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Cuaderno de Actividades: Física II
2) CAMPO ELÉCTRICO2) CAMPO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSSY LEY DE GAUSS
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 19
Cuaderno de Actividades: Física II
2.1) Definición de campo eléctrico,2.1) Definición de campo eléctrico, Er
El vector Er
describe las propiedades eléctricas del espacio {medio}.
Donde:
Campo eléctricoCampo eléctrico: : Discusión…Discusión…
“Las interacciones del campo no son instantáneas”“La carga q modifica el medio que la rodea (campo)”
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
0
eFE
q=
rr
eFr
q
0q
P
Er
P
→
q
0 0
0
: ,
0
q Carga de prueba q
q
→ +→
Er
20
Cuaderno de Actividades: Física II
Ecuaciones de E Ecuaciones de E
i)i) qq
( )
( )
0
3
3
3
( )0
,
:
( )
0r
q
q
kqq r r
r r kqrE s
kq r rE r
r
i rq r
En gener
r
al
′−′−
′= = ≡
′−=
′−
r
r r
r r r rr r
r rr rr r
r
ii)ii) Distribuciones Discretas, DDDistribuciones Discretas, DD
( ) ( ) ( )3
1 1
i
i n i ni iqDD
i i i
kq r rE r E r
r r
= =
= =
−= ≡
−∑ ∑
r rr rr r
r r
iii)iii) Distribuciones continuasDistribuciones continuas::
j) j) VolumétricaVolumétrica
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
( )qrE r
r
rr
r′r
q P
( )iqrE r
r
rr'ir r=r r
iq P
iq
21
Cuaderno de Actividades: Física II
( )( )
3,r v
k dv r rE
r r: representa el volumenρ
ρ
ρ ′ ′−=
′−∫r
r rrr r
jj)jj) SuperficialSuperficial
( )( )
3,r a
k da r rE
r ro s : representa el áreaσ
σ
σ ′ ′−=
′−∫r
r rrr r
jjj)jjj) LinealLineal
( )( )
3,r l :
kr
de
lp
rresenta la longi
rE d
ru
rtλ
λ
λ ′ ′−=
′−∫r
r rrr r
“Las distribuciones de carga crean el campo”
ObservacionesObservaciones
j) Nu E C ≡ r
jj) 0
eFE
q=
rr
: definición operacional
jjj)
0 0
0
, : " "
:
.
e eF q E F Fuerza sentida por q .
E creado por cierta distribución de
cargas en la posición de q
=r r r
r
jv) El Er
es usado intensivamente en las ecuaciones.
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 22
Cuaderno de Actividades: Física II
2.2) 2.2) Lineas de fuerza, LFLineas de fuerza, LF
( )( ) ( )
3r
k r dv r rE
r r
, E se obtiene por definicion
ρ
ρ
ρ
ρ
′ ′−=
′−
∀
∫r
r r rrr r
r
→ LEY DE GAUSS: ρdealta simetría .→ Útil sólo para ρ de alta simetría: E
r “fácil” de calcular.
→ LF / LF=simetría ρ .
Definición de lineas de fuerzaDefinición de lineas de fuerza
Son las Son las trayectoriastrayectorias descritas por las descritas por las 0q debido a la debido a la ( )eF qE≡r r
generada por generada por
cierta cierta ρ ..
““La forma de las LF esta ligada a cómo se distribuye la q”
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
rr
r′r
P( )rρ r
LF
( )'rρ r0q
eFr
23
Cuaderno de Actividades: Física II
LF para diversas distribuciones de cargaLF para diversas distribuciones de carga
i)i) qρ ≡
ii)
1 2: q qρ −
|q|
+-
d
ggg
Caso especial:
1 2
1
2
" "
q q q
q
q
d pequeña
≡ ≡ → +
→ − →
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
q0q
q
eFr
24
Cuaderno de Actividades: Física II
iii)iii) ρ λ≡
iv)iv) ρ σ≡
v)v) ( )0 rρ ρ ρ≡ ∨
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
q -q
d
λ
λ
O
O
σ σ
25
Dipolo eléctrico: Modelo más simple para describirModelo más simple para describir sistemas cargados (cuando d sesistemas cargados (cuando d se aprox. a 0)aprox. a 0)
Cuaderno de Actividades: Física II
CaracterísticasCaracterísticas
j)j) E tg LFr
jj) jj)
jjj)jjj) No se cruzan No se cruzan
jv)jv) Distribución de LF: Distribución de LF:
k)k) Densidad LF: Relacionada a la intensidad. Densidad LF: Relacionada a la intensidad. kk)kk) Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes. Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes.
