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Carteiras de Variância Mínima no Brasil
Alexandre Rubesam1 e André Lomonaco Beltrame
Resumo
Neste trabalho, investigamos carteiras de variância mínima no mercado de ações brasileiro,
comparando-as com os seguintes benchmarks: (i) o índice IBOVESPA, (ii) uma carteira
igualmente ponderada, (iii) uma carteira formada através da maximização da razão de Sharpe
e (iv) uma carteira formada através da maximização da média geométrica dos retornos. Os
resultados mostram que a carteira de variância mínima apresenta retornos maiores, e
volatilidades menores, do que todos benchmarks. Também avaliamos o desempenho de uma
carteira de variância mínima com alavancagem, do tipo 130/30, com resultados análogos. A
carteira de variância mínima concentra os investimentos em um número pequeno de ações,
com �s baixos em relação ao IBOVESPA, sendo facilmente replicáveis por investidores
individuais ou institucionais.
Palavras-chave: otimização de carteiras, carteiras de variância mínima, alocação de ativos,
gestão quantitativa.
Códigos JEL: C61, G11, G15
Abstract
We investigate minimum variance portfolios in the Brazilian equity market and compare their
performance to those of the following benchmarks: (i) the IBOVESPA equity index, (ii) an
equally-weighted portfolio, (iii) the maximum Sharpe ratio portfolio and (iv) the maximum
growth portfolio. Our results show that the minimum variance portfolio has higher returns,
with lower risk, compared to the benchmarks. We also consider long-short 130/30 minimum
variance portfolios and obtain similar results. The minimum variance portfolio invests in
relatively few stocks with low �s measured with respect to the IBOVESPA index, being
easily replicable by individual and institutional investors alike.
Keywords: portfolio optimization, minimum variance portfolios, asset allocation,
quantitative asset management, shrinkage.
1. Introdução
1Email de contato: alexandre.rubesam@gmail.com.
2
O trabalho de Markowitz (1952, 1959) teve uma grande influência na maneira como a relação
entre o risco e o retorno dos ativos é pensada em Finanças. Quando as preferências dos
investidores dependem apenas da média e da variância dos retornos dos ativos, os
investidores devem formar carteiras na fronteira eficiente, que contém as carteiras com o
maior retorno médio por unidade de risco. Formalmente, dado um universo de � ativos de
risco com retornos médios � = ��� ⋯ �′ e matriz de covariância �, o problema de
Markowitz consiste em encontrar o vetor de pesos ou alocações em cada ação
= ��� ⋯ �′, solução do problema abaixo para um nível de retorno médio desejado �̅:
min ′� sujeitoa � �� = 1e �� = �̅� . A solução deste problema para vários níveis de retorno esperado gera a fronteira
eficiente. Para implementar uma carteira eficiente na prática, é preciso estimar as
covariâncias entre os ativos, além de seus retornos médios. Entretanto, o erro de estimação,
principalmente dos retornos médios, possui um grande impacto ne escolha dos pesos (ver
Merton (1980)), o que faz com elas tenham um desempenho ruim nos períodos
subsequentes2. Logo, quando o investidor não possui um método preciso para estimar o
retorno médio futuro dos ativos (por exemplo, se ele baseia-se em médias históricas de
retornos passados), pode ser preferível ignorar completamente as médias e focar na estimação
da matriz de covariância, conforme sugerido por Jagannathan e Ma (2003). Neste caso, a
única carteira na fronteira eficiente que pode ser determinada é a carteira de variância mínima
global, o ponto mais à esquerda da fronteira eficiente. Chamaremos esta carteira
simplesmente de Carteira de Variância Mínima ou CVM.
2Ver por exemplo Best (1991) e Michaud (1989).
3
Paradoxalmente, vários estudos empíricos sugerem que a CVM produz, fora da
amostra3, retornos ajustados a risco superiores à outras carteiras baseadas no paradigma
média-variância de Markowitz. Por exemplo, Jagannathan e Ma (2003) mostram que uma
CVM formada com ativos globais tem desempenho (fora da amostra) melhor do que o de
carteiras eficientes obtidas com médias históricas de retorno. Jorion (1985, 1991) demonstra a
superioridade de CVMs formadas com índices internacionais e índices de setores industriais.
Clark, De Silva e Thorley (2006) derivam resultados analíticos para os pesos da CVM sob um
modelo de precificação com apenas um fator, o retorno do mercado. Os autores demonstram
que, sob este modelo, a minimização da variância impõe um limite no � máximo das ações
da CVM, e interpretam que a superioridade da CVM é uma manifestação da fraca dispersão
entre � e retorno, observada empiricamente (por exemplo, por Fama e French (1992)). Os
autores confirmam empiricamente que a CVM domina a carteira de mercado (definida como
a carteira com as 1000 maiores ações do mercado estadunidense, com pesos proporcionais à
capitalização).
Outros trabalhos estudam diretamente a relação entre o risco e retorno das ações. Por
exemplo, Ang et al (2006) documentam uma relação inversamente proporcional entre
volatilidade idiossincrática e alfa, enquanto Blitz e van Vliett (2007) documentam o “efeito
de volatilidade”: uma carteira long-short comprada em ações de baixa volatilidade e vendida
em ações de alta volatilidade produz um retorno estatisticamente significante e que não é
explicado por fatores comumente usados nos modelos de precificação.
3Usamos o termo “fora-da-amostra” para indicar que um resultado é obtido em um período subsequente ao
de formação da carteira, ou seja, usando dados posteriores aos usados na estimação. Por exemplo, se uma
carteira é formada usando as séries de retornos históricos do ano 2000, e o desempenho da carteira é
calculado para o ano 2001, este resultado é fora-da-amostra. Caso avaliemos o resultado no próprio ano de
2000, este resultado será “dentro-da-amostra”. A distinção é essencial; os resultados obtidos fora da amostra
são relevantes para balizar escolhas de investimento na prática, pois representam resultados, que a princípio,
poderiam ter sido produzidos na realidade.
4
No mercado brasileiro, temos o trabalho de Thomé e Leal (2010), que avaliam o
desempenho de carteiras de variância mínima formadas com as ações do índice IBOVESPA,
e concluem que, se for imposto um limite de alocação máximo por ação de 10%, a carteira de
variância mínima apresenta retornos estatisticamente superiores aos do índice IBOVESPA,
porém não aos de uma estratégia de investimento ainda mais simples, que consiste em formar
carteiras igualmente ponderada dos ativos.
Do ponto de vista teórico, a ausência de uma relação positiva entre volatilidade e
retorno é um problema sério para os modelos de precificação usuais, assim como a existência
de anomalias como o efeito de tamanho, valor, momento e outras4. Falkenstein (2009) levanta
o ponto de que, como os modelos baseados na Teoria de Precificação por Arbitragem (APT)
ou na Teoria de Fatores de Desconto Estocásticos não especificam quais são os fatores de
risco, é difícil criticar a proposição de que alguma medida de risco não seja positivamente
correlacionada com retornos esperados. No entanto, é razoável presumir que tal risco
precificado seja correlacionado positivamente com a volatilidade, já que os modelos são, de
maneira crua, baseados na suposição de que investidores não gostam de volatilidade na sua
riqueza futura.
Além de por em dúvida a relação racional esperada entre risco e retorno, resultados
empíricos como os citados acima possuem implicações práticas profundas. Por exemplo,
fundos de pensão supõe um prêmio de risco para o mercado de ações que pode ser muito
menor do que o esperado, nulo ou até negativo. Do ponto de vista de gestão de recursos,
4O efeito de tamanho consiste no retorno anormal (em relação ao CAPM) de empresas pequenas, ou seja, de
baixa capitalização em relação à empresas grandes, e foi inicialmente identificado por Banz (1981). O efeito de
valor consiste no retorno anormal (em relação ao CAPM) obtido por empresas com múltiplos de valoração (por
exemplo, a razão valor patrimonial por preço de mercado) altos em relação à empresas com múltiplos de
valoração baixos, e foi inicialmente reportado por Basu (1977). O efeito de momento, identificado por
Jegadeesh e Titman (1993) consiste na continuação dos movimentos dos preços em intervalos de alguns meses
até um ano. Ações com maiores retornos (ganhadoras) nestes períodos tendem a continuar ganhando no
curto prazo, enquanto ações com os menores retornos (perdedoras) tendem a continuar perdendo. Existem
muitas outras anomalias empíricas, ver Fama e French (2008).
5
estes resultados sugerem uma maneira simples e eficaz de obter retornos superiores aos de
bechmarks de mercado.
