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Análisis matemático de la extracción de energía del oleaje y
su efecto en la hidrodinámica de una columna de agua
oscilante, costera.
Director del proyecto: Dr. Eric Gustavo Bautista Godínez
Centro de Adscripción: ESIME Azcapotzalco
1.- Durante el desarrollo del proyecto “Análisis matemático de la extracción de
energía del oleaje y su efecto en la hidrodinámica de una columna de agua
oscilante, costera”, se incursionó en el conocimiento del desarrollo de nuevas
tecnologías orientadas a las fuentes alternas de energía.
2.- Este proyecto permitió el desarrollo de tres artículos científicos, uno en congreso
internacional y dos en revistas de conocimiento de frontera de alto impacto, que tienen
por título:
E.G. Bautista, F. Méndez y J.C. Arcos., (2008). Análisis teórico de la
transformación del oleaje, en un canal con forma parabólica y su uso como
fuente alterna de energía. XXIII Congreso Latinoamericano de Hidráulica,
Cartagena de Indias Colombia, Septiembre del
E.G. Bautista, F. Méndez, O. Bautista., (2008). Numerical Predictions of the
Generated Work in an Air-Compression Chamber driven by an Oscillating
Water Column. Open Ocean Engineering.
E.G. Bautista, F. Méndez and O. Bautista., (2008). Numerical predictions in an
air compression chamber OWC coupled with a parabolic open channel. Ocean
Engineering.
3.-Se atendió al alumno PIFI, Serrano Huerta Daniel Armando, de nivel licenciatura,
induciéndole en nuevas herramientas matemáticas y numéricas, las cuales le serán de
utilidad en sus estudios, y sin duda en su ejercicio profesional
4.- Se dirigió y presentó la tesis del alumno Meneses Marquez Tonatiuh Mauricio,
con titulo Influencia del proceso de imbibición de un fluido no newtonino sobre el
campo de temperaturas de un medio poroso
5- El estudio detallado de describe a continuación
Resumen
En este trabajo se plantea la ecuación de gobierno que simula el comportamiento del
movimiento de una columna de agua oscilante, conocida como OWC (por sus siglas en
ingles), acoplada con la ecuación de gobierno de un tren de ondas que se propaga en el
interior de un canal con forma horizontal parabólica. Se plantea una solución analítica que
permite describir el comportamiento de la OWC bajo distintas condiciones de oleaje, en un
límite asintótico, dadas las características de la ecuación de gobierno en su forma general,
su solución es determinada utilizando un método numérico del tipo Runge-Kutta de cuarto
orden. En este trabajo se considera que la propagación de ondas oceánicas tienen se
encuentran en un estado de flujo somero. Con la finalidad de verificar el efecto del oleaje
en la OWC, primeramente se estableció el modelo analítico en su forma adimensional
basado en la ecuación de la energía. El propósito de un sistema Oleaje-Potencia tiene dos
objetivos principales: 1) perturbar el oleaje como una consecuencia de la forma parabólica
del canal, con la finalidad de concentrar la máxima amplitud en la vecindad de la OWC y 2)
determinar la máxima presión y el volumen de oscilación del aire en el interior de la cámara
de compresión de la OWC, para obtener la máxima potencia mecánica.
Introducción
La presente tendencia para resolver los problemas ambientales causados por la producción
de energías térmicas se ha enfocado al uso de energías no-renovables. Sin embargo la
mayoría de los países no ha dirigido sus esfuerzos a la explotación de los océanos, los
cuales cuentan con una enorme concentración de energía cinética y potencial.
Los transformadores de energía oceánica, basados en la Oscilación de de Columnas de
Agua (OWC, por sus siglas en ingles), operan principalmente con tecnología convencional
y probablemente su gran éxito se debe a su simplicidad mecánica y estructural. Ésta
consiste en una estructura hueca parcialmente sumergida que se encuentra conectada con el
agua del mar. La estructura encierra parcialmente una columna de agua que se encuentra
expuesta a la incidencia del oleaje por la parte inferior de la OWC, y su superficie libre se
encuentra en contacto con la atmósfera. Cuando el oleaje interactúa con la OWC, ésta
tiende a elevarse o a descender, según sea el movimiento de las olas. Cuando la columna de
agua se eleva ésta produce una compresión del aire y caso contrario una expansión.
