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ONDASEnergía que viaja en forma de perturbación autopropagante
(de un medio)
Viaja la energía, no la materia
OndasUnidimensionales (cuerda)Bidimensionales (superficie del agua)Tridimensionales (sonido, luz)
CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS
• Longitudinales (sonido, resorte)
• Transversales (cuerda, superficie del agua)
cx
y
x
y
v
cv
CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS
• Ondas mecánicas (sonido, resorte, cuerda)
• Ondas Electromagnéticas (luz, ondas de radio)
requieren de un medio que se deforma,y esta es la perturbación que se propaga
No requieren de ningún medio,y se propagan hasta en el vacío
HE c
Frente de Ondas
PLANA
ESFÉRICA CILÍNDRICA
Ondas Unidimensionales
x
y
x
y
ct
t = 0
t > 0
y = φ(x,0)
y = φ(x,t)y = φ(x - ct)
Si la onda viaja a la derecha: y = φ(x - ct)
Si la onda viaja a la izquierda: y = φ(x + ct)
c
Ecuación de Ondas Unidimensionalesy = φ(x - ct) = φ(u) ..... con u = x - ct
∂φ∂x =
∂u∂x
dφ(u)du =
dφ(u)du = φ’(u)
∂2φ∂x2
= ∂u∂x
dφ’(u)
du = d2φ(u)
du2 = φ’’(u)
∂φ∂t
= ∂u∂t
dφ(u)
du = -c φ’(u)
∂2φ∂t2
= -c ∂u∂t
dφ’(u)
du= c2
d2φ(u)du2 = c2 φ’’(u)
∂2φ∂t2
∂2φ∂x2 = 1
c2
Ecuación General de Ondas
∂2φ∂t2
∂2φ∂z2 = 1
c2∂2φ∂x2
∂2φ∂y2 ++
φ(x, y, z, t)
∂2φ∂t2∇2φ = 1
c2
Solución de la Ecuación Diferencial
φ(x0,t)
tA A
TT = 2π / ω [s]
f = 1/T [Hz]
ω = 2πf [rd/s]
∂2φ∂t2
∂2φ∂x2 = 1
c2
φ(x-ct) = A sen [k(x – ct) + δ] = A sen (kx - ωt + δ)
A ... Amplitud del movimientoω ... Frecuencia Angular [rd/s]δ ... Constante de Fase [rd]k ...Número de onda [1/m]
c k = ω
φ(x,t0)
xA A
λ
Foto tomada en t = t0
Si T = 2π / ω [s] ... análogamente λ = 2π / k [m]
como c = ω / k
c = ωk
λT= = λf [m/s]
Ondas en Cuerdas
x
y
x x +Δxθ(x)
θ(x +Δx)T
Tpara: tg θ ~ sen θ ~ θ < 6°
Ley de Newton: F = m a
T sen θ(x +Δx) – T sen θ(x) = m ay
μ = ml [kg/m]
T tg θ(x +Δx) – T tg θ(x) ~ μ Δx ∂2y∂t2
... tg θ(x) = ∂y∂x
(x +Δx) (x)
∂y∂x
∂y∂x–
Δx ~μΤ
∂2y∂t2
∂2φ∂t2
∂2φ∂x2 = 1
c2 c = Τμy = φ
Ondas Longitudinales
xx x +Δx
u(x) u(x +Δx)
F(x +Δx)F(x)
Y = σε =
F l0
A Δl
F = A Y Δll0
Δm Δm = ρ A Δl
A Y ΔuΔx= (1)
F(x +Δx) – F(x) = Δm
Ley de Newton: F = m a∂2u∂t2
... y por (1)
A Y Δu(x+Δx) - A Y Δu(x)Δx
= ρ A Δx ∂2u∂t2
(x +Δx) (x)
∂u∂x
∂u∂x–
Δx ~ρY
∂2y∂t2
c = Yρ
∂2u∂t2
∂2u∂x2 = 1
c2
Y = σε =
F l0
A Δl
∂2u∂t2
∂2u∂x2 = 1
c2
Ondas Longitudinales
c = Yρ
Sólidos:
Fluidos: B = -ΔPΔV/V
c = Bρ
B = -V ... es el módulo de compresibilidad del fluidodPdV
Para el sonido: c ∼ 340 m/s, a temperatura ambiente
v t
c t
pA
(p+Δp)ApA
Sonido como Onda Longitudinal
B = VΔV
-ΔP = -ΔPc tv t
= -ΔPcv
ρ = m / V = n M / V
Velocidad del Sonido en función de la Temperatura
Proceso Adiabático: pV γ = constante
... derivando: dp / dV . V γ + γ p V γ - 1 = 0
... de donde: B = - V. dp / dV = γ p (1)
... y como: pV = n R T (2)
c2 = Bρ = γ p
nM / V= γ
MpVn = γ
M R T
c = a.T a = γM R =
c22
c12 T1
T2
Transporte de Energíact
E = U(t) + K(t) = m ω2 A212En un M.A.S.:
Δm = ρ ΔS Δl = ρ ΔS c Δt
ΔE = Δm ω2 A2 = ρ ΔS c Δt ω2 A212
12
Intensidad de una onda: I = = ΔEΔS Δt
ΔPΔS [w/m2]
12
I = ρ ω2 A2 c
NIVEL DE INTENSIDAD
β = 10 log II0
[dB]
Para el sonido: I0 = 10-12 [w/m2] = 0 dB
f [Hz]
β
20 25.000
Umbral de Dolor
Umbral de Sensibilidad0 dB
120 dB
Nivel de Intensidad en Ondas Volumétricas
r1
r2
I = = ΔPΔS
ΔP4 π r2
I1 = ΔP4 π r1
2
I2 = ΔP4 π r2
2
=I1I2 r1
2
r22
I2 = I1 ( )r22
r12
β2 = β1 - 20 log (r2 / r1)
Interferencia de Ondas
F1F2
r2
r1 φ1(t) = A sen (kx - ωt)
φ2(t) = A sen (kx - ωt)
φ(t) = A [sen (k r1 - ωt) + sen (k r2 - ωt) ]
pero: senα + senβ = 2sen[(α+β)/2].cos[(α−β)/2]
φ(t) = 2A cos (k Δr /2) sen (k rp - ωt)rp = (r1 + r2 )/2
InterferenciaDestructiva:
Constructiva: (k Δr /2) = n π Δr = n λ
(k Δr /2) = n π + π/2Δr = n λ + λ/2
φ(t) = [2A cos (k Δr /2)] sen (k rp - ωt)
φ(t) = A(Δr) sen (k rp - ωt)
A(Δr) = 2A cos (k Δr /2)
I = ρ ω2 A2 c 12
... y como: I(Δr) = 4 I0 cos2(k Δr /2)
Δr
A(Δr)
I0
Principio de Huygens
“Cada punto de un frente de onda puede ser considerado como una fuente secundaria de ondas que se expanden en todas las direcciones con rapidez igual a la rapidez de propagación de una onda”
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