Neste artigo, reavaliamos as carteiras de variância mínima no mercado brasileiro. O
nosso trabalho difere do de Thomé e Leal (2010) tanto na forma quanto nos resultados. Na
forma, pois consideramos um universo mais abrangente de ações, e comparamos o
desempenho da CVM com o de outros benchmarks além do IBOVESPA e da carteira
igualmente ponderada, a saber: (i) carteiras formadas através da maximização da razão de
Sharpe e (ii) carteiras formadas através da maximização da média geométrica (ver Estrada
(2009)). Além disso, consideramos também carteiras alavancadas do tipo 130/30, que
permitem alavancagem com posições vendidas5. Nossos resultados mostram que as CVMs
obtidas possuem desempenho superior à todos os benchmarks considerados, incluindo a
carteira igualmente ponderada. Esta observação corrobora resultados anteriores em mercados
desenvolvidos e proporciona importantes implicações.
O restante deste trabalho está organizado da seguinte maneira. Os dados e
metodologia estão explicados na Seção 2. A Seção 3 contém os resultados empíricos. A
Seção 4 apresenta uma discussão dos resultados, e a Seção 5 contém as conclusões.
2. Dados e Metodologia de Construção de Carteiras
2.1. Dados
Os dados utilizados neste trabalho dizem respeito a todas as ações negociadas no mercado de
ações brasileiro, no período de junho de 1998 a junho de 2011, disponíveis na base de dados
da Economática. Os dados consistem nos preços de fechamento e volumes negociados das
ações, diariamente, além da série diária do índice IBOVESPA e do CDI. A base contém
5 Uma carteira 130/30 permite posições compradas e vendidas, possuindo até 30% de exposição na ponta
vendida, com até 130% de exposição na ponta comprada.
6
ações de empresas que deixaram de ser negociadas ou que mudaram de código. Estas ações
são utilizadas até o dia em que há registros dos seus preços, para minimizar o viés de
sobrevivência.
2.2. Metodologias de Formação das Carteiras
2.2.1. Carteira de Variância Mínima (CVM)
Dado um universo de � ativos e uma carteira representada por pesos ou alocações
= ��1 ⋯ �′ , a CVM é a solução do problema
min ′� sujeitoa � �� = 1�!� , (1)
onde � é a matriz de covariância dos ativos. Na formulação acima, a CVM é a solução de um
problema de otimização irrestrita, no sentido de que os pesos �� estão livres para assumir
quaisquer valores, positivos ou negativos, desde que sua soma seja igual a 1, ou seja, a
carteira seja totalmente investida. Uma restrição adicional comum nos trabalhos sobre CVMs
é a de que não hajam posições vendidas, ou seja, �� ≥ 0∀&. Jagannathan e Ma (2003)
mostram que, ao restringir posições vendidas, o problema resultante, com � estimada pela
matriz de covariância amostral, pode ser interpretado como a solução do problema de
otimização irrestrito (1), com uma matriz de covariância alterada. Essa alteração é
interpretada como um método indireto de shrinkage da matriz de covariância amostral, e os
autores argumentam que a imposição das restrições é benéfica, já que permite o uso direto da
matriz de covariância amostral, com resultados tão bons quanto se fossem utilizados
estimadores mais sofisticados e robustos.
7
2.2.2. Carteira que maximiza a razão de Sharpe (CRS)
Uma alternativa à CVM é a carteira que maximiza a razão de Sharpe, ou seja, a
carteira obtida no ponto de tangência à fronteira eficiente. A razão de Sharpe de uma carteira
' é definida como () = *�+ − �-. /+0 , onde �+ é o retorno médio da carteira, �- é o retorno
do ativo livre de risco e /+ é a volatilidade da carteira. A carteira que maximiza a razão de
Sharpe produz, em teoria, a melhor relação risco-retorno, se o risco for definido como a
volatilidade. A CRS é a solução do seguinte problema de otimização:
max ′�
√ ′� sujeitoa � �� = 1�!� , (2)
onde � = ��� ⋯ �′ é o vetor de retornos médios.
2.2.3. Carteira que maximiza a média geométrica dos retornos (CMG)
A maximização da média geométrica parte do pressuposto de que o investidor deseja
maximizar o crescimento do capital investido, com o objetivo único de maximizar sua
riqueza terminal. Esta filosofia de investimento tem como origem o trabalho de Kelly (1956),
que avaliou estratégias ótimas no contexto de um apostador com informações privadas acerca
da probabilidade de ganho em um jogo de apostas. Estrada (2009) avalia empiricamente o
critério de maximização da média geométrica, comparando-o com a maximização da razão de
Sharpe, e conclui que ele é um critério de formação de carteira útil e tão razoável quanto o de
média-variância, mas que parece ser pouco utilizado na prática. Mais detalhes acerca deste
assunto podem ser obtidos em Christensen (2005) e Estrada (2009). A seguir damos uma
breve explicação sobre como obter carteiras que maximizam a média geométrica dos
retornos.
O retorno geométrico médio de uma carteira, calculado com uma amostra de 3
retornos 4�+,565!�7
, é definido pela expressão
8
1 + )+ = 9: *1 + �+,5.75!� ;
� 70 . Tomando logaritmo dos dois lados e aplicando a expansão de Taylor, é possível mostrar que
a maximização da expressão acima é equivalente ao seguinte problema de otimização (ver
Estrada (2009))
max <ln�1 + ′� − ′� 2�1 + ′�?@ sujeitoa � �� = 1
�!� . (3)
2.2.4. Carteira igualmente ponderada (CIP)
A carteira igualmente ponderada possui pesos iguais para todas as ações. Se há �
ações disponíveis, os pesos que definem a CIP são dados por:
�� = 1� ∀&. (4)
2.2.5. Restrições
Os problemas de otimização (1), (2) e (3) acima apresentam apenas a restrição de que
as carteiras sejam totalmente investidas, ou seja, de que a soma dos pesos seja igual a 1. Na
prática, os investidores sempre resolvem um problema de otimização com restrições, devido à
inúmero fatores, que incluem desde a dificuldade ou custo de manter posições vendidas até
restrições de mandato e risco.
Neste trabalho, consideramos dois conjuntos de restrições diferentes quando
resolvemos os problemas de otimização. Para os nossos resultados principais, consideramos
apenas carteiras com posições compradas, e restringimos os pesos da ações à um máximo de
15%. Isto pode ser denotado como
0 ≤ �� ≤ 0,15∀&, � �� = 1�!� . (5)
O limite de 15% por ação, apesar de arbitrário, é uma escolha razoável na prática.
9
Uma segunda possibilidade é permitir alavancagem na carteira, com posições
vendidas financiando as posições compradas. Neste trabalho consideramos carteiras do tipo
130/30, que permitem posições compradas de até 130% do capital do investidor,
conjuntamente com posições vendidas de até 30%. Para qualquer um dos problemas de
otimização (1), (2), ou (3), as restrições para obter carteiras 130/30 são dadas por
� �� = 1�!� ,� |��| ≤ D
�!� , − 0,15 ≤ �� ≤ 0,15∀&, (6)
onde D = 1,6 (ver, por exemplo, DeMiguel et al (2009)).
É importante ressaltar que, com a inclusão de posições vendidas, os resultados podem
ser afetados pelas condições do mercado de aluguéis de ações. A dificuldade ou inexistência
de aluguel de algumas ações é um fator importante. Na prática, os investidores consultam
vários fontes, como corretoras e a CBLC6, para verificar se é possível alugar uma ação, e a
qual taxa (as taxas variam diariamente). Dada a falta de um banco de dados com históricos de
taxas de aluguel, é impossível saber se uma determinada posição short seria factível na
prática em uma certa data, e a qual taxa. Por este motivo, os resultados das carteiras
alavancadas deve ser considerado com cautela.
2.3. Estimação da matriz de covariância
Na prática, a matriz de variância-covariância dos ativos, �, é desconhecida, e precisa
ser estimada. O método estatístico tradicional consiste em calcular a matriz de covariância
amostral usando as séries temporais dos retornos dos ativos em um período recente. Neste
trabalho, seguimos esta abordagem, e estimamos a matriz de covariância através do seu
estimador amostral usual com dados de retorno diários, ou seja, dada uma amostra com F
retornos diários de cada ação, a covariância entre as ações & e G é estimada por
6 Companhia Brasileira de Liquidação e Custódia, a qual regula o mercado de aluguel ou empréstimo de ações
no Brasil.
10
Σ�H = 1F �*��,5 − �̅�.*�H,5 − �̅H.
7
5!�,
onde ��,5 é o retorno da ação & no dia 3.
