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Controllo degli Impianti termiciControllo degli Impianti termici
Modulo - Il controllo di processo: I PID
Docente - Prof. Elio USAI eusai@diee.unica.it Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica
Università di Cagliari
Ottobre 2018
SommarioSommario
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
• I sistemi dinamici
• Classificazione dei sistemi dinamici
• Stabilità dei sistemi dinamici
• La risposta armonica di sistemi lineari
• I sistemi in retroazione
• La stabilità dei sistemi in retroazione
• La accuratezza dei sistemi in retroazione
• La robustezza dei sistemi in retroazione
• Gli schemi di controllo
• I regolatori industriali
• La taratura dei regolatori industriali
• Configurazione anti wind-up
• Azione derivatrice sull’uscita
• Predittore di Smith
I sistemi dinamici
Sistema: insieme di elementi interagenti tra loro in modo coordinato, ed ordinato, che reagiscono a sollecitazioni dell’ambiente esterno e su di esso agiscono.
• Individuazione della frontiera che separa il sistema dall’ambiente
• Individuazione dell’influenza dell’ambiente sul sistema
• Individuazione dell’influenza del sistema sull’ambiente
• Individuazione delle relazioni tra le componenti il sistema
• Dato un insieme di elementi si possono individuare più sistemi differenti
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi dinamici
Esempio: Una classe di alunni
• La frontiera non è fisica ma logica
• Le sollecitazioni esterne sono le informazioni che docenti e personale scolastico dà ad ogni alunno (singolarmente e/o in gruppi)
• La preparazione ed il comportamento degli alunni (sia singolarmente che in gruppi)
• Relazioni collaborative/competitive/affettive tra alunni
• Ogni singolo alunno può essere visto come un sistema (sottosistema)
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi dinamici
Sistemi dinamici: sistemi che hanno “memoria”
• La risposta ad una sollecitazione da parte dell’ambiente può non essere istantanea
• La risposta ad una sollecitazione da parte dell’ambiente non si annulla appena la sollecitazione manca
• I sistemi dinamici fisici sono caratterizzati da fenomeni di accumulo di energia
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi dinamici
Ingressi del sistema: sollecitazioni che l’ambiente applica al sistema• Sollecitazioni manipolabili (ingressi)
• Sollecitazioni non manipolabili (disturbi)
Uscite del sistema: sollecitazioni che il sistema applica all’ambiente
• Solitamente misurabili attraverso gli effetti sull’ambiente
Stato del sistema: grandezze che individuano l’energia accumulata nel sistema• Spesso non misurabili direttamente
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi dinamici
u1
u2
d1
d2
y2
y1
y3
x3
x1
x4
x2
u: ingressod: disturboy: uscitax: stato
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi dinamici
Esempio: linea di distribuzione idrica
d = prelievo
u = pompa
y = livello
x1 = livello
x2 = portata
x3 = livello
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi dinamici
Esempio: linea di distribuzione idrica (approssimazione lineare) (#1)
+p0
p1 p2
q0
q1
L,R
C1
R0
C2
1211
012
2
10
1011
Rqppdt
dqL
qqdt
dpC
qR
pp
dt
dpC
gp
gp
Max
Max
yxqxxqdpug
DC
g
DC
d
lR
d
lL
q
pR
21
312100
22
2
21
1420 44128
4
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi dinamici
Esempio: linea di distribuzione idrica (approssimazione lineare) (#2)
pMax = 1 bar Prevalenza massima della pompa
qMax = 0.04 m3/s Portata massima
= 1000 kg/m3 Densità
l = 1000 m Lunghezza tubo
d = 0,25 m Diametro tubo
= 10-3 kg /m s Viscosità
D1 = 3 m Diametro serbatoio n°1
D2 = 4 m Diametro serbatoio n°2
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi dinamici
Esempio: linea di distribuzione idrica (approssimazione lineare) (#3)
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
T e m p o [ m i n ]
Live
llo s
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toio
[m]
1 ° s e r b a t o i o2 ° s e r b a t o i o
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0
0
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
3
3 . 5
4
4 . 5
4 2 0 4 4 0 4 6 0 4 8 0 5 0 0 5 2 0
5 . 1
5 . 2
5 . 3
5 . 4
5 . 5
5 . 6
5 . 7
5 . 8
5 . 9
6
6 . 1
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi dinamici
Esempio: linea di distribuzione idrica (approssimazione lineare) (#3)
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 00
0 . 0 0 5
0 . 0 1
0 . 0 1 5
0 . 0 2
0 . 0 2 5
0 . 0 3
0 . 0 3 5
0 . 0 4
0 . 0 4 5
0 . 0 5
T e m p o [ m i n ]
Por
tata
[m3
/s]
p o r t a t a n e l t u b op o r t a t a p r e l e v a t a
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi dinamici
Rappresentazione di un sistema dinamico
qpn RRR
t
tt
uyxxhy
uxfx
,
,,˙
f è un vettore di funzioni che definiscono la dinamica delle variabili di stato x, eventualmente in presenza dell’ingresso u, ed h è il vettore della trasforma-zione in uscita che lega lo stato con l’uscita y
Se le funzioni non dipendono dal tempo, e l’ingresso può essere rappresentato da funzioni esplicite dello stato, il sistema si dice autonomo
pn RRt
yxxhy
xfx
Se l’ingresso influenza direttamente la trasformazione in uscita il sistema presenta una componente istantanea
qpn RRRtt
tt
uyxuxhy
uxfx
,,
,,˙
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi dinamici
Rappresentazione di un sistema dinamico lineare
qpn RRRDC
BA
uyxuxy
uxx
A rappresenta le relazioni/interconnessioni tra gli elementi costituenti il sistema
B rappresenta il modo con cui gli ingressi agiscono sugli elementi costituenti il sistema
C rappresenta il modo con cui l’energia del sistema influenza l’ambiente
D rappresenta il modo modo cui il sistema trasferisce istantaneamente l’ingresso sull’uscita
Il “modo” di comportarsi del sistema dipende solo dalla matrice A, mentre le matrici B e C indicano come le caratteristiche proprie del sistema sono influenzate/influenzano l’ambiente
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Classificazione dei sistemi dinamici
Sistema lineare: un sistema dinamico si dice lineare se vale il principio di sovrapposizione degli effetti .
• Il comportamento complessivo del sistema è definibile dalla combinazione del comportamento del sistema sollecitato da un solo ingresso/disturbo per volta
• La dinamica è definibile mediante un insieme di equazioni differenziali lineari
p
qn
ttDtC
ttBtA
R
RR
yuxy
uxuxxn variabili di statoq ingressip uscite
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Classificazione dei sistemi dinamici
Sistema non lineare: un sistema dinamico si dice non lineare se non vale il principio di sovrapposizione degli effetti .
• Il comportamento complessivo del sistema è estremamente variabile in funzione del punto di funzionamento, delle caratteristiche della sollecitazione, etc.
• La dinamica è definibile mediante un insieme di equazioni differenziali in cui compaiono funzioni non lineari
n variabili di statoq ingressip uscite
p
qn
tt
tt
R
RR
y
ux
uxhy
uxfx
,,
,,˙
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Classificazione dei sistemi dinamici
Una approssimazione lineare di un sistema non lineare, nelle vicinanze di un punto di funzionamento, può essere ottenuta mediante sviluppo in serie di Taylor fermata al primo ordine.
