Biophysik der Moleküle - LMU München · Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls ! Dieser Weg...

Biophysik der Moleküle!!"#$%&'()*+,#-./'(&#01#2343!

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15. Nov. 2010

Motivation:

Experiment shows characteristic saw-tooth profile Each increase is assumed to be associated with

stretching a flexible chain

Techniques to measure

force-extension curves

AFM

Optical

trap

Magnetic

tweezers

Biomembrane

Force Probe

56(#7+/89*87+/#:;)<=+/)>(&<(6'*+,#?@AB##

6)<#,=*C>(&<(6'<#D6<#E*=/&=F)GH(D#I6J('K(&<#L#

=#

0r!

Nr!

!

! R =! r N"! r 0

= b! n

i

i= 0

N

#

M7+/89*87+/#:;)<=+/N#

!

R2

= Na2

O*P=''QP=/#D6<#R#1GH&6J(+#

Polymere : Eine Einführung

!

! R = 0

56(#6/(='(S#T(U6;'(#V(J(##

6)<#(6+#O*P='')QP=/#

!

P(R,N) =3

2"Na2#

$ %

&

' (

3 2

exp )3

2

R2

Na2

#

$

% %

&

'

( (

Die Entropie-Feder

!

! f = 3kBT

R

R2

A#

P#!

T > T0

!

S = kBln P R( )[ ]

!

f ="G(R)

"R= T

"S P(R)( )"R

-WGX<&(6;(+/(#V&=YL#

V%+P%&D=F%+)(+<&%Q6(L#

Gummielastizität: Eine Folge der Quervernetzung

$7-1Z[\#]*DD6('=)F96<.<#

^(/(#I=)GH(#<&.,<#(<K=#/6(#<H(&D6)GH(#7+(&,6(#X_`#;(6S#*+/#/(&#I%/*'#]#'.))<#

)6GH#/*&GH#]#a#+#X_`#=;)GH.<9(+S#K%;(6#+#/6(#:+9=H'#/(&#I=)GH(+#Q&%#$%'*D(+#

6)<"#

?%'bD(&+(<9(#H=;(+#(6+(+#(+<&%Q6(8('=)F)GH(+#[H=&=X<(&"#56()(&#/&WGX<#)6GH#

/*&GH#/6(#*+,(KcH+'6GH(#?&%Q%&F%+='6<.<#/()#1GH(&D%/*')#9*#/(&#

(̀DQ(&=<*&#=*)"#

Zustandssummen verbinden mikroskopische

Konfigurationen mit makroskopischen Größen !

w l{ }!

" #

$

% & =1

Z' e

(E l{ }( )kTWahrscheinlichkeit, den Zustand!

vorzufinden!

l{ }

b = ! ! ! w l{ }( )"" ! b l{ }( ) d l{ }Mittelwertberechnung!

Z = ! ! ! e"E l{ }( )kT## d l{ }Zustandssumme!

{l}={l1,l2,...,lN}!

Zusammenhang mit der freien Enthalpie! G = !kBT ln Z( )

'4#

'2#

'R#16(H(#?dd#*+/#`e#

li

= l

sin(!i) cos("

i)

sin(!i)sin("

i)

cos(!i)

#

$

%

%

&

'

(

(

Z = 4!( )N

Z = ! ! !"" sin(#1 ) ! ... !sin(#N)d#1...d#N

d$1...d$ NOBdA:! E( l{ })= 0

r2 = ! ! !

1

Z"" ! l i#( )2 d l{ } = ! ! !1

Z"" ! l i2 + l il ji$ j##( ) d l{ }

r2

= N ! l2

Polarkoordinaten!

Beispiel Freie Kette!

Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls !

Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für

das Integral zu finden (Grenzen tückisch). !

F = !k "T# ln(Z

r)

#r

Weg 1: Ausdehnung r vorgegeben, Kraft berechnen!

Weg 2: Kraft F vorgegeben, Ausdehnung berechnen!

