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Analisi dei Sistemi Dinamici
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Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
Universit degli Studi di Firenze
Dipartimento di Energetica Sergio Stecco
Via Santa Marta 3, 50139
CORSO DI FORMAZIONE E AGGIORNAMENTO
SULLANALISI DEI SEGNALI DINAMICI
Giampaolo Manfrida
&
Daniele Contini
0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008
-1.25
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
seno 250Hz
seno 250Hz in ritardo di periodo
tempo (s)
-0.006 -0.004 -0.002 0.000 0.002 0.004 0.006-1.25
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25 CORRELAZIONE INCROCIATA
tempo (s)
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
2
Indice
Indice delle principali figure ............................................................................................................. 3
Introduzione ....................................................................................................................................... 5
I dati sperimentali .............................................................................................................................. 6
Le serie temporali ............................................................................................................................... 7
Acquisizione dei dati ........................................................................................................................ 11
Trasduttori .................................................................................................................................... 12
Condizionamento del segnale....................................................................................................... 13
Convertitori analogico-digitali (ADC) ........................................................................................ 14
Multiplexer .................................................................................................................................... 14
Sistemi di acquisizione dati .......................................................................................................... 15
Linee di trasmissione .................................................................................................................... 18
Quantizzazione .............................................................................................................................. 20
Aliasing .............................................................................................................................................. 22
Probabilit ........................................................................................................................................ 25
Funzione densit di probabilit ................................................................................................... 25
Definizione e calcolo dei momenti statistici ................................................................................... 32
La distribuzione Gaussiana ............................................................................................................. 34
Distribuzioni Binomiale e di Poisson .............................................................................................. 36
Funzione di densit di probabilit congiunta ................................................................................ 37
Il test del chi-quadrato per una distribuzione ............................................................................... 39
Esclusione dei dati ............................................................................................................................ 44
Deviazione standard della media e del valore RMS ...................................................................... 45
Media pesata ..................................................................................................................................... 47
Tecnica del fit ai minimi quadrati .................................................................................................. 49
Detrending ........................................................................................................................................ 52
Smoothing ......................................................................................................................................... 53
Media di insieme............................................................................................................................... 55
Teoria di Fourier ........................................................................................................................... 56
Trasformata di Fourier discreta (DFT) e Trasformata di Fourier Veloce (FFT) ................... 60
Applicazione di finestre al campione .......................................................................................... 62
Funzione di autocorrelazione .......................................................................................................... 65
Densit spettrale di potenza ............................................................................................................ 70
Analisi RPM...................................................................................................................................... 79
Unit di misura e scala in decibel ................................................................................................... 80
Analisi in bande di ottava ................................................................................................................ 81
Segmentazione e overlap ................................................................................................................. 83
Errore statistico nella stima dello spettro di potenza ................................................................... 86
Analisi bicanale o incrociata ........................................................................................................... 88
Funzione Correlazione Incrociata ............................................................................................... 88
Funzione Densit Spettrale Incrociata ........................................................................................... 93
Funzione di coerenza ....................................................................................................................... 95
Sistemi lineari a singolo input e singolo output ............................................................................. 97
Filtri analogici e digitali ................................................................................................................. 100
Filtri digitali non recursivi ......................................................................................................... 103
Filtri digitali recursivi ................................................................................................................ 104
Cepstrum ......................................................................................................................................... 108
Riferimenti bibliografici ................................................................................................................ 109
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
3
Indice delle principali figure
Fig. 1) Esempio di segnale analogico variabile nel tempo .................................................................. 7
Fig. 2) Esempio di campionamento digitale di un segnale di uscita di un trasduttore con frequenza
di campionamento variabile. ......................................................................................................... 9
Fig. 3) Esempio di distribuzione di tempi di arrivo di un segnale ottenuto con la tecnica LDV e
delleffetto del ricampionamento sullo spettro di potenza del segnale. ...................................... 11 Fig. 4)Esempio di risposta lineare (trasduttore di pressione) e non-lineare (anemometro a filo
caldo). .......................................................................................................................................... 13
Fig. 5) Illustrazione della quantizzazione .......................................................................................... 21
Fig. 6) Illustrazione del fenomeno dellaliasing ................................................................................ 23 Fig. 7) Esempio che mostra leffetto dellaliasing su di uno spettro di potenza ............................... 24
Fig. 8) Schema esplicativo della definizione della funzione di densit di probabilit (PDF). .......... 26
Fig. 9) Esempio di istogrammi di densit di probabilit. .................................................................. 28
Fig. 10) La funzione x(t) una sinusoide alla frequenza di 100 Hz. ................................................. 29
Fig. 11) La funzione x(t) la sovrapposizione di una sinusoide alla frequenza di 100 Hz e di un
rumore bianco di ampiezza massima pari al 25% dellampiezza della sinusoide. ..................... 29 Fig. 12) Esempio di distribuzione di velocit in un flusso daria turbolento allinterno dello strato
limite. ........................................................................................................................................... 30
Fig. 13) Esempi di densit di probabilit .......................................................................................... 31
Fig. 14) Esempio di distribuzioni gaussiane. ..................................................................................... 35
Fig. 15) Schema esemplificativo della definizione di densit di probabilit congiunta. ................... 37
Fig. 16) Tipico esempio di probabilit congiunta di tipo gaussiano ................................................. 38
Fig. 17) Tabella della fuunzione erf(t) ............................................................................................... 41
Fig. 18) Tabella di esempio per esclusione dati ................................................................................ 42
Fig. 19) Tabella della probabilit per il chi-quadrato ridotto .......................................................... 43
Fig. 20) Esempio di detrending lineare ............................................................................................. 52
Fig. 21) Esempio di detrending lineare a due pendenze. ................................................................... 53
Fig. 22) Esempio di applicazione dello smoothing su di un segnale sinusoidale con rumore di
natura random. ............................................................................................................................ 54
Fig. 23) Esempio di utilizzo di medie di insieme..55
Fig. 24) Accelerazione periodica ma non armonica di un pistone in un motore a combustione
interna. ........................................................................................................................................ 56
Fig. 25) Le prime due componenti armoniche del segnale di accelerazione del pistone di un motore
a combustione interna. ................................................................................................................ 58
Fig. 26) Le prime due componenti armoniche del segnale di accelerazione del pistone di un motore
a combustione interna. ................................................................................................................ 58
Fig. 27) Esempi di sviluppo nelle prime armoniche di Fourier di segnali periodici di interesse
applicativo. .................................................................................................................................. 59
Fig. 28) Fattore di velocit per il calcolo della trasformata di Fourier. .......................................... 61
Fig. 28) Esempio di Finestre utilizzate come peso nellanalisi di campioni digitali nel dominio delle frequenze. .................................................................................................................................... 62
Fig. 29) Effetto delle varie finestre sul modulo della DFT di un segnale armonico. Dallalto in
basso: il segnale, leffetto della finestra rettangolare, finestra triangolare, finestra di Hanning.
..................................................................................................................................................... 64
Fig. 30) Schema di interpretazione per il significato della funzione di autocorrelazione ................ 65
Fig. 31) Esempi di funzioni di autocorrelazione..67
Fig. 32) Esempio di calcolo del coefficiente di autocorrelazione per un segnale sinusoidale e per lo
stesso segnale a cui sovrapposto un rumore bianco di ampiezza pari a quella del segnale. ... 68
Fig. 33) Esempio di C() per un segnale random. ............................................................................. 68
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
4
Fig. 34) Esempi di calcolo di C() per le fluttuazioni di velocit di un flusso daria turbolento. ..... 69 Fig. 35) Illustrazione della circolarit di Rc. .................................................................................... 73
Fig. 36) Eliminazione della circolarit sul calcolo della funzione di autocorrelazione per via
spettrale. ...................................................................................................................................... 73
Fig. 37) Il segnale dato da una combinazione di due sinusoidi di ampiezza diversa e a due
frequenze diverse: x t t t( ) sen( ) sen( ) 2 2 100 2 1000 ........................................................... 74
Fig. 38) Il segnale dato da una combinazione di due sinusoidi di ampiezza diversa e a due
frequenze diverse: x t t t( ) sen( ) sen( ) 2 2 100 2 1000 +segnale random di ampiezza 20. .... 74
Fig. 39) Esempio di spettro di potenza delle fluttuazioni di velocit di un flusso turbolento. .......... 74
Fig. 40) Esempio di spettro di potenza delle vibrazioni di un pannello di una galleria del vento
rilevate con un accelerometro. .................................................................................................... 75
Fig. 41) Esempi di spettri di potenza ................................................................................................. 76
Fig. 42) Confronto fra spettro in banda stretta ed in bande di ottava. ............................................. 83
Fig. 43) Illustrazione dei livelli di confidenza della valutazione dello spettro di potenza attraverso
la DFT di un segnale di velocit di una corrente aeriforme in moto turbolento. ....................... 87
Fig. 44) Valutazione della cross-correlazione per due segnali sinusoidali shiftati nel tempo. .... 89
Fig. 45) Esempio di analisi bicanale per segnali random ................................................................. 90
Fig. 46) Illustrazione delle relazioni di input-output. (a) spettro di potenza. (b) cross-spettro ........ 99
Fig. 47) Risposta in frequenza del filtro RC passa-alto. ................................................................. 102
Fig. 48) Esempio di applicazione di un filtro passabanda .............................................................. 106
Fig. 49) Esempio di applicazione di filtri per selezionare il segnale .............................................. 107
Fig. 50) Esempio di utilizzo del cepstrum sia reale che complesso ................................................. 108
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
5
Introduzione
Il presente corso sviluppa unintroduzione allanalisi dei segnali sperimentali includendo sia
lanalisi nel dominio del tempo che lanalisi nel dominio delle frequenze di segnali singoli e di
coppie di segnali fra loro correlati (analisi incrociata o bicanale). La prima parte riguarda la
descrizione dei segnali ed il loro campionamento nella forma digitale fino ad ottenere le serie di dati
(time hystories del segnale). Si introduce la densit di probabilit sia sul segnale singolo che la
densit di probabilit congiunta su due segnali, trattando in particolare dettaglio la distribuzione
normale degli errori (distribuzione gaussiana). In termini di analisi statistica si descrivono i
momenti statistici ed il metodo di calcolo di tali momenti insieme con la loro interpretazione fisica.
