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Classification, Apprentissage, Décision
Classication, Apprentissage, Décision
Chapitre cinquième : Perceptron
Stéphane Ayache, Cécile Capponi, François Denis, Rémi Eyraud,Hachem Kadri, Liva Ralaivola
Master 2 IS-IN
Classification, Apprentissage, Décision
Plan du cours
Introduction
Arbre de décision & k-ppv
Théorie de l’apprentissage
Clustering
Perceptron
Machines à vecteur de support
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Plan
Introduction
Arbre de décision & k-ppv
Théorie de l’apprentissage
Clustering
Perceptron
Machines à vecteur de support
Classification, Apprentissage, Décision
Perceptron
Classification linéaire binaire
X ⊂ Rd , Y = {−1,+1}
Définition. Un classifieur linéaire est une fonction de la forme
f (x) =
{+1 si 〈w , x〉+ b ≥ 0−1 sinon.
où w ∈ Rd , b ∈ R, 〈w , x〉 désigne le produit scalaire entre w et x : siw = (w1, . . . ,wn) et x = (x1, . . . , xn), 〈w , x〉 =
∑di=1 wixi .
Interprétation géométrique : 〈w , x〉+ b = 0 est l’équation d’un hyperplanqui sépare X en deux demi-espaces correspondant aux deux classes.
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Perceptron
Un exemple
X = R2
Classifieur linéaire f défini par w = (1, 2) et b = −1 :
f (x1, x2) =
{1 si x1 + 2x2 − 1 ≥ 0−1 sinon.
Par exemple, f (0, 0) = −1 et f (1, 1) = 1.Hyperplan d’équation x1 + 2x2 − 1 = 0 (c-à-d x2 = − 1
2 x1 + 12 )
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Perceptron
Expressivité des perceptrons
I Les classifieurs linéaires peuvent sembler a priori très peu expressifs :pourquoi des données naturelles se répartiraient-elles de part etd’autres d’un hyperplan?
I Cette intuition n’est pas forcément vérifiée en très grande dimension(cas de classification de vidéos, par exemple).
I Cela suggère de plonger les données initiales dans un espace degrande dimension (voir chapitre suivant).
A complex pattern-classification problem, cast in a high-dimensionalspace nonlinearly, is more likely to be linearly separable than in alow-dimensional space, provided that the space is not denselypopulated. (T.M. Cover, 1965)
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Perceptron
Données linéairement séparables
Un échantillon S = {(x1, y1), . . . , (xn, yn)} ⊂ (X × Y )n est linéairementséparable s’il existe un classifieur linéaire qui classe correctement tous lesexemples de S.
Exemples :S = {((0, 0),−1), ((1, 0), 1), ((0, 1),−1)} est linéairement séparable.
S = {((0, 0),−1), ((1, 0), 1), ((0, 1), 1), ((1, 1),−1)} n’est pas linéairementséparable (XOR).
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Perceptron
Perceptrons
I Perceptrons (Rosenblatt 1958, Minsky/Papert 1969) : généralisation d’unmodèle plus simple proposé par (McCulloch/Pitts neurons, 1942)
I un perceptron à d entrées est décrit par un vecteur de pondération−→w = (w1, . . . ,wd )> ∈ Rd , un seuil θ ∈ R et permet de calculer lafonction suivante :
(x1, . . . , xd ) 7−→ y =
{+1 if x1w1 + x2w2 + . . .+ xd wd ≥ θ−1 if x1w1 + x2w2 + . . .+ xd wd < θ
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Perceptron
Perceptrons
I pour plus de commodité : remplacer le seuil par un poidssupplémentaire (biais) b = −θ
I un perceptron avec un vecteur de pondération −→w et un biais b effectuele calcul suivant :
(x1, . . . , xd ) 7−→ y = f (b +d∑
i=1
(wixi )) = f (b + 〈−→w ,−→x 〉)
avec f (z) =
{+1 if z ≥ 0−1 if z < 0
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Perceptron
Perceptrons : Remarques
I Les isométries et les homothéties preservent la séparabilitéI En rajoutant une dimension, on peut ne plus avoir besoin du biais :
ajouter une coordonnée xd+1 égale à 1 pour toutes les données et poserb = wd+1
I il existe une infinité d’hyperplans séparant des données séparables...
