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8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ETMETIERS
CHAIRE DE TRAVAUX PUBLICS ET BATIMENT
___________
" BETON ARME "Chapitre 6 : Flexion compose ELU-ELS
(Code CCV109)
Enseignants : F. GUILLEMARD / J. PAS 2007 2008
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 4
En fonction du signe de N et de la valeur de e0, on distingue plusieurs cas de figure :
Si N est ngatif (traction) et que le point C est situ entre les deux nappes darmatureslongitudinales, on est dans le cas dune section entirement tendue.
Si N est ngatif (traction) et que le point C est situ lextrieur des deux nappesdarmatures longitudinales, on est dans le cas dune section partiellement tendue.
Si N est positif et que le point C est situ lextrieur des deux nappes darmatureslongitudinales, on est dans le cas dune section partiellement comprime. Si N est positif (compression) et que le point C est situ entre les deux nappes
darmatures longitudinales, on est dans le cas dune section entirement comprime.
Les conditions d'une section partiellement tendue (ou comprime) peuvent galement se traduireen comparant la position de l'axe neutre par rapport la section de bton.
Evidemment, les cas dune section partiellement comprime ou partiellement tendue sont traits dela mme faon, seul le signe de N change et aura tendance majorer ou minorer les aciers issusdu dimensionnement en flexion simple.
Le cas de la section entirement comprime fait appel un calcul bas sur des abaques ou uncalcul itratif bas sur les diagrammes dinteraction.
Le moment Mg0 est issu du calcul de RDM. Pour dimensionner la section de bton, il convient de
majorer les efforts en tenant compte des effets du second ordre. Sous certaines conditions, on
peut dterminer les effets du second ordre de faon forfaitaire.
6.2. Prise en compte forfaitaires des effets de second ordre
La prise en compte des effets du second ordre a pour but de majorer les efforts issus du calculRDM. Pour cela, on dtermine une excentricit du second ordre.
Cette excentricit du 2nd ordre viendra se cumuler l'excentricit du 1er ordre pour majorer lesefforts en consquence.
ATTENTION, la prise en compte forfaitaire des effets du second ordre n'est valable que dans lecas d'un dimensionnement l'ELU.
Dans le cas d'un dimensionnement l'ELS, seule l'excentricit M/N sera prise en compte.
Notation
Lf: longueur de flambement de la pice H: hauteur de la section droite dans le plan de flambement. L: longueur libre de la pice.
Excentricit du 1er
ordre.
On note:
=
ii
jGJ
N
Me
00
=
250
2max l
cmea =excentricit additionnelle
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CNAM CCV109 Bton arm 5
L'excentricit du 1erordre l'ELU a pour valeur:
aeee += 01
Excentricit du second ordre
Pour dterminer l'excentricit du second ordre, on distingue 2 cas de figure:
Si
>
h
eMax
h
lf 120,15 , on doit vrifier la pice l'tat limite ultime de stabilit de forme
(voir chapitre correspondant).
Si
h
eMax
h
lf 120,15 , on dtermine l'excentricit du 2nd ordre de faon forfaitaire,
comme dtaill ci-dessous.
L'excentricit e2 est dfinie par la formule:
[ ]+= 210
34
2
2h
le
f
Avec:
+++=
=
)()(
2
01
2
ii
ii
QQGMQGM
Dans le cas d'un lment soumis des charges G et Q, le coefficient peut s'crire plus
simplement:
QG
G
MM
M
+=
Connaissant la valeur de e2, on peut dterminer les sollicitations corriges:
UNeeMu
Nu
)( 21+=
Les moments sont valus l'ELS, sans coefficient de pondration.
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CNAM CCV109 Bton arm 6
6.3. Sections entirement tendues (ELU et ELS)
6.3.1. Dfinition
Comme nous l'avons vu prcdemment, la section est considre entirement tendue ( l'ELUcomme l'ELS) si:
N est une traction (N < 0). C tombe entre les armatures
6.3.2. Calcul des armatures
ATTENTION, dans le cas d'un dimensionnement en section entirement tendue, il n'y a pas lieu demajorer les efforts appliqus par les excentricits ea et e2.
Le dimensionnement de la section se fait partir du schma suivant:
On crit l'quilibre de la section par rapport au centre de pousse:
Equilibre des forces: NAA ss =+ 2211
Equilibre des moments: 111222 )()( AsAs eAeA = =>2
11122 )(
A
Ass
e
eAA =
On a donc:
Ne
eAA
A
Ass =+
2
11111 )(
2111211 )()( AAsAs NeeAeA =+
121
21
)( sAAA
eeeNA
+=
De l'quation d'quilibre des forces, on en dduit la valeur de A2:
221
12
)( sAA
A
ee
eNA
+
=
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CNAM CCV109 Bton arm 7
En rsum, on a donc les sections d'aciers dfinies par:
121
21
)(sAA
A
ee
eNA
+
=
221
12
)( sAA
A
ee
eNA
+
=
Ce principe de dimensionnement est valable aussi bien l'ELU qu' l'ELS. Seule la contrainte maxisur les aciers tendus change:
Calcul l'ELU: on est en pivot A et donc
s
ss
FeFed
=== 21
Calcul l'ELS: on a sss == 21
6.3.3. Section minimale
Dans le cas d'une section entirement tendue, la section minimale d'armature mettre en uvrevaut:
Fe
FBAAAA t2821 min==+
En gnral, les armatures minimales sont places symtriquement dans la section de bton.