La dinamica delle variazioni x,u,y è approssimata da una dinamica lineare
caratterizzata dalle matrici A(nxn), B(nxq), C(pxn), e D(pxq) definite tramite gli
Jacobiani delle funzioni vettoriali f ed h rispettivamente, valutati in (x*, u*).
qpn RRR
uyxuxhy
uxfx
,
,˙
Si consideri una condizione di funzionamento stazionario x*, u* tale che 0uxf **,
** uuuxxx
u
u
uxhx
x
uxhy
uu
uxfx
x
uxfx
uxux
uxux
**,**,
**,**,
,,
,,
˙
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Classificazione dei sistemi dinamici
Esempi di non linearità.
Prodotto tra variabili di stato accelerazione centrifuga/Coriolis
Valore assoluto attrito fluidodinamico
Funzione segno attrito secco
Funzioni trigonometriche vincoli geometrici nei robot
Saturazione materiali ferromagnetici
Back-slash ingranaggi meccanici
Isteresi relè elettromeccanici
Radice quadrata efflusso di fluidi da forami
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Classificazione dei sistemi dinamici
Sistemi stazionari: i parametri della dinamica del sistema non variano nel tempo
t
t
uxhy
uxfx
,
,
˙
2212
21
sin xml
bx
l
gtx
txtx
˙
˙
x1
mg
l
m
b
Esempio: il pendolo
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Classificazione dei sistemi dinamici
Sistemi tempo varianti: i parametri della dinamica del sistema variano nel tempo
tt
tt
,,
,,
uxhy
uxfx
˙
Esempio: un autoveicolo
mfv CybvyvySytmeq
˙˙˙˙
m: massa, varia nel tempo a causa del consumo di combustibilev: coefficiente di attrito fluidodinamicoSfeq: superficie frontale equivalentev: velocità del vento, componente frontale - disturbob: coefficiente di attrito viscosoy: posizione dell’autoveicolo, uscitaCm: coppia motrice, ingresso
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Classificazione dei sistemi dinamici
Sistemi a parametri concentrati: le caratteristiche parametriche del sistema si possono considerare concentrate in elementi singoli
• Un oggetto è considerato un corpo rigido caratterizzato dalla massa e dai momenti d’inerzia rispetto agli assi principali
• Le proprietà fisiche (massa, temperatura, pressione, etc) non sono funzione di coordinate spaziali
• La loro dinamica è descritta da equazioni differenziali ordinarie
• I modelli finora descritti sono “a parametri concentrati”
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Classificazione dei sistemi dinamici
Sistemi a parametri distribuiti: le caratteristiche parametriche del sistema variano spazialmente
• Fenomeni di diffusione e trasmissione del calore
• Le proprietà fisiche (massa, temperatura, pressione, etc) sono funzione di coordinate spaziali
• La loro dinamica è descritta da equazioni differenziali alle derivate parziali
• I sistemi fluido-dinamici sono sistemi a parametri distribuiti
• Possono essere rappresentati da dinamiche stazionarie con ritardo finito
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Classificazione dei sistemi dinamici
Progetto Noè - Sistemi di telegestione e telecontrollo – Il controllo di processo: i PID – Febbraio 2008
Sistemi strettamente causali: l’uscita non dipende direttamente dall’ingresso, ma da questo è influenzata attraverso lo stato
ubdt
dub
dt
udb
dt
udbya
dt
dya
dt
yda
dt
ydm
m
mm
m
mn
n
nn
n
011
1
1011
1
1
⋯⋯
Equazione differenziale
n>m sistema strettamente causalen=m sistema causalen<m sistema non causale
I sistemi non causali non sono realizzabili, ma possono essere una approssimazione in bassa frequenza di sistemi reali
Classificazione dei sistemi dinamici
Sistemi SISO: sono caratterizzati da un solo ingresso ed una sola uscita
ubdt
dub
dt
udb
dt
udbya
dt
dya
dt
yda
dt
ydm
m
mm
m
mn
n
nn
n
011
1
1011
1
1
⋯⋯
Equazione differenziale – sistemi lineari
Su(t) y(t)
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Classificazione dei sistemi dinamici
Sistemi MIMO: sono caratterizzati da più ingressi e più uscite
q
q
m
ii
qi
qip
m
ii
i
ip
m
ii
i
ipppp
pn
pn
pnn
pn
m
ii
qi
qi
m
ii
i
i
m
ii
i
in
n
nn
n
dt
udb
dt
udb
dt
udbya
dt
dya
dt
yda
dt
yd
dt
udb
dt
udb
dt
udbya
dt
dya
dt
yda
dt
yd
1,,
1
22,,
1
11,,,0,11
1
,1
1,,1
1
22,,1
1
11,,111,0
11,11
11
1,11
21
21
⋯⋯
⋮
⋯⋯
Sistema di equazioni differenziali – sistemi lineari
S
u1(t) y1(t)u2(t) y2(t)
uq(t) yp(t)... ...
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Classificazione dei sistemi dinamici
Sistemi MIMO lineari
u1(t) y1(t)
u2(t) y2(t)
S11
S12
S21
S22
+
+
Se i blocchi S12 e S21 sono “poco influenti” il loro effetto può essere rappresentato come disturbi su 2 sistemi SISO
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Stabilità dei sistemi dinamici
La proprietà di stabilità è riferita, in generale, ai punti di equilibrio xeq, ovvero le soluzioni ammissibili della equazione non lineare 0xf eq
Un sistema non lineare può avere un numero finito o infinto di punti di equilibrio, ciascuno dei quali può essere stabile, instabile o di sella
Un sistema può presentare comportamenti i più vari, da quelli con un solo punto di equilibrio globalmente stabile a quelli con un’infinità di punti di equilibrio, funzionamenti apparentemente non deterministici (es. sistemi caotici), funzionamenti oscillatori permanenti autonomi (cicli limite), convergenza/divergenza in tempo finito o asintotica, etc.
Uno stesso sistema di equazioni differenziali può presentare comportamenti e proprietà completamente differenti al variare dei parametri: possono comparire/sparire punti di equilibrio (biforcazioni), oppure modificarsi le condizioni di stabilità, etc. Questo comporta la necessità di analisi specifiche caso per caso, che sono molto semplificate nel caso di sistemi lineari.
