Conjuntos Num ericos -...

Conjuntos Numericos Aula 5

Conjuntos Numericos

Armando Caputi

E-mail: armando.caputi@ufabc.edu.brPagina: http://professor.ufabc.edu.br/~armando.caputi

Sala 549-2 - Bloco A - Campus Santo Andre

Armando Caputi Bases Matematicas

Conjuntos Numericos

Numeros Naturais, Inteiros e Racionais

Conjuntos Numericos

N = {0, 1, 2, 3, . . . }

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 . . . }Q = { n

m| n ∈ Z e m ∈ Z \ {0}}

Estruturas algebricas

Tais conjuntos sao dotados de

• Operacao de soma

• Operacao de multiplicacao

• Relacao de ordem

As propriedades dessas estruturas algebricas sao bem conhecidas,mas serao revistas ao tratarmos do conjunto dos Numeros Reais.

Conjuntos Numericos

N = {0, 1, 2, 3, . . . }Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 . . . }

Q = { nm| n ∈ Z e m ∈ Z \ {0}}

Conjuntos Numericos

N = {0, 1, 2, 3, . . . }Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 . . . }Q = { n

m| n ∈ Z e m ∈ Z \ {0}}

Conjuntos Numericos

N = {0, 1, 2, 3, . . . }Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 . . . }Q = { n

m| n ∈ Z e m ∈ Z \ {0}}

Conjuntos Numericos

N = {0, 1, 2, 3, . . . }Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 . . . }Q = { n

m| n ∈ Z e m ∈ Z \ {0}}

Conjuntos Numericos

N = {0, 1, 2, 3, . . . }Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 . . . }Q = { n

m| n ∈ Z e m ∈ Z \ {0}}

Conjuntos Numericos

N = {0, 1, 2, 3, . . . }Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 . . . }Q = { n

m| n ∈ Z e m ∈ Z \ {0}}

Conjuntos Numericos

N = {0, 1, 2, 3, . . . }Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 . . . }Q = { n

m| n ∈ Z e m ∈ Z \ {0}}

Sımbolos

Outros Sımbolos

N∗ = N \ {0} = {1, 2, 3, . . . }Z∗ = Z \ {0} = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3 . . . }Q∗ = Q \ {0}Z+ = {0, 1, 2, 3 . . . } = NZ− = {0,−1,−2,−3 . . . }Q+ = {q ∈ Q | q ≥ 0}Q− = {q ∈ Q | q ≤ 0}

Sımbolos

Outros Sımbolos

N∗ = N \ {0} = {1, 2, 3, . . . }

Z∗ = Z \ {0} = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3 . . . }Q∗ = Q \ {0}Z+ = {0, 1, 2, 3 . . . } = NZ− = {0,−1,−2,−3 . . . }Q+ = {q ∈ Q | q ≥ 0}Q− = {q ∈ Q | q ≤ 0}

Sımbolos

Outros Sımbolos

N∗ = N \ {0} = {1, 2, 3, . . . }Z∗ = Z \ {0} = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3 . . . }

Q∗ = Q \ {0}Z+ = {0, 1, 2, 3 . . . } = NZ− = {0,−1,−2,−3 . . . }Q+ = {q ∈ Q | q ≥ 0}Q− = {q ∈ Q | q ≤ 0}

Sımbolos

Outros Sımbolos

N∗ = N \ {0} = {1, 2, 3, . . . }Z∗ = Z \ {0} = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3 . . . }Q∗ = Q \ {0}

Z+ = {0, 1, 2, 3 . . . } = NZ− = {0,−1,−2,−3 . . . }Q+ = {q ∈ Q | q ≥ 0}Q− = {q ∈ Q | q ≤ 0}

Sımbolos

Outros Sımbolos

N∗ = N \ {0} = {1, 2, 3, . . . }Z∗ = Z \ {0} = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3 . . . }Q∗ = Q \ {0}Z+ = {0, 1, 2, 3 . . . } = N

