View
7
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
vibrações
Citation preview
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 1
por Chedas Sampaio
Maro 2013
Anlise em frequncia
Anlise em frequncia
1
ESTRUTURA DA APRESENTAO
Quantificao da vibrao
Vibrao peridica
Anlise em frequncia
Anlise em frequncia
2
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 2
QUANTIFICAO DA VIBRAO
Anlise em frequncia
3
Como quantificar a vibrao?
Anlise em frequncia
Quantificao da vibrao
2 0 2 4 6 8 10
2
2
t
( )tx
4
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 3
PICO
Anlise em frequncia
Quantificao da vibrao
Uma forma ser obviamente medir a maior amplitude devibrao ou PICO.
2 0 2 4 6 8 10
2
2
t
pico
Mas ser suficiente?
( )tx
5
PICO
Anlise em frequncia
Quantificao da vibrao
Vejamos estas duas vibraes:
0 1 2 3 4 520
0
20
0 1 2 3 4 520
0
20
Pico=19.3
Pico=16.4
A
B
6
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 4
PICO
Anlise em frequncia
Quantificao da vibrao
Vejamos estas duas vibraes:
0 1 2 3 4 520
0
20
0 1 2 3 4 520
0
20
Pico=19.3
Pico=16.4
A
B
De facto A apresenta um pico superior. Mas, tambm verdade que B apresenta valores superiores a maior parte do tempo.
Ento, como traduzir esta situao?
7
RMS
Anlise em frequncia
Quantificao da vibrao
A soluo est no Root Mean Square ou valor eficaz:
x t( )
t
0 1 2 3 4 5 6
2
1
1
2
=T
dttxT
RMS0
2 )(1N
x
RMS
N
ii
=
=
1
0
2ou
8
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 5
RMS
Anlise em frequncia
Quantificao da vibrao
A soluo est no Root Mean Square ou valor eficaz:
x t( )
t
0 1 2 3 4 5 6
2
1
1
2
N
x
RMS
N
ii
=
=
1
0
2
T
t [s]
x0
=x0
2
x1
+x12
x2
+x22
xi
...+xi2
xN-1
...+xN-12
N
9
RMSQuantificao da vibrao
Voltando ao nosso exemplo:
RMS=6.9
RMS=7.8
Pico=19.3
Pico=16.4
0 1 2 3 4 520
0
20
0 1 2 3 4 520
0
20
A
B
N
x
RMS
N
ii
=
=
1
0
2
Anlise em frequncia
10
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 6
Em que unidades de medida se medir a vibrao?
Anlise em frequncia
Quantificao da vibrao
2 0 2 4 6 8 10
2
2
t
( )tx
11
Deslocamento
Anlise em frequncia
Quantificao da vibrao
2 0 2 4 6 8 10
2
2
t
O deslocamento ser naturalmente a unidade mais bviapois aquela que mais se aproxima da ideia de oscilao emtorno de um ponto mdio. Mais vibrao pode significar,como do senso comum, maiores amplitudes dedeslocamento.
( )tx ( )[ ]m tx
12
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 7
Deslocamento
Anlise em frequncia
Quantificao da vibrao
2 0 2 4 6 8 10
2
2
t
Mas, se a amplitude se mantiver e a frequncia aumentartambm costumamos considerar que h mais vibrao.Ento como descrever esta situao?
( )tx
13
Velocidade
Anlise em frequncia
Quantificao da vibrao
2 0 2 4 6 8 10
2
2
t
Basta derivar uma vez a funo deslocamento e, comosabemos, obtm-se a velocidade. A velocidade j contminformao sobre a frequncia.
( )[ ]mm/s tx&( )tx&
14
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 8
Acelerao
Anlise em frequncia
Quantificao da vibrao
2 0 2 4 6 8 10
2
2
t
Se medimos velocidade tambm podemos medir aacelerao. Esta obtm-se derivando uma vez a velocidadee duas vezes o deslocamento.
( )[ ] [ ]gou m/s 2tx&&( )tx&&
15
VIBRAO PERIDICA
Anlise em frequncia
16
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 9
Vibrao harmnicaVibrao peridica
A forma mais simples de vibrao a Vibrao Harmnicaque um caso particular de vibrao peridica.
