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Análisis de estabilidad teoría de control
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11Prof.Marly Fernndez Teoria deControl
Respuesta TemporaldeSistemas deControl
1. ErrorenEstadoEstable
Sedefinecomolaincapacidadquetieneunsistemaaseguirciertotipodeentrada.
G(s) Y(s)E(s)
H(s)
R(s)_
+
)()()()( sYsHsRsE = )()()( sGsEsY =)()()()()( sEsGsHsRsE =
[ ] )()()(1)()()()()()(
sRsGsHsEsRsEsGsHsE
=+=+
)()(1)()(
sGsHsRsE +=
Estaexpresinpermiteelclculodelerrorenestadoestable aplicando el teoremadel valor finalpara latransformadadeLaplace
22Prof.Marly Fernndez Teoria deControl
1. ErrorenEstadoEstable
)()(1)()()(
00 sHsGssR
LimssELimteLimesst
SS +=== Funcindetransferenciadelazoabierto
Elerrordeestadoestabledependedelaentradaalsistema,R(s),ydelafuncindetransferenciadelazoabierto. Parasuestudioseutilizanlassealesdepruebaescaln,rampayparbola.
Clasificacindeloserroressegnlaentradasdepruebaalsistema1. Errordeestadoestableanteelescalnunitarioylaconstantedeerrordeposicin.
2. Errordeestadoestableantelarampaunitariaylaconstantedeerrordevelocidad.
3. Errordeestadoestableanteparbolaunitariaylaconstantedeerrordeaceleracin.
Respuesta TemporaldeSistemas deControl
33Prof.Marly Fernndez Teoria deControl
TipodeunSistema
=
=
= n
ll
j
m
ii
pss
zsKsHsG
1
1
)(
)()()(
Tipodelsistema:cantidaddepolosenelorigendelplanos
2.Coeficiente(Kp)yerrorestticodeposicinentradaescalnunitario.
ssR 1)( =
9 Sielsistemaesdetipo0,j=09 Sielsistemaesdetipo1omayor,j 1
[ ])()( 0
sHsGLimks
P =
PSS ke += 1
1
Pk 0=SSe
Respuesta TemporaldeSistemas deControl
44Prof.Marly Fernndez Teoria deControl
3.Coeficiente(Kv)yerrorestticodevelocidadentradarampaunitaria.
21)(s
sR = [ ][ ] [ ]
[ ])()( 1)()(
1)()(1
1)()(1
)()(
0
00
200
sHssGLimkke
sHssGLimssHsGLime
ssHsGs
LimssELimteLime
sV
VSS
ss
SS
sstSS
==
=+=+===
[ ])()( 0
sHssGLimks
V =
VSS ke 1=
Vk 0=SSe
9 Si el sistema es de tipo 0, j = 0
9 Si el sistema es de tipo 1, j = 1
9 Si el sistema es de tipo 2 o mayor, j 2
0 =Vk SSe
Respuesta TemporaldeSistemas deControl
55Prof.Marly Fernndez Teoria deControl
4.Coeficiente(Ka)yerrorestticodeaceleracinentradaparbolaunitaria.
31)(s
sR = [ ][ ] [ ]
[ ])()( 1)()(
1)()(1
1)()(1
)()(
2
0
2
0
20
300
sHsGsLimkke
sHsGsLimssHsGLime
ssHsGs
LimssELimteLime
sa
aSS
ss
SS
sstSS
==
=+=+===
[ ])()( 20
sHsGsLimks
a =
aSS ke 1=
9 Si el sistema es de tipo 1, j = 1
9 Si el sistema es de tipo 2, j = 2
9 Si el sistema es de tipo 0, j = 0 0 =ak SSe
9 Si el sistema es de tipo 3 o mayor, j 3 ak 0=SSe
0 =ak SSe
Respuesta TemporaldeSistemas deControl
66Prof.Marly Fernndez Teoria deControl
Tipodelsistema
Escaln Rampa Parbola
0
1 0
2 0 0
3 0 0 0
Pk+11
Vk1
ak1
Respuesta TemporaldeSistemas deControl
TablaResumen
77Prof.Marly Fernndez Teoria deControl
Anlisis deEstabilidad deSistemas Continuos
b. Surespuestaalimpulsotiendeaceroconeltiempo.