Z− = {0,−1,−2,−3 . . . }Q+ = {q ∈ Q | q ≥ 0}Q− = {q ∈ Q | q ≤ 0}

Sımbolos

Outros Sımbolos

N∗ = N \ {0} = {1, 2, 3, . . . }Z∗ = Z \ {0} = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3 . . . }Q∗ = Q \ {0}Z+ = {0, 1, 2, 3 . . . } = NZ− = {0,−1,−2,−3 . . . }

Q+ = {q ∈ Q | q ≥ 0}Q− = {q ∈ Q | q ≤ 0}

Sımbolos

Outros Sımbolos

N∗ = N \ {0} = {1, 2, 3, . . . }Z∗ = Z \ {0} = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3 . . . }Q∗ = Q \ {0}Z+ = {0, 1, 2, 3 . . . } = NZ− = {0,−1,−2,−3 . . . }Q+ = {q ∈ Q | q ≥ 0}

Q− = {q ∈ Q | q ≤ 0}

Sımbolos

Outros Sımbolos

N∗ = N \ {0} = {1, 2, 3, . . . }Z∗ = Z \ {0} = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3 . . . }Q∗ = Q \ {0}Z+ = {0, 1, 2, 3 . . . } = NZ− = {0,−1,−2,−3 . . . }Q+ = {q ∈ Q | q ≥ 0}Q− = {q ∈ Q | q ≤ 0}

Numeros naturais

O conjunto N dos numeros naturais e caracterizado por:

(1) Todo numero natural tem um unico sucessor, que tambem eum numero natural.

(2) Numeros naturais diferentes tem sucessores diferentes.

(3) Existe um unico numero natural, denotado por 0, que nao esucessor de nenhum outro.

(4) Seja X ⊂ N. Se 0 ∈ X e, alem disso, o sucessor de cadaelemento de X ainda pertence a X , entao X = N.

Observacao: A propriedade (axioma) 4 tambem e conhecidacomo Princıpio de Inducao Finita.

Numeros naturais

Princıpio de Inducao Finita

Motivacao

Demonstrar propriedades sobre numeros naturais ou propriedadesque se expressam atraves de numeros naturais.

Exemplos:

• 1 + 2 + · · · + n =n(n + 1)

• Um conjunto com n elementos possui 2n subconjuntos(i.e. |A| = n⇒ |P(A)| = 2n);

• A soma dos angulos internos de um polıgono regular de nlados e (n − 2)π radianos.

Motivacao

Exemplos:

• 1 + 2 + · · · + n =n(n + 1)

Motivacao

Exemplos:

• 1 + 2 + · · · + n =n(n + 1)

Motivacao

Exemplos:

• 1 + 2 + · · · + n =n(n + 1)

Motivacao

Exemplos:

• 1 + 2 + · · · + n =n(n + 1)

Princıpio de Inducao FinitaAnalogia da fileira de dominos

Seja P(n) uma propriedade relativa ao numero natural n. Se

• P(0) e verdadeira e,

• para todo numero natural k, P(k)⇒ P(k + 1)

entao P(n) e verdadeira para todo n ∈ N.

Observacoes:

• A primeira condicao e chamada de caso base;

• A segunda condicao e denominada passo de inducao.

• No passo de inducao, faz-se uma demonstracao direta paraobter P(k)⇒ P(k + 1).

Observacoes:

PIF - caso base generalizado

• P(n0) e verdadeira e,

• para todo numero natural k ≥ n0, P(k)⇒ P(k + 1)

entao P(n) e verdadeira para todo n ≥ n0.