Todas as outras formas de vibrao no so mais que a somade vibraes harmnicas.
Anlise em frequncia
17
Vibrao harmnica - propriedadesVibrao peridica
Anlise em frequncia
X
( )pi += ftXtx 2cos)(T T
f 1=
=
=
Xx
f
)0(arccos
ou
2
pi
18
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 10
Vibrao harmnica relao entre unidades de medidaVibrao peridica
( )pi += ftXtx 2cos)(
( )pipipipi &&& +=
++= ftXftfXtx 2cos
22cos2)(
1 derivada
( ) ( ) ( )pipipipi &&&&&& +=++= ftXftXftx 2cos2cos2)( 22 derivada
Anlise em frequncia
19
Para as amplitudes de pico e fases podemos tirar asseguintes relaes:
Vibrao harmnica relao entre unidades de medidaVibrao peridica
Anlise em frequncia
( )pi &&& += ftXtx 2cos)(
( )pi &&&&&& += ftXtx 2cos)(
( )XfX pi2=& 2pi
+=&
( ) XfX 22pi=&& pi +=&&
fXX
pi2=&
&&
20
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 11
Graficamente a relao entre as trs unidades de medida,para uma frequncia superior a 1 Hz, :
Vibrao harmnica relao entre unidades de medidaVibrao peridica
Anlise em frequncia
x t( )
x t( )
x t( )
t0 1 2 3 4
1
0.5
0
0.5
1
21
Deslocamento e acelerao para uma velocidade constantede 0.001 mm/s:
Vibrao harmnica relao entre unidades de medidaVibrao peridica
Anlise em frequncia
0.0012 pi. f.
0.001
0.001 2. pi. f.
9.8
f1 10 4 1 10 3 0.01 0.1 1 10 100 1 103
1 10 81 10 71 10 61 10 51 10 41 10 3
0.01
0.1
1
10
Frequncia, Hz
Ace
l, V
el, D
esl
22
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 12
Soma de duas vibraes com a mesma frequncia
Vibrao harmnica soma de duas vibraes harmnicasVibrao peridica
Anlise em frequncia
( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]
( )
+=
=
+=
+=+
+==
tXttX
tXtXXttXtXtxtx
tXtxtXtx
cos
sinsincoscossinsincoscos
sinsincoscoscos)()(cos)( cos)(
221
2121
2211
sin2X
com
cos21 XX +
X
( ) ( )
+=
++=
cos
sinatan
e
sincos
21
2
22
221
XXX
XXXX
23
Soma de duas vibraes com a mesma frequncia
Vibrao harmnica soma de duas vibraes harmnicasVibrao peridica
Anlise em frequncia
( ) +tX cos uma vibrao harmnica com a mesma frequncia
24
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 13
Soma de duas vibraes com diferentes frequncias
Vibrao harmnica soma de duas vibraes harmnicasVibrao peridica
Anlise em frequncia
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )[ ]
+=
++=
++=+
+==
ttX
ttXtXtXtxtxtXtxtXtx
2cos
2cos2
coscos
coscos)()(cos)( cos)(
21
21
no uma vibrao harmnica
25
Soma de duas vibraes com diferentes frequncias
Vibrao harmnica soma de duas vibraes harmnicasVibrao peridica
Anlise em frequncia
+ ttX
2cos
2cos2
quando
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 14
Uma vibrao harmnica pode ser representada por umvector rotativo no Plano de Argand (Plano dos NmerosComplexos):
Vibrao harmnica representao vectorialVibrao peridica
Anlise em frequncia
27
Uma vibrao harmnica pode ser representada por umvector rotativo no Plano de Argand (Plano dos NmerosComplexos):
Vibrao harmnica representao vectorialVibrao peridica
Anlise em frequncia
Im
Re
X t ( ) +tjXe
( ) ( ) ( ) +++=+ tjXtXXe tj sincosFoi Euler que demonstrou:
