View
220
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
1
AULA: Superfícies Quádricas
Definição 1: Uma equação geral do 20 grau em três variáveis é uma equação do tipo:
0222 =+++++++++ JIzHyGxFyzExzDxyCzByAx (I),
com pelo menos uma das constantes A, B, C, D, E ou F é diferente de zero.
Definição 2: Uma superfície cuja equação é do tipo (I) é chamada de superfície quádrica.
Obs: A interseção de uma superfície quádrica com um dos planos coordenados ou por planos paralelos a eles é uma cônica. Em casos particulares, a interseção pode ser uma reta, duas retas, um ponto ou o conjunto vazio. Esses casos constituem as cônicas degeneradas.
Através de uma rotação e/ou translação de eixos a equação (I) pode assumir uma das seguintes formas:
(II) DCzByAx =++ 222 (quádricas cêntricas)
( )cêntricas não quádricas )(22
22
22
=+
=+
=+
CxBzAy
CyBzAx
CzByAx
III
Quádricas Cêntricas: DCzByAx =++ 222
Se as constantes A, B, C e D são não nulas, podemos escrever a equação (II) na
forma canônica: 12
2
2
2
2
2=±±±
cz
b
y
ax (IV), com a,b e c números reais positivos.
Se todos os sinais são negativos então o lugar geométrico da equação é vazio. Logo, existem três possibilidades: todos os sinais são positivos, dois sinais positivos e um negativo ou um positivo e dois negativos.
A) Todos os sinais positivos: Elipsóide: 12
2
2
2
2
2=++
cz
by
ax
Características:
1) A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos coordenados e a origem.
2
xy
(0,0,c)
(0,b,0)(a,0,0)
2) Se duas das constantes a, b e c são iguais temos um elipsóide de revolução.
3) Interseções com os eixos coordenados:
Eixo Ox : A ( )0,0,a± Eixo Oy: B ( )0,,0 b± Eixo Oz: C ( )c±,0,0
4) Traços sobre os planos coordenados: elipses
=
=+
0
12
2
2
2
zby
ax
,
=
=+
0
12
2
2
2
ycz
ax
,
=
=+
0
12
2
2
2
xcz
by
5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:
=
−=+
kzck
by
ax
2
2
2
2
2
21 , elipses para -c < k < c.
=
−=+
kybk
cz
ax
2
2
2
2
2
21 , elipses para -b < k < b
=
−=+
kxak
cz
by
2
2
2
2
2
21 , elipses para -a < k < a.
Esboço da superficie:
3
B) Dois sinais positivos e um negativo: Hiperbolóide de uma folha:
12
2
2
2
2
2=−+
cz
by
ax (a = b, superfície de revolução),
12
2
2
2
2
2=+−
cz
by
ax (a = c, superfície de revolução),
12
2
2
2
2
2=++−
cz
by
ax (b = c, superfície de revolução).
Características:
1) A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos coordenados e a origem.
2) A superfície está ao longo do eixo coordenado correspondente à variável cujo coeficiente é negativo na forma canônica de sua equação.
Analisando a equação: 12
2
2
2
2
2=−+
cz
by
ax
3) Interseções com os eixos coordenados:
Eixo Ox : A ( )0,0,a± Eixo Oy: B ( )0,,0 b± Eixo Oz: não existe
4) Traços sobre os planos coordenados:
=
=+
0
12
2
2
2
zby
ax
( Elipse) ,
=
=−
0
12
2
2
2
ycz
ax
(Hipérbole)
=
=−
0
12
2
2
2
xcz
by
( Hipérbole)
4
xy
z
xy
z
xy
z
5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:
=
+=+
kzck
by
ax
2
2
2
2
2
21 , elipses para qualquer k em R,
=
−=−
kybk
cz
ax
2
2
2
2
2
21 , hipérboles ,
=
−=−
kxak
cz
by
2
2
2
2
2
21 , hipérboles
Esboço da superficie:
12
2
2
2
2
2=−+
cz
by
ax
12
2
2
2
2
2=+−
cz
by
ax
12
2
2
2
2
2=++−
cz
by
ax
5
B) Dois sinais negativos e um positivo: Hiperbolóide de duas folhas:
12
2
2
2
2
2=+−−
cz
by
ax (a = b, superfície de revolução),
12
2
2
2
2
2=−+−
cz
by
ax (a = c, superfície de revolução),
12
2
2
2
2
2=−−
cz
by
ax (b = c, superfície de revolução),
Características:
1) A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos coordenados e a origem.
2) A superfície está ao longo do eixo coordenado correspondente à variável cujo coeficiente é positivo na forma canônica de sua equação.