Un sistema lineare può avere o un solo punto di equilibrio, stabile o instabile o infiniti punti di equilibrio non disgiunti
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Stabilità dei sistemi dinamici
txtx
txtx
22
211 1
˙
˙
ile stabx
x
eq
eq
0
1
2
1
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
x1
x 2
e q . S t a b i l e p . t o S e l l a
- 1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
x1
x 2
212
21
sgn3.0sgn xxtx
txtx
˙
˙
instabile x
x
eq
eq
0
0
2
1
selladi punto x
x
eq
eq
0
1
2
1
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Stabilità dei sistemi dinamici
ili stab
x
kkx
eq
eq
0
,1,02
2
1
2212
21
sin xml
bx
l
gtx
txtx
˙
˙
instabili
x
kkx
eq
eq
0
,1,012
2
1
x1
mg
l
m
b
- 2 0 2 4 6 8- 6
- 4
- 2
0
2
4
6
x1
x 2
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Stabilità dei sistemi dinamici
22
21
sgn3.0 xtx
txtx
˙
˙
ile stabx
Rx
eq
eq
02
1
- 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8- 2
- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
x 1
x 2
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Stabilità dei sistemi dinamici
0
0
2211
2
121
eq
eq
xxm
bx
m
ktx
xtxtx
˙
˙
x1
k1
b
m
- 4 - 2 0 2 4 6 8- 6
- 4
- 2
0
2
4
6
x1
( p o s i z i o n e )
x 2 (v
eloc
ità)
T r a i e t t o r i a d e l l o s t a t o
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Stabilità dei sistemi dinamici
0222
121
eq
eq
xxm
btx
xtxtx
˙
˙ R
x1
b
m
- 4 0 4 8 1 2 1 6- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
6
x1
( p o s i z i o n e )
x 2 (vel
ocità
)
T r a i e t t o r i a d e l l o s t a t o
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Stabilità dei sistemi dinamici
nRt xxfxDato un sistema autonomo
un suo punto di equilibrio xeq si definisce stabile secondo Lyapunov se
00 ,,00 tt RBtrBt che tale Rr R eqeq xxxx
essendo B(X,)={xRn: ||x-X|| la bolla di raggio centrata in X
xeq
R
r
Il valore di R può essere preso arbitrariamente piccolo, ed il punto di equilibrio sarà stabile solo se esiste un intorno, di raggio r, del punto di equilibrio tale che per qualunque perturbazione entro tale intorno la traiettoria nel sistema rimane sempre confinata ne l’intorno di raggio R
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Stabilità dei sistemi dinamici
Il punto di equilibrio xeq si definisce asintoticamente stabile se è stabile ed inoltre risulta
0lim eq
tt xx
La traiettoria perturbata a partire da un punto interno alla circonferenza di raggio r, oltre a non uscire mai dalla circonferenza di raggio R, tende a convergere verso il punto di equilibrio al passare del tempo
xeq
R
r
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Stabilità dei sistemi dinamici
La stabilità di un punto di equilibrio implica che i moti perturbati possono essere confinati in un intorno arbitrariamente piccolo di tale punto limitando l’ampiezza della perturbazione.
La asintotica stabilità di un punto di equilibrio implica che i moti perturbati, oltre a poter essere confinati in un intorno arbitrariamente piccolo di tale punto limitando l’ampiezza della perturbazione, tendono a riportarsi nella condizione di equilibrio.
La limitatezza della traiettoria perturbata non implica la stabilità del punto di equilibrio.
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Stabilità dei sistemi dinamici
instabile x
x
eq
eq
0
0
2
1
12
222
5212
211
2xxtxx
xxxtxx
˙
˙
Tutte le traiettorie convergono verso l’origine, però qualunque perturbazione con punto iniziale nei quadranti pari, anche piccola, genera una traiettoria che rimane esterna ad un dominio i cui limiti sono prossimi alle traiettorie verdi.L’origine è un punto di equilibrio instabile, ma anche un punto di attrazione del sistema.
00lim
tt
x
- 1 . 5 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
x 1
x 2
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Stabilità dei sistemi dinamici
Stabilità: un sistema dinamico lineare si dice stabile se, a partire da una qualunque condizione iniziale, tende a dissipare tutta l’energia interna iniziale.
• L’evoluzione libera dello stato, e quindi delle uscite, tende a zero.
• Il sistema sollecitato da un ingresso limitato mantiene limitate tutte le variabili di stato, e quindi le uscite.
• Se l’evoluzione libera dello stato diverge, il sistema si dice instabile.
• Se l’evoluzione libera dello stato tende ad un valore costante o presenta oscillazioni permanenti, il sistema si dice al limite di stabilità
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Stabilità dei sistemi dinamici
Stabilità dei sistemi lineari: dipende dal segno della parte reale delle radici dell’equazione caratteristica.
ubdt
dub
dt
udb
dt
udbya
dt
dya
dt
yda
dt
ydm
m
mm
m
mn
n
nn
n
011
1
1011
1
1
⋯⋯
Equazione differenziale
0011
1 asasas n
nn ⋯
Equazione caratteristica
nP ,,, 21
Radici (poli o autovalori)
stabilità di limite al sistema
instabile sistema
stabile menteasintotica sistema
0
0
\
,,
0
,,2,10
j
kh
k
k
i
JIj
khJkh
IJkIk
nIi
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La risposta armonica di sistemi lineari
Risposta armonica: un sistema dinamico lineare stabile risponde, a regime, ad un qualunque ingresso sinusoidale con un andamento sinusoidale delle variabili di stato, e quindi anche dell’uscita, di frequenza pari a quella del ingresso e con ampiezza e fase dipendenti dalla frequenza della sollecitazione.
• Dalla conoscenza della risposta armonica a tutte le frequenze si conosce il comportamento del sistema rispetto a qualunque sollecitazione (ingresso/disturbo)
t u sin t My sin
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La risposta armonica di sistemi lineari
Esempio: linea di distribuzione idrica (approssimazione lineare)
D i a g r a m m a d i r i s p o s t a a r m o n i c a
P u l s a z i o n e [ r a d / s e c ]
Fas
e [d
eg]
Mod
ulo
[dB
]
1 0- 5
1 0- 4
1 0- 3
1 0- 2
1 0- 1
- 2 7 0
- 2 2 5
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
- 4 5
0
S y s t e m : s y s F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 0 0 4 4 6 P h a s e ( d e g ) : - 9 0
- 1 8 0
- 1 6 0
- 1 4 0
- 1 2 0
- 1 0 0
- 8 0
- 6 0
S y s t e m : s y s F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 0 0 4 4 7
M a g n i t u d e ( d B ) : - 1 0 5
Un ingresso sinusoidale con =0.0045 rad/s viene attenuato in uscita di 105 dB (circa 177830 volte) e sfasato in quadratura (/4) in ritardo
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La risposta armonica di sistemi lineari
Un segnale è caratterizzabile mediante il suo spettro, ovvero dall’insieme delle funzioni armoniche (sinusoidali) in cui può essere scomposto
Un segnale periodico ha uno spettro costituito da un insieme numerabile di armoniche
0
2sink
kTk tkctytyTty
Un segnale non periodico ha uno spettro costituito da un insieme di armoniche con la potenza del continuo
dtetyjYty tj
1
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La risposta armonica di sistemi lineari
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 40
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
8 0 0 0
1 0 0 0 0
1 2 0 0 0
S p e t t r o d e l l ' o n d a q u a d r a
f r e q u e n z a ( H z )
T = 1 H zT = 0 . 1 H z Man mano che il
periodo dell’onda quadra aumenta il segnale tende ad un segnale costante e lo spettro si infittisce e tende and uno spettro continuo
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La risposta armonica di sistemi lineari
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0- 2
- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
T e m p o [ s ]
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0- 2
- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
T e m p o [ s ]
R i s p o s t a a r m o n i c a d e l s i s t e m a
P u l s a z i o n e ( r a d / s e c )
Fas
e (d
eg)
Mod
ulo
(dB
)
1 00
1 01
