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AULA 23FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DE UM ÂNGULO AGUDO:PROF. PAULOAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICASDEFINIÇÕES:Para os ângulos agudos, temos as seguintes definições das funçõestrigonométricas:
• hipotenusa
opostocatetoseno =
• hipotenusa
adjacentecatetoseno =cos
• adjacentecateto
opostocatetogente =tan ou
seno
senogente
costan =
• opostocateto
adjacentecatetoangente =cot ,
seno
senoangente
coscot = ou
tagenteangente
1cot =
• adjacentecateto
hipotenusaante =sec ou
senoante
cos
1sec =
• opostocateto
hipotenusaante =seccos ou
senoante
1seccos =
a
bsen =a
a
c=acos
c
btg =a
b
cg =acot
c
a=asec
b
a=aseccos
. a
90o-a
A B
C
a
b
c
Observação:Das definições acima, temos:
( )a
bsen =-= aa 090cos ( )
a
csen =-= aa 090cos
ÂNGULOS NOTÁVEIS
Os ângulos de 300, 450 e 600 são utilizados com muita freqüência epor isso convém memorizá-los. Para isto temos uma tabela que resumeesses valores:
300 450 600
sen 2
1
2
2
2
3
cos2
3
2
22
1
tg3
3 1 3
OUTRAS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICASNa trigonometria temos uma relação muito importante chamada:
RELAÇÃO FUNDAMENTAL 12cos2 =+ aasen ÔÓ
ÔÌÏ
-=
-=
aa
aa22
22
cos1
1cos
sen
sen
Relações auxiliares: aa 22 sec1 =+tg
aa 22 seccoscot1 =+ g
Exemplos:
1) Calcule o seno, o cosseno , a tangente, a cotangente, a secante e acossecante de a na figura seguinte:
Resolução:Inicialmente vamos calcular a hipotenusa.a2 = 72 + 242 fi a2 = 625 \ a = 25
Então, temos:
25
77=fi= aa sen
asen
25
24cos
24cos =fi= aa
a
25
7=atg
7
25cot =ag
24
25sec =a
7
25seccos =a
2) Uma pessoa sobe uma rampa de 10m de comprimento e se elevaverticalmente 5m. Qual o ângulo que a rampa forma com o planohorizontal?
Resolução:
a
A B
C
a7
24
.q
10m
5m
Seja q a medida do ângulo procurado. Então, temos:030
2
1
10
5=\=fi= qqq sensen
3) Um observador enxerga uma montanha segundo um ângulo a.Caminhando 420m em direção à montanha, passa a enxergá-lasegundo um ângulo b. Calcule a altura da montanha, sabendo que
2
1=atg e
3
2=btg .
Resolução: Observe, na figura, que:
2
3
3
2 hx
x
htg =fi==b (1)
42022
1
420+=fi=
+= xh
x
htga (2)
De (1) e (2) temos:
2h -2
3h= 420
8404202
=fi= hh
Resposta: 840m.
4) Simplificando a fração senx
x2cos1-, obteremos:
Resolução:
==-
senx
xsen
senx
x 22cos1senx
a b
h
420m x
EXERCÍCIOS:1) Calcule o seno, cosseno e a tangente de a e de b na figura a
seguir:
2) (Vunesp) Uma rampa lisa, de 20m de comprimento, faz umângulo de 300 com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe estarampa inteira eleva-se verticalmente:
a) 17mb) 10mc) 15md) 5me) 8m
3) (Fuvest) Calcule x indicado na figura.
4) (U.F.Viçosa) Satisfeitas as condições de existência, a expressão
xgx
xsenE seccos.
cot
1 2
˜¯
ˆÁÁË
Ê -= , é idêntica a:
a) senxb) cosxc) 1d) 0e) secx
.
a
A B
C
a5
12
b
.
x
y
300 600
100m
5) Se 00<x<900 e 2
1=senx , então o valor da expressão
E = cossecx + cosx.tgx é:
a)2
5
b)2
3
c)2
1
d)3
6
f) 1
Resolução dos exercícios:1)
5
12
13
5cos,
13
1212
5
13
12cos,
13
5
13169125 2222
===
===
=fi=fi+=
bbb
aaa
tgesen
tgesen
aaa
2) Observe a figura:
mxxx
sen 10202
1
20300 =fi=fi=
Resposta: b
3) Observe, na figura, que:
33600 yxy
x
y
xtg =fi=fi= (1)
( ) 310031003
3
100300 +=fi
+=fi
+= yx
y
x
y
xtg (2)
De (1) e (2) temos:
.300
20m
x
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