View
243
Download
2
Category
Preview:
Citation preview
BAB II : LANDASAN TEORI 5
BAB II
LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa teori aljabar linier yang mendukung dalam
penurunan Teori Perron-Frobenius pada Bab III. Teori-teori yang akan dibahas
berupa subruang invarian, proyektor, indeks matriks, dekomposisi core-nilpotent,
serta norm dari vektor dan matriks. Teori tersebut merupakan teori yang mendukung
mengenai properti dari nilai karakteristik, matriks Jordan, dan Cesaro Summable.
Ketiga teori ini sangat erat kaitannya untuk mempelajari dan menurunkan Teori
Perron-Frobenius. Untuk selanjutnya, notasi yang digunakan dalam penulisan tugas
akhir ini merupakan notasi yang biasa digunakan dalam aljabar.
2.1 Subruang Invarian
Subruang invarian ini akan digunakan untuk menjabarkan dekomposisi core-
nilpotent pada Subbab 2.4. Namun, sebelum kita memasuki pada pembahasan
mengenai subruang invarian, kita akan mendefinisikan dulu mengenai matriks
perubahan basis secara singkat. Misalkan adalah operator linier pada V .
Misalkan pula dan adalah dua basis bagi V , maka matriks perubahan
basis dari ke diberikan oleh
A
B 'B
B 'B
[ ] [ ]1'
−=B
A P AB
P , dimana [ ] '=
BBP I
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
BAB II : LANDASAN TEORI
Jika adalah basis baku untuk , maka kolom ke- pada [S n j ]SA adalah
[ ]( ) ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⇒ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦j j j SS SeA A A A A .
Dengan kata lain, koordinat matriks terhadap adalah sendiri. Jadi, kita
peroleh bahwa
A S A
[ ] [ ]1 1− −= =B S
A P A P P AP , (2.1)
dimana [ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( )1 2 1 2x | x | | x x | x | | x= = =… …n nBS S S SP I .
Selanjutnya, untuk suatu operator linier T pada ruang vektor V dan χ ⊆V ,
( ) ( ){ }x | xχ χ=T T ∈ adalah himpunan semua hasil peta yang mungkin dari
vektor di χ dibawah transformasi T . Perhatikan bahwa ( ) ( )=V RT T . Jika χ
adalah subruang dari V , akibatnya ( )χT adalah subruang dari V dan biasanya
( )χT tidak berhubungan dengan χ . Namun, dalam kasus-kasus tertentu
( )χT bisa merupakan subruang dari χ .
Definisi 2.1 Untuk suatu operator linier T pada V , subruang Vχ ⊆ disebut
subruang invarian dibawah T jika ( )χ χ⊆T .
Subruang invarian untuk operator linier sangat penting karena subruang
tersebut menghasilkan koordinat matriks representasi dari yang sederhana.
Untuk membuktikan hal ini, kita misalkan bahwa
T
T
χ dan γ adalah subruang
invarian dibawah . Misalkan pula T { }1 2x , x , , x rBχ = … dan
{ }1 2y , y , , yγ = … qB masing-masing merupakan basis bagi χ dan γ yang
merupakan himpunan bagian dari { }1 2 1 2x , x , , x , y , y , , yrB = … … q , yaitu basis
bagi V . Koordinat matriks terhadap basis adalah B
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
6
BAB II : LANDASAN TEORI
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1x x y y⎡ ⎤= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦… …r qB B B B BT T T T T .
Karena setiap (x )jT berada pada χ , maka hanya buah vektor pertama pada
yang dapat merepresentasikan
r
B ( )x jT , sehingga untuk setiap 1, 2,....,j r=
( )1
x xr
j ij ii
T α=
=∑ dan ( )
1
x0
0
j
rjj B
T
α
α
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Karena setiap ( )y jT berada pada γ , maka hanya q buah vektor akhir pada
yang dapat merepresentasikan
B
( )y jT , sehingga untuk setiap 1, 2,....,=j q
( )1
y yβ=
=∑q
j ij ii
T dan ( )1
0
0y
β
β
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
j B j
qj
T .
Jadi, kita peroleh
[ ]
11 1
1
11 1
1
0 0
0 00 0
0 0
α α
α αβ β
β β
×
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
… …
… …… …
… …
r
r rr r rB
q q
q qq
P 0T
0 Q q
,
dimana /χ
χ⎡ ⎤= ⎣ ⎦BP T dan /
γγ⎡ ⎤= ⎣ ⎦B
Q T .
Secara umum, pernyataan mengenai subruang invarian dan matriks representasi
tersebut diberikan oleh Teorema 2.2 berikut ini.
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
7
BAB II : LANDASAN TEORI
Teorema 2.2 Misalkan adalah operator linier pada ruang vektor V
berdimensi . Misalkan pula
T
n , ,...,χ γ Z adalah subruang V dengan
dimensinya masing-masing adalah dan basisnya adalah
. Selanjutnya, misalkan
1 2, ,...., kr r r
, ,....,χ γB B BZ =∑ iir n dan ....χ γ= ∪ ∪ ∪BZB B B
adalah basis bagi V . Subruang , ,...,χ γ Z invarian dibawah T jika dan hanya
jika [ ]BT mempunyai bentuk matriks diagonal blok
[ ]
1 1
2 2
0 0
0 0
0 0
×
×
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟== ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
……
…k k
r r
r r
B
r r
P
QT
R
dimana /χ
χ⎡ ⎤= ⎣ ⎦BP T , /
γγ⎡ ⎤= ⎣ ⎦B
Q T , dan [ ]/=B
R Tg
Z .
Akibat 2.3 Misalkan adalah matriks T n n× , maka
1 1
2 21
0 0
0 0
0 0
×
×−
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜= ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
……
…k k
r r
r r
r r
P
QD TD
R
⎟⎟ (2.2)
untuk suatu matriks nonsingular jika dan hanya jika D
( 1 2= … kD D D D ) dengan setiap kolom pada adalah span dari
subruang invarian dibawah T .
iD
Bukti. Berdasarkan persamaan (2.1), jika { }1 2, , , nB q q q= … adalah basis bagi
dan jika n ( 1 2= … nq q qQ ) adalah matriks yang memuat vektor di
pada setiap kolomnya, maka
B
[ ] 1−=B
T D TD . Bentuk persamaan (2.2) adalah
akibat langsung dari Teorema 2.2.