1 02
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
- 4 5
0
- 5 0
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
1 0
Le componenti armoniche intorno ad 1 Hz vengono amplificate dal sistema.Le frequenze superiori a 1.4 Hz vengono significativamente attenuate
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La risposta armonica di sistemi lineari
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 20
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
8 0 0 0
1 0 0 0 0
1 2 0 0 0
F r e q u e n z a [ H z ]
S p e t t r o d e l l ' i n g r e s s oS p e t t r o d e l l ' u s c i t a
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La risposta armonica di sistemi lineari
0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 1 . 1 1 . 20
2 0 0
4 0 0
6 0 0
8 0 0
1 0 0 0
1 2 0 0
1 4 0 0
1 6 0 0
1 8 0 0
2 0 0 0
F r e q u e n z a [ H z ]
S p e t t r o d e l l ' i n g r e s s oS p e t t r o d e l l ' u s c i t a
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La risposta armonica di sistemi lineari
1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 20
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
1 4 0
1 6 0
1 8 0
2 0 0
F r e q u e n z a [ H z ]
S p e t t r o d e l l ' i n g r e s s oS p e t t r o d e l l ' u s c i t a
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La risposta armonica di sistemi lineari
La risposta armonica è caratterizzata da:
• Modulo a frequenza nulla (guadagno): indica di quanto vengono amplificati/attenuati i segnali costanti
• Modulo di risonanza: indica l’amplificazione massima ottenibile
• Frequenza di risonanza: indica la frequenza a cui si ha l’amplificazione massima
• Banda passante: indica il valore di frequenza oltre la quale l’attenuazione rispetto al guadagno è sempre superiore a –3dB
MdB=20Log10M=2f
L’uso del diagramma di Bode per la rappresentazione della risposta armonica (moduli in decibel [dB]) consente di trasformare le moltiplicazioni in somme
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La risposta armonica di sistemi lineari
R i s p o s t a a r m o n i c a d e l s i s t e m a
P u l s a z i o n e ( r a d / s e c )
Fas
e (d
eg)
Mod
ulo
(dB
)
1 00
1 01
1 02
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
- 4 5
0
- 5 0
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
1 0
r 3
Mr
- 3 d B
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La risposta armonica di sistemi lineari
Lo spettro del segnale in uscita da un sistema lineare è calcolabile moltiplicando, frequenza per frequenza, lo spettro del segnale di ingresso con quello del sistema
jUjSjY
Ogni spettro è caratterizzato da modulo e fase. I moduli vengono moltiplicati e le fasi sommate, frequenza per frequenza
Utilizzando la trasformazione in decibel
degdegdeg
dBdBdB
jYjYjY
jUjSjY
argargarg
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La risposta armonica di sistemi lineari
La risposta armonica da informazioni anche sulla risposta a segnali costanti (risposta indiciale)
Maggiore la banda passante Maggiore prontezza
Maggiore modulo alla risonanza Maggiore sovraelongazione
Maggiore guadagno Maggiore amplificazione
La combinazione di banda passante e sovraelonazione (smorzamento ) influenza il tempo di assestamento
2
%1
1
3
;2
1;min5
esB
teqeq iia
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La risposta armonica di sistemi lineari
D i a g r a m m i d i r i s p o s t a a r m o n i c a
P u l s a z i o n e ( r a d / s e c )
Fas
e (d
eg)
Mod
ulo
(dB
)
- 5 0
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
1 0
1 00
1 01
1 02
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
- 4 5
0
43 1
2
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La risposta armonica di sistemi lineari
0 1 2 3 4 5 60
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
T e m p o [ s ]
R i s p o s t e i n d i c i a l i
1
2
3
4
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La risposta armonica di sistemi lineari
Il risposta armonica di un sistema lineare può essere valutata a partire dalla sua Funzione di Trasferimento.
ubdt
dub
dt
udb
dt
udbya
dt
dya
dt
yda
dt
ydm
m
mm
m
mn
n
nn
n
011
1
1011
1
1
⋯⋯
Equazione differenziale
Trasformata unilaterale di Laplace
X (s)=L {x (t)}=∫0
∞
e−st x (t )dt
s=α+ j ω
[ sn+an−1 sn−1
+…+a1 s+a0]Y (s)=[bm sm+bm−1 sm−1
+…+b1 s+b0]U (s)
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La risposta armonica di sistemi lineari
Y (s)=G(s )U (s)
G(s)=bm sm+bm−1 sm−1+…+b1 s+b0
sn+an−1 sn−1
+…+a1 s+a0
La Funzione di Trasferimento G(s) permette di calcolare la trasformata di Laplace dell'uscita nota quella dell'ingresso.
G( j ω)=bm( j ω)
m+bm−1( j ω)
m−1+…+b1 j ω+b0
( j ω)n+an−1( j ω)n−1+…+a1( j ω)+a0
La Risposta armonica può calcolarsi dalla Funzione di Trasferimento G(s) ponendo s=jw.
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi in retroazione
Sistemi con retroazione: sono caratterizzati dal fatto che l’uscita del sistema è confrontata con un segnale di ingresso per valutare lo scostamento tra valori attesi ed ottenuti
G: blocco di catena direttaH: blocco di retroazioneGH: sistema a ciclo aperto
G
H
yr +_
e
z
y: segnale di uscitar: segnale di riferimentoe: segnale di errorez: misura del segnale di uscita
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi in retroazione
Lo spettro di un sistema in retroazione è calcolabile utilizzando le proprietà filtranti di ciascun blocco
jωYjωHjωZ
jωEjωGjωY
jωZjωRjωE
G
H
yr +_
e
z
Y ( j ω)=G( j ω)
1+H ( j ω)G ( j ω)R( j ω)
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi in retroazione
La composizione dei blocchi tenendo conto della loro risposta armonica in funzionamento singolo è possibile se non sono presenti effetti di carico
Effetto di carico: modifica della relazione ingresso uscita di un sottosistema a causa della sua connessione con un blocco a valle
vi
vo
R
Rvi
vo
R
R
R
R
io vv2
1
io vv5
1
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi in retroazione
Nel range di frequenze in cui |HG|»1 la risposta armonica a ciclo chiuso è circa l’inverso della risposta armonica del blocco di retroazione
jωY
jωGjωH
jωGjωY
1
HHG
GW
HG
1
1
Nel range di frequenze in cui |HG|«1 la risposta armonica a ciclo chiuso è circa uguale alla risposta armonica del blocco di catena diretta
GHG
GW
HG
01
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
D i a g r a m m i d i r i s p o s t a a r m o n i c a
P u l s a z i o n e ( r a d / s e c )
Fas
e (d
eg)
Mod
ulo
(dB
)
- 8 0
- 6 0
- 4 0
- 2 0
0
2 0
4 0
1 0- 1
1 00
1 01
1 02
- 2 7 0
- 2 2 5
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
- 4 5
0
GHH GW
GHH GW
GHH GW
I sistemi in retroazione
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
D i a g r a m m i d i r i s p o s t a a r m o n i c a
P u l s a z i o n e ( r a d / s e c )
Fas
e (d
eg)
Mod
ulo
(dB
)
- 8 0
- 6 0
- 4 0
- 2 0
0
2 0
4 0
1 0- 1
1 00
1 01
1 02
- 2 7 0
- 2 2 5
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
- 4 5
0
GHH GW
GHH GW
GHH GW
I sistemi in retroazione
|HG|«1
|HG|»1
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi in retroazione
Nel range di frequenze in cui |HG| 1 (0 dB) la risposta armonica del sistema a ciclo chiuso dipende molto dalla fase della risposta armonica del sistema a ciclo apertoLa banda passante a ciclo chiuso ricadrà comunque nel range di frequenze in cui |HG| 1
t: pulsazione di attraversamento (pulsazione a cui |HG| = 1)
2B3 = 3 t
t |rad/s (35) B3|Hz
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi in retroazione
D i a g r a m m i d i r i s p o s t a a r m o n i c a
P u l s a z i o n e ( r a d / s e c )
Fas
e (d
eg)
Mod
ulo
(dB
)
1 0- 1
1 00
1 01
1 02
- 2 7 0
- 2 2 5
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
- 4 5
0
- 8 0
- 6 0
- 4 0
- 2 0
0
2 0
4 0
