Chapitre 1 electromagnetisme ing 2017 -...

Chapitre

1

Machines électriquesLST GESA

ELECTROMAGNETISME

Electromagnétisme

2

1

Comment peut on utiliser l’électricité pour créer un mouvement?

Comment peut on utiliser un mouvement mécanique pour créer l’électricité?

Quelle est la relation entre l’électricité et le magnétisme?

Questions

Electromagnétisme

3

1

• La plus part des générateurs et moteurs utilisent le champ magnétique

comme moyen de conversion

• Le champ magnétique est produit par le champ magnétique permanent ou

un enroulement parcouru par un courant

• Comprendre les équations de Maxwell pour maitriser le processus de

l’énergie électromagnétique

Introduction

Electromagnétisme

4

1

Nom de James Clerk Maxwell (1831-1879)Decrit la nature des champs électromagnétiquesEnsemble de 4 équations :Lois d’AmpèreLois de FaradayLois de Gauss (flux)Lois de Gauss (Charge)

Introduction

Electromagnétisme

5

1

Induction magnétique

Vecteurs fondamentaux en électromagnétisme: Intensité du champ électrique E

Densité de flux électrique(déplacement électrique)

Intensité du champ magnétique

Densité de flux magnétique

unité = volts per metre (V/m = kg m/A/s3)

unité = coulombs par metre carré (C/m2 = A s /m2)

unité = ampère par metre (A/m)

unité = Teslas = webers per mètre carré (T = Wb/ m2 = kg/A/s3)

E

D

H

B

Magnétisme

Electromagnétisme

6

1

Universal constants in electromagnetics:

Velocity of an electromagnetic wave (e.g., light) in free space (perfect vacuum)

Permeability of free space

Permittivity of free space:

Intrinsic impedance of free space:

m/s 103 8c

H/m 104 70

F/m 10854.8 120

1200

Magnétisme

Electromagnétisme

7

1

Constantes U niverselles en électromagnetique:

Vitesse du son dans le vide

Permeabilité du vide

Permittivité du vide:

m/s 103 8c

H/m 104 70

F/m 10854.8 120

Magnétisme

Electromagnétisme

8

1

sourcesJi, Ki

• des solutions obtenues• Par hypothèse

fieldsE, H

Solution desÉquations de Maxwell’s

QuantitésObservables

Magnétisme

Electromagnétisme

9

1

Region 2

Region 1n̂

Magnétisme

Electromagnétisme

10

1

2120

2112 4

ˆ12 r

QQaF R

Q1

Q212r

12FForce due à l’action de Q1

Sur Q2

Vecteur unitaire dans le sens R12

Champs électrique

Electromagnétisme

11

1

La force de Q2 sur Q1 est égale en intensité maisopposée à la force de Q1 sur Q2

1221 FF

Champs électrique

Electromagnétisme

12

1

Considérons un point de charge Q placé à l’origine d’un systèmegallélien

Une charge test Qt placéeproche de Q subit une force:

204

ˆr

QQaF trQt

Q

Qt

r

Champs électrique

Electromagnétisme

13

1

L’existance d’une force sur Qt est attribué à un champ électique produit par Q.

Le champ électrique créé par Q en un point de l’espace peut être définit comme la force par unité de charge exercée sur la charge test placé en ce même poin

t

Q

Q QFE t

t 0lim

Champs électrique

Electromagnétisme

14

1

Le champ électrique décrit l'effet d'une charge fixe sur les autres charges, très proche de la notion d'un champ de gravité.Les unités de base de champ électrique sont Newtons par Coulomb.En pratique, nous utilisons habituellement volts par mètre.

Champs électrique

Electromagnétisme

15

1

30

20 44

ˆr

rQr

QarE r

Pour un point a l’origine, le champ électriqiue est donné par

Champs électrique

Electromagnétisme

16

1

Pour une charge en un point P’ le champ électrique en P est donné par :

rrRrrR

RRQrE

avec4 3

0

r

Q

P

r R

rO

Champs électrique

Electromagnétisme

17

1

Densité de charge volumique

V

Qrq encl

Vev

0lim

Qencl

r V’

Champs électrique

Electromagnétisme

18

1

Qenclr dV’V’

Pr

3

04 RRvdrqrEd ev

Champs électrique

Electromagnétisme

19

1

Champ électrique du à la densité de charge volumique

V

ev vdR

RrqrE 304

1

Champs électrique

Electromagnétisme

20

1

ˆb

a b xa

W q E a dx

x3 5

b a

En évaluant les intégrales de ligne, il est habituel de prendre le dl dans le sens de la valeur des coordonnées croissantes, de sorte que la manière dont le chemin d'intégration est parcouru est déterminé sans ambiguïté par les limites de l'intégration.

Champs électrique

Electromagnétisme

21

1

Le potentiel électrique est conservatif: La valeur v de l’intégrale dépend uniquement des

points d’extrémités et non pas du chemin suivi La valeur de l’intégrale sur un contour fermé est

nulle

0C

ldEC

Champs électrique

Electromagnétisme

22

1

Le travail par unité de charge d’un point a vers b est la différence de potentielélectrostatique

b

a

baab ldE

qWV

Différence de potentiel électrostatiqueUnité par Volts.

