View
240
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 1/18
Baøi taäp Giaûi tích 1Ñaëng Tuaán Hieäp
2008
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 2/18
Muïc luïc
Lôøi môû ñaàu
1 Soá thöïc vaø daõy soá
2 Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc cuûa haøm soá 3 Pheùp tính vi phaân 10
4 Pheùp tính tích phaân 13
5 Chuoãi soá 16
1
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 3/18
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 4/18
Chöông 1
Soá thöïc vaø daõy soá
Baøi 1.1.Cho A⊂R laø taäp bò chaën treân. Chöùng minh raènga = sup A khi vaø chæ khia laø moät
caän treân cuûaA vaø∀ε > 0,∃xε∈A : a −ε < x ε.
Giaûi. Thuaän: Giaû söûa = sup A, khi ñoùa laø caän treân beù nhaát cuûaA.Giaû söû
∃ε > 0 sao cho∀x∈A ta coùx ≤a −ε. Khi ñoùa −ε laø moät caän treân beù hôna cuûa
A. (maâu thuaãn)Ñaûo: Giaû söûa laø moät caän treân cuûaA vaø
∀ε > 0,∃xε∈A : a −ε < x ε. DoA laø taäp bò chatreân neân
∃b = sup A. Ta seõ chæ rab = a. Thaät vaäy, doa laø moät caän treân cuûaA, neânb ≤a.Neáub < a thì ta laáyε = a −b > 0, toàn taïixε ∈A sao choa −ε < x ε, töùc laøb < x ε.(maâuthuaãn)
Baøi 1.2.Cho A⊂R laø taäp bò chaën döôùi. Chöùng minh raènga = inf A khi vaø chæ khia laø moät
caän döôùi cuûaA vaø
∀
ε > 0,
∃
xε
∈
A : a + ε > x ε.
Giaûi. Töông töï baøi1.1
Baøi 1.3.Chöùng minh:
1. Vôùi moïix, y > 0 ñeàu toàn taïin∈N , sao chox < ny .
2. Vôùi moïix > 0 ñeàu toàn taïin∈N , sao cho0 <
1n
< x .
3. Vôùi moïix > 0 ñeàu toàn taïin∈N , sao chon ≤x < n + 1 .
Giaûi.
1. AÙp duïng nguyeân lyù Acsimet cho soá thöïcxy
.
2. AÙp duïng nguyeân lyù Acsimet cho soá thöïc1x
.
3
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 5/18
Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 4
3. AÙp duïng nguyeân lyù Acsimet, toàn taïik∈N sao cho0 < x < k . Xeùt taäpA = {k∈
N :k > x } ⊂N, khi ñoùA = ∅
vaøA bò chaën döôùi bôûix. Do ñoù, toàn taïik0 = min A, deãthaáyk0 ≥1. Ñaëtn = k0 −1, thì n∈
N, vaøn ≤x < n + 1 .
Baøi 1.4.Chöùng minh caùc soá sau laø caùc soá voâ tæ:√3, √2 + √6, 3√5 −4√3,
ax + bcx + d
(a,b,c,d∈Q , ad −bc = 0 , x∈
Q )
Giaûi. • Ñaëtx = √2 + √6, bình phöông hai veá ta ñöôïcx2 = 8+ 4 √3, hayx2 −8 = 4√3.Tieáp tuïc bình phöông hai veá ta ñöôïcx4 −16x2 + 64 = 48 , hayx4 −16x2 + 16 = 0 .Ñeå chöùng minh√2 + √6 laø soá voâ tyû, ta seõ chæ ra ña thöùcP (x) = x4 −16x2 + 16 khoângcoù nghieäm höõu tyû. Thaät vaäy, neáup
q( p,q∈
Z , q = 0 , ( p,q) = 1) laø nghieäm cuûa ña thP (x); thìq|1 vaøp|16. Do ñoùP (x) neáu coù nghieäm höõu tyû thì chæ coù theå lacaùc soá
±1,
±2,
±4,
±8,
±16. Thöû tröïc tieáp, ta thaáy taát caû caùc giaù trò naøy
nghieäm cuûa ña thöùcP (x).
• Töông töï, ta cuõng chæ ra ñöôïc caùc soá √3, 3√5 −4√3 laø caùc soá voâ tyû.
• Giaû söûr =ax + bcx + d∈
Q . Khi ñoù, ta coù(cr −a)x = b−dr .