Além do estimador tradicional, testamos também uma alternativa de estimação
robusta da matriz de covariância, a saber o método de shrinkage da matriz de covariância
amostral proposto por Ledoit e Wolf (2004). Porém, como os resultados não foram
qualitativamente diferentes, e não observamos problemas no comportamento da matriz
estimada através do método tradicional, reportamos apenas os resultados com este estimador.
É interessante ressaltar que, apesar de nos referirmos a CVM como um carteira única,
na prática ela dependerá do modelo de risco e/ou método de estimação da matriz �.
2.4. Processo de simulação (backtesting)
Descreveremos a seguir o processo de simulação (backtest) utilizado para medir o
desempenho das carteiras no período de janeiro de 2001 a maio de 2011. No início de cada
mês, a matriz de covariância � e o vetor de retornos médios � são estimados pelo método
tradicional, utilizando os últimos três anos de dados diários (ou o maior período disponível).
Para obter a CVM, a CRS e a CMG, são solucionados os problema de otimização (1), (2) e
(3), utilizando um programa de otimização. Também é construída a CIP através da relação
(4). Desta maneira, são obtidos os vetores de pesos das carteiras, os quais definem as carteiras
vigentes para o próximo mês, ou seja, o rebalanceamento da carteira é feito mensalmente. Por
exemplo, a carteira vigente para o mês de janeiro de 2003 é obtida usando-se os dados de
janeiro de 2000 até dezembro de 2002. Foram consideradas elegíveis para um dado mês as
ações com cotações em pelo menos 75% dos dias no período de estimação, e volume
mediano positivo no período. Para verificar o impacto do limite máximo por ação, testamos
também carteiras com pesos máximos (em módulo) de 10%, 30% e 100%.
11
Um fator importante ao analisar o desempenho das carteiras são os custos envolvidos.
Foi considerado um fator único de custo, para levar em consideração a diferença de preço
entre as ofertas de compra e venda (bid-ask spread), corretagem e, quando adequado, custo
de aluguel. Foi considerado o valor de 0,0005 ou 0,05% para o custo de corretagem, o que é
razoável para um investidor institucional, e de 0,001 ou 0,10% para o valor do bid-ask
spread. O custo de aluguel é estipulado em 3% a.a., um valor conservador7. Assim o custo
total de uma operação de compra é igual a 0,0005+0,001 = 0,0015 ou 0,15%, enquanto o
custo anual de uma posição de R$1 vendido é de R$0,05.
Para estimar o custo anual médio de uma determinada carteira, primeiro calculamos o
giro mensal médio da carteira como a porcentagem média da carteira (em termos financeiros)
que é rebalanceada a cada mês. A seguir, aplicamos o fator de custo acima, multiplicado pelo
número de vezes em que ocorreu o rebalanceamento, e dividimos pelo número total de meses.
O benchmark de mercado escolhido para comparar as carteiras foi o índice
IBOVESPA, que inclui as maiores e mais líquidas ações do mercado brasileiro. Apesar de, a
priori, não existir motivo para o IBOVESPA representar uma carteira eficiente, ele é
frequentemente utilizado como carteira de mercado em estudos financeiros e é o principal
índice utilizado para medir o desempenho do mercado acionário brasileiro.
7Ver Caldeira e Portugal (2010), especialmente Tabelas 7 e 8.
12
3. Resultados Empíricos
3.1. Carteiras Long-Only
A Tabela 1 sumariza os resultados obtidos para carteiras totalmente investidas, com a
restrição de que os pesos das ações sejam positivos (carteiras long-only) e inferiores a 15%
(ou seja, as restrições descritas em (5)). O primeiro fato que chama a atenção é que a CVM
apresenta retornos anualizados muito superiores ao das demais carteiras. O retorno
anualizado líquido da CVM é aproximadamente 27,42%, enquanto o retorno anualizado do
IBOVESPA é da ordem de 14,22% no período. Em comparação com os demais critérios de
formação de carteiras, notamos que a carteira igualmente ponderada (CIP) apresenta também
um bom resultado, conforme esperado, com um retorno anualizado próximo de 20%. As
carteiras formadas através da maximização da razão de Sharpe (CRS) e da média geométrica
(CMG) apresentam retornos menores, de 18,99% e 14.43%, respectivamente. Nota-se que a
CMG, apesar de ser construída para maximizar o retorno médio, não é bem sucedida fora da
amostra.
Além de apresentar retorno anualizado superior aos das demais carteiras, a CVM
apresenta um risco menor: sua volatilidade anualizada no período foi de 19,36%, enquanto o
IBOVESPA apresentou volatilidade de 30,63%. A CRS é a segunda carteira menos arriscada,
com volatilidade de 24,22%. Em termos de retorno ajustado ao risco, vemos que a CVM
supera as demais carteiras, com uma razão de Sharpe de 0,62. Novamente, vemos que a CRS
não alcança seu objetivo, fora da amostra, já que a CVM apresenta razão de Sharpe superior à
dela. Porém a CRS ainda apresenta resultados superiores ao IBOVESPA. A CIP apresenta
uma razão de Sharpe moderada de 0,2. Para testar se a diferença entre as razões de Sharpe
das carteiras é significante, realizamos um teste baseado no procedimento de bootstrap.
Foram extraídas 10,000 amostras de tamanho 252 das séries de retornos diárias das carteiras.
Para cada amostra, calculamos a razão de Sharpe das carteiras. Em seguida, aplicamos o teste
13
de Kruskal-Wallis para testar a hipótese de igualdade entre as medianas da razão de Sharpe
da CVM e das demais carteiras. Os testes rejeitam esta hipótese em todos os casos, com nível
de significância abaixo de 1%.
A Tabela 2 apresenta retornos, volatilidades e razões de Sharpe das carteiras para
todos os anos da amostra. Notamos que a volatilidade da CVM é consistentemente menor do
que a do índice IBOVESPA e das demais carteiras ao longo do tempo. Em termos de retorno,
a CVM supera o IBOVESPA em 8 dos 11 anos considerados, apesar de ela ter desempenho
bem pior do que o índice em certos anos. Por exemplo, em 2005 o retorno da CVM é
negativo, -1,86%, enquanto o IBOVESPA tem um resultado muito bom, com retorno de
aproximadamente 30%, e todas as demais carteiras apresentam retornos positivos. Isso pode
ser explicado pelo fato de que, como a CVM minimiza a variância, ela é penalizada em anos
muito bons para o mercado, já que os retornos positivos inflacionam a variância tanto quanto
os negativos. Outro exemplo é o ano de 2009, o qual foi um ano de recuperação após a crise
de 2008. O IBOVESPA retornou 70,43% neste ano, enquanto a CVM teve retorno de
45,52%. O comportamento das carteiras ao longo do tempo pode ser visualizado na Figura 1,
que apresenta visualmente os retornos acumulados pelas carteiras. Para melhor visualização,
omitimos da figura a CMG, já que esta apresentou resultados ruins.
Nossos resultados indicam que a CVM possui alocações em um número relativamente
pequeno de ações. A Figura 2 mostra a alocação total da CVM obtida em maio de 2011 (o
final da amostra) por número de ações. O gráfico é obtido ordenando-se as alocações obtidas,
da maior para a menor, e calculando o valor da alocação acumulada. Nota-se que, por
exemplo, que apesar de haver 145 ações elegíveis neste mês, apenas 17 ações correspondem a
90% da alocação total da CVM. A Figura 3 apresenta a alocação média e o número de ações
com alocações não-nulas. Notamos que, com o passar do tempo, o número de ações na CVM
oscila entre 12 a 27, enquanto a alocação média varia entre aproximadamente 4% e 8%. A
14
título de comparação, a carteira do IBOVESPA possuía, no final do período considerado, 68
ações, sendo que 43 ações correspondiam a 90% da carteira. A Tabela 3 apresenta as
composições da CVM e do índice IBOVESPA no final de maio de 2011. Nota-se que a CVM
investe em inúmeras empresas que não fazem parte do índice, o que sugere um potencial de
ganho alto fora do universo do índice. O pequeno número de ações na CVM também indica
que a carteira poderia facilmente ser implementada mesmo por um investidor individual.
Notamos que a CVM é relativamente estável em sua composição, comparada com a
CRS e a CMG. O giro médio da CVM é da ordem de 15%, ou seja, a cada mês, 15% das
posições mudam (em termos financeiros) em média, enquanto os giros médios da CRS e
CMG são da ordem de 30% e 40%, respectivamente (ver Tabela 1). Isso faz com que o seu
custo seja inferior ao custo destas carteiras. A exceção é a CIP, a qual, por construção, possui
um giro baixo, da ordem de 4%, o que leva a um custo também baixo.
