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CAP. 3 - ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
EM SITUAÇÕES DE INCERTEZA
1. INTRODUÇÃO
No fluxo de caixa esquemático mostrado na Figura 1, como se sabe na data zero,
normalmente se tem o investimento necessário para o projeto, as demais parcelas são os
resultados da composição de receitas, despesas de manutenção, mão de obra, matéria prima,
energia elétrica, imposto, depreciação, financiamentos, etc... a acontecerem em cada uma das
datas previstas dentro da vida do projeto.
Figura 1 - Fluxo de caixa esquemático de um projeto
Os métodos que permitem avaliar o fluxo de caixa da Figura 1 do ponto de vista econômico
são os métodos: do valor presente (VPL), o método do valor anual (VA) e a taxa interna de
retorno (TIR). Acontece que na maioria das vezes ao analisar estes fluxos a consideração
sobre os diversos dados é determinística. Será que isto ocorre na realidade? Como se sabe
isto não é verdade. Existem variações sobre os diversos elementos que compõe o fluxo de
caixa que precisam ser consideradas para o total sucesso da escolha da melhor alternativa.
É comum se distinguir duas situações quanto a variação dos dados no fluxo de caixa. Estas
situações são chamadas de análise de risco e análise de incerteza. Na análise de risco é
investimento
0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n
vida do projeto
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 2
possível calcular uma distribuição de probabilidades associada a um resultado do fluxo de
caixa (VPL, VA ou TIR). Com a distribuição probabilística é possível se calcular as chances
do projeto se tornar inviável, fornecendo subsídios para decidir entre as alternativas que
possuem diferentes graus de risco. As técnicas usuais de se trabalhar com o risco são:
1. Distribuição de probabilidades;
2. Simulação do fluxo de caixa;
3. Árvore de decisão.
Na análise de incerteza não se conhece a distribuição estatística de um fluxo de caixa e vai se
trabalhar com opiniões e sugestões de especialistas que terão de decidir sobre qual o melhor
projeto do ponto de vista econômico. Infelizmente, é esta a situação mais freqüente e também
a qual os analistas estão menos preparados para enfrentar. Como responder as seguintes
perguntas: “Qual será a inflação daqui a três anos?”, “Qual o valor do KW/h se as
companhias de distribuição forem privatizadas?”, “Qual o valor do petróleo daqui a 5
anos?”..., pode-se notar que situações desta natureza sempre existem nos projetos. Então, a
consideração de incertezas traz com um de seus objetivos a discussão de como reagir frente a
decisões necessárias, em ambientes onde não é possível se ter valores exatos ou uma
distribuição probabilística dos dados. As técnicas utilizadas para consideração da incerteza
são:
1. Análise de sensibilidade;
2. Método de Laplace;
3. Método MAX MIN;
4. Método MAX MAX;
5. Método de Hurwicz;
6. Método de Savage;
7. Técnicas baseadas na teoria sobre Fuzzy Sets.
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 3
Os métodos 2, 3, 4, 5 e 6 são baseados na teoria dos jogos, teoria que se consagrou no ano
de 1994, quando o Prêmio Nobel de Economia foi conferido ao americano John F. Nash, ao
húngaro John Harsanyi e ao alemão Reinhard Selten pelo desenvolvimento mais rigoroso da
teoria dos jogos e sua aplicação em economia. A concepção da teoria dos jogos em si se
deve a John Von Neumann e Oskar Morgenstern que, inspirados em jogos como os de
xadrez e de pôquer, publicaram em 1944 um volume de 640 páginas de matemática chamado
“A Teoria dos jogos e o comportamento econômico”. Von Neumann foi um dos maiores
matemáticos deste século e não recebeu o Nobel com Morgenstern pelo fato de ambos já se
encontrarem falecidos em 1994.
2. A NATUREZA DAS INCERTEZAS
Como mostrado esquematicamente na Figura 2: “O futuro pode revelar surpresas”. Quanto
maior a vida do projeto maior as chances de se ter problemas com estimativas feitas na época
da análise econômica do projeto.