En la literatura especializada existe una gran diversidad de estudios relacionados con las
OWC. Evans (1972) modeló este dispositivo considerando dos estructuras OWC separadas,
que se encuentran en el interior de un canal rectangular esbelto, él consideró que el oleaje
tenía un comportamiento lineal y usó métodos de expansión asintóticos, con la finalidad de
obtener resultados de máxima potencia. Otros autores han enfocado sus esfuerzos a la
determinación de la máxima potencia que pueda proporcionar una OWC, considerando
análisis de control de apertura y cierre de válvulas, intentando determinar la máxima
compresión del aire, Falcao y Sarmento, (1980). Otros investigadores han estudiado la
eficiencia de las OWC, considerando un arreglo de estructuras a lo largo de la costa con la
finalidad de eficientar la potencia mecánica, sin embargo los estudios realizados han
mostrado que colocar dos estructuras OWC contiguas, la eficiencia mejora, no así en el
caso de colocar más de dos estructuras, (Budal et al., (1979), (1980)).
Falcao y Justino, (1998) propusieron un modelo teórico para simular la conversion de
energía, proveniente del oleaje y su interacción con una turbina shaft. La resonancia de las
OWC presenta diversas utilidades en el campo de la ingeniería ambiental, como pueden ser
la acuacultura, bombeo de agua contaminada de lagunas al mar (Czitrom, 1997, Czitrom et
al., 1999, Czitrom ,1999; Czitrom, 2000). Bocotti, (2007) propuso una novedosa geometría
de una OWC basada en un tubo vertical que se encuentra paralelo a la OWC y que conecta
al mar con la estructura, este propuesta mejoró la eficiencia de las estructuras OWC.
Erickzon et al., (2005) presentó un estudio numérico de olas interactuando con un
resonador cilíndrico considerando que éste puede simularse como un amortiguador viscoso.
En este trabajo, se presenta un modelo analítico acoplado, que describe el comportamiento
hidrodinámico de la oscilación de una columna de agua, perturbada por la acción de un
grupo de ondas que se propagan en el interior de un canal esbelto con forma horizontal
parabólica y profundidad constante. Se considera que un canal con estas características
permite una concentración eficiente de ondas oceánicas, Bautista and Méndez (2008). Se
presenta la ecuación de la energía en su forma general, y se proponen parámetros
adimensionales en función de longitudes características, la ecuación de la energía es
manipulada con la finalidad de obtener una ecuación diferencial ordinaria no-lineal, bajo la
suposición que el nivel de la superficie libre del agua de la OWC permanece constante. Se
presentan resultados de la hidrodinámica de la OWC bajo distintas condiciones de oleaje y
de configuración geométrica, tanto del la OWC como del canal de propagación. Los
resultados muestran el efecto que la oscilación de la columna de agua tiene en la
compresión del aire y la potencia mecánica que se presenta en consecuencia. Este modelo
analítico acoplado nos permite identificar la competencia entre las fuerzas de restitución y
excitación, con la finalidad de amplificar o decrecer la columna de agua.
Modelo matemático
En este trabajo se considera la oscilación de una columna de agua que tiene un ancho 2H y
y una altura S por arriba del nivel medio del mar y que se encuentra separada de la línea de
costa una longitud L , la estructura está sumergida una profundidad D y separada una
longitud W con respecto al fondo. El espesor de la pared de la OWC es 1S y es pequeña
comparada con H . El canal horizontalmente, tiene una forma parabólica, con distribución 2y ax H , donde a es el foco de la parábola, en este estudio consideramos que la
profundidad del canal es contante 0h , Fig. 1. and Fig.2.
Fig. 1. Vista en planta del sistema acoplado OWC-Canal.
Fig. 2. Vista en perfil del sistema acoplado OWC-Canal
El sistema de referencia considerando es cartesiano, en el cual los ejes x and y están
contenidos en el plano horizontal del nivel medio del mar y el eje z es positivo hacia
arriba. En este trabajo se considera transformar una onda de amplitud pequeña en una onda
propagándose en un flujo somero, como una consecuencia de la sección transversal del
canal parabólico. Para un canal con sección transversal variable, con ancho mucho menor
que su longitud, L b x , es de esperarse que la variación de las corrientes y superficie
libre del agua sean poco significativas, en comparación con el efecto longitudinal. Lo
anterior se justifica, dado que las condiciones de frontera de flujo normal a las paredes del
canal es cero, lo cual implica que las variaciones de en estas condiciones es despreciable,
por tal razón el fenómeno puede considerarse como unidimensional, Mei, (2005).
En este estudio consideramos las ecuaciones para flujo somero (SWE), Ecs. (1) y (2), que
representan un flujo no-viscoso, se asume que los efectos de la fricción del fondo, esfuerzos
cortantes y gradientes presión sobre la superficie libre del agua son despreciables.