Neáucr −a = 0 thì x =b−drcr −a ∈
Q (maâu thuaãn).Neáucr −a = 0 thì b−dr = 0 , suy rar (ad −bc) = 0 . Doad −bc = 0 neânr = 0 , hayax + b = 0 .
{ Neáua = 0 thì x = −b
a ∈Q
(maâu thuaãn).{ Neáua = 0 thì b = 0 , töùc laøad −bc = 0 (maâu thuaãn).
Baøi 1.5.Tìmsup A, inf A, max A, min A (neáu toàn taïi), khi
1. A = {1
n + 1: n∈
N}.
2. A = {12n +
(−1)n
n + 1: n∈
N}.
3. A = {1 + (−1)n
n + 1 −n2 : n∈N}.
Ñaùp soá .
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 6/18
Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 5
1. sup A = max A = 1 vaøinf A = 0 , khoâng toàn taïimin A.
2. sup A = max A = 2 vaøinf A = min A = −18 .
3. sup A = max A = 2 vaøinf A =
−∞, khoâng toàn taïimin A.
Baøi 1.6.Chöùng minh taäp caùc soá dyadic D = {m2n : m∈
Z , n∈N}laø truø maät trongR .
Giaûi. Laáyx, y ∈R sao chox < y . Theo nguyeân lyù Acsimet, toàn taïin ∈
N sao cho0 <
1y −x
< n ≤2n hay x < y +12n . Toàn taïim∈
Z sao chom ≤2n x < m + 1 . Khi ñoù, toàn
taïim + 12n ∈D thoûa maõn
x <m + 1
2n =m2n +
12n ≤x +
12n < y.
Baøi 1.7.Cho D truø maät trongR vaøF laø taäp con höõu haïn cuûaD . Chöùng minhD/F truø maät trong R .
Giaûi. Giaû söû|F | = n. Laáyx, y∈R sao chox < y . DoD truø maät trongR neân toàn taïiz1∈D
sao chox < z 1 < y . Toàn taïiz2, . . . , z n +1 ∈D sao cho
x < z 1 < z 2 < · · ·< z n < z n +1 < y.
Vì |F | = n neân toàn taïik∈ {1, 2, . . . , n + 1}sao chozk ∈D vaøzk ∈F , töùc laøzk ∈D/F ,thoûa maõnx < z k < y .
Baøi 1.8.Cho α∈R sao cho α
π ∈Z . Chöùng minh khoâng toàn taïilim
n→+ ∞sin nα, lim
n→+ ∞cos nα .
Giaûi. Giaû söû toàn taïia = limn→+ ∞
sin nα . Khi ñoù, ta coù
sin(n + 2) α −sin nα = 2 sin α cos(n + 1) α
Do ñoùb = limn→+ ∞
cosnα = 0 . Hôn nöõa, do
cos(n + 2) α −cosnα = −2sin α sin(n + 1) α
neân ta phaûi coùa = 0 . Vì vaäy, ta coùa = b = 0 .
Töông töï, neáu toàn taïib = limn→+ ∞ cos nα thì ta cuõng coù ñöôïca = limn→+ ∞ sin nα vaøa = b = 0 .Tuy nhieân, ta laïi coù1 = lim
n→+ ∞(sin2 nα + cos 2 nα ) = a2 + b2.
Ta coù ñieàu maâu thuaãn.
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 7/18
Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 6
Baøi 1.9.Chöùng minh neáulimn→∞
an = L thì limn→∞|an | = |L|.
Höôùng daãn. Söû duïng baát ñaúng thöùc||a|− |b|| ≤ |a −b| vaø ñònh nghóa giôùi haïn theo nngöõ
−δ.
Baøi 1.10.Cho an = 1.3. . . . . (2n −1)2.4. . . . . 2n
. Chöùng minhan < 1√2n + 1
. Suy ra limn→∞
an = 0 .
Höôùng daãn. Duøng quy naïp chöùng minh0 < a n <1
√2n + 1, vôùi moïin ∈
N∗. Sau ñoù aùduïng nguyeân lyù Sandwich ñeå suy ralim
n→∞an = 0 .
Baøi 1.11.Cho a0 = 1 , a n = √1 + an−1. Chöùng minh daõy(an ) laø daõy ñôn ñieäu, bò chaën. ϕ = lim
n→∞an goïi laøtæ leä vaøng.
Höôùng daãn. Duøng quy naïp chöùng minh, vôùi moïin ∈N, ta coùan < a n +1 vaø0 < a n < 2.