S y s t e m : u n t i t l e d 1 F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 2 . 7 8
M a g n i t u d e ( d B ) : - 0 . 0 1 6 5
S y s t e m : W F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 1 M a g n i t u d e ( d B ) : 1 8 . 9
S y s t e m : W F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 4 . 3 4 M a g n i t u d e ( d B ) : 1 5 . 9
H GW
3 t
025.43
B
t
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi in retroazione
Nel range di frequenze in cui |HG| 1 (0 dB) la risposta armonica del sistema a ciclo chiuso può presentare un picco di risonanza
L’ampiezza del picco di risonanza dipende dalla fase della risposta armonica a ciclo aperto in tale range di frequenze
c: pulsazione critica (pulsazione a cui arg{HG} = -180 deg)
Mr|W
dBHGc
0 degHGarg
t 180ovvero
r|W t|HG
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi in retroazione
G1HW1
G2HW2
G3HW3
GH: ciclo apertoW:ciclo chiuso
D i a g r a m m i d i r i s p o s t a a r m o n i c a
P u l s a z i o n e ( r a d / s e c )
Fas
e (d
eg)
Mod
ulo
(dB
)
- 1 0 0
- 5 0
0
5 0
1 0- 1
1 00
1 01
1 02
- 2 7 0
- 2 2 5
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
- 4 5
0
4 5
9 0
1 3 5
1 8 0
2 2 5
t 1 t 2
t 3
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi in retroazione
Un sistema in retroazione è sempre riconducibile ad una serie di due sistemi di cui uno con retroazione unitaria
G
H
yr +_
e
z
G yr +
_e1H-1 Hr1
W1
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I sistemi in retroazione
Solitamente il blocco di retroazione H è caratterizzato da una banda passante molto elevata in quanto rappresenta i dispositivi di misura che devono adattare l’ampiezza dei segnali di uscita senza modificarne significativamente il contenuto informativo
H costante
Il comportamento dinamico del sistema in retroazione è uguale a quello del sistema a retroazione unitaria e blocco di catena diretta coincidente con quello a ciclo aperto, con una modifica dei moduli circa costante a tutte le frequenze
Banda passante: inalterataModulo alla risonanza inalteratoPulsazione di risonanza: inalterataGuadagno: modificato
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Stabilità dei sistemi in retroazione
La stabilità dei sistemi in retroazione può essere valutata semplicemente dalla risposta armonica del ciclo aperto sotto alcune condizioni:
• il sistema a ciclo aperto è stabile
• la risposta armonica del sistema a ciclo aperto ha una sola pulsazione di attraversamento
• la risposta armonica del sistema a ciclo aperto ha una sola pulsazione critica
La stabilità a ciclo chiuso si valuta rispetto al sistema a retroazione unitaria equivalente, ed alla sua parte in retroazione W1 in particolare
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Stabilità dei sistemi in retroazione
G y+_e1 Hr1
W1
Ipotesi: ingresso nullo ed uscita sinusoidale con pulsazione c a causa di condizioni iniziali non nulle
tYty
tyte
teHGty
c
c
sin1
1
crescente ampiezza di nioscillazio
costante ampiezza di nioscillazio
edecrescent ampiezza di nioscillazio
1
1
1
c
c
c
HG
HG
HG
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Stabilità dei sistemi in retroazione
R i s p o s t a a r m o n i c a a c i c l o a p e r t o
P u l s a z i o n e ( r a d / s e c )
Fas
e (d
eg)
Mod
ulo
(dB
)
1 0- 2
1 0- 1
1 00
1 01
- 2 7 0
- 2 2 5
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
- 4 5
0
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
1 0
2 0
3 0
1
2
3
c 1 c 2
c 3
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Stabilità dei sistemi in retroazione
T e m p o ( s )
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5- 1 0
- 8
- 6
- 4
- 2
0
2
4
6
8
1 0
1
1
2
3
Risposta indiciale
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Stabilità dei sistemi in retroazione
Si definisce margine di stabilità la “distanza” tra la condizione di funzionamento effettivo del sistema in retroazione e la condizione di limite di stabilità (oscillazioni permanenti)
La misura del margine di stabilità può essere fatta rispetto alla pulsazione critica, che definisce il periodo delle oscillazioni permanenti: margine di guadagno
dBccdBg jHjGm
La misura del margine di stabilità può essere fatta anche rispetto al ritardo di fase corrispondente alla condizione di modulo unitario della risposta armonica a ciclo aperto: margine di fase
degccdeg
jHjGm arg180
margini di stabilità negativi indicano l’instabilità a ciclo chiuso
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Accuratezza dei sistemi in retroazione
Accuratezza: scostamento, a regime, tra comportamento desiderato ed effettivo del sistema di controllo
tytrkte d
Errore: distanza istantanea tra comportamento desiderato (solitamente di tipo proporzionale) ed effettivo
teet lim
Valutabile sulla base del comportamento a regime dei sistemi, e quindi con l’applicazione del concetto di risposta armonica
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Accuratezza dei sistemi in retroazione
Il blocco di retroazione è approssimabile con una costante H=1/kd
G
H
yr +_
e
z
tytrtedk1
G y=kdre=0
Per ottenere un errore nullo a regime, la forma dell’uscita desiderata deve essere un comportamento proprio del blocco di catena diretta
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Accuratezza dei sistemi in retroazione
Affinché la condizione di errore nullo sia realizzabile il blocco G deve contenere un integratore
G
1/kd
y=kdRr=R (cost) +_
e=0
z=R
Esempio: controllo del livello in un serbatoio attraverso la valvola di ingresso
Principio del modello interno
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Accuratezza dei sistemi in retroazione
G
1/kd
yr(t) +_
e
z
n° integratori 0 1 2
r=1 0 0
r=t 0
r=½t2
Gd
d
kk
k
2
G
d
k
k 2
G
d
k
k 2
Errori a regime per ingressi canonicikG: guadagno
del blocco G
In presenza di integratori il guadagno viene valutato scorporandoli dal diagramma di risposta armonica
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Robustezza dei sistemi in retroazione
Robustezza alle variazioni parametriche: capacità di mantenere pressoché inalterato il legame ingresso uscita del sistema in retroazione anche in presenza di variazioni dei parametri dei sottosistemi che lo compongono
GH
GH
W
H
dH
dWS
GHW
G
dG
dWS
GH
GW
HdH
WdW
WH
GdG
WdW
WG
1
1
1
1
Se |GH| »1 il sistema in retroazione è circa insensibile alle variazione dei parametri di G, mentre risente in modo tal quale delle variazioni parametriche di H
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Robustezza dei sistemi in retroazione
Robustezza ai disturbi: capacità di mantenere l’uscita pressoché insensibile all’azione di disturbi
G1
H
yr(t) +_
e
z
+ + G2
+++
+d2
d1
n
HGG
HGGW
HGG
GGW
HGG
GW
HGG
GGW
dn
dr
21
21
21
21
21
2
21
21
11
11
2
1
Un modulo elevato di G1 consente di attenuare l’effetto di disturbi sulla catena diretta
Sono difficilmente attenuabili i disturbi sulla retroazione
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Robustezza dei sistemi in retroazione
L’effetto dei disturbi a regime può essere valutato applicando il concetto di risposta armonica
Il blocco G1, a monte del disturbo, deve “conoscere” la forma del disturbo medesimo
G1
H
y=0r +_
e=0
z
+
+ G2
d1
w
w=-d1
G1y=0e=0
+
+ G2
d1
w
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Robustezza dei sistemi in retroazione
G1
1/kd
yr=0 +_
e
z
+
+ G2
d1
w
n° integratoriin G1
0 1 2
d1=1 0 0
d1 =t 0
r=½t2
21
2
GGd
Gd
kkk
kk
1G
d
k
k
1G
d
k
k
La tabella è valida nell’ipotesi di assenza di integratori in G2
Errori a regime per disturbi canonici
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Gli schemi di controllo
Controllo in retroazione, single-loop
L’azione di controllo è funzione della differenza tra comportamento atteso ed effettivo dell’unica variabile.