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CNAM CCV109 Bton arm 8
6.4. Exercice 1: section entirement tendue l'ELU
Dans cet exercice, on se propose de dterminer les armatures sur la section suivante:
6.4.1. Caractristiques des matriaux
Bton Fc28= 25 Mpa => MpaF
Fbub
c 17,145,1
2585,085,0 28 ==
=
Acier Fe500 : MpaFe
Feds
78,43415,1
500===
6.4.2. Vrification si section entirement tendue.
On est dans le cas dune section entirement tendue si : N est une traction. Le centre de pression C est situ entre les nappes darmatures.
La position du point C est donne par la valeur de lexcentricit e0 :
mN
Me
U
ug
u 10,0)20050,120035,1(
)2050,12035,1(00 =
+
+==
Pour que le point C soit situ entre les deux nappes darmatures longitudinales, on doit avoir :
mh
de u 25,02
60,055,0
20 ==<
On est donc bien dans le cas dune section entirement tendue.
A
A
30cm
60cm
Sollicitations :o Ng= -200 KN et Mg= 20 KN.mo Nq= -200 KN et Mq= 20 KN.m
La dure dapplication des charges est suprieure 24 heures => = 1,00.
Fissuration peu prjudiciable. Matriaux :
o Fc28= 25 Mpao Fe500
Hauteurs utiles :o d= 55 cmo d= 5cm
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CNAM CCV109 Bton arm 9
6.4.3. Calcul des excentricits.
Le calcul des excentricits nous donne :
med
h
e uA 35,010,005,030,0'2 01 =+=+=
medhh
euA 15,010,005,030,0)(
202 ===
6.4.4. Calcul des armatures
Pour la nappe suprieure :
93,310.93,378,434)15,035,0(
15,0570,0)(
4
21
21 cmm
Fee
eNA
edAA
Au ==+ =+
=
Pour la nappe infrieure :
17,910.17,978,434)15,035,0(
35,0570,0
)(
4
21
12 cmm
Fee
eNA
edAA
Au ==+
=
+
=
6.4.5. Pourcentage minimal
Il est rappel que le % mini pour une section entirement tendue est :
e
t
F
FBA 28min
=
La section Amin est comparer avec la section totale A1 + A2 car on est dans le cas dune sectionentirement tendue.
On a donc :
56,7500
1,2)60,030,0(min10,1317,993,321 cmAcmAA =
=>=+=+
La vrification est OK.
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CNAM CCV109 Bton arm 10
6.4.6. Schma de ferraillage
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CNAM CCV109 Bton arm 11
6.5. Exercice 2: section entirement tendue l'ELS
Dans cet exercice, on se propose de dterminer les armatures sur la section suivante:
6.5.1. Caractristiques des matriaux
La compression maxi sur le bton est de MpaFcbc 18306,06,0 28 ===
Contrainte maxi sur les aciers : en fissuration prjudiciable, on a
Mpa
FF
F
tj
e
e
s
250
63,2011,26,1110
250
max
33,333
min
1105,0max
3
2
min =
=
=
=
6.5.2. Vrification si section entirement tendue.
On est dans le cas dune section entirement tendue si : N est une traction. Le centre de pression C est situ entre les nappes darmatures.
La position du point C est donne par la valeur de lexcentricit e0 :
mN
Me
g
098,0)230250(
)2522(00 =+
+==
Pour que le point C soit situ entre les deux nappes darmatures longitudinales, on doit avoir :
mh
de 255,02
65,058,0
20 ==<
On est donc bien dans le cas dune section entirement tendue.
A
A
25cm
65cm
Sollicitations :o Ng= -250 KN et Mg= 22 KN.mo Nq= -230 KN et Mq= 25 KN.m
La dure dapplication des charges est suprieure 24 heures => = 1,00.
Fissuration prjudiciable. Matriaux :
o Fc28= 30 Mpao Fe500
Hauteurs utiles :o d= 58 cmo d= 5cm
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CNAM CCV109 Bton arm 12
6.5.3. Calcul des excentricits.
Le calcul des excentricits nous donne :
medheA 37,0098,005,0325,0'2
01 =+=+=
medhh
eA 177,0098,005,0325,0)(2
02 ===
6.5.4. Calcul des armatures
Pour la nappe suprieure :
21,610.21,6250)177,037,0(
177,0480,0
)(
4
21
21 cmm
ee
eNA
sAA
Aser ==+
=
+
=
Pour la nappe infrieure :
1310.99,12250)177,037,0(
37,0480,0
)(
4
21
12 cmm
ee
eNA
sAA
Aser ==+
=
+
=
6.5.5. Pourcentage minimal
Il est rappel que le % mini pour une section entirement tendue est :
e
t
F
FBA 28min
=
La section Amin est comparer avec la section totale A1 + A2 car on est dans le cas dune sectionentirement tendue.