Segue poi unintroduzione alle tecniche di analisi dei dati nel dominio del tempo e delle frequenze
con particolare riferimento allo spettro di potenza, alla funzione di autocorrelazione ed allanalisi
bicanale di una coppia di segnali (cross-spettro e cross-correlazione). Queste metodologie di analisi
di largo impiego nelle indagini a carattere tecnologico e scientifico sono descritte enfatizzando le
applicazioni e la loro interpretazione fisica.
Sono inoltre descritte le catene di acquisizione dati di tipo digitale e si analizzano i vari problemi
connessi con la digitalizzazione (aliasing ed errore di quantizzazione); viene introdotta la tecnica
della regressione lineare basata sul metodo dei minimi quadrati ed il test del chi-quadrato per una
distribuzione di probabilit. In questo ambito anche introdotto il detrending dei dati e lo
smoothing.
I vari argomenti sono trattati in modo da fornire le basi matematiche generalmente utilizzate
nellanalisi dei segnali e vengono messe in particolare evidenza le metodologie atte a evidenziare le
particolari caratteristiche di un segnale cos come le moderne metodologie di approccio al problema
della coerenza dei segnali e alle tecniche di segmentazione, overlap e finestrature ampiamente
utilizzate nella costruzione degli spettri di potenza.
Una sezione finale dedicata alla descrizione dei filtri digitali, alla loro caratterizzazione e
costruzione mettendo in particolare evidenza le potenzialit che il filtraggio digitale offre
nellinterpretazione e nella manipolazione dei dati sperimentali.
I vari argomenti sono corredati da esempi applicativi sviluppati in ambiente MATLAB, che sono
parte integrante del corso, che servono per evidenziare linterpretazione fisica di alcune grandezze
tipicamente legate allanalisi dei segnali e per chiarire ed illustrare le potenzialit applicative delle
varie metodologie proposte.
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
6
I dati sperimentali
Un dato sperimentale rappresenta il risultato di una misura di una certa grandezza fisica e
contribuisce quindi alla rappresentazione di un particolare fenomeno fisico che pu essere
deterministico o non deterministico (random). I dati deterministici sono quelli che seguono una
particolare legge matematica, esistono numerosi fenomeni di questo tipo, ad esempio il moto di un
corpo di massa m ancorato ad una molla di costante elastica k. Esempi di fenomeni casuali possono
essere il moto delle onde in un mare in tempesta od il segnale elettrico generato da un generatore di
rumore. Affinch il fenomeno si possa definire deterministico deve essere oggetto di ripetute
indagini sperimentali il cui risultato sia praticamente lo stesso. Il praticamente necessita di una
spiegazione anche perch nellindagine sperimentale entrano in gioco due livelli di valutazione:
1) linsieme dellindagine sperimentale, ad esempio la realizzazione di una stessa misura in diverse
condizioni di equilibrio,
2) la misura fatta in una data condizione di equilibrio che pu ad esempio essere ripetuta numerose
volte per verificarne lattendibilit.
Pu verificarsi che il fenomeno sia ragionevolmente deterministico su larga scala, ovvero si
verifica la ripetibilit dellesperimento ma la singola misura ripetuta in condizioni stazionarie non
fornisce mai una risposta deterministica in quanto i dati fluttuano in maniera casuale (random)
intorno ad un certo valor medio.
In linea di principio possiamo quindi considerare come segnale una serie di misure ripetute
successivamente nel tempo di una certa grandezza fisica i cui valori possono cambiare nel tempo in
base a leggi deterministiche o random a seconda che si stia misurando levoluzione di un fenomeno
fisico oppure un valore stazionario con sovraimpresso un rumore.
Per quanto ogni misura sperimentale sia affetta da errori dovuti alla limitata accuratezza dei
trasduttori e/o della catena di misura in questo corso trascureremo gli errori sperimentali e
considereremo le variabilit del segnale come derivanti dalla sua stessa evoluzione o dalla presenza
di rumore elettronico dovuto alla catena di acquisizione.
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
7
Le serie temporali
Prima di entrare nei dettagli relativi allanalisi dei dati bene sottolineare le caratteristiche generali
delle serie temporali di dati e la metodologia di acquisizione dei medesimi. Generalmente il segnale
da analizzare un segnale elettrico che rappresenta luscita di un opportuno trasduttore. Il
trasduttore fornisce un segnale elettrico (in corrente o in tensione) che varia, spesso, ma non sempre,
linearmente, con la grandezza fisica da misurare. Il segnale di uscita del trasduttore quindi di tipo
analogico e rappresenta una funzione continua del tempo:
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Tempo (s)
Uscita
tra
sd
utto
re (
V)
Limite superiore
Limite inferiore
Fig. 1) Esempio di segnale analogico variabile nel tempo
Il segnale y pu assumere qualunque valore, in maniera continua, nei limiti di funzionamento del
trasduttore stesso ed quindi un numero reale. Questo tipo di segnale si dice analogico. Il segnale
analogico pu essere registrato direttamente (senza alcuna conversione) su supporti di tipo
magnetico tramite opportuni registratori o messo in grafico, ad esempio, con il sistema della carta
che scorre sotto un apposito pennino (tipo sismografo). Si pu inoltre processare direttamente il
segnale analogico eseguendo operazioni sul segnale sia semplici (moltiplicazioni ed addizioni) sia
complesse (derivazioni, integrazioni) sfruttando circuiti elettronici basati sia su reti passive che su
amplificatori operazionali opportunamente reazionati (circuiti derivatori e circuiti integratori). In
questo modo possibile condizionare e processare direttamente il segnale analogico senza cambiare
la sua natura elettrica.
Lalternativa al segnale analogico consiste nella digitalizzazione del segnale stesso e quindi nel
campionamento delluscita del trasduttore a certi istanti ti convertendo il segnale analogico
allistante ti in un numero (da qui la dizione digitale) con un numero di cifre congruente con il
numero di bit a disposizione del convertitore analogico-digitale (CAD o ADC). Il funzionamento e
la precisione ottenibile dai sistemi ADC saranno argomenti discussi in seguito. Per il momento si
suppone che lADC sia scelto in maniera tale da svolgere adeguatamente il suo compito in termini
di precisione e velocit di campionamento. Il risultato quindi quello di ottenere un campione di N
dati che costituisce una serie temporale (detta anche time hystory)
Ni0con)t(yy ii
rappresentativa del segnale in uscita dal trasduttore e, in ultima analisi, rappresentativa della
grandezza fisica in esame tramite la calibrazione del trasduttore stesso.
y=y(t)
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
8
Bisogna sottolineare che spesso si lavora direttamente sullanalisi del segnale di uscita campionato
dal trasduttore, tuttavia questo lecito e corretto solo nel caso in cui la risposta del trasduttore di
pura proporzionalit diretta con la grandezza fisica in osservazione. Questo vero per molti
trasduttori, ad esempio trasduttori di pressione, misuratori laser di distanza ecc. Tuttavia per altri
trasduttori, ad esempio misure di velocit di correnti aeriformi con tubi di Pitot in cui la relazione
fra la velocit del fluido e la pressione dinamica effettivamente misurata di tipo quadratico o per
misure di velocit con anemometri a filo caldo in cui la relazione fra velocit e tensione del
trasduttore una potenza si avr una legge di calibrazione che permette di passare dalla uscita
elettrica del trasduttore x(t) alla grandezza fisica in esame y(t) del tipo:
x(t)=C(y(t))
In questi casi, per analizzare e processare la grandezza fisica, necessario applicare dapprima la
funzione C perch questo porta a delle distorsione sia nei momenti statistici che negli spettri di
potenza del segnale.
Da questo momento in avanti considereremo comunque di lavorare sulla grandezza fisica e di avere
quindi un campione di dati xi che rappresenta levoluzione temporale della grandezza fisica in
esame campionata a diversi istanti di tempo ti a partire da un riferimento temporale noto.
