual ocorrendo numconjunto de pontos no espaço em tem-pos bem definidos.

Figura: localização de um móvel noespaço. Fonte: Internet

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1 Na analise de um fenômeno de interesseda mecânica (como a queda de umamaça) é importante especificar a posi-ção de um objeto no espaço.

2 Para isso precisamos em geral, fazer usode três coordenadas.

3 Por essa razão, dizemos que o espaçofísico é tridimensional.

4 A localização de um ponto qualquer noespaço físico se dá através da especifica-ção de suas posição.

5 A posição desde um ponto de vista ma-temático, é determinado pelas coordena-das do ponto no espaço.

Figura: Segundo conta a história aqueda de uma maça tinha inspiradoNewton a formular as leis da mecânicaclássica. Fonte: Internet.

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Sistema de Referência Cartesiano

O estudo do movimento requer, como primeiro passo essencial, que se adote um sistemade referência para o movimento. A necessidade de se adotar um sistema de referênciasresulta de dois aspectos, interligados, do estudo da Mecânica.

1 O estudo sistemático e analítico do movimento requer uso de conceitos como posição,os quais só fazem sentido uma vez definido o sistema de referência.

2 Muitos conceitos utilizados na Mecânica são relativos, isso é, dependem do referencial.

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Considere a seguinte situação: Alguém lhepergunta para você onde fica sua escola evocê lhe responde que, para chegar à escola,é preciso andar 100 metros, até a esquina, de-pois dobrar a esquerda e andar mais 50 me-tros.

Figura: Imagem que representa umaescola. Fonte: Internet

Na situação acima é preciso indicar uma orientação em relação a algo, ou uma origem.No caso da Escola, voçê se orienta com relação ao lugar em que você se encontra, quefaz o papel de origem. Por causa de definir orientações em relação a origens, surgiram ossistemas de coordenadas.

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sistemas em uma dimensão

Como uma forma inicial de orientação, podemos supor uma reta, com algum pontomarcado para ser a origem, como na figura seguir:

Figura: Uma reta orientada com uma origem, para um sistema de orientação unidimensional. Fonte:PRÓPRIA, 2020

A reta acima define uma direção X, orientada de forma que os valores de X crescempara a direta.

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Vamos supor que a reta do slide an-terior representa a avenida em quevocê mora, sendo seus números osnúmeros das casas nessa avenida.Assim, considerando que sua casaesta na origem X= 0, se alguém lheperguntar onde fica a casa de João,você poderá responder que fica emX= 2, X=10 e etc.Outros dados podem ser: Mariamora na esquina de X=-10 e X=10.Trata-se basicamente de um pro-blema em uma dimensão, esse tipode problema na verdade, só será efe-tivo e suficiente se nos limitarmos àrua em questão.

Figura: na imagem a Av. Frei Serafim na cidadede Teresina. Fonte: SEMPLAN

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Sistemas em duas dimensões

Assim, para ir à escola, a nossa reta é insuficiente. Um recurso para resolver esteproblema é colocar uma outra reta, perpendicular à primeira como mostrado na figuraao lado:

Figura: Duas retas orientadas com uma origem, para um sistema de orientação em um plano.Fonte: MACHADO, 2007.

Agora temos duas direções possíveis, X e Y. Para ir à escola, dizemos para a pessoa:vá ate X=100 e depois, até Y = 50.

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No nosso sistema de eixos formados pe-las duas retas orientadas (Slide ante-rior), a escola seria representada por umponto, na forma P(100,50).A reta X é chamada de eixo das abcissas, enquanto a reta Y é o eixo das ordena-das.Os valores de X e Y para um certoponto P são as coordenadas de P. Paraa escola, suas coordenadas são X=100 eY=50. Agora podemos disser que temosum problema em duas dimensões. Figura: Filósofo René Descartes.

Fonte: Internet.

O sistema de eixos apresentado na figura anterior chama-se sistema de coordenadas carte-sianas ortogonais, por que tem sido proposto primeiramente pelo filósofo René Descartese porque é um sistema de coordenadas baseado em retas ortogonais.

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Sistema em três dimensões

Se for necessário incluir uma altura,como, por exemplo, na planta de um pré-dio, acrescentamos mais um eixo, deno-minado cota.Em geral representado por Z.Deve ser ortogonal aos dois anteriores,como mostra a figura a seguir.

Figura: Sistema de coordenadas tridi-mensionais. Fonte: MACHADO, 2007

O sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, também conhecido como sistemade coordenadas retangulares, é um dos mais importantes sistemas de coordenadasutilizados na Física.Outros sistemas de coordenadas para níveis mais avançados de estudo são: polares,cilíndricas e esféricas.

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Referências

1 HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física vol 1,4a edição. Rio de Janeiro, LTC-Livros Técnicos e Científicos SA Halliday, D., Resnick,R., Krane, KS, 2018.

2 MACHADO, Kleber Daum. Teoria do eletromagnetismo: volume 1. UEPG, 2007.3 TAYLOR, John R. Mecânica clássica. Bookman Editora, 2013.

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