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
8
BAB II : LANDASAN TEORI
2.2 Proyektor
Pada subbab ini akan diuraikan beberapa sifat yang dimiliki oleh proyektor
yang diberikan oleh Teorema 2.4 berikut.
Teorema 2.4 Misalkan χ dan γ adalah ruang bagian komplementer dari V
sehingga untuk setiap v V∈ secara tunggal bisa dituliskan sebagai x y= +v
dimana x χ∈ dan y γ∈ . Operator linier tunggal didefinisikan sebagai
, yaitu proyektor pada
P
x=vP χ sepanjang γ , dan mempunyai sifat sebagai
berikut.
P
(a). adalah proyektor pada −I P γ sepanjang χ .
(b). ( ) ( ) χ= − =R NP I P dan ( ) ( ) γ− = =R NI P P .
(c). Jika atau , maka diberikan oleh nV = n P
[ ] [ ] 1| | −⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
I 0P X Y X Y
0 0,
dimana setiap kolom dari dan , masing-masing menyatakan basis
dari
X Y
χ dan γ . Formula lain untuk dapat dilihat pada Teorema 2.9. P
Bukti. Untuk (a), kita peroleh bahwa x y y= + = +v Pv
)v
. Akibatnya
. Jadi, y (= − = −v vP I P −I P adalah proyektor pada γ sepanjang χ . Untuk
(b) merupakan akibat dari definisi proyektor itu sendiri. Formula pada (c)
diperoleh dengan memisalkan Bχ dan Bγ sebagai basis bagi χ dan γ , maka
{ }1 2 1 2x , x ,...., x , y , y ,...., yrB B Bχ γ −= ∪ = n r adalah basis bagi V . Matriks P
relatif terhadap basis adalah B
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
9
BAB II : LANDASAN TEORI
[ ] [ ][ ][ ]
1 1
1
1
[ x ] | | [ x ] | [ y ] | | [ y ]
[x ] | | [x ] | [0] | | [0]
e | | e | 0 | | 0
−=
=
=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
… …
… …
… …
B r B B n rB
B r B B B
r
r
P P P P P
I 00 0
B
Jika adalah basis baku, maka S [ ] [ ]1−=B
P Q PS
Q , dimana
[ ] [ ] [ ]1 1[x ] | | [x ] | [y ] | | [y ] |−= = =… …S r S S n r SBSQ I X Y .
Akibatnya, [ ] [ ] [ ] [ ] 11 | | −− ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠r
S B
I 0P Q P Q X Y X Y
0 0.
2.3 Indeks Matriks
Pada subbab ini akan diuraikan beberapa teorema yang berhubungan dengan
indeks dari suatu matriks yang menunjang dalam pembahasan mengenai matriks
Jordan.
Definisi 2.5 Bilangan bulat nonnegatif terkecil k yang memenuhi
( ) ( )⊕ =k kR NA A n disebut indeks dari . A
Akibat 2.6 Indeks dari matriks adalah bilangan bulat bulat nonnegatif
terkecil , maka pernyataan berikut ini benar.
A
k
(a). ( ) ( )1+=k kR RA A
(b). ( ) ( )1+=k kN NA A
Indeks matriks ini erat kaitannya mengenai matriks nilpoten. Suatu matriks
disebut nilpoten jika ×n nN 0=kN untuk suatu bilangan bulat positif. k
( )Indeks = kN adalah bilangan bulat terkecil sehingga . ini 0=kN ( )Indeks N
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
10
BAB II : LANDASAN TEORI
biasa disebut dengan indeks nilpotensi. Sebagai contoh, matriks
jika dipangkatkan maka akan diperoleh dan .
Jadi, Matriks N adalah matriks nilpoten dengan
0 1 00 0 10 0 0
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
N
2
0 0 10 0 00 0 0
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
N 3
0 0 00 0 00 0 0
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
N
( )indeks 3=N karena 3 0=N ,
tetapi . 2 0≠N
2.4 Dekomposisi Core-Nilpotent
Dengan teori dasar mengenai subruang invarian yang telah dibahas pada
Subbab 2.1, berikut ini adalah teorema yang menjelaskan mengenai salah satu
subruang yang invarian terhadap . Teorema ini akan digunakan untuk
pembuktian teorema selanjutnya mengenai dekomposisi core-nilpotent yang
diberikan pada Teorema 2.8.
A
Teorema 2.7 Misalkan ( )indeks=k A , maka ( )kR A dan adalah
subruang invarian terhadap .
( kN A )A
Bukti. ( invarian terhadap karena A ( )( ) ( ) (1+= =k kR R RA A A A)kR A )k
)
dan
invarian terhadap karena ( kN A A
( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
1
1 1
x x untuk suatu
x 0 x
.
+
+ +
∈ ⇒ = ∈ =
⇒ = = ⇒ ∈
⇒ ⊆
k k
k k k
k k
N w w N
w N
N N
A A A A A
A A A
A A A
kN
Teorema 2.8 Jika ×n nA adalah matriks singular dengan indeks dimana k
( )rank =k rA , maka terdapat matriks nonsingular Q sehingga
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
11
BAB II : LANDASAN TEORI
1 ×− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
r rC 0Q AQ
0 N
dimana adalah matriks nonsingular dan adalah matriks nilpoten
dengan indeks k . Dengan kata lain, serupa dengan matriks blok diagonal
yang memuat matriks nonsingular core dan matriks nilpoten. Matriks blok
diagonal tersebut dinamakan dekomposisi core-nilpotent dari .
×r rC N
A
2 2×
A
Bukti. Misal ( )|=Q X Y dimana kolom dari ×n rX dan × −n n rY merupakan basis
dari ( )kR A dan . Karena ( kN A ) ( )kR A dan ( )kN A merupakan subruang
invarian terhadap berdasarkan Teorema 2.7, maka dari Akibat 2.3, kita
peroleh bentuk
A
[ ]1 ×− ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥
⎣ ⎦r r
B
C 0Q AQ A
0 N dengan dan
.