Damit sind wieder alle Konfigurationen möglich (keine

komplizierten Integrationsgrenzen). Aber: Die Energien der

Konfigurationen sind nicht mehr gleich.!

r!

E = !F " r

Zr= ! !

li=r"! e

#E l{ }( )kT$$ d l{ }

'4#

'2# 'R#

ZF= ! ! ! e

F!r

kT"" d l{ } li

= l

sin(!i) cos("

i)

sin(!i)sin("

i)

cos(!i)

#

$

%

%

&

'

(

(

!

r = kT" lnZ

F

"F= kT # # #

1

ZF

#r

kT# e

F #r

kT$$ d l{ }

OBdA: F zeige in z-Richtung!

ZF= ! ! ! e

F!l

k !Tcos("1 )+...+cos(" N

)[ ]

## sin("1) ! ... ! sin(" N)d"1...d"N

d$1...d$N

= e

F !l

k !Tcos("

i)

sin("i)d"

id#i

0

$

%0

2$

%i

&

x = cos(!i), dx = "sin(!

i)d!

i

ZF= e

F !l

k!Tcos("

i)

sin("i)d"

id#i

0

$

%0

2$

%i

&

ZF= !e

F "l

k"Tx

dxid#

i

1

!1

$0

2%

$i

& = e

F "l

k"Tx

dxid#

i

!1

1

$0

2%

$i

&

= 2! e

F "l

k "Tx

dxi

#1

1

$i

%

= 4!k "T

F " lsinh

F " l

k "T

#

$ %

&

' (

)

* +

,

- . N

r = kT! lnZ

F

!F= N ! kT !

" ln 4#k !T

F ! lsinh

F ! l

k !T

$

% &

'

( )

*

+ ,

-

. /

"F

= NkT !

"4#kT

F2lsinh

F ! l

k !T

$

% &

'

( ) + 4#

1

Fcosh

F ! l

k !T

$

% &

'

( )

4#kT

Flsinh

F ! l

k !T

$

% &

'

( )

= N ! l cothF ! l

k !T

"

# $

%

& ' (

kT

F ! l

)

* +

,

- . = NkT !

1

F+

l

kTcoth

F " l

k "T

#

$ %

&

' (

)

* +

,

- .

!

= 2"k #T

F # le

F # l

k#T $ e$F # l

k#T%

& '

(

) *

+

, - -

.

/ 0 0

N

Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls !

r = N ! l cothF ! l

k !T

"

# $

%

& ' (

kT

F ! l

)

* +

,

- . =:N ! l !L

F ! l

k !T

)

* +

,

- .

Die Polymerelastizität ist ein einfaches Beispiel für eine tiefliegende Analogie

zwischen Polymerphysik und Magnetismus (de Gennes).!

M = N !µ cothB !µ

k !T

"

# $

%

& ' (

kT

B !µ

)

* + +

,

- . . Langevin Paramagnetismus!

mit L x( ) ! coth x[ ] "1

x

Langevinfunktion!

Diese Umkehrung ist eine Näherung für

große N, wenn Fluktuationen keine

Bedeutung mehr haben.!

Für kleine Kräfte:! coth( x) !1

x+x

3

r ! N "l "l "F

3kTHooke’sches Gesetz!

F =kT

lL!1 r

N " l

#

$ %

&

' (

r = N ! l cothF ! l

k !T

"

# $

%

& ' (

kT

F ! l

)

* +

,

- . =:N ! l !L

F ! l

k !T

"

# $

%

& '

F !3kT " r

N "l2

Für kleine Ausdehnungen:! Gummielastizität!

1000!

800!

600!

400!

200!

0!80!60!40!20!

Kra

ft!

Ausdehnung!

60!

40!

20!

0!

80!60!40!20!

Kra

ft!

Ausdehnung!

Limitations of the Freely-Jointed Chain Model!

s!

!(0)!

