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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Capitulo 1
1.1. Equações Diferenciais Lineares de 1.º ordem
Definição: Uma equação diferencial de 1.ºordem diz-se linear se se puder escrever na forma:
Onde P e Q são funções continuas de variável .
Teorema 1.1.1: A solução geral da equação é dada por
Onde é o chamado factor integrante. Demonstração: A ideia é multiplicar a equação por para que o primeiro membro seja a derivada do produto
.
Ou seja, pare resolver a equação de 1.º ordem basta multiplicar ambos os membros pelo facto integrante. Se for dada uma condição inicial pode-se descobrir c substituindo essa condição na equação y(x).
1.2. Equações Diferenciais de Variáveis separadas Definição: Equação diferencial de variáveis separadas é uma equação diferencial de 1.º ordem que se pode escrever da forma:
- Função que depende apenas da variável
– Função que depende apenas da variável Teorema 1.2.1: A solução geral é dada por:
Demonstração: Considerar as funções:
Note-se que e . Então pode escrever-se a equação da forma: o que é equivalente, atendendo ao
teorema da função composta a: , pelo que:
1.3. Equações Diferenciais Lineares de 2.ºordem (homogéneas) Definição: Uma equação diferencial de 2.º ordem diz-se linear se for da forma:
Se diz-se equação homogénea
Se diz-se equação não homogénea Teorema 1.3.1: Se e são soluções da equação linear homogénea:
E se e são constantes arbitrárias, então a função é ainda solução da mesma equação. Qualquer combinação linear de soluções da equação homogénea é ainda uma solução da mesma equação.
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Teorema 1.3.2: Se e são soluções linearmente independentes (ou seja, nenhuma das funções ou é o produto de uma constante pela outra) da equação diferencial:
Então a solução geral desta equação é dada por: , e constantes arbitrárias (que podem ser determinadas num problema com condições iniciais. Teorema 1.3.3: A função (onde r é uma constante) é solução da equação diferencial se
e só se r for uma raiz da equação (equação característica da equação diferencial).
Demonstração: Se tem-se e . Substituindo na equação temos:
Pois nunca se anula
Portanto é solução da equação se e só se
Nota: É bem conhecido que para a equação do 2.º grau podemos distinguir 3 casos, consoante o
sinal de :
Se a equação tem 2 raízes reais distintas
Se a equação tem 2 raízes complexas
Se a equação tem 1 raiz real dupla Teorema 1.3.4: Consideremos a equação diferencial e a respectiva equação característica
:
1) Se a equação tiver 2 raízes reais distintas, e , a solução geral da equação diferencial é:
, e constantes
2) Se a equação tiver 1 raiz real dupla, , a solução geral da equação diferencial é:
, e constantes
3) Se a equação tiver 2 raízes complexas conjugadas, e , a solução geral da equação diferencial é:
, e constantes
1.4. Equações Diferenciais Lineares de 2.º ordem (não homogéneas)
Definição: A equação chama-se equação homogénea associada à equação:
, a, b e c constantes, é uma função contínua. Teorema 1.4.1:
1) Se e são soluções da equação então é solução da equação
2) A solução geral da equação não homogénea é dada por:
Onde é uma solução particular da equação e é a solução geral da equação
homogénea associada a . Demonstração:
1) e são soluções da equação temos:
e Pelo que:
2) y é solução de . Como também é solução da equação, por 1) tem-se que:
onde e são soluções linearmente independentes de
Portanto donde se conclui que a solução geral da equação é dada por:
Como determinar ?
Quando é um polinómio de grau n
Quando
Quando ou
Para determinar A, B, C… calcula-se a 1.º e 2.º derivada de e substitui-se na equação .
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Nota: Se a solução de prevista for solução da equação homogénea associada não pode, portanto, ser solução da
equação não homogénea. Deve-se, então, multiplicar por uma potência apropriada de x de tal forma que nenhum
termo deste produto seja solução da equação homogénea. Teorema 1.4.2 (Princípio da sobreposição): Se é solução da equação e é solução da
equação então a função é solução da equação:
Capitulo 2
2.1. Revisão dos conceitos de produto interno e norma em Definição: Norma de um vector :
, quando diz-se vector unitário.