Incidentwave
x
y
y=ax²+H
H2H
a
0 b(x)
OWC
L
z
Mean sea
water levelh0
OWC
Compression
chamber
2H
W
L
S1
Turbine
AirS
y
D
U
gt x
(1)
0U
ht x
(2)
En las SWE, U es la velocidad media del agua, es la superficie libre, 0h h constante y
t es el tiempo.
La Ec. (2) puede expresarse como una función del área de la sección transversal A(x)
( )
( )
UA x
t x b x
(3)
donde 0( )A x b x h y 2( ) / 2 2b x x a H . Combinando las Ecs. (1) y (3), la ecuación
de gobierno de la hidrodinámica del movimiento del oleaje en su forma adimensional se
escribe de la siguiente manera, Bautista y Méndez, (2008)
2 2
2
21 1 0
2 2r
d dF Fr
d d
(4)
Con condiciones de frontera
0 : 0
1: 1 i
d
d
donde , , , ,r iF es la solución de la ecuación diferencial ordinaria, Ec. (4), que
representa la oscilación de la superficie libre del agua, expresada adimensionalmente,
2
0 /rF gh L , 2 / 2L aH , /i A H , 1T , T es el periodo de la onda a es el
foco de la parábola, g es la gravedad y A es la amplitud física del oleaje en la frontera
abierta del canal.
La hidrodinámica de la oscilación de la superficie libre del canal se describe mediante la
ecuación de la energía ec. (5).
2 2 21 10
2 2
i
c a c a ce
V Kds P P V V g y V
t
(5)
donde cP y aP son las presiones en el interior de la cámara de compresión y la presión
atmosférica respectivamente, la /V t es la razón de cambio de la cantidad de
movimiento, K es una constante de fricción del material de la estructura OWC, y es el
desplazamiento de la superficie libre de la columna de agua, es la oscilación de la
superficie libre del oleaje, es la densidad del agua, i y e indican fuera y dentro OWC
respectivamente.
El término /i
eV t ds en la ec. (5), se puede expresar de la siguiente forma
2 2
2 2
i
e
V yds y W W
t t t
(6)
Sustitutyendo la ec. (6) en la (5), resulta
2 2
0
2 2
2 2 2
1
10
2 2
k
a a
c
Vyy W W P P
t t V
y K yg y
t t t
(7)
donde 0V es el volumen de aire en el estado inicial en la cámara de compresión de la OWC
y cV corresponde al volumen de aire que oscila como consecuencia del aumento o
decremento de la altura de la columna de agua, k es el radio del calor específico que está
definido por /p vk C C , donde pC es el cambio de entalpía en función de la temperatura a
presión constante vC es el cambio de energía interna a volumen constante, en este trabajo
consideramos que 1.4k .
La ec. (7) es función de diversas variables propias del fenómeno, su solución, en estas
condiciones implica un gran cantidad de combinaciones, por tal razón se consideró
expresarla en términos de las siguientes variables adimensionales
t , /Y y H and / H .
Sustituyendo las variables anteriores en la ec. (7), resulta
2 2
2 2 23
2 2 2
2
/ 11 1 1
41
02
ai i k
a
i i
PYY
HW HY
V
Y g K YY
W
(8)
Arreglando términos la ec.(8), se puede expresar de la siguiente manera
2
2
2 2 22
2
11 1
1
12
i i k
k
i j i i i j
YY
Y
Y K YY
(9)
donde
2
/ai
P
HW
,
2j
g
W
,
34k
a
H
V and /i H W
El parámetro adimensional j representa la influencia geométrica de la OWC en la
cinemática del oleaje, k y i relaciona los parámetros geométricos de la OWC.
Finalmente agrupando términos y normalizando la ec. (9), se obtiene
22
2
22 2 2
11 1 1
21
1 cos cos
sin cos
i i j ik
k
i j i
j i j i
Y K YY Y
Y
(10)
Para poder determinar el efecto de , en la oscilación de la columna de agua es
necesario integrarla a lo largo del eje longitudinal de la siguiente forma.
1
0d
(11)
Como se aprecia la ec. (10) está expresada en términos de derivadas parciales, sin embargo
hemos establecido que la superficie libre del agua de la columna de agua oscilante,
permanece horizontal, en tales circunstancias, ésta únicamente varía en la dirección de Y, y
la ecuación (10) puede expresarse en términos de derivadas ordinarias
22
2
22 2 2
11 1 1
21
1 cos cos
sin cos
i i j ik
k
i j i
j i j i
d Y K dYY Y
d Y
(12)
La ec. (12) representa el sistema acoplado entre la estructura OWC y el canal parabólico,
que describe el comportamiento de la oscilación de la columna de agua, como una función
de cinco parámetros adimensionales , , , andi j k i j .