Lutilizzo del segnale analogico potrebbe sembrare la scelta pi naturale per le analisi dei dati,
tuttavia attualmente le procedure di digitalizzazione possono essere fatte con strumenti elettronici
facilmente reperibili e con costi contenuti inoltre si ha la possibilit di conservare grandi quantit di
dati in comuni PC. Inoltre il segnale analogico, per sua stessa natura, soggetto a degrado e molto
sensibile a sporcamenti dovuti al rumore sia in fase di elaborazione ed analisi che in fase di pura
conservazione su supporti magnetici. I campioni di dati digitali sono invece essenzialmente
incorruttibili nel senso che non sono soggetti a sporcamente dovuti al rumore elettrico degli
strumenti di conservazione ed analisi. Ecco quindi come, dal punto di vista pratico, le serie di dati
digitali sono alla lunga preferibili e sono di gran lunga le pi utilizzate in ambito tecnico e
scientifico.
Il teorema del campionamento afferma che per avere una corretta descrizione di un segnale
armonico alla frequenza fs si deve campionare il segnale analogico ad una frequenza di
campionamento almeno doppia: fc=2fs.
Questo significa che per descrivere correttamente il contenuto in frequenza di una sinusoide occorre
avere almeno due misure per ogni periodo della sinusoide stessa. In pratica se si campiona un
segnale qualunque x(t) trasformandolo in una serie di dati digitalizzati campionando ad una
frequenza costante fc si descrive correttamente i contenuti in frequenza del segnale originale x(t)
fino alla frequenza cosiddetta di Nyquist fN=fc/2. Qualunque componente del segnale ad una
frequenza maggiore della frequenza di Nyquist subir il fenomeno dellaliasing (descritto in
seguito). Diventa quindi necessario utilizzare un filtro passa basso durante il campionamento che
elimini, o comunque riduca fortemente, le componenti del segnale a frequenze maggiori di fN. Si
sottolinea fin da ora che il filtro da utilizzare in questo caso deve essere un filtro di tipo analogico
che agisce prima del campionamento stesso in quanto un segnale che stato campionato
erroneamente e che ha subito laliasing non pi correggibile con tecniche di filtraggio digitali. In
altre parole una volta avvenuto il fenomeno dellaliasing irreversibile.
Il campionare correttamente un segnale non implica soltanto lutilizzo di una corretta frequenza di
campionamento, come prima descritto, ma anche il registrare un campione di dati che sia, da un
punto di vista temporale, sufficientemente lungo per descrivere correttamente i fenomeni in esame.
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
9
Infatti un segnale deve essere campionato per un tempo pari ad almeno un periodo relativo
alla pi lenta oscillazione presente nel segnale stesso.
Questo vuole dire che se si deve valutare correttamente una oscillazione si deve avere un
campionamento almeno lungo quanto un periodo delloscillazione stessa e quindi evitando di
campionare solamente in una fase di transitorio.
Nella pratica spesso non sufficiente campionare per un solo periodo una oscillazione in quanto
pu essere utile, e talvolta necessario, avere a disposizione un campionamento su pi periodi
completi di una oscillazione per aumentare la convalida statistica dei risultati ottenuti durante
lanalisi (in particolare per quanto riguarda lanalisi nel dominio delle frequenze). Inoltre lavere a
disposizione un campione contenente un certo numero di periodi di oscillazione utile per mettere
in atto le procedure di segmentazione del campione nella determinazione degli spettri di potenza.
Come regola di massima si tende ad acquisire campioni abbastanza lunghi da contenere
almeno 10 periodi della pi lenta oscillazione presente nel segnale.
Ad esempio se si deve registrare, per la successiva analisi, un segnale in cui sono presenti rilevanti
contributi di oscillazione in un intervallo di frequenze compreso fra 1Hz e 10000 Hz si deve
campionare ad una frequenza minima fc=20000 Hz acquisendo cio almeno 20000 dati al secondo.
Inoltre essendo pari ad 1 s il pi lungo dei periodi di oscillazione si dovrebbe acquisire il segnale
per almeno 10s e questo porta a dovere registrare un campione di 200000 dati.
Fig. 2) Esempio di campionamento digitale di un segnale di uscita di un trasduttore con frequenza
di campionamento variabile.
Un segnale di uscita da un trasduttore solitamente campionato ad una certa frequenza di
campionamento fissa fc, il che vuole dire che i vari intervalli di tempo fra due istanti successivi di
campionamento sono costanti:
kdivaloreogniperf
1tetancosttt
ck1k
Questo tipo di campionamento, il pi comune, estremamente utile per lanalisi del segnale in
quanto permette di passare facilmente da formule integrali a formule basate su sommatorie e questo
facilita molto il calcolo dei momenti statistici nellanalisi nel dominio del tempo ed anche i calcoli
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
10
nel dominio delle frequenze relativi alla determinazione degli spettri di potenza e delle varie
trasformate.
Tuttavia si deve tenere presente che esistono delle eccezioni a questa procedura, come quella
mostrata nel campionamento esemplificato nella figura precedente. Una prima eccezione viene
dallanalisi di segnali legati a rotazioni con velocit di rotazione non costanti (motori in fase di
accelerazione o decelerazione) per i quali pu essere utile utilizzare un metodo di campionamento a
frequenza variabile per le interpretazioni degli spettri di potenza del segnale con il metodo
dellanalisi RPM che sar descritto in seguito. Altri esempi tipici sono quelli relativi allanalisi di
serie temporali lente (ad es. le misure della qualit dellaria in una rete di monitoraggio, situazione
nella quale capita spesso che si verifichi lindisponibilit temporanea di un analizzatore per
problemi di manutenzione o di collegamento). Altre eccezioni si presentano per quei metodi di
misura che utilizzano, per loro natura, un campionamento a frequenza non costante. Un esempio il
metodo di Velocimetria Laser-Doppler (LDV) utilizzato per la misura istantanea della velocit di
una corrente fluida. Questa tecnica ottica permette la misura della velocit istantanea locale di
particelle sospese nel flusso (inseminante) e, quindi, non disturba il flusso. Ambienti ostili, come ad
esempio apparati di combustione, precludono luso di sonde meccaniche; per questi risulta ideale la
caratteristica di non intrusivit della tecnica LDV. Resta comunque da osservare che questa tecnica
anemometrica fornisce serie temporali non omogenee per quanto riguarda il campionamento.
Questo deriva dallimprevedibilit della frequenza di passaggio delle particelle di inseminante
allinterno del volume sonda. I dati acquisiti con questa tecnica non possono essere elaborati
immediatamente utilizzando procedure che tipicamente vengono usate per serie temporali a
campionamento costante (ad esempio FFT per la valutazione dello spettro di potenza). Si
puntualizza quindi che si rende necessario un ricampionamento del segnale oppure un
condizionamento dellacquisizione.
Il metodo pi semplice per ricampionare le serie temporali il cosiddetto Sample and Hold
digitale (ovvero uninterpolazione polinomiale di ordine zero che, tra laltro, pu essere eseguita
direttamente in fase di acquisizione, disponendo dellattrezzatura adatta; il metodo non si deve
confondere con i dispositivi S&H analogici, di cui si parler nel seguito, che hanno in comune
soltanto il principio di congelamento temporaneo della misura precedente).
Da osservare che la tecnica del Sample and Hold digitale porta comunque ad una distorsione delle
caratteristiche spettrali del segnale. Infatti lo spettro di potenza della serie ricampionata differisce da
quello vero a causa dei seguenti effetti:
* Step Noise che deriva dalla natura a gradini del segnale ricampionato. Leffetto
decresce con laumentare della densit delle particelle;
* Effetto di Filter. Le fluttuazioni della componente di velocit ad alta frequenza vengono
soppresse poich il segnale viene mantenuto costante nellintervallo di tempo tra larrivo delle
particelle. Da notare che anche lo Step Noise viene filtrato.
Il ricampionamento, in definitiva, definisce da un lato il limite di risposta alle alte frequenze e
dallaltro modifica il profilo dello spettro alle basse frequenze. In figura riportato un esempio della
distribuzione dei tempi di campionamento del segnale con la tecnica LDV e delleffetto del
ricampionamento su di uno spettro di potenza costante.
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
11
0.00 0.01 0.02 0.03 0.040
200
400
600
800
Fre
qu
en
cy C
oun
t
Interarrival Time (s)
Fig. 3) Esempio di distribuzione di tempi di arrivo di un segnale ottenuto con la tecnica LDV e
delleffetto del ricampionamento sullo spettro di potenza del segnale.
La tecnica del ricampionamento viene qui ricordata anche in vista di possibili applicazioni di
annullamento dello sfasamento per lanalisi di sistemi bicanale privi di S&H analogico in ingresso.
Acquisizione dei dati
Lacquisizione di dati pu avvenire tramite una catena di tipo ANALOGICO:
Fenomenofisico
Trasduttore Condizionatore disegnale
ProcessingLinea ditrasmissione
Taperecorder
oppure tramite una catena di tipo DIGITALE:
Fenomenofisico
Trasduttore Condizionatore disegnale
Linea ditrasmissione
ADC
Software
Analisyshardware
PC
Pu esserci pi di uno stadio di condizionamento del segnale e possono inoltre essere presenti
strumenti atti a codificare il segnale prima della trasmissione e a decodificarlo in ricezione (es.
trasmissioni via radio).