On a donc :
8,7500
4,2)65,025,0(min21,191321,621 cmAcmAA =
=>=+=+
La vrification est OK.
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CNAM CCV109 Bton arm 13
6.5.6. Schma de ferraillage
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CNAM CCV109 Bton arm 14
6.6. Sections rectangulaires partiellement tendues
6.6.1. Dfinition
Les critres de dtermination d'une section partiellement tendue s'expriment diffremment selon
que l'on est en dimensionnement E.L.U ou E.L.S.
A l'E.L.S
La section est partiellement tendue si:
a) Si N est une compression (Nser >0) => l'axe neutre de la section y1 doit tre dans la section de
bton, on a donc: hy 1 .
Si on note Mserlim, le moment de service qui correspond hy =1 , on peut crire:
hy 1 => bcbcserserA dbd
h
d
hhdhbMM 3
112
1
32
100lim
=
=
avec MserAqui reprsente le moment flchissant de service par rapport aux aciers tendus.
Attention, si dy 1 , cela veut dire qu'il faut mettre en place au moins un lit d'aciers tendu, ce quis'exprime par:
bcbcserA dbdbM 333,0
3
11
2
100 =
b) Si N est une traction (Nser < 0) => le point C doit tre l'extrieur des armatures.
A l'E.L.U
a) Si N est une compression (Nu > 0), avec e0=e1 + e2, on doit avoir hyu
De faon analogue la justification ELS, nous allons dterminer le moment rduit qui correspond
une section hyu =
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CNAM CCV109 Bton arm 15
En considrant la section sans acier comprim, avec yu=h, on a:
bubc FhbF = 08,0
hdz 4,0=
zFM bcBC = buBC FhdhbM )4,0(8,0 0 =
Le moment Mbc correspond au moment de flexion quil faut appliquer la section pour quelle soitentirement comprime (Pivot C).
On a donc:
buBC
Fdbd
h
d
hM )4,01(8,0 0=
d'o:
)4,01(8,00 d
h
d
h
Fdb
M
bu
BCBC ==
En pratique, il suffit donc de calculer le moment rduit de la section et de le comparer la valeur
deBC
, pour savoir si la section est entirement ou partiellement comprime, ce qui se traduit
par:
)4,01(8,00 d
h
d
h
Fdb
MBC
bu
uabu ==
ATTENTION , pour le calcul du moment rduit, il est impratif de prendre en compte lesexcentricits du 1
eret du 2
ndordre (car flexion compose). Avant de dterminer si la section
est entirement ou partiellement comprime, il faut donc calculer ces excentricits.
Si dyu , cela veut dire qu'il faut mettre en place au moins un lit d'aciers tendu, ce qui s'exprime
par:
480,0)4,01(8,0
0
0
=== B
bu
uabu
Fdb
M
b) Si N est une traction (Nu < 0) => le point C doit tre l'extrieur des armatures.
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CNAM CCV109 Bton arm 17
Dans le cas d'une section rectangulaire, on a:
)2
(0h
dNMM Gua +=
N tant pris avec son signe.
6.6.4. Technique du calcul
La technique de dimensionnement d'une section partiellement tendue en flexion compose est lasuivante:
On calcul le moment Ma ( l'ELU ou ELS) par rapport aux aciers tendus. On en dduit les sections A et A' par un dimensionnement en flexion simple. On dtermine les aciers de flexion compose partir de:
o A' = A'o A = AN/s
ATTENTION, l'effort normal N doit tre considr avec sa valeur algbrique:
Si N est une compression (N > 0) => on a une diminution de la section d'aciers trouve enflexion simple, car la compression est favorable.
Si N est une traction (N < 0) => on a une augmentation de la section d'aciers trouve enflexion simple, car la traction est dfavorable.
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CNAM CCV109 Bton arm 18
6.6.5. Pourcentage minimal d'armatures
Pour une section rectangulaire en flexion compose partiellement tendue, le pourcentage minimald'armatures vaut:
de
dedb
F
FA
e
t
185,0
45,023,0
0
28
min
=
On remarque que si e tend vers l'infini, en flexion simple, on retrouve le pourcentage minimum dela flexion simple.
ATTENTION, l'excentricit e doit tre prise en compte l'ELS et avec le mme signe quel'effort normal N.
6.7. Sections en T partiellement tendues
Par rapport aux sections rectangulaires, la seule nuance concerne la dtermination des armatures.Les critres de vrification si la section est effectivement partiellement tendue restent inchangs etne s'appliquent qu' la nervure.