Resultados
En todos los cálculos numéricos, consideramos los siguientes datos: 10 mW ,
10.16 s , 0.001 , 0.0001 , 31000 kg/m el ancho de la OWC H y la
amplitud del oleaje en la frontera abierta del canal A, están relacionadas con el parámetro
/ 1i A H . Con la finalidad de analizar la oscilación de Y, usamos un método numérico
de cuarto orden en precisión Runge-Kutta.
Las Figuras 3 y 4 muestran diferentes resultados numéricos de la variable adimensional
como una función de la coordenada y diferentes valores del parámetro rF , estableciendo
el valor de constante. En la Fig. 3, se muestra la solución numérica para valores grandes
del parámetro rF , como se aprecia, la elevación de la superficie libre del agua decrece y su
longitud aumenta, si se comparan con los graficados en la Fig. 4, donde si rF disminuye la
longitud de la ola crece.
La oscilación de la superficie libre del agua es función de diversas variables, en este trabajo
estamos considerando dos efectos principales, la cinemática del oleaje y la geometría de la
OWC. El primero de los efectos está incluido en el parámetro rF , que se describió
previamente y el segundo en el parámetro i . Las Figuras 4 y 5 revelan claramente el
comportamiento de la variable /Y y H , como una función de los parámetros
100, 200, 300 and 400i , 38j , 0.3k , 0.65i y 0.065j ; el valor de Y
crece a medida que i decrece, caso contrario Y disminuye.
Las Figuras 7 y 8 muestran la variación de la presión en el interior de la cámara de
compresion, ésta es calculada a partir de la siguiente ecuación
0
k
c a
c
VP P
V
(1.13)
En estas figuras se aprecia que para una disminución en los valores de i la presión del aire
experimenta un incremento y el volumen del aire una disminución, ver Figuras 9 y 10, no
obstante se puede observar que P y V están en fase con la oscilación Y.
Fig. 3. Solución numérica de la superficie libre adimensional , como un function de la
coordenada , considerando valores de 1 , 50 y 0.01, 0.02rF
Fig. 4. Solución numérica de la superficie libre adimensional , como un función de la
coordenada , considerando valores de 1 , 50 y 0.0055, 0.01rF .
Fig. 5. Solución numérica de la oscilación de la superificie libre adimensional de la OWC,
, considerando valores de 0.01rF , 50 y 100, 200i .
Fig. 6. Solución numérica de la oscilación de la superificie libre adimensional de la OWC,
, considerando valores de 0.01rF , 50 y 300, 400i .
Fig. 7. Solución numérica de la oscilación de la presión adimensional en el interior de la
cámara de compresión de la OWC, /c aP P P , considerando valores de los parámetros
adimensionales 0.01rF , 50 and 100, 200i .
Fig. 8. Solución numérica de la oscilación de la presión adimensional en el interior de la
cámara de compresión de la OWC, /c aP P P , considerando valores de los parámetros
adimensionales
0.01rF , 50 y 300, 400i .
Fig. 9. Solución numérica de la oscilación del volumen de aire adimensional en el interior
de la cámara de compresión de la OWC, 0/cV V V , considerando valores de los
parámetros adimensionales 0.01rF , 50 y 100, 200i .
Fig. 10. Solución numérica de la oscilación del volumen de aire adimensional en el interior
de la cámara de compresión de la OWC, 0/cV V V , considerando valores de los
parámetros adimensionales 0.01rF y 50 .
Fig. 11. Potencia adimensional extraida de la cámara de compresión, en función del
parámetro adimensional i
Conclusiones
En este proyecto se desarrolló un sistema acoplado OWC-Canal parabólico, con la finalidad
de transformar la energía marítima producida por el oleaje en mecánica. Las ecuaciones de
flujo somero fueron acopladas con la ecuación de la energía con la finalidad de analizar la
influencia que tiene el oleaje en la hidrodinámica de la oscilación de la columna de agua,
bajo distintas condiciones geométricas de la OWC y del canal parabólico. Usar la ecuación
de gobierno de la OWC en términos de variables físicas implica una gran cantidad de
posibilidades, por tal razón en este trabajo se considerarón variables adimensionales, las
cuales mostraron una gran versatilidad en el análisis del fenómeno en estudio.
La solución de la ecs. (4) y (12) fueron obtenidas numéricamente usando un método de
cuarto orden Runge-Kutta, se propusieron diferentes valores de los parámetros
adimensionales y se pudo observar que la hidrodinámica de la OWC es altamente
influenciada por el parámetro i , lo cual demuestra que para valores grande de i , la
amplitud Y crece, la presión y el volumen del aire decrece. Con estos resultados obtuvimos
la potencia mecánica que se muestra en la Fig. 11, como una función del parámetro i .
Referencias
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