projeco real projeco imaginria
j-unidade imaginria
28
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 15
Unidades de medida:
Vibrao harmnica representao vectorialVibrao peridica
Anlise em frequncia
( ) ( ) += tjeXtX rr
( ) ( ) ( ) +== tjeXjtXdtd
tXrrr
& ( ) ( )tXjtX rr& =
( ) ( ) ( ) +== tjeXtXdtd
tXrrr
&& 22
2 ( ) ( )tXtX rr&& 2=Im
Re
t( )tXr( )tXr&
( )tX&&
1 derivada
2 derivada
29
Unidades de medida:
Vibrao harmnica representao vectorialVibrao peridica
Anlise em frequncia
( ) ( ) += tjeXtX rr Deslocamento
( ) ( )tXjtX rr& =
( ) ( )tXtX rr&& 2=Im
Re
t( )tXr( )tXr&
( )tX&&
( ) ( )( ) ( ) +== tXtXtX cosRe r
( ) ( )( )
++==
2cosRe pi tXtXtX
r&& Velocidade
( ) ( )( ) ( )pi ++== tXtXtX cosRe 2r&&&& Acelerao
30
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 16
A soma de vibraes harmnicas com a mesma frequncia muito mais fcil usando vectores:
Vibrao harmnica representao vectorialVibrao peridica
Anlise em frequncia
Im
Re
t
( )tX1r
( )tX 2r
( ) ( ) += tjeXtX rr( ) ( )
( )
+=+
+==
tXtxtxtXtxtXtx
cos)()(cos)( cos)(
21
2211
( ) ( )
+=
++=
cos
sinatan
e
sincos
21
2
22
221
XXX
XXXX
31
Vibrao peridicaVibrao peridica
Anlise em frequncia
32
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 17
Tempo versus frequnciaVibrao peridica
+
+
=
+
+
=
Anlise em frequncia
33
Frequncia
fundamental
(FF)
FF=1/
Tempo versus frequnciaVibrao peridica
Anlise em frequncia
34
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 18
Tempo versus frequnciaVibrao peridica
Anlise em frequncia
Frequncia (Perodo)todos 0:40
11223
4567
8910
11
Fase1 comboio 2:00
Tempo2:002:403:204:004:405:206:00
Mesma informao
35
ANLISE EM FREQUNCIA
Anlise em frequncia
36
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 19
ObjectivoAnlise em frequncia
O objectivo da Anlise em Frequncia a determinao dasharmnicas (amplitude, frequncia e fase) que compem o sinal.Desta forma possvel saber quais as frequncias mais importantes(maiores amplitudes) presentes no sinal em anlise.
A Anlise em Frequncia tem mltiplas aplicaes como asComunicaes, a Acstica, o Diagnstico de Avarias de mquinasrotativas, a Deteco de Dano em estruturas, etc...
Anlise em frequncia
37
Transformadas de FourierAnlise em frequncia
Segundo Joseph Fourier (1768-1830), qualquer funo complexa,peridica ou no peridica, pode ser decomposta numa srie decomponentes harmnicas de diferentes frequncias. Esta tcnicabaseia-se nas conhecidas Transformadas de Fourier :
Anlise em frequncia
( ) ( ) dtetxfX ftj pi2
= ( ) ( ) dfefXtx ftj pi2
=
38
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 20
Transformadas discretas de FourierAnlise em frequncia
As Transformadas de Fourier assumem no processamento de sinaldigital a seguinte forma:
Anlise em frequncia
( ) ( ) dtetxfX ftj pi2
= ( ) ( ) dfefXtx ftj pi2
=
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
= NikjN
iki eXx
pi21
0
=
=
1..0 = Nk 1..0 = Ni 39
Transformadas discretas de FourierAnlise em frequncia
... sendo conhecidas como Transformadas Discretas de Fourier, ou DFT(discrete fourier transforms).