On a deux cas de figure possibles: Mua < Mtu => la table de compression est surabondante, et on se ramne au
dimensionnement d'une section rectangulaire de largeur b, en flexion compose, etsoumise (Mua et Nu)
Mua > Mtu => calcul en section en T.
6.7.1. Dimensionnement des armatures si Mua > Mtu
Le schma d'quilibre de la section est le suivant:
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CNAM CCV109 Bton arm 19
L'quilibre de la section s'crit:
Equilibre des moments:
o 2211 bbcbbcAUA zFzFeNM +==
Equilibre des efforts:
o sbcbc FFFN += 21
avec:
buubc FybF 01 8,0= et ub ydz 4,01 =
bubc FhbbF 002 )( = et2
02
hdz
b =
sss AF =
d'o:
)2()()4,0(8,00
000
h
dFhbbydFybM buubuuuA += sbubuuu AFhbbFybN += 000 )(8,0
On se rend compte que ces quations intgrent les termes lis un dimensionnement en flexionsimple.
Pour les mettre en vidence, on pose:
)2
()( 000h
dFhbbMMbuuAuR =
buuuR FhbbNN 00 )( =
Ce qui nous donne: )4,0(8,0 0 ubuuuR ydFybM =
sbuuuR AFybN = 08,0
Par identification, on obtient les relations suivantes: '' AA=
s
uRN
AA
=
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CNAM CCV109 Bton arm 20
6.7.2. Technique du calcul
La technique de dimensionnement d'une section partiellement tendue en flexion compose est lasuivante:
On calcul le moment Ma ( l'ELU ou ELS) par rapport aux aciers tendus. On dtermine si la table de compression est surabondante.
Si non, calcul en section rectangulaire => voir paragraphe prcdent. Si oui, on en dduit les sections A et A' par un dimensionnement en flexion simple, avecMur et Nur.
On dtermine les aciers de flexion compose partir de:o A' = A'o A = ANur/s
ATTENTION, l'effort normal N doit tre considr avec sa valeur algbrique: Si Nur est une compression (Nur > 0) => on a une diminution de la section d'aciers trouve
en flexion simple, car la compression est favorable. Si Nur est une traction (Nur < 0) => on a une augmentation de la section d'aciers trouve
en flexion simple, car la traction est dfavorable.
6.7.3. Pourcentage minimal d'armatures
Pour une section en T en flexion compose partiellement tendue, le pourcentage minimald'armatures vaut:
IBev
hve
h
d
I
F
FBA
e
t
+
= 3'
3
0
0
28min
ATTENTION, l'excentricit e doit tre prise en compte l'ELS et avec le mme signe quel'effort normal N.
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CNAM CCV109 Bton arm 21
6.8. Exercice 3: Section partiellement tendue avec effort de compression .
Considrons le poteau suivant : Poteau Encastr Articul. Hauteur libre du poteau : 3,00m Section du poteau : 20*50cm
Le but est de dterminer les armatures en pied de poteau.
6.8.1. Caractristiques des matriaux
Bton:
o Fc28= 25 Mpa => MpaF
Fbub
c 17,145,1
2585,085,0 28 ===
o Ft28= 0,6 + 0,06Fc28= 0.6 + 0.06 x 25= 2.1 Mpa
Acier Fe500 : MpaFe
Feds
78,43415,1
500===
6.8.2. Calcul des sollicitations
ELU Mu=1,35*60 + 1,50*75= 193,5 KN.m= 0,194MN.m Nu= 1,35*110 + 1,50*125= 0,336 MN.
ELS Mser= 60 + 75= 0,135 MN.m Nser= 110 + 125= 0,235 MN
A
A
20cm
50cm
Sollicitations :o Charges permanentes : Mg= 60 KN.m et Ng=110 KNo Surcharges dexploitations : Mq= 75 KN.m et Ng= 125 KN
Dure dapplication des charges : suprieure 24h Matriaux :
o Bton: Fc28= 25Mpao Acier: Fe500
Enrobage des armatures : 3cm Fissuration non prjudiciable Densit du bton : 25KN/m3 Hauteurs utiles :
o d= 0,45mo d= 0,05m
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 22
6.8.3. Dtermination des excentricits et sollicitations corriges ELU.
A lELU, les sollicitations sont les suivantes : Mu= 0,194MN.m Nu= 336 KN.
Il nous faut donc dterminer : Excentricit additionnelle ea. Excentricit du 1erordre lELU. Excentricit du second ordre e2 (par la mthode forfaitaire).
Excentricit additionnelle
cm
cm
cml
cm
ea 2
1
2,1250
300
250
2
max =
===
Excentricit du 1erordre
meNu
Mue a 60,002,0
336,0
194,01 =+=+= lELU
Calcul de lf/h
Dans le cas dun poteau encastr-articul, la longueur de flambement vaut lf=0,7l
Dans notre cas, on a lf=0,70*3=2,10m
On doit vrifier 242450,0
60,02020;15max20,4
50,0
10,2 1 =
====
h
e
h
l f
La vrification est OK, on peut donc estimer forfaitairement lexcentricit du second ordre.