Exemplo

Mostrar que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n − 1) = n2, ∀ n ≥ 1

Formulacao da propriedade →P(n) : 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n − 1) = n2

(1) Caso base (n0 = 1): P(1) e verdadeira, pois 1 = 12.(2) Passo indutivo: Deve-se provar que P(k)⇒ P(k + 1), para

todo k ≥ 1. Para isso, tome k ∈ N arbitrario (mas fixado) esuponha que P(k) seja verdadeira. Em seguida, mostre queP(k + 1) e verdadeira. Isto e

Hipotese de Inducao - HI: 1 + 3 + . . .+ (2k − 1) = k2

Tese: 1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [(2(k + 1)− 1] = (k + 1)2

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1] =

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1]HI= k2 + [2(k + 1)− 1]= k2 + 2k + 1= (k + 1)2

Do PIF segue que P(n) e verdadeira ∀ n ≥ 1.

Exemplo

Mostrar que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n − 1) = n2, ∀ n ≥ 1

Tese: 1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [(2(k + 1)− 1] = (k + 1)2

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1] =

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1]HI= k2 + [2(k + 1)− 1]= k2 + 2k + 1= (k + 1)2

Exemplo

Mostrar que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n − 1) = n2, ∀ n ≥ 1

(1) Caso base (n0 = 1): P(1) e verdadeira, pois 1 = 12.

(2) Passo indutivo: Deve-se provar que P(k)⇒ P(k + 1), paratodo k ≥ 1. Para isso, tome k ∈ N arbitrario (mas fixado) esuponha que P(k) seja verdadeira. Em seguida, mostre queP(k + 1) e verdadeira. Isto e

Tese: 1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [(2(k + 1)− 1] = (k + 1)2

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1] =

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1]HI= k2 + [2(k + 1)− 1]= k2 + 2k + 1= (k + 1)2

Exemplo

Mostrar que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n − 1) = n2, ∀ n ≥ 1

todo k ≥ 1.

Para isso, tome k ∈ N arbitrario (mas fixado) esuponha que P(k) seja verdadeira. Em seguida, mostre queP(k + 1) e verdadeira. Isto e

Tese: 1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [(2(k + 1)− 1] = (k + 1)2

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1] =

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1]HI= k2 + [2(k + 1)− 1]= k2 + 2k + 1= (k + 1)2

Exemplo

Mostrar que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n − 1) = n2, ∀ n ≥ 1

Tese: 1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [(2(k + 1)− 1] = (k + 1)2

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1] =

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1]HI= k2 + [2(k + 1)− 1]= k2 + 2k + 1= (k + 1)2

Exemplo

Mostrar que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n − 1) = n2, ∀ n ≥ 1

Tese: 1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [(2(k + 1)− 1] = (k + 1)2

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1] =

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1]HI= k2 + [2(k + 1)− 1]= k2 + 2k + 1= (k + 1)2

Exemplo

Mostrar que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n − 1) = n2, ∀ n ≥ 1

Tese: 1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [(2(k + 1)− 1] = (k + 1)2

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1] =

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1]

HI= k2 + [2(k + 1)− 1]= k2 + 2k + 1= (k + 1)2

Exemplo

Mostrar que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n − 1) = n2, ∀ n ≥ 1

Tese: 1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [(2(k + 1)− 1] = (k + 1)2

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1] =

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1]HI=

k2 + [2(k + 1)− 1]= k2 + 2k + 1= (k + 1)2

Exemplo

Mostrar que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n − 1) = n2, ∀ n ≥ 1

Tese: 1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [(2(k + 1)− 1] = (k + 1)2

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1] =

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1]HI= k2 + [2(k + 1)− 1]

= k2 + 2k + 1= (k + 1)2

Exemplo

Mostrar que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n − 1) = n2, ∀ n ≥ 1

Tese: 1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [(2(k + 1)− 1] = (k + 1)2

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1] =

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1]HI= k2 + [2(k + 1)− 1]= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Exemplo

Mostrar que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n − 1) = n2, ∀ n ≥ 1

Tese: 1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [(2(k + 1)− 1] = (k + 1)2