Le interazioni sono viste come disturbi
Aattuatore
Pprocesso
Ccontrollore
Ttrasduttore
+
+
+r(t) e(t) u(t) m(t)
d(t)
y(t)
ym(t)
_
Ffiltro
z(t)
Controllore
+
n(t)
+
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Gli schemi di controllo
jFjTjPjAjC
jPjAjCjWr
1
jFjTjPjAjC
jPjWd
1
jFjTjPjAjC
jPjAjCjFjWn
1
Controllo in retroazione, single-loop
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Gli schemi di controllo
Controllo in retroazione, cascade control
L’azione di controllo è realizzata con l’implementazione di due loop “nested”.
Aattuatore
P1processo
C1controllore
T1trasduttore
++
+r(t) u(t) m(t) d(t) y(t)
_
F2filtro
+
n2(t)+
T2trasduttore
P2processo
C2controllore
+_
F1filtro
+
n1(t)+
ControlloreControllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Gli schemi di controllo
Controllo in retroazione, cascade control
1121212222
1221
1 FTPAPCCFTAPCPAPCC
Wr
1121212222
12
1 FTPAPCCFTAPCPP
Wd
1121212222
1222
12 FTPAPCCFTAPC
PAPCFWn
1121212222
12211
11 FTPAPCCFTAPCPAPCCF
Wn
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Gli schemi di controllo
Controllo Feed-Forward
L’azione di controllo è realizzata con l’implementazione di due azioni di controllo; una in avanti (predittiva) ed una in retroazione (correttiva)
Aattuatore
Pprocesso
C1controllore
Ttrasduttore
+
+
+r(t)
e(t) u(t) m(t)
d(t)
y(t)
ym(t)
_
Ffiltro
z(t)
Controllore
+
n(t)
+
C2controllore
C3controllore
+
+-
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Gli schemi di controllo
Controllo Feed-Forward
1
1
11
1 1
12
1
21
APTFC
APCW
APC
APTFC
APCCW rr
0
11
13
1
3
dd WA
CAPTFC
PACW
APTFCAPFC
Wn1
1
1
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Gli schemi di controllo
Controllo Split-range
L’azione di controllo è realizzata mediante due controllori che agiscono separatamente in zone differenti di lavoro
A1attuatore
P3processoC1
controllore
Ttrasduttore
+
+
+r(t) e(t)d1(t)
y(t)
ym(t)
_
Ffiltro
z(t)
Controllore
+
n(t)
+
C2controllore
A2attuatore
P1processo
P2processo
+
+
d2(t)
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Gli schemi di controllo
Controllo Split-range
01
01
3222
3222
3111
3111
eTFPPAC
PPAC
eTFPPAC
PPAC
Wr
01
01
3222
31
3111
31
1
eTFPPAC
PP
eTFPPAC
PP
Wd
01
01
3222
3222
3111
3111
eTFPPAC
PPAFC
eTFPPAC
PPAFC
Wn
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Gli schemi di controllo
Controllo Override
L’azione di controllo è realizzata normalmente sulla base di una variabile di processo, ma se un’altra variabile entra in un campo critico l’azione si realizza sulla base di quest’ultima
Controllo di rapporto
Le azioni di controllo sono effettuate sulla base del calcolo del rapporto tra due variabili di processo
Controllo Gain-scheduling
Il controllore ha tarature dipendenti in funzione della zona di lavoro
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Gli schemi di controllo
Controllo adattativo
Il controllore ha tarature dipendenti dai parametri del processo, che vengono stimati in linea
Controllo multivariabile
Le azioni di controllo sulle variabili manipolabili dell’impianto vengono gestite in maniera coordinata
Controllo LQR
Il controllore viene tarato per rendere minimo un indice di qualità. Caso specifico, lineare, del controllo ottimo
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Gli schemi di controllo
Predittore di SmithÈ un controllore che stima il ritardo di processo e lo compensa in modo che l’azione di controllo non ne risenta
Anti Wind-upStruttura di controllo che evita il fenomeno della carica integrale, presente ogni qual volta c’è un’azione di integrazione nel controllore
Controllo a relé
Il controllore ha solo due stati che vengono selezionati sulla base di una funzione di commutazione
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I regolatori industriali
I regolatori industriali sono dei controllori a struttura fissa in cui l’uscita è una combinazione lineare di funzioni elementari del segnale in ingresso (l’errore)
Ce(t) u(t)
tututu
dt
tdekdektektu
DIP
D
t
IP
0
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I regolatori industriali
Azione proporzionale: componente istantanea dell’azione di controllo
• Incrementa la accuratezza del sistema di controllo• Incrementa le proprietà di reiezione ai disturbi in catena diretta• Aumenta la banda passante del sistema di controllo
• Riduce i margini di stabilità del sistema di controllo• Potrebbe aumentare le oscillazioni della risposta indiciale del sistema di controllo• Potrebbe aumentare il tempo di assestamento del sistema di controllo
C yr +_
e
+
+ P
d1
w
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I regolatori industriali
R i s p o s t a a r m o n i c a d i c a t e n a d i r e t t a
P u l s a z i o n e ( r a d / s e c )
Fas
e (d
eg)
Mod
ulo
(dB
)
- 1 0 0
- 8 0
- 6 0
- 4 0
- 2 0
0
2 0
1 0- 1
1 00
1 01
1 02
- 2 7 0
- 2 2 5
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
- 4 5
0
P
k P = 0 . 5
k P = 4 k P = 7
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I regolatori industriali
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0- 2
- 1
0
1
2
3
4R i s p o s t a i n d i c i a l e
T e m p o [ s ]
kP
= 7
kP
= 0 . 5
kP
= 4
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I regolatori industriali
Azione integrale: componente storica dell’azione di controllo• Incrementa la accuratezza del sistema di controllo per segnali in bassa
frequenza• Riproduce fedelmente, a regime, segnali di riferimento costanti• Incrementa le proprietà di reiezione ai disturbi in bassa frequenza agenti
in catena diretta• Reietta completamente, a regime, disturbi costanti
• Introduce un ritardo fisso di –90° sul ciclo aperto• Riduce i margini di stabilità del sistema di controllo• Potrebbe aumentare le oscillazioni della risposta indiciale del sistema di controllo• Potrebbe aumentare il tempo di assestamento del sistema di controllo
4sincossin tttutte II kk π
2
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I regolatori industriali
R i s p o s t a a r m o n i c a d i c a t e n a d i r e t t a
P u l s a z i o n e ( r a d / s e c )
Fas
e (d
eg)
Mod
ulo
(dB
)
- 1 2 0
- 1 0 0
- 8 0
- 6 0
- 4 0
- 2 0
0
2 0
1 0- 1
1 00
1 01
1 02
- 3 6 0
- 2 7 0
- 1 8 0
- 9 0
0
P
kI= 1
kI= 0 . 5
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I regolatori industriali
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
3
T e m p o [ s ]
R i s p o s t a i n d i c i a l e
kI= 1
kI= 0 . 5
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I regolatori industriali
Azione derivativa: componente anticipatrice dell’azione di controllo
• Introduce un anticipo fisso di 90°• Migliora i margini di stabilità• Riduce la sovraelongazione della risposta indiciale del sistema di