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Perceptron
Perceptrons : interprétation géométrique
I données (x1, . . . , xn)
−→ ∈ un espace de dimension d
I points vérifiants b + 〈−→w ,−→x 〉 = 0
−→ hyperplan défini par b et −→w
I points vérifiants b + 〈−→w ,−→x 〉 > 0
−→ points d’un coté de l’hyperplan
I points vérifiants b + 〈−→w ,−→x 〉 < 0
−→ points de l’autre coté de l’hyperplan
I un perceptron divise l’espace desdonnées en deux demi-espaces−→ situés de part et d’autre del’hyperplan
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Perceptron
algorithme d’apprentissage du perceptron
I les perceptrons peuvent être automatiquement adaptés à des tachesd’apprentissage⇒ Apprentissage supervisé : Classification
I algorithme d’apprentissage du perceptron :données :• un ensemble de données P ⊆ Rd : exemples positifs• un autre ensemble N ⊆ Rd : exemples négatifstache :• générer un perceptron qui retourne 1 pour tous les exemples de P et−1 pour les exemples de N
I évidemment, il y a des cas dans lesquels l’algo d’apprentissage duperceptron n’est pas capable de résoudre le problème de classification−→ exemple : P
⋂N 6= ∅
−→ données non linéairement séparables−→ solution potentielle : transférer les données dans un autre espacedans lequel les données sont linéairement séparables (plus de détaildans le chapitre suivant)
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Perceptron
algorithme d’apprentissage du perceptron
I Lemme (séparabilité stricte) :Si ∃ un perceptron qui classe parfaitement les données d’apprentissage,alors ∃ un perceptron qui classe ces données sans qu’aucune ne soitsur la frontière de décision, b + 〈−→w ,
−→x 〉 6= 0Preuve :Soit (b,−→w ) un perceptron qui classe parfaitement toutes les donnéesd’apprentissage. D’où
b + 〈−→w ,−→x 〉
{≥ 0 ∀ −→x ∈ P
< 0 ∀ −→x ∈ N
Soit ε = min{−(b + 〈−→w ,−→x 〉)|−→x ∈ N}. Alors :
b +ε
2+ 〈−→w ,
−→x 〉
≥ ε
2> 0 ∀ −→x ∈ P
≤ − ε2< 0 ∀ −→x ∈ N
Ainsi le perceptron (b +ε
2,−→w ) prouve le lemme.
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Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I Erreur de classification de −→x ∈ P−→ b + 〈−→w ,
−→x 〉 < 0
I Comment peut-on modifier b et −→w pourremédier à cette erreur−→ augmenter b + 〈−→w ,
−→x 〉• augmenter b• Si xi > 0 augmenter wi• Si xi < 0 diminuer wi
I Algorithme : ajouter −→x à −→w et 1 à b−→ Procéder par analogie pour lesexemples négatifs −→x ∈ N
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Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I Erreur de classification de −→x ∈ P−→ b + 〈−→w ,
−→x 〉 < 0
I Comment peut-on modifier b et −→w pourremédier à cette erreur−→ augmenter b + 〈−→w ,
−→x 〉• augmenter b• Si xi > 0 augmenter wi• Si xi < 0 diminuer wi
I Algorithme : ajouter −→x à −→w et 1 à b−→ Procéder par analogie pour lesexemples négatifs −→x ∈ N
augmenter w0
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Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I Erreur de classification de −→x ∈ P−→ b + 〈−→w ,
−→x 〉 < 0
I Comment peut-on modifier b et −→w pourremédier à cette erreur−→ augmenter b + 〈−→w ,
−→x 〉• augmenter b• Si xi > 0 augmenter wi• Si xi < 0 diminuer wi
I Algorithme : ajouter −→x à −→w et 1 à b−→ Procéder par analogie pour lesexemples négatifs −→x ∈ N
augmenter w0
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Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I Erreur de classification de −→x ∈ P−→ b + 〈−→w ,
−→x 〉 < 0
I Comment peut-on modifier b et −→w pourremédier à cette erreur−→ augmenter b + 〈−→w ,
−→x 〉• augmenter b• Si xi > 0 augmenter wi• Si xi < 0 diminuer wi
I Algorithme : ajouter −→x à −→w et 1 à b−→ Procéder par analogie pour lesexemples négatifs −→x ∈ N
augmenter w0
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Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I Erreur de classification de −→x ∈ P−→ b + 〈−→w ,
−→x 〉 < 0
I Comment peut-on modifier b et −→w pourremédier à cette erreur−→ augmenter b + 〈−→w ,
−→x 〉• augmenter b• Si xi > 0 augmenter wi• Si xi < 0 diminuer wi
I Algorithme : ajouter −→x à −→w et 1 à b−→ Procéder par analogie pour lesexemples négatifs −→x ∈ N