/ ( )⎡= ⎣ kR XA
C A ⎤⎦
/ ( )⎡ ⎤= ⎣ ⎦kN YA
N A
Untuk menunjukkan bahwa nilpoten, misalkan N 1− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
UQV
, dan tulis
( )1 |−⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞= = =⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣
k kk k
k k
C 0 UA X 0UQ A Q A X YV0 N VA X 0
⎤⎥⎦
.
Akibatnya, dan 0=kN 1− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
kk C 0
Q A Q0 0
. Karena berukuran dan kC r r×
( ) ( ) ( )1rank rank rank−= = =k kr A Q A Q kC . Hal ini menunjukkan bahwa
nonsingular akibatnya C juga nonsingular.
kC
Teorema 2.9 Misal ×n nA mempunyai indeks dengan k ( )rank =k rA .
Misalkan pula 1 ×− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
r rC 0Q AQ
0 N dengan ( )|×= n rQ X Y dan 1− ×⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠n rUQ
V
adalah dekomosisi core-nilpotent, maka
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
12
BAB II : LANDASAN TEORI
(a). adalah proyektor pada 1−⎡ ⎤=⎢ ⎥
⎣ ⎦rI 0
Q Q0 0
XU ( )kR A sepanjang
. ( )kN A
(b). adalah proyektor pada sepanjang 1−
−
⎡ ⎤=⎢ ⎥
⎣ ⎦n r
0 0Q Q
0 IYV )( kN A
( )kR A .
Bukti. Karena ( )kR A dan ( )kN A adalah subruang komplememter dan karena
kolom dan masing-masing merupakan basis untuk subruang X Y ( )kR A dan
, maka berdasarkan Teorema 2.4(c) diperoleh
merupakan proyektor pada
( kN A )
=[ ] [ ] 1 1| | − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠rI 0 I 0
P X Y X Y Q Q XU0 0 0 0
( )kR A sepanjang ( )kN A . Selanjutnya,
merupakan proyektor
pada sepanjang
[ ] [ ] 1 1| | − −
−
⎛ ⎞⎛ ⎞− = = =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠n r
0 00 0I P X Y X Y Q Q YV
0 I0 I
( kN A ) ( )kR A .
2.5 Norm dari Vektor dan Matriks
Ukuran panjang dari suatu vektor disebut dengan norm. Untuk dimensi n , kita
definsikan norm- dari suatu vektor pada Definisi 2.10 berikut ini. p
Definisi 2.10 Untuk , norm- dari vektor 1≥p p x∈ n didefinisikan dengan
( )1/
1x
== ∑
pn pip i
x
Untuk , kita mengenalnya dengan istilah Euclidean norm di . 2=p n
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
13
BAB II : LANDASAN TEORI
Pada teorema berikut ini, kita akan melihat pembutikan dari Pertidaksamaan
Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz (CBS) untuk kondisi dimana hanya persamaan
yang muncul dalam CBS tersebut (Teorema 2.11). Hal ini dibutuhkan karena
mendukung Teorema 2.12 yang akan bermanfaat dalam pembuktian salah satu
teorema di Bab III. CBS ini melibatkan hasil kali dalam dan norm.
Teorema 2.11 Misalkan , x, y Cn∈ x 0≠ , x,y x y= jika dan hanya jika
dimana y a= xx, yx, x
a = .
Bukti. Jika maka y a= x 2x,y x x ya= = . Sebaliknya, jika
x,y x y= maka
2 22 2
2 2
2
2
x y x,y 0, karena x,y y,x x,y maka
x y x,y y,x x,y0 y,y y,x ,dengan
x,xx
y, x y x, x y x y, x y x y
− = =
−= = −
= − − + − = − − = −
a a
a a a a a a
=
maka x y 0 y xa a− = ⇒ =
Teorema 2.12 Misalkan , vektor tak nol, x, y Cn∈ x y x y+ = + jika dan
hanya jika atau y a= x yx a= , untuk suatu . 0a >
Bukti. ( Misalkan , )⇒ x, y Cn∈
( ) ( )
( )
2 2
x y x y
x y x y
x x,y y,x y x 2 x y y
x 2Re x,y y x 2 x y y
+ = +
+ = +
+ + + = + +
+ + = + +
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
14
BAB II : LANDASAN TEORI
maka, ( )Re x,y x y= . Kita tahu bahwa ( )Re x,y x,y≤ , maka
( )x y Re x,y x,y x y= ≤ ≤ , maka x,y x y= . Dari Teorema 2.14
kita peroleh jika x,y x y= , maka y ax= , dimana x, yx, x
a = .
Selanjutnya, cukup dibuktikan bahwa bilangan real positif. Dengan
mensubtitusikan kedalam persamaan
a
y a= x x y x y+ = + , maka
( )( )( )
( )( )
22
2
1 1
1 1
1 1 1 2
1 2Re 1 2
Re
a a
a a
a a a a
a aa a aa
a a
+ = +
+ = +
+ + = + +
+ + = + +
=
Jadi, adalah bilangan real dan a ( )Re 0a a a= = ≥ . Karena dan y a= x y 0≠
maka akibatnya . 0a ≠ 0a >
( )⇐ Misal , maka y a= x
x y x x (1 )x (1 ) x , karena 0 maka
1 x x
x x
x y
a a a a
a
a
+ = + = + = + >
= +
= +
= +
Secara umum, misalkan , vektor tak nol, 1 2 px , x ,...., x C∈ n
1 1
x x= =
=∑ ∑p p
i ii i
jika
dan hanya jika untuk suatu { }1,2,....,∈i s x xπ=j j i dengan dan ≠i j 0π >j
untuk 1, 2,....,=j s .
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
15
BAB II : LANDASAN TEORI
Definsi 2.13 Unit p-sphere didefinisikan sebagai { }x / x 1p pS = = , untuk
. 1, 2,p = ∞
Sebagai contoh, unit 31-,2-, dan - di∞ ℜsphere adalah oktahedron, bola, dan
kubus secara berturut-turut. Kita bisa perhatikan bahwa oktahedron akan
termuat didalam bola dan kedua-duanya akan termuat didalam kubus.
