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Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Geometría.
Problema 1:
Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta
Problema 2:
Dadas las rectas , se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene a la recta s y es paralelo a la recta r
Problema 3:
Dados los vectores calcula los vectores unitarios de R3 que
son ortogonales a los vectores dados.
Problema 4:
Halla la posición relativa del plano y la esfera siguientes: π ≡ 3x + 2y – 6z + 12 = 0
x2 + y
2 + z
2 – 6x + 2y – 4z – 2 = 0
Problema 5:
Determina los puntos de la recta de ecuaciones
que equidistan del plano π de ecuación x + z = 1 y del plano π’ de ecuación y – z = 3
Problema 6:
Sea r y s las rectas dadas por:
a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten. b) Para m = 1, hállese la ecuación del plano que contiene a r y s
Problema 7:
Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Calcula el volumen del tetraedro de vértices A(1, 1, 1), B(1, 2, 3), C(2, 3, 1) y D(3, 1, 2)
Problema 8:
Se consideran los puntos A(0, 1, 0) y B(1, 0, 1). Determina la ecuación que verifican los puntos X(x, y, z) cuya distancia de A es igual a la distancia de A a B
Problema 9:
Sean las rectas:
a) Halla la ecuación de la recta t que pasa por el origen y corta a las dos rectas anteriores. b) Halla la recta perpendicular t’ común a las recta r y s
Problema 10:
Determinar la posición relativa de las rectas:
Problema 11:
Se considera el triángulo que tiene por vértices los puntos A(1, 1, 2), B(1, 0, –1) y
C(1, –3, 2). Razona si es rectángulo.
Problema 12:
Dado el punto P(1, 3, –1), escribe la ecuación que deben verificar los puntos X(x, y, z) cuya distancia a P sea igual a 3
Problema 13:
Calcula la distancia entre las rectas
Problema 14:
En el espacio se consideran: La recta r intersección de los planos de ecuaciones implícitas: 2x – 2y – z = 9, 4x – y + z = 42
y la recta s que pasa por los puntos (1, 3, – 4) y (3, –5, –2). Se pide: a) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta r y de la recta s
b) Justifica que las rectas r y s se cruzan.
Problema 15:
Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Sean los vectores:
Problema 16:
Halla la posición relativa del plano y la esfera siguientes: π ≡ 2x – 3y + 6z – 5 = 0
x2 + y
2 + z
2 – 4x – 2y – 6z + 10 = 0
Problema 17:
Calcula el ángulo que forma el plano x + y + z = 0 con la recta de ecuaciones x + y = 1,
y + z = 1
Problema 18:
Demuestra que los puntos P = (0, 0, 4), Q = (3, 3, 3), R = (2, 3, 4) y S = (3, 0, 1) son coplanarios y determina el plano que los contiene.
Problema 19:
Halla el valor de λ > 0 de manera que el volumen del tetraedro OABC donde O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, λ, 0) y C(0, 0, 4) sea 2
Problema 20:
Halla la posición relativa de las siguientes recta y esfera. Si tienen puntos comunes hállalos:
Problema 21:
Considera el punto P(3, 2, 0) y la recta r de ecuaciones
Halla las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto de la recta r
Problema 22:
Determina el plano que pasa por el punto de coordenadas (1, 2, 3) y por la recta de ecuaciones x + y = 1, y + z = 1
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Problema 23:
Si A, B y C son los puntos de coordenadas (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), respectivamente
a) Calcula el área del triángulo que forman los puntos A, B y C
b) Determina el ángulo que forman los vectores y
Problema 24:
Halla la ecuación del plano tangente a la esfera (x – 3)2 + (y – 1)
2 + (z + 2)
2 = 24 en el punto
M(–1, 3, 0)
Problema 25:
La trayectoria de un proyectil viene dada por la recta:
Calcula el punto de impacto en el plano 3x + y – z = 0 y la distancia recorrida por el proyectil desde el punto inicial P(2, 3, 1) hasta el punto de impacto.
Problema 26:
Estudia la posición relativa de las rectas r y s dadas por
en particular, ¿son perpendiculares o paralelas?