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Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I Erreur de classification de −→x ∈ P−→ b + 〈−→w ,
−→x 〉 < 0
I Comment peut-on modifier b et −→w pourremédier à cette erreur−→ augmenter b + 〈−→w ,
−→x 〉• augmenter b• Si xi > 0 augmenter wi• Si xi < 0 diminuer wi
I Algorithme : ajouter −→x à −→w et 1 à b−→ Procéder par analogie pour lesexemples négatifs −→x ∈ N
augmenter w
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Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I Erreur de classification de −→x ∈ P−→ b + 〈−→w ,
−→x 〉 < 0
I Comment peut-on modifier b et −→w pourremédier à cette erreur−→ augmenter b + 〈−→w ,
−→x 〉• augmenter b• Si xi > 0 augmenter wi• Si xi < 0 diminuer wi
I Algorithme : ajouter −→x à −→w et 1 à b−→ Procéder par analogie pour lesexemples négatifs −→x ∈ N
augmenter w
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Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I Erreur de classification de −→x ∈ P−→ b + 〈−→w ,
−→x 〉 < 0
I Comment peut-on modifier b et −→w pourremédier à cette erreur−→ augmenter b + 〈−→w ,
−→x 〉• augmenter b• Si xi > 0 augmenter wi• Si xi < 0 diminuer wi
I Algorithme : ajouter −→x à −→w et 1 à b−→ Procéder par analogie pour lesexemples négatifs −→x ∈ N
augmenter w
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Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
Entrées : données d’apprentissage positives P et négatives NRetourne : un perceptron, si existe, qui classe parfaitement toutes lesdonnées d’apprentissage
1. initialiser arbitrairement le vecteur de pondération −→w et le biais b
2. Tant que il existe une donnée mal-classée −→x ∈ P⋃N faire
3. Si −→x ∈ P alors4. −→w ← −→w +
−→x5. b = b + 1
6. Sinon7. −→w ← −→w −−→x8. b = b − 1
9. Fin si10. Fin tant que11. Retourner b et −→w
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Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron : Exemple
N = {(1,0)>, (1,1)>},P = {(0,1)>}
−→ exercice
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Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron : Convergence
I Lemme :
Si l’algorithme du perceptron converge, alors le perceptron (b,−→w )obtenu classe parfaitement tous les exemples d’apprentissage.
I Théorème (Convergence) :
Si ∃ un perceptron qui classe correctement toutes les donnéesd’apprentissage, alors l’algorithme du perceptron converge.
I Lemme :
Si au cours de l’exécution de l’algorithme du perceptron on rencontredeux fois le même vecteur de pondération, alors les donnéesd’apprentissage utilisées ne sont pas linéairement séparables.
I Lemme :
Si l’algorithme du perceptron avec un biais b = 0 est exécuté sur un jeude données non linéairement séparable, alors le même vecteur depondération se produira au moins deux fois .
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Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron : Convergence
I Lemme (Complexité) :Si les données d’apprentissage sont linéairement séparables, alors lenombre d’itérations maximal de l’algorithme du perceptron est égale à(n + 1)22(n+1) log(n+1)
I temps d’exécution : complexité exponentielle→ autres implémentations - complexité O(n
72 ) -
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Perceptron
Algorithme d’apprentissage du perceptron
I comment peut-on déterminer un “bon" perceptron si la tâched’apprentissage ne peut pas être résolu parfaitement
I “bon" dans le sens d’un perceptron avec un nombre d’erreurs minimal
I l’algorithme du perceptron : le nombre d’erreurs ne décroit pas de façonmonotone durant la phase d’apprentissage
I idée : mémoriser le meilleur vecteur de pondération rencontré au coursde l’exécution
I les perceptrons peuvent apprendre que des problèmes linéairementséparables
I contre-exemple : XOR(x1, x2)P = {(0, 1)>, (1, 0)>}, N = {(0, 0)>, (1, 1)>}
I un réseau de neurone associant plusieurs perceptrons est plus puissant
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Perceptron
Algorithme d’apprentissage du Perceptron (Rosenblatt, 1958)
Soit S = SP ∪ SN ⊂ Rd+1 × {−1, 1} un échantillon linéairement séparable.