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
12
In passato le registrazioni ed elaborazioni dei dati erano fatte quasi esclusivamente con catene di
misura completamente analogiche; questo presentava alcuni vantaggi, relativamente alle possibilit
offerte dallelettronica del tempo, in quanto le misure non erano affette dagli errori tipici della
digitalizzazione (es.: aliasing ed errori di quantizzazione). Era inoltre possibile eseguire delle
elaborazioni in tempo reale sui dati utilizzando catene elettroniche analogiche basate su
amplificatori operazionali opportunamente reazionati.
E importante rendersi conto che sia nelle catene analogiche che in quelle digitali, alcuni problemi
di possibile perdita di informazione presente nei dati originari sono comuni: nella fattispecie, si fa
riferimento alla risposta in frequenza (sia per le alte frequenze, con limiti spesso costituiti dalla
risposta in frequenza del singolo componente della catena; che per le basse frequenze, con limiti
determinati dalla lunghezza temporale del campione), al rapporto segnale/rumore (che ad esempio,
nel campo analogico, comporta la limitazione di sistemi con catene di retroazione, e la preferenza di
strumenti con ingresso-uscita diretti e componentistica di alta qualit), alla deriva termica (sia dello
zero od offset che del guadagno) ed ai fenomeni di non linearit ed isteresi. Vale inoltre la pena
ricordare che, per molti sensori, il limite della risposta alle alte frequenze strettamente correlato
alle dimensioni del sensore, in quanto esiste un legame fisico tra risoluzione spaziale e risoluzione
temporale della misura, fortemente dipendente dalla velocit.
Lo sviluppo dellelettronica ha permesso di produrre dei convertitori analogico/digitale (ADC)
molto veloci e degli elaboratori che, con costo relativamente basso, permettono una gestione rapida
ed efficiente di grandi quantit di dati. Questo, aggiunto alle caratteristiche tipiche dei segnali
digitali (maggiore insensibilit al rumore nella trasmissione dei dati, capacit di archiviazione
compatta e con minore degrado nel tempo) ha portato alla diffusione su larga scala delle catene di
acquisizione, elaborazione ed archiviazione dei dati basate su segnali digitali. E a questo tipo di
catene di misura ed elaborazione che si fa quindi riferimento nel seguito.
Trasduttori
I trasduttori sono dei sensori sensibili al fenomeno fisico che vogliamo investigare e di solito
producono un segnale elettrico, generalmente una corrente o una tensione, relazionato in maniera
nota alla grandezza da misurare. Tipici esempi sono:
trasduttori di pressione
trasduttori di forza (celle di carico, bialce) e coppia (torsiometri)
trasduttori di spostamento, velocit ed accelerazione
trasduttori di deformazione
trasduttori di temperatura (termocoppie, termometri a resistenza)
trasduttori di velocit (tubi di Pitot, sonde aerodinamiche, anemometri a filo caldo)
trasduttori di variabili fisico/chimiche (es. pH, concentrazioni, ....)
Un dato importante dei trasduttori la linearit (cfr. Figure seguenti). Un trasduttore lineare
presenta sostanzialmente un guadagno costante su tutta la gamma di utilizzo; ci oltre a
semplificare le procedure di calibrazione, in quanto sufficiente un numero limitato di punti di
verifica (teoricamente due) presenta anche vantaggi nellanalisi dei sistemi dinamici. Infatti, se il
valore della fluttuazione (rms) risulta una frazione importante del valore medio, la non linearit si
riflette in una distorsione del segnale (in sostanza, il trasduttore risponde in maniera diversa a
fluttuazioni negative e positive attorno al valore medio).
La linearizzazione delluscita spesso effettuata per via digitale risolve solo parzialmente
il problema: infatti, ad es. per le curve con effetto di saturazione (frequenti in molti principi di
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misura) la sensibilit del trasduttore si attenua procedendo verso la parte alta della gamma di
utilizzo. Poich la sensibilit della catena di misura (analogica o digitale) costante, lerrore di
misura in queste condizioni risulta pi rilevante. In tali situazioni non linearit della catena di
misura - risulta molto utile lapplicazione della teoria della propagazione dellincertezza, in quanto
in tal modo almeno possibile associare ad ogni misura una fascia precisa di incertezza, che ne
descrive laffidabilit.
TRASDUTTORE DI PRESSIONE ANEMOMETRO A FILO CALDO
0 1 2 3 4 50
20
40
60
80
100
120
1400 1 2 3 4 5
0
20
40
60
80
100
120
140
Pre
ssio
ne (
mm
H2
O)
Tensione (V)
2 4 6 8 10 12
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
2 4 6 8 10 12
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
Tensio
ne a
nem
om
etr
o (
V)
Velocit di riferimento (m/s)
Fig. 4)Esempio di risposta lineare (trasduttore di pressione) e non-lineare (anemometro a filo
caldo).
Condizionamento del segnale
I segnali in uscita dai trasduttori devono spesso essere condizionati prima di venire
acquisiti. Tale operazione, nella catena di acquisizione, pu avvenire attraverso uno o pi stadi sia
prima che dopo la digitalizzazione e sia prima che dopo la trasmissione dal luogo di misura a quello
di storage.
Tipiche operazioni di Signal Conditioning sono:
Amplificazione Attenuazione
Bufferizzazione Linearizzazione
Filtraggi (ad esempio i passa basso anti-aliasing)
Preparazione dei dati per la trasmissione
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14
Convertitori analogico-digitali (ADC)
Tali strumenti sono utilizzati per convertire un livello analogico di tensione in un numero
proporzionale alla tensione da misurare. Possono essere ottimizzati per la conversione di tensioni
continue prediligendo caratteristiche quali la precisione, la stabilit e la linearit. La velocit di
conversione diviene invece importante quando si deve convertire, ad alta frequenza di
campionamento, un segnale rapidamente variabile.
ADC a conversione tensione-frequenza
Luscita di questo convertitore proporzionale al rapporto fra la tensione da misurare ed
una di riferimento. La sua taratura dipende dai valori di resistori e capacit e, di
conseguenza, la sua accuratezza dipende dalla stabilit dei componenti utilizzati.
ADC a pendenza duale (o doppia rampa)
Particolarmente adatto allimpiego nei multimetri digitali date le sue caratteristiche di
precisione e lindipendenza della sua taratura dalla stabilit dei componenti.
ADC ad approssimazioni successive (o a pesiera)
Convertitore particolarmente veloce che necessita di unaccurata messa a punto. La sua
precisione dipende dalla stabilit dei componenti.
le principali caratteristiche di un ADC che devono essere prese in considerazione per deciderne
luso in una certa catena di misura sono:
Linearit (differenziale ed integrale)
Stabilit
Range (R)
Guadagno (G)
Numero di bits (N)
Tempo di campionamento
Risoluzione data da:
Multiplexer
Il multiplexer una matrice di interruttori (spesso switch CMOS a stato solido) che permette
di gestire molti canali analogici di input con una sola linea analogica di output.
S/H
S/H
S/H
MUX ADC
Ad esempio, lLa risoluzione di un ADC a 16 bits utilizzato
con guadagno 1 nel range tra -5 e +5 Volts sar:
V 152.6V12
1
1
10ris
16
Il range dinamico RD in dB sul rapporto fra il massimo ed
il minimo segnale risolvibile sar quindi dato da:
dB3.9010*6.152
5log20RD
610
12GR
risN
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15
La commutazione dei canali risente inevitabilmente di effetti di disturbo dai canali adiacenti; questo
tipo di disturbo pi sensibile nella commutazione a stato solido, che risulta peraltro molto veloce
non essendovi parti in movimento. Per applicazioni che richiedono unelevata immunit al disturbo
da canali adiacenti (ad esempio per la commutazione di segnali di bassissimo livello, quali quelli
provenienti da termocoppie od estensimetri, che richiedono a volte la misura di tensioni con
sensibilit inferiore a 0,1 V) si ricorre ancora oggi alla commutazione meccanica, mediante rel
magnetici (Reed) che hanno per una velocit di commutazione ed una vita limitate (max 3000
commutazioni/s).
Il multiplexing una comune tecnica che pu essere utilizzata per aumentare il numero di canali che
un ADC pu gestire. Per ottenere la contemporaneit del campionamento, auspicabile completare
la commutazione con dei dispositivi (Sample and Hold) capaci di congelare la tensione presente
su ogni canale ad un certo istante (determinato da un opportuno segnale di sincronizzazione o
Trigger): lADC converte il primo canale, si sposta al successivo e lo converte e cos via. La
tecnica del multiplexing, quando utilizzata per aumentare il numero di canali di una scheda di
acquisizione ne diminuisce quindi la frequenza massima di acquisizione:
fa sc Frequenza massima di acquisizione su di un singolo canale.
fa Frequenza effettiva di acquisizione massima. Nc Numero di canali
La presenza di dispositivi S/H su ogni canale garantisce comunque la simultaneit del
campionamento ed elimina i fenomeni di sfasamento temporale tra i canali, pur non aumentando la
velocit del campionamento (per farlo, necessario adottare dispositivi ADC separati,
possibilmente sincronizzati da uno stesso trigger).