Problema 27:
Estudia si son linealmente dependientes los vectores:
Problema 28:
Los puntos A(1, 1, 5) y B(3, 5, 1) son los extremos de un diámetro de una esfera. a) Calcula las coordenadas del centro y el radio de la esfera. b) Obtén su ecuación cartesiana. c) Halla la ecuación del plano tangente a la esfera en el punto P(3, 5, 5)
Problema 29:
Halla el simétrico del punto P(1, 0, 2) respecto al plano y – 2z + 1 = 0
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Problema 30:
Considera un plano π ≡ x + y + mz = 3 y la recta
a) Halla m para que r y π sean paralelos. b) Halla m para que r y π sean perpendiculares. c) ¿Existe algún valor de m para que la recta r esté contenida en el plano π?
Problema 31:
Determina el valor de a para que los puntos A = (1, 0, 1), B = (1, 1, 1) y C = (1, 6, a) sean los tres vértices de un triángulo de área 3/2
Problema 32:
Sea la superficie esférica de ecuación: x
2 + y
2 + z
2 – 6x – 6y – 8z + 9 = 0
a) Determina su centro y su radio. b) Halla la ecuación de la recta que contiene al diámetro paralelo al eje OY
c) Obtén el centro y el radio de la circunferencia que resulta al cortar dicha esfera con el plano z = 0
d) Halla la ecuación del plano tangente a la esfera en un punto del eje X
Problema 33:
Calcula la distancia entre las rectas r y s, donde
Problema 34:
Discutir según los valores del parámetro real λ la posición relativa de los planos:
π1: x + z = λ
π2: 4x + (λ – 2)y + (λ + 2)z = λ + 2
π3: 2(λ + 1)x – (λ + 6)z = – λ
Problema 35:
Considera los puntos A(1, 0, – 2) y B(– 2, 3, 1). Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales.
Problema 36:
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Dados los puntos A(1, 1, 0) y B(0, 0, 2) y la recta , halla un punto C r de forma que el triángulo ABC sea rectángulo con el ángulo recto en C
Problema 37:
Resuelve las cuestiones siguientes: a) Determina la ecuación de un plano α pasando por el punto A = (–1, –1, 1) y siendo
un vector normal al mismo. b) Determina las ecuaciones paramétricas de la recta r que se obtiene al cortarse el plano del apartado anterior con el plano β ≡ z –1 = 0
Problema 38:
El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo A(3, 0, – 1), B(6, – 4, 5), C(5, 3, z). Calcula el valor de z y halla el área del triángulo.
Problema 39:
Considera el punto P(3, 2, 0) y la recta r de ecuaciones
Halla la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta r
Problema 40:
Sean los puntos A(1, 1, 1), B(a, 2, b) y C(1, 0, 0)
a) Con a = 2, calcula b para que los tres puntos determinen un plano que pase por el punto P(2, 0, 1). ¿Cuál es la ecuación de dicho plano?
b) Calcula los valores de a y b para que los puntos A, B y C estén alineados.
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Soluciones
Problema 1:
Problema 2:
Problema 3:
Problema 4:
d(C, π) = 1 < R = 4, el plano es secante a la esfera, por tanto, tienen una circunferencia en común.
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Problema 5:
Problema 6:
a) Para hallar un punto de la recta r, hacemos y = 0, x = m/2, z = 3, A(m/2, 0, 3)
Vector director de la recta r,
Para hallar un punto de la recta s, hacemos x = 0, y = 2, z = 3/2, B(0, 2, 3/2)
Vector director de la recta s,
Para que se corten el siguiente determinante tiene que ser cero.
b) Para m = 1 hemos visto que las dos rectas se cortan, luego determinan un plano.
Un punto del plano es B(0, 2, 3/2)
Problema 7:
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Problema 8:
Es una esfera de centro A(0, 1, 0) y radio la distancia de A a B
Ecuación de la esfera: x2 + (y – 1)
2 + z
2 = 3 x
2 + y
2 + z
2 – 2y = 2
Problema 9:
a) La recta t es la intersección de los planos que contienen a cada recta y pasan por el origen de coordenadas.
Problema 10:
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Luego las dos rectas son paralelas.
Problema 11:
Es rectángulo si tiene un ángulo recto, es decir dos de sus lados son perpendiculares. Sean los vectores:
Ninguno de sus ángulos es recto. No es rectángulo.