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1] =

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1]HI= k2 + [2(k + 1)− 1]= k2 + 2k + 1= (k + 1)2

Exemplo

Mostrar que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n − 1) = n2, ∀ n ≥ 1

Tese: 1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [(2(k + 1)− 1] = (k + 1)2

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1] =

1 + 3 + . . .+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1]HI= k2 + [2(k + 1)− 1]= k2 + 2k + 1= (k + 1)2

Do PIF segue que P(n) e verdadeira ∀ n ≥ 1.Armando Caputi Bases Matematicas

Exemplo

Mostrar que 2n + 1 ≤ 2n ∀ n ≥ 3

Formulacao da propriedade → P(n) : 2n + 1 ≤ 2n

(1) Caso base (n0 = 3): P(3) e verdadeira, pois2 · 3 + 1 = 7 ≤ 8 = 23

(2) Passo indutivo: P(k)⇒ P(k + 1), para todo k ≥ 3Tome k ≥ 3:

2k + 1 ≤ 2k (Hipotese de Inducao - HI)2(k + 1) + 1 ≤ 2k+1 (Tese)

2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1

2k + 1 + 2HI

≤ 2k + 2≤ 2k + 2k

= 2 · 2k= 2k+1

Do PIF segue que P(n) e verdadeira para todo n ≥ 3.

Exemplo

2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1

2k + 1 + 2HI

≤ 2k + 2≤ 2k + 2k

= 2 · 2k= 2k+1

Exemplo

2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1

2k + 1 + 2HI

≤ 2k + 2≤ 2k + 2k

= 2 · 2k= 2k+1

Exemplo

(2) Passo indutivo: P(k)⇒ P(k + 1), para todo k ≥ 3

Tome k ≥ 3:

2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1

2k + 1 + 2HI

≤ 2k + 2≤ 2k + 2k

= 2 · 2k= 2k+1

Exemplo

2k + 1 ≤ 2k (Hipotese de Inducao - HI)

2(k + 1) + 1 ≤ 2k+1 (Tese)

2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1

2k + 1 + 2HI

≤ 2k + 2≤ 2k + 2k

= 2 · 2k= 2k+1

Exemplo

2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1

2k + 1 + 2HI

≤ 2k + 2≤ 2k + 2k

= 2 · 2k= 2k+1

Exemplo

2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1

2k + 1 + 2

≤ 2k + 2≤ 2k + 2k

= 2 · 2k= 2k+1

Exemplo

2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1

2k + 1 + 2HI

≤ 2k + 2

≤ 2k + 2k

= 2 · 2k= 2k+1

Exemplo

2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1

2k + 1 + 2HI

≤ 2k + 2≤ 2k + 2k

= 2 · 2k= 2k+1

Exemplo

2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1

2k + 1 + 2HI

≤ 2k + 2≤ 2k + 2k

= 2 · 2k= 2k+1

Exemplo

2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1

2k + 1 + 2HI

≤ 2k + 2≤ 2k + 2k

= 2 · 2k= 2k+1

Exemplo

Mostrar que n2 < 2n ∀ n ≥ 5.

Formulacao da propriedade → P(n) : n2 < 2n.

(1) Caso base (n = 5):P(5) e verdadeira, pois 52 = 25 < 32 = 25.

(2) Passo indutivo: Tome k ≥ 5 arbitrario (mas fixado). Deve-seprovar que P(k)⇒ P(k + 1)Para isso, suponha que P(k) seja verdadeira, isto e

k2 < 2k (Hipotese de Inducao - HI)

Vamos mostrar que P(k + 1) e verdadeira, isto e

(k + 1)2 < 2k+1 (Tese)

(k + 1)2 = k2 + 2k + 1

k2 + 2k + 1HI

< 2k + 2k + 1≤ 2k + 2k (exemplo anterior)= 2k+1

Exemplo

(k + 1)2 < 2k+1 (Tese)