Figura 2 - A incerteza que pode acontecer com os fluxos de caixas
Vários são os fatores que podem contribuir para a incerteza. Alguns destes fatores estão
sintetizados na Figura 3. Como se pode notar alguns fatores, por exemplo, aumento de
investimento
0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n
Aumento das incertezas
Fatores imprevistos
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 4
impostos, podem afetar a todas empresas e são os chamados sistemáticos. Outros fatores,
como, por exemplo, o aumento de preço de uma matéria prima específica, atinge empresas
em casos isolados e são os não sistemáticos.
Econômicos Financeiros Técnicos Outros
? Oferta subdimensionada
? Insuficiência de capital
? Inadequabilidade do processo utilizado
? Fatores políticos
? Demanda superdimensionada
? Falta de capacidade de pagamento
? Inadequabilidade das matérias primas
? Fatores institucionais
? Dimensionamento incorreto
? Inadequabilidade da tecnologia empregada
? Problema de gerenciamento de projeto
? Alteração dos produtos e subprodutos
? Greve
? Alteração dos preços da matéria prima
? Inflação
? Investimentos imprevistos
Figura 3 - Fatores que levam a incerteza
3. MÉTODOS DE DECISÃO EM CONDIÇÕES DE INCERTEZA Alguns dos conceitos que serão mostrados são problemáticos, mas o conhecimento destas
técnicas pode ser útil em alguns casos.
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 5
3.1 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Técnica bastante prática para se tratar o problema das incertezas. Na verdade é mais um
enfoque que uma técnica. Consiste em medir o efeito produzido na rentabilidade do
investimento, ao se variar os dados de entrada. Deve-se variar cada parâmetro de uma vez
estabelecendo o valor mais provável, o limite inferior e superior da variação. Para cada valor
calcula-se VPL, VA ou TIR e com isto pode-se ter uma idéia da sensibilidade do parâmetro
em questão.
A análise de sensibilidade é baseada no conceito de elasticidade. Supondo o fluxo de caixa da
Figura 4, onde I é o investimento inicial, C os custos envolvidos, R a receita prevista, L o
valor residual e n a vida útil do projeto.
Figura 4
R é o resultado da venda de X unidades de um produto pelo preço P. C é o custo composto
de duas parcelas, o custo fixo CF e o custo variável CV referente a utilização de 2 matérias
primas, mp1 e mp2. A expressão que permite calcular o custo é a seguinte:
C = CF + CV = CF + (? 1 P1 + ? 2P2) X
Nesta expressão ? 1 e ? 2 representam a razão com que as duas matérias primas mp1 e mp2
são utilizadas por unidade de produto. São também chamados de coeficientes técnicos. P1 e
P2 são os preços das duas matérias primas.
O valor presente do fluxo de caixa mostrado na Figura 4 pode ser representado pela seguinte
expressão:
VPL = - I + {PX - [CF + ( ? 1 P1 + ? 2P2) X]}(P/A, i%, n) + L / (1 + i)n
I
0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n
R
C
R + L
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 6
Trabalhando a expressão, ela pode ser reescrita da seguinte forma:
VPL = - I + [(P - ? 1 P1 - ? 2P2) X - CF] (P/A, i%, n) + L / (1 + i)n
Ao se variar X na expressão acima se chega no gráfico da Figura 5, onde se nota
perfeitamente o valor mínimo a ser vendido do produto para que VPL possa ser maior que
zero. O ponto de cruzamento da curva com a abscissa é chamado de ponto de nivelamento.
Figura 5 - Ponto de nivelamento
Pela análise da Figura 5 nota-se que quantidades de X abaixo de X0 faz o projeto ser inviável.
O ponto de nivelamento pode ser alterado para qualquer variável do fluxo de caixa (I, P, P1,
P2, i,...) e com isto pode-se estudar a viabilidade para as diversas alterações, além de se
descobrir quais são os parâmetros mais sensíveis, que fazem o projeto se inviabilizar mais
facilmente. Sobre estes parâmetros é que se devem estabelecer controles mais rígido. É a
maneira mais simples de se analisar a incerteza, e consiste no primeiro passo para a análise de
risco, pois se toma conhecimento dos parâmetros mais sensíveis que necessitam de um estudo
mais aprofundado.