Setelah kita mengenal norm vektor, selanjutnya kita akan membahas mengenai
norm matriks. Norm matriks ini digunakan untuk membantu dalam pembuktian
beberapa teorema di Bab III. Misalkan 2 1
4 2−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦A . Dengan menguraikan
elemen dari menjadi empat elemen dari suatu vektor, norm Euclidean pada
, maka kita bisa menuliskan
A4
( ) ( )1/ 22 22 22 1 4 2⎡ ⎤ 5= − + + + − =⎣ ⎦A .
Ini merupakan salah satu cara sederhana untuk mendefinisikan norm matriks
dan hal ini biasa disebut dengan norm Frobenius. Norm Frobenius dari matriks
ini didefinisikan oleh ×∈ m nA2
,=∑ ij
i jA a . Secara umum, norm matriks
merupakan suatu fungsi yang memenuhi sifat-sifat seperti yang ada pada
definisi berikut ini.
Definsi 2.14 Norm matriks adalah suatu fungsi ∗ dari himpunan matriks
kompleks ke bilangan real yang memenuhi sifat-sifat berikut ini.
(a). 0 0≥ = ⇔danA A 0=A
(b). untuk setiap konstanta α α α=A A
(c). + ≤ +A B A B
(d). ≤AB A B
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
16
BAB II : LANDASAN TEORI
Norm Frobenius memenuhi Definisi 2.14 diatas. Selain itu, kita bisa
mendefinisikan norm matriks selain norm Frobenius dengan cara norm matriks
tersebut dibangkitkan (induced) dari vektor seperti pada teorema berikut ini.
Teorema 2.15 Vektor x∈ p , ,=p m n membangkitkan norm matriks pada
dengan mendefinisikan ×m n
x 1max x
==A A , untuk ×∈ m nA dan 1x ×∈ n .
Hal ini dikenal dengan norm matriks induced.
Bukti. Karena x 1
max x=
A memenuhi Definisi 2.14, maka x 1
max x=
A adalah
norm matriks dari . A
Toerema 2.16 Norm matriks yang dibangkitkan dari vektor norm-1 dan norm-
didefinisikan sebagai berikut. ∞
(a). 1
1 1x 1max x max
== = =∑ ijj i
a nilai absolut jumlah kolom terbesarA A .
(b). x 1max x max
∞∞ ∞== = =∑ ijj i
a nilai absolut jumlah baris terbesarA A .
Bukti (a) . Untuk setiap dengan x1
x 1= , pertidaksamaan segitiga
menghasilkan
1x x
maks maks .
∗= = ≤ =
⎛ ⎞⎛ ⎞≤ =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
i ij j ij j j iji i j i j j i
j ij ijj jj i i
a x a x x a
x a a
A A
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
17
BAB II : LANDASAN TEORI
Bentuk persamaan diatas dapat diperoleh karena jika ∗kA adalah kolom dengan
jumlah absolut terbesar, tulis x = ke dan perhatikan bahwa 1
1=ke dan
1 1maks∗= = ∑k k j i
e aA A ij .
Bukti (b). Untuk setiap dengan x x 1∞= ,
i ix maks maks maks
∞= ≤ ≤∑ ∑ ∑ij j ij j ijij j
a x a x aAj
.
Bentuk persamaan diatas dapat diperoleh karena jika ∗kA adalah baris dengan
jumlah absolut terbesar dan jika adalah vektor dimana x
x , untuk setiap 1, jika 0 maka
1, jika 0 x maks
∗
∗
⎧ = ≤≥⎧ ⎪= ⎨ ⎨− <⎩ = =⎪⎩
∑ ∑∑ ∑
i ij j ijj jkjj
kjk kj i ijj j
a x a iax
a a a
A
A,
maka x∞=1 dan x maks x maks∗∞
= = ∑i i i ijjaA A .
2.6 Properti dari Nilai Karakteristik
Misalkan 1 2 3, , ,..., sλ λ λ λ adalah nilai-nilai karakteristik yang berbeda dari
sebarang matriks . Himpunan nxnA { }1 2 3( ) , , ,...,σ λ λ λ λ= sA disebut spektrum
dari , yaitu himpunan semua nilai karakteristik dari . Selain itu, kita
mengenal istilah yang disebut dengan spectral radius
A A
( )( )ρ A dari matriks ,
yaitu
A
(1
( ) max )ρ λ≤ ≤
= ii sA . Spectral radius ini merupakan lingkaran terkecil dalam
bidang kompleks yang memuat semua nilai karakteristik dari matriks . A
Misalkan , maka kita mempunyai beberapa istilah lain seperti nilai
karakteristik simple dan nilai karakteristik semisimple. Jika
( )λ σ∈ A
( )ma 1λ = maka λ
disebut dengan nilai karateristik simple. Nilai karakteristik yang memenuhi
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
18
BAB II : LANDASAN TEORI
( ) ( )λ λ=ma mg disebut dengan nilai karateristik semisimple. Selanjutnya,
berikut ini diberikan definisi indeks dari suatu nilai karakteristik.
Definisi 2.17 Indeks nilai karakteristik λ dari matriks ∈ nxnA didefinisikan
sebagai indeks dari matriks ( )λ−A I yang memenuhi sifat pada Akibat 2.6.
Dengan kata lain, ( )λindeks adalah bilangan asli terkecil sehingga
pernyataan berikut ekivalen.
k
(a). ( )( ) ( )( )1λ λ +− = −k kR RA I A I
(b). ( )( ) ( )( )1λ λ +− = −k kN NA I A I
Teorema 2.18 Misalkan ∈ nxnA , maka ( )ρ ≤A A , untuk setiap norm
matriks.
Bukti. Misalkan adalah sebarang pasangan karakteristik dari maka ( , xλ ) A
[ ]x | x | ..... | x 0=nxn
X ≠ dan λ =X AX mengakibatkan
λ λ= = ≤X X AX A X . Jadi λ ≤ A untuk setiap , artinya ( )λ σ∈ A
( )ρ ≤A A .
Teorema 2.19 Misalkan ∈ nxnA , maka untuk setiap norm matriks berlaku
( ) 1limρ→∞
=kk
kA A .
Bukti. Perhatikan bahwa ( ) ( )ρ ρ= ≤k kA A Ak (berdasarkan Teorema 2.18).