(k + 1)2 = k2 + 2k + 1

k2 + 2k + 1HI

Exemplo

(k + 1)2 < 2k+1 (Tese)

(k + 1)2 = k2 + 2k + 1

k2 + 2k + 1HI

Exemplo

(2) Passo indutivo: Tome k ≥ 5 arbitrario (mas fixado). Deve-seprovar que P(k)⇒ P(k + 1)

Para isso, suponha que P(k) seja verdadeira, isto e

(k + 1)2 < 2k+1 (Tese)

(k + 1)2 = k2 + 2k + 1

k2 + 2k + 1HI

Exemplo

(k + 1)2 < 2k+1 (Tese)

(k + 1)2 = k2 + 2k + 1

k2 + 2k + 1HI

Exemplo

(k + 1)2 < 2k+1 (Tese)

(k + 1)2 = k2 + 2k + 1

k2 + 2k + 1HI

Exemplo

(k + 1)2 < 2k+1 (Tese)

(k + 1)2 = k2 + 2k + 1

k2 + 2k + 1HI

< 2k + 2k + 1

≤ 2k + 2k (exemplo anterior)= 2k+1

Exemplo

(k + 1)2 < 2k+1 (Tese)

(k + 1)2 = k2 + 2k + 1

k2 + 2k + 1HI

Exemplo

(k + 1)2 < 2k+1 (Tese)

(k + 1)2 = k2 + 2k + 1

k2 + 2k + 1HI

Do PIF segue que P(n) e verdadeira para todo n ≥ 5.Armando Caputi Bases Matematicas

Exemplo

Mostrar que se um conjunto tem n elementos, entao seu conjuntodas partes tem 2n elementos.

Formulacao da propriedade → P(n): Se um conjunto A tem nelementos, o conjunto ℘(A) tem 2n elementos.

(1) Caso base (n = 0):P(0) e verdadeira, pois o unico conjuntocom 0 elementos e ∅ e o unico subconjunto de ∅ e o proprio∅.

(2) Passo indutivo: Deve-se provar que P(k)⇒ P(k + 1), paratodo k ∈ N. Para isso, tome k ∈ N arbitrario (mas fixado) esuponha que P(k) seja verdadeira, isto eTodo conjunto com k elementos possui 2k subconjuntos.(HI)Em seguida, mostre que P(k + 1) e verdadeira, isto eTodo conjunto com k + 1 elementos possui 2k+1 subconjuntos.

(continua)

Exemplo

(continua)

Exemplo

(continua)

Exemplo

(2) Passo indutivo: Deve-se provar que P(k)⇒ P(k + 1), paratodo k ∈ N.

Para isso, tome k ∈ N arbitrario (mas fixado) esuponha que P(k) seja verdadeira, isto eTodo conjunto com k elementos possui 2k subconjuntos.(HI)Em seguida, mostre que P(k + 1) e verdadeira, isto eTodo conjunto com k + 1 elementos possui 2k+1 subconjuntos.

(continua)

Exemplo

(2) Passo indutivo: Deve-se provar que P(k)⇒ P(k + 1), paratodo k ∈ N. Para isso, tome k ∈ N arbitrario (mas fixado) esuponha que P(k) seja verdadeira, isto eTodo conjunto com k elementos possui 2k subconjuntos.(HI)

Em seguida, mostre que P(k + 1) e verdadeira, isto eTodo conjunto com k + 1 elementos possui 2k+1 subconjuntos.

(continua)

Exemplo

(continua)

Exemplo

(continua)Armando Caputi Bases Matematicas

Exemplo (continuacao)

HI: Todo conjunto com k elementos possui 2k subconjuntos.