Soit w le classifieur linéaire courant.
I Si (x , y) ∈ SP est mal classé, 〈w , x〉 < 0 et il faudrait augmenter 〈w , x〉,I si (x , y) ∈ SN est mal classé, 〈w , x〉 ≥ 0 et il faudrait diminuer 〈w , x〉,
Idée : prendre wnew = w + xy .Dans le premier cas, on a 〈wnew , x〉 = 〈w , x〉+ ||x ||2 ; dans le second cas, ona 〈wnew , x〉 = 〈w , x〉 − ||x ||2.
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Perceptron
Algorithme d’apprentissage du Perceptron
Algorithme d’apprentissage du PerceptronEntrée : S = {(x1, y1), . . . , (xn, yn)}, un échantillon complétélinéairement séparable de Rd+1 × {−1, 1}w0 = 0 ∈ Rd+1, k = 0Répéter
Pour i = 1 à nSi yi〈wk , xi〉 ≤ 0 alors
wk+1 = wk + yixi
k = k + 1FinPour
Jusqu’à ce qu’il n’y ait plus d’erreursSortie : wk
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Perceptron
Exercice
Utilisez l’algorithme du perceptron pour séparer l’échantillon{((0, 0),−1), ((0, 1), 1), ((1, 0), 1), ((1, 1), 1)}. Dessinez l’hyperplan obtenu.
k wk xk mal classé yk
0 0 0 0 0 0 1 -11 0 0 -1 . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
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Perceptron
Propriétés
I L’algorithme du Perceptron est une procédure on-line, par correctiond’erreurs (error-driven).
I L’algorithme est correct : lorsqu’il converge, l’hyperplan retourné sépareles données fournies en entrée
I L’algorithme est complet : si S est linéairement séparable, l’algorithmeconverge.
I Dans le pire des cas, le nombre d’itérations est égal à(n + 1)22(n+1) log(n+1). Complexité exponentielle !
I Très mauvaise tolérance au bruit.
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Perceptron
Entre ces deux solutions, laquelle est la meilleure?
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Perceptron
La notion de marge
On peut multiplier l’équation 〈w , x〉+ b = 0 d’un hyperplan par un réel nonnul sans modifier l’hyperplan qu’elle définit.
On peut donc supposer que w vérifie ||w || = 1.
Dans ce cas, la distance d’un exemple (x , y) à un hyperplan séparateur estégal à y(〈w , x〉+ b).
d(M,H) = yM〈w , xM − xH〉= yM (〈w , xM〉+ b)
puisque 〈w , xH〉+ b = 0.
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Perceptron
Complexité de l’algorithme et marge
Théorème (Novikoff) : Soit S = {(x1, y1), . . . , (xn, yn)} un échantillond’apprentissage non trivial (i.e. ∃i, j yiyj = −1). Supposons que
I ∀i, ||xi || ≤ 1 etI ∃w , b, γ > 0 tels que ∀i, yi (〈w , xi〉+ b) ≥ γ.
Alors, le nombre d’erreurs (yi (〈wk , xi〉+ bk ) ≤ 0) commises pendantl’exécution de l’algorithme est au plus égal à (2/γ)2.
Remarques :I γ est une borne inférieure de la marge du problèmeI Quelles que soient les données, on peut toujours se ramener au moyen
d’une homothétie-translation au cas où Max ||xi || = 1.
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Perceptron
Complexité de l’algorithme et marge (suite)
S = {((0, 0),−1), ((0, 1), 1), ((1, 0), 1), ((1, 1), 1)}.
Au moyen d’une translation de vecteur (−1/2,−1/2) suivie d’une homothétiede rapport
√2, on obtient l’échantillon équivalent
S = {((−√
22 ,−
√2
2 ),−1), ((−√
22 ,√
22 ), 1), ((
√2
2 ,−√
22 ), 1), ((
√2
2 ,√
22 ), 1)}.
On a bien Max ||xi || = 1. On vérifie que la marge du problème est égale à 1/2.