Todas as carteiras criadas possuem alta correlação com o índice IBOVESPA. A CIP
possui a maior correlação, de 0,95, enquanto a CVM, CRS e CMG possuem correlações de
0,72, 0,73 e 0,78. Isso significa que as carteiras tendem a se mover na mesma direção do
índice. Apesar de a CVM ter uma correlação relativamente alta com o IBOVESPA, a
magnitude dos retornos tende a ser menor em comparação com o índice. Por exemplo, o � da
CVM com o índice é de apenas 0,458. Isso significa que, apesar de a CVM tender a ter
retornos na mesma direção que o índice, os retornos tendem a ter quase a metade da
magnitude. Isso pode ser visualizado no gráfico de dispersão dos retornos da CVM com o
índice IBOVESPA, na Figura 4. Este resultado está em linha com o desenvolvimento
analítico de Clark, De Silva e Thorley (2006), os quais mostraram que, se for assumido um
8Os valores de alfa e beta da tabela foram estimados com uma regressão
��,5 − �IJK,5 = L� + ��*�KMNO,5 − �IJK,5. + P�,5 , 3 = 1, … , F, onde ��,5 é o retorno de uma CVM no dia 3, �IJK,5 é o retorno do CDI no dia 3, e �KMNO,5 é o retorno do IBOVESPA
no dia 3, e P�,5 é um erro aleatório.
15
modelo de mercado9 para os retornos dos ativos, então a CVM (irrestrita) é composta por
ativos com � de mercado abaixo de um certo limiar. Isso pode ser visto claramente na Figura
5, a qual apresenta o gráfico de dispersão dos �s das ações elegíveis para a criação da CVM
que vigorou no final de maio de 2001, contra as alocações da carteira. Podemos ver
claramente que a CVM induz empiricamente um limiar de aproximadamente 0,5 para os �s
das ações que a compõe, o que clarifica e valida o fato de a CVM possuir poucas ações com
alocações relevantes. Isto está relacionado à dificuldade de se encontrar ações com baixa
correlação com o IBOVESPA, e sugere que estas ações podem estar subprecificadas no
mercado.
O retorno da CVM não explicado pelo índice IBOVESPA, ou seja, o L da carteira, é
significante tanto do ponto de vista estatístico como econômico. Conforme evidenciado pela
Tabela 1, o L da CVM é da ordem de 10% (anualizado), e estatisticamente significante no
nível de 5% de significância. A única outra carteira com L positivo e significante é a CIP,
com um L de 4,41%, porém significante apenas no nível de 10% de significância.
Um indicador de risco bastante considerado por gestores é a chamada perda máxima
(maximum drawdown), a qual representa a maior perda, de um máximo na série de retornos
acumulados até o mínimo. A CVM e a CIP, apresentam os melhores resultados, porém ainda
bastante severos, com perdas máximas de aproximadamente -52%, o que significa que o
investidor chegou a verificar, em algum momento, uma perda de mais da metade do capital,
em relação a algum ponto de máximo. O valor para o índice IBOVESPA é de quase -60%, e
para a CRS e a CMG são ainda maiores. Isso indica que, apesar de a CVM apresentar um
risco bem menor do que o das outras carteiras, ela ainda constitui um investimento com alto
nível de risco, o que é esperado de uma carteira totalmente investida em ações.
9O modelo introduzido por Sharpe (1963).
16
Uma outra maneira de comparar o risco da CVM com o do índice é considerar uma
medida de perda acima de um certo percentil, como por exemplo o Value-at-Risk (VaR). O
VaR com um nível de confiança R representa uma perda que não se espera ser excedida com
uma probabilidade �1 − R. O VaR é amplamente utilizado na indústria financeira para
gestão de risco, e é comum utilizar R = 1%, ou seja, calcular uma perda que só será excedida
em 1% dos casos. Neste caso, denotando por � a variável aleatória que representa o retorno
de uma carteira, o VaR dé definido como
TU)V�� = &WXYZ ∈ ℝ: ^�� < Z ≤ LO`ab. Para estimar o VaR da CVM, utilizamos o método paramétrico normal com estimação
da volatilidade através do método EWMA (Equally-Weighted Moving Average) com
parâmetro de suavização c = 0,9410. Neste caso, a estimativa de volatilidade para um dia 3
qualquer é dada por
/f5 = g�1 − c�5h�? + c/f5h�? 3 = 1, … , F, Enquanto o VaR diário para o dia 3 é dado por
TU)V,5 = Φh��1 − R/f5 , onde Φh� denota o inverso da função distribuição acumulada da normal padrão.
A Figura 6 apresenta a evolução do VaR diário com R = 1% para a CVM e o índice
IBOVESPA. Claramente, o risco da CVM é muito inferior ao do índice, o que é esperado
dada sua volatilidade média, a qual é bastante inferior à do índice. Os maiores VaR (em
módulo) da CVM e do IBOVESPA ocorrem durante a crise; o da CVM é de quase 9%,
enquanto o do IBOVESPA é praticamente o dobro deste valor. Apesar de não reportado na
figura, o VaR da CVM também é, em geral, inferior ao das outras carteiras. O VaR médio das
10
Este método é amplamente utilizado na indústria, e está descrito, por exemplo, em Alexander (2008), pg.
125).
17
carteiras está reportado na Tabela 1; nota-se que a CVM possui o menor valor entre todas as
carteiras consideradas.
Resumindo os resultados obtidos até agora, temos que a CVM apresenta retornos
superiores, com volatilidades, perdas máximas e Value-at-Risk inferiores aos do IBOVESPA
e das outras carteiras consideradas. Tanto a CRS quanto a CMG parecem falhar em seus
objetivos, fora da amostra, pois a CRS não tem a maior razão de Sharpe, e a CMG não tem a
maior média geométrica. O desempenho da CVM acima do índice IBOVESPA é
estatisticamente e economicamente significante, e a CVM concentra os investimentos em um
número pequeno de ações com �s baixos em relação ao IBOVESPA, as quais tendem a não
fazer parte do índice.
3.2. Carteiras 130/30
Relaxando a restrição long-only, foram construídas carteiras otimizadas 130/30 com
os critérios de minimização de variância, maximização da razão de Sharpe e maximização da
média geométrica. Os resultados estão apresentados na Tabela 4. Para comparação,
repetimos na tabela os resultados da carteira igualmente ponderada (CIP) e do IBOVESPA,
que são carteiras long-only. A possibilidade de ter posições vendidas tem um impacto
relativamente modesto no desempenho da CVM: a razão de Sharpe da carteira 130/30 é
aproximadamente 11% maior em relação a sua versão long-only (razão de Sharpe de 0,69
para a CVM 130/30, comparado com 0,62 para a CVM long-only), e a diferença é
estatisticamente significante.
O giro mensal da CVM 130/30 é ligeiramente superior ao da CVM long-only. O fato
de a CVM 130/30 ter 30% de posições vendidas implica em custos de aluguel, o que faz com
que o o custo anual da CVM 130/30 (1,20%) seja bem superior ao da CVM long-only
(0,28%). Notamos também uma diminuição na correlação e no � da CVM 130/30 com o
18
índice IBOVESPA, em relação a CVM long-only. Ambos são aproximadamente 25%
menores para a carteira 130/30.
Os resultados das outras carteiras otimizadas são mistos. A extensão para posições
vendidas melhora o desempenho fora da amostra da CRS, porém piora o da CMG. Notamos
também que, apesar de ter posições vendidas, as carteiras otimizadas não parecem se
beneficiar disso em anos muito ruins para o mercado. A Tabela 5 apresenta os retornos
médios, volatilidades e razões de Sharpe das carteiras otimizadas 130/30, da carteira
igualmente ponderada long-only, do índice IBOVESPA e do CDI, por ano. Notamos um
padrão essencialmente igual ao reportado para as carteiras long-only (Tabela 2), com a CVM
performando mal nos mesmos anos (2005, 2007 e 2009).
Avaliando estes resultados, concluímos que, apesar de o relaxamento da restrição a
vendas de ações ter introduzido apenas um ganho modesto para a CVM em termos de
retorno, a diminuição da correlação com IBOVESPA pode ser considerada um ganho
adicional para certos investidores que desejem atingir retornos maiores do que os do índice,
com baixa correlação. A carteira que maximiza a razão de Sharpe, apesar de apresentar um
desempenho bem melhor na sua versão 130/30, ainda é muito inferior, fora da amostra, a
carteira com variância mínima.