Propriedades: 1) e se e só se
2) 3) , Definição: e são paralelos quando existir um tal que .
e com a mesma direcção e sentido;
e com a mesma direcção e sentido oposto. Definição: e . A distância entre P e Q é dada por:
Definição: Produto interno: Dois vectores são perpendiculares se o produto interno entre eles for 0. Propriedades: 1)
2)
3) 4) 5)
6) e se e só se Definição: Desigualdade de Cauchy-Schwarz:
Definição: ) e
O plano Ʊ é o conjunto dos pontos P que satisfazem a seguinte equação:
equação vectorial do plano Equação cartesiana do plano
2.2. Funções vectoriais de uma variável: limites, continuidade, derivadas e integrais
Definição: Uma função vectorial de variável real é uma função:
é um vector de com n componentes.
são funções componantes da função Nota: O domínio da função é a intersecção dos domínios das suas funções componantes. Definição: Seja e L um vector de . Dizemos que
se e só se , ou seja, se e só se:
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O limite de é igual ao limite das suas funções componantes. Se o limite de uma delas não existir o limite de não existe. Definição: Seja e seja um ponto do domínio de . Diz-se que a função é contínua em se e só se:
Definição: Dada uma função contínua a derivada de no ponto é dada por:
Calcular a derivada de uma função é calcular as derivadas das suas funções componantes. Definição: Dada uma função definimos:
O integral duma função vectorial da variável real é o vector cujas componentes são os integrais das funções , .
2.3. Curvas no plano e no espaço, parametrização de curvas Suponhamos que n=3 e consideremos um a função contínua.
A cada valor de t no intervalo , fazemos corresponder um vector vector posição de um certo ponto P. Às equações:
Chamam-se equações paramétricas da curva e a variável t chama-se parâmetro. Os pontos e são os pontos inicial e final da curva,
respectivamente. Se forem iguais, dizemos que a curva é fechada.
Capitulo 3
3.1. Funções reais de n variáveis: domínios, curvas de nível, limites e continuidade Definição: Se é uma função de duas variáveis com domínio , o gráfico de é o conjunto:
Definição: As linhas, ou curvas, de nível de uma função de duas variáveis são as curvas de equação
onde é uma constante Definição: Dado um ponto ) e um número real chama-se vizinhança de centro em e raio ao conjunto: Definição: Dado um conjunto , um ponto diz-se interior a se existe tal que (ou seja, se
existe uma vizinhança de totalmente contida em ).
Um ponto diz-se um ponto fronteiro de se qualquer vizinhança de contem pontos de e do seu complementar. Um conjunto diz-se aberto se todos os seus pontos forem pontos interiores. Um conjunto diz-se fechado se contiver todos os seus pontos fronteiros.
Nota: Muitos conjuntos não são abertos nem fechados. Exemplo: e
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Definição: Seja uma função que está definida numa vizinhança dum ponto excepto possivelmente no
ponto . Então: se e só se: Para determinar se existe limite num dado ponto, deve-se tentar várias funções que passem por esse ponto. Se se obtiver sempre o mesmo valor começasse a suspeitar que existe limite e recorre-se à definição acima para o provar. Se se obtiver valores diferentes pode-se concluir de imediato que o limite não existe. Definição: Seja e seja . A função diz-se contínua no ponto se diz-se
continua num conjunto aberto se for contínua em todos os pontos de . Usando as propriedades dos limites pode mostrar-se que somas, produtos e compostas de funções contínuas são funções contínuas nos seus domínios.
3.2. Derivadas parciais A derivada parcial de em ordem a no ponto ( é denotada por
Pela definição de limite: A derivada parcial em ordem a no ponto ( é denotada por:
A derivada parcial em ordem a no ponto ( é denotada por:
Estas derivadas parciais obtêm-se derivando a função f em ordem a uma delas, mantendo a outra fixa (considera-se que é uma constante). As regras de derivação já conhecidas mantêm-se válidas. Definição: Seja . A derivada parcial de em ordem á variável é dada por:
Definição: Uma função diz-se de classe se e todas as suas derivadas parciais até à ordem (inclusive) forem funções contínuas em .
Definição: Uma função diz-se de classe se .
Teorema 3.2.1: Seja uma função de classe numa vizinhança do ponto ( , então:
Este teorema generaliza-se de forma natural a funções .
