c5 Moment Inertie

c5. Geometria secţiunii barei:Momentul de inerţie, Modulul de

rezistenţă, Raza de inerţie (de giraţie).

REZISTENTA MATERIALELOR

MOMENT DE INERŢIE AXIAL

I∆ =

∫AI∆ = a2dA

unde “a” reprezintă distanţele de la elementele de arie dA (aparţinând suprafaţa secţiunii) la axa ∆.

MOMENT DE INERŢIE POLAR

I∆ =

∫AIO = r2dA

Faţă de orice sistem ortogonal de axe Oxy (cu originea în polul O),Ix + Iy = Io = const.căci x2 + y2 = r2

unde r reprezintă distanţele de la elementele de arie dA (aparţinând suprafeţei secţiunii) la polul O.

MOMENT DE INERŢIE CENTRIFUGAL

I∆ =

∫AIxy = xydA

unde x şi y reprezintă distanţele de la elementele de arie dA la celedouă axe

MOMENTUL DE INERŢIE AL UNEI SECŢIUNI DREPTUNGHIULARE ÎN RAPORT CU O AXĂ DE SIMETRIE

Ix =

IY =

12

3bh

12

3hb

MOMENTUL DE INERŢIE AL UNEI SECŢIUNI CIRCULARE ÎN RAPORT CU UN DIAMETRU

ID = 64

4Dπ

unde D este diametrul cercului

MOMENTE DE INERTIE IN RAPORT CU AXE PARALELE

Fie IG momentul de inerţie al unei suprafeţe de arie A înraport cu axa ΔG ce trece prin centrul de greutate alsuprafeţei (axă centrală). Să se determine momentul deinerţie al aceleaşi suprafeţe în raport cu axa Δ paralelăcu axa ΔG, la distanţa d.

MOMENTE DE INERTIE IN RAPORT CU AXE PARALELE

I = a2dA= (aG + d)2 dA;

I = a2GdA + 2d aGdA + d2 dA;

Întrucât aGdA = 0 (căci reprezintă momentul static al uneisuprafeţe în raport cu o axă centrală),

I = IG + Ad2

expresie cunoscută sub numele de formula lui Steiner

Momentul de inerţie în raport cu o axă centrală are valoare minimă (căci cantitatea Ad2 este nulă).

∫A∫A

∫A∫A ∫A

MOMENTE DE INERTIE IN RAPORT CU AXE CONCURENTE.MOMENTE PRINCIPALE DE INERTIE. AXE PRINCIPALE DE INERTIE.

In raport cu diferite axe trecând prin punctul O cuprins înplanul suprafeţei, momentele de inerţie au valori diferite.

Intrucât în raport cu două axe perpendiculare (D1 şi D2)suma momentelor de inerţie este o constantă, dacă I1 (înraport cu axa D1) are valoare maximă, rezultă că I2 (înraport cu axa D2) are valoare minimă.

MOMENTE DE INERTIE IN RAPORT CU AXE CONCURENTE.MOMENTE PRINCIPALE DE INERTIE. AXE PRINCIPALE DE INERTIE.

Momentele de inerţie cu valori extreme,I1 = Imax şi I2 = I min,se numesc momente principale de inerţie; cele două axeperpendiculare între ele - în raport cu care momentele deinerţie ating aceste valori, se numesc axe principale deinerţie.Când punctul O este centrul de greutate al suprafeţei,momentele extreme se numesc momente centraleprincipale de inerţie, iar axele - axe centrale principale deinerţie.Dacă suprafaţa are o axă de simetrie, ea este axă centralăprincipală de inerţie, perpendicular pe ea se află cea de-adoua axă principală.

MOMENTE DE INERTIE IN RAPORT CU AXE CONCURENTE.MOMENTE PRINCIPALE DE INERTIE. AXE PRINCIPALE DE INERTIE.

Pe baza relaţiei de definiţie în care intervin distanţele a,pentru anumite forme de secţiuni, la care suprafaţa estedistribuită evident în lungul uneia din cele două axe, sepoate aprecia (fără calcul) că în raport cu această axămomentul de inerţie este minim;

La suprafeţele pentru care I1 = I2 (adică Imax = Imin) toatemomentele de inerţie centrale sunt egale şi toate axelecentrale sunt axele principale de inerţie; este cazulsuprafeţelor cu mai mult de două axe de simetrie(suprafeţele poligoanelor regulate, inclusiv cercul).

CALCULUL MOMENTELOR DE INERTIE LA SECTIUNI DE FORMA OARECARE

Fie o suprafaţă de arie A compusă dinmai multe suprafaţe cu ariile AI, AII,AIII….

Integrala pe aria A, reprezentândexpresia momentului de inerţie sepoate descompune în integrale peariile parţiale AI, AII, AIII….,reprezentând momentele de inerţieale suprafeţelor parţiale:

I = a2dA = a2dA + a2dA + a2dA + …

Adică:

I = II + III + IIII + ….

∫A ∫AI ∫AII ∫AIII

Momentul de inerţie al unei suprafeţe în raport cu o axă este egal cu suma momentelor de inerţie al unor suprafeţe componente, în raport cu aceeaşi axă.

MODUL DE REZISTENTA

Modulul de rezistenţă este ocaracteristică geometrică a suprafeţeisecţiunii definită în raport cu una dincele două axe principale centrale deinerţie.

Wx =

Ix = momentul de inerţie al suprafeţeiîn raport cu axa x;

ymax = distanţa, de-a lungul axei y (ceade-a doua axă principală de inerţie), dela axa x la extremităţile secţiunii.

maxyIx

MODULUL DE REZISTENŢĂ AL UNEI SECŢIUNI DREPTUNGHIULARE

Fie o suprafaţă dreptunghiulară cu laturile b, h şi axa x paralelă cu latura b:

Wx =

Wx =

2

12

3

h

bh

6

2bh

MODULUL DE REZISTENŢĂ AL UNEI SECŢIUNI CIRCULARE

Dacă d este diametrul cercului :

Wx =

Wx =

2

64

4

d

dπ

32

3dπ

RAZA DE INERTIE (RAZA DE GIRATIE)

Raza de inerţie este o caracteristică geometrică asuprafeţei secţiunii definită în raport cu una din celedouă axe principale de inerţie.

Raza de inerţie ix în raport cu axa x are expresia:

ix =

unde:

- Ix este momentul de inerţie al suprafeţei în raport cu axa x,

- A este aria secţiunii

AIx