Champs électrique

Electromagnétisme

23

1

aVbV

ldEldE

ldEldEldEV

a

P

b

P

b

P

P

a

b

aab

00

0

0

Potentiel électrostatique

Electromagnétisme

24

1

P

P

ldErV0 reference point

Potentiel électrostatique

Electromagnétisme

25

1

Electrostatic Potential

P

ldErV

Potentiel électrostatique

Electromagnétisme

26

1 Théorème d’Ampère

Le courant à travers un conducteur donne naissance à un champ magnétique autour du cable.Mathématiquement :

t

DH J

.C S

Hdl dSt

S

DJ

ou

Electromagnétisme

27

1 Induction Magnétique

Electromagnétisme

28

1 Induction Magnétique

Electromagnétisme

29

1 Induction Magnétique

Electromagnétisme

30

1 Induction Magnétique

Electromagnétisme

31

1 Induction Magnétique

Electromagnétisme

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1 Induction Magnétique

Electromagnétisme

33

1 Induction Magnétique

Electromagnétisme

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1 Induction Magnétique

Electromagnétisme

35

1 Diélectriques

Electromagnétisme

36

1

+q

-q

p=Qd

Diélectriques

Electromagnétisme

37

1

+q

-q

p=Qd

- Dipôle électrique (microscopique)- Peut-être causé - par la présence d’un champ externe

- certaines molécules ont des dipôles permanents- S’il y a présence de dipôles permanents

- orientation aléatoire- certains matériaux sont polarisés en tout temps.

- Dipôle électrique (microscopique)- Peut-être causé - par la présence d’un champ externe

- certaines molécules ont des dipôles permanents- S’il y a présence de dipôles permanents

- orientation aléatoire- certains matériaux sont polarisés en tout temps.

Diélectriques

Electromagnétisme

38

1

La polarisation est le moment dipolaire électrique par unité de volume (c’est une quantité macroscopique)La polarisation est le moment dipolaire électrique par unité de volume (c’est une quantité macroscopique)

Puisque la polarisation est le plus souvent induite par le champ électrique, on peut écrire:

où e est la susceptibilité électrique. La susceptibilité représente la facilité avec laquelle le matériau peut devenir polarisé. La susceptibilité peut dépendre de E (non-linéaire).

Diélectriques

Electromagnétisme

39

1 Diélectriques

Electromagnétisme

40

1 Diélectriques

Electromagnétisme

41

1 Diélectriques

Electromagnétisme

42

1 Diélectriques

Electromagnétisme

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1 Diélectriques

Electromagnétisme

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1 Diélectriques

Electromagnétisme

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1 Diélectriques

Electromagnétisme

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1 Diélectriques

Electromagnétisme

47

1 Diélectriques

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48

1 Diélectriques

Electromagnétisme

49

1 Flux magnétique

Electromagnétisme

50

1 Flux magnétique

Electromagnétisme

51

1 Flux magnétique

Electromagnétisme

52

1 Loi de Faraday

Un flux magnétique variable à travers un contour fermé donne naissance à une fém

Mathématiquement :

BEt

ou

. .C

BE SS

dl dt

La compréhension du théorème de Faraday est critique pour la maitrise des machines électriques

Electromagnétisme

53

1 Théorème de Faraday

Electromagnétisme

54

1 Théorème de Faraday

Electromagnétisme

55

1 Exemple

Comment peut on augmenter la fém induite

1- En augmentant la surface enfermée par l’enroulement

2- Réduisant la résistance de l’enroulement

3- Augmentant le tau de variation du flux magnétique

Electromagnétisme

56

1

Actuellement, le flux magnétique peut être constant dans le temps et on peut induire la tension

- C’est le changement de flux qui compte

Si l’enroulement est stationnaire et le flux magnétique varie dans le temps, e est alors connu comme la fém transformateur

Si la bobine est en mouvement et le flux magnétique est constante, alors e est connu comme la fém de mouvement

Electromagnétisme

57

1

Un conducteur se déplaçant dans une zone de flux constante aura la tension induite en fonction de cela:

V la vitesse du conducteur

Fém de mouvement est due à une force agissant sur les électrons libres dans le conducteur qui les déplace vers un côté ou vers l'autre- Plus d'informations sur cette force plus tard

La fém induite total est la somme de la fém de transformateur et fem de mouvement

.C

v Be dl

Electromagnétisme

58

1 Une note de côté ...

L’unité de B est le :

Weber: Le weber est le flux magnétique qui, traversant un circuit d'un tour, va produire dans ce circuit une force électromotrice de 1 volt si elle était réduite à zéro avec un tau de 1seconde

L'examen des unités de tension à partir :

Ce qui donne

2/Wb m

.B de dSt dt

2 2

2 2 3 3

/ /

.