Anlise em frequncia
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
= NikjN
iki eXx
pi21
0
=
=
DFT Directatempo frequncia
DFT Inversafrequncia tempo
40
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 21
Transformadas discretas de FourierAnlise em frequncia
a DFT que permite o clculo do espectro de frequncia a partir dosinal no tempo:
Anlise em frequncia
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
=
Sinal no TEMPO Sinal na FREQUNCIA
41
Transformadas discretas de FourierAnlise em frequncia
... ou a reconstituio do sinal no tempo a partir do espectro:
Anlise em frequncia
Sinal no TEMPO Sinal na FREQUNCIA
NikjN
iki eXx
pi21
0
=
=
42
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 22
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
=
DFT directaAnlise em frequncia
Vejamos o significado de cada varivel da expresso matemtica daDFT directa:
Anlise em frequncia
0 1 2 3 4
2
2
Sinal no tempo amostrado
43
DFT directaAnlise em frequncia
Vejamos o significado de cada varivel da expresso matemtica daDFT directa:
Anlise em frequncia
0 1 2 3 4
2
2NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
=
Incio do tempo de amostragem
Fim do tempo de amostragem
Tempo de amostragem
T
44
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 23
DFT directaAnlise em frequncia
Vejamos o significado de cada varivel da expresso matemtica daDFT directa:
Anlise em frequncia
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
=
N total de amostras
(normalmente uma
potncia de 2 por
convenincia e rapidez
do algoritmo de clculo
no computador)
Amostra 0
x3
30
x0
2
x2
1
x1
N-2
xN-2
N-1
xN-1
i=
T [s]
x(t) xi
t [s] [ ]s NTi
45
DFT directaAnlise em frequncia
Vejamos o significado de cada varivel da expresso matemtica daDFT directa:
Anlise em frequncia
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
=
sincos jzzze j =Equao de Euler
46
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 24
DFT directaAnlise em frequncia
Demonstrao da Equao de Euler:
Anlise em frequncia
Como a derivada nula, f(x)=constante, como conhecemos f(0)
Multiplicando ambos os lados da equao porixe
cqd
47
DFT directaAnlise em frequncia
Vejamos o significado de cada varivel da expresso matemtica daDFT directa:
Anlise em frequncia
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
=
logo, o somatrio de N nmeros complexos um nmero complexo...
( ) ( ) jXXX kkk ImRe +=
48
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 25
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
=
Este nmero complexo pode representar um vector girante velocidade kque no instante t=0 da aquisio estava na posio angular k (fase):
( ) ( ) jXXX kkk ImRe +=
kXk
Plano de Argand
Real
Imag
k
49
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
=
Ora um vector girante tem projeco imaginria de:
( ) ( ) jXXX kkk ImRe +=
( ) )sin(Im kkkk tXX +=
kXkkt +
Plano de Argand
Real
Imag
50
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 26
kXkkt +
Plano de Argand
Real
Imag
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
=
e tem projeco real de:
( ) ( ) jXXX kkk ImRe +=
( ) )cos(Re kkkk tXX +=
51
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
= ( ) ( ) jXXX kkk ImRe +=
Imaginrio
Real
)sin( kkk tX +
)cos( kkk tX +
52
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 27
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
= ( ) ( ) jXXX kkk ImRe +=Se analisarmos a DFT de qualquer sinal real verificamos que cada nmerocomplexo tem o seu conjugado, ou seja,
*
kkN XX =Qual ser o significado destes dois complexos conjugados?
53
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
= ( ) ( ) jXXX kkk ImRe +=Se analisarmos a DFT de qualquer sinal real verificamos que cada nmerocomplexo tem o seu conjugado, ou seja,
*
kkN XX =Qual ser o significado destes dois complexos conjugados? O que acontece seos somarmos?
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] [ ] ( )kkk
kkkkkk
XjXXjXXXXXX
Re20ReRe
ImImReRe*
***
=++=
+++=+
54
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 28
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
= ( ) ( ) jXXX kkk ImRe +=Ou seja:
Imaginrio
Real
)sin(0 kk t +
)cos(2 kkk tX +
55
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
= ( ) ( ) jXXX kkk ImRe +=Em concluso, cada par de nmeros complexos conjugados, obtidos pela DFT,representa uma harmnica presente no sinal cuja amplitude (pico) e fase sodados por:
( )( ) ( )( )22 ImRe22 kkk XXX += ( )( )
=
k
k
XReXIm
atank
56
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 29
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
=
Observando a expresso da DFT vemos que k varia de 0 at N-1, ou seja,calculamos N harmnicas presentes no sinal x.
Destas N harmnicas, a correspondente a k=0 representa a componentecontnua do sinal e a k=N/2 representa por si s uma harmnica pois um valorreal.
E como sabemos qual a frequncia de cada uma das harmnicas presentes nosinal?