Kita peroleh ( ) 1ρ ≤
kkA A . Sekarang perhatikan bahwa
untuk setiap
( )( )( )/ 1ρ ρ ε+ <A A
0ε > maka
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
19
BAB II : LANDASAN TEORI
( ) ( )( )lim 0 lim 0
ρ ε ρ ε→∞ →∞
⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
k k
kk k
AAA A
.
Akibatnya terdapat bilangan bulat positif sehingga N ( )( )/ 1ρ ε+ <kkA A
untuk setiap , maka k N≥ ( )( )1/ρ ε< +
kkA A untuk setiap k dan N≥
( ) ( )1/ρ ρ≤ <
kkA A A ε+ untuk . Karena pertidaksamaan ini berlaku
untuk setiap
k N≥
0ε > , maka ( )1lim ρ→∞
=kk
kA A .
Teorema 2.20 Misalkan ×∈ n nA dan misalkan A menyatakan matriks
dengan elemennya adalah ija . Untuk matriks , ×∈ n nB C , definisikan ≤B C ,
yaitu untuk setiap i dan . Jika <ij ijb c j ≤A B maka ( ) ( ) ( )ρ ρ ρ≤ ≤A A B .
Bukti. Ketaksamaan segitiga memberikan ≤ kkA A untuk setiap bilangan
bulat positif. Selanjutnya,
k
≤A B mengakibatkan ≤k kA B . Dengan
menggunakan Teorema 2.19, maka
( ) ( ) ( )
1/1/ 1/
1/ 1/1/lim lim lim
ρ ρ ρ
∞ ∞∞
∞ ∞ ∞
∞ ∞∞ ∞
→∞ →∞ →∞
= ≤ ≤
⇒ ≤ ≤
⇒ ≤ ≤
⇒ ≤ ≤
kk k k
kk kkk k
k kk k kk
k k k
A A A B
A A B
A A A
A A B
2.7 Matriks Jordan
Bentuk Jordan dari ∈ nxnA diperoleh dengan menggunakan dekomposisi
core-nilpotent yang akan diuraikan berikut ini. Misalkan, ( )1λ σ∈ A dan
, maka terdapat matriks nonsingular sehingga ( )1indeks λ = k1 1X
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
20
BAB II : LANDASAN TEORI
( )1
111 1
1
λ− ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
L 0X A I X
0 C, (2.3)
dimana adalah matriks nilpoten dengan indeks dan adalah matriks
nonsingular. Hal ini tidak menjadi masalah andaikan pada blok diagonal
pertama adalah ataupun pada (2.3). Untuk kasus ini, kita posisikan blok
nilpoten berada pada pada blok diagonal pertama. Berdasarkan hasil dari
matriks nilpoten maka terdapat matriks nonsingular sehingga
1L 1k 1C
1L 1C
1Y
( )( )
( )1
1
1 1
2 111 1
1
0 00 0
0 0
λλ
λ
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
……
… t
NN
Y L Y
N
yang merupakan matriks blok diagonal yang memiliki sifat-sifat sebagai
berikut.
(a). Setiap blok di ( )1 1λN mempunyai bentuk . ( )1
0 1
10
λ∗
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
N
(b). Terdapat ( ) ( )( )1 1dim dim λ= = −t NL A 1I buah blok pada ( )1 1λN .
(c). Banyaknya blok berukuran ×i i dengan bentuk ( )1λ∗N dalam ( )1 1λN
adalah ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 12 1λ λ λ−= − +i i i iv r r r λ+
⎟
dimana
. ( ) ( )( )1 1λ λ= − iir rank A I
Selanjutnya, adalah matriks nonsingular dan 11 1
⎛ ⎞= ⎜
⎝ ⎠
Y 0Q X
0 I
( ) ( )111 1 1
1
λλ− ⎛ ⎞
− = ⎜⎝ ⎠
NQ A I Q
0 C ⎟0
atau ekivalen dengan
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
21
BAB II : LANDASAN TEORI
( ) ( )1 1 111 1
1 1 1
λ λ λλ
− +⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜+⎝ ⎠ ⎝
AN I 0 J
Q Q0 C I 0 A
⎞⎟⎠
0
1
. (2.4)
Matriks ( ) ( )1 1λ λ λ= +J N I pada (2.4) mempunyai bentuk blok diagonal
( )
( )( )
( )1
1 1
2 11
1
0 00 0
0 0
λλ
λ
λ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
……
… t
JJ
J
J
dengan ( ) ( )1 1 1λ λ λ∗ ∗= +J N I .
Matriks ( )1λJ disebut dengan segmen Jordan yang berkorespondensi dengan
nilai karakteristik 1λ dan setiap blok ( )1λ∗J yang termuat di ( )1λJ disebut
dengan blok Jordan yang berkorespondensi dengan nilai karakteristik 1λ .
Struktur segmen Jordan ini diturunkan dari struktur Jordan yang
berkorespondensi dengan matriks nilpoten . 1L
Setiap blok Jordan mempunyai bentuk
( ) ( )
1
1 1 1
1
1
1
λ
λ λ λ
λ
∗ ∗
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
J N I .
Terdapat ( ) ( )( )1 1dim dim λ= = −t NL A 1I buah blok Jordan pada segmen
( )1λJ . Banyaknya blok Jordan ( )1λ∗J berukuran ×i i dalam ( )1λJ adalah
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 12 1λ λ λ− += − +i i i iv r r r λ dimana ( ) ( )( )1 1λ λ= − iir rank A I .
Nilai karakteristik yang berbeda untuk adalah A ( ) { }1 2, ,....,σ λ λ λ= sA , maka
nilai karakteristik yang berbeda untuk 1λ−A I adalah
( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 3 10, , ,...., 1σ λ λ λ λ λ λ− = − − −sA I λ . Karena nilai karakteristik
untuk adalah nol maka kita peroleh bahwa 1L
( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 3 1 1, ,....,σ λ λ λ λ λ λ= − − −sC . Jadi spektrum untuk 1 1 1λ= +A C I
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
22
BAB II : LANDASAN TEORI
pada (2.4) adalah ( ) { }1 2 3, ,....,σ λ λ λ= sA . Hal ini berarti proses dekomposisi
core-nilpotent diatas bisa diulang untuk 1 2λ−A I untuk mendapatkan matriks
nonsingular sehingga 2Q
( )212 1 2
2
λ− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
JQ A Q
0 A0
dimana ( ) { }2 3 4, ,....,σ λ λ λ= sA .