Di solito, per le schede di acquisizione, viene indicato il massimo rate di acquisizione (samples/s)
che risulta indipendente dal numero di canali e non la frequenza di acquisizione massima. E in
genere possibile espandere le potenzialit di una scheda con un multiplexer esterno di basso costo,
in genere sprovvisto di S/H in ingresso. In tal caso comunque possibile apportare correzioni alle
serie temporali (interpolazione dei dati) per eliminare lo sfasamento, che risulterebbe (anche se
soltanto alle frequenze pi elevate) nelle analisi multicanale (ad es. correlazioni e spettri incrociati).
La tecnica del multiplexing pu essere estesa in cascata per ogni singolo canale, moltiplicando gli
ingressi: ad esempio, per una scheda National Instr. NI-AT-MIO-16H-9 i 16 canali principali
possono diventare fino a 256 con luso di un sub-multiplexer AMUX-64T.
Sistemi di acquisizione dati
Poco dopo lintroduzione dei PC IBM cominciarono ad apparire sul mercato delle schede dedicate
allacquisizione di dati (DAQ boards) direttamente collegabili al PC. Tali schede trattavano input
analogici e/o digitali ma non esisteva un protocollo di comunicazione standard con il PC ed il
guadagno dellADC era fisso o modificabile solo via hardware. Con il passare del tempo le schede
DAQ sono diventate pi potenti e sofisticate ed attualmente ci sono degli standard che ogni scheda,
indipendentemente dal costruttore, in grado di rispettare.
f
f
Naa sc
c
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16
Specifiche tecniche di schede I/O multifunzione
16 canali SE (8 DE), Input ed output sia analogico che digitale. ADC a 12 o pi bits, dotazione di chips di memoria integrati nella scheda. Comunicazione Direct Memory Access (DMA). Range e guadagno modificabile via software. Possibilit di espansione modulare.
La presenza sulla stessa scheda di ingressi ed uscite digitali, oltre che analogici, spesso un
vantaggio per consentire il collegamento a trasduttori digitali (contatori, encoders, etc.) e/o
loperativit di interruttori, rel etc. spesso necessari per le applicazioni di controllo in sistemi di
misura intelligenti (ad esempio per la movimentazione di sonde, per il controllo di motori ed
attuatori, etc.). Per questo motivo le schede I/O multifunzione sono una scelta economica ed
efficace in molte applicazioni.
La modalit di collegamento dei segnali analogici pu essere single-ended (tutti i segnali riferiti ad
una massa comune di strumentazione), o double-ended o differenziale (ogni canale indipendente).
La seconda soluzione garantisce come si vedr una maggiore immunit ai disturbi conseguenti alla
trasmissione di rumore tra i canali, ma porta rispetto alla single-ended al dimezzamento del numero
di ingressi.
ESEMPI DI SCHEDE I/O MULTIFUNZIONE
ADC 16 Bits Veloce
100 kS/s sampling rate
16 canali single-ended o 8 differenziali
Range selezionabile via software: 0-10 V, 10 V
Guadagno 1, 2, 5, 10, 20, 50, and 100
Possibilit di pre e post-triggering
AT-MIO-16X
ADC 12 Bits Veloce
500 kS/s sampling rate
64 canali single-ended o 32 differenziali
Two 12-bit analog outputs
Range selezionabile via software: da 0-100 mV
a 0-10 V
Guadagno 0.5, 1, 2, 5, 10, 20, 50, and 100
8 canali I/O digitali
AT-MIO-64E-3
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In alternativa alle schede di acquisizione interna, una scelta frequente sono le unit esterne di
acquisizione dati, controllate con collegamento IEEE 488, oppure seriale o SCSI. Queste unit
comprendono S&H, multiplexer, convertitore ADC, e memorie componibili ad accesso veloce, e
possono alleggerire sensibilmente il compito di gestione dellelaboratore.
A livello di costo superiore si trova la strumentazione
componibile VXI, con prestazioni simili ma con unelevata
flessibilit e relativa uniformit di comandi di
programmazione, anche tra diverse marche produttrici. Le
schede VXI sono componibili entro un apposito rack
collegabile al computer con diverse tipologie e di interfaccia,
a seconda delle necessit sulla velocit di trasmissione dei
dati
Molto pratici per la portabilit sul campo e per limmediatezza di restituzione delle elaborazioni,
sono gli analizzatori di spettro, anchessi collegabili ai computers ma con elevate capacit di
calcolo, favorite dallutilizzo di processori dedicati allalgoritmo FFT. Questi strumenti sono in
genere molto meno flessibili per quanto riguarda la capacit di trattare campioni molto lunghi
(memoria non componibile). Ormai simili a questi per prestazioni sono i moderni oscilloscopi
digitali, che offrono per spesso la componibilit dei banchi di memoria veloce.
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Linee di trasmissione
La trasmissione di dati dallo strumento o dallunit remota di acquisizione al sistema in cui avviene
limmagazzinamento e lelaborazione pu rendersi necessaria ed avviene tramite la propagazione di
un segnale elettrico. Pu essere usata una trasmissione attraverso: Conduttore: ha il vantaggio di non dover interporre apparecchiature specifiche per
linvio la ricezione dei dati. Tuttavia sono presenti fenomeni di dispersione e di disturbo
(dannosi soprattutto ai segnali analogici) che ne limitano luso a lunghezze limitate,
llilimitatcontenute; altrimenti devono essere presenti degli stadi di filtraggio e rigenerazione del segnale.
Spazio: trasmissione via radio. Necessita di attrezzatura dedite alla modulazione e linvio
del segnale nonch alla demodulazione per la ricezione. Diventa necessaria per
trasmissioni a grandissima distanza (ad esempio trasmissione via satellite).
Fibra ottica: il segnale viene immesso nelle linee a fibre ottiche sfruttando
particolari apparecchiature di conversione. Il principale vantaggio che
possibile inviare su di una sola linea molti segnali a frequenza leggermente
diversa.
In generale nella trasmissione di un segnale elettrico si introduce del rumore indesiderato. Questo
effetto maggiore nei segnali analogici che vengono perci continuativamente degradati. Nella
trasmissione dei segnali analogici per misure industriali, molto diffusa la trasmissione in corrente,
con trasduttori che forniscono uscita tra 4 e 20 mA (corrispondenti a zero e fondo scala). La
trasmissione in corrente consente di verificare agevolmente linterruzione delle linee, e riduce
sensibilmente il problema dellattenuazione del segnale a seguito della caduta di tensione per effetto
della resistenza delle linee di trasmissione. Comunque, anche in tali condizioni e con cavi schermati
sconsigliata la trasmissione al di l dei 200 m.
I segnali digitali sono invece relativamente immuni al rumore, nel senso che hanno unelevata soglia
di tolleranza. Infatti basta discriminare se il valore di un bit basso (0-0.8 V TTL) o alto (2.5-5 V
TTL), quindi pu essere utile digitalizzare il segnale prima della trasmissione. Inoltre per i segnali
digitali sono stati sviluppati dei sistemi di controllo sulla trasmissione dei dati che mettono al riparo
da un gran numero di errori di trasmissione (ad es. il controllo della parit) mentre non stato
sviluppato nessun metodo di controllo per la trasmissione dei dati analogici.
Per cercare di ottenere la massima accuratezza nelle misure necessario, in generale, limitare il
livello di rumore. Questo pu, entro certi limiti, essere fatto limitando limmissione diretta di
rumore per accoppiamenti conduttivi e limitando gli accoppiamenti sia induttivi che capacitivi.
In particolare:
Minimizzare linduttanza dei fili di collegamento.
Minimizzare gli effetti dei ground-loops (utilizzando connessioni differenziali o double-
ended).
Limitare le antenne.
Mantenere, quando possibile, le reti bilanciate da un punto di vista dellimpedenza
circuitale.
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Alla connessione elettrica che porta il segnale dal trasduttore alla scheda di acquisizione (o
comunque allADC) deve essere rivolta particolare cura. Ci sono sostanzialmente 3 metodi,
lutilizzo dei quali deve essere determinato in base allintensit del segnale ed alla strumentazione
disponibile.
(1) Connessione single-ended, in cui un terminale di input riferito a terra. Possono insorgere dei
ground-loops ed perci adeguata quando il segnale da misurare relativamente intenso.
(2) Connessione double-ended, evita i ground-loops ed adeguata per misurare piccole differenze di
tensione.
(3) Connessione tramite isolatore, permette di connettere strumenti riferiti a terre fra cui
intercorrono anche centinaia di Volts di differenza di potenziale senza che questo influisca sul
segnale.
Le principali differenze riguardano la distinzione tra linea di ritorno del segnale e linea di terra (che
riguarda la sicurezza).