Le théorème prédit que le nombre de corrections de l’algorithme est inférieurou égal à 8.
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Perceptron
Forme duale de l’algorithme du perceptron
Remarque : l’hypothèse finale est une combinaison linéaire des exemplesd’apprentissage.
w =n∑
i=1
αiyixi .
Les nombres αi sont positifs et égaux au nombre de fois où une mauvaiseclassification de xi a entraîné une mise à jour du perceptron. Ils peuvent êtrevus comme une représentation duale de la solution :
f (x) = sgn(〈w , x〉+ b) = sgn
(n∑
i=1
αiyi〈xi , x〉+ b
).
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Perceptron
Forme duale de l’algorithme du perceptron
entrée : S = {(x1, y1), . . . , (xn, yn)}, un échantillon complétélinéairement séparableα = 0 ∈ Rn
répéterPour i = 1 à n
Si yi (∑n
j=1 αj〈xj , xi〉) ≤ 0 alorsαi = αi + 1k = k + 1
FinSiFinPour
Jusqu’à ce qu’il n’y ait plus d’erreursSortie : α
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Perceptron
Exercice
Utilisez l’algorithme du perceptron pour séparer l’échantillon{((0, 0),−1), ((0, 1), 1), ((1, 0), 1), ((1, 1), 1)}. Dessinez l’hyperplan obtenu.
k αk xk mal classé yk
0 0 0 0 0 0 0 1 -11 1 0 0 0 . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
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Perceptron
Propriétés de l’algorithme dual
I dans la représentation duale, le nombre de paramètres de la solution nedépend pas de la dimension de l’espace dans lequel les xi sont plongés,
I les exemples d’apprentissage ne sont pris en compte par l’algorithmeque par l’intermédiaire de leurs produits scalaires.
I On appelle Matrice de Gram la matrice G = (〈xi , xj〉)1≤i,j≤l : elle suffit àtrouver une solution.
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Perceptron
Extensions
1. Plongements non linéaires
2. Perceptrons linéaires avec couches cachées
3. Perceptrons non linéaires (avec couches cachées)
4. Séparateurs linéaires optimaux - Machines à Vecteurs Supports ouSéparateurs à vaste Marge (SVM)
5. Méthodes à noyaux
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Perceptron
Perceptron linéaire à seuil avec une couche cachée
Entrée : (x1, . . . , xd , xd+1 = 1)
Couche cachée : h perceptrons y1, . . . , yh (+ une entrée constante yh+1 = 1)où pour 1 ≤ i ≤ h,
yi =
{1 si
∑d+1j=1 α
jixj ≥ 0
0 sinon.
Sortie : un perceptron s défini par
s = f (x1, . . . , xd+1) =
{1 si
∑h+1i=1 βiyi ≥ 0
0 sinon.
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Perceptron
Perceptron linéaire à seuil avec une couche cachée
Théorème : toute fonction booléenne est calculable par un tel perceptron
I bonne expressivité ;
I pas d’algorithme d’apprentissage !
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Perceptron
La fonction sigmoïde
σk (x) = 1/(1 + e−kx )
On peut voir les fonctions sigmoïdes comme des fonctions indéfinimentdérivables qui lissent la fonction linéaire à seuil et dont les dérivées sont trèssimples à calculer :
σ′ = σ(1− σ)
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Perceptron
Perceptron avec fonction d’activation sigmoïde et une couche cachée
Entrée : x1, . . . , xd , xd+1 = 1
Couche cachée : y1, . . . , yh, yh+1 = 1 où pour 1 ≤ i ≤ h,
yi = σ
d+1∑j=1
αjixj
Sortie :
s = f (x1, . . . , xd+1) = σ
(h+1∑i=1
βiyi
).
Classification binaire : on attribue la classe 1 si s ≥ 1/2 et 0 sinon ; s peuts’interpréter comme un indice de confiance.
Classification n-aire : n neurones normalisés en sortie.
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Perceptron
Perceptron avec fonction d’activation sigmoïde et une couche cachée
Théorème : Ces perceptrons permettent d’approcher d’aussi près qu’on lesouhaite une classe très riche de fonctions.
I très bonne expressivité ;I il existe un algorithme d’apprentissage : l’algorithme de rétropropagation
du gradient.