Problema 12:
Es una esfera de centro P(1, 3, –1) y radio 3
Ecuación de la esfera: (x – 1)2 + (y – 3)
2 + (z + 1)
2 = 3
2 x
2 + y
2 + z
2 – 2x – 6y + 2z + 2 = 0
Problema 13:
Problema 14:
a) Un punto de la recta r, se obtiene haciendo x = 0 y resolviendo el sistema: A(0, –17, 25)
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Problema 15:
a) Tres vectores son linealmente dependientes si el determinante que forman sus coordenadas es nulo:
Los tres vectores son linealmente dependientes.
Problema 16:
d(C, π) = 2 = R, el plano es tangente a la esfera. Tiene un punto en común.
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Problema 17:
Problema 18:
Hallamos el plano que contiene a P, Q y R, luego comprobamos que el punto S está en dicho plano.
Punto S(3, 0, 1) 3 • 3 – 2 • 0 + 3 • 1 – 12 = 9 + 3 – 12 = 0
Problema 19:
Problema 20:
La recta es tangente a la esfera, por tanto, tienen un punto común.
(5 + t)2 + (6 + 4t)
2 + (– 1 + 3t)
2 – 4(5 + t) – 2(6 + 4t) + 4(– 1 + 3t) = 0
t2 + 2t + 1 = 0 t = – 1 P(4, 2, – 4)
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Problema 21:
Para hallar un punto A de la recta r, hacemos z = 0, se obtiene, x = –1, y = 4 A(–1, 4, 0)
El vector director de la recta r es:
La ecuación del plano perpendicular a la recta r que pasa por P es: π ≡ 2(x – 3) – 3(y – 2) – z = 0 π ≡ 2x – 3y – z = 0
La ecuación de la recta t en paramétricas es:
La intersección de r y π es: M(1, 1, –1)
Problema 22:
Un vector director del plano es el vector director de la recta:
Problema 23:
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Problema 24:
El vector normal al plano tangente es el radio CM
Problema 25:
La intersección de la recta y el plano es:
Problema 26:
Recta
Como tienen el mismo vector director y el punto A no pertenece a la recta s, son paralelas.
Problema 27:
Tres vectores son linealmente dependientes si el determinante que forman sus coordenadas es nulo:
Problema 28:
a) Coordenadas del centro y radio: El centro es el punto medio de A y B, C(2, 3, 3)
El radio es la mitad del diámetro y el diámetro es la distancia que hay entre los puntos A y B
b) Ecuación cartesiana: (x – 2)
2 + (y – 3)
2 + (z – 3)
2 = 3
2 x
2 + y
2 + z
2 – 4x – 6y – 6z + 13 = 0
c) El vector normal al plano es el que va desde el punto de contacto P al centro de la esfera C
x – 3 + 2(y – 5) + 2(z – 5) = 0 π ≡ x + 2y + 2z = 23
Problema 29:
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Problema 30:
a) Para que sean paralelos, el vector normal al plano y el vector director de la recta tienen que ser perpendiculares:
b) Para que sean perpendiculares el vector normal al plano y el vector director de la recta tienen que ser paralelos:
c) Para que la recta esté contenida en el plano, m = –1 y el plano será: π ≡ x + y – z = 3
Probamos el punto A(0, 1, 2) de la recta en este plano: 0 + 1 – 2 ≠ 3, luego no hay ningún valor de m para que la recta r esté en el plano π
Problema 31:
Problema 32:
a) Centro y radio: C(3, 3, 4); R = 5
b) Recta:
c) Centro y radio de la circunferencia: z = 0 x
2 + y
2 – 6x – 6y + 9 = 0, C(3, 3), R = 3
d) Plano tangente: y = z = 0 x2 – 6x + 9 = 0, x = 3, P(3, 0, 0)
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Problema 33:
Problema 34:
Si λ ≠ 2, λ ≠ –8/3, los tres planos se cortan en un punto. Si λ = 2, tenemos los planos: π1: x + z = 2
π2: 4x + 4z = 4
π3: 6x – 8z = – 2
Los dos primeros son paralelos y el 3º secante a los otros dos. Si λ = –8/3, tenemos los planos:
El 1er
planos y el 3º son paralelos y el 2º secante a los otros dos.
Problema 35:
Problema 36:
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Problema 37:
Problema 38:
Problema 39:
Problema 40:
a) Hallamos el plano que pasa por los puntos A, C y P y le ponemos la condición de que pase por B
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