¿? Prepare maquetas de LFs¿? Prepare maquetas de LFs
2.3) Ley de Gauss2.3) Ley de Gauss
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
Q dvρ= ∫ Q
0qEr
ρ+ ρ−
26
Cuaderno de Actividades: Física II
Establece la Establece la proporcionalidad entre el entre el flujo eléctricoflujo eléctrico a través de cierta a través de cierta superficiesuperficie cerrada, llamada gausianacerrada, llamada gausiana y y la carga eléctrica encerrada por dicha superficie.la carga eléctrica encerrada por dicha superficie.
Definición del flujo eléctricoDefinición del flujo eléctrico,, Eφ r
Es la cantidad física escalar que informa acerca de cuanto Er
atraviesa la superficie.
. ,.
:
ES ES S
ds da vector de area elementa
E ds E da
l
φ φ
=
≡ ≡ ≡∫ ∫rr rr
r
r
r
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
dar
da
Er
S A=da da
da d
aa
d→ ≡
→ ⊥
r
rr
27
Johann Carl Friedrich Gauss,El príncipe de las matemáticas.
Cuaderno de Actividades: Física II
Ley de GaussLey de Gauss
,. NEE SG
SG
E da qφ α= ∫rr rÑ
0
. NE
SG
qE da
ε≡∫
r rÑ
Para simplificar los cálculos ver Para simplificar los cálculos ver que:que:
cosE da E da θ⋅ ≡r rr
{ }1º
2
0
º
E da E da
E cte E da E da E saledela
θ π≡ ∨ → ⋅ ≡ ±
≡ → ⋅ ≡ ∫
r rr r
r r r rr
*SG, Superficie gaussiana {superficie. cerrada}
¿? Investigue por lo menos una biografía del Príncipe de las Matemáticas.
¿? Que otros flujos se usan en la Física.
¿? Será posible matematizar las LF
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
SG
28
NE
SG
q dVρ≡ ∫
Cuaderno de Actividades: Física II
EjemploEjemplo
1º Por la definición de Er
( )( )
3r
k dl r rE
r rλ
λ
λ ′ ′−=
′−∫r
r rrr r
( ) ( ) 2 2ˆˆ ˆ
ˆ
r rj r r rj zk r r r z
r zk
′ ′= − ≡ − → − ≡ +
′ =
r r r r r
r
( ) ( ){ }
{ }
{ }
3 22 2
3 22 2
3 22 2
ˆˆˆˆ
0,
¿?
y z
y
z po
k dz rj zkE r E j E k
r z
dz
r
E k r
simetria
r z
zdzE k
r z
λλ
λ
λ
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
−= = +
+
= =+
= − →+
∫
∫
∫
r r
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
λZ
YEr
rr
r′r
dl dz
dq dzλ==
X
29
Cuaderno de Actividades: Física II
2º 2º λ → alta simetría alta simetría → Gauss Gauss
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
Er
SG=SCL+STS+STI
λ
Er
H
O
dar
rr r
H
λ
30
Cuaderno de Actividades: Física II
{ }
0
0
0
0
0 0 ,
2
2
NE
SG SCL STS STI
NE
SCL
SCL
qE da
da || E da E
q SG : E cteE da
HE d
E
a E r
r
H
ε
ε
λπε
λπ ε
⋅ ≡ + + =
⊥
= + + =
= = =
=
=→
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
r r
678 678r rr r
r
r r
r
r
Ñ
S1P22)a) Localice en la figura los puntos donde el campo eléctrico es cero. b) Trace un dibujo cualitativo que muestre las líneas de fuerza del campo
resultante.c) Haga un gráfico cualitativo de E vs. x, dónde E se evalúe en puntos del eje
X.
