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Compasso: perpendiculares e paralelas
Traçada de reta perpendicular a uma reta dada Retas perpendiculares são aquelas que se
interceptam formando quatro ângulos retos (90º).
Podem ocorrer em três casos: 1º caso: A perpendicular passa por um ponto
pertencente à reta dada. 2º caso: A perpendicular passa por um ponto não
pertencente à reta dada. 3º caso: A perpendicular passa em qualquer lugar
da reta dada.
Exemplo 1
A perpendicular passa por um ponto pertencente à reta dada.
Dados a reta r e o ponto P (P Є r), trace uma reta s perpendicular a r no ponto P.
Construção: Com uma abertura qualquer, centramos o
compasso no ponto P e marcamos dois pontos auxiliares (1 e 2) na reta r.
Aumentando sua abertura, centramos o compasso no ponto 1 e traçamos um arco. Com a mesma abertura, centramos o compasso no ponto 2 e traçamos outro arco. A intersecção dos dois arcos nos dará o ponto 3.
A reta que passa pelo ponto P e pelo ponto 3 é a reta s procurada.
Por que é assim que se faz?
Marcamos os pontos 1 e 2 à mesma distância do ponto P.
Usamos a mesma abertura no compasso para marcar os dois arcos que determinam o ponto 3. Assim, o ponto 3 é equidistante de 1 e 2.
Se está à mesma distância de 1 e 2, a reta que passa pelo ponto 3 e por P divide o ângulo de 180º exatamente no meio, ou seja, em dois ângulos de 90º.
Exemplo 2
A perpendicular passa por um ponto não-pertencente à reta dada.
Dados a reta r e o ponto P (P Є r), trace uma reta s perpendicular a r e que passe pelo ponto P.
Construção: Com uma abertura qualquer, centramos o
compasso no ponto P e marcamos dois pontos (1 e 2) na reta r.
Com uma abertura qualquer, centramos o compasso nos pontos 1 e 2 e traçamos dois arcos que se interceptam no ponto 3.
A reta r passa pelo ponto P e pelo ponto 3 é a reta s procurada.
Por que é assim que se faz?
A justificativa é a mesma do exemplo 1. O ponto P é equidistante dos ponto 1 e 2. O
ponto 3 também é equidistante de 1 e 2. Portanto, a reta passa pelo ponto P e por 3 divide ao meio os ângulos de 180º, resultando em ângulos de 90º.
Exemplo 3
A perpendicular passa em qualquer lugar da reta dada.
Trace uma reta s perpendicular à reta r.
Construção: Neste caso, basta determinar um ponto P,
pertencente à reta ou não, e aplicar um dos processos vistos anteriormente.
Determina-se o ponto P na reta r.
Determina-se o ponto P fora da reta r.
Fazer exercícios 01
Traçados de retas paralelas
Retas paralelas são aquelas que não possuem pontos em comum, pois não se interceptam, ou seja, mantêm sempre a mesma distância uma da outra.
Podem ocorrer dois casos: 1º caso: A paralela passa por um ponto dado. 2º caso: A paralela passa a determinada distância
da reta dada.
1º caso
Veremos quatro processos de resolução para esse caso.
Exemplo 1
A paralela passa por um ponto dado. Dados a reta r e o ponto P, trace a reta s
paralela a r no ponto P.
Construção: Com uma abertura qualquer, centramos o compasso no
ponto P e traçamos um arco que determine na reta r o ponto auxiliar 1.
Com a mesma abertura, centramos o compasso no ponto 1 e traçamos um arco que determine em r o ponto auxiliar 2.
Abrimos o compasso com medida igual à distância de 2 a P. Transportamos essa medida para o outro arco, a partir do ponto 1, obtendo assim o ponto 3.
A reta r que passa pelo pontos P e 3 é a reta s procurada.
Por que é assim que se faz?
Os dois arcos têm o mesmo raio e sobre eles transportamos a mesma distância.
Exemplo 2
Dados a reta r e o ponto P, trace a reta s paralela a r no ponto P
Construção: Marcamos um ponto O (centro) em qualquer lugar
da reta r. Centramos o compasso em O e, com abertura até o ponto P, traçamos um arco, que determinará na reta r dois pontos auxiliares ( 1 e 2).
Com o auxílio do compasso, transportamos a distância 1P para o outro arco, a partir do ponto 2, obtendo o ponto 3.
A reta que passa pelos pontos P e 3 é a reta s procurada.
Por que é assim que se faz?
A justificativa é a mesma do processo anterior: transportando no arco a distância que determina o ponto auxiliar 3, obtendo a mesma distância de P em relação à reta r.
Qual a diferença entre 1º e o 2º processo? No 1º processo, começamos a construção
centrando o compasso no ponto P. No 2º processo, começamos a construção
centrando o compasso em um ponto qualquer da reta (ponto O).
Exemplo 3
Dados a reta r e o ponto P, trace a reta s paralela a r no ponto P.
Construção: Com uma abertura qualquer, centramos o
compasso no ponto P e traçamos um arco que determina na reta r o ponto auxiliar 1.
Com a mesma abertura, centramos o compasso em 1 e marcamos em r o ponto auxiliar 2. ainda com a mesma abertura, centramos o compasso no ponto 2 e marcamos no arco o ponto 3.
A reta que passa pelos pontos P e 3 é a reta s procurada.
Por que é assim que se faz?
Sabemos que, num paralelogramo, os lados opostos são paralelos entre si. Nesse 3º processo, os pontos P, 1, 2 e 3 correspondem aos vértices de um losango.
Qual a diferença entre esse processo e os anteriores? No 3º processo, não alteramos a abertura do
compasso: a medida inicial, para o arco, é conservada até o final.
Exemplo 4
Dados a reta r e o ponto P, trace a reta s paralela à reta r no ponto P.
Construção: Traçamos uma reta perpendicular a r em P,
obtendo o ponto auxiliar 1.
Marcamos na reta r, em qualquer lugar, um ponto auxiliar 2. Nesse ponto, traçamos uma perpendicular a r.
Transportamos a distância P1 para a outra perpendicular, a partir de 2, obtendo o ponto 3.
A reta que passa pelos pontos P e 3 é a reta s procurada.
O 4º processo lembra a figura formada pro um gol de futebol. Em relação ao chão, o travessão é paralelo e as duas traves são perpendiculares e de mesma medida.
Daqui em diante, utilizaremos esse processo sempre que trabalharmos com distância entre paralelas.
Fazer exercícios 02
2º caso
Vamos agora estudar o traçado de paralelas a uma distância determinada da reta dada.
Exemplo 5
Trace o par de retas (r´e r´´) distantes 2,0 cm da reta r.
Construção: Marcamos na reta r dois pontos auxiliares
quaisquer (1 e 2). Em cada ponto, traçamos uma reta perpendicular a r.
Nas perpendiculares, a partir de r, marcamos para os dois lados a distância desejada (2,0 cm), obtendo os pontos 3, 4, 5 e 6.
As retas que passam por 3 e 5 e por 4 e 6 são paralelas r´e r´´ procuradas.
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