[ ]+
= 210
3
4
2
2h
le
f
444,07560
60=
+=
+=
QG
G
MM
M
2=
[ ] me 0076,02444,0250,010
10,2342
=+
=
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 23
Sollicitations corriges.
Les sollicitations corriges, prendre en compte pour le calcul en flexion compose, sont :Nu= 0,336MNMu= (e1 + e2) * Nu= (0,60 + 0,0076) * 0,336= 0,204 MN.m
ATTENTION, ces valeurs sont calcules par rapport au centre de gravit de la section de btonseule, il est impratif de ramener le moment au centre de gravit des aciers tendus pour pouvoirdimensionner les armatures:
Le moment Mua vaut donc :
Mua= Nua *eA
Avec eA= (e1 + e2) + (d-h/2)= (0,60 + 0,0076) + (0,45 0,50/2)= 0,81m
Et Mua= 0,336*0,81=0,272MN.m
Les sollicitations corriges (ELU) sont donc:
Nu= 0,336 MNMu= 0,272 MN.m
6.8.4. Dtermination des excentricits et sollicitations corriges ELS.
A lELS, on a : Mser= 60 + 75= 0,135 MN.m Nser= 110 + 125= 0,235 MN e0ser= 0,135/0,235= 0,574m
Il faut galement ramener cette excentricit au centre de gravit des aciers tendus:
mh
dee serAser 774,0)2
50,045,0(574,0)
2(0 =+=+=
et donc Maser= 0,235 * 0,774= 0,182 MN.m
Les sollicitations corriges (ELS) sont donc :
Nser= 0,235 MNMser= 0,182 MN.m
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 24
6.8.5. Vrification si section partiellement tendue
On calcul le moment rduit :
474,017,1445,020,0
272,0
=
==
bu
buFbd
Mu
Puis on calculBC :
494,0)45,0
50,04,01(
45,0
50,08,0)4,01(8,0 ===
d
h
d
hBC
On est donc bien en section partiellement tendue.
6.8.6. Dimensionnement des armatures en flexion simple
On est en fissuration peu prjudiciable, on fait donc un dimensionnement l'E.L.U.
Hauteur utile : d=0,45m
Moment rduit : 474,0=bu
Pour vrifier la prsence ou non daciers comprims, il est ncessaire de calculer la valeur de limqui est fonction de fc28, et .
Cette valeur peut tre dtermine partir des tables ou des formules approches si Fc28 30Mpa.
Dans notre cas (acier Fe500), on peut utiliser la formule :
310051322010 28lim4 +=
C
Favec
Mser
Mu=
On a donc :
49,1182,0
272,0== => 297,0lim =
On a donc lim >bu => mise en place daciers comprims.
Calcul des aciers tendus (section A1)
Le calcul des aciers tendus doit tre men avec un moment correspond lim :
buFbd
M
limlim = => mMNFbdM bu .170,017,1445,020,0297,0limlim ===
Calcul de lim:
o 449,0)297,021(125,1lim ==
Calcul du bras de levier zb :
o mdzb 369,0)449,04,01(45,0)4,01( ===
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 25
Calcul de la section darmatures :
o 60,1078,434369,0
170,0lim1 cm
Fz
MA
edb
=
==
Calcul des aciers comprims (section A)
Calcul de lallongement des aciers comprims :
0026,0)05,045,0449,0(45,0449,01000
5,3)'(
1000
5,3=
=
= dd
d lu
lu
sc
On est dans le cas 00217,0200000
78,434==>
E
Fedsc
On prend donc MpaFedsc 78,434==
Calcul des aciers comprims :
o 86,578,434)05,045,0(
170,0272,0
)'(' cm
dd
MMA
sc
ulu =
=
=
Calcul des aciers A2 pour quilibrer A :
o 86,578,434
78,43408,7'2 cmAA
e
sc ===
Section totale mettre en uvreo A=A1+A2=16,46cm en partie infrieure (aciers tendus)o A=5,86cm en partie suprieure (aciers comprims)
6.8.7. Armatures en flexion compose
En flexion compose, on a donc : A= A A= A N/Fed= 16,46.10-4 0,336/434,78= 8,73 cm
A= 5,86cm A= 8,73cm
6.8.8. Vrification du pourcentage minimum
de
dedb
F
FA
e
t
185,0
45,023,0 0
28min
=
66,045.0185,0574.0
45.045.0574.045.020.0
500
1.223,0min cmA =
=
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 26
6.9. Exercice 4: Section partiellement tendue avec effort de traction .
Considrons la section de poutre suivante:
On souhaite dimensionner les armatures tendues de la poutre, l'ELU.