V Wb m s m

Vs WbWb A Vs A VAs JHBm m m m m m

Electromagnétisme

59

1 Actions magnétiques

Electromagnétisme

60

1 Actions magnétiques

Electromagnétisme

61

1 Milieux magnétiques

Electromagnétisme

62

1 Milieux magnétiques

Electromagnétisme

63

1 Milieux magnétiques

Electromagnétisme

64

1 Milieux magnétiques

Electromagnétisme

65

1 Milieux magnétiques

Electromagnétisme

66

1 Milieux magnétiques

Electromagnétisme

67

1

• Dans certains matériaux les dipôles magnétiques dans une région peuvent

être alignés (domaines magnétiques)

• Les domaines sont généralement orientées de manière aléatoire et il n'y a pas

de champ magnétique net

Milieux ferromagnétiques

Electromagnétisme

68

1

• Supposons que nous appliquons un champ magnétique H à la matière

• une densité de flux magnétique est créé à l'intérieur du matériau selon la relation

0 ( )H+MB

Milieux ferromagnétiques

Electromagnétisme

69

1

• Quand H augmente, une partie des dipôles commencent à s’aligner avec H

• densité de flux commence à augmenter à un rythme plus rapide que le champ magnétique appliqué

Milieux ferromagnétiques

Electromagnétisme

70

1

• Pour une valeur de H tous les domaines magnétiques sont dans la direction de H

• Des augmentations supplémentaires de H augmente encore B, mais à un rythme beaucoup plus lent (perméabilité de l'espace libre)

Milieux ferromagnétiques

Electromagnétisme

71

1 Courbe B-H

On suppose que le matériau n est pas aimanté, i=0B=H=0

Que se passe à B et H lorsque I augmente

. . .DH Jt

dl dl dS

H augmente (+)

B augmente (+) 0B= H+J

Electromagnétisme

72

1 Courbe B-H

Pente

Si le matériaux n’est pas magnétique, alors, J=0, alors B et H sont linéairement dépendants

Electromagnétisme

73

1 Courbe B-H

Si les matériaux sont magnétiques, alors J augmente avec H (le matériau devient magnétisée)

B augmente avec un rapport plus grand que

0B= H+J

Electromagnétisme

74

1 Milieux magnétiques

Electromagnétisme

75

1 Milieux magnétiques

Electromagnétisme

76

1 Milieux magnétiques

Electromagnétisme

77

1 Milieux magnétiques

Electromagnétisme

78

1 Milieux magnétiques

Electromagnétisme

79

1 Pertes magnétiques

Les pertes dans les machiines électriques comprennent aussi les pertes magnétiques2 types de pertes magnétiques :- Pertes par hystérisis- Pertes par courant de Faucoult

Electromagnétisme

80

1 Pertes magnétiques

La Durée flux variable dans un circuit magnétique induit une tension dans une bobine, mais aussi dans le matériau qui comprend du circuit magnétique

Le courant induit dans le matériau est connu sous le nom de courants de Foucault, et réduit le rendement de la machine

- Le courant de Foucault génère un courant de chauffage- Le Flux causée par courant de Foucault s’oppose champ magnétique

appliqué, agissant pour démagnétiser le noyau

Courant de Foucault

Electromagnétisme

81

1

• Les courants de Foucault peuvent être réduites par l'introduction d'un matériau isolant mince dans la direction du courant

• Ces tôles sont communs dans les machines

Couche isolante

Pertes magnétiques

Electromagnétisme

82

1

• Les matériaux ferromagnétiques ont une courbe de BH non linéaire

• augmentations de flux magnétique due à l'alignement de domaines magnétiques

• Trois régions distinctes: linéaire, de coude et de la saturationPermeability est faible dans la région saturée, On évite généralement le

fonctionnement ici

• La perte d'énergie associée à la forme de la courbe BH

Pertes magnétiques

Electromagnétisme

83

1

• les équations de Faraday et de Lorentz sont la base de conversion d'énergie électromécanique

-Les deux dépendent de flux ou de la densité de flux

- Comment ces quantités peuvent être calculées pour un arrangement physique donné?

Circuits magnétiques

Electromagnétisme

84

1

• On considère le flux magnétique mis en place par une bobine parcouru en courant continu, i• Courant établit un flux dans le noyau• Soit N spires de conducteurs sur la bobine

Circuits magnétiques

Electromagnétisme

85

1

• Certains flux ne passe pas à travers le noyau- flux de fuite: L- faible par rapport au flux • Fuite flux peut être raisonnablement négligé

Circuits magnétiques

Electromagnétisme

86

1 Circuits magnétiques

Densité de flux magnétique peut ne pas être uniforme dans une section transversale

Section

f

Electromagnétisme

87

1 Circuits magnétiques

• courbures de flux se produit dans des espaces d'air• Chute de la densité de Flux (surface transversale augmente)

Electromagnétisme

88

1

• flux magnétique circule entièrement dans le matériau magnétique (pas de fuite)• la densité de flux magnétique est uniforme sur toute la section transversale du matériau• déformations à travers entrefers est négligeable

Circuits magnétiques

Ces hypothèses sont-ils réalistes?

Electromagnétisme

89

1 Analyse des circuits magnétiques

Electromagnétisme

90

1 Circuits magnétiques

Electromagnétisme

91

1 Circuits magnétiques

Electromagnétisme

92

1

Au niveau de l’entrefer, les lignes de champ sedéforment. On suppose donc que le champ restedans leprolongement de l’entrefer, c’est à dire que lasection de l’entrefer et du circuit magnétiquesont les mêmes

Circuits magnétiques

Electromagnétisme

93

1 Circuits magnétiques

Electromagnétisme

94

1 Circuits magnétiques

Electromagnétisme

95

1 Circuits magnétiques

Electromagnétisme

96

1 Circuits magnétiques

Electromagnétisme

97

1

Ecriture du flux dans le circuit magnétique Le flux est conservatif : il traverse les différentes portions du circuit magnétique dont les caractéristiques dépendent de la géométrie (longueur, section) tel quel’illustre la Figure ci dessousla conservation du flux est traduite par les relations