Khi ñoù, toàn taïiϕ = limn→∞an , thoûa maõn0 ≤ϕ≤2 vaøϕ = √1 + ϕ. Do ñoùϕ = 1 +
√52 .
Baøi 1.12.Giaû söû toàn taïi0 < r < 1 , sao cho|an +1 −an | ≤Cr n ,∀n. Chöùng minh(an ) laø daõy
Cauchy neân hoäi tuï.Höôùng daãn. Vôùi moïim > n , ta coù
|am −an | ≤ |am −am−1|+ |am−1 −am−2|+ · · ·+ |an +1 −an |≤ C (r m−1 + r m−2 + · · ·+ r n )= Cr n (r m−n−1 + · · ·+ 1)
= Cr n 1 −r m−n
1 −r<
Cr n
1 −r
Baøi 1.13.Cho a0 = 1 , a n = 1 +1
an−1. Chöùng minh3
2 ≤an ≤2 , vôùi moïin ≥1. Suy ra(an )
laø daõy Cauchy (neân hoäi tuï). Tìmϕ = limn→∞
an .
Höôùng daãn. Duøng quy naïp chöùng minh,32 ≤an ≤2, vôùi moïin ≥1. Sau ñoù, vôùi moïin∈
N,ta coù
|an +1 −an | = |an
−an
−1
||an an−1| ≤49|an −an−1| ≤ ·· · ≤(
49)
n
|a1 −a0| = (49)
n.
Do ñoù,(an ) laø daõy Cauchy (neân hoäi tuï).
Khi ñoù, toàn taïiϕ = limn→∞
an , thoûa maõn32 ≤ϕ≤2 vaøϕ = 1 +
1ϕ
. Vì vaäyϕ =1 + √5
2.
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 8/18
Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 7
Baøi 1.14.Cho daõy soá döông(an ). Chöùng minh neáulimn→∞
an = a , thì daõy trung bình coäng vdaõy trung bình nhaân:
sn =a1 + a2 +
· · ·+ an
n , pn =n
√a1 . . . a n
cuõng hoäi tuï veàa.
Baøi 1.15.Cho daõy soá döông(an ). Chöùng minh neáulimn→∞
an +1
an= a , thì lim
n→∞n√an = a. AÙp
duïng choan =nn
n!, suy ra lim
n→∞
nn√n!
= e.
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 9/18
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 10/18
Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 9
Höôùng daãn. Tröôùc heát, ta seõ chöùng minhf (r ) = f (1)r,∀r ∈Q . Sau ñoù, söû duïng tính l
tuïc cuûa haømf vaø tính truø maät cuûaQ trongR , vôùi moïix∈R , toàn taïi daõy(r n ) trongQ sao
cho limn→∞
r n = x. Khi ñoù,
f (x) = limn→∞f (r n ) = limn→∞f (1)r n = f (1)x.Vaäy taát caû caùc haøm caàn tìm laøf (x) = ax , vôùia∈R baát kyø.Baøi 2.4.Tìm taát caû caùc haømf : R →R , lieân tuïc vaø thoûa maõnf (x + y) = f (x)f (y);∀x, y∈
R .Höôùng daãn. Neáu toàn taïix0∈
R sao chof (x0) = 0 thì, vôùi moïix∈R , ta coùf (x) = f (x−x0+
x0) = f (x−x0)f (x0) = 0 . Neáuf (x) = 0;∀x∈R thì f (x) = f (
x2
+x2
) = ( f (x2
))2 > 0;∀x∈R .
