BULANIK İLİŞKİ MATRİSİ İLE ATAMA PROBLEMİ ÜZERİNE

BULANIK İLİŞKİ MATRİSİ İLE ATAMA PROBLEMİ ÜZERİNE

Prof. Efendi NASİBOĞLU

DEÜ Fen Fakültesi

Bilgisayar Bilimleri Bölümü

BELİRSİZLİK KAVRAMI

Stokhastik belirsizlik

Zarın yuvarlanması…

Sözel belirsizlik

Güzel kitap, düşük fiyat, ağır eşya…

Bilgisel belirsizlik

Kredi değerliliği, dürüstlük…

2

KLASİK - BULANIK MANTIK

Klasik mantık Önermeler sadece doğru veya yanlış olabilir.

Spor yapmak faydalıdır. (Doğru) Teorik eğitim yeterlidir. (Yanlış)

Doğruluk derecesi 0 ya da 1’dir.

Bulanık mantık Doğruluk derecesi [0,1] aralığında değerler

alabilir. Spor yapmak faydalıdır. (0.9 doğru) Teorik eğitim yeterlidir. (0.5 doğru)

3

KLASİK KÜME

Bir eleman bir kümeye ya aittir ya da değildir.ya da

Klasik kümede üyelik fonksiyonu

4

Ax Ax

Ax

AxxA 1

0 1,0xA

U : insanlar kümesi

G : genç insanlar kümesi

1

x25

KLASİK KÜME

},25)(0{ UxxyaşggGenç

)(xGenç

5

1

x

BULANIK KÜME

)(xGenç

1,0: UG

1,0: UG

L. A. Zadeh, “Fuzzy sets,” Information and Control, vol. 8, pp. 338-353, 1965.

U evrensel kümesinde, G bulanık kümesi üyelik fonksiyonu ile tanımlanır.

Klasik kümede ise şeklindedir.

625

Aa1

a2

a3

a4

B

b1

b2

b3

b4

b5

İKİLİ BAĞLANTILAR (BINARY RELATIONS)

BAR

0

0

1

0

0110

0101

1100

0101

RM7

x, y’ye yakındır.

x ve y sayıları

x, y’ye bağlıdır.

x ve y olayları

x, y’ye benzerdir.

x ve y kişileri veya nesneleri

GERÇEK HAYATTA BAĞLANTILAR

YXyxyxyxR R ,,,,

7.00.05.00.0

5.00.07.02.0

2.00.00.09.0

1.08.02.00.0

RM

8

OPTİMİZASYON NEDİR?

Optimizasyon, bir sistemde yer alan kaynakların

en iyi şekilde kullanılması ile, belirli amaçlara

ulaşmayı sağlayan bir teknoloji olarak

tanımlanmaktadır.

Kaynaklar: İşgücü, zaman, kapital, hammaddeler,

kapasite,…

Amaçlar: Maliyet minimizasyonu, kâr

maksimizasyonu, kapasite kullanımının ve verimliliğin

maksimizasyonu… 9

ATAMA PROBLEMLERİ

Atama problemleri bir çeşit optimizasyon

problemidir.

Kaynakların, görevlere en uygun şekilde

atanmasını sağlamayı amaçlar.

İşçilerin işlere atanması

İşlerin makinelere paylaştırılması

Nesnelerin kutulara paylaştırılması…

10

ATAMA PROBLEMLERİ

11

mjiveyax

mjx

mix

xcMin

ij

m

iij

m

jij

ij

m

i

m

jij

,...,2,1,,10

,...,2,11

,...,2,11

1

1

1 1

Maliyet minimizasyonu için matematiksel gösterim

BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ

12

Bir önceki problem gösteriminde i. işçinin j. işi

yapma maliyetleri bulanık değişken olabilir.

Veya işçilerin işleri yapma yeteneklerine göre

maksimum kaliteli iş paylaşımı ile ilgilenilebilir.

BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KUTU PAKETLEME PROBLEMİ

13

Nesnelerin konteynerlere yerleştirilmesi problemi;

nesneler olsun.

konteynerler olsun.

kiralık konteyner olsun.

Nesneler ve konteynerler arasındaki bulanık ilişkiler;

: ’nin ve ’nin birarada taşınması gerekliliği

: ’nin ve ’nin birarada taşınması

uyumluluğu

: ’nin ’de taşınması gerekliliği

: ’nin ’de taşınması uyumluluğu

nxxxX ,...,, 21

mSSSS ,...,, 21

ix jx

ix jx

ix jS

ixjS

),(11 ji xxRR

),(22 ji xxRR

),(33 ji SxRR

),(44 ji SxRR

1mS

BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KUTU PAKETLEME PROBLEMİ

14

Bu notasyona bağlı olarak;

Kalite derecesi;

mjSxSxxxRSK jjj ,...,1,),(max1)( 212111

mjSxSxxxRSK jjj ,...,1,),(min)( 212122

mjSxSxRSK jjj ,...,1,),(max1)( 33

mjSxSxRSK jjj ,...,1),(min)( 44

)}(),(),(),(min{min 4331,...,1

jjjjmj

SKSKSKSKA

BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KUTU PAKETLEME PROBLEMİ

Kısıtlar

fonksiyonu,

koşulunu sağlayan herhangi bir doğrusal fonksiyon olsun. konveks bulanık küme olsun.

