Control Automático - Escuela de Ingeniería Electrónica · encuentren directamente conectados en...

Control Automático

Discretización de reguladores y plantas

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Contenido

◼ Discretización a partir de la función de

transferencia en tiempo continuo

◼ Por respuesta invariante al impulso

◼ Por retenedor de orden cero (ZOH)

◼ Por Tustin o transformación bilineal

◼ Por mapeo de polos (solo para SISO)

◼ Ejemplos

◼ Ejercicios

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Esquema de un control digital

Computador

y(t)

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Escogencia del periodo de

muestreo

◼ El periodo de muestreo Ts debe ser escogido

para que sea menor que una décima parte de

la constante de tiempo dominante, del

sistema que se espera en lazo cerrado

.10

1doms TT

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Escogencia del periodo de

muestreo

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Condiciones de la conversión

◼ Dos funciones continuas son discretizadas y se

encuentran en cascada

◼ Dos funciones continuas en cascada son

discretizadas; G(s) = G1(s)G2(s)

G1(s) G2(s)T T

x(t)

X(s)

x*(t)

X(z)

v(t)

V(s)

y(t)

Y(s)

y*(t)

Y(z)G1(s) G2(s)

TT TTx(t)

X(s)

x*(t)

X(z)

v(t)

V(s)

y(t)

Y(s)

y*(t)

Y(z)

)()()()(

)()( 21 sGsGsG

zX

zYzG ===

)(Ζ)(Ζ)()()(

)()( 2121 sGsGzGzG

zX

zYzG ===

G1(s) G2(s)T T

x(t)

X(s)

x*(t)

X(z)

v(t)

V(s)

y(t)

Y(s)

y*(t)

Y(z)T

v*(t)

V*(s)G1(s) G2(s)

TT TTx(t)

X(s)

x*(t)

X(z)

v(t)

V(s)

y(t)

Y(s)

y*(t)

Y(z)TTT

v*(t)

V*(s)V(z)

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Condiciones de la conversión

◼ Procedimiento:

◼ Combinar todos los elementos continuos que se

encuentren directamente conectados en cascada

en una única función G(s)

◼ Considerar como si la función G(s), tiene

además, paralelamente a su salida continua, una

salida muestreada. G(z) = Y(z)/U(z)

G1(s) G2(s)T

x(t)

X(s)

x*(t)

X(z)K(z) G(s)

TT

x(t)

X(s)

x*(t)

X(z) T

u*(t)

U (z)TT

T

y(t)

Y(s)

y*(t)

Y(z)TT

y(t)

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

El sistema híbrido de control

G1(s) G2(s)T

x*(t)

X(z)K(z) G(s)

TT T

u*(t)

U (z)TT

T

y(t)

Y(s)

y*(t)

Y(z)TT

y(t)

H(s)

-

+

R(s)

r(t)

)()()(1

)()(

)()(1

)()(

)(

)()(

sHsGzK

sGzK

zGHzK

zGzK

zR

zYzT

+

=

+==

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Transformación por respuesta

invariante al impulso

◼ Combinar todos los elementos continuos que se encuentren directamente conectados en cascada en una única función G(s)

◼ Representar G(s) en fracciones parciales

◼ Convertir cada fracción parcial a su forma en Z usando la transformada Z de la función exponencial muestreada y con ayuda de tablas.

1

1

1

at akT

aTe e

e z

− −

− = =

−

)(

1

aseL at

+=− Tiene problemas de

aliasing

dependiente de T

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

◼ Para raíces simples

Donde: 𝑅𝑖 = residuo del polo i-ésimo; 𝑝𝑖 = polo i-ésimo;

T = periodo de muestreo

◼ Para raíces repetidas

Donde: 𝑅𝑖𝑙 = residuo de la repetición l del polo i-ésimo; 𝑝𝑖 = polo i-ésimo; T = periodo de muestreo

Respuesta invariante al impulso

=

−−=

n

iTp

i

ze

RTzG

i

11)1(

)(

=

−−

−−

=

−

−

−=

i

i

m

lTpl

i

l

il

lj

i zepl

RTzG

111

11

1 )1(

1

)!1(

)1()(

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Ejemplo 1: Discretización de

una planta por respuesta inv.