Tese: Todo conjunto com k + 1 elementos possui 2k+1

subconjuntos.Considere X um conjunto qualquer com k + 1 elementos e escolhaum elemento a ∈ X .A ideia e observar que a quantidade de subconjuntos de X quecontem o elemento a e igual a quantidade de subconjuntos de Xque nao contem o elemento a.Vamos contar quantos sao esses ultimos (os que nao contem a).Como X\{a} tem k elementos, de HI segue que ℘(X \ {a}) tem2k elementos.Da observacao acima segue, portanto, que ℘(X ) tem 2 · 2k = 2k+1

elementos, confirmando que vale P(k + 1).Desse forma, provamos o passo indutivo, P(k)⇒ P(k + 1).

Do PIF segue que P(n) e verdadeira para todo numero natural n.

HI: Todo conjunto com k elementos possui 2k subconjuntos.Tese: Todo conjunto com k + 1 elementos possui 2k+1

subconjuntos.

Considere X um conjunto qualquer com k + 1 elementos e escolhaum elemento a ∈ X .A ideia e observar que a quantidade de subconjuntos de X quecontem o elemento a e igual a quantidade de subconjuntos de Xque nao contem o elemento a.Vamos contar quantos sao esses ultimos (os que nao contem a).Como X\{a} tem k elementos, de HI segue que ℘(X \ {a}) tem2k elementos.Da observacao acima segue, portanto, que ℘(X ) tem 2 · 2k = 2k+1

subconjuntos.Considere X um conjunto qualquer com k + 1 elementos e escolhaum elemento a ∈ X .

A ideia e observar que a quantidade de subconjuntos de X quecontem o elemento a e igual a quantidade de subconjuntos de Xque nao contem o elemento a.Vamos contar quantos sao esses ultimos (os que nao contem a).Como X\{a} tem k elementos, de HI segue que ℘(X \ {a}) tem2k elementos.Da observacao acima segue, portanto, que ℘(X ) tem 2 · 2k = 2k+1

subconjuntos.Considere X um conjunto qualquer com k + 1 elementos e escolhaum elemento a ∈ X .A ideia e observar que a quantidade de subconjuntos de X quecontem o elemento a e igual a quantidade de subconjuntos de Xque nao contem o elemento a.

Vamos contar quantos sao esses ultimos (os que nao contem a).Como X\{a} tem k elementos, de HI segue que ℘(X \ {a}) tem2k elementos.Da observacao acima segue, portanto, que ℘(X ) tem 2 · 2k = 2k+1

subconjuntos.Considere X um conjunto qualquer com k + 1 elementos e escolhaum elemento a ∈ X .A ideia e observar que a quantidade de subconjuntos de X quecontem o elemento a e igual a quantidade de subconjuntos de Xque nao contem o elemento a.Vamos contar quantos sao esses ultimos (os que nao contem a).

Como X\{a} tem k elementos, de HI segue que ℘(X \ {a}) tem2k elementos.Da observacao acima segue, portanto, que ℘(X ) tem 2 · 2k = 2k+1

subconjuntos.Considere X um conjunto qualquer com k + 1 elementos e escolhaum elemento a ∈ X .A ideia e observar que a quantidade de subconjuntos de X quecontem o elemento a e igual a quantidade de subconjuntos de Xque nao contem o elemento a.Vamos contar quantos sao esses ultimos (os que nao contem a).Como X\{a} tem k elementos, de HI segue que ℘(X \ {a}) tem2k elementos.

Da observacao acima segue, portanto, que ℘(X ) tem 2 · 2k = 2k+1

elementos, confirmando que vale P(k + 1).

Desse forma, provamos o passo indutivo, P(k)⇒ P(k + 1).

Exemplo

Dados n (n ≥ 2) objetos de pesos distintos, mostre que e possıveldeterminar qual o mais leve e qual o mais pesado fazendo, nomaximo, 2n − 3 pesagens em uma balanca de dois pratos.

Formulacao da propriedade → P(n): E possıvel determinar qual omais leve e qual o mais pesado dentre n objetos de pesos distintosfazendo no maximo 2n − 3 pesagens.