!(")#

Ein Maß für die Steifigkeit eines Polymers ist die Persistenzlänge Lp, die angibt, ab

welcher Länge s=Lp die Orientierung !(0) und !(") nicht mehr korreliert sind.!

Ein Maß für die Korrelation der Orientierung ist folgender Mittelwert:!

Das Worm-Like-Chain Modell für semiflexible Polymere!

!

C" (s) =! t s( ) #

! t 0( ) = exp $s L

P( )

!

C" (s) = cos " (s) #" (0)( ) = cos " (s)( ) =! t s( ) $

! t 0( )

!

! t s( )

!

! t 0( )

Der End-zu-End Abstand im WLC-Modell!

= t(s)0

L

! " ds

#

$ % %

&

' ( (

t( ) s )0

L

! " d ) s

#

$ % %

&

' ( (

= t(s)0

L

! " t( # s ) " ds " d # s

0

L

!

s

! t ds

! r

= 2 ! t(s)" s =s

L

# ! t( " s ) ! ds ! d " s

s=0

L

# = 2 ! cos " ( # s )$" (s)[ ]# s =s

L

% ! ds ! d # s

s=0

L

%

= 2 ! e"

# s "s

Lp

# s =s

L

$ ! d # s ! dss=0

L

$ = 2 !Lp2

e"L

Lp "1+L

Lp

#

$

% %

&

'

( (

Vergleich mit FJC! Beide Modelle führen zum selben

mittleren End-zu-End Abstand,

wenn als effektive Kuhnlänge "

des WLC definiert wird:!

l1l2

l3

!

R2

!

R2

= bK

2N = b

KL

!

bK

= 2LP

!

"2 # L # LP für L >> LP

L2

für L << LP

$ % &

The force extension relation of FJC and WLC!

F

k TB

Freely Jointed Chain!

F

k TB

F(x)=kT

p1

4(1-x/L)

1

4

x

L( )+-

2

Worm Like Chain !

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

dsDNAFJCWLC interpolatedWLC exactHooke's law

10

-11

Extension (x/L)

Forc

e (p

N)

Current Opinion in Structural Biology

100

10

1

0.1

0.01

f%&G(#(U<(+)6%+#G*&>(#%P#/)5R:#

Unfolding 4 and 8 Segment Long Recombinant Titin IgFragments!

M. Rief, M. Gautel, F. Oesterhelt, J. M. Fernandez and H. E. Gaub, Science (1997),Vol 276 , p 1109-!

250 pN!

250 pN!

0! 50! 100! 150! 200! 250!

0! 50! 100! 150! 200! 250!

E!xtension (nm)!

E!xtension (nm)!

Fo

rce!

Fo

rce!

0! 50! 100! 150! 200! 250!

0! 50! 100! 150! 200!

E!xtension (nm)!

E!xtension (nm)!

600!

400!

200!

0!

-200!

600!

400!

200!

0!

-200!

800!

Fo

rce

(pN

)!F

orc

e (p

N)!

200!

0!

400!

0! 50! 100! 150! 200! 250!

Extension (nm)!

48! 74! 99! 123! 147! 171! 195!L!(nm)!

Fo

rce (

pN

)!

p= 3Å !

Unfolded Ig 8mer as a Worm Like Chain !

F(x)=! kT!

p!

1!

4(1-x/!L!)!

1!

4!

x!

L!(! )!+!-!2!

{l}={l1,l2,...,lN}!

Das Freely-Jointed-

Chain Modell !

l2

= N ! l

s!

!(0)!

!(")#

Ein Maß für die Steifigkeit eines Polymers ist die

Persistenzlänge Lp, die angibt, ab welcher Länge s=Lp die

Orientierung !(0) und !(") nicht mehr korreliert sind.!

Das Worm-Like-

Chain Modell für

semiflexible

Polymere!

l= 2 !Lp

'g#

M_'%;)N#

?H6'#?6+G*)#

5(](++()#

!

= N ' l'