3.3. Análise de robustez
Esta seção apresenta análises de robustez dos resultados. Apresentamos apenas
resultados obtidos com as carteiras long-only, pois os resultados das carteiras 130/30 são
análogos.
3.3.1. Alocação máxima por ação
19
Os resultados apresentados acima foram obtidos com um limite máximo de 15% para
a alocação em qualquer ação (ou entre -15% e 15% na versão 130/30), um valor escolhido de
maneira ad hoc e que não foi otimizado. A literatura sugere que o valor deste parâmetro é
importante. Por exemplo, Thomé e Leal (2010) reportam resultados melhores quando a
alocação máxima é de 10% (melhor resultado encontrado pelos autores), e resultados
progressivamente piores (em termos de retorno ajustado a risco) conforme a alocação
máxima aumenta. Os nosso resultados são ligeiramente diferentes.
A Tabela 6 apresenta resultados para 10% (Painel A), 30% (Painel B) e 100% (Painel
C) de alocação máxima por ação para as carteiras long-only. Os resultados com alocação
máxima de 10% mostram uma piora do retorno ajustado a risco da CVM, em relação aos
resultados anteriores, que utilizaram 15% de limite (a razão de Sharpe da CVM cai de 0,62
para 0,53). Por outro lado, tanto a CRS como a CMG apresentam resultados melhores com o
limite menor. Em particular, a CMG apresentou razão de Sharpe negativa com alocação
máxima de 15%, e positiva com 10%. Quando aumentamos o limite para 30%, a CVM
apresenta um ótimo resultado, com razão de Sharpe de 0,70, enquanto a CRS e a CMG
pioram. Os resultados com limite de 100% (não reportados) são idênticos aos de 30% para a
CVM, indicando que nenhuma ação teve alocação maior do que 30% em nenhum dos
períodos da amostra. Tanto a CRS como a CMG apresentam resultados ruins neste caso.
Concluímos que a alocação máxima não é um fator crucial para o desempenho da
CVM, sendo que mesmo se não restringirmos as alocações, permitindo 100% de alocação em
apenas uma ação, a CVM atinge um resultado muito bom, pois empiricamente, a
minimização da variância não induz concentrações acima de 30% por ação.
20
3.3.2. Número de ações no universo de investimento
Nos resultados apresentados, foram consideradas, a cada mês, todas as ações que
atendiam aos critério de eligibilidade de volume mediano positivo nos últimos três anos, e
retornos não-nulos em mais de 75% dos dias. A Figura 7 apresenta o número de ações
elegíveis ao longo do tempo. Nota-se uma tendência de alta, com o número de ações indo de
apenas 38, em janeiro de 2001, para 145, em maio de 2011. É possível que, ao considerar
todas as ações que passam nos critérios acima, ainda estejamos favorecendo ações pouco
líquidas, o que poderia viesar os resultados. Para verificar isto, limitamos o número de ações
no universo, considerando como universo de investimento as 30, 50, 75 ou 100 ações com
maior volume mediano nos últimos três anos. Nos casos em que o número total de ações
elegíveis era menor do que os estipulados, foram consideradas todas as ações disponíveis.
A Tabela 7 sumariza os resultados obtidos. Notamos uma relação crescente entre o
número de ações no universo considerado, e as razões de Sharpe da CVM e da CIP. Porém,
mesmo quando o universo contém apenas as 30 ações mais líquidas (Painel A), a razão de
Sharpe da CVM ainda é de 0,42, e acima das demais carteiras, incluindo a CIP. Para as
demais carteiras otimizadas, não é possível identificar uma relação.
Concluímos que os resultados obtidos para o desempenho superior da CVM são
robustos em relação ao número de ações. No entanto, resultados melhores são obtidos quando
o maior universo possível é considerado.
4. Discussão
Os resultados obtidos indicam que a CVM apresenta, de fato, um resultado superior
ao do índice IBOVESPA e dos outros benchmarks de otimização. O fato de a CVM
apresentar um desempenho superior ao de índices de mercado não é, isoladamente, tão
surpreendente, já que não há razão para supor, a priori, que estas carteiras sejam eficientes.
Pelo mesmo raciocínio, o fato de a CVM superar a CRS, quando os retornos médios são
21
estimados pelas médias históricas dos ativos, pode apenas indicar quão inadequadas são as
médias históricas como previsores dos retornos futuros.
Clark, De Silva e Thorley (2006) interpretam a superioridade da CVM como uma
manifestação de uma crítica antiga ao modelo CAPM, resumida pelo resultado empírico de
que ações com �s baixos apresentam retornos relativamente altos (ver, por exemplo, Fama e
French (1992)). Nossos resultados confirmam esta noção, já que a CVM é concentrada em
ações com � baixo, apresentando no entanto retornos altos. O fato de o � não explicar o
retorno das ações pode ser um reflexo da existência de outros fatores de risco precificados.
No entanto, o fato de a volatilidade não estar positivamente relacionada com retorno parece
pouco razoável do ponto de vista de modelos racionais, já que estes modelos são baseados,
grosso modo, na suposição de que os investidores não gostam de volatilidade na sua riqueza
futura.
Falkenstein (2009) propõe uma teoria radical para explicar a ausência de um prêmio
de risco em diversas classes de ativos. Segundo esta teoria, a utilidade é uma função de
status, especificamente, o valor da riqueza de um investidor em relação aos seus pares, de
maneira que apenas desvios de um consenso ou benchmark de risco constituem situações
desfavoráveis. Neste caso, o “risco” de performar pior do que os pares pode ser evitado
quando todos os agentes possuem a mesma carteira, enquanto o risco no sentido usual não é
precificado.
Independentemente das causas deste fenômeno, o fato de o bom desempenho da CVM
ter sido documentado em vários mercados possui implicações práticas fortes, pois sugere uma
maneira simples, eficiente e facilmente replicável de gerar retornos superiores aos de
benchmark conhecidos.
Conceitualmente, o nosso trabalho é próximo ao de Thomé e Leal (2010), que
investigam uma CVM formada com as ações que compõe o IBOVESPA, comparando-a com
22
uma CIP com as mesmas ações, além de fundos de investimento. Porém, nossos resultados
possuem diferenças importantes. Os resultados de Thomé e Leal mostram que a CIP performa
tão bem quanto a CVM, o que sugere uma estratégia de investimento ainda mais simples:
basta dividir o capital igualmente entre as ações. Em comparação, os nossos resultados
sugerem que considerar as ações que não fazem parte do índice aumenta consideravelmente o
desempenho da CVM, a qual supera, inclusive, a CIP. Outra diferença surge nos testes de
robustez. Thomé e Leal indicam que melhores resultados são obtidos com pesos máximos de
10% por ação, com desempenhos piores conforme este valor aumenta. Nossos resultados
principais, obtidos com um peso máximo de 15% por ação, foram melhores do que os
resultados com peso máximo de 10%, e observamos que resultados com 30% são ainda
melhores. Além disso, notamos que os resultados são pouco sensíveis a aumentos neste
limite. Quando a restrição é aumentada para até 100% por ação, a CVM resultante nunca
apresentou pesos maiores do que 30%, ou seja, mesmo a otimização irrestrita, no nosso caso,
entregaria uma CVM com ótimo resultado, o que está em contraste com os resultados de
Thomé e Leal para as ações do IBOVESPA. Além disso, investigamos carteiras alavancadas
do tipo 130/30, as quais apresentaram potenciais de ganho um pouco acima da versão com
posições compradas.
5. Conclusão
Neste trabalho, investigamos as características de carteiras de variância mínima no
mercado de ações brasileiro, comparando-as com vários benchmarks como o índice
IBOVESPA, uma carteira de ações igualmente ponderada, uma carteira formada para
maximizar a razão de Sharpe, e uma carteira que maximiza a média geométrica dos retornos.
Nossos resultados sugerem que carteiras de variância mínima apresentam resultados
superiores, fora da amostra, à todos os benchmarks. A carteira de variância mínima apresenta
retornos médios maiores, com volatilidades, perdas máximas e Value-at-Risk inferiores aos
23
do IBOVESPA e das outras carteiras consideradas. O desempenho da carteira de variância
mínima, em termos de retorno ajustado ao risco, é estatisticamente superior ao das demais
carteiras, incluindo o índice IBOVESPA e a carteira igualmente ponderada das ações.