3.3. Funções diferenciáveis, noção de gradiente Definição: Seja uma função definida numa vizinhança do ponto . A função diz-se diferenciável
ponto se existir um vector tal que:
Se o vector existe, é único. Ao único vector que satisfaz a condição acima chamamos gradiente de no ponto
e denotamo-lo por: . Teorema 3.3.1: Se a função tem derivadas parciais continuas numa vizinhança do ponto então é diferenciável
em e
Teorema 3.3.2: Se a função é diferenciável no ponto então é contínua em
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Demonstração: O objectivo é provar que:
Como é diferenciável em temos que:
Donde:
E logo,
Concluímos assim que
Ou seja, que é contínua no ponto .
3.4. Derivadas direccionais
Definição: A derivada direccional ou dirigida de no ponto e na direcção do vector unitário é dada por:
Se este limite existir. Se é uma função de duas variáveis e fizermos na definição anterior obtemos
Ou seja, a derivada parcial é igual à derivada direccional de na direcção do eixo dos . Se considerarmos o vector
concluímos que
, ou seja, a derivada parcial é igual à derivada direccional de na
direcção do eixo dos . Analogamente para funções de três ou mais variáveis.
Teorema 3.4.1: Seja uma função diferenciável no ponto . Então tem derivada direccional na
diracção de qualquer vector unitário e tem-se
Demonstração:
Seja onde . Note-se que . Como é diferenciável em sabemos que:
Como (porque o vector é unitário) a igualdade anterior implica que:
Se obtemos:
Se obtemos:
Pelo que:
Portanto,
A igualdade
é válida sempre que é diferenciável.
Teorema 3.4.2: Se é diferenciável em então existem todas as derivadas parciais de no ponto e tem-se:
Demonstração:
Sejam os vectores da base canónica de . Recordemos que para todo o vector se tem
Como é diferenciável em , pelo teorema 11 existe
para todo o vector unitário . Considerando cada um dos
vectores , resulta então que existe:
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Por outro lado, já sabemos que
, pelo que:
Teorema 3.4.3: Seja uma função diferencial. Então o valor máximo da derivada direccional é dado por
e ocorre quando tem a direccção e sentido do vector Demonstração: Se todas as derivadas direccionais
são nulas, pelo que podemos supor que
e
consideremos o ângulo entre os vectores e . Então podemos escrever
pois é unitário. Isto diz-nos que
é a componente do vector na direccção do vector .
Uma vez que o valor máximo de é 1, e que este valor ocorre quando ,
concluímos que o valor máximo de é dado por e que ocorre quando tem a direcção e o sentido do
vector Assim, dá-nos o valor máximo da taxa de variação de no ponto e esse máximo ocorre na direcção e sentido do vector . Esta é então a direcção e sentido em que a função aumenta mais rapidamente no ponto
3.5. Derivação da função composta Teorema 3.5.1: Suponhamos que é uma função diferenciável das variáveis e onde e são funções diferenciáveis de variável . Então é diferenciável como função de e tem-se:
Se pusermos teremos
O resultado do teorema anterior pode ser escrito da forma: Teorema 3.5.2: Suponhamos que é uma função diferencial das variáveis e onde e
são funções das variáveis e tais que as derivadas parciais
existem. Então existem as derivadas
parciais
e
e tem-se:
e são variáveis independentes; e são variáveis intermédias; é variável dependente. Teorema 3.5.3: Suponhamos que é uma função diferencial das variáveis onde cada é função das
variáveis tal que todas as derivadas parciais
existem ( ). Então é uma função
das variáveis e
Para cada .
Note-se que existem tantas derivadas parciais da função quanto o numero de variáveis independentes . Cálculo de derivadas parciais de ordem superior a 1, faz-se de modo análogo, aplicando o teorema as vezes necessárias.
3.6. Plano tangente e recta normal
Teorema 3.6.1: Seja uma função de classe numa vizinhança dum ponto . Então o vector é perpendicular à linha de nível da função , , que passa nesse ponto.