◼ Encuentre el modelo en tiempo discreto para

la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s

◼ Evaluando los residuos para los polos

◼ P = [ -4 -1]

◼ R = [-4/3 4/3]

)4)(1(

4)(

++=

sssP

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Ejemplo 1: cont.

◼ Evaluando

◼ ; T= 0.1s

2

1 4*0.1 1 1*0.1 11

4 / 3 4 / 3( ) 0.1* 0.1*

(1 ) (1 ) (1 )i

i

p Ti

RP z

e z e z e z− − − − −=

−= = +

− − −

−+

−

−=

)9048.0(

*3/4

)6703.0(

*3/4*1.0)(

z

z

z

zzP

)9048.0)(6703.0(

031269.0)(

−−=

zz

zzP

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Ejercicio 1

◼ Convierta con T = 0.1s

◼ Evaluando los residuos para los polos

◼ P = [ -2 -2]

◼ R = [0 3]

2)8187.0(

024562.0)(

−=

z

zzP

2)2(

3)(

+=

ssP

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

◼ Se combina la función de transferencia del

retenedor de orden cero con la de la planta.

◼ El resultado se descompone en fracciones

parciales y cada fracción se transforma a Z.

Por retenedor de orden cero

−=

− −

−

s

sGZzsG

s

eZ

sT )(*)1()(*

1 1

y(k)

G(s)ZOHu(k)

y(t)

u*(t)

Método preferible

para sistemas con

tiempo muerto

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Ejemplo 2: Discretización de

una planta por ZOH

◼ Encuentre el modelo en tiempo discreto para

la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s

◼ Descomponiendo en fracciones parciales

P(s)/s los residuos y polos son:

◼ R = [ 0.3333 -1.3333 1.0000]

◼ P = [-4 -1 0]

)4)(1(

4)(

++=

sssP

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Ejemplo 2: cont.

◼ Después de transformar cada fracción parcial

aplicando el periodo de muestreo T = 0.1s

◼ Sumamos, aplicamos el factor (1 - z-1),

factorizamos y simplificamos:

sT.z-.z-

.z+ .zP 1.0,

)67030)(90480(

)84660(016990)( ==

−+

−−

−−=

−−−−−

−

)1(

1

)1(

33.1

)1(

33.0)1()(

101)1.0*1(1)1.0*4(

1

zezezezzP

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Por el método de Tustin o

transformación bilineal

◼ Partimos de la relación de definición de z

◼ Despejamos s y desarrollamos la serie de

potencias del logaritmo

◼ Finalmente aproximamos al primer término

sTez =

zT

s ln1

=

++

−+

+

−+

+

−=

5

5

3

3

)1(

)1(

5

2

)1(

)1(

3

2

)1(

)1(2

z

z

Tz

z

Tz

z

Ts

)1(

)1(2

+

−

z

z

Ts

No tiene problemas

de aliasing

dependiente de T

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Ejemplo 2: Discretización de

una planta por Tustin

◼ Encuentre el modelo en tiempo discreto para

la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s

◼ Sustituyendo

)4)(1(

4)(

++=

sssP

)4)1(

)1(

1.0

2)(1

)1(

)1(

1.0

2(

4)(

++

−+

+

−=

z

z

z

zzP

)9048.0)(6667.0(

)1(0079365.0)(

2

−−

+=

zz

zzP

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Por mapeo de polos y ceros

Solo para sistemas SISO. Se sustituye cada polo

de la forma (s - pi) por ( z – epiT ) y cada cero de

la forma (s - zi) por ( z – eziT ). Finalmente se

ajusta la ganancia K’ para una respuesta igual,

típicamente a frecuencia cero.

=

=

−

−

=n

i

i

q

i

i

ps

zs

KsG

1

1

)(

)(

)(

10)()(

===

zszGsG

=

=−−

−

−

+=n

i

i

q

i

i

qn

Tp

Tz

e

e

z

z

zKzG

1

1)1(1

)(

)(

)1()(

n > q

= en dom.

analógico = ½ s

en el dom. discreto.