Nossos resultados confirmam que o uso de médias históricas de retorno para otimizar
carteiras apresenta resultados pobres fora da amostra (Jagannathan e Ma (2003)). As duas
carteiras que utilizam estimativa histórica da média dos retornos (as carteiras formadas
através da maximização da razão de Sharpe e da média geométrica dos retornos) falham, fora
da amostra, em seus objetivos. Estes resultados confirmam que, quando o investidor não
possui uma maneira adequada de estimar as médias dos retornos, é preferível ignorar
completamente estes parâmetros. Neste caso, duas alternativas são interessantes: a carteira de
variância mínima global e a carteira igualmente ponderada, entre as quais a primeira é a que
obtém, empiricamente, o melhor resultado.
A carteira de variância mínima concentra os investimentos em um número pequeno de
ações com �s baixos em relação ao IBOVESPA, as quais tendem a não fazer parte do índice.
Isso sugere um potencial de ganho alto fora do universo de ações que fazem parte do índice,
além de corroborar a noção de que a relação entre � e retorno não se verifica empiricamente.
Esta constatação empírica também corrobora o resultado téorico derivado por Clark, De Silva
e Thorley (2006), que mostram que a minimização da variância induz um limite no �
máximo das ações que compõe a carteira.
Uma outra contribuição deste trabalho foi investigar uma carteira de variância mínima
com possibilidade de alavancagem com posições vendidas. As carteiras construídas são do
tipo 130/30, com 130% do capital do investidor em posições compradas, e 30% em posições
vendidas. Os resultados obtidos para estas carteiras são análogos aos obtidos para as carteiras
com posições compradas, ou seja, a carteira de variância mínima superou todos os
benchmarks. Em relação à versão long-only, observou-se um ganho modesto, porém
24
estatisticamente significante, em termos de retorno ajustados a risco: a razão de Sharpe da
carteira de variância mínima 130/30 é aproximadamente 11% maior do que a razão de Sharpe
da versão long-only. Além disso, a carteira 130/30 apresentou uma correlação mais baixa
com o índice IBOVESPA, o que pode ser um atrativo para alguns investidores.
Os resultados obtidos possuem implicações importantes para gestores de recursos e
mesmo investidores individuais. Em primeiro lugar, os nossos resultados mostram que uma
estratégia de investimento simples e replicável supera o benchmark mais comum do mercado
de ações brasileiro, o IBOVESPA. Além disso, esta regra envolve um número relativamente
pequeno de ações, sugerindo que sua implementação por investidores individuais é
perfeitamente possível. Outra possibilidade seria a criação de instrumentos como ETFs
(Exchange Traded Funds) baseados na carteira de variância mínima, ou de índices de
variância mínima como benchmarks de mercado, conforme sugerido por Thomé e Leal
(2010). Um ETF seria particularmente atraente, dado que é um investimento com custo
bastante inferior ao dos fundos de ação.
25
Tabela 1– Estatísticas de desempenho fora da amostra de carteiras otimizadas long-only Esta tabela apresenta estatísticas descritivas de várias carteiras formadas com ações do mercado de ações brasileiro. O período amostral é de jun/2001 a jun/2011, e a tabela é baseada em resultados fora-da-amostra, com rebalanceamento mensal. CVMrepresenta a carteira de variância mínima, CRS representa a carteira que maximiza a razão de Sharpe, BMG representa a carteira que maximiza o retorno geométrico, CIP é a carteira igualmente ponderada, IBOVESPA representa o índice de ações da Bovespa e CDI representa o ativo livre de risco, dado pelo valor dos depósitos interfinanceiros. As carteiras CVM, CRS, CMG e CIP são formadas usando todas as ações disponíveis no início de cada mês.
Critério de formação da carteira
Minimização da variância
(CVM)
Maximização da razão de Sharpe
(CRS)
Maximização da média geométrica
(CMG)
Igualmente ponderada
(CIP)
IBOVESPA CDI
Retorno Anual. Liq. 27.42% 18.99% 14.43% 20.06% 14.22% 15.19% Volatilidade Anual 19.36% 24.22% 28.62% 25.78% 30.63% 0.24% VaR diário médio (99%) -2,61% -3,28% -3,80% -3,52% -4,16% Valor terminal de R$1 R$11.91 R$5.92 R$3.97 R$6.48 R$3.89 R$4.25
Giro médio 15.51% 32.65% 42.56% 4.13% - -
Custo Anual 0.28% 0.59% 0.77% 0.07% - - Razão de Sharpe 0.62 0.13 -0.05 0.19 -0.03 -
Perda máxima -52.56% -63.87% -76.02% -52.23% -59.99% 0.00% Correlação IBOVESPA 0.72 0.73 0.78 0.95 - - Beta 0.45 0.58 0.73 0.80 - - Alpha (anualizado) 10.24% 3.98% 0.67% 4.41% - -
Estatística t (Alpha) 2.43** 0.77 0.12 1.70* - -
*= significância no nível de 10% ** = significância no nível de 5% *** = significância no nível de 1%
26
Tabela 2– Estatísticas de retorno por ano de carteiras otimizadas long-only Esta tabela apresenta retornos, volatilidades e razões de Sharpe de várias carteiras formadas com ações do mercado de ações brasileiro. O período amostral é de jun/2001 a jun/2011, e a tabela é baseada em resultados fora-da-amostra, com rebalanceamento mensal. CVM representa a carteira de variância mínima, CRS representa a carteira que maximiza a razão de Sharpe, CMG representa a carteira que maximiza o retorno geométrico, CIP é a carteira igualmente ponderada, IBOVESPA representa o índice de ações da Bovespa e CDI representa o ativo livre de risco, dado pelo valor dos depósitos interfinanceiros.
A. Retornos
CVM CSR CMG CIP IBOVESPA CDI
2001 14.91% -8.74% -9.82% 8.95% -18.20% 16.84%
2002 47.15% 45.65% 40.63% -7.39% -18.77% 18.65%
2003 96.65% 77.16% 73.80% 104.79% 91.64% 22.88%
2004 50.01% 62.72% 62.62% 26.08% 16.71% 15.89%
2005 -1.86% 12.57% 9.97% 18.88% 30.07% 18.77%
2006 49.40% 26.10% 19.49% 31.38% 32.73% 14.76%
2007 14.51% 19.64% 10.09% 27.90% 40.77% 11.52%
2008 -30.59% -48.40% -61.98% -35.39% -40.22% 12.07%
2009 45.52% 17.94% 27.10% 70.16% 70.43% 9.68%
2010 22.85% 34.88% 36.12% 9.71% -1.06% 9.55%
2011 6.83% -0.42% 2.45% -2.15% -7.64% 4.44%
B. Volatilidades
CVM CSR CMG CIP IBOVESPA CDI
2001 24.99% 27.34% 28.59% 30.19% 33.21% 0.09%
2002 20.43% 21.44% 23.25% 29.34% 32.81% 0.08%
2003 15.86% 18.97% 19.32% 22.15% 24.05% 0.17%
2004 21.93% 24.24% 28.67% 26.81% 28.42% 0.03%
2005 15.48% 22.08% 28.08% 22.67% 24.88% 0.03%
2006 15.37% 26.10% 29.40% 21.78% 24.15% 0.08%
2007 19.65% 19.36% 25.17% 22.14% 27.35% 0.04%
2008 28.82% 39.23% 52.22% 40.39% 52.32% 0.06%
2009 16.62% 19.21% 18.89% 21.78% 31.45% 0.09%
2010 9.55% 18.17% 19.72% 15.50% 20.34% 0.05%
2011 9.68% 17.29% 18.60% 12.96% 16.41% 0.02%
C. Razões de Sharpe
CVM CSR CMG CIP IBOVESPA CDI
2001 -0.09 -0.96 -0.96 -0.26 -1.06 -
2002 1.38 1.23 0.91 -0.89 -1.14 -
2003 4.63 2.83 2.60 3.70 2.86 -
2004 1.54 1.91 1.60 0.38 0.03 -
2005 -1.35 -0.31 -0.34 0.00 0.45 -
2006 2.24 0.41 0.13 0.76 0.74 -
2007 0.14 0.39 -0.09 0.74 1.07 -
2008 -1.49 -1.56 -1.43 -1.18 -1.00 -
2009 2.14 0.40 0.88 2.77 1.93 -
2010 1.36 1.36 1.31 0.01 -0.52 -
2011 0.22 -0.31 -0.15 -0.51 -0.74 -
27
Tabela 3 – Composição do IBOVESPA e da Carteira de Variância Mínima Long-Only em 31/05/2011 Esta tabela apresenta as composições da carteira IBOVESPA e da Carteira de Variância Mínima Long-Only na data 31/05/2011. Apenas as ações com alocações maiores do que 0,000001 são relatadas para a Carteira de Variância Mínima.