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Machines à vecteur de support
Séparateurs linéaires optimaux
Soit S = {(x1, y1), . . . , (xn, yn)}, xi ∈ Rd et yi ∈ {−1, 1} un échantillonlinéairement séparable.Il existe un unique hyperplan de marge maximale qui est solution duproblème d’optimisation quadratique convexe suivant :
Minimiser ||w ||2
sous les contraintes
yi f (xi ) ≥ 1 pour tout i = 1 . . . l
où f (x) = 〈w , x〉+ b.
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Machines à vecteur de support
Séparateurs linéaires optimaux
Soit S = {((0, 0),−1), ((0, 1), 1), ((1, 0), 1), ((1, 1), 1)}.
Minimiser w21 + w2
2
sous les contraintes
−b ≥ 1,w2 + b ≥ 1,w1 + b ≥ 1,w1 + w2 + b ≥ 1
La seule solution est w1 = w2 = 2 et b = −1.
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Machines à vecteur de support
Retour sur la notion de marge
Soit S un échantillon linéairement séparable et soit H un hyperplanséparateur, d’équation 〈w , x〉+ b = 0.On peut modifier linairement w et b tel que le point M le plus proche de Hsatisfasse :
f (xM ) = 〈w , xM〉+ b =
{1 si M est positif−1 sinon. .
Dans ce cas,I la marge de H est égale à 1/||w || etI tous les points de S vérifient yf (x) ≥ 1.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Calcul de la marge (exemple)
Soit S = {((0, 1),+), ((2, 0),−)}.La droite d’équation f (x , y) = −x + y − 1/2 = 0 sépare S.
On a f (0, 1) = 1/2 et f (2, 0) = −5/2.
On normalise l’équation en la multipliant par 2 : −2x + 2y − 1 = 0.
w = (−2, 2)T , ||w || =√
8 = 2√
2
et la marge est égale à 12√
2=√
24 .
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Machines à vecteur de support
Hyperplan optimal
Soit S = {(x1, y1), . . . , (xl , yl )} ⊂ Rn × {−1, 1} un échantillon linéairementséparable.
Il existe un unique hyperplan de marge maximale qui est solution duproblème d’optimisation suivant :
f (x) = 〈w , x〉+ byi f (xi ) ≥ 1 pour tout i = 1 . . . lMinimiser ||w ||2.
Optimisation quadratique sous contraintes linéaires (convexes)
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Hyperplan optimal (exemple)
Soit S = {((4, 3), 1), ((0, 2), 1), ((0, 0),−1)}.Le problème d’optimisation à résoudre est :
Minimiser w21 + w2
2 sous les contraintes
4w1 + 3w2 + b ≥ 1, 2w2 + b ≥ 1,−b ≥ 1.
Les deux dernières équations impliquent w2 ≥ 1 et donc w21 + w2
2 ≥ 1.On en déduit la solution optimale : w1 = 0,w2 = 1, b = −1.
Équation de l’hyperplan optimal : y = 1
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Hyperplan optimal (cas général)
Minimiser||w ||2
sous les contraintes
yi (〈w , xi〉+ b) ≥ 1 pour tout (xi , yi ) ∈ S
Nouvelles variables (multiplicateurs de Lagrange) : αi ≥ 0Nouvelle fonction : le Lagrangien
L(w , b, α) =12
w2 −n∑
i=1
αi [yi (〈w , xi〉+ b)− 1]
La solution (unique grâce à la convexité) (w∗, b∗, α∗) est un point selle duLagrangien : L(w , b, α∗) est minimal en (w∗, b∗) et L(w∗, b∗, α) est maximalen α∗.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Hyperplan optimal (cas général)
L(w , b, α) =12
w2 −n∑
i=1
αi [yi (〈w , xi〉+ b)− 1]
La solution (unique grâce à la convexité) (w∗, b∗, α∗) est un point selle duLagrangien :
L(w , b, α∗) minimal en (w∗, b∗) ; L(w∗, b∗, α) maximal en α∗.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Hyperplan optimal (cas général)
On a : ∇x L(w , b, α) = w −
∑ni=1 αiyixi
∂L(w , b, α)
∂b=∑n
i=1 αiyi
Ce qui donne les condition d’optimalité :∇x L(w , b, α) = 0⇒ w =
∑ni=1 αiyixi
∂L(w , b, α)
∂b= 0⇒
∑ni=1 αiyi = 0
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Hyperplans optimaux : problème dual
Si l’on remplace w par∑n
i=1 αiyixi dans le Lagrangien
L(w , b, α) =12
w2 −n∑
i=1
αi [yi (〈w , xi〉+ b)− 1]
On a
L(α) =12
n∑i=1
n∑j=1
αjαiyiyj〈xj , xi〉 −n∑
i=1
αiyi
n∑j=1
αjyj〈xj , xi〉 − bn∑
i=1
αiyi +n∑
i=1
αi
Ce qui donne
L(α) =n∑
i=1
αi −12
n∑i,j=1
yiyjαiαj〈xi , xj〉
qu’on doit maximiser sous les contraintes∑n
i=1 αiyi = 0 et αi ≥ 0.I Seuls les produits scalaires 〈xi , xj〉 sont nécessaires pour trouver
l’hyperplan optimal.I Retrouver w∗ à partir des α∗i : w∗ =
∑ni=1 α
∗i yixi
I Calcul de b∗ à partir d’un vecteur support : 〈w∗, xi〉+ b∗ = yi .