controllo• Riduce il tempo di assestamento del sistema di controllo
• Non utilizzabile singolarmente (non reagisce ad errori costanti anche grandi)• Aumenta la sensibilità al rumore di misura• Controllore non causale
4sincossin tktktutte DDπ2
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I regolatori industriali
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 00
0 . 5
1
1 . 5R i s p o s t a i n d i c i a l e
T e m p o [ s ]
kP
= 4 ; kD
= 0 . 5
kP
= 4 ; kD
= 1
kP
= 7 ; kD
= 1
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I regolatori industriali
R i s p o s t a a r m o n i c a d e l l a c a t e n a d i r e t t a
P u l s a z i o n e ( r a d / s e c )
Fas
e (d
eg)
Mod
ulo
(dB
)
1 0- 1
1 00
1 01
1 02
- 2 7 0
- 2 2 5
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
- 4 5
0
- 1 0 0
- 8 0
- 6 0
- 4 0
- 2 0
0
2 0
kP
= 4 ; kD
= 0 . 5
P k
P= 4 ; k
D= 1
kP
= 7 ; kD
= 1
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I regolatori industriali
Azioni combinate: permettono di individuare il migliore compromesso tra i vantaggi e svantaggi di ogni singola componente
• Migliora la accuratezza• Migliora la reiezione dei disturbi• Migliora i margini di stabilità• Riduce la sovraelongazione della risposta indiciale del sistema di
controllo• Riduce il tempo di assestamento del sistema di controllo• Aumenta la banda passante del sistema di controllo• Aumenta la prontezza della risposta indiciale
32.110
05.04
004
DIP
DIP
DIP
kkkPID
kkkPI
kkkP
Esempio di taratura
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I regolatori industriali
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 00
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
1 . 2
1 . 4
1 . 6
T e m p o [ s ]
R i s p o s t a i n d i c i a l e
P
P I
P I D
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I regolatori industriali
R i s p o s t a a r m o n i c a
P u l s a z i o n e ( r a d / s e c )
Fas
e (d
eg)
Mod
ulo
(dB
)
- 1 0 0
- 8 0
- 6 0
- 4 0
- 2 0
0
2 0
4 0
1 0- 2
1 0- 1
1 00
1 01
1 02
- 2 7 0
- 2 2 5
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
- 4 5
0
P r o c e s s o
P
P I
P I D
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I regolatori industriali
• Realizzati in forma digitale
• Possibilità di collegamento su bus di campo
• Configurazione single-loop o in cascata
• Auto-tuning e/o self-tuning
• Funzionamento in automatico o manuale
• Configurabile via rete o terminale esterno RS-232
• Possibile configurazione in modalità Gain-Scheduling
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I regolatori industriali
Parametri dei regolatori industriali
Banda proporzionale (BP): è l’inverso del guadagno dell’azione proporzionale. Indica il range entro cui un controllore/attuatore saturato si mantiene lineare
Tempo di anticipo (D): indica la “durata” dell’effetto dell’azione derivativa
Tempo di intervento integrale (I): indica il tempo di latenza dell’azione integrale
I
PI
P
DD
PP k
k
k
k
kB ;;
1
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
I regolatori industriali
0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 50
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
T e m p o [ s ]
e ( t )
uP
( t )
uD
( t )
uIP ( t )
D 2 I
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La taratura dei regolatori industriali
La taratura dei regolatori industriali può essere effettuata mediante tecniche di sintesi in frequenza standard. Tuttavia, in ambito industriale, sono per lo più utilizzate metodologie basate su prove in campo
Metodi ad anello chiuso: prevedono di effettuare prove a ciclo chiuso con regolatore solo proporzionale, o a relé, in modo da instaurare comportamenti oscillatori permanenti.I parametri dell’oscillazione (periodo ed ampiezza) vengono utilizzati per definire i valori dei parametri del regolatore
Metodi ad anello aperto: prevedono prove mediante ingressi a gradino sul solo processo da controllare, eventualmente comprensivo del sitema di misura.I parametri della risposta indiciale (guadagno, costante di tempo e tempo morto) vengono utilizzati per identificare il processo, e quindi parametri del regolatore
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La taratura dei regolatori industriali
I metodi a ciclo chiuso sono utilizzati dai programmi di auto e self-tuning dei regolatori industriali commerciali.
I metodi ad anello aperto sono quelli maggiormente utilizzati nell’industria di processo.
m
m
Tt
gradinor
Tt
TteKty
m
0
1
Il processo viene approssimato come un sistema del primo ordine più un ritardo finito
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La taratura dei regolatori industriali
C
H
yr +_
e
z
Pu
H
yr +_
e
z
Pu=cost
Si pone il controllore in manuale, si applica un segnale di controllo costante, u, e si legge la misura dell’uscita, z.
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La taratura dei regolatori industriali
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 00
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
T e m p o [ s ]
R i s p o s t a i n d i c i a l e d e l p r o c e s s o + s e n s o r e
z ( t )
za p p r o x
( t )
u ( t )
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La taratura dei regolatori industriali
Procedura di identificazione
1. Si effettua la prova di risposta al gradino
2. Si individua il valore di regime dell’uscita
3. Si traccia una retta tangente alla risposta nel suo punto di flesso
4. Si valuta l’intersezione di tale retta con l’asse delle ascisse. Tale punto individua il tempo morto Tm
5. Si valuta l’intersezione di tale retta con la retta parallela all’asse dei tempi indicante il valore di regime. Tale punto individua un intervallo di tempo che è somma del tempo morto Tm e della costante di tempo
L’ingresso a gradino può essere applicato come variazione a gradino a partire da una qualunque condizione di regime stazionario
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La taratura dei regolatori industriali
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 00
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
T e m p o [ s ]
R i s p o s t a i n d i c i a l e d e l p r o c e s s o + s e n s o r e
z ( t )
u ( t )
K
Tm
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La taratura dei regolatori industriali
Tabella di taratura di Ziegler & Nichols
kP I D
P 0
PI 3Tm 0
PID 2Tm 0.5Tm
mT
K
mT
K
9.0
mT
K
2.1
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La taratura dei regolatori industriali
La taratura di Ziegler & Nichols impone valori di smorzamento a ciclo chiuso abbastanza bassi (0.2) e quindi risposte con sovraelongazioni elevate ed oscillazioni.