Carteira IBOVESPA Carteira de Variância
Mínima
Código Participação Código Participação Código Participação
VALE5 10.44% NATU3 0.88% CGAS5 15.00% PETR4 10.04% TCSL4 0.86% TLPP3 15.00% OGXP3 4.74% VIVO4 0.86% VLID3 8.61% ITUB4 4.10% CCRO3 0.79% KROT11 8.37% BVMF3 3.68% GOAU4 0.79% TLPP4 6.52% BBAS3 3.16% CSAN3 0.76% GETI4 5.77% BBDC4 3.12% TAMM4 0.75% GRND3 4.86% PETR3 2.91% BISA3 0.73% BEMA3 4.36% GGBR4 2.89% GOLL4 0.72% CREM3 3.82% VALE3 2.75% BRKM5 0.68% UOLL4 3.77% USIM5 2.70% ELPL4 0.66% COCE5 3.76% PDGR3 2.66% MRFG3 0.66% NATU3 2.47% CYRE3 1.99% ELET3 0.65% TBLE3 2.38% ITSA4 1.99% CPLE6 0.63% IGTA3 2.36% CSNA3 1.87% ELET6 0.61% ETER3 2.01% MRVE3 1.68% CESP6 0.59% EQTL3 1.91% GFSA3 1.55% BTOW3 0.59% MDIA3 1.66% CIEL3 1.51% EMBR3 0.58% GETI3 1.39% RDCD3 1.24% LIGT3 0.58% PLAS3 0.93% MMXM3 1.22% LLXL3 0.55% AMBV3 0.85% LAME4 1.22% DTEX3 0.54% CTAX4 0.76% LREN3 1.22% KLBN4 0.51% STBP11 0.69% BRFS3 1.17% ECOD3 0.51% CLSC6 0.68% FIBR3 1.15% CRUZ3 0.49% TEMP3 0.68% JBSS3 1.09% UGPA4 0.48% TOTS3 0.58% AMBV4 1.08% USIM3 0.48% DROG3 0.57% RSID3 1.08% CPFE3 0.43% LIGT3 0.11% SANB11 1.08% BRTO4 0.39% GUAR3 0.08% CMIG4 1.05% SBSP3 0.33% CRUZ3 0.04%
ALLL3 0.96% TNLP3 0.24%
PCAR4 0.93% TRPL4 0.20%
TNLP4 0.90% TLPP4 0.18%
HYPE3 0.90% TCSL3 0.18%
BRAP4 0.89% TMAR5 0.18%
28
Tabela 4 – Estatísticas de desempenho fora da amostra de carteiras otimizadas 130/30 Esta tabela apresenta estatísticas descritivas de várias carteiras 130/30 formadas com ações do mercado de ações brasileiro. As carteiras otimizadas são alavancadas, totalmente investidas, com a soma das alocações positivas igual a 1,3, e das alocações negativas igual a -0,30. O período amostral é de jun/2001 a jun/2011, e a tabela é baseada em resultados fora-da-amostra, com rebalanceamento mensal. CVM representa a carteira de variância mínima, CRS representa a carteira que maximiza a razão de Sharpe, BMG representa a carteira que maximiza o retorno geométrico, CIP é a carteira igualmente ponderada, IBOVESPA representa o índice de ações da Bovespa e CDI representa o ativo livre de risco, dado pelo valor dos depósitos interfinanceiros. As carteiras CVM, CRS, CMG e CIP são formadas usando todas as ações disponíveis no início de cada mês.
Critério de formação da carteira
Minimização da variância
(CVM 130/30)
Maximização da razão de Sharpe
(CRS 130/30)
Maximização da média geométrica
(CMG 130/30)
Igualmente ponderada
(CIP long only)
IBOVESPA CDI
RetornoAnual. Liq. 28.98% 22.54% 13.70% 20.06% 14.22% 15.19% VolatilidadeAnual 18.36% 25.40% 33.47% 25.78% 30.63% 0.24% Valor terminal de R$1 R$ 13.49 R$ 7.99 R$3.72 R$6.48 R$ 3.89 R$4.25 VaR diário médio (99%) -2,49% -3,49% -4,53% -3,52% -4,16%
Giro médio 17,39% 31.58% 41.45% 4.13% - -
CustoAnual 1.20% 1.46% 1.63% 0.96% - - Razão de Sharpe 0.69 0.23 -0.09 0.15 -0.03 -
Perdamáxima -53.55% -67.43% -80.43% -52.23% -59.99% 0.00% Correlação IBOVESPA 0.56 0.53 0.64 0.95 - - Beta 0.34 0.44 0.70 0.80 - - Alpha (anualizado) 11.72% 7.75% 1.64% 4.41% - -
Estatística t (Alpha) 2.47** 1.15 0.20 1.70* - -
*= significância no nível de 10% ** = significância no nível de 5% *** = significância no nível de 1%
29
Tabela 5– Estatísticas de retorno por ano de carteiras otimizadas 130/30 Esta tabela apresenta retornos, volatilidades e razões de Sharpe de várias carteiras 130/30 formadas com ações do mercado de ações brasileiro. O período amostral é de jun/2001 a jun/2011, e a tabela é baseada em resultados fora-da-amostra, com rebalanceamento mensal. CVM representa a carteira de variância mínima, CRS representa a carteira que maximiza a razão de Sharpe, CMG representa a carteira que maximiza o retorno geométrico, CIP é a carteira igualmente ponderada, IBOVESPA representa o índice de ações da Bovespa e CDI representa o ativo livre de risco, dado pelo valor dos depósitos interfinanceiros.
A. Retornos
CVM CSR CMG CIP IBOVESPA CDI
2001 11.01% -11.69% -6.17% 8.95% -18.20% 16.84% 2002 62.47% 95.59% 74.87% -7.39% -18.77% 18.65% 2003 95.37% 65.65% 38.12% 104.79% 91.64% 22.88% 2004 48.40% 71.91% 71.78% 26.08% 16.71% 15.89% 2005 1.78% 4.18% -5.24% 18.88% 30.07% 18.77% 2006 53.90% 42.37% 23.05% 31.38% 32.73% 14.76% 2007 6.55% 19.06% 4.89% 27.90% 40.77% 11.52% 2008 -30.52% -50.83% -69.89% -35.39% -40.22% 12.07% 2009 47.81% 4.38% 27.18% 70.16% 70.43% 9.68% 2010 23.59% 50.67% 64.06% 9.71% -1.06% 9.55% 2011 8.41% 6.06% 8.04% -2.15% -7.64% 4.44%
B. Volatilidades
CVM CSR CMG CIP IBOVESPA CDI
2001 23.78% 27.66% 31.07% 30.19% 33.21% 0.09% 2002 19.02% 27.93% 32.95% 29.34% 32.81% 0.08% 2003 15.81% 24.71% 25.99% 22.15% 24.05% 0.17% 2004 20.23% 25.65% 32.02% 26.81% 28.42% 0.03% 2005 14.77% 22.51% 33.83% 22.67% 24.88% 0.03% 2006 14.84% 22.03% 30.06% 21.78% 24.15% 0.08% 2007 18.93% 19.42% 28.16% 22.14% 27.35% 0.04% 2008 26.71% 36.03% 56.90% 40.39% 52.32% 0.06% 2009 17.17% 26.47% 27.15% 21.78% 31.45% 0.09% 2010 9.73% 19.21% 27.98% 15.50% 20.34% 0.05% 2011 9.66% 15.42% 22.19% 12.96% 16.41% 0.02%
C. Razões de Sharpe
CVM CSR CMG CIP IBOVESPA CDI
2001 -0.26 -1.05 -0.77 -0.26 -1.06 -
2002 2.29 2.73 1.68 -0.89 -1.14 -
2003 4.57 1.71 0.56 3.70 2.86 -
2004 1.59 2.16 1.72 0.38 0.03 -
2005 -1.17 -0.67 -0.73 0.00 0.45 -
2006 2.62 1.23 0.25 0.76 0.74 -
2007 -0.28 0.36 -0.26 0.74 1.07 -
2008 -1.61 -1.76 -1.45 -1.18 -1.00 -
2009 2.20 -0.22 0.62 2.77 1.93 -
2010 1.42 2.11 1.92 0.01 -0.52 -
2011 0.38 0.07 0.13 -0.51 -0.74 -
30
Tabela 6– Análise de robustez do desempenho fora da amostra de carteiras otimizadas long-only em relação à alocação máxima permitida por ação. Esta tabela apresenta estatísticas descritivas de várias carteiras formadas com ações do mercado de ações brasileiro. O período amostral é de jun/2001 a jun/2011, e a tabela é baseada em resultados fora-da-amostra, com rebalanceamento mensal. CVM representa a carteira de variância mínima, CRS representa a carteira que maximiza a razão de Sharpe e CMG representa a carteira que maximiza o retorno geométrico. As carteiras CVM, CRS, CMG e CIP são formadas usando todas as ações disponíveis no início de cada mês. Os painéis A, B e C apresentam resultados com alocações máximas de 10%, 30% e 100% por ação, respectivamente.