Kısıtlar toplamsal da olabilir.15

mjkiBSQxxF ijjii ,...,1;,...,1)(

)( jii SQxxF ji SQx

ijB

mjkiBxFji SQx

iji ,...,1;,...,1)(

BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KUTU PAKETLEME PROBLEMİ

16

ijjii BSQxxF )(

min)(1

mSx

xF

maxA

mjki ,...,1,,...,1

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.1)-(1.3) problemini çözebilmek için problem şu şekle dönüştürülür;

17

BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KUTU PAKETLEME PROBLEMİ

ijgjii BSQxxF )(

min)(1

mSx

xF

gA

mjki ,...,1,,...,1

]1,0(g

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)

Lemma 1: Eğer belirli bir için

sağlanıyorsa verilen “g” değeri için (1.4)-(1.7) probleminin

çözümü yoktur.

Teorem 1:

durumunda (1.4)-(1.7) probleminin çözümü yoktur.

Teorem 2: , bağlantı matrisinin transitif kapanması olsun.

durumunda (1.4)-(1.7) probleminin çözümü yoktur.

18

BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KUTU PAKETLEME PROBLEMİ

]1,0[g

gSxRSxR jiji )},(),,(1max{ 43

)},(),,(1max{min 43

,...,1,...,1

jiji

mjni

SxRSxRg

)},(),,(ˆ1max{min 21,...,1,

jijinji

xxRxxRg

1R̂ 1R

BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ

19

n sayıda iş , m sayıda işçi

olsun.

Kiralık işçi grubu ile gösterilsin.

Bulanık yetenekler matrisi olsun.

İşçilerin işlere atanması

Her bir esas işçinin toplam iş yüklemesi işçinin

kapasitesini aşmamalıdır.

Her bir iş, sadece bir işçiye atanabilir.

nj mi ,cC ij ,...,1;,...,1

nj mi ,xX ij ,...,1;1,...,1

,...,1i ,1

mbxa i

n

jijj

nxm

iij ,...,1j ,1

1

nppp ,..., , 21 msss ,...,, 21

1ms

OPTİMİZASYON KRİTERLERİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ

20

maxmin)(1

ijij

xxcx

ij

max1)(

1

11

1

1 1

n

jj

n

jjmj

n

jj

m

i

n

jijj

a

xa

a

xa

x

BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ

21

Örnekteki amaç fonksiyonunda, minimum kaliteyle

iş yapan işçinin atamasının maksimum yapılması

hedeflenmiştir. Ancak bu fonksiyondaki min

operatörü yerine herhangi bir birleştirme

operatörü kullanılabilir.

max)()(maxmin)(1

ijijijij

xxcOWAxxcx

ij

SİRALİ AĞİRLİKLİ ORTALAMA BİRLEŞTİRME OPERATÖRÜ (OWA)

22

n

iii

Tnw bwWBaaF

11 ),...,(

n boyutlu OWA birleştirme fonksiyonu ağırlık vektörüyle aşağıdaki

gibi hesaplanmaktadır.

Sınırlı: Monoton: Eğer ise Simetrik: Idempotent: Eğer ise, .

),...,,( 21 nw aaaF),...,,( 21 nwwwW

),...,max(),...,(),...,min( 111 nnn aaaaFaa ),...,(),...,( 11 nn ggFaaF niga ii ,...,1,

),...,(),...,( )()1(1 nn aaFaaF aaaF n ),...,( 1aai

ÇÖZÜM ŞEMASİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ

23

I. Aşama

II. Aşama

max)( x

max)( x

max )( x

ÇÖZÜM ALGORİTMASİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ

I. Aşama Adım 0. Başlangıç değerler;

n,j ;m,i xij 111,0

n,j ;m,i cij 11,

n,j a j 1, m,i bi 1,

m,i bs ii 1,: 1:DegMin24

Adım 1. İşler, iş miktarlarının büyüklüğüne göre azalan sırada sıralanır.

Adım 2. Her bir iş sırayla ele alınır. Adım 3. İşçiler j. işi yapabilme yeteneklerine

göre, azalan sırada sıralanırlar. Adım 4. Her bir i. işçi için Adım 5 tekrarlanır. Adım 5. Eğer

Sonuç: ve DegMin

ij sa

1:ijx jii ass : },min{: ijcDegMinDegMin

n,j ;m,i ,xij 111 25

ÇÖZÜM ALGORİTMASİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ

II. Aşama

26

27

II. AŞAMA ÇÖZÜM ALGORİTMASİ

28

KAYNAKLAR NASİBOV E.N., (1998), “On The Bin Packing Problem with Fuzzy

Information”,Izv. Akad. Nauk Azerbaidzhana. Ser. Fiz.-Tekh. İ Matem.Nauk, No 6, 23-27.

NASİBOV E.N., (2002), “Certain integral Characteristics of Fuzzy Numbers and visual Interactive Method of Choosing The Strategy of Their Calculation”, J. Comp. And System Sci. Int., 41(4), 584-590.

NASİBOV E.N., NASIBOVA R.A., (2003), “OWA and MIN Aggregation methods in fuzzy bin-packing problem”, Transac.of the National Academy of Sciences of Azerbaijan, phus.-tech. and math. series, No. 2, pp.45-50.

NASİBOV E.N., (2003), “Aggregation of Fuzzy Values in Linear Programming Problems”, Automatic Control and Computer Sciences 37(2), 1-11.

NASİBOV E.N., (2004), “An Algorithm for Constructing an Admissible Solution to the Bin Packing Problem with Fuzzy Constraints”, Journ. of Comp. and Syst. Sci. Int., 43, No.2, 205-212.

NASİBOV E.N., SENOL S., NASIBOVA R.A., (2004), “An Optimal Task-Assignment Problem with a Fuzzy Competence Matrix”, Automatic Control and Computer Science, Volume 37, No.6, 28-40.

NASİBOV, E.N., & KINAY, A.Ö., (2006), “Kaliteli İş Paylaşımı Problemi için Bulanık Mantık Yaklaşımı”, İstanbul Ticaret Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi, 5(10), 13-22.

29