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Problème dual (exemple)
Soit S = {((4, 3), 1), ((0, 2), 1), ((0, 0),−1)}.
L(α) =n∑
i=1
αi −12
n∑i,j=1
yiyjαiαj〈xi , xj〉
= α1 + α2 + α3 −12
(25α21 + 4α2
2 + 12α1α2)
qu’on doit maximiser sous les contraintes
α1 + α2 − α3 = 0 et αi ≥ 0 pour i = 1, 2, 3.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Hyperplan optimal : propriétés
On appelle vecteur support toute donnée xi telle que α∗i 6= 0.Soit SV l’ensemble des vecteurs supports de S.Propriétés
I Si xi ∈ SV , 〈w∗, xi〉+ b∗ = yi
I Si xi 6∈ SV , la contrainte correspondante n’est pas active,I Les problèmes d’optimisation associés à S et à SV ont la même
solution.I Le rapport #SV/#S est une borne supérieure de l’estimateur
leave-one-out de l’erreur en généralisation de la solution.I∑n
i=1 α∗i yi = 0
I w∗ =∑n
i=1 α∗i yixi
La solution s’exprime en fonction des vecteurs supports
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Exemple
Soit S = {((4, 3), 1), ((0, 2), 1), ((0, 0),−1)}. On a trouvé
w∗ = (0, 1) et b∗ = −1.
Si l’on pose∑n
i=1 α∗i yi = 0 et w∗ =
∑ni=1 α
∗i yixi , on trouve
α1 + α2 − α3 = 04α1 = 0
3α1 + 2α2 = 1
On trouveα1 = 0, α2 = 1/2 et α3 = 1/2
Les vecteurs supports sont x2 et x3.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Et lorsque les données ne sont pas séparables?
I Trouver le classifieur linéaire qui minimise le nombre d’erreurs est unproblème NP-dur.
I L’algorithme du Perceptron oscille, changeant d’hypothèses à chaqueprésentation d’un contre-exemple sans se stabiliser sur une solutionintéressante.
Idée : se soucier davantage de la confiance avec laquelle la plupart desexemples sont correctement classés plutôt que du nombre d’exemples malclassés.
→ maximiser la marge d’un séparateur linéaire en tolérant un nombre limitéd’exceptions : notion de marge souple (soft margin).
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Comment réaliser un plongement des données?
Pour tout algorithme d’apprentissage ne faisant intervenir que le produitscalaire des données
perceptron, séparateur optimal (avec marges dures ou souples)
il suffit de connaître la matrice de Gram G = (〈xi , xj〉)1≤i,j≤n pour construire leclassifieur linéaire correspondant :
f : x 7→ signe(n∑
i=1
αi〈x , xi〉).
Soit Φ : X → Y une fonction de plongement dans un espace Y avec produitscalaire. On obtiendra un classifieur linéaire (dans l’espace de plongement)défini par :
f : x 7→ signe(n∑
i=1
αi〈Φ(x),Φ(xi )〉).
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Kernel trick
On appelle noyau toute fonction k : X × X → R qui peut être interprétéecomme un produit scalaire dans un plongement Φ :
k(x , y) = 〈Φ(x),Φ(y)〉
On peut appliquer les algorithmes du perceptron et de séparation optimaleavec marges souples ou dures en remplaçant
〈xi , xj〉 par k(xi , xj ).