Circuits magnétiques

Electromagnétisme

98

1

Analogie électrique

Circuits magnétiques

Electromagnétisme

99

1 Circuits magnétiques

Electromagnétisme

100

1

M1M2B

Circuits magnétiques

Electromagnétisme

101

1Association de réluctances

i

1 1PR R

Circuits magnétiques

Electromagnétisme

102

1 Circuits magnétiques

Electromagnétisme

103

1 Circuits magnétiques

Electromagnétisme

104

1 Circuits magnétiques

Electromagnétisme

105

1

A partir de la théorie des circuits :

Auparavant on a montré que pour un circuit AC en état stationnaire

Ldiv Ldt

V IL jLw

Déphasage courant/tension

Circuits magnétiques

Electromagnétisme

106

1 Circuits magnétiques

Soit un courant :

Le flux sera en phase avec le courant (théorème d’Ampère)

Théorème de Faraday

( ) Im.cosi t t

NI

( ) cosmNt I t

2 2

sin cos 90m md N Ne N I t I tdt

oud d di die N N Ldt di dt dt

I

e

Electromagnétisme

107

1 Inductances

Pourquoi les tensions induites et appliquées sont opposées?• On a

diV Ri Ldt

V e Ri

A partir des deux expressions on déduit :

die Ldt

Electromagnétisme

108

1 Inductances

• La réactance inductive XL existe en raison de la loi de Faraday

• L'opérateur j représente le déphasage de 90 degrés entre courant et la tension induite• ω représente la dépendance de la fréquence• L est une description de la façon dont les lien du courant avec le flux à travers la bobine• Nous examinons ensuite l'inductance

LjX j L

Electromagnétisme

109

1 Inductances propres

Inductance liée à la fém par la relation :

Une bobine avec inductance de 1 H aura 1 volt induite dans si le courant change avec un taux de 1 A / S

Si nous connaissons l'inductance, nous ne avons pas besoin de calculer laflux

d d di die N N Ldt di dt dt

Electromagnétisme

110

1

• Considérons deux bobines enroulées autour d'un noyau commun• Soit 1 le flux qui passe à travers la bobine 1 :- il Comprend le flux de fuite (de 1f) et le flux à travers la

noyau qui fait la liaison avec la bobine 2 (21)- Lorsque la bobine 2 ouverte: 1 = 1f + 21

Circuit ouvert

f

Inductances mutuelles

Electromagnétisme

111

1 Inductances mutuelles

Tension induite dans la bobine 1 :

L1 l’inductance propre de la bobine 1

1 11 1 1

d die N Ldt dt

Circuit ouvert

Electromagnétisme

112

1 Inductances mutuelles

Tension induite dans la bobine 2 :

M21 l’inductance mutuelle de la bobine 1 vers 2

21 21 1 12 2 2 21

1

2121 2

1

d d di die N N Mdt di dt dtdM Ndi

Circuit ouvert

Electromagnétisme

113

1

Des expressions similaires peuvent être obtenus dans la bobine 2, si elle estreliée à la source et la bobine 2 est ouverte

2 22 2 2

12 12 2 21 1 1 12

1212 1

2

d die N Ldt dt

d d di die N N Mdt dt dt dtdM Ndi

Inductances mutuelles

Electromagnétisme

114

1 Inductances mutuelles

Nous pouvons écrire:

Soit k1 la fraction du flux de la bobine 1 qui relie la bobine

Soit k2 la fraction du flux de la bobine 2 qui relie la bobine

Soit , on peut écrire

21 1221 12 2 1

1 2

d dM M N Ndi di

die Ldt

21 12 1 2 2 1M M k k N N

Electromagnétisme

115

1

Si le système est linéaire

M l’inductance mutuelle de l’enroulement 1 et 2Et on peut déduire

K coefficient de couplage

21 12M M M

1 2

1 2

M k L Let

k k k

K=1 : bobines étroitement couplées, pas de fuiteK=0 : pas de couplage

Inductances mutuelles

Electromagnétisme

116

1

Le circuit équivalent Les Points de polarité indiquent de quelle manière les bobines sont enroulées.Si le courant pénètre dans un point, il sort par l’autre point s’il est connecté à un circuit passif.

Inductances mutuelles

Electromagnétisme

117

1

Deux bobines identiques sont enrouléssur le même noyau magnétique. Uncourant varie avec un taux de 2,000 A / Sdans la bobine 1 induit une tension de20 V dans la bobine 2. Quel estl'inductance mutuelle?

Inductances mutuelles

Electromagnétisme

118

1

Deux bobines identiques sont enroulés sur le même noyau magnétique. Uncourant varie avec un taux de 2,000 A / S dans la bobine 1 induit une tension de20 V dans la bobine 2. Quel est l'inductance mutuelle?

12 21

21 12

2

1

20 0,012000

die Mdt

M M MeM Hdidt

Inductances mutuelles

Electromagnétisme

119

1

Deux bobines identiques sont enroulés sur le même noyau magnétique. Un courant variant avec un taux de 2,000 A / S dans la bobine 1 induit une tension de 20 V dans la bobine 2. Si L1 = 25mH, avec quel pourcentage du flux mis en place par une bobine 1 la liant avec la bobine 2?