3.1.1 EXEMPLO 1
X quantidade vendida 0 X0
VPL(x)
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 7
Uma empresa do setor de garrafas térmica esta pensando em lançar uma nova garrafa para
manter líquidos gelados. O investimento necessário é de US$ 100.000,00. A previsão de
vendas é de 10 mil garrafas por mês a um preço de US$ 10,00 por garrafa. Os custos fixos
serão de US$ 20.000,00 por mês e os custos variáveis de US$ 4,00 por garrafa. Ao final de
três meses a empresa venderá a linha por US$ 30.000,00. Analise a TIR sob a previsão de
vendas e sob a possibilidade de erros nesta previsão. A TMA da empresa é de 10% ao mês.
SOLUÇÃO:
a) Sob a previsão de vendas original:
Investimento = 100.000
Receita mensal = 10.000 x 10 = US$ 100.000,00 / mês
Custos variáveis = 10.000 x 4 = US$ 40.000,00 / mês
Custos fixos = US$ 20.000,00
Valor residual = US$ 30.000,00
TIR = 20,94 % ao mês
Pela TIR para esta situação pode-se concluir que o projeto é viável.
Fluxo de caixa
100.000
40.000 30.000 + 40.000
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 8
b) Vejamos o que pode acontecer se a previsão de vendas não for atendida. Imaginando
variações negativas de 10%, 20% e 30%. Os resultados dos três casos são sintetizados a
seguir:
- 10% nas vendas - 20% nas vendas - 30% nas vendas
Receita mensal =
9.000 x 10 = 90.000
Receita mensal =
8.000 x 10 = 80.000
Receita mensal =
7.000 x 10 = 70.000
Custos variáveis =
9.000 x 4 = 36.000
Custos variáveis =
8.000 x 4 = 32.000
Custos variáveis =
7.000 x 4 = 28.000
Custos fixos: não se alteram Custos fixos: não se alteram Custos fixos: não se alteram
Fluxo de caixa:
Fluxo de caixa: Fluxo de caixa:
TIR: 13,56 % TIR: 6,02 % TIR: -1.75%
Com as hipóteses de erros na previsão de vendas, pode-se elaborar a seguinte curva:
100
34 64
100
28 58
100
22 52
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 9
TIR X Volume de vendas
-5
0
5
10
15
20
25
10000 9000 8000 7000
Volume de vendas
TIR TMA
Ponto de equilibrio
8500
Pelo gráfico é possível visualizar a situação da rentabilidade do projeto em função do volume
de vendas realizadas pela empresa. É necessário que pelo menos 8500 garrafas sejam
vendidas para que o projeto não de prejuízo.
3.1.2 EXEMPLO 2
Considere o fluxo de caixa da Figura 4 e os seguintes parâmetros:
I = 100 P1 = 2 i = 10 % a.a.
L = 15 ? 1 = 0.5 n = 5 anos
X = 20 P2 = 3 CF = 10
P = 9 ? 2 = 2
Analise a sensibilidade do fluxo de caixa e calcule os pontos de nivelamento para X e I.
SOLUÇÃO:
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 10
I L X P P1 ? 1 P2 ? 2 CF i n
Valor esperado
Situação pessimista
? VP
VPL
Situação
Tabela de análise de sensibilidade (variações de 10%, exceto para n).
3.1.3 Estudo de caso
ASSUNTO: Sensibilidade – Exemplo extra
Uma empresa está considerando a possibilidade de realizar um novo gasoduto. A instalação
deste novo gasoduto requererá um gasto de US$2.000.000.000,00 em investimento fixo.
Estima-se uma vida econômica, para o projeto, de 20 anos. A empresa espera contar com
um volume de gás para comercializar de 16 milhões de m3/dia, pagando por este gás um
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 11
preço de US$0,90 por Milhão de btu. A empresa espera comercializar este gás a um valor de
US$2,70 por Milhão de btu. O poder calorífico do gás é de 36785,43 (btu/m3).