Khi ñoù, xeùt haømg : R →R sao chog(x) = ln f (x). Khi ñoù, haømg lieân tuïc vaø thoûa mg(x + y) = g(x) + g(y);∀x, y∈
R . Vaäy taát caû caùc haøm caàn tìm laøf (x) = eax , vôùia∈R baátkyø vaø haømf (x) = 0;∀x∈
R + .Baøi 2.5.Tìm taát caû caùc haømf : R +
→R , lieân tuïc, thoûa maõnf (xy) = f (x)+ f (y);
∀
x, y
∈
R + .Höôùng daãn. Xeùt haømg : R →R sao chog(x) = f (ex ). Khi ñoù, haømg lieân tuïc vaø thoûa mg(x + y) = g(x) + g(y);∀x, y∈
R . Vaäy taát caû caùc haøm caàn tìm laøf (x) = a ln x, vôùia∈Rbaát kyø.Baøi 2.6.Tìm taát caû caùc haømf : R + →R , lieân tuïc vaø thoûa maõnf (xy) = f (x)f (y);∀x, y∈
R + .Höôùng daãn. Neáu toàn taïix0 ∈
R + sao chof (x0) = 0 thì vôùi moïix ∈R + , ta coùf (x) =
f (xx0
x0) = f (xx0
)f (x0) = 0 . Neáuf (x) = 0;∀x∈R + thì f (x) = ( f (√x)2 > 0;∀x∈
R + . Khiñoù, ta xeùt haømg : R →R sao chog(x) = ln f (ex ). Khi ñoù, haømg lieân tuïc vaø thoûa mg(x + y) = g(x) + g(y);∀x, y∈
R . Vaäy taát caû caùc haøm caàn tìm laøf (x) = xa , vôùia∈R baátkyø vaø haømf (x) = 0;
∀
x
∈
R + .Baøi 2.7.Chöùng minh neáuf : [a; b] →[a; b] laø haøm lieân tuïc, thìf coù ñieåm baát ñoäng, i.e. taïix0∈[a; b] sao cho f (x0) = x0.Giaûi. Xeùt haømg : [a; b] →[a; b] sao chog(x) = f (x) −x;∀x∈[a; b]. Khi ñoùg laø haøm lieâtuïc treân[a; b]. Hôn nöõa, ta coùg(a) = f (a) −a ≥0; g(b) = f (b) −b ≤0. Theo ñònh lyù giaù trung gian, toàn taïix0∈[a; b] sao chog(x0) = 0 hay f (x0) = x0.Baøi 2.8.Cho haømf : X →R . Giaû söûf thoûa ñieàu kieän Lipschitz treânX :
∃L > 0 : |f (x) −f (x )| ≤L|x −x |;∀x, x ∈X.Chöùng minh khi ñoùf lieân tuïc ñeàu treânX .
Giaûi. ∀ε > 0,∃δ =εL > 0 sao cho
∀x, x ∈X, |x −x | < δ⇒ |f (x) −f (x )| ≤L|x −x | < LεL
= ε.
Do ñoùf lieân tuïc ñeàu treânX .
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 11/18
Chöông 3
Pheùp tính vi phaân
Baøi 3.1.Cho haøm soá
f (x) =x2 sin 1
xneáu x = 0
0 neáu x = 0
Chöùng minhf khaû vi, nhöngf khoâng lieân tuïc taïix = 0 .
Höôùng daãn. Neáux = 0 thì f (x) = x2 sin1x
, neânf khaû vi vaøf (x) = 2 x sin1x −cos
1x
.Neáux = 0 thì ta coù
limx→0
f (x)x
= limx→0
x sin1x
= 0 .
Do ñoùf (0) = 0 .Xeùt hai daõy soá (xn ) vaø(xn ) xaùc ñònh nhö sau:
xn = 12nπ
; xn = 1π + 2 nπ
Deã thaáy, khi ñoùlimn→∞
xn = limn→∞
xn = 0 . Tuy nhieân, vôùi moïin∈N∗ta coùf (xn ) = −1 vaø
f (xn ) = 1 . Do ñoù khoâng toàn taïilimx→0
f (x), töùc laøf khoâng lieân tuïc taïix = 0 .
Baøi 3.2.Chöùng minh raèng neáua0
n + 1+
a1
n+ · · ·+
an−1
2+ an = 0 , thì phöông trìnha0xn +
a1xn−1 + · · ·+ an = 0 coù ít nhaát moät nghieäm treân[0;1].
Höôùng daãn. Xeùt haømf (x) =a0xn +1
n + 1+
a1xn
n+
· · ·+
an−1x 2
2+ an x. Ta coùf laø haøm lieâ
tuïc treân[0;1], khaû vi treân(0;1) vaøf (0) = f (1) = 0 . Do ñoù, theo ñònh lyù Rolle, toàc∈(0;1) sao chof (c) = 0 . Töùc laø, phöông trìnha0xn + a1xn−1 + · · ·+ an = 0 coù nghieämtreân[0;1].
10
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 12/18
Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 11
Baøi 3.3.Chöùng minh vôùip, q > 0,1 p
+1q
= 1 , ta coù:
1. ab
≤
a p
p+
bq
q, (a,b > 0)
2. Baát ñaúng thöùc Holder:n
k=1
akbk ≤n
k=1|ak| p
1
p n
k=1|bk|q
1
q
.