2 1

1 2

25

0,01 100 40%0,025

L L L mH

M k L L kL

k

Inductances mutuelles

Electromagnétisme

120

1 Bobines magnétiquement couplées

• Il est possible de connecter les bobines couplées magnétiquement ensembleen série ou en parallèle• Selon la polarité des bobines peuvent être additives ou soustractives

AdditivesSoustractives

Electromagnétisme

121

1 Bobines magnétiquement couplées

• Pour les bobines additives

1 1 1

2 2 2

1 2 1 2 2

L

L

Leff L L eff

di di diV L M L Mdt dt dtdi di diV L M L Mdt dt dt

di diV V V L L M Ldt dt

avec

1 2 2effL L L M

Electromagnétisme

122

1

Le circuit ci-dessous fonctionne à 50Hz. L'inductance mutuelle M entre les bobines est de 0,6 H. Calculer I.

Electromagnétisme

123

1

1 1,5 2 0,6 3,7

3,7 2 50 1162

0,5 11620, 238 89,98

eff

eff

L H

jX j jZ jI A

Les inductances mutuelles se rajoutent dans les circuits additifs

Le circuit ci-dessous fonctionne à 50Hz. L'inductance mutuelle M entre les bobines est de 0,6 H. Calculer I.

Electromagnétisme

124

1

Refaire l’exemple mais avec un circuit soustractif

Electromagnétisme

125

1

1 1,5 2 0,6 1,3

1,3 2 50 408, 4

0,5 408,40,68 89,93

eff

eff

L HjX j j

Z jI A

Refaire l’exemple mais avec un circuit soustractif

Electromagnétisme

126

1

126

Le circuit magnétique de la Fig. 1.3 consiste en un N-tour d'enroulement sur un noyau magnétique de perméabilité infinie avec deux entrefers parallèles de longueurs e1 et e2 et de surface A1 et A2, respectivement.Trouver l'inductance de l'enroulement la densité de flux dans l’entrefer 1 Bl 1 fente lorsque le bobinage est parcouru par un courant i. Négliger les effets frangeants au niveau de l'entrefer.

aire

aire

Exercice (Série 1)

EXERCICES

e1 e2

Electromagnétisme

127

1

Le circuit magnétique équivalent de la figure montre que la réluctance totale est égale à la combinaison en parallèle de ces deux réluctances d'entrefer. ainsi:

avec

Du circuit équivalent, on peut voir que:

Solution

SOLUTIONS

1e 2e

1e 2e

1e 1e

Electromagnétisme

128

1

Le coefficient de mutuelle inductance peut être négatif si le flux lié est opposée à celle créée par le propre courant positif

Les deux courants produisent des flux de directions égales

Les deux courants produisent des flux de sens opposé

INDUCTANCE

Electromagnétisme

129

1Les flux liés dans les deux bobines sont: les deux contributions au flux de fuite total 1 et 2 et peuvent être calculées comme suit:

L1 est l'inductance propre de la bobine 1; L1I1 est le flux de la bobine 1 due à son propre courant I1

M12 est l'inductance mutuelle entre les bobines 1 et 2; M12I2 est le flux crée par la bobine 2 dans la bobine 1 causé par le ourant I2

L2 est l'inductance propre de la bobine 2; L2I2 est le flux de la bobine 2 due à son propre courant I2

M21 est l'inductance mutuelle entre les bobines 2 et 1; M21I1 est le flux crée par la bobine 1 dans la bobine 2 causé par le courant I1

INDUCTANCE

1 1 1 12 2

2 2 2 21 1

L I M IL I M I

Electromagnétisme

130

1

0 0 0

t t tdW vidt N idt Nd idt

0 0

et B B

noyau

Ni Hl d SdB

W AlHdB V HdB

+

-

v

B

Etude Energétique

0

B

VW W HdBV

Electromagnétisme

131

1

B

H

La courbe de première aimantation

Comportement du matériau lors des différents étapes d’aimantation

Etude Energétique

Electromagnétisme

132

1

B

vW surface

H

0

B

VW W HdBV

Bsurface du cycle

représente les pertes parhystérisis

H

0

3 3 W/m / ou J / m B

hystW HdB cycle Pour les matériaux utilisés dans la fabrication des machines électriques

1 5 2 avec . nhyst hP C fB n

Etude Energétique

Electromagnétisme

133

1

L’énergie stockée dans la champ magnétique

2

0 0 2

B B

VB BW HdB dB

Etude Energétique

Electromagnétisme

134

1

Dans le cas de circuits magnétiques linéaires avec entrefer, la plupart de l'énergie est stockée dans l'entrefer

entrefer

entrefer

Etude Energétique

Electromagnétisme

135

1

l'énergie totale à l'intérieur de circuit magnétique peut être exprimée en fonction de grandeurs intégrales

Pour les inductances couplées

0

2

1 12 21 12 212

=

=

V

Vl S

W BHdV Hdl BdS

NI N I

LI

2 21 1 2 2 1 2

1 12 2VW L I L I MI I

Etude Energétique

Electromagnétisme

136

1

1

0

B

mW HdB 1

0

'H

mW BdH

Energie Coénergie

'm mW W

1B1B

1H1H

Etude Energétique

Electromagnétisme

137

1

Energie stockée dans les inductances

0 0 0 0

t t t

S electriquedW P dt vidt i dt i ddt

Pour un circuit linéaire

iL

Energie stockée

2

0 2SW dL L

Etude Energétique

Electromagnétisme

138

1

,S s sdW r W Wd drdt dt r dt

On a aussi ,

.