Quando un segnale viene acquisito e memorizzato da una catena di tipo digitale si hanno
indubbiamente dei vantaggi per quanto riguarda la flessibilit dei dati per le elaborazioni numeriche
e la trasmissione dei dati. Tuttavia anche in questo caso si va incontro ad alcuni problemi che sono
tipici dellacquisizione digitale e che non hanno corrispondenza nellacquisizione con catene
analogiche. I due principali inconvenienti sono:
Lerrore di quantizzazione
Il fenomeno dellaliasing
Possono insorgere altre fonti di incertezza imputabili principalmente al convertitore analogico-
digitale; tipicamente il segnale acquisito non sar una rappresentazione istantanea della tensione in
ingresso ma rappresenter piuttosto una sorta di media fatta sul tempo necessario allADC ad
effettuare la conversione (aperture error). Tale errore pu essere drasticamente ridotto utilizzando
un Sample&Hold in ingresso ed un ADC veloce. IL fenomeno del Jitter riguarda le fluttuazioni
casuali dellintervallo di tempo fra un campionamento ed il successivo. Fenomeni di non linearit
possono derivare dallerrore di linearit dellADC che in alcuni casi pu portare alla presenza di
codici mancanti. Questo tipo di inconvenienti sono in genere ridotti fino ad essere trascurabili grazie
allelevata qualit dei convertitori analogico-digitali utilizzati nelle moderne catene di misura.
Lerrore di quantizzazione ed il fenomeno dellaliasing sono invece strettamente connessi con la
digitalizzazione di un segnale analogico e meritano di essere analizzati pi a fondo.
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Quantizzazione
A causa del fatto che la conversione di una tensione analogica in un numero binario deve essere
fatta con un numero finito di bits (usualmente 12 o 16) si introduce unincertezza sul valore finale.
Non importa quanto fine sia la scala, una scelta fra due codici numerici successivi deve sempre
essere fatta come illustrata in figura.
Se la quantizzazione del valore V0 di tensione in ingresso fatta correttamente sar scelto il codice
il cui livello il pi vicino possibile a V0 (in questo caso il codice n-esimo). Ad ogni valore di
tensione convertito dallADC potr quindi essere assegnato un errore di quantizzazione valutabile a
priori in V / 2 . Infatti V / 2 la massima variazione di tensione in ingresso che pu non
provocare variazioni sulluscita dellADC. Il valore di V viene ad essere determinato dal range R
delle tensioni in ingresso convertibili dallADC e dal suo numero n di bits dalla seguente relazione:
12
RV
n
Ad esempio consideriamo di avere una scheda di acquisizione con un range R=10V (cio un ADC
che converte tensioni comprese fra -5 e +5V) la risoluzione V sar data da:
n=10 bits n=12 bits n=16 bits
V mV 9 7. V mV 2 4. V mV 015.
Nelle figure seguenti illustrato il problema dellerrore di quantizzazione sul campionamento di
una sinusoide fatta con ADC a diverso numero di bits e con diverso guadagno.
V
V0 Tensione in
ingresso
n+1-esimo livello
n-esimo livello
V
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
21
Fig. 5) Illustrazione della quantizzazione
Dal punto di vista statistico questo errore da ritenersi di tipo casuale ma con una distribuzione di
probabilit non gaussiana. Infatti supponiamo di avere in uscita il codice n-esimo che corrisponda
ad una tensione media in ingresso di Vn, la distribuzione p(V) di probabilit delle tensioni in
ingresso corrispondente a questa uscita dellADC data da:
p VV
per V V V V V
p V altrimenti
n n( ) / /
( )
12 2
0
1/ V
V Vn / 2 V Vn / 2
V
p(V)
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
22
il valore medio della tensione in ingresso ovviamente dato da Vn mentre la sua deviazione
standard data da:
1 1
12 120 29
2
2
21 2
2
2
2 1 2
2 1 2
Vp V V V dV
Vx dx
V VV
nV V
V V
V
V
n
n
( )( )
.
/
//
/
/ /
/
Questa deviazione standard, pur esprimendo significativamente lincertezza dovuta allerrore di
quantizzazione, non ha lusuale significativo che possibile associarvi nel caso di distribuzioni
gaussiane.
Aliasing
Il campionamento dei dati caratterizzato da un intervallo di tempo (di solito costante) che
intercorre tra un rilievo ed il successivo. La frequenza di acquisizione fa data da 1/ . Il teorema del
campionamento di Nyquist ci dice che per avere una corretta descrizione del segnale nel dominio
delle frequenze necessario campionare ad una frequenza almeno doppia rispetto alla massima
frequenza del segnale. Alternativamente possiamo dire che con una frequenza di acquisizione pari
ad fa si descrive correttamente il segnale fino alla frequenza massima fn=fa/2. fn detta frequenza di
Nyquist o di folding.
Per ogni frequenza f nellintervallo compreso fra zero e la frequenza di folding si ha aliasing
con le frequenze date da:
2kf fn con k un numero intero.
Ad esempio, se si campiona alla frequenza di 200Hz avremo una frequenza di Nyquist di 100Hz; un
segnale a 30Hz presenter effetti di alias alle frequenze di 170, 230, 370, 430Hz e cos via.
Il fenomeno dellaliasing se presente in una serie di dati impedisce di valutarne
correttamente i contributi in frequenza e quindi lo spettro della densit di potenza. Da un punto di
vista della densit spettrale di potenza il fenomeno dellaliasing fa s che i contributi, nel segnale, a
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
23
frequenze maggiori di fn vengano riportati nello spettro a frequenze minori di quella di folding come
si vede in figura.
Fig. 6) Illustrazione del fenomeno dellaliasing
Questo fenomeno pu essere eliminato, od almeno ridotto fino ad essere trascurabile, tramite un
filtraggio analogico, effettuato quindi prima della digitalizzazione, con un filtro passa-basso che
riduca notevolmente i contributi a frequenza maggiore di quella di folding.
Come esempio pratico del fenomeno di aliasing si consideri unonda triangolare con frequenza
fondamentale di 26.6 kHz campionata a 1000 kHz, 500kHz e 200 kHz. Londa triangolare presenta,
oltre alla frequenza principale, tutte le armoniche di ordine dispari con ampiezza progressivamente
calante ( e nessuna delle pari). Lanalisi spettrale in termini di spettro di potenza riportata nella
figura seguente. Nel primo caso (in alto, 1000 kHz) si rilevano chiaramente le prime 17 armoniche;
nel secondo caso (figura intermedia, 500 kHz) si osservano solo le prime nove armoniche, mentre
quelle di ordine superiore hanno subito alias e sono spostate verso le basse frequenze; nellultimo
caso (in basso, 200 kHz) si rilevano soltanto le prime tre armoniche e gli altri picchi rilevabili sono
risultato di alias.
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
24
Fig. 7) Esempio che mostra leffetto dellaliasing su di uno spettro di potenza
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
25
Probabilit
La probabilit una grandezza statistica legata alla frequenza con cui si osserva un certo
evento in unanalisi che comprende un gran numero di eventi simili.
Ad esempio lanciando una moneta per un numero N limitato di volte avremo come risultato un
certo numero NT di teste ed un certo numero NC di croci con NT+NC=N, tuttavia il numero di teste
ottenuto sar in generale diverso da quello delle croci e ripetendo lesperimento otterremmo
verosimilmente valori di versi per NT e NC. Se il numero di tentativi N viene fatto crescere i valori
di NT e di NC si stabilizzeranno intorno al valore NT=NC=N/2. Per cui nel limite di N tendente
allinfinito la frequenza delle croci sar uguale a quella delle teste e la probabilit a priori di ottenere
uno qualunque dei due risultati sar uguale a 1/2. Nello stesso modo la probabilit di ottenere un
certo numero lanciando un dado pari ad 1/6.
La probabilit di ottenere un certo evento sempre compresa fra zero (assoluta certezza che
levento non si manifesta) ed uno (assoluta certezza del manifestarsi dellevento). Per una variabile
aleatoria la somma delle probabilit relative a ciascuno dei possibili valori che pu assumere
uguale ad uno. La probabilit che avvengano due o pi eventi indipendenti data dal prodotto delle
singole probabilit relative a ciascun evento.
Ad esempio lanciando due dadi la probabilit di ottenere due tre data dal prodotto della probabilit
di ottenere un 3 sul primo dado (1/6) e la probabilit di ottenere un tre sul secondo dado (1/6) ed
quindi uguale a 1/36 essendo i due eventi indipendenti. La probabilit di ottenere 4 dalla somma dei
valori ottenuti sui due dadi la si calcola tenendo presente che il quattro pu essere ottenuto con tre
diverse combinazioni: 1 sul primo dado e tre sul secondo, uno sul secondo dado e tre sul primo
oppure con due 2. Ognuna di queste combinazioni esclude laltra e gli eventi sono perci
dipendenti. La probabilit di ogni combinazione pari a 1/36 mentre quella complessiva la somma
delle tre probabilit ed quindi pari a 3/36=1/12.