Solución:
a) Para el punto S:
kE E+ −≡ →
2
q k
d
+≡
{ } 2
0
2 qq
d d
−→
+ 2
5 q
d≡
212
d +
2 212 5
4d d d
+ + ≡
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
Q q- q+ E- P E+ S x d1 0 d0 d x
31
Cuaderno de Actividades: Física II
21,2 1
12 4 4 3
21 2 103 2 0 0,9
2 2 3 6d d d d
± − × × − + − − ≡ → ≡ → ≡ ≡×
Igual en Q:
kE+ ≡
2 q( )2
1
12
kE
d−≡ ≡
+
5 q( ) 2 21 1 12
1
52 5 5
4d d d
d→ ≡ + +
21 1 11,2
5 25 45
3 5 04
d d d
− ± −+ + ≡ → ≡
53
4× ×
5 100,3; 1,4
2 3 6
− ±≡ ≡ − −×
b)
c) Para el punto S:
{ } { }2 2 2 2
2 5 2 5ˆ ˆ ˆ ˆ1 12 2
T T
k q k qE i i kq i E i
x xx x
+ − ≡ + ≡ − ≡
− −
r
2 2
2 5 1,
212
TE kq xx
x
≡ − ← >
−
L hay que especificar para cada región
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
- + x
32
Cuaderno de Actividades: Física II
S1P7) En la distribución mostrada ρ0 es constante y q0 es una carga puntual. Calcule la fuerza sobre q0 si d >> R0.
Solución:
Por superposición:
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
E- y ET
E+
0,9 0 0,5 x
E+ E+
R0 ρ0 centro de la circunferencia q0
R0/2
d
0 0’ q r R0/2 d R0
ρ0
33
Cuaderno de Actividades: Física II
( )0 0 0' 20
' ˆ;/ 2q Qq Q q
kQ kQE E E i
d Rd
≡ + ≡ + −
r r r
33 0
0 0 0
4 4, '
3 3 2 8
R QQ R Qρ π ρ π ≡ ≡ − ≡ −
0 0
30 0 2 2
0
4 1 1 ˆ3
82
ˆq qE k R i
d RE
d
iπρ
≡ −
−
≡
r
00 1
RSi d R
d>> → << {despreciando los cuadrados}
2 2
0 0 02 2
2 0
1 11 1 1
2 21
2
R R R
d d ddRd
d
− − → ≡ − → − = + −
Usando la aproximación del Binomio de Newton:
(1 ) 1 1nx nx cuando x− ≈ − <<
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
Q Q’
0 0’ + ≡ r -ρ0
ρ0
34
Cuaderno de Actividades: Física II
0 0
4qE kρ→ =
3
π ( )300
2
1 /1
8
R dR
d
+−
1442443
0
30 0
0 2
4 11 1
3 8q
R RE k
ddπ ρ = − +
0
30 0
0 2
17
6q
R RE k
ddπ ρ = −
¿? Encuentre este resultado usando la definición. Analice la expresión integral.
Ahora, usando
0F q E≡r r
0
30 0
0 0 2
1 ˆ76q
R RF q k i
ddπ ρ = −
r
S1P19) Un anillo fino aislante de radio R tiene una carga con densidad lineal λ(φ)= λ0 cosφ, donde λ0 es una constante positiva y φ el ángulo azimutal, ¿Cuál es el modulo del vector campo eléctrico?
a) En el centro del anillob) En su eje a una distancia
d de su centro. Analice la expresión obtenida para d >> R.