A. Alocação máxima = 10%
Critério de formação da carteira
CVM CRS CMG
Retorno Anual. Liq. 25.62% 19.75% 19.50% Volatilidade Anual 19.34% 23.65% 26.92% Valor terminal de R$1 R$ 10.30 R$ 6.32 R$ 6.18 Razão de Sharpe 0.53 0.17 0.14
Perda máxima -54.81% -64.60% -70.02%
B. Alocação máxima = 30%
Critério de formação da carteira
CVM CRS CMG
Retorno Anual. Liq. 28.97% 18.90% 12.84% Volatilidade Anual 19.32% 25.13% 32.64% Valor terminal de R$1 R$ 13.48 R$ 5.87 R$ 3.44 Razão de Sharpe 0.70 0.12 -0.10
Perda máxima -48.88% -63.05% -77.65%
C. Alocação máxima = 100%
Critério de formação da carteira
CVM CRS CMG
Retorno Anual. Liq. 28.97% 17.39% 9.83% Volatilidade Anual 19.32% 26.53% 41.02% Valor terminal de R$1 R$ 13.48 R$ 5.15 R$ 2,61 Razão de Sharpe 0.70 0.06 -0.16
Perda máxima -48.88% -64.05% -74.08%
31
Tabela 7 – Análise de robustez do desempenho fora da amostra de carteiras otimizadas long-only em relação ao número de ações no universo Esta tabela apresenta estatísticas descritivas de várias carteiras formadas com ações do mercado de ações brasileiro. O período amostral é de jun/2001 a jun/2011, e a tabela é baseada em resultados fora-da-amostra, com rebalanceamento mensal. CVM representa a carteira de variância mínima, CRS representa a carteira que maximiza a razão de Sharpe e CMG representa a carteira que maximiza o retorno geométrico. As carteiras CVM, CRS, CMG e CIP são formadas usando todas as ações disponíveis no início de cada mês. Os painéis A, B e C apresentam resultados considerando as 30, 50, 75 e 100 ações com maior volume mediano, respectivamente.
A. Universo = 30 ações com maior volume
Critério de formação da carteira
CVM CRS CMG CIP
Retorno Anual. Liq. 25.95% 19.11% 17.21% 18.44% Volatilidade Anual 25.24% 31.26% 32.19% 30.10% Valor terminal de R$1 R$ 10.58 R$ 5.98 R$ 5.07 R$ 5.64 Razão de Sharpe 0.42 0.11 0.04 0.11
Perda máxima -46.10% -68.21% -70.58% -55.38%
B. Universo = 50 ações com maior volume
Critério de formação da carteira
CVM CRS CMG CIP
Retorno Anual. Liq. 26.59% 14.48% 13.65% 18.74% Volatilidade Anual 23.01% 29.76% 31.35% 28.39% Valor terminal de R$1 R$ 11.15 R$ 3.99 R$ 3.70 R$ 5.79 Razão de Sharpe 0.48 -0.04 -0.07 0.12
Perda máxima -44.24% -72.11% -73.69% -54.52%
C. Universo = 75 ações com maior volume
Critério de formação da carteira
CVM CRS CMG CIP
Retorno Anual. Liq. 26.71% 15.36% 12.82% 19.49% Volatilidade Anual 19.96% 25.65% 29.29% 26.50% Valor terminal de R$1 R$ 11.25 R$ 4.31 R$ 3.43 R$ 6.18 Razão de Sharpe 0.56 -0.02 -0.11 0.16
Perda máxima -48.47% -68.88% -73.11% -50.94%
D. Universo = 100 ações com maior volume
Critério de formação da carteira
CVM CRS CMG CIP
Retorno Anual. Liq. 27.66% 17.42% 12.95% 19.69% Volatilidade Anual 19.42% 24.10% 28.44% 25.83% Valor terminal de R$1 R$ 12.15 R$ 5.16 R$ 3.47 R$ 6.29 Razão de Sharpe 0.63 0.07 -0.11 0.17
Perda máxima -52.56% -63.87% -76.02% -52.23%
32
Figura 1 – Curvas de retorno acumulado de carteiras otimizadas long-only, IBOVESPA e CDI Esta figura apresenta as curvas de retorno acumulado de várias carteiras formadas com ações do mercado de ações brasileiro. O período amostral é de jun/2001 a jun/2011, e a tabela é baseada em resultados fora-da-amostra, com rebalanceamento mensal. CVM representa a carteira de variância mínima, CRS representa a carteira que maximiza a razão de Sharpe, BMG representa a carteira que maximiza o retorno geométrico, CIP é a carteira igualmente ponderada, IBOVESPA representa o índice de ações da Bovespa e CDI representa o ativo livre de risco, dado pelo valor dos depósitos interfinanceiros.
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CVM
CRS
CIP
IBOV
CDI
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Figura 2– Curva de alocação acumulada por número de ações para a carteira de variância mínima long-only em 31/05/2011 Esta figura apresenta a alocação acumulada por número de ações na carteira. O gráfico é obtido ordenando-se as alocações e calculando a alocação acumulada para cada número de posições. Os critérios de eligibilidade de ações para cada mês são volume mediano positivo em uma janela de 3 anos e pelo menos 75% de dias com retornos não-nulos. O gráfico reflete a carteira obtida no final de maio de 2011.
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Número de ações
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Figura 3– Alocação média e número de ações com alocação não-nula para a carteira de variância mínima long-only Esta figura apresenta a alocação média e o número de ações com alocações não-nulas para a carteira de variância mínima long-only. Os critérios de eligibilidade de ações para cada mês são volume mediano positivo em uma janela de 3 anos e pelo menos 75% de dias com retornos não-nulos. O período amostral é de janeiro de 2001 a maio de 2011.
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Alo
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ia
Alocação média Número de ações na carteira
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Figura 4– Gráfico de dispersão dos retornos da carteira de variância mínima long-only e do índice IBOVESPA Esta figura apresenta o gráfico de dispersão dos retornos da carteira de variância mínima long-only e do índice IBOVESPA. O período amostral é de jun/2001 a jun/2011.
-15.00%
-10.00%
-5.00%
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-15.00% -10.00% -5.00% 0.00% 5.00% 10.00% 15.00% 20.00%
Re
torn
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VM
Retorno IBOVESPA
36
Figura 5– Gráfico de dispersão das alocações da carteira de variância mínima long-only versus betas das ações com o IBOVESPA em 31/05/2011 Esta figura o gráfico de dispersão das alocações da carteira de variância mínima long-only contra os betas das ações com o índice IBOVESPA. Os valores de e beta foram estimados com uma regressão ��,5 − �IJK,5 = L� + ��*�KMNO,5 − �IJK,5. + P�,5, 3 = 1, … , F, onde ��,5 é o retorno de uma CVM no dia 3, �IJK,5 é o retorno do CDI no dia 3, e �KMNO,5 é o retorno do
IBOVESPA no dia 3, e P�,5 é um erro aleatório. Foram utilizados três anos de dados históricos. Os critérios de eligibilidade de ações para criação da carteira de variância mínima a cada mês são volume mediano positivo em uma janela de 3 anos e pelo menos 75% de dias com cotações na mesma janela.
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0
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0.14
0.16
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
Alo
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o
Beta
37
Figura 6 – Value-at-Risk diário da carteira de variância mínima e do índice IBOVESPA Esta figura apresenta a evolução do Value-at-Risk (VaR) com 99% de confiança para a carteira de variância mínima e o índice IBOVESPA. O VaR é calculado segundo o modelo paramétrico normal, com estimação da volatilidade pelo método EWMA (Equally-Weighted Moving Average) com parâmetro de suavização c = 0,94, conforme descrito, por exemplo, em Alexander (2008).
-18.00%
-16.00%
-14.00%
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Carteira de variância mínima IBOVESPA
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Figura 7 – Número de ações elegíveis a cada mês Esta figura apresenta o número de ações que atende, a cada mês, aos seguintes critérios: volume mediano positivo nos últimos 3 anos, e retornos diários não nulos em pelo menos 75% dos dias nos últimos 3 anos.
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