57
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
=
Tal como no tempo, tambm em frequncia o sinal discreto com Ncomponentes (k=0..N-1). Se o sinal adquirido em T segundos torna-se bvioque a frequncia mais pequena que pode ser identificada 1/T hertz. Estafrequncia corresponder a k=1. Assim, as restantes frequncias do espectrosero dadas por k/T:
No tempo, o intervalo entre amostras :
[ ]rad/s 122T
kfkk pipi ==
[ ]s NTdt =
Na frequncia, o intervalo entre componentes : [ ]Hz 1T
df =58
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 30
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
Como sabemos que a componente k=0 corresponde componente contnua f=0, acomponente k=N/2 harmnica de frequncia f=df N/2 e as restantes com osrespectivos pares conjugados s (N/2)-1 harmnicas, o espectro ter ento (N/2)+1linhas de frequncia igualmente espaadas de df hertz. Isto claro, contando com afrequncia 0 hz.
Componentes da DFT
02N 1N2N3N1 2 3 k kN
conjugados pares
02N1 2 3 k
Componentes do espectro
59
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
Ento, para obtermos o espectro de frequncia, s precisamos de calcular asprimeiras componentes de1
2+
NkX
++++=
NNj
NN
jN
jN
jexexexex
NX
0)1(2
1
202
2
102
1
002
00 ...1 pipipipi
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
= 2..0Nk =
++++=
NNj
NN
jN
jN
jexexexex
NX
1)1(2
1
212
2
112
1
012
01 ...1 pipipipi
++++=
NkNj
NN
kjN
kjN
kjk exexexexN
X)1(2
1
22
2
12
1
02
0 ...1 pipipipi
60
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 31
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
O espectro de frequncia ser, ento:
NikjN
iik exN
Xpi21
0
1
=
= 2..0Nk =
k=0
2|X3|
32
2|X2|
1
2|X1|
N/2
2|XN/2|
f [Hz]
|X0|
Tdf 1=
TNf 12max
=
][1 HzT
k
61
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
Resumindo, ao adquirirmos um sinal, temos de definir o perodo deamostragem, T , e o nmero de amostras, N, dessa aquisio.
Com estes dois parmetros definidos ficamos logo a saber que o nossoespectro ter N/2+1 frequncias, que a 1, diferente de zero, 1/T hz,a ltima (N/2)(1/T) e todas sero espaadas de 1/T hz.
Sinal no TEMPO Sinal na FREQUNCIA
62
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 32
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
Assim as amplitudes das componentes harmnicas que existirem nosinal coincidentes com k(1/T) aparecero no espectro, enquanto queas no coincidentes se dividiro pelas frequncias do espectro maisprximas.
Sinal no TEMPO Sinal na FREQUNCIA
63
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
EXEMPLOSuponhamos um sinal constitudo pelas seguintes harmnicas:
Amplitude Frequncia Fase1 1 pi/30.5 2 pi/63 3 pi/3
Adquiramos este sinal durante T=3 s e comN=256 amostras.
Como T=3 s e N=256 amostras, o espectrode frequncia ter N/2=128 frequncias,espaadas de df=1/T=0.333 Hz e a primeirafrequncia ser 1/T=0.333 Hz:
N de ordem dafrequncia
Linha doespectro (Hz)
1 0.3332 0.6673 14 1.3335 1.6676 27 2.3338 2.6679 310 3.333
128 42.667
64
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 33
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
EXEMPLOSuponhamos um sinal constitudo pelas seguintes harmnicas:
Amplitude Frequncia Fase1 1 pi/30.5 2 pi/63 3 pi/3
Podemos vr que o espectro tem as linhasde frequncia exactas do nosso sinal:
Logo, aplicando a DFT, o espectro defrequncia apresentar com rigor acomposio harmnica deste.
N de ordem dafrequncia
Linha doespectro (Hz)
1 0.3332 0.6673 14 1.3335 1.6676 27 2.3338 2.6679 310 3.333
128 42.667
65
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
EXEMPLOSuponhamos um sinal constitudo pelas seguintes harmnicas:
Amplitude Frequncia Fase1 1 pi/30.5 2 pi/63 3 pi/3
Tk 1
66
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 34
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
EXEMPLOSuponhamos outro sinal constitudo pelas seguintes harmnicas:
Adquiramos este sinal durante T=3 s e comN=256 amostras.