-0.5 0 0.5 1 1.50
0.5
1
1.5
Tiempo (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Tiempo (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
0 2 4 6 8 10 12-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Tiempo (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
5. EstabilidadAbsoluta.
a. Anteunaentradaacotadarespondeconunasalidaacotada.Unsistemalinealinvarianteeneltiempoesestablesi:
c. Todoslospolosdesufuncindetransferenciatienenparterealnegativa.
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8Mapa Polos y Ceros
Eje RealE
j
e
I
m
a
g
i
n
a
r
i
o
x
x x x
x
x
88Prof.Marly Fernndez Teoria deControl
Anlisis deEstabilidad deSistemas Continuos
ClasificacinsegnlaEstabilidad.Ejemplos
99Prof.Marly Fernndez Teoria deControl
Anlisis deEstabilidad deSistemas Continuos
7. Ubicacin dePolos deLazo Cerrado delSistema
=
=
=+= n
jj
m
ii
ps
zsK
sHsGsG
sRsY
0
0
)(
)(
)()(1)(
)()(
0)()(1)( =+= sHsGsQ Ecuacin Caracterstica
Polos delazo cerrado
Laestabilidadsepuededeterminarapartirdelalocalizacindelospolosdelazocerradoenelplanos oporlasracesdelaecuacincaracterstica.
G(s) Y(s)E(s)
H(s)
R(s)_
+
1010Prof.Marly Fernndez Teoria deControl
Anlisis deEstabilidad deSistemas Continuos
Criterios:
11
ReginInestable
j
ReginEstable
9 El sistema es estable, si los polos de lazo cerrado o las races de la ecuacincaractersticaquedanlocalizadosenelsemiplanoizquierdodelplanos.
9 Si un par de polos complejos conjugados estn ubicados sobre el eje imaginario, elsistemaesmarginalmenteestable.
9 Cualquierpololocalizadosenelsemiplanoderechodelplanos, dacomoresultadounsistemainestable.
9 Loscerosdelazocerradonoafectanlaestabilidaddelsistema.
7. Ubicacin dePolos deLazo Cerrado delSistema
1111Prof.Marly Fernndez Teoria deControl
Anlisis deEstabilidad deSistemas Continuos
8. Criterio deEstabilidad deRouthHurwitz.
1. Todos loscoeficientes deQ(s)deben existir yserpositivos.
2. Sialgn coeficiente deQ(s)es negativo onoexiste (races imaginarias opartes realespositivas)elsistema es inestable.
3. Siexisten todos los coeficientes y sonpositivos seelabora la tabla y seobservan loscambios designo delaprimera columna:
Estepermitereconocersiunsistemaesabsolutamenteestableo inestable,yenestecaso, lacantidaddepolosconparterealpositivaqueposee.Sebasaenlaconstruccindeunarregloapartirdeloscoeficientesdelaecuacincaracterstica.
Criterio:
a. Siocurre un cambio de signo el sistema es inestable yelnmero de races conparterealpositiva corresponde alnmero decambios designo.
b. Sinohaycambios designo elsistema es estable.
Lospasos1y2sonconsideradoscondicionesnecesariasperonosuficientesparaelanlisisdeestabilidad.
1212Prof.Marly Fernndez Teoria deControl
Anlisis deEstabilidad deSistemas Continuos
sn a n a n-2 a n-4 ...sn1 a n-1 a n-3 a n-5 ...sn2 b 1 b 2 b 3sn3 c 1 c 2 c 3
s2 p 1 p 2s1 q 1s0 r 1
1
5412
1
3211
==
n
nnnn
n
nnnn
aaaaab
aaaaab )()()()(
1
31512
1
21311 b
baabcb
baabc nnnn )()()()( ==
Primera columna
Coeficientes delaecuacin caracterstica
Construccin delaTabla.8. Criterio deEstabilidad deRouthHurwitz.
1313Prof.Marly Fernndez Teoria deControl
Anlisis deEstabilidad deSistemas Continuos
8. Criterio deEstabilidad deRouthHurwitz.
Ejemplo1:DadalaEC,determinarlaestabilidad.
Ejemplo2:Propuesto
DosCambiosdesigno:Inestable
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