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Apéndice
TABLAS
Apéndice
TRANSFORMADA DE FOURIER
PROPIEDADES
DEFINICION )(tf
dtetfF tj )()(
DUALIDAD F(t)
)(2 f
ESCALA )(atf
aF
a
1
DESPLAZAMIENTO EN EL
TIEMPO )( 0ttf )(0
Fetj
DESPLAZAMIENTO EN
FRECUENCIA )(0 tfe
tj )( 0 F
DERIVACION EN EL TIEMPO Nntf n ,)()( )()( Fj n
DERIVACION EN
FRECUENCIA Nntfjt n ,)()( )()( nF
INTEGRACION EN EL TIEMPO
t
duuf )( )()0()(
1
FF
j
CONVOLUCION EN EL
TIEMPO )(*)( tgtf )()( GF
CONVOLUCION EN
FRECUENCIA )()( tgtf )(*)(2
1
GF
f(t) cos(0t) )(
2
1)(
2
100 FF
f(t) sen( 0t)
)(2
1)(
2
100 F
jF
j
Relación de Parseval: E=
dt)t(f2
=
d)(F2
2
1
Apéndice
PARES TRANSFORMADOS
FUNCIÓN TRANSFORMADA
e-at us(t) , a0 aj
1
tae
22
2
a
a
0,2
ae at
aea
4/2
Pa(t)
2sinc
aa
T2b(t)
2sinc 2 b
b
Nn(t), u-ate
!n
ts
n
1
1
, a0 naj )(
1
e-at sen bt us(t), a0 22)( baj
b
e-at cos bt us(t) ,a0 22)( baj
aj
)(t 1
Nntn ),()( nj )(
u(t)
j
1)(
N n, t n )(j2 )n(n ωδπ
etj 0
)(2 0
t0 cos )()( 00
t0sen )()( 00 j
t0sen us(t) )()(j
00220
0
2
t0 cos us(t) )()(2
0022
0
j
t us(t) 2
1)('
j
Apéndice
TRANSFORMADA DE LAPLACE
FUNCIÓN TRANSFORMADA
0,)( ttf
0
)()()( dttfesFtf stL
)()( tgtf )()( sGsF
1 s/1
t 1
ate as
asReRe
1
nt 1ns
!n
0sRe
sen(at) 22 as
a
cos(at)
22 as
s
)(tfe at )( asF , si )()( tfsF L
natte ,...2,1,
)(
!1
nas
nn
)(tft n ,...3,2,1),()1( nsF
ds
dn
nn
)()( tf n, n=1,2,3,...
snF(s)- sn-1f (0+)- sn-2f '(0+) - .....-f
(n-1)(0+)
t
df
0
)( )(1
sFs
t
df )( )(1
sFs
0
)(1
dttfs
EXISTEt
tfsi
t
tf
t
)(lim,
)(
0
s
duuF )(
f(at), a>0 )/(1
asFa
)()( atuatf s )(sFe as
Apéndice
FUNCIÓN TRANSFORMADA
t
dvvtgvf0
)()( F(s) G(s)
f(t) = f(t+T) dtetfe
Tst
sT
0
)(1
1
senh(at) 22 as
a
cosh (at)
22 as
s
ebt senh (at) 22)( abs
a
ebt cosh(at) 22)( abs
bs
ebt sen (at) 22)( abs
a
ebt cos(at) 22)( abs
bs
T. del valor final T. del valor inicial
)s(Fslim)t(flim
0st )s(Fslim)t(flim
st 0
______________________________________________________________________
Apéndice
Variables de Estado
)()()(
)()()()()(
0
00
tuDtxCty
duBttxtttx
t
t
2ª Forma Canónica
1210 ...