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Demonstração:
Suponhamos que a linha de nível é representada parametricamente pela função tal que e . Nesta curva tem-se:
Pelo que . Mas, atendendo à regra da derivação da função composta, vem
No ponto obtém-se então:
Definição: O plano tangente à superfície de equação no ponto dessa superfície é o plano de equação:
O vector (ou qualquer múltiplo deste) diz-se um vector normal à superfície no mesmo ponto. Definição: A recta normal à superfície de equação no ponto dessa superfície é a recta que
passa em e que tem a direcção do vector . Assim, as equações paramétricas da recta normal são:
Há casos em que a equação que define a superfície pode ser resolvida em ordem a uma das variáveis como função umas das outras. Se, por exemplo, tivermos a equação da superfície pode ser escrita na
forma: Onde
Assim, a equação do plano tangente à superfície num ponto dessa superfície vem dada por:
Sendo a recta normal dada por:
3.7. Funções Implícitas Teorema 3.7.1 (Teorema da função implícita): Seja um subconjunto aberto de e seja:
Onde uma função que verifica as seguintes condições:
i.
ii.
iii.
(derivada parcial de f em ordem à variável que se pretende escrever como função das
restantes).
3.8. Extremos locais e absolutos
Definição: Seja e seja um ponto interior de . A função tem um máximo (respectivo mínimo)
local ou relativo no ponto se existe uma vizinhança do ponto tal que:
Respectivamente:
Em qualquer destes casos dizemos que tem um extremo local ou relativo no ponto
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Teorema 3.8.1: Se tem um extremo local no ponto então ou não existe.
Definição: Chama-se ponto crítico de a um ponto do interior de para o qual
ou não existe. Se o ponto diz-se um ponto de estacionaridade de .
Os únicos pontos que podem dar origem a extremos locais são os pontos críticos. Note-se que no entanto nem todos
os pontos críticos correspondem a extremos locais.
Definição: Chama-se ponto sela a um ponto de estacionaridade de que não corresponde a um extremo local.
Teorema 3.8.2 (Teste da segunda derivada): Seja e seja um ponto interior de tal que
. Consideremos a matriz (matriz hessiana):
E seja . Então:
i. Se é um ponto de sela.
ii. Se e
tem um mínimo local em .
iii. Se e
tem um máximo local em .
iv. Se o teste é inconclusivo.
Definição: A função tem um máximo (respectivo mínimo) absoluto no ponto se
Respectivamente:
Definição: Um subconjunto diz-se limitado se existe tal que (ou
seja, se existe um circulo de centro na origem e raio que contem o conjunto ).
Teorema 3.8.3: Se é contínua num conjunto limitado e fechado então atinge um
máximo e um mínimo absolutos em .
Para determinar o máximo e o mínimo absoluto de uma função num conjunto limitado e fechado
i. Determinar os pontos críticos de , isto é, os pontos do interior de para os quais ou
não existe.
ii. Determinar os pontos da fronteira de S que podem dar origem a extremos – parametrizar a fronteira de S
através de uma função vectorial e reduzir o problema ao estudo da função de uma só variável .
iii. Calcular o valor de nos pontos determinados em i) e ii). O maior destes valores é o máximo absoluto de em
S, o menor é o mínimo absoluto.
3.9. Extremos condicionados, multiplicadores de Lagrange Proposição: Suponhamos que onde I é aberto e seja uma curva contida em definida pela função
vectorial , e tal que . Se é extremo de em então é perpendicular a em .
Demonstração: Suponhamos que é extremo de em e seja tal que . Então tem um
extremo em pelo que
Tem que se anular em , isto é:
O que significa que os vectores e são ortogonais. Como é tangente a em resulta que é
perpendicular a em .
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Teorema 3.9.1: Seja uma função de duas ou três variáveis e suponhamos que está definido e é de classe num
subconjunto do domínio de . Se é extremo de sujeito à condição então e são paralelos.
Assim se existe tal que:
Ao escalar dá-se o nome de multiplicador de Lagrange.
3.10. Funções vectoriais de n variáveis Considerando a função:
Às funções chama-se funções componentes de . O domínio de é a intersecção dos domínios de cada uma das suas funções componentes. Definição: Seja e suponhamos que está definida numa vizinhança do ponto , excepto
possivelmente em . Dizemos que se e só se:
é a norma em
é a norma em Teorema 3.10.1: Seja e . Então:
De acordo com este teorema os limites das funções vectoriais de variável vectorial calculam-se componente a componente, tal como acontecia para as funções vectoriais de variável real. Definição: Seja e suponhamos que está definida numa vizinhança do ponto . A função diz-se contínua em se e só se
Teorema 3.10.2: Seja definida numa vizinhança do ponto do ponto . Então é contínua em
se e só se é contínua em ,
Definição: Seja . A função diz-se de classe em , , , se . Definição: Dada uma função definida numa vizinhança dum ponto , a derivada de no ponto
segundo o vector é dada por:
Se este limite existir. Se o vector foi unitário, isto é, se , a derivada de segundo o vector diz-se derivada direccional de na
direcção de .