= .

SdW r drv i Fdt dt

di drL i Fdt dt

En comparant on trouve : SdWFdr

Etude Energétique

Electromagnétisme

139

1

L’énergie et la coénergy peuvent être utilisées pour calculer la force / couple agissant sur les pièces en mouvement à l'aide du principe des travaux virtuels

'm mW WFx x

Mouvement linéaire : Force

Mouvement rotationnel : Couple'm mW WC

Etude Energétique

Electromagnétisme

140

1

Le flux magnétique statique peut être créé par:

- enroulements parcourus par un courant d'excitation continu(DC)

- aimants permanents

Les aimants permanents sont généralement plus compact que les enroulements

et leur utilisation ne créent pas de pertes par effet Joule

Dans un circuit magnétique, il est nécessaire de trouver le

point de fonctionnement (Hm, Bm) de l'aimant et son volume

pour obtenir un flux donné

Aimants permanents

Electromagnétisme

141

1

calcul du flux créé par un aimant permanent

Théorème d’Ampère

Conservationd e flux

Comme première approximation, le champ magnétique dans le fer peut être approximé par 0.

0

0m m e e Fe FeH l H l H l

m m e eB S B S

0 1 FeFe Fe

Fe

BH

aBaH

eB

eH

m

al

;e eS lentrefer

Aimant permanent

Aimants permanents

Electromagnétisme

142

1

Dans l’entrefer : 0

ee

BH

0 0

0..

e m mm m e m m e

e

B B SH l l H l lS

0 ..

m em m

e m

l SB Hl S

L’équation de la droite de charge

La pente : 0 .

m m e

m e m

B l StgH l S

Le point d'intersection de cette droite avec la courbe de désaimantation du matériau aaimant définit le point de fonctionnement

Aimants permanents

Electromagnétisme

143

1

CH

rH

0 ..

m em m

e m

l SB Hl S

Aimants permanents

Electromagnétisme

144

1

En pratique, le flux utile dans l'entrefer principal ne représente qu'unefraction du flux créé par l'aimant. Le reste passe entre les piècespolaires, sous forme de flux de fuites. On prend en compte ces fuitesen écrivant l‘équation de conservation du flux sous la forme :

est le coefficient de fuite du circuit magnétique. Ce coefficient estsouvent de l'ordre de 2 a 5, ce qui signifie que le flux réellementutilisé n'est que la moitie ou le cinquième du flux créé par l'aimant.

m m e eB S B S

Aimants permanents

Electromagnétisme

145

1

Fonctionnements statique et dynamique d'un aimant permanent

1pente Droite decharge

rB

B

CH 0

P

Fonctionnements dynamiques possibles d'un aimant

Droite decharge

rB

B

CH 0

P

Q

Dans le cas d'un circuit à géométrie variable

Aimants permanents

Electromagnétisme

146

1

0m m e eH l H l m m e eH l H l Le signe – reveèle que le champ d'excitation est négatif dans l'aimant: c'est un champdémagnétisant (seule la partie H < 0 du cycle du matériau dur est utile).

0 /m m e e

m m e m m e

H l H lB H S l S l

0

/me m m e

m

Btg S l S lH

est fonction des dimensions relatives de l'aimant et de l'entrefer.

Aimants permanents

Electromagnétisme

147

1

Or, dans le système idéalisé considéré ici, le champ H a l'extérieur de l'aimant n'a une valeur non nulle que dans l'entrefer

Le produit (BH) des modules des champs B et H dans 1'aimant est appelé produiténergétique.

rB

B

CH 0

mP

45°

Point de fonctionnement correspondant au (BH)max dans un matériau a aimant idéal

0rB B H

Aimants permanents

Electromagnétisme

148

1

0rB B H

le point de fonctionnement Pm, pour lequel (BH) = (BH)max, correspond au milieu de ce segment c'est-a-dire à

0 2rBB H

2 2 2

0 0 04 2 4max. r r rB B BB H

qui est l'air du rectangle

tracé à partir de Pm

Aimants permanents

Electromagnétisme

149

1

m mm m C m m c m m m m

m m m

B lH l H l H l R FS

mB

mS

ml

CH mH

rB

B

H

mR

mF

m mH l

-

+

+-

m

Aimants permanents

Electromagnétisme

150

1

Le rapport de la fmm dans l'aimant et l'entrefer est égale à -1: le champ

magnétique de l'aimant permanent Hm a un signe opposé par rapport à H

La densité de flux magnétique est inversement proportionnelle à la

longueur de l'entrefer

Pour augmenter la densité de flux magnétique dans l’entrefer, des valeurs

élevées du champ coercitif et de l'épaisseur de l'aimant sont indispensables

Aimants permanents

Electromagnétisme

151

1

151

le volume de l'aimant permanent

Afin de réduire le volume de l'aimant, le produit Hm ⋅ Bm doit être maximisée

2

0

..