• incrementare il valore di I
• incrementare il valore di D
• ridurre il valore di kP
• utilizzare altre tabelle di taratura
Tutte le tabelle di taratura sono sviluppate sotto specifiche ipotesi, ed è quindi necessario verificarne le condizioni di applicabilità
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
La taratura dei regolatori industriali
La taratura di Ziegler & Nichols
Note sulle regole di taratura
Tipo di regolatore
Tm/>1 Risultati scadentiI per regolazione blanda. Essenziale predittore di Smith
0.6<Tm/<1
1.5<K1<2.25
Risultati scadenti, migliorabili con peso sul set-point
I o PI. Predittore di Smith o controllo in cascata
0.16<Tm/<0.6
2<K1<20
Buoni risultati. Sovralongazione riducibile con peso sul set-point
PI o PID (se basso rumore di misura)
Tm/<0.15
Buoni risultati. Sovralongazione riducibile con peso sul set-point
PI o PID (se basso rumore di misura)
c
PH
PHgainK
1
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Configurazione anti wind-up
Wind-up: fenomeno di carica integrale in presenza di fenomeni di saturazione, che comporta che l’azione di controllo non venga modificata anche in presenza di una variazione di segno del segnale di errore
Aattuatoresaturato
Pprocesso
Ccontrollore
Ttrasduttore
+
+
+r(t) e(t) u(t) m(t)
d(t)
y(t)
ym(t)
_
Ffiltro
z(t)
Controllore
+
n(t)
+
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Configurazione anti wind-up
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
3R e g o l a t o r e P I - A t t u a t o r e n o n s a t u r a t o
T e m p o [ s ]
E r r o r eC o m a n d oU s c i t aR i f e r i m e n t o
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Configurazione anti wind-up
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
3
T e m p o [ s ]
R e g o l a t o r e P I - A t t u a t o r e s a t u r a t o
E r r o r eC o m a n d oU s c i t aR i f e r i m e n t o
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Configurazione anti wind-up
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0- 0 . 4
- 0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1E r r o r e
T e m p o [ s ]
a t t u a t o r e s a t u r a t oa t t u a t o r e n o n s a t u r a t oa n t i w i n d - u p
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Configurazione anti wind-up
Il filtro LP è un filtro del primo ordine, con guadagno unitario e costante di tempo I
Appena e’ cambia segno si esce dalla zona di saturazione
Aattuatoresaturato
kP
+r(t) e(t)
u(t) m(t)_
Lp
Filtro LP
I
e’(t)
Controllore PIAnti wind-up
Am
Modellosaturazione
+
+
y(t)
Ej
jEE
L
AU
I
I
jP
m
I
1
1
1
1 11
)
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Azione derivatrice sull’uscita
Il blocco dell’azione derivatrice è applicato sull’uscita così da non avere valori di controllo elevati alle variazioni rapide del segnale di
riferimento
Se il segnale di riferimento è costante il controllore PI+D è equivalente a quello PID, a parte gli istanti in cui si imposta una variazione di set-point
kP
+r(t) e(t) u(t)_
Lp
Filtro LP - I
e’(t)Am
Modellosaturazione
+
+
y(t)
D
+
_
PI anti wind-up
PI anti wind-up +D
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Azione derivatrice sull’uscita
0 5 1 0 1 50
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5R i s p o s t a i n d i c i a l e
T e m p o [ s ]
r i f e r i m e n t oP I + DP I D
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Azione derivatrice sull’uscita
0 5 1 0 1 5- 5
0
5
1 0
1 5
2 0
T e m p o [ s ]
S e g n a l e d i c o n t r o l l o
r i f e r i m e n t oP I + DP I D
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Predittore di Smith
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 50
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
T e m p o [ s ]
R i s p o s t a i n d i c i a l eu s c i t ad e r i v a t a d e l l ' u s c i t at a n g e n t e
K
Tm
+ Tm
s
s
4137.7
934.2
1
mT
K
s
s
46701
86805
0552.0
.
.
k
D
I
P
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Predittore di Smith
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 00
0 . 1
0 . 2
0 . 3
0 . 4
0 . 5
0 . 6
0 . 7
0 . 8
0 . 9
1
T e m p o [ s ]
R i s p o s t a i n d i c i a l e
L’utilizzo di una taratura standard non dà risultati soddisfacenti in termini di tempo di assestamento e prontezza di risposta
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Predittore di Smith
Per migliorare la prontezza di risposta si effettua la retroazione sulla base dell’uscita di un modello del sistema prelevando il segnale a monte di un ritardo stimato, e tarando i parametri del regolatore PID sulla base del modello depurato del ritardo stimato.
s
s
4137.7
934.2
1
mT
K
s
s
45.05.0
8.12
1798.02.1
mD
mI
mP
T
TT
Kk
s
s
s
4137.7
034.2ˆ
9.0
1
m
m
T
T
K
Predittore di Smith: Implementa una compensazione feed-forward/feedback del ritardo finito basata sul modello del processo
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Predittore di Smith
Ingresso Uscita
Processo
1
7 . 4 1 3 7 s + 1
M o d e l l o 1 ° o r d i n e M o d e l l oD e l a y = 2 . 0 3 4
M o d e l l oD e l a y = 0 . 9
0 . 1 7 9 8
K _ P
0 . 1 7 9 8 / 1 . 8
K _ I
0 . 4 5 * 0 . 1 7 9 8
K _ D
1s
I n t e g r a t o r eG r a d i n o
d u / d t
D e r i v a t o r e
PID
Predittore di Smith
Errore di modello
La retroazione dell’errore di modello migliora il comportamento a ciclo chiuso del sistema
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Predittore di Smith
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0- 0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
1 . 2
T e m p o [ s ]
R i s p o s t a i n d i c i a l e
P I D c o n r e t r o a z i o n e d e l l ' e r r o r e d i m o d e l l oe r r o r e d i m o d e l l oP I + D c o n r e t r o a z i o n e d e l l ' e r r o r e d i m o d e l l oP I + D s e n z a r e t r o a z i o n e d e l l ' e r r o r e d i m o d e l l o
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
Riferimenti bibliografici
Alessandro GIUA, Carla SEATZUAnalisi dei sistemi dinamici – seconda edizione Springer-Verlag Italia, 2009
Norman S. NISEFondamenti di cControlli automatici – a cura di Paolo PuglieseCittà Studi, 2013
GianAntonio MAGNANI, Gianni FERRETTI, Paolo ROCCOTecnologie dei sistemi di controllo – seconda edizioneMcGraw-Hill, 2007
Massimiliano VERONESIRegolazione PID – Tecniche di taratura, schemi di controllo, valutazione delle prestazioni (quarta edizione)Franco Angeli, 2011
Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID
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