A empresa que terá um custo de operação de US$13.000.000,00 e um custo de manutenção
de US$32.000.000,00 por ano, de acordo com previsões de especialistas.
O valor dos equipamentos após os 20 anos é estimado que tenham um valor de
US$200.000.000,00.
A empresa tem um custo de capital de 15% ao ano.
Considerando o ano com 365 dias, responder as seguintes questões:
1. Verificar a atratividade do projeto.
2. Analisar a sensibilidade do projeto para uma variação negativa de 15% no volume
de vendas de gás.
3. Calcular o preço de venda mínimo do gás.
4. Verificar a sensibilidade do projeto para um acréscimo de 20% no valor do
investimento fixo.
3.2 MÉTODOS BASEADOS NA TEORIA DOS
JOGOS
Antes de descrever os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e Savage,
são necessárias algumas considerações. Primeiramente uma definição importante é sobre o
chamado “Estado da natureza”, que é um conjunto de situações possíveis de ocorrer e
sobre as quais não se tem a princípio controle, mas que afetarão o resultado do projeto.
Como exemplo, pode-se citar:
1. Entrada ou não de um novo concorrente no mercado;
2. Aumento desproporcional de um produto;
3. Aumento da inflação, etc...
O problema consistirá em selecionar a alternativa ótima, segundo certos critérios, sem se
conhecer qual o estado da natureza que se verificará no futuro. Para a decisão representam-
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 12
se as diversas alternativas e estados da natureza em forma de matriz, como ilustrado na Figura
6. Rij representa VPL, VA ou TIR da alternativa Ai se a natureza assumir o estado Ej no
futuro. Uma outra consideração importante é que tanto as alternativas como os estados da
natureza são mutuamente exclusivos.
Estado da natureza / eventos
Alternativas / ações
E1 E2 .... En
A1 R11 R12 .... R1n
A2 R21 R22 .... R2n
: : : :
Am Rm1 Rm2 .... Rmn
Figura 6 - Matriz de resultados
Antes de se aplicar qualquer dos métodos deve-se verificar se existem alternativas dominadas.
As alternativas dominadas podem ser eliminadas da análise facilitando os cálculos. A relação
de dominância é dada para a seguinte situação:
Rik ? Rjk
Um exemplo de dominância pode ser entendido pelo exemplo seguinte. Uma empresa esta
escolhendo um veículo de comunicação para empreender sua propaganda. Através de um
estudo chegou-se ao número de consumidores que veriam a propaganda em função do
tempo, estes dados estão na Figura 7.
Tempo
Veículo de divulgação
Ruim Moderado Bom Excelente
TV 200 190 170 130
Jornal 180 160 150 130
Outdoors 110 140 140 190
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 13
Figura 7 - Número de consumidores que vem a propaganda (em milhares)
Pela análise da Figura 7 pode-se ver que alternativa Jornal é dominada pela TV. Em
nenhuma situação de tempo, a alternativa Jornal será melhor que a TV, por isto pode ser
retirada da análise.
3.2.1 MÉTODO DE LAPLACE
Também conhecido como “princípio da razão insuficiente”. O método se baseia na
consideração que se não se sabe a probabilidade de ocorrência dos eventos, elas devem ser
consideradas iguais. Para entender os métodos vamos estudá-los através de um mesmo
exemplo. A1, A2, A3 e A4 são alternativas que dependem do comportamento da inflação. A
inflação poderá ter três cenários para o futuro, sendo eles:
? E1 = a inflação aumenta no próximo ano;
? E2 = a inflação se manterá no mesmo nível;
? E3 = a inflação cairá.
Após os cálculos chegou-se a seguinte matriz:
Estado da natureza / eventos
Alternativas / ações
E1 E2 E3
A1 106 60 20
A2 60 100 30
A3 20 40 80
A4 90 50 15
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 14
EXEMPLO
Escolher a melhor alternativa para a matriz de resultados anterior pelo método de Laplace.