Proses tersebut terus diulangi sedemikian rupa sehingga semua nilai
karakteristik hilang dan diperoleh matriks nonsingular sP sehingga
( ) ( ) ( )( )11 2diag , ,....,λ λ λ− = =
s sP AP J J J J s . Setiap ( )λ jJ adalah segmen
Jordan yang memiliki ( )( )dim λ= −jt N A Ij buah blok Jordan. Matriks J
disebut dengan bentuk Jordan dari . Struktur Jordan dari didefinisikan
sebagai banyaknya segmen Jordan di beserta dengan banyaknya dan ukuran
dari blok Jordan untuk setiap segmen. Berikut ini merupakan ringkasan dari
bentuk Jordan yang telah diuraikan diatas.
A A
J
Teorema 2.21 Untuk setiap ×∈ n nA dengan nilai karakteristik yang berbeda
( ) { }1 2, ,....,σ λ λ λ= sA , terdapat matriks nonsingular sehingga P
( )( )
( )
1
21
0 00 0
0 0
λλ
λ
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
……
… s
JJ
P AP J
J
(a). disebut matriks Jordan yang mempunyai satu buah segmen Jordan J
( )λ jJ untuk setiap nilai karakteristik ( )λ σ∈j A .
(b). Setiap segmen ( )λ jJ terdiri atas ( )( )dim λ= −jt N A Ij buah blok
Jordan ( )λ∗ jJ seperti yang dideskripsikan berikut ini.
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
23
BAB II : LANDASAN TEORI
( )
( )( )
( )
1
1
0 0
0 0
0 0
λ
λλ
λ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
…
…
…j
j
jj
t j
J
JJ
J
dengan ( )
1
1
λ
λ
λ
∗
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
j
j
j
J .
(c). Ukuran blok Jordan terbesar adalah ×j jk k dimana ( )λ=j jk indeks .
(d). Banyaknya blok Jordan ×i i dalam ( )λ jJ diberikan oleh
( ) ( ) ( ) ( )1 12λ λ λ− += − +i j i j i j i jv r r r λ dimana ( ) (( )λ λ= −i
i j jr rank A I) .
Teorema 2.22 ( ) 1λ =Indeks jika dan hanya jika λ adalah nilai karakteristik
semisimple. Dengan kata lain ( ) ( )λ λ=mg ma .
Bukti. jika dan hanya jika untuk setiap blok Jordan berukuran
, yang akan terjadi jika dan hanya jika banyaknya vektor karakteristik yang
berkorespondensi dengan
( )Indeks 1λ =
1 1×
λ untuk sehingga P 1− =P AP J sama banyaknya
dengan blok Jordan. Hal ini sama saja dengan mengatakan bahwa
( ) ( )mg maλ λ= atau λ adalah nilai karakteristik semisimple.
Selanjutnya, kita akan melihat fungsi pada matriks blok Jordan. Misalkan
dengan 1−= ∈ nxnA PJP { }1 2 3( ) , , ,...,σ λ λ λ λ= sA dan
( ) ( ) ( )( 1 2, ,..., )λ λ= sdiagJ J J J λ adalah bentuk Jordan dari dimana setiap
segmen Jordan
A
( )λ jJ adalah matriks blok diagonal yang memuat satu atau
lebih blok Jordan. Dengan kata lain, kita bisa menuliskan suatu segmen Jordan
sebagai berikut
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
24
BAB II : LANDASAN TEORI
( )
( )( )
( )
1
2
0 0
0 0
0 0
λ
λλ
λ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
…
…
…j
j
jj
t j
J
JJ
J
dengan ( )
1
1
λ
λ
λ
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
j
j
j
J .
Kita ingin mendefinisikan ( )f J menjadi
( )( )( )
( )( )
1λ
λ
⎡ ⎤⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦s
f
ff
J
JJ
dengan ( )( ) ( )( )*λ λ
⎡ ⎤⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
j jf fJ J .
Untuk mendefinisikan tersebut, kita cukup bekerja pada ( )( * )λ jf J . Agar
notasi yang ada tidak membingungkan dalam proses pengerjaan, maka kita
dapat sederhanakan dengan memisalkan *
1
1
λ
λ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
J yang
merupakan blok Jordan berukuran k k× . Jadi kita dapat mendefinisikan ( )f J
dari . ( )*f J
Misalkan adalah fungsi yang dapat diekspansi dengan deret Taylor
disekitar
:f →
λ maka untuk suatu , 0r >
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3'' '''' ....
2! 3!f f
f z f f z z zλ λ
λ λ λ λ λ= + − + − + − + ,
dimana z rλ− < . Maka,
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3* * * *
'' '''' ....
2! 3!λ λ
λ λ λ λ λ= + − + − + − +f f
f f fJ I J I J I J I
Namun, karena * λ= −N J I adalah matriks nilpoten dengan indeks , maka
deret ini menjadi deret berhingga,
k
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
25
BAB II : LANDASAN TEORI
( )( ) ( )1
*0 !
λ−
=
=∑ik
i
i
ff
iJ N (2.5)
artinya hanya nilai dari ( ) ( ) ( ) ( )1, ' ,..., kf f fλ λ − λ yang terdefinisi dan
0 1
10
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
N , 2
0 0 1
10 0
0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
N ,…., . 1
0 0 1
00
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
kN
Jadi, representasi ( )*f J pada (2.5) bisa dituliskan seperti pada teorema
berikut ini.
Teorema 2.23 Untuk blok Jordan berukuran dengan nilai
karakteristik
*J k k×
λ . Suatu fungsi ( )f z dimana ( ) ( ) ( ) ( )1, ' ,..., kf f fλ λ λ− ada
maka bisa dituliskan sebagai berikut. ( )*f J
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
1
*
'''
2! 1 !1
'''12!'