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Por mapeo de polos y ceros

La ganancia K’ se calcula como

Se satisface exactamente la relación

11

)1(

11

)()1(

)(

==

−−

=

−+

−

=

z

Tz

Tp

q

i

iqn

n

i

i

B

e

e

zz

z

KK

=

=

=

−

−

==n

i

i

q

i

i

B

p

z

KsGKs

1

1

0)(

sTez =

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Ejemplo 4: Discretización de

una planta por mapeo z = esT

◼ Encuentre el modelo en tiempo discreto para

la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s

◼ Los datos del sistema continuo son:

◼ P = [-4 -1 ]

◼ n = 2; q = 0

◼ KB = P(0) = 1

)4)(1(

4)(

++=

sssP

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Ejemplo 4: cont.

◼ Evaluamos las fórmulas

)e)(zez

zzP

.*-.*-

--

101104

)102(

(

)1()(ˆ

−−

+=

)(ˆ*)( 1 zPKzP =

0.1sT,)90480)(67030(

)1(0156870)( ==

.z-.z-

z+.zP

7486.63)1(ˆ =P 7486.63/11 =K

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Respuesta al impulso

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (seconds)

Am

pli

tud

e

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Respuesta al escalón

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Respuesta ante rampa

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Respuesta ante rampa

Time (seconds)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Respuesta de frecuencia

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Mag

nit

ud

e (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-450

-405

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Ph

ase (

deg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Ejemplo 5: Discretización del

regulador PID

◼ El PID ideal se puede discretizar por los

métodos de:

◼ La aproximación trapezoidal a la integral y la

aproximación de Euler a la derivada

◼ Transformación bilineal o método de Tustin

(s → z → kT)

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Ejemplo 5: Discretización del

regulador PID

Aproximaciones a la integral

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Discretización del PID por

aproximaciones a la I y D

◼ Partimos de la expresión para el PID ideal

en el dominio del tiempo continuo

◼ Obtenemos la forma posicional del algoritmo

del PID

0.

)1()(

2

)1()(()()( m

T

kekeKInt

TkekeKkeKkm

s

dprevs

iP +−−

+

+

−++=

0

0

)()()()( mtedt

dKdeKteKtm D

t

IP +++=

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Discretización del PID por

transformación bilineal

◼ Partimos de la expresión para el PID en el

dominio de la frecuencia compleja

◼ Sustituimos

y obtenemos la forma de velocidad del

algoritmo del PID

)2()1(2)()()1()()1()( −+−−++−−+−= kekekeT

TKke

T

TKkekeKkmkm

s

dP

i

sPP

dP

i

PPPID TKs

sT

KKsK ++=)(

)1(

)1(2

+

−

z

z

Ts

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

La forma de velocidad del PID

discreto

◼ La forma de velocidad del PID se puede

simplificar a

donde las constantes A, B y C dependen de

KP, Ti, Td y del tiempo de muestreo TS

◼ También se puede llegar a esta forma si

restamos la forma posicional del PID

evaluada en k y en (k-1)

◼ Esta forma es menos propensa al windup

)2()1()()1()( −+−++−= keCkeBkeAkmkm

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Ejercicios adicionales

◼ Obtenga y compare los modelos discretos,

con el periodo de muestreo T dado para las

funciones G(s), F(s) y H(s); por los cuatro

métodos vistos en clase.

0.05s T ;)9(

)3)(4.0()( =

+

++=

ss

sssF

0.1s T ;)1(

)3()(

2=

+

+=

ss

ssH

0.2s T ;)2)(1(

*3)(

4.0*

=++

=−

ss

esG

s

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Preguntas adicionales

◼ ¿Cómo se transforma un PID paralelo?

◼ ¿Cómo es un PID real?

◼ ¿Qué es un filtro derivativo para PID?

◼ ¿Cuáles son las aproximaciones backward

Euler y forward Euler a la integral y la

derivada? ¿Ventajas y desventajas, cuál es

más recomendable?

◼ ¿Cuáles son las ecuaciones de diferencia de

un PID ideal en paralelo? a) con forward

Euler; b) con backward Euler; c) con Tustin.

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Am

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de

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Referencias

◼ Bollinger, John G., Duffie, Neil A.. “Computer Control of Machines and Processes”, Addison-Wesley, USA, 1988.

◼ Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, México.

◼ http://www.ie.itcr.ac.cr/einteriano/control/clase/3.0SistemasdeControlenTiempoDiscreto.pdf

◼ http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/contro

l/manipmod/f2-3161.html