Analisando a equação: 12
2
2
2
2
2=+−−
cz
by
ax
3) Interseções com os eixos coordenados:
Eixo Ox : não existe Eixo Oy: não existe Eixo Oz: C ( )c±,0,0
4) Traços sobre os planos coordenados:
=
=−−
0
12
2
2
2
zby
ax
( vazio) ,
=
=+−
0
12
2
2
2
ycz
ax
(Hipérbole)
=
=+−
0
12
2
2
2
xcz
by
( Hipérbole)
6
5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:
=
−=+
kzck
by
ax 12
2
2
2
2
2
, elipses para k < -c ou k > c
=
+=+−
kybk
cz
ax
2
2
2
2
2
21 , hipérboles , Rk ∈∀ ,
=
+=+−
kxak
cz
by
2
2
2
2
2
21 , hipérboles Rk ∈∀
Esboço da superficie:
12
2
2
2
2
2=+−−
cz
by
ax
xy
z
12
2
2
2
2
2=−+−
cz
by
ax
xy
7
12
2
2
2
2
2=−−
cz
by
ax
x
y
z
Quádricas não Cêntricas: )(22
22
22
=+
=+
=+
CxBzAy
CyBzAx
CzByAx
III
Se as constantes A, B e C são não nulas, podemos escrever as equações (II) nas
formas canônicas:
=±±
=±±
=±±
cxbz
ay
cybz
ax
czby
ax
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(IV), com a,b números reais positivos e c real não nulo.
Temos duas possibilidades: os coeficientes dos termos de 20 grau têm sinais iguais ou contrários.
A) os coeficientes dos termos de 20 grau têm sinais iguais: Parabolóide elíptico.
czby
ax
=+ 2
2
2
2, cy
bz
ax
=+ 2
2
2
2, cx
bz
ay
=+ 2
2
2
2.
Características:
1) Se a = b temos um parabolóide de revolução. 2) A interseção da superfície com os eixos coordenados é O(0,0,0). 3) A superfície se encontra ao longo do eixo correspondente à variável do primeiro
grau na forma canônica da equação.
8
Analisando a equação czby
ax
=+2
2
2
2 (c > 0)
4) Observe que para c > 0 temos que z ≥ 0. Logo, a superfície se encontra inteiramente acima do plano xy.
5) A superfície é simétrica em relação ao eixo Oz, aos planos xz e yz.
6) Traços sobre os planos coordenados:
)0,0,0(0
02
2
2
2
=
=
=+
zby
ax
,
=
=
0
2
2
y
czax
(parábola),
=
=
0
2
2
x
czby
( parábola)
7) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:
=
=+
kz
ckby
ax
2
2
2
2
, elipses para k > 0.
=
−=
kybkcz
ax
2
2
2
2
, parábolas e
=
−=
kxakcz
by
2
2
2
2
, parábolas.
Esboço da superficie:
czby
ax
=+2
2
2
2 (c > 0) cz
by
ax
=+2
2
2
2 (c < 0)
x
z
x
z
9
cybz
ax
=+ 2
2
2
2 (c > 0) cy
bz
ax
=+ 2
2
2
2 (c < 0)
x y
z
xy
z
cxbz
ay
=+ 2
2
2
2 (c > 0) cx
bz
ay
=+ 2
2
2
2 (c < 0)
xy
z
xy
z
B) os coeficientes dos termos de 20 grau têm sinais contrários:
Parabolóide hiperbólico (sela)
czby
ax
=+− 2
2
2
2, cy
bz
ax
=+− 2
2
2
2, cx
bz
ay
=+− 2
2
2
2.
Características:
1) A interseção da superfície com os eixos coordenados é O(0,0,0). 2) A superfície se encontra ao longo do eixo correspondente à variável do primeiro
grau na forma canônica da equação.
10
Analisando a equação czby
ax
=+−2
2
2
2 (c > 0).
3) A superfície é simétrica em relação ao eixo Oz, aos planos xz e yz.
4) Traços sobre os planos coordenados:
=
=
+
−
=
=
=+−
0
0
0
02
2
2
2
zax
by
ax
by
zby
ax
, par de retas concorrentes
=
=−
0
2
2
y
czax
(parábola),
=
=
0
2
2
x
czby
( parábola)
5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:
=
=+−
kz
ckby
ax
2
2
2
2
, hipérboles para k≠ 0. Para k > 0, hipérboles no plano z = k, com
o eixo focal paralelo ao eixo Oy e para k < 0, hipérboles no plano z = k, com o eixo focal
paralelo ao eixo Ox.
=
−=−
kybkcz
ax
2
2
2
2
, parábolas e
=
+=
kxakcz
by
2
2
2
2
, parábolas.
11
Esboço da superficie:
czby
ax
=+−2
2
2
2 (c > 0) cz
by
ax
=+−2
2
2
2 (c < 0)
x
y
z
x
y
z
cybz
ax
=+−2
2
2
2 (c > 0) cy
bz
ax
=+−2
2
2
2 (c < 0)
x
y
z
xy
z
cxbz
ay
=+−2
2
2
2 (c > 0) cx
bz
ay
=+−2
2
2
2 (c < 0)
x
y
z
x
y
z
12
Bibliografia:
Lehmann. Charles, Geometria Analítica, Editora Globo
Boulos, Paulo, Geometria Analítica um tratamento vetorial, MAKRON Books.
Recommended