λ λλ λ
λλ λ
λ
λλ λ
λ
−⎡ ⎤⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
kf ff f
kf f
f f f
f ff
J
Teorema 2.24 Misal 1−=A PJP untuk suatu matriks nonsingular. Misalkan
pula,
P
( )( )
( )
111
1 2| | | , , dan λ
λ
−
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
… s
s
=
s
QJP P P P J P
J Q
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
26
BAB II : LANDASAN TEORI
Definisikan . Jika =i iG PQi ( )indeksi ik λ= maka adalah proyektor pada iG
( )( )λ− ikiN A I sepanjang ( )( )λ− ik
iR A I .
Bukti. Perhatikan bahwa ( )λ λ= −i iL J iI merupakan matriks nilpoten dengan
indeks , tetapi ik ( )λ λ−i iJ I j nonsingular jika i ≠ , maka
( )
( )
( )
1
1 1
λ λ
λ λ
λ λ
− −
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− = − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
i
i i i
s i
J I
A I P J I P P L P
J I
adalah matriks core-nilpotent seperti yang telah diuraikan pada Teorema 2.8
dengan mengurutkan nilai karakteristik sehingga matriks blok nilpoten
berada pada blok diagonal paling bawah. Berdasarkan Teorema 2.9(b) maka,
adalah proyektor pada
iL
=i i iPQ G ( )( )λ− ikiN A sepanjang ( )( )λ− ik
iR A .
2.8 Limit dari Matriks
Berikut ini terdapat dua teorema yang menyatakan mengenai limit dari suatu
matriks berdasarkan nilai spectral radius dari matriks tersebut.
Teorema 2.25 Misalkan ∈ nxnA dan ( )ρ A adalah spectral radius, maka
jika dan hanya jika lim 0→∞
=k
kA ( ) 1ρ <A .
Bukti. Misal ( )⇒ ( ,v)λ adalah pasangan karakteristik untuk . Karena A
λ=kvA kv , maka
( )lim lim lim lim 0λ λ→∞ →∞ →∞ →∞
= = =k k k k
k k k kv v v vA A = .
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
27
BAB II : LANDASAN TEORI
Karena , maka 0v ≠ lim 0k
kλ
→∞= , akibatnya 1λ < . Karena hal tersebut berlaku
untuk sebarang nilai karakteristik, maka ( ) 1ρ <A .
( )⇐ Jika adalah bentuk Jordan untuk , maka 1− =P AP J A
1 1− −∗
⎛ ⎞⎜= = ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
k k kA PJ P P J P⎟⎟ dimana 1
( )λ
λλ
∗
⎛ ⎞⎜= ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
iJ ⎟⎟ merupakan
blok Jordan di . Selanjutnya, jika dan hanya jika untuk
setiap blok Jordan. Jadi, kita hanya perlu membuktikan bahwa maka
J 0→kA 0∗ →kJ
0∗ →kJ
( ) 1ρ <A . Dengan menggunakan fungsi ( ) = nf z z pada Teorema 2.28 dengan
syarat bahwa untuk 0⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
kj
>j k , maka,
( ) ( ) ( )( )
( )( )
1 2 11 2 1
11
22
11
λ λ λ λ
λ λ
λ
λ λ
λ
∗
− − − +−
−
−
−
×
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
…k k k k k k k mm
k k k
k k k
k k k
km m
J .
Berdasarkan elemen diagonalnya, jelas bahwa jika maka . Jadi 0∗ →kJ 0λ →k
1λ < , artinya ( ) 1ρ <A .
Sekarang kita akan melihat li ada tetapi nilainya tak nol. Sebelumnya, kita
tahu bahwa ada jika dan hanya jika ada untuk setiap blok Jordan.
Jika
m→∞
k
kA
lim→∞
k
kA *lim
→∞
k
kJ
1λ = dengan 1λ ≠ (yaitu, ie θλ = , 0 2θ π< < ) maka diagonal dari blok
Jordan, yaitu kλ , nilainya akan terus berubah dan hal ini akan membuat
tidak mempunyai limit. Jika (* dankJ )A 1λ = , maka
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
28
BAB II : LANDASAN TEORI
*
11 1
11
×
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
k
m m
k km
kJ
mempunyai limit jika dan hanya jika 1=m , artinya 1λ = adalah nilai
karakteristik semisimple. Tetapi 1λ = bisa ada sebanyak buah sehingga
terdapat blok Jordan dengan bentuk
p
p [ ]* 1 11=
xJ . Akibatnya, ada jika
dan hanya jika bentuk Jordan untuk mempunyai bentuk
, dimana
lim→∞
k
kA
A
1− ⎡= = ⎢
⎣ ⎦pxpI 0
J P AP0 K
⎤⎥ ma(1)=p dan ( ) 1ρ <K . Berikut ini teorema
yang menyajikan eksistensi dari limit suatu matriks yang dipangkatkan dengan
suatu bilangan tertentu seperti yang telah diuraikan diatas.
Teorema 2.26 Untuk matriks ×∈ n nA , ada jika dan hanya jika lim→∞
k
kA
(a). ( ) 1ρ <A , atau
(b). ( ) 1ρ =A , dimana 1λ = adalah satu-satunya nilai karakteristik pada
lingkaran satuan dan 1λ = adalah semisimple.
2.9 Cesaro Summable
Misal { }αn adalah barisan yang konvergen ke α . Misalkan pula terdapat
barisan lain, yaitu { }μn yang berkorespondensi dengan { }αn dimana
1 1μ α= , 12 2
2α αμ += , ….. , 1 2 .... n
n nα α αμ + + +
= .
Barisan { }μn ini disebut dengan barisan Cesaro yang berkorespondensi dengan
{ }αn . Jika lim nnμ α
→∞= , maka { } 1n n
α ∞
= disebut Cesaro Summable ke α . Dengan
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
29
BAB II : LANDASAN TEORI
kata lain, kekonvergenan mengakibatkan summability tetapi summability tidak
mengakibatkan kekonvergenan. Sebagai contoh, perhatikan barisan
{ }1,0,1,0,.... . Barisan ini tidak konvergen, tetapi memiliki summability ,
yang merupakan nilai rata-rata dari
1/ 2
{ }0,1 .
Teorema 2.27 Jika { } 1n nα ∞
= konvergen ke α maka { } 1n n
μ ∞
= konvergen ke α
dimana 1 2 .... nn n
α α αμ + + += .