Funzione densit di probabilit
Quando si lavora con un insieme di dati che rappresenta una funzione continua, ad esempio
la tensione in uscita da un trasduttore registrata in funzione del tempo, non si pu pi parlare di
probabilit a priori di ottenere un preciso valore per la tensione letta sul trasduttore. Il concetto di
probabilit deve quindi essere sostituito con quello di densit di probabilit. Consideriamo una
time history x(t), la probabilit che x(t) assuma un valore allinterno di un definito range fra x e
x+dx pu essere calcolata come:
P(x,x+dx)= Tx/T dove Tx il tempo totale in cui la x(t) cade nel range predefinito durante
lintervallo di tempo di osservazione T.
Questa funzione approssimer la probabilit quando T tende allinfinito.
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
26
La densit di probabilit (o probability density function PDF) p(x) sar perci ottenuta nel limite
come:
p xdx
Tx
Tdx T( ) lim lim
0
1
In questo modo la probabilit che x(t) assuma un valore allinterno di un definito range fra x e x+dx
pu essere valutata tramite la densit di probabilit come:
P(x,x+dx)=p(x)dx
Fig. 8) Schema esplicativo della definizione della funzione di densit di probabilit (PDF).
In pratica si lavora spesso con catene di misura digitali con frequenza di campionamento
fissa, e quindi con serie temporali omogeneamente distribuite nel tempo. Il calcolo della densit di
probabilit viene quindi svolto in maniera discreta, ovvero costruendo listogramma di probabilit
ottenibile contando il numero di dati n(x,x+dx) presente in ogni intervallo considerato e dividendo
per il numero totale N di dati a disposizione e per lampiezza dellintervallo:
N
)dxx,x(nlim
dx
1lim)x(p
N0dx
La funzione densit di probabilit normalizzata in maniera tale che valga la seguente relazione:
1dx)x(p
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
27
Nella costruzione della densit di probabilit in termini discreti su di un campione di N dati si
procede passando attraverso listogramma di probabilit. La procedura matematica consiste nel
dividere lintervallo di valori di misura del segnale x(t) fra xminimo e xmassimo in k intervalli
(generalmente uguali) di ampiezza x=xj+1-xj centrati intorno al valore xj. Si conteggia il numero di
misure nj contenute in ogni intervallo xj e la densit di probabilit ottenuta come una serie discreta
di valori pj=p(xj):
xN
n)x(pp
jjj
Nella costruzione dellistogramma di probabilit quindi necessario un compromesso fra il numero
di intervalli k (e quindi dellampiezza dellintervallo) rispetto al numero totale di dati disponibili nel
campione. Il compromesso deve ottimizzare laffidabilit del risultato per pj. Infatti se il numero di
intervalli k troppo piccolo si rischia di avere una risoluzione povera (x troppo elevato) e quindi
insufficiente a descrivere il dettaglio della densit di probabilit mentre se il numero k di intervalli
troppo elevato allora i conteggi nj in ogni intervallo possono essere troppo pochi per avere una
sufficiente convalida statistica e la PDF cos costruita avr della ampie fasce di errore statistico
dovuto semplicemente al conteggio. Ad esempio se lampiezza di un intervallo troppo piccola ed
tale che si abbia una probabilit di avere una misura in tale intervallo pari a 1/10000 allora ci si
aspetta di avere un unico conteggio su di un campione di 10000 dati con un errore relativo di
conteggio pari al 100%.
Lerrore statistico di conteggio infatti valutabile attraverso le propriet della distribuzione
binomiale (descritta nel seguito). Per un intervallo in cui si rilevano n conteggi con n
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
28
Fig. 9) Esempio di istogrammi di densit di probabilit.
Nelle figure che seguono sono riportati alcuni esempi di funzione densit di probabilit. In figura 10
stato scelto il caso di una funzione sinusoidale di ampiezza unitaria, mentre in figura 11 stato
considerato il caso della stessa funzione sinusoidale a cui sovrapposto un rumore bianco (cio un
rumore con spettro di potenza costante al variare della frequenza) di banda relativamente stretta (il
massimo al 25% dellampiezza della sinusoide).
Nella figura 9 (13) sono riportati gli
istogrammi che rappresentano la densit di
probabilit per un rumore a distribuzione
gaussiana per tre diverse ampiezze delle barre
degli istogrammi. Si pu notare che
nellultimo caso in cui si sono considerati 40
intervalli la curva continua passante per il
centro delle barre dellistrogramma da una
buona rappresentazione della densit di
probabilit.
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
29
Fig. 10) La funzione x(t) una sinusoide alla frequenza di 100 Hz.
Fig. 11) La funzione x(t) la sovrapposizione di una sinusoide alla frequenza di 100 Hz e di un
rumore bianco di ampiezza massima pari al 25% dellampiezza della sinusoide.
Da questi esempi gi possibile rendersi conto di come calcolare un istogramma sufficientemente
dettagliato da rappresentare una funzione di densit di probabilit e di come un segnale sinusoidale
viene influenzato dalla sovrapposizione di un rumore bianco. In figura 12 invece riportato un
esempio di densit di probabilit riguardante le fluttuazioni di velocit in un moto di aria turbolento
allinterno dello strato limite rilevato in galleria del vento. Il campione di dati (lungo 65536
elementi), parzialmente mostrato in figura 12, stato ottenuto con una sonda anemometrica a filo
caldo ed una catena di acquisizione digitale settata per una frequenza di acquisizione pari a 2000
Hz. Il valore medio della velocit era di 8.5 m/s e lintensit di turbolenza era il 13.56 %.
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
30
Fig. 12) Esempio di distribuzione di velocit in un flusso daria turbolento allinterno dello strato
limite.
La funzione densit di probabilit p(x) permette di valutare la probabilit complessiva di ottenere un
valore di x compreso in un certo intervallo come:
P x x x p x dxx
x
( ) ( )1 21
2
e la probabilit cumulativa di ottenere un valore minore od uguale ad x come:
P x p x dxx
( ' ) ( )'
.
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
31
Fig. 13) Esempi di densit di probabilit
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
32
Definizione e calcolo dei momenti statistici
Dato un segnale x(t) si definisce momento statistico di ordine m la seguente espressione:
dx)x(pxx mm
se il segnale opportunamente campionato attraverso una serie discreta di dati xi si pu passare
dalla formulazione integrale a quella discreta tramite una sommatoria:
k
1jj
mj
m )x(pxx
Ovviamente i momenti statistici cos definiti possono essere espressi tramite medie temporali in
forma integrale sia su campioni di lunghezza infinita che su campioni limitati nel tempo:
T
0
m
T
m dt)t(xT
1limx
T
0
mm dt)t(xT
1x
dove T il periodo sul quale la funzione x(t) stata registrato. Da un punto di vista puramente
matematico il valore di T dovrebbe tendere allinfinito. Dal punto di vista pratico il valore di T deve
essere sufficientemente lungo da essere multiplo del periodo massimo caratteristico del segnale. Il
numero di multipli da considerare, e quindi il valore di T, dipende peraltro dal momento statistico
che si intende calcolare, e dallaccuratezza della stima richiesta.
Il momento statistico del primo ordine non altro che la media del segnale:
N
1i
T
0T
xN1
XxdtT
1limX
Oltre alla media importante definire alcune grandezze di largo utilizzo nellanalisi dei segnali nel
dominio del tempo. In particolare il momento statistico del secondo ordine consente di calcolare la
deviazione standard e la varianza 2 di un campione di dati che sono definiti in termini integrali
come:
dx)x(pxx
dx)x(pxx
22
2
Per una serie di dati xi campionati ad intervalli di tempo regolari si pu utilizzare la formulazione in
termini di sommatorie come:
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
33
N
1i
2i
2
N
1i
2i
xxN
1
xxN
1
E da notare che spesso la standard deviation e la varianza sono definite non rispetto al numero N di
dati nel campione ma rispetto agli intervalli di campionamento (N-1) e la definizione di cui sopra
viene modificata con un N-1 al denominatore al posto di N. Questa distinzione irrilevante per
campioni lunghi in cui N>>1 ma pu portare a piccole discrepanze nel caso in cui si elaborino
campioni con pochi dati, come nel caso della valutazione di errori sperimentali nella fase di
calibrazione di uno strumento. La varianza del campione legata al momento statistico del secondo
ordine rispetto alla media e fornisce indicazioni sulla larghezza della PDF e quindi sullo
sparpagliamento dei dati intorno alla media nel campione in esame.
La Skewness fa riferimento al momento statistico del terzo ordine rispetto alla media ed
utilizzata come un indice di asimmetria della PDF del segnale in analisi:
dx)x(pxx
1S
3
3
In termini di sommatoria su di una serie di dati campionati a frequenza costante si ha:
N
1i
3i3
xxN
1S
La Kurtosis fa invece riferimento al momento statistico del quarto ordine rispetto alla media e
viene utilizzata per avere un indice della ripidit della PDF stessa. Cio per avere una indicazione
riguardante lestensione delle code della PDF intorno al suo valore di massimo.
dx)x(pxx
1K
4
4
In forma di sommatoria su di una serie di dati campionata a frequenza costante si ha:
N
1i
4i4
xxN
1K
E da notare che se il segnale x(t) rappresenta una grandezza fisica dimensionale allora la standard
deviation e la varianza sono grandezze dimensionali mentre la skewness e la kurtosis per come
sono definite - sono quantit adimensionali, essendo normalizzate tramite il cubo e la quarta potenza
della deviazione standard.