3. Baát ñaúng thöùc Minkowski:p
n
k=1|ak + bk| p ≤ p
n
k=1|ak| p + p
n
k=1|bk| p.
Höôùng daãn.
1. Xeùt haømf :
R+ →
R; x → −ln x
. Khi ñoù,f
khaû vi hai laàn treânR+
vaø vôùi mox∈
R + ta coùf (x) = 1x 2 > 0, neânf laø haøm loài. AÙp duïng baát ñaúng thöùc
haømf trong tröôøng hôïpn = 2 , x1 = a p, x2 = bq, t 1 = 1 p , t 2 = 1
q ta ñöôïc
f (a p
p+
bq
q) ≤
1 p
f (a p) +1q
f (bq).
Suy raab ≤a p
p+
bq
q, (a,b > 0).
2. Ñaët
x =
n
k=1 |ak| p
1
p
; y =
n
k=1 |bk|q
1
q
Neáux = 0 hoaëcy = 0 thì baát ñaúng thöùc Holder hieån nhieân ñuùng.Neáux = 0 vaøy = 0 thì ta seõ aùp duïng baát ñaúng thöùc ñaït ñöôïc ôû1. trong tröôøng hôïpa = |ak|
xvaøb = |bk|
y. Ta ñöôïc, vôùi moïik∈ {1, 2, . . . , n }, thì
akbk
xy ≤ |ak|x
|bk|y ≤
1 p
|ak| px p +
1q|bk|qyq .
Coäng laïi, ta ñöôïc
1xy
n
k=1
akbk ≤1
px p
n
k=1|ak| p +
1qyq
n
k=1|bk|q =
1 p
+1q
= 1 .
Suy ra baát ñaúng thöùc Holder ñöôïc chöùng minh.
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 13/18
Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 12
3. Ta coùn
k=1|ak + bk| p ≤
n
k=1|ak||ak + bk| p−1 +
n
k=1|bk||ak + bk| p−1.
AÙp duïng baát ñaúng thöùc Holder, ta ñöôïcn
k=1|ak||ak + bk| p−1 ≤
n
k=1|ak| p
1
p n
k=1|ak + bk|( p−1)q
1
q
.
n
k=1|bk||ak + bk| p−1 ≤
n
k=1|bk| p
1
p n
k=1|ak + bk|( p−1) q
1
q
.
Do 1 p
+1q
= 1 , neân( p−1)q = p. Vì vaäy, ta coù
n
k=1|ak||ak + bk| p−1 +
n
k=1|bk||ak + bk| p−1
≤n
k=1|ak| p
1
p
+n
k=1|bk| p
1
p n
k=1|ak + bk| p
1
q
.
Töø ñoù, ta coù baát ñaúng thöùc Minkowski
n
k=1 |ak + bk| p1
p
≤n
k=1 |ak| p1
p
+
n
k=1 |bk| p1
p
.
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 14/18
Chöông 4
Pheùp tính tích phaân
Baøi 4.1.Tính caùc tích phaân baát ñònh:
• Baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá:a) x√4 + x2dx b) xe−x 2
dx c) ln xdxx√1 + ln x
d) sin x cos3 xdx1 + cos2 x
e) dx(1 + x)√x
f) √4 −x2dx g) √a2 + x2dx
Höôùng daãn. a) Ñaëtu = 4 + x2 b) Ñaëtu = −x2 c) Ñaëtu = 1 + ln xd) Ñaëtu = 1 + cos 2 x e) Ñaëtu = √x
• Baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn:
a) x2e−x dx b) x2 ln xdx c) ln xx3 dx d) ex sin xdx e)
arcsin xx2 dx
Höôùng daãn. a)u = x2∨dv = e−x dx b) u = ln x∨dv = x2dx
c) u = ln x∨dv = x−3dx d) u = sin x∨dv = exdx e) u = arcsin x∨dv = x−2dx
• Haøm höõu tyû:a) dx
x4 −x2 −2b) dx
(x2 −1)(x2 + 1)c) x + 1
(x2 + 1) 2 dx d) x2dx
x6 −1
e)
dx
x(x2 + 1) 2 f)
dx
x4 + 1g)
x2dx
(1
−x)100
Höôùng daãn. Xem giaùo trình lyù thuyeát trang62 −64.
13
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 15/18
Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 14
• Haøm caên thöùc:a) dx
x(1 + 2√x + 3√x)b) x x −2
x + 1dx c) 1 −√x + 1
1 + 3√x + 1dx
d) dx
(x + 1) √x2 + x + 1 e) dx
x + √x2 + 2 x f) √−x2
+ 4 x + 10 dx
Höôùng daãn. Xem giaùo trình lyù thuyeát trang64 −65.