é um vector de que tem como componentes as derivadas das funções no ponto .
Onde
Supondo que todas as funções são diferenciáveis sabemos que: .
Pelo que:
Usando a notação matricial pode-se escrever:
Definição: Seja e seja tal que as derivadas parciais
, existem no
ponto . À matriz
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Dá-se o nome de matriz jacobiana de no ponto . Quando o determinante da matriz no ponto diz-se o
jacobiano da função no ponto e representa-se por
Teorema 3.10.3 (teorema das funções implícitas): Seja um subconjunto aberto de e seja:
Onde , , uma função que verifica as seguintes condições: i.
ii. , isto é,
iii.
(jacobiano da função em ordem às variáveis que queremos escrever como função das
restantes)
Então o sistema de equações:
permite definir implicitamente e como funções de
numa vizinhança do ponto , isto é, existe um aberto e existe uma função de classe :
Tal que:
a)
b)
Como:
e ,
Derivando estas equações em ordem à variável usando regra da derivação da função composta
obtemos:
Ou seja:
Capitulo 4
4.1. Integrais duplos: definição, propriedades e aplicações Definição: Chama-se soma superior (respectivamente inferior) de Darboux de relativa à partição à soma:
Respectivamente:
Tal como no caso das funções de uma só variável pode-se mostrar que se é contínua então existe um e um só
número real que satisfaz as desigualdades:
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Se existir um número nestas condições a função diz-se integrável.
Definição: Seja uma função contínua num rectângulo fechado . Chama-se integral (duplo) de em , e escreve-
se:
Ao único numero real que satisfaz as desigualdades:
Proposição: Seja uma função constante em . Então:
Onde
Teorema 4.1.1: Seja uma função limitada num rectângulo tal que é contínua em excepto possivelmente num
número finito de curvas de classe . Então é integrável em .
Definição: Definimos
Note-se que uma vez que prolongámos a função por zero fora de é indiferente
qual o rectângulo que se considera, desde que contenha
Proposição:
1. Se é integrável em o volume do sólido limitado inferiormente pela região do plano e
superiormente pela superfície e dado por:
2. Se tem-se donde:
3. A massa da placa que ocupa a região do plano e que tem densidade é dada por:
Teorema 4.1.2 (Propriedades do integral duplo): Sejam e duas funções integráveis em .
i. Se e são constantes reais, a função é integrável em e tem-se:
ii. Se em então
iii. Se então
iv. A função é integrável em e tem-se:
v. Se em , onde é constante, então:
vi. Existe um ponto tal que:
A damos o nome de valor médio de em .
Teorema 4.1.3: Seja onde e suponhamos que , e são limitados por um número finito
de curvas de classe . Se é integrável em e em então é integrável em e tem-se:
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Teorema 4.1.4 (Fubini): Se a função é contínua na região dada por
onde e são da classe em então:
Se a função é contínua na região dada por onde e são de
classe em então:
4.2. Cálculo de integrais duplos usando coordenadas polares
Onde e
Teorema 4.2.1. Seja uma transformação injectiva, de classe e de jacobiano não nulo e
suponhamos que transforma a região do plano na região do plano . Seja uma função contínua em .
Então:
Fazendo no teorema anterior conclui-se que:
Dado um ponto de coordenadas cartesianas vamos agora definir as suas coordenadas polares
é a distância do ponto à origem, ou seja:
O ângulo é o angulo que o vector faz com o semi-eixo positivo dos :
Assim, um ponto de coordenadas polares tem coordenadas cartesianas:
onde
Reciprocamente para passarmos das coordenadas cartesianas para coordenadas polares fazemos:
Estas coordenadas são muito úteis para integrar em regiões circulares ou quando na função integranda intervem a
expressão .
é o jacobiano da transformação.
4.3. Integrais triplos Definição: Chama-se soma superior (respectivamente inferior) de Darboux de relativa à partição à soma:
Respectivamente:
Se é contínua então existe um e um só número real que satisfaz as desigualdades:
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Se existir um número nestas condições a função diz-se integrável.