Bukti. Jika { }nα barisan yang konvergen ke α maka untuk setiap 0ε >
terdapat bilangan bulat positif sehingga N / 2nα α ε− < untuk setiap
dan terdapat bilangan real
n N≥
β sehingga nα α β− < untuk setiap . Akibatnya,
untuk setiap n N
n
≥
( ) ( )1 2
1 1
1 1
.... 1
1 12 2
α α αμ α α α α α α
β ε βα α α α
= = +
= = +
+ + +− = − = − + −
−≤ − + − < + ≤
∑ ∑
∑ ∑
N nn
n kk k N
N n
k kk k N
n nN n N N
n n n n nε
+
k
Jika cukup besar maka n2
Nnβ ε≤ , sehingga nμ α ε− < . Jadi barisan
{ }nμ konvergen ke α . Hal ini berlaku pula untuk vektor dan matriks dengan
mensubtitusikan ∗ dengan norm vektor dan norm matriks.
Kita katakan matriks ×n nA konvergen jika ada dan matriks
summable jika ada. Seperti dalam bilangan, jika
konvergen ke G maka summable ke G . Untuk menganalisis bahwa
lim→∞
k
kA A
( 2 1lim ... /−
→∞+ + + + k
kkI A A A )
A A A
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
30
BAB II : LANDASAN TEORI
summable adalah dengan memperhatikan bahwa summable jika dan hanya
jika bentuk Jordan untuk juga summable. Dengan kata lain
setiap blok jordan di summable. Akibatnya, tidak mungkin summable
jika
A1−=J P AP A
∗J J A
( ) 1ρ >A , karena jika 1λ
λ∗
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
J adalah blok Jordan dengan 1λ > ,
maka setiap elemen diagonal dari ( )2 1lim ... /−∗ ∗ ∗→∞
+ + + + k
kkI J J J adalah
( ) ( )2 11 ... 1 1 1 1,1 1
k k k
kk k k
λ λ λ λδ λλ λ
−+ + + + ⎛ ⎞ ⎛−= = =⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝ k
λ ⎞− ⎟
⎠
)
. (2.6)
Nilai dari akan menjadi tidak terbatas jika . Dengan kata lain,
kita bisa membatasi
( , kδ λ k →∞
( ) 1ρ ≤A untuk menjadi summable. Jika A ( ) 1ρ <A
maka konvergen (dan summable juga) ke nol. Jadi, kita hanya perlu
membuktikan untuk kasus
A
( ) 1ρ =A , dimana nilai karakteristiknya terletak
pada lingkaran satuan dalam bidang kompleks. Jika dimana ( )λ σ∈ A
1, 1λ λ= ≠ dan jika ( )indeks 1λ > maka terdapat blok Jordan
1λ
λ∗
⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
J ⎥⎥ yang ukurannya lebih besar dari 1 1× . Setiap elemen pada
superdiagonal pertama dari ( )2 1... /−∗ ∗ ∗+ + + + k kI J J J adalah turuan /δ λ∂ ∂
dari (2.6). Turunan ini akan berosilasi tidak terbatas jika . Dengan kata
lain, tidak summable jika terdapat nilai karakteristik
k →∞
A 1λ ≠ pada lingkaran
satuan dan ( )indeks 1λ > .
Jika 1λ = dan ( )indeks 1λ > , maka tidak summable karena elemen pada
superdiagonal pertama dari
A
( )2 1...lim
−∗ ∗ ∗
→∞
+ + + + k
k kI J J J
adalah
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
31
BAB II : LANDASAN TEORI
( ) ( )1 2 ... 1 1 12 2
+ + + − − −= = →
k k k kk k
∞ .
Akibatnya, jika ingin ditunjukkan bahwa summable dan memiliki nilai
karakteristik
A
λ sehingga 1λ = , maka haruslah ( )indeks 1λ = .
Jika λ adalah nilai karakteristik untuk dimana A 1λ = , blok Jordan 1 1×
yang berkorespondensi dengan λ akan summable, karena (2.6) akan
mengakibatkan
( )2 1 1 11 ... 0, untuk 1, 111, untuk 1
kk
k kk
λλ λ λ λ λλ
λ
− ⎧ ⎛ ⎞+ + + + − → =⎪ ⎜ ⎟= −⎨ ⎝ ⎠⎪ =⎩
≠
maka,
( ) [ ] ( )[ ] ( )
2 1 1 1
1 1
1 , jika 1 dan indeks 1 ...
lim 0 , jika 1, 1 dan indeks 10, jika 1
λ λλ λ λλ
− ×∗ ∗ ∗
×→∞
⎧ = =+ + + + ⎪= = ≠ =⎨
⎪ <⎩
k
k kI J J J
Akibatnya, jika summable maka bentuk Jordan untuk adalah A A
1 00×− ⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥⎣ ⎦
p pIJ P AP
C, dimana ( )ma 1p λ= = .
Nilai karakteristik untuk adalah C 1λ < atau 1λ = , 1λ ≠ dengan
( )indeks 1λ = , maka C summable ke 0, akibatnya summable ke .
Misalkan dan
J ×⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
p pI 00 0
( )1 2|=P P P 11
2
− ⎛ ⎞= ⎜⎜⎝ ⎠
QP Q ⎟⎟ , maka
( )
2 12 11
111 2 1 1
2
......
0 0|
0 0 0 0
−−−∗ ∗ ∗
× ×−
⎛ ⎞+ + + ++ + + += ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤
→ = =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
kk
p p p p
k kI J J JI A A A P P
QI IP P P P P QQ = G
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
32
BAB II : LANDASAN TEORI
Berdasarkan Teorema 2.9(b) maka G adalah proyektor pada
sepanjang
( )−N I A
( )−R I A . Berikut ini adalah ringkasan singkat dalam Teorema 2.28
mengenai Cesaro Summable yang telah dijelaskan sebelumnya.
Teorema 2.28 ×∈ n nA disebut Cesaro Summable jika dan hanya jika
(a). ( ) 1ρ <A , atau
(b). ( ) 1ρ =A dengan setiap nilai karakteristik pada lingkaran satuan
bersifat semisimple.
Jika ada, limit Cesaro, yaitu
( )2 1...lim
−
→∞
+ + + +=
k
k kI A A A
G
merupakan proyektor pada ( )−N I A sepanjang ( )−R I A .
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
33
Recommended