• Haøm löôïng giaùc:a) dx
2sin x −cos x + 5b) dx
1 + cos x( > 0) c) sin4 xdx d) cos5 xdx
e) cos3x sin5xdx f) sin4 x cos5 xdx g) sin2 x cos4 xdx
Höôùng daãn. Xem giaùo trình lyù thuyeát trang66.
Baøi 4.2.Tính caùc tích phaân baát ñònh sau theon:a) I n (a) = dx
(a2 + x2)n b) J n = sinn xdx c) K n = cosn xdx d) Ln = xn e−x dx
Baøi 4.3.Tính caùc tích phaân xaùc ñònh:
• Baèng phöông phaùp ñoåi bieán:
a) a
0x2√a2 −x2dx b)
a
1
√a2 −x2
xdx
• Baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn:a)
1
0xexdx b)
π2
0x cosxdx c)
π2
0ex cos xdx
• Haøm höõu tæ:a)
1
0
dxx2 −5x + 6
b) 1
0
xdx(1 + x)2 c)
1
0
x5dx1 + x2 d)
1
0
dxx4 + 4 x2 + 3
• Haøm caên thöùc:
a) √ 2
√ 23
dxx√x2 −1
b) 7
2
dx√2 + x + 1
• Haøm löôïng giaùc:a)
π
0
sin xdxcos2 x −3
b) π
0sin4 xdx c)
π4
0tan 6 xdx d)
π4
0
dxcos4 x
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 16/18
Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 15
Baøi 4.4.Cho f laø haøm lieân tuïc treân[0;1]. Chöùng minh:
a) π
0f (sin x)dx = 2
π2
0f (sin x)dx b)
π
0xf (sin x)dx =
π2
π
0f (sin x)dx
AÙp duïng tính π
0
x sin x1 + cos2 x dx ,
π
0
x3 sin x1 + cos2 x dx
Baøi 4.5.Tính caùc tích phaân suy roäng:
a) + ∞
1
dxx2/ 3 b)
+ ∞1
dxx4/ 3 c)
1
0
dxx2/ 3 d)
1
0
dxx4/ 3 e)
+ ∞0
x2 + 1x4 + 1
dx
f) + ∞
0x cosxdx g)
+ ∞0
x ln xdx h) + ∞
1
xdx√x −1
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 17/18
Chöông 5
Chuoãi soá
Baøi 5.1.Tìm chuoãi voâ haïn vaø toång cuûa noù neáu daõy toång rieâng cuûa noù{S n}ñöôïc cho bôûi coânthöùc
1. S n =n + 1
n, n∈
N∗ b) S n =2n −1
2n , n∈N
Baøi 5.2.Chöùng minh caùc chuoãi sau hoäi tuï vì daõy toång rieâng hoäi tuï, vaø xaùc ñò
a) 11.2
+1
2.3+
13.4
+1
4.5+
15.6
+ · · ·b) 1
1.4+
14.7
+1
7.10+
110.13
+1
13.16+ · · ·
c)1
2 −1
4 +
1
8 −1
16 +
1
32 −· · ·d)
∞
k=0
2k + 3 k
6k e)
Höôùng daãn.
a) S n =n
k=1
1k(k + 1)
=n
k=1
1k −
1k + 1
= 1 −1
n + 1.
Do ñoùS = limn→∞
S n = 1 .
b) S n =n
k=0
1(3k + 1)(3 k + 4)
=13
n
k=0
13k + 1 −
13k + 4
=13
1 −1
3n + 4.
Do ñoùS = limn→∞
S n =13
.
16
8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh
http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 18/18
Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 17
c) S n =12
n
k=0−
12
k
=13
1 − −12
n +1
.
Do ñoùS = limn→∞
S n =1
3.
d) S n =n
k=0
13
k
+n
k=0
12
k
=32
1 −13
n +1
+ 2 1 −12
n +1
.
Do ñoùS = limn→∞
S n =72
.
Baøi 5.3.Cho ak , bk > 0. Giaû söû∞
k=0
ak vaø∞
k=0
bk hoäi tuï. Chöùng minh∞
k=0
akbk ,∞
k=0
a2k ,
∞
k=0
(ak + bk)2 ,∞
k=0
√ak
kcuõng hoäi tuï.
Recommended