e e e e e em m m

m m m m

B S H l B VV S lB H H B

Aimants permanents

Electromagnétisme

152

1

le point de l'exploitation maximale du matériau est celui où Hm ⋅ Bm est maximale

Cst

Point de fonctionnement maximal

Aimants permanents

Electromagnétisme

153

1 CIRCUITS MAGNETIQUES AVEC AIMANT PERMANENT

Electromagnétisme

154

1

Aimant permanent

Circuit magnétiq

ue

Entrefer

Donc une aimantation permanente est équivalent à une source de fmm de valeur F0 en série avec une reluctance interne ℜm

Différence de potentiel magnétique à l’entrefer

CIRCUITS MAGNETIQUES AVEC AIMANT PERMANENT

Electromagnétisme

155

1

0.. .r m

e m c mm

B l H l F

,m mS lN

S

mR

0F+

A

B

ABVeR

entrefer

Donc une aimantation permanente est équivalent à une source de fmm de valeur F0 en série avec une reluctance interne ℜm

Différence de potentiel magnétique à l’entrefer0. .AB e mV F

Electromagnétisme

156

1

En utilisant des caractéristiques de Alnico 5 , trouver le volume magnétique minimum requis pour atteindre une densité de flux dans l'entrefer de valeur 0,8 T

CIRCUITS MAGNETIQUES AVEC AIMANT PERMANENT

,m mS lN

S

Alnico

0 2.e cm22eS cm

Electromagnétisme

157

1

Le volume le plus faible de l'aimant sera atteint lorsque l'aimant fonctionne à son point de produit énergétique maximum. A ce point de fonctionnement, Bm = 1,0 T et Hm -40 kA / m.

Ainsi, le volume minimum de l'aimant est égale à:

CIRCUITS MAGNETIQUES AVEC AIMANT PERMANENT

20 82 1 61 0

. ..

em e

m

BS S cmB

0

7 3

0 80 2 3 184 10 40 10

.. .

e em

m m

H Bl e eH H

cm

31 6 3 18 5 09. . .m m mV S l cm

Electromagnétisme

158

1

Les matériaux ferromagnétiques sont utilisés pour façonner le chemin de flux magnétique

en raison des valeurs élevées de la perméabilité, en première approximation, les circuits magnétiques peuvent être considérés comme des tubes de flux

Les circuits magnétiques sont généralement non linéaires

ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE

Electromagnétisme

159

1

La performance de la plupart des dispositifs électromécaniques d'énergie de

conversion construits de structures de déformation non rigide est généralement

déterminée par la force nette, ou le couple, agissant sur l'élément mobile

Il est rarement nécessaire de calculer les détails de la contribution de la force

interne

Diverses techniques ont évolué pour calculer les forces nettes d'intérêt dans le

processus électromécanique-conversion d'énergie.

Bien entendu dans ce procédé de l'énergie sera utilisée et est basée sur le

principe de conservation de l'énergie

ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE

Electromagnétisme

160

1

L'interaction entre les bornes électriques et mécaniques, à savoir la

conversion d'énergie électromécanique, se produit par l'intermédiaire de

l'énergie stockée magnétique.

Le principe de la conservation de l'énergie appliquée à des systèmes isolés

avec des limites clairement identifiables, nous permet de garder une trace de

l'énergie d'une manière simple: le flux net d'énergie dans le système à travers

sa frontière est égal à la somme du taux de temps de changement de l'énergie

emmagasinée dans le système.

ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE

Electromagnétisme

161

1 Exercice 1

Ce rotor présente deux bobines, il est placé dans un champ

magnétique uniforme de grandeur B0. Les côtés de la bobine

sont de rayon R et sont uniformément espacées autour de la

surface du rotor. La première bobine est parcourue par un

courant I1 et le second I2.

En supposant que le rotor est de 0,3 m de long, R=0,13 m et

B0 = 0.85T, trouver le couple en fonction de d'un rotor de (a)

I1 = 0A et I2 = 5A, (b) I1 = 5A et I2 = 0A, (c) I1 = I2 = 8A

Courant entrant

Courant sortant

Courant entrant

Courant sortant

Electromagnétisme

162

1

pour un fil parcouru par un courant I entrant dans le papier, la force dans la direction est donnée par

Et pour le fil 2 (2eme fil de la spire) avec un courant dans le sens opposé

Le couple est la somme des moments des forces produit par chaque fil

Pour les deux fils :

Solution

SOLUTION

Electromagnétisme

163

1 Exercice 2

La structure magnétique d'une machine synchrone est rapportée ici . En supposant que le rotor et le

stator ont une perméabilité infinie, calculer l'énergie magnétique stockée. Données: I = 10A, N = 1000

tours, g = 1 cm, Ag = 2000cm2.

Electromagnétisme

164

1

Calcul de l’inductance

Ainsi

Notez qu'il existe deux entrefers en série, de 2g de longueur totale, et que, par symétrie, la densité de flux dans chacun est égal. la perméabilité de fer ici est supposée infinie, sa reluctance est négligeable

= =

Solution

Electromagnétisme

165

1

Une bobine a une inductance déduite expérimentalement par la relation

avec L0 = 30mH, x0 = 0.87mm, et x est le déplacement d'un élément mobile. Sa résistance d'enroulement est mesurée et égale à 110mΩ.

Le déplacement x est maintenu constant à 0,90 mm, et le courant est augmenté de 0 à 6A. Trouver l'énergie stockée magnétique résultant dans l'inductance.

