View
247
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
CNH2G4/ KOMPUTASI NUMERIK
TIM DOSEN
KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT
11
2
Pendahuluan
Persamaan Differensial :
Gabungan dari fungsi yang tidak diketahui denganturunannya.
Kategori Persamaan Differensial :
– PD Biasa :
Persamaan Differensial yang hanya memiliki satu variabelbebas.
Berdasarkan turunan tertinggi yang dimiliki, PDB dikategorikan menjadi :
▪ PDB Orde 1 : turunan tertingginya adalah turunan pertama
▪ PDB Orde 2 : turunan kedua merupakan turunan tertinggi
▪ PDB Orde 3 : turunan ketiga merupakan turunan tertingginya.
▪ Dan seterusnya
– PD Parsial
Persamaan Differensial yang memiliki lebih dari satuvariabel bebas.
11/20/2017
3
Pendahuluan (Cont.)
Contoh Persamaan :
dyx y
dx
Turunan dilambangkan dengan : dy/dx atau f’(x) atau y’, sedangkan fungsi yang tidak diketahui dilambangkan dengankeberadaan variabel terikatnya.
seperti contoh di atas, maka :
Turunan dilambangkan dengan dy/dx dan fungsi yang tidak diketahui diwakili dengan variabel y.
11/20/2017
4
Pendahuluan (Cont.)
22' yxy
Kategorikan : (PD / bukan PD / PDP / PDB ?)
02 2 yyxdx
dy
)2(3)(''' xSinyxCosyy
''1'2'''2 yyy
2
22
2
2
)1()(3y
ux
x
utxSin
t
u
4)(' 2 xxxf
)(;173' 53 tfytty
1. PDB orde 1
2. PDP
3. Bukan PD
4. PDB orde 2
5. PDB orde 3
6. Bukan PD
7. PDP
8. PDB orde 1
yxxyey
u
x
u
6
2
2
2
2
11/20/2017
5
Pendahuluan (Cont.)
Solusi PDB :
– solusi analitik : salah satunya dengan teknik integral
– solusi numerik : menggunakan metode hampiran.
Solusi Numerik :
mencari nilai fungsi di xr+1, dimana r menunjukkan jumlahlangkah atau iterasi.
Langkah/iterasi memiliki jarak yang sama (h)
xr = x0 +rh; r = 0,1,2,…,n
11/20/2017
6
PDB Orde Satu
Bentuk baku PDB orde satu :
Contoh :
Metode penyelesaian :
– Euler
–Heun
– Runge-Kutta
'( ) ' ( , )dy
f x y f x ydx
yx
yxyyyyy
xy
xy
xyyyxyy
2'1)1(;'2
2
100'1)0(;100'2
11/20/2017
7
Metode Euler
Bentuk baku :
Penurunan
– Deret Taylor : uraikan y(xr+1) disekitar xr
– Dipotong sampai orde 1:
– Karena y’(xr) = f(xr,yr) dan xr+1-xr = h, maka :
rhxx
xyy
yxyyxfyxfdx
dy
r
rr
0
00
)(
)();,(')('
...)(''!2
)()('
!1
)()()(
2
111
rrr
rrr
rr xyxx
xyxx
xyxy
1
2
111 );(''
!2
)()('
!1
)()()(
rr
rrr
rrrr xtxty
xxxy
xxxyxy
nrhOyxhfxyxy rrrr ,...,2,1,0);(),()()( 2
1
11/20/2017
8
Metode Euler (Cont.)
Penurunan secara geometris :
f(x,y) adalah persamaan differensial yang dapatdigambarkan sebagai gradien garis singgung di titik (x,y).
Garis singgung ditarik menyinggung titik (x0,y0) untukmenemukan nilai y(x1), pada titik (x1,y1) ditarik lagi garisyang menyinggung titik tersebut dengan fungsi f(x,y) untukmendapatkan f(x2) dan seterusnya.
11/20/2017
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
y(x)
dy/dx
(x1,y1)
(x0,y0)
(x2,y2) (x3,y3
) (x4,y4)
(x5,y5)
(x6,y6)
(x7,y7)
(x8,y8)
Metode Euler (Cont.)
11/20/2017
10
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0.5 1
y(x)
yrYr+1 sejati
Yr+1 hampiran
Yr sejati
AB
C
galat
h
),(
),(
),()('
1
1
1
rrrr
rrrr
rrrrr
yxhfyy
yyyxhf
h
yy
AB
BC
x
yyxfxym
Metode Euler (Cont.)
11/20/2017
11
Metode Euler (Cont.)
Galat
–Galat Pemotongan
sebanding dengan kuadrat ukuran langkah
–Galat Kumulatif
)()(''2
1 22 hOtyhEp
)(2
)('')()(''
2
)()(''
2)(''
2
1 22
2
1
hOthyab
tyhh
abyy
nhtyhE
n
r
kumulatif
11/20/2017
12
Metode Euler (Cont.)