Como T=3 s e N=256 amostras, o espectrode frequncia ter N/2=128 frequncias,espaadas de df=1/T=0.333 Hz e a primeirafrequncia ser 1/T=0.333 Hz:
N de ordem dafrequncia
Linha doespectro (Hz)
1 0.3332 0.6673 14 1.3335 1.6676 27 2.3338 2.6679 310 3.333
128 42.667
Amplitude Frequncia Fase1 1.2 pi/30.5 2.4 pi/63 3.6 pi/3
67
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
EXEMPLOSuponhamos um sinal constitudo pelas seguintes harmnicas:
As linhas do espectro sero as mesmas doexemplo anterior e, como podemos vr,nenhuma coincide exactamente com asfrequncias do sinal amostrado.
A consequncia disto o espectroseguinte:
N de ordem dafrequncia
Linha doespectro (Hz)
1 0.3332 0.6673 14 1.3335 1.6676 27 2.3338 2.6679 310 3.333
128 42.667
Amplitude Frequncia Fase1 1.2 pi/30.5 2.4 pi/63 3.6 pi/3
68
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 35
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
EXEMPLOSuponhamos um sinal constitudo pelas seguintes harmnicas:
Amplitude Frequncia Fase1 1.2 pi/30.5 2.4 pi/63 3.6 pi/3
Tk 1
69
DFT directaAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
EXEMPLO de notar que as componentes do sinal aparecem nas linhas doespectro mais prximas de 1.2, 2.4 e 3.6, ou sejam 1.333, 2.333 e3.667, respectivamente. Aparecem muitas componentes falsas deamplitude reduzida. Tambm, as amplitudes do EF so mais pequenasque as do sinal. como se cada componente derretesse para asvizinhas. Este problema conhecido como leakage.
70
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 36
DFT directa. Clculo do RMSAnlise em frequncia
Sinal no TEMPO Sinal na FREQUNCIA
Relembrando o Valor Eficaz ou RMS altura de introduzir a sua formade clculo a partir do espectro de frequncia:
Anlise em frequncia
N
x
RMS
N
oii
=
=
12 ( )
2
22/
1
2
20
=+=
N
kkX
XRMS71
DFT directa. Clculo do RMSAnlise em frequncia
DEMONSTRAOPor definio, a mdia quadrtica de um sinal harmnico contnuo dada por:
Anlise em frequncia
( ) ( )
( ) ( )24
2sin24
2sin2
sin
22
0
2
2
0
2
0
lim1lim
1lim1lim
AT
TAttA
dttAdttxMQ
T
T
T
T
T
T
T
T
TT
=
=
=
==
AAMQRMS 707.02
Logo2
===
cqd
Como o sinal composto por (N/2)+1 harmnicas:2
2/2
=
=
N
okkA
RMS
72
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 37
Fast Fourier TransformAnlise em frequncia
Vimos como se calcula a DFT ou o espectro de frequncia de um sinal.Cada uma das N/2+1 linhas do espectro calculada pela expresso:
Anlise em frequncia
...ou seja, necessrio efectuar N multiplicaes e N somas paracalcular cada amplitude de cada linha do espectro. Como so N/2+1linhas, ao todo so (N/2+1)*N*N operaes, o que muito quandopensamos em N=1024 ou superior.
++++=
NkNj
NN
kjN
kjN
kjk exexexexN
X)1(2
1
22
2
12
1
02
0 ...1 pipipipi
73
Fast Fourier TransformAnlise em frequncia
Nos anos 60 desenvolveu-se um algoritmo matemtico que permitiucalcular a DFT de forma muito mais rpida. A esse algoritmo chamou-se TRANSFORMADA RPIDA DE FOURIER ou FFT (fast fouriertransform). Hoje todos os analisadores de vibraes implementamesta tcnica. Falar em DFT ou FFT passou a significar o mesmo.
Anlise em frequncia
74
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 38
Fast Fourier TransformAnlise em frequncia
FFT
IFFT
Sinal no TEMPO Sinal na FREQUNCIA
A Fast Fourier Transform permite determinar quais as harmnicas(amplitude, frequncia e fase) que compem a vibrao medida.
Anlise em frequncia
75
Fast Fourier TransformAnlise em frequncia
A FFT, pelo facto de se aplicar a sinais temporais discretos, introduzalguns erros que de alguma forma deturpam a verdade dos valoresobtidos no espectro de frequncia.