(1) Caso base (n = 2): P(2) e verdadeira, pois uma so pesagem jae suficiente para saber, dentre dois objetos, qual e o mais levee qual e o mais pesado.

(continua)

Exemplo

(continua)

Exemplo

(continua)

Exemplo - continuacao

(2) Passo indutivo: P(k)⇒ P(k + 1).

Tome k ≥ 2 arbitrario (mas fixado) e suponha que P(k) sejaverdadeira, isto e: E possıvel determinar qual o mais leve equal o mais pesado dentre k objetos de pesos distintos fazendono maximo 2k − 3 pesagens (HI)Em seguida, mostre que P(k + 1) e verdadeira, isto e: Epossıvel determinar qual o mais leve e qual o mais pesadodentre k + 1 objetos de pesos distintos fazendo no maximo2(k + 1)− 3 pesagens.

(continua)

(2) Passo indutivo: P(k)⇒ P(k + 1).Tome k ≥ 2 arbitrario (mas fixado) e suponha que P(k) sejaverdadeira, isto e: E possıvel determinar qual o mais leve equal o mais pesado dentre k objetos de pesos distintos fazendono maximo 2k − 3 pesagens (HI)

Em seguida, mostre que P(k + 1) e verdadeira, isto e: Epossıvel determinar qual o mais leve e qual o mais pesadodentre k + 1 objetos de pesos distintos fazendo no maximo2(k + 1)− 3 pesagens.

(continua)

(2) Passo indutivo: P(k)⇒ P(k + 1).Tome k ≥ 2 arbitrario (mas fixado) e suponha que P(k) sejaverdadeira, isto e: E possıvel determinar qual o mais leve equal o mais pesado dentre k objetos de pesos distintos fazendono maximo 2k − 3 pesagens (HI)Em seguida, mostre que P(k + 1) e verdadeira, isto e: Epossıvel determinar qual o mais leve e qual o mais pesadodentre k + 1 objetos de pesos distintos fazendo no maximo2(k + 1)− 3 pesagens.

(continua)

(2) Passo indutivo: P(k)⇒ P(k + 1).Tome k ≥ 2 arbitrario (mas fixado) e suponha que P(k) sejaverdadeira, isto e: E possıvel determinar qual o mais leve equal o mais pesado dentre k objetos de pesos distintos fazendono maximo 2k − 3 pesagens (HI)Em seguida, mostre que P(k + 1) e verdadeira, isto e: Epossıvel determinar qual o mais leve e qual o mais pesadodentre k + 1 objetos de pesos distintos fazendo no maximo2(k + 1)− 3 pesagens.

(continua)

Sejam dados k + 1 objetos de pesos distintos.

Separe um dessesobjetos (chame-o X ). Pela HI, dentre os restantes, bastam 2k − 3pesagens para determinar o mais leve (L) e o mais pesado(P). Agora, com mais duas pesagens, podemos comparar X com Le P e assim determinar o mais leve e o mais pesado dentre osk + 1 objetos iniciais. Note que, ao todo, foram feitas (nomaximo) 2k − 3 + 2 pesagens, isto e, 2(k + 1)− 3 pesagens.Donde P(k + 1) e verdadeira.Do PIF segue que P(n) e verdadeira ∀ n ≥ 2.

Sejam dados k + 1 objetos de pesos distintos. Separe um dessesobjetos (chame-o X ).

Pela HI, dentre os restantes, bastam 2k − 3pesagens para determinar o mais leve (L) e o mais pesado(P). Agora, com mais duas pesagens, podemos comparar X com Le P e assim determinar o mais leve e o mais pesado dentre osk + 1 objetos iniciais. Note que, ao todo, foram feitas (nomaximo) 2k − 3 + 2 pesagens, isto e, 2(k + 1)− 3 pesagens.Donde P(k + 1) e verdadeira.Do PIF segue que P(n) e verdadeira ∀ n ≥ 2.