6.9.1. Caractristiques des matriaux
Bton:
o Fc28= 25 Mpa => MpaF
Fbub
c 17,145,1
2585,085,0 28 ==
=
o Ft28= 0,6 + 0,06Fc28= 0.6 + 0.06 x 25= 2.1 Mpa
Acier Fe500 : MpaFeFeds
78,43415,1
500 ===
6.9.2. Calcul des sollicitations
ELU Mu=1,35*90 + 1,50*70= 226.5 KN.m= 0,227 MN.m Nu= 1,35*(-190) + 1,50*(-145)= -474 KN= -0,474 MN.
ELS Mser= 90 + 70= 160 KN.m= 0,160 MN.m Nser= -190 - 145= -335 KN= -0,335 MN
6.9.3. Dtermination des excentricits et sollicitations corriges ELU.
A lELU, les sollicitations sont les suivantes : Mu= 0,227 MN.m Nu= -0.474 MN
On est dans le cas du dimensionnement d'une poutre, par consquent, on ne prendra pas encompte les excentricits ea, et e2.
On a donc:
mNu
Mu
e 479,0474.0
227,00 ===
A
40cm
65cm
Sollicitations :o Charges permanentes : Mg= 90 KN.m et Ng=-190 KNo Surcharges dexploitations : Mq=70 KN.m et Ng= -145 KN
Dure dapplication des charges : suprieure 24h Matriaux :
o Bton: Fc28= 25Mpao Acier: Fe500
Enrobage des armatures : 3cm Fissuration non prjudiciable Densit du bton : 25KN/m3 Hauteurs utiles :
o d= 0,60mo d= 0,05m
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 27
Sollicitations corriges.
ATTENTION, les valeurs prcdemment dtermines sont calcules par rapport au centre degravit de la section de bton seule, il est impratif de ramener le moment au centre de gravit desaciers tendus pour pouvoir dimensionner les armatures:
Le moment Mua vaut donc :
))2
(( 0h
deNeNM uAuuA ==
Mua= 0.474 x (0.479 0.60 + 0.65/2)= 0,097 MN.m
Les sollicitations corriges (ELU) sont donc:
NuA= - 0,474 MNMuA= 0, 097MN.m
6.9.4. Dtermination des excentricits et sollicitations corriges ELS.
A lELS, on a : Mser= 0,160 MN.m Nser= -0,335 MN e0ser= 0,160/- 0,335= 0,478 m
Il faut galement ramener cette excentricit au centre de gravit des aciers tendus:
))2
(( 0h
deNeNMserserAserserA ==
Mua= 0.335 x (0.478 0.60 + 0.65/2)= 0,068 MN.m
Les sollicitations corriges (ELS) sont donc :
Nser= - 0,335 MNMser= 0,068 MN.m
6.9.5. Vrification si section partiellement tendue
On calcul le moment rduit :
0475,017,1460,040,0
097,0
=
==
bu
buFbd
Mu
Puis on calculBC :
491,0)60,0
65,0
4,01(60,0
65,0
8,0)4,01(8,0 === d
h
d
hBC
On est donc bien en section partiellement tendue.
G0
Mg0
N
G0
N
Ae0
eA
dh/2
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 28
6.9.6. Dimensionnement des armatures en flexion simple
On est en fissuration peu prjudiciable, on fait donc un dimensionnement l'E.L.U. Hauteur utile : d=0,60m
Moment rduit : 0475,0=bu
Pour vrifier la prsence ou non daciers comprims, il est ncessaire de calculer la valeur de limqui est fonction de fc28, et .
Cette valeur peut tre dtermine partir des tables ou des formules approches si Fc28 30Mpa.
Dans notre cas (acier Fe500), on peut utiliser la formule :
310051322010 28lim4 +=
C
Favec
Mser
Mu=
On a donc :
43,1068,0097,0 == => 278,0lim=
On a donc lim pas d'aciers comprims.
Calcul des aciers tendus
0475,0=u
Calcul de :
o 061,0)0475,021(125,1 ==
Calcul du bras de levier zb :
o mdzb 585,0)061,04,01(60,0)4,01( ===
Calcul de la section darmatures :
o 81,378,434585,0
097,0cm
Fz
MA
edb
uAu =
==
6.9.7. Armatures en flexion compose
En flexion compose, on a donc : A= A= 0 A= A N/Fed= 3.81.10-4+ 0.474 / 434.78= 14.71 cm
A= 0 cm A= 14.71 cm
6.9.8. Vrification du pourcentage minimum
de
dedb
F
FA
e
t
185.0
45.023.0 0
28min
=
94.260.0185.0478.0
60.045.0478.060.040.0
500
1.223.0min cmA =
=
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8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 30
6.10.2. Calcul des armatures L'E.L.S
L'quilibre, l'E.L.S, d'une section en flexion compos entirement comprime, est dfini par le
schma suivant:
Le dimensionnement l'E.L.S est men par itration sur les sections d'aciers A1 et A2, de faon
respecter deux conditions:
La contrainte maximum sur le bton doit respecter: bcbc max .
Le centre de pousse C doit rester dans le noyau central.