On obtient alors un classifieur
f : x 7→ signe(n∑
i=1
αik(x , xi ))
linéaire dans l’espace de plongement (avec toutes les garanties associées)et non linéaire dans l’espace initial.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Perceptron à noyau
entrée : S = {(x1, y1), . . . , (xn, yn)}, un échantillon complétélinéairement séparableα = 0 ∈ Rn
répéterPour i = 1 à n
Si yi (∑n
j=1 αjyjk(xj , xi )) ≤ 0 alorsαi = αi + 1FinSi
FinPourJusqu’à ce qu’il n’y ait plus d’erreursSortie : x 7→ signe(
∑i αiyik(x , xi ))
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Exemples de noyaux :
Noyau polynomial homogène
X = Rd , k(x , x ′) =
(n∑
i=1
xix ′i
)p
Noyau polynomial
X = Rd , k(x , x ′) =
(1 +
n∑i=1
xix ′i
)p
.
Noyau gaussien :
k(x , x ′) = exp(−||x − x ′||2
2σ2
)La dimension de l’espace de plongement est finie pour les noyauxpolynomiaux et infini (espace de Hilbert) pour le noyau gaussien . . . mais leplongement est virtuel.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Caractérisation des noyaux
Théorème : une fonction k : X × X → R est un noyau ssi pour tout m-upletx1, . . . , xm d’éléments de X , la matrice de Gram k(xi , xj )1≤i,j≤m est définiepositive, c’est-à-dire que pour tous réels c1, . . . , cm,∑
i,j
cicjk(xi , xj ) ≥ 0.
A retenir : on sait (théoriquement) caractériser les fonctions noyaux etdéterminer un plongement correspondant.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
402 points générés à partir de 2 paraboles parallèles avec bruit gaussien.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Séparateur linéaire optimal avec marges souples : 104 vecteurs supports.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Noyau quadratique : 38 vecteurs supports.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Noyau polynomial de degré 3 : 35 vecteurs supports.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Noyau Gaussien, σ = 1 : 62 vecteurs supports.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Noyau Gaussien, σ = 0.5 : 64 vecteurs supports.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Noyau Gaussien, σ = 0.1 : 321 vecteurs supports.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Noyau Gaussien, σ = 0.05 : 390 vecteurs supports.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
The US Postal Service (USPS) database.
I 9298 chiffres manuscrits (7291 pour apprendre, 2007 pour tester)provenant d’enveloppes postées ou reçues à Buffalo ;
I Chaque chiffre est une image 16× 16 représenté par un vecteur de[−1, 1]256 ;
I Les jeu de tests est difficile : 2, 5% d’erreur en moyenne pour un humain ;I Données disponibles à
http ://www.kernel-machines.org.data.html.
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Résultats (1) (Schölkopf, Smola)
Classification par SVMs sur les données USPS.Noyau polynomial : k(x , y) = (〈x , y〉/256)d .Construction de 10 classifieurs (méthode un contre tous).
d 1 2 3 4 5 6 7erreur % 8,9 4,7 4,0 4,2 4,5 4,5 4,7Nb. moyen de VSs 282 237 274 321 374 422 491
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Résultats (2) (Schölkopf, Smola)
Classification par SVMs sur les données USPS.Noyau gaussien : k(x , y) = exp(−||x − y ||2/(256c)).Construction de 10 classifieurs (méthode un contre tous).
c 4,0 2,0 1,2 0,8 0,5 0,2 0,1erreur % 5,3 5,0 4,9 4,3 4,4 4,4 4,5Nb. moyen de VSs 266 240 233 235 251 366 722
Classification, Apprentissage, Décision
Machines à vecteur de support
Comparaison des résultats (Schölkopf, Smola)
USPS+ : USPS + un ensemble de chiffres imprimés.
Classifieur Ens. d’App. Erreur sur ens. testDecision tree, C4.5 USPS 16,2Best two layer neural network USPS 5,9Five-layer network USPS 5,1Linear SVM USPS 8,9Hard margin SVM USPS 4,6SVM USPS 4,0Virtual SVM USPS 3,2Virtual SV, local kernel USPS 3,0Nearest neighbor USPS+ 5,9Boosted neural net USPS+ 2,6Human performance 2,5
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