Contoh Soal :
Diketahui dy/dx =x + y ; y(0) = 0. Berapa y(0.1) dengan
langkah h = 0.02 dan h = 0.05, jika diketahui fungsi asli adalah
y(x) = ex-x-1, langkah mana yang lebih teliti ?
h = 0.05
x = 0 y(0) = 0
x = 0.05 y(0.05) = 0 + 0.05(0+0) = 0
x = 0.1 y(0.1) = 0 + 0.05(0.05+0) = 0.0025
h = 0.02
x = 0 y(0) = 0
x = 0.02 y(0.02) = 0 + 0.02(0+0) = 0
x = 0.04 y(0.04) = 0 + 0.02(0.02+0) = 0.0004
x = 0.06 y(0.06) = 0.0004 +0.02(0.04+0.0004) = 0.001208
x = 0.08 y(0.08) = 0.001208 +0.02(0.06+0.001208) = 0.00243216
x = 0.1 y(0.1) = 0.00243216 + 0.02(0.08+0.00243216) = 0.0040808032
y(0.1) = e0.1-0.1-1=0.005170918
Langkah h = 0.02 lebih teliti
11/20/2017
13
Metode Heun
Merupakan perbaikan metode Euler.
Solusi Euler dijadikan solusi perkiraan awal dan diperbaikidengan metode Heun.
Perbaikan gradien yang digunakan merupakan rata-rata gradien dari 2 titik yang ada.
11/20/2017
14
Metode Heun (Cont.)
Dari satu titik awal (xr,yr), iterasi dan gradien didapatkanperkiraan nilai y(xr+1) selanjutnya (xr+1,yr+1) besertagradiennya.
Dari dua gradien yang adadicari rata-ratanya kemudiandigunakan untuk menghitungkembali nilai y(xr+1).
Misal :
– Awal iterasi dimiliki (x0,y0) dan f(x0,y0)
– Kemudian digunakan untukmenghitung y(x1) dandidapatkan f(x1,y1)
– Hitung kembali y(x1) dengangradien (f(x0,y0)+f(x1,y1)/2
),(
)),(),((2
1,(
),();,(
),(
),();,(
1
0
11)
0
11
0
11
0
1
rrrr
rrrrrr
rrrr
rrrr
rrrr
yxfhyy
yxfyxfyxf
yxfyx
yxhfyy
yxfyx
atau ditulissekaligus sebagaiberikut
1 1( , ) ( , ( , ))2
r r r r r r r r
hy y f x y f x y hf x y
11/20/2017
15
Metode Heun (Cont.)
Secara geometris :
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0.5 1
y(x)
yr_euler
yr_heun
f(xr,yr)
f(xr+1,yr+1)
frat(xr,yr)
(xr,yr)
(xr+1,yr+1)
11/20/2017
16
Metode Runge-Kutta
Bentuk umum Runge Kutta Orde n:
yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + … + ankn
Dengan a1,a2,a3, …,an adalah konstanta
k1 = hf(xr,yr)
k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)
k3 = h(f(xr+p2h,yr+q21k1+q22k2)
k4 = h(f(xr+p3h,yr+q31k1+q32k2+q33k3)
…
kn = h(xr+pn-1h,yr+qn-1,1k1+qn-1,2k2+…+qn-1,n-1kn-1)
Galat
– Per langkah Runge Kuta orde n : O(hn+1)
– Kumulatif orde n :O(hn)
11/20/2017
17
Orde 1
k1 = hf(xr,yr)
yr+1 = yr + a1k1 ; a1 = 1
didapat
yr+1 = yr + hf(xr,yr) Metode Euler
Galat :
Per langkah : O(h2)
Kumulatif : O(h)
MetodeRunge Kutta (Cont. )
11/20/2017
18
Orde 2
k1 = hf(xr,yr)
k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)
yr+1 = yr + a1k1 + a2k2
Dengan penurunan rumus yang sudah ada didapatkan :
a1 = 1-a2 = 1-t
p1 = 1/(2a2) = 1/(2t)
q11 = 1/(2a2) = 1/(2t)
Artinya ada tak berhingga formula orde dua.
Dengan a1=a2 = ½, q11 = 1 , p1 = 1
k1 = hf(xr,yr)
k2 = h(f(xr+h, yr+k1)
yr+1 = yr + ½ (k1 + k2) Metode Heun
MetodeRunge Kutta (Cont. )
11/20/2017
19
Orde 3
k1 = hf(xr,yr)
k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)
k3 = h(f(xr+p2h,yr+q21k1+q22k2)
yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + a3k3
dengan menggunakan penurunan rumus yang ada didapatkan :
k1 = hf(xr,yr)
k2 = h(f(xr+1/2 h, yr+1/2 k1)
k3 = h(f(xr+h,yr-k1+2k2)
yr+1 = yr + 1/6( k1 + 4k2 + k3)
MetodeRunge Kutta (Cont. )
11/20/2017
20
Orde 4
k1 = hf(xr,yr)
k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)
k3 = h(f(xr+p2h,yr+q21k1+q22k2)
k4 = h(f(xr+p3h,yr+q31k1+q32k2+q33k3)
yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + a3k3 + a4k4
dengan menggunakan penurunan rumus yang ada didapatkan :
k1 = hf(xr,yr)
k2 = h(f(xr+1/2 h, yr+1/2 k1)
k3 = h(f(xr+1/2h,yr+1/2 k2)
k4 = h(f(xr+h,yr+k3)
yr+1 = yr + 1/6( k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
MetodeRunge Kutta (Cont. )
11/20/2017
THANK YOU
Recommended