La contrainte maximum sur le bton est calcule partir de la formule:
bcserGser
bcI
vMB
N +=00
max'
B0 et I0 reprsentent les caractristiques gomtriques de la section homogne:
( )210 15 AABB ++=
I0: inertie de la section B0par rapport G.
B reprsente la section de bton.
Pour la 1re
itration, on se fixe A1 + A2= Amin, avec:
=
1002,0
/4maxmin B
mcmA
de primtre
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 31
Pour rappel, dans le cas dune section rectangulaire, le noyau central correspond un losange de
hauteur h/6 de part et d'autre de l'axe de symtrie de la section de bton.
On voit bien quun dimensionnement lE.L.S prsente donc une infinit de solutions. Lutilisationdes abaques de dimensionnement permet un dimensionnement plus rapide.
6.10.3. Dfinition des courbes d'interactions l'E.L.U
Les courbes d'interactions sont des diagrammes d'interaction moment-effort normal quipermettent de dimensionner ou de vrifier rapidement une section dont les dimensions et lesarmatures sont connues.
De faon gnrale, les diagrammes d'interactions sont fixs l'E.L.U, mais rien n'empche de lestablir l'E.L.S.
Pour dfinir l'quilibre d'une section en flexion compose, on part du schma suivant :
y
h z
b
h/6
G
b/6
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 32
Les notations de ce schma sont les suivantes: G0: centre de gravit de la section de bton seule. x et y sont des axes de symtrie de la section. dj: distance au centre de gravit de l'armature considre. Cette distance est compte
positive dans le sens ascendant. v': fibre extrme comprime de la section.
v: fibre extrme tendue de la section. B: aire de la section de bton seule. An : armature la plus loigne de la zone comprime.
Lorsque l'on fixe arbitrairement une valeur de y, on obtient un diagramme des dformations qui suitun des 3 pivots (voir cours de flexion simple) :
Si ( )n
dvy 259,0 => pivot A
Si hydnv pivot B Si y > h => pivot C
Lexpression ( )n
dvy 259,0 vient de lexpression y=0.259d vue en flexion simple en
considrant une valeur ngative pour dn .
Pour une section donne d'armatures, si on fait varier l'axe neutre y, on obtiendra les dformationssuivantes :
c= raccourcissement de la fibre de bton la profondeur . sj = dformation de l'armature Aj.
A partir de ces dformations, on en dduit les contraintes suivantes: c= contrainte de la fibre de bton la profondeur . sj = contrainte de l'armature Aj
La rsultante en force et en moment de ces forces par rapport G0 nous donne:
+=
+=
Y N
jsjjc
Y N
sjjc
dAdvbyM
AdbyN
0 1
1
0 1
1
)'()(
)(
Lorsque y varie, le point de coordonnes N1(y) et M1(y) dcrit une courbe C1 appele courbed'interaction.
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 33
En changeant le sens des moments, on inverse le sens de la flexion et on obtient la courbe C2.
Les deux courbes C1 et C2 forment un contour ferm appel courbes d'interaction.
Ce contour reprsente une multitude d'efforts rsistants, pour une section d'armatures imposes,pour plusieurs valeurs de y. Il constitue le "domaine de scurit" dans lequel doit se trouver lepoint reprsentatif des sollicitations agissantes.
Si la section ne comporte pas d'armatures :
Aj=0 quelque soit j =>
=
==
=
==
buC
C
C
T
T
T
BfN
MP
N
MP
0
0
0
En faisant varier le contour C0, on obtient le contour C0 dfinissant le domaine de scurit d'unesection sans armature.
Cette mthode se prte trs bien au dveloppement informatique et permet facilementd'obtenir, par itration, la section d'armature ncessaire pour que le torseur soit situ l'intrieur de ces courbes.En gnral, on part de la section minimum d'armatures puis on itre pour satisfaire lacondition prcdente.Par contre, manuellement, le calcul est long et fastidieux. Tout au plus, peut-on vrifiercertains points particuliers.
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 34
Points particuliers de ces courbes
Cette courbe prsente un certain nombre de caractristiques et points particuliers intressants.
Cas o on a y= -
Dans ce cas, la section est entirement tendue et on est la verticale du pivot A (traction simple).Le point correspondant sur la courbe Pt a les coordonnes suivantes:
===
===
N
jjedJ
N
sjjT
N
jed
N
sjjT
dAFdAMM
AFANN
11
1
11
1
)(
)(
Cas o on a y= +
Dans ce cas, la section est entirement comprime et on est la verticale du pivot C (compressionsimple).
On a donc:
1000/2=sj FedE sjssj =
Fbuc =
Le point correspondant sur la courbe Pc a les coordonnes suivantes:
=+=+
+=+==+
Y N
jjed
N
jsjjc
Y N
jedbu
N
sjjcC
dAFdAdvbM
AFFBAdbNN
0 11
1
0 11
1
)'()(
)(
Cas ou Ni=0Dans ce cas, on obtient le point PMF1qui correspond au moment de flexion simple.