a) ( ) ( )3
( ) '0
'
k dl r rE
r rλ
λ φ −≡
−∫r rr
r r
ˆ ˆ0, ' cosr r R i Rsen jφ φ≡ ≡ +rr r
( ) ˆ ˆ' cosr r R i Rsen jφ φ→ − ≡ − −r
31 3r r R− ≡r r; dl Rdφ≡
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
Z P z ≡ d
λ
0 y φ R
x dq
35
Cuaderno de Actividades: Física II
( ) { {2 20
0
1ˆ ˆ0 cos 22
kE d i sen d j
R
πλ λ φ φ φ φ − ≡ + ∫
r
( )11 cos2
2φ+
( ) ( )0 0ˆ0 0k
E i ERR
kλλ λπ πλ ≡−≡ →r r
b) ˆ ˆ ˆ, ' cosr zk r R i Rsen jφ φ≡ ≡ +r r
( ) ˆˆ ˆ' cosr r R i Rsen j zkφ φ→ − ≡ − − +r r
{ } 3/ 23 2 2' ; Rr r R z dq dλ φ− ≡ + ≡r r
( ){ } { { {
22 20
3/ 2 02 2
1 ˆˆ ˆcos 2 cos2
k R zE z d i sen d j d k
RR z
πλ λ φ φ φ φ φ φ − → ≡ + − + ∫
r
( ){ }
( ){ }
20
20
3/ 22 23/ 22 2
ˆ ,k R
E z ik R
R zE z
R z
λ λ λ πλ π−≡ →+
≡+
rr
( )2
03
limz R
k RE z
zλ λ π
>>≡
r
S1P47) Determine el campo eléctrico de un disco de radio R con densidad superficial de carga uniforme, sobre puntos en el eje axial del disco.
Solución:
A) Usando coordenadas polares (≡ coordenadas cilíndricas en el plano)
y
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
z r
r
σ r y 'r
r
x
36
Cuaderno de Actividades: Física II
da=(rdθ)dr dr dθ r x θ
( ) ( )3
'
'
kdq r rE r k I
r rσ
σ−
≡ ≡−∫r rr rr
r r
( )dq da rd drσ σ θ= =
( )0,0,r z≡r
( )' cos , ,0r r rsenθ θ≡r
( ) ( )( ) 3/ 22 2
cos , ,s
k rd dr r rsen zI
r z
σ θ θ θ− −≡
+∫
r
( )( )
2
3/ 20 0 2 2
cos , ,R r rsen z rd dr
r z
π θ θ θ − − ≡ + ∫ ∫
2
0cos d
πθ θ∫ = 0
2
0sen d
πθ θ∫ = 0 (por evaluarse en sus periodos)
( )2
3/ 20 0 2 2
ˆR rzdrdI k
r z
π θ≡+
∫ ∫r
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 37
Cuaderno de Actividades: Física II
{ } ( )2
3/ 20 0 2 2
ˆR zrdrd k
r z
πθ
≡ +
∫ ∫
( )( ) 3/ 20 2 2
ˆ2R rdr
z kr z
π ≡ +
∫
( ) ( )2 2
ˆ2z z
E z k kz R z
σ π ≡ − +
r
¿? Encuentre este resultado usando la definición con un elemento de área cartesiano. Analice la expresión integral.
¿? Qué ocurre si R → ∞
R → ∞
( ) ( ) ( )( )
ˆ2ˆ2ˆ2
k kzE z k k
z k k
σ πσ π
σ π
≡ ≡ −
r
( ) ( ) ( )0 0
12 2
4 2E z k
σπ σ π σπε ε
≡ ≡ ≡
r: El E de un plano!
(verifíquelo usando LG)
B) Usando anillos de λ=σdr
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
z r
r
σ r y 'r
r
x
38
Cuaderno de Actividades: Física II
b) ˆ ˆ ˆ, ' cosr zk r r i rsen jφ φ≡ ≡ +r r
( ) ˆˆ ˆ' cosr r r i rsen j zkφ φ→ − ≡ − − +r r
{ } 3/ 23 2 2' ;r r r z dq rdλ φ− ≡ + ≡r r
( ){ } {
2
3/ 2 02 2
ˆˆ ˆcosk rdr
dE z r d i rsen d j zd kr z
πλ σ φ φ φ φ φ → ≡ − − + + ∫
r
14243
( ){ }
( ){ }3/ 2 3/ 22 2 2 2
0
(2 ) (2 )ˆ ˆRk zrdr k zrdr
dE z k E z kr z r z
λ σσ π σ π≡ → ≡+ +
∫r r
( ) ( )2 2
ˆ2z z
E z k kz R z
σ π ≡ − +
r
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 39
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