SOLUÇÃO:
3.2.2 MÉTODO MAX MIN
Este método é pessimista ao extremo. Baseia-se na escolha do pior caso para cada
alternativa. Em seguida escolhe-se a alternativa “menos pior”. Representa a pior condição
possível para o projeto. Consiste assim em um critério de extrema segurança. Este é o
problema do método, o extremo conservadorismo.
EXEMPLO
Decidir para a mesma situação do problema anterior através do método MAX MIN.
SOLUÇÃO:
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 15
3.2.3 MÉTODO MAX MAX
Ao contrário do método anterior, este é otimista ao extremo. Baseia-se na hipótese que o
“estado da natureza” será o mais favorável ao projeto.
EXEMPLO
Aplicar o método MAX MAX para o caso.
SOLUÇÃO:
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 16
3.2.4 MÉTODO DE HURWICZ
Os métodos anteriores baseiam-se em situações extremas. O primeiro é muito pessimista e o
segundo muito otimista. O método de Hurwicz combina linearmente estes dois métodos,
utilizando um índice de pessimismo relativo ? , tal que:
0 ? ? ? 1
Assim, para cada alternativa Ai obtém-se o melhor resultado M i e o pior resultado mi. Pode-
se associar a cada Ai um valor H(Ai) dado por:
H(Ai) = ? mi + (1- ? ) Mi
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 17
A desvantagem do método e a de que o decisor tem de tomar uma posição quanto ao valor
de ? .
EXEMPLO
Aplicar o método de Hurwicz ao problema em discussão.
SOLUÇÃO:
3.2.5 Método de savage
Este método também conhecido como “min max - regret”. Busca minimizar um possível
arrependimento. Baseia-se em determinar os desapontamentos das alternativas para cada
evento, obtendo a matriz de desapontamento. Este procedimento é representado da seguinte
forma:
Mrj = Rij - Rrj
onde, Rij é o valor máximo para cada evento Ei. A escolha será sobre a alternativa que
minimiza o “desapontamento”.
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 18
EXEMPLO
Aplicar o método de Savage ao exemplo.
SOLUÇÃO:
3.2.6 EXEMPLO 01
Aplicar os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e Savage ao seguinte
caso:
Estado da natureza / eventos
Alternativas / ações
E1 E2 E3 E4
A1 18 11 11 10
A2 16 16 16 16
A3 17 20 8 17
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 19
A4 9 10 17 16
A5 10 13 17 18
SOLUÇÃO:
3.2.7 EXEMPLO 02
Aplicar os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e Savage ao seguinte
caso:
Alternativas / ações
E1 E2 E3 E4 E5 E6
A1 39 29 -2 3 10 9
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 20
A2 28 32 10 28 -8 10
A3 10 26 42 16 -6 16
A4 27 9 30 12 16 16
A5 15 -3 20 38 15 20
SOLUÇÃO:
3.2.8 Estudo de Caso
Assunto: Teoria dos Jogos
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 21
Uma empresa de gás deseja iniciar imediatamente investimentos em novas redes de
distribuição. Entretanto, existem dúvidas sobre qual a política que será adotada nos próximos
anos, para o setor. Sabe-se que o atendimento a demanda projetada de gás na área de
atuação da empresa, pode ser atendida com três opções diferentes de origens do gás.
Mas, estas opções são incertas, pois a opção a ser escolhida dependerá de discussões e
política futura. Existem quatro alternativas de se iniciar o investimento, e cada uma tem um
resultado econômico distinto em função da origem do gás.
Os resultados previstos pelos analistas econômicos da empresa encontram-se na tabela a
seguir. Utilizando os conceitos da teoria dos jogos, utilizar os diversos métodos para se ter um
cenário para a discussão e decisão de qual alternativa de investimento deveria ser escolhida
pela empresa.
Cenários possíveis
(resultados em VPL)
Origem do gás GASBOL Bacia de Santos Argentina
Opções de
investimento
Alternativa 1 1200 1000 -200
Alternativa 2 -100 1500 800
Alternativa 3 -300 1000 1700
Alternativa 4 1100 900 -250
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