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 35
6.10.4. Dimensionnement des aciers E.L.U par les diagrammes d'interactions.
Pour dimensionner manuellement une section en flexion compose, on utilisera des diagrammesd'interactions.
Chaque diagramme est dfini pour une section donne (bton, armatures, position des aciers).
On calcul les sollicitations Ni et Mi (sollicitations au centre de gravit) en partant des formules quenous avons vu prcdemment:
+=
+=
Y N
jsjjc
Y N
sjjc
dAdvbyM
AdbyN
0 1
1
0 1
1
)'()(
)(
A partir des ces sollicitations Ni et Mi, on dfinit les paramtres suivants:
bu
FB
Niv
= : effort normal rduit.
buBhF
Mi= : moment flchissant rduit en G0 (h reprsente la hauteur de la section dans
le plan de flexion).
bu
edj
BF
FA )(= : pourcentage mcanique des armatures.
ATTENTION, il est rappel quune valeur positive debuFB
Niv
= correspond un effort de
compression.
Pour une position donne des armatures, on fait varier leur sections, ce qui fait varier et nouspermet d'obtenir un rseau de courbes appeles diagrammes d'interactions.
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 36
Voici un exemple de diagramme dinteraction, pour une section rectangulaire armesymtriquement (issu des abaques de dimensionnement du CEB) :
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 37
Les diffrentes courbes, correspondant diffrentes valeurs de , sont disposs intervalle constant suivantles droites correspondantes un rapport de dformations et donc une valeur constante de y.
En effet, lorsque l'on fait varier la section d'armature, on le fait proportionnellement pour toutes les armaturesAj.
Isolons une de ces courbes :
Si on prend le point PT0correspondant la traction pure, on a:
=
=
jedT
jjedT
AFN
dAFM=>
=
=
j
bu
ed
jj
bu
ed
ABF
Fv
dABhF
F
=> KAjh
dA
v
jj==
On se rend compte que le point PTse dplace sur une droite T, passant par le point PT0, d'origine (0,0) etde pente K.
Il faut donc faire l'interpolation linaire en direction de ces droites.
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 38
Si on prend le point PCcorrespondant la compression pure, on a:
+=
=
jedbuC
jjedC
AFBFN
dAFM=>
+==
=
+
bu
jed
bu
jedbu
jj
bu
ed
BF
AF
BF
AFBF
v
dABhF
F
1
d'o:
KAh
dA
v j
jj==
1
et le point PC se dplace sur une droite C passant par le point PC0 de
coordonne (0,1) et de pente K
L'interpolation linaire doit donc se faire entre les diffrentes valeurs de , et en suivant ladirection des droites .
Pour la suite, il est important de retenir que pour une section entirement comprime, on a lesvaleurs suivantes:
=+=
+=+=
Y N N
jjedjsjjc
N
jed
Y
bu
N
sjjc
dAFdAdvbyM
AFBFAdbyN
0 1 1
1
10 1
1
)'()(
)(
puis
bu
N
jed
bu
N
sjjbu
bu BF
AF
BF
ABF
FB
Niv
+=
+
=
= 11 1
.
==N
jj
bu
ed
bu
dABhF
F
BhF
Mi
1
bu
edj
BF
FA )(= : pourcentage mcanique des armatures.
Ces diagrammes d'interactions peuvent tre utiliss soit en vrification de sections, soit endimensionnement.
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 39
Utilisation des diagrammes d'interactions en dimensionnement d'une section
Les donnes du problme sont:
Caractristiques des matriaux:b
cbu
FF
2885,0= et
s
ed
FeF
=
Nu et MuGo(MuG0=Nu(e1 + e2)) Dimensions de la section de bton: b0 et h
On calcul les quantits suivantes:
bu
Fhb
Nuv
=
0
bu
uG
Fhb
M
=
0
0
On dtermine ensuite, sur le diagramme d'interaction correspondant aux couples bc et s, le
pourcentage mcanique darmatures .
Puis on calcul les armatures ncessaires en les disposant symtriquement:
bu
ed
hFb
FA
0
)(= => hb
F
FA
ed
bu0=
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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CNAM CCV109 Bton arm 40
Utilisation des diagrammes d'interactions en dimensionnement d'une section
Les donnes du problme sont:
Caractristiques des matriaux:b
cbu
FF
2885,0= ets
ed
FeF
=
Nu et MuGo(MuG0=Nu(e1 + e2)) Dimensions de la section de bton:b0 et h Quantits et position des armatures: A
On calcul les quantits:
bu
Fhb
Nuv
=
0
bu
u
Fhb
M
=
0
bu
ed
hFbFA
0
)(=
On vrifie sur le diagramme que le point se trouve l'intrieur ou sur la courbe correspondante aupourcentage d'armature.
8/10/2019 Chapitre 6 - Flexion Composee ELU ELS
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6.10.5. Exemples dabaques.
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