Definição: Seja uma função contínua definida num paralelepípedo fechado . Chama-se integral (triplo) de em ,
e escreve-se:
Ao único numero real que satisfaz as desigualdades:
Proposição:
1. Se a função representar a densidade (massa por unidade de volume) de uma material que ocupa a
região do espaço, então a massa de é dada por:
2. Se em o integral triplo de em dá-nos o volume de :
3. A massa da placa que ocupa a região do plano e que tem densidade é dada por:
No cálculo do integral
Integra-se primeiro em ordem a , mantendo e constantes, depois em ordem a , mantendo constante, e
finalmente em ordem a .
4.4. Cálculo de integrais triplos usando coordenadas cilíndricas e esféricas Teorema 4.4.1. Seja uma transformação injectiva, de classe e de
jacobiano não nulo e suponhamos que transforma a região do plano na região do plano . Seja
uma função contínua em . Então:
Coordenadas cilíndricas
As coordenadas cilíndricas de um ponto são onde são as coordenadas polares de
ou seja,
O nome de coordenadas cilíndricas vem do facto que nestas coordenadas a equação do
cilindro se escreve simplesmente
Onde é a imagem da região por meio da transformação para coordenadas cilíndricas.
Coordenadas esféricas
Dado um ponto vamos agora definir as suas coordenadas esféricas
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Definimos como a distância do ponto à origem, ou seja,
O ângulo é o mesmo que em coordenadas polares e cilíndricas, isto é, é o ângulo
entre o semi-eixo positivo dos e a projecção do segmento no plano ,
O ângulo é o ângulo entre o semi-eixo positivo dos e o segmento ,
A relação entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas esféricas do ponto
:
Onde:
Capitulo 5
5.1. Integral de linha Definição: O integral de linha (relativamente ao comprimento de arco) da função ao longo da curva é dado
por:
Se este limite existir. Sabendo que os pontos determinam uma partição da curva em n sub-arcos de comprimentos
, ,…, . A norma da partição é o maior destes comprimentos.
Pode mostrar-se que se é uma função contínua então o limite anterior existe e é dado por:
Pode mostrar-se que o integral de linha é independente da parametrização da curva escolhida. Note-se que se
ou obtemos:
Onde é o comprimento da curva .
Se a curva é uma união de curvas de classe :
Também se pode definir integrais de linha relativamente às variáveis e do seguinte modo
Onde a curva é dada pela função vectorial com .
Definição: Seja uma curva de classe dada pela função vectorial , com , e seja
uma função contínua cujo domínio contém . Então o integral de linha de ao longo de
é dado por:
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Analogamente em .
Se a função representar um campo de forças contínuo, o trabalho realizado por este campo de forças no
deslocamento de uma partícula ao longo da curva é definido como:
Independência de caminho
Teorema 5.1.1: Seja uma curva de classe dada pela função vectorial com . Seja uma função de
classe em ( ou ). Então:
Definição: Um campo vectorial de diz-se conservativo se existe na função escalar tal que . A função diz-
se uma função potencial (de )
Definição: Seja um campo vectorial contínuo. Dizemos que o integral de linha
é independente de caminho
se:
Para quaisquer curvas e com os mesmos pontos iniciais e finais.
Definição: Uma curva diz-se fechada se o seu ponto terminal coincide com o seu ponto inicial, isto é, se
Teorema 5.1.2: Seja um campo vectorial contínuo definido em ou . Então
é independente de caminho
se e só se
para toda a curva fechada , seccionalmente de classe .
Teorema 5.1.3: Seja um campo vectorial contínuo definido em ou . Se
é independente de caminho
então é um campo conservativo.
Teorema 5.1.4: Seja um campo vectorial de classe definido em . Então é
conservativo se e só se:
Seja um campo vectorial de classe definido em . Então é
conservativo se e só se:
Se , para provar a condição necessária em basta ver que se é conservativo então: , ou
seja,
Como
vem
.
5.2. Teorema de Green Definição: Uma curva , dada uma função vectorial com , diz-se uma curva simples se não se
intersectar excepto possivelmente nos seus extremos.
Orientação positiva de é no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio – neste sentido a região interior (D) fica do
lado esquerdo. Notação:
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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011
Teorema 5.2.1 (Teorema de Green): Seja uma curva seccionalmente de classe , simples e fechada do plano,
com orientação positiva e seja a região do plano limitada por . Se e são funções de classe num aberto que
contém então:
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