Le courant est ensuite maintenue constante au 6A, et le déplacement est augmentée de 1,8 mm. Trouver le changement correspondant dans l'énergie stockée magnétique.

Exercice 3

Electromagnétisme

166

1

Pour

Ainsi

Et ainsi pour

Et ainsi pour

Solution

x=1.8mm

Electromagnétisme

167

1

Comme représenté sur la figure un électro-aimant à N spires (N = 450) doit être utilisé pour soulever une plaque de fer de masse M. La rugosité de la surface du fer est telle que lorsque le fer et l'électro-aimant sont en contact, il y a une épaisseur minimale de l’entrefer gmin = 0,18 mm de chaque coté. La surface de la section transversale de l’électroaimant Ac = 32cm2 et la résistance de la bobine est 2.8Ω. Calculer la tension minimale à appliquer à la bobine pour soulever une masse de 95 kg.

Exercice 4

Electromagnétisme

168

1

L’inductance de la bobine est égale à ainsi la force de appliquée par l’électroaimant

2= =

Le signe moins indique que la force agit dans le sens pour réduire l’épaisseur de l’entrefer et soulever ainsi la partie mobile. La force nécessaire est égale à 931N. Ainsi pour un entrefer minimal de gmin et pour un cournant i

et

Solution

Electromagnétisme

169

1

Les deux enroulement du circuit magnétique considéré ici comporte un enroulement sur une culasse fixe et un deuxième enroulement sur un élément mobile. L'élément mobile est contraint à un mouvement tel que les longueurs des deux entrefers restent égaux

1- Trouver l’inductances propres des enroulements 1 et 22- Calculer l’inductance mutuelle 3- Calculer la coénergie4- Trouver l’expression de la force exercée sur la partie mobile en fonction des courants des enroulements

Exercice 5

Electromagnétisme

170

1

1-

2-

3-

4-

Exercice 5

Electromagnétisme

171

1

a L

Soit un barreau cylindrique constitué d’un matériau ferromagnétique de résistivité , soumis à un champ sinusoïdal de fréquence f. Les dimensions, illustrées sur la figure ci contre, sont telles qu’on peut considérer .

Déterminer, par unité de volume, les pertes par courant de Foucault de ce matériau, en fonction de et de a, ainsi que la fréquence et de la valeur crête de l’induction

dr

r

B sinusoidal

L

a

Electromagnétisme

172

1

Un circuit magnétique est alimenté par un courant supposé parfaitement sinusoïdal de fréquence f. Les pertes actives totales dans le fer sont supposées proportionnelles au carré de l’induction et ont pour valeur , B étant la valeur efficace de l’induction.D’autre part, le flux de fuite est évalué à 8% du flux principal créé dans le fer , et la résistance totale du fil est de 5 .Déterminer la reluctance du circuit magnétique puis l’inductance principale LDéterminer la fém induite associée si on veut obtenir une induction efficace de 1,2T dans le fer. En déduire la résistance équivalente aux pertes fer, puis les éléments de la branche magnétisante illustrant le bilan énergétique du noyauQuelle tension d’entrée doit on alors appliquer au circuit magnétique pour maintenir une induction à 1,2TQuelle est la nouvelle tension à appliquer si cette fois le courant est continu. Conclusion ?On donne : Nombre de spires : n=250, Longueur moyenne du circuit magnétique : Section du fer : , Perméabilité relative du fer :

50ml cm220S cm 500r

260.p B W

Exercice 2

Electromagnétisme

173

1 PRINCIPES DE FONCTIONNEMENT D'UN AIMANT PERMANENT

rB

CHH

B

La mise en service d'un aimant permanent se fait par I'intermediaire d'un circuit magnetique. Schematiquement un tel circuit est compose de deux parties :- une partie, faite d'un materiau ferromagnetique doux (en general a base de fer), qui

canalise le flux (pieces polaires).- une partie logée entre les pièces polaires, faite de vide, d'air, d'eau ou de toute

autre substance non magnétique, qui constitue les entrefers.

L'entrefer principal est une espace ou est généré le flux utile.

Electromagnétisme

174

1

aBaH

eB

eH

m

al

La ligne de champ moyenne se divise en trois parties. Sa longueur totale I est: I - la + If + le, En fonctionnement normal, l’aimant génère une induction magnétique, dont le flux est canalisé par le circuit. L'intensité de est constante le long de la boucle fermée (loi de conservation du flux). Dans chacun des éléments du circuit, on peut écrire :

m

m

(dans l'aimant de section Sa)

(dans les pièces polaires de section Sf)

(au sein de l'entrefer, de section Se).

m a aB S

m f fB S

m e eB S

0a a f f e eH l H I H l Th. D’Ampère

PRINCIPES DE FONCTIONNEMENT D'UN AIMANT PERMANENT

Electromagnétisme

175

1

Si le circuit n’est pas saturé, est très élevée et Hf peut être négligé ainsi : r 0a a e eH l H l

Soit : e e a aH l H l

Le signe - revèle que le champ d'excitation est négatif dans l'aimant: c'est un champdémagnetisant (seule la partie H < 0 du cycle du matériau dur est utile).

PRINCIPES DE FONCTIONNEMENT D'UN AIMANT PERMANENT