E opportuno notare che per il calcolo dei momenti statistici, soprattutto per gli ordini m elevati,
occorre un segnale campionato per un tempo sufficientemente lungo. Infatti il primo momento
statistico (la media del segnale) dipende dalle code della PDF in maniera lineare ed quindi
principalmente influenzata dai valori x(t) per cui la PDF massima. Il secondo momento statistico
invece fortemente legato alla larghezza della funzione di densit di probabilit e quindi le code
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
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della PDF assumono importanza sempre maggiore nel calcolo dei momenti al crescere del valore di
m. Per un calcolo accurato ed affidabile dei momenti statistici di ordine elevato occorre avere una
PDF che ben descritta nelle sue code e quindi necessario avere un segnale campionato per
tempi pi lunghi.
Per il calcolo effettivo dei momenti statistici, avendo a disposizione un campione di N dati
campionato ad intervalli di tempo costanti si possono utilizzare almeno tre principali metodologie:
1) Utilizzare semplicemente dei cicli for-next analizzando la serie temporale in un
programma di calcolo (BASIC, FORTRAN, C,....)
2) Utilizzare le capacit di vettorizzazione di ambienti di lavoro matematici (tipo MATLAB)
per evitare i cicli e lavorare direttamente sul vettore di dati xi nella sua interezza
3) Calcolare prima la PDF del campione e valutare poi i momenti statistici attraverso di essa
tramite le loro definizioni.
I metodi 2) e 3) sono comunque pi efficienti del metodo 1) anche per campioni con un numero di
dati relativamente basso. Tuttavia se il numero di dati nel campione elevato pu essere
conveniente dal punto di vista dellefficienza del calcolo passare attraverso la PDF ed adottare il
metodo 3). Nella tabella seguente riportato un esempio di calcolo dei primi 4 momenti statistici su
di un segnale random con distribuzione gaussiana. Si pu notare che gi per campioni con 32768
dati il metodo 3) diventa pi conveniente. Infatti il calcolo necessario alla valutazione
dellistogramma di probabilit diventa inferiore a quello necessario alla gestione ed analisi di vettori
di grandi dimensioni.
Numero di dati Tempo di calcolo
con cicli for (s)
Tempo di calcolo con
vettorizzazione (s)
Tempo di calcolo
tramite PDF (s)
16384 0.83 0.05 0.05
32768 1.76 0.11 0.05
65536 3.51 0.22 0.06
131072 6.98 0.44 0.16
262144 13.84 0.88 0.28
Esempio di velocit di calcolo su dei campioni di dati a distribuzione gaussiana. I primi quattro momenti
statistici sono stati valutati in ambiente MATLAB con un processore PENTIUM III a 600 MHz.
La distribuzione Gaussiana
Esistono molte distribuzioni di probabilit di notevole importanza nella descrizione di particolari
fenomeni fisici. Ad esempio la distribuzione di Maxwell-Boltzmann che descrive la distribuzione
delle velocit degli atomi del gas perfetto allequilibrio termodinamico, oppure la distribuzione di
Poisson che descrive la probabilit di decadimento di un nucleo radioattivo. In fisica quantistica
sono importanti le distribuzioni di Fermi e di Bose-Einstein. Per tutte queste distribuzioni si
rimanda ai testi specialistici. Nel seguito si tratta in dettaglio la distribuzione gaussiana, quella
binomiale e quella di Poisson, che giocano un ruolo di rilievo nellanalisi dellincertezza
sperimentale.
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
35
La distribuzione gaussiana (normalizzata) data dallespressione:
g x e
x x
( )
*
1
2
2
22
e la normalizzazione tale che: g x dx( )
1 come deve essere per una distribuzione di probabilit. La funzione g(x) centrata sul valore x* ed simmetrica. Questo implica che il valore medio di
x proprio pari a x*, infatti
x xg x dx x( ) * . Il parametro detto parametro di larghezza della gaussiana; nella figura successiva sono riportate tre gaussiane centrate sul valore x*=5 e con
tre diversi parametri di larghezza (0.5, 0.3 e 0.2).
0 2 4 6 8 100.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.20 2 4 6 8 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
g(X
)
X Fig. 14) Esempio di distribuzioni gaussiane.
Questa distribuzione particolarmente importante nellanalisi statistica dellincertezza sperimentale
in quanto la misura multi-campionamento di una grandezza fisica soggetta a molte piccole fonti di
errori casuali indipendenti produce un set di dati la cui distribuzione di probabilit , nel caso limite
di infinite misure, gaussiana. Tale gaussiana centrata sul valore medio dei dati
x N xii
N1
1
(N
il numero di misure) ed ha un parametro di larghezza pari alla standard deviation del campione di
dati:
1 2
1N
x xii
N
( ) . Tale valore pu generalmente essere assunto come incertezza statistica
sulla misura della variabile x. La probabilit che una variabile x distribuita normalmente (cio che
segue la distribuzione gaussiana) assuma un valore compreso entro t standard deviation dal valore
medio e data dalla funzione normale dellerrore (erf) definita come:
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
36
erf t P x t x x t g x dxx t
x t
( ) ( ) ( )
Ad esempio la probabilit che di misurare un valore di x entro una standard deviation dal valore
medio pari ad erf(1)=68.27%. Quindi assumere una standard deviation come incertezza statistica
ha un limite di confidenza del 68.27%, in quanto effettuando unulteriore singola misura di x si ha il
68.27% di probabilit che il valore misurato cada nellintervallo x-x+
Limportanza della distribuzione gaussiana deriva anche dal teorema del limite centrale che
afferma che la distribuzione gaussiana la distribuzione limite, sotto condizioni abbastanza
generali, della somma di molte variabili random e indipendenti che agiscono
contemporaneamente anche se le distribuzioni delle singole variabili non sono gaussiane.
Distribuzioni Binomiale e di Poisson La distribuzione binomiale importante e largamente utilizzata per descrivere le statistiche dei
conteggi (ad esempio per lo studio del decadimento nucleare) e descrive la probabilit di avere n
eventi che si considerano accaduti su N prove. Denotando con p la probabilit di avere un successo
su di un singolo tentativo, la distribuzione binomiale data da:
nNnp,N )p1(p
)!nN(!n
!N)n(B)proveNinsuccessin(P
Il valore medio (o di aspettazione) su N prove, che rappresenta il valore atteso di successi e la sua
standard deviation, che rappresenta lincertezza sul valore di aspettazione, sono dati da:
)p1(NpNpn
Nei casi in cui la probabilit p molto piccola (p
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
37
Funzione di densit di probabilit congiunta
La funzione p(x,y) detta densit di probabilit congiunta (joint probability density) descrive la
probabilit che, dati due segnali x(t) e y(t) e fissati due piccoli intervalli (al limite infinitesimi) dx e
dy, si verifichi contemporaneamente levento x e levento y. Si risponde cio alla domanda di quale
la probabilit che il segnale x(t) sia compreso in un intervallo intorno ad x e contemporaneamente
y(t) sia compreso in un piccolo intervallo intorno ad y. Con riferimento alla figura successiva la
definizione matematica della funzione p(x,y) :
T
T
yx
1)y,x(p
xy
T0y0x
limlim
Fig 15) Schema esemplificativo della definizione di densit di probabilit congiunta.
La funzione densit di probabilit congiunta normalizzata in maniera tale che:
1dd),(p
Analisi dei segnali G. Manfrida & D. Contini 2001
38
La funzione densit di probabilit congiunta quindi una funzione di due variabili e pu
graficamente rappresentarsi con una superficie. Nella figura successiva riportato un esempio della
funzione per una densit di probabilit congiunta di tipo gaussiano.
Fig. 16) Esempio di probabilit congiunta di tipo gaussiano
Analogamente al caso della funzione di densit di probabilit per un singolo segnale possibile
definire le probabilit cumulative tramite integrali definiti della funzione di densit di probabilit
congiunta. In particolare la probabilit P(X,Y) che il segnale x(t) abbia un qualunque valore
inferiore o uguale a X e contemporaneamente il segnale y abbia un qualunque valore inferiore o
uguale a Y data dallintegrale
X Y
dd),(p)Y,X(P
Nel caso in cui i segnali x(t) e y(t) rappresentino fenomeni fisici del tutto scorrelati e quindi
indipendenti (e soltanto in questo caso) si ha:
p(x,y)=p(x)p(y)
e quindi la densit di probabilit congiunta si riduce al prodotto delle densit di probabilit dei
singoli segnali.
La funzione densit di probabilit congiunta utile per le analisi di segnali che hanno fra loro forti
correlazioni, come, ad esempio, luscita e lingresso di un circuito elettronico oppure per stimare il
comportamento di strutture soggette ad interferenza. Ad esempio si pu utilizzare per la stima della
probabilit che avvenga una collisione fra strutture elastiche adiacenti soggette alla solle
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