Aplicacion de las derivadas

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA

ANTONIO JOSE DE SUCRE

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

INTEGRANTE:

NOMBRE: RICHARD MORA

C.I: 19884255

ESPECIALIDAD: INFORMATICA

DERIVADA

INTERPRETACION GEOMETRICA

La pendiente de la RECTA SECANTE es igual a la tangente trigonométrica de a

La recta tangente es aquella que corta a una curva en dos o mas puntos.

DERIVADA

INTERPRETACION GEOMETRICA

La pendiente de la RECTA TANGENTE es igual al limite cuando ∆x tiende a cero del cociente incremental.

A esta expresión lo conoceremos como derivada.

DERIVADA

DEFINICION

La derivada de una función es igual Al limite cuando el incremento (∆x ) Tiende a cero del cociente incremental de la diferencia de la función incrementada [f(x+ ∆x )] Menos de la función [f(x )] sin incrementar dividido el incremento (∆x ).

DERIVADA

EL ANALISIS GRAFICO DE UNA FUNCION

Como se observa en el grafico, la función tiene un MAXIMO y en X y en X . Además tiene un MINIMO en X . La función es creciente en (0;X ) y en (X ,X ). La función es decreciente en (X , X ) y en (X , X )

2 6

4

2

4 6

2 4

6 7

DERIVADA

EL ANALISIS DEL CRECIMIENTO FUNCIONAL

En x la función es creciente y la recta tangente forma un Angulo menor que 90 con el eje x. Por lo tanto la derivada en ese punto es positivo

Caso contrario en x la función es decreciente y la recta tangente forma un Angulo mayor que 90 con el eje x. Por lo tanto la derivada en ese punto es negativo.

1

0

0 3

DERIVADA

EL ANALISIS GRAFICO - EJEMPLO

Hallemos la derivada de la función

Analicemos en x=1 F’(1)=1-4=-3 es negativo por lo tanto la función es decreciente. Analicemos en x=7 F’(7)=7 -4=3 es positivo por lo tanto la función es creciente.

En x y en x la función tiene un máximo y la recta tangente forma un Angulo de 0 por ser paralelas con el eje x. Por lo tanto la derivada en ese punto es cero. F’(x) = 0

2 6

0

También en x la recta tangente a la función forma un Angulo

de 0 con el eje x por ser paralelo pero aquí existe un

mínimo. Por lo tanto la derivada también es cero. F’(x) = 0

APLICACIONES.

4 0

EL ANALISIS DE LOS MAXIMOS Y MINIMOS

DERIVADA

ANALISIS DE LOS PUNTOS DE INFLEXION

Un punto de inflexión es aquel donde la función cambia de

curvatura. Como vemos la recta tangente también forma

un ángulo de 0 con el eje x por ser paralela. También la

primera derivada da cero.

0

DERIVADA

PUNTOS CRITICOS

En conclusión tanto los puntos máximos, mínimos como puntos de inflexión dan como valor en la primera derivada cero. A estos puntos los llamaremos PUNTOS CRITICOS y necesitamos analizarlos utilizando otra herramienta que no sea la primera derivada.

DERIVADA

GRAFICA DE PRIMERA, SEGUNDA Y TERCERA DERIVADA

DERIVADA

REGLA PRACTICA PARA DETERMINAR

PUNTOS CRITICOS

DERIVADA

PROBLEMAS CON MAXIMOS Y MINIMOS

A partir de una plancha de hojalata cuadrada de lado igual A 20 cm., determinar las dimensiones del envase que se puede construir de manera que esta tenga el máximo volumen y la base sea cuadrada.

DERIVADA

PROBLEMAS CON MAXIMOS Y MINIMOS

Hallamos la formula de volumen: Vol. De un prisma = sup. De la base x Altura del cuerpo. En nuestro caso:

Derivamos la función volumen y luego lo igualamos a cero.

Haciendo los cálculos tenemos

El valor que nos da el volumen máximo es X=3,33.