1...000
0...100
0...010
naaaa
A ;
1
0
0
0
B ; nbD
)()(......)()( 11221100 nnnnnnnn babbabbabbabC
Transformación
PAPAv
1 ; BPBv
1 ; PCCv ; DDv
Método de Cayley – Hamilton :
1
0
n
i
ii
t t γe AA ,
Los tγi se obtienen de ,...,N,j,λ t γtγeN
i
iji
tλ j 211
10
Señales de potencia y energía
Para calcular la energía:
L
Ldttf
L
2limE
Para analizar si es de potencia:
L
LL
dttfL
2
2
1lim0
______________________________________________________________________
Propiedades Delta de Dirac 1) 00 /0)( ttttt
2) 2010 1)(
2
1
tttsidttt
t
t
extensible a intervalos infinitos
Apéndice
3) Si f(t) es continua en )()()()( 00001 tttftttftt
4) battencontínuaestgbtasi
btasitgdttgtt
b
a
;)(
0
)()()( 0
0
00
0
5) 1010
2
1
0 ,)()()( tttconttdtt
t
t
6) 1010)(
2
1
0)( ,)()1()()( tttcontfdtttf kk
t
t
k
7)
0
0
000
1)()(
ttsi
ttsidtttu
t
8) tda
tt
atdtat
)(1
)( 00
9) )()( tt
__________________________________________________________________
SERIES DE LAURENT
(1))z(z
b)z(zaf(z)
1nn
0
n
0n
n
0n
C
n(2)....)0,1,2,....(ndz
z(z
f(z)
j2
1a
0
n 1) (3)...)1,2,......(ndz
z(z
f(z)
j2
1b
0
n
C
n 1)
Desarrollos en serie más utilizados:
1) Serie binomial:
!n
)1n)........(1(
n,1
0donde;1z,z
n)z1(
0n
n
Casos particulares:
1-1) ..............1)1(1,)1(1
1 321
0
zzzzózzz n
nn
1-2) ..............1))(1(1,)(1
1 321
0
zzzzózzz n
n
1-3) 1z...,..........!3
z)2m)(1m(m
!2
z)1m(mmz1)z1(
32m
2)
z,
)!1n2(
z)1(zsen
1n
1n21n
3)
z,)!n2(
z)1(1zcos
1n
n2n
; 4)
z,!n
z1e
1n
nz
Apéndice
SERIE DE FOURIER
Serie exponencial o compleja de Fourier
f(t) = n
0jnw t
c en
donde
T
2
n
T
2
0jnw t1
f(t).e dtT
c
y 0
2πw
T
Serie trigonométrica de Fourier
n 0 n 0
n 1
0 a cos(nw t) b sen(nw t)a
f(t)2
con
T
2
0
T
2
2a f(t)dt
T
;
T
2
n 0
T
2
2a f(t)cos(nw t) dt
T
T
2
n 0
T
2
2b f(t)sen(nw t) dt
T
Si f(t) es par:
n 0
n 1
0 a cos(nw t)a
f(t)2
con :
T
2
0
0
4a f(t)dt
T ;
T
2
n 0
0
4a f(t)cos(nw t) dt
T ; bn= 0
Si f(t) es impar:
n 0
n 1
b sen(nw t)f(t)
con : a0 = an = 0 ;
T
2
n 0
0
4b f(t)sen(nw t) dt
T
Si f(t) tiene simetría de media onda contiene solamente armónicas impares
2n 1 0 2n 1 0
n 1
a cos(2n 1)w t b sen(2n 1)w tf(t)
con a0 = 0
T
2
2n 1 0
0
4a f(t)cos(2n 1)w t dt
T
T
2
2n 1 0
0
4b f(t)sen(2n 1)w t dt
T
Identidad de Parseval
Si utilizamos la serie compleja de Fourier:
n
2
n
2
T
2
T
2cdtf(t)
T
1
Si utilizamos la serie trigonométrica de Fourier:
1n
2
n
2
n
2
02
T
2
T
2ba
2
1
4
adtf(t)
T
1
Apéndice
Identidades trigonométricas
π)(xx 2sen)(sen π)(xx 2cos)(cos π)(xx tg)(tg
π)(xx sen)(sen π)(xx cos)(cos
(x)x tg)(tg (x)x cotg)(cotg
x
πx
2cos)(sen
x
πx
2sen)(cos
x
πx
2cotg)(tg
a
bxba(x)bxa arctgsencos)(sen 22
1)(cos)(sen 22 xx
yxyxyx sencoscossen)(sen
yxyxyx sensencoscos)(cos
yx
yxyx
tgtg1
tgtg)(tg
Apéndice
Funciones hiperbólicas
)(h2
1)(Ch Cee )(h2
1)(Sh See
)(h/)(h)(Th CS )(h/)(Ch)(Ch S e )(Sh)(Ch
eS )(h)(Ch
1)(h)(Ch 22 S
)(Ch)(h)(Ch)(h)(Sh SS
)(Sh)(Sh)(Ch)(Ch)(Ch
)(Th)(Th1
)(Th)(Th)(Th
)(Ch)(Ch2
1)(Sh)(Sh
)(Ch)(Ch2
1)(Ch)(Ch
)(Sh)(Sh2
1)(Ch)(Sh
)(Sh)(Ch)(Sh)(Ch nnn
)(sen)(Sh xixi )(Sh)(sen xixi
)cos()(Ch xxi )(Ch)cos( xxi
)(tg)(Th xixi )(Th)(tg xixi
)(Sh)cos()(Chsen)(sen yxiy(x)iyx
)(Sh)(sen)(Chcos)(cos yxiy(x)iyx
)(ArgSh)(sen arc xixi
)(ArgCh)(cos arc xiixi
x
xxixi
1
1ln
21)(ArgTh)( tgarc
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