Sejam dados k + 1 objetos de pesos distintos. Separe um dessesobjetos (chame-o X ). Pela HI, dentre os restantes, bastam 2k − 3pesagens para determinar o mais leve (L) e o mais pesado(P).

Agora, com mais duas pesagens, podemos comparar X com Le P e assim determinar o mais leve e o mais pesado dentre osk + 1 objetos iniciais. Note que, ao todo, foram feitas (nomaximo) 2k − 3 + 2 pesagens, isto e, 2(k + 1)− 3 pesagens.Donde P(k + 1) e verdadeira.Do PIF segue que P(n) e verdadeira ∀ n ≥ 2.

Sejam dados k + 1 objetos de pesos distintos. Separe um dessesobjetos (chame-o X ). Pela HI, dentre os restantes, bastam 2k − 3pesagens para determinar o mais leve (L) e o mais pesado(P). Agora, com mais duas pesagens, podemos comparar X com Le P e assim determinar o mais leve e o mais pesado dentre osk + 1 objetos iniciais.

Note que, ao todo, foram feitas (nomaximo) 2k − 3 + 2 pesagens, isto e, 2(k + 1)− 3 pesagens.Donde P(k + 1) e verdadeira.Do PIF segue que P(n) e verdadeira ∀ n ≥ 2.

Sejam dados k + 1 objetos de pesos distintos. Separe um dessesobjetos (chame-o X ). Pela HI, dentre os restantes, bastam 2k − 3pesagens para determinar o mais leve (L) e o mais pesado(P). Agora, com mais duas pesagens, podemos comparar X com Le P e assim determinar o mais leve e o mais pesado dentre osk + 1 objetos iniciais. Note que, ao todo, foram feitas (nomaximo) 2k − 3 + 2 pesagens, isto e, 2(k + 1)− 3 pesagens.Donde P(k + 1) e verdadeira.

Sejam dados k + 1 objetos de pesos distintos. Separe um dessesobjetos (chame-o X ). Pela HI, dentre os restantes, bastam 2k − 3pesagens para determinar o mais leve (L) e o mais pesado(P). Agora, com mais duas pesagens, podemos comparar X com Le P e assim determinar o mais leve e o mais pesado dentre osk + 1 objetos iniciais. Note que, ao todo, foram feitas (nomaximo) 2k − 3 + 2 pesagens, isto e, 2(k + 1)− 3 pesagens.Donde P(k + 1) e verdadeira.Do PIF segue que P(n) e verdadeira ∀ n ≥ 2.

Outros Exemplos

(1) A soma dos angulos internos de um polıgono regular de nlados (n ≥ 3) e (n − 2)π

1 · 2+

2 · 3+ · · ·+ 1

n · (n + 1)=

(3) n! ≥ (2n)2, ∀ n ≥ 5

Outros Exemplos

1 · 2+

2 · 3+ · · ·+ 1

n · (n + 1)=

(3) n! ≥ (2n)2, ∀ n ≥ 5

Outros Exemplos

1 · 2+

2 · 3+ · · ·+ 1

n · (n + 1)=

(3) n! ≥ (2n)2, ∀ n ≥ 5

Alguns cuidados

• P(n) : n = 1 (satisfaz a primeira condicao, mas nao asegunda)

• Q(n) : n > n + 1 (satisfaz a segunda condicao, mas nao aprimeira)

• Todos temos a mesma idade! (”demonstracao”na lousa)

Alguns cuidados

• P(n) : n = 1

(satisfaz a primeira condicao, mas nao asegunda)

Alguns cuidados

• Q(n) : n > n + 1

(satisfaz a segunda condicao, mas nao aprimeira)

Alguns cuidados

PIF - Segunda versao

PIF - Segunda Versao

• para todo k ∈ N, P(0) ∧ P(1) ∧ · · · ∧ P(k − 1)⇒ P(k)

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