A compreenso destes erros fundamental para percebermos overdadeiro significado do espectro obtido. Existem trs errosconhecidos por:
Anlise em frequncia
Aliasing
Windowing ou leakage
Picket fence effect
76
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 39
AliasingAnlise em frequncia
Claude Shannon e Harry Nyquist provaram que, para no se perder ainformao contida num sinal amostrado, necessrio que afrequncia de leitura ou amostragem (N de leituras/Perodo deamostragem) seja pelo menos o dobro da maior frequncia deinteresse contida no sinal. A esta frequncia usual chamar-sefrequncia de Nyquist:
Anlise em frequncia
Nyquista ffTNf == max2
77
AliasingAnlise em frequncia
Vejamos o seguinte exemplo. Suponhamos que pretendemos adquirirum sinal que por acaso s tem uma frequncia de 4 hz:
Anlise em frequncia
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
1
fsinal=4 hz
78
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 40
AliasingAnlise em frequncia
Se a frequncia de amostragem, fa, for igual frequncia do sinal,pensaremos que o sinal medido contnuo:
Anlise em frequncia
fa=4 hz fsinal=4 hz
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
1
79
AliasingAnlise em frequncia
Se a frequncia de amostragem, fa, for superior frequncia mximado sinal mas inferior ao seu dobro (freq.Nyquist), pensaremos que osinal medido tem uma frequncia inferior verdadeira:
Anlise em frequncia
fa=6 hz fsinal=4 hz
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
1
80
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 41
AliasingAnlise em frequncia
Se a frequncia de amostragem, fa, for igual ou superior ao dobro dafrequncia mxima do sinal (freq.Nyquist), ento sim obteremos umaleitura correcta da frequncia presente:
Anlise em frequncia
fa=8 hz fsinal=4 hz
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
1
81
AliasingAnlise em frequncia
Por aliasing, entende-se o erro de confundir uma frequncia mais altapor outra mais pequena. Este erro s acontece quando a frequncia deamostragem inferior frequncia de Nyquist (2x fmxima presenteno sinal).
Anlise em frequncia
82
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 42
AliasingAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
Nos analisadores espectrais, ou colectores de dados, evita-se este errocom um filtro analgico passa-baixa. Como o filtro no evita aatenuao de algumas frequncias um pouco antes da frequncialimite, por causa do efeito de roll-off, usual a apresentao dasprimeiras N/2.56 linhas de frequncia e no as N/2 anteriormentereferidas.
Filtro passa-baixa ideal Filtro passa-baixa real
roll-off
83
AliasingAnlise em frequncia
Assim, para as seguintes amostragens calcula-se o nmero de linhas defrequncia dos EF FFT:
N=2048 linhas de frequncia=2048/2.56=800
N=1024 linhas de frequncia=1024/2.56=400
Anlise em frequncia
84
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 43
AliasingAnlise em frequncia
Nos analisadores espectrais, quando se pretende definir um espectroFFT, no se costuma escolher o perodo de amostragem, T, mas sim afrequncia mxima, fmx, e o nmero de amostras, N:
Anlise em frequncia
N amostras, N 1024 2048
Freq. mx, fmx 500 Hz 1000 Hz
N linhas espectro, N/2.56 400 800
Resoluo em frequncia,
df=fmx/(N/2.56)
1.25 Hz 1.25 Hz
Perodo de amostragem, T 0.8 s 0.8 s
Frequncia de amostragem, fa=N/T 1280 Hz 2560 Hz
Resoluo no tempo, dt=T/N 0.00078 s 0.00039 s
85
Windowing (leakage)Anlise em frequncia
Na prtica nada nos garante que, quando medimos uma vibrao, operodo de amostragem escolhido coincida com um nmero inteiro deciclos. Alm disso, a vibrao real das mquinas normalmentecomposta por variadas contribuies a diferentes frequncias e fases.
Anlise em frequncia
86
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 44
Windowing (leakage)Anlise em frequncia
Anlise em frequncia
87
EXEMPLOSPerodo de amostragem coincidente com um nmero inteiro de ciclos(harmnica de amplitude 1, fase 0 radianos e frequncia 8 hz):
0 0.5 1
1
1
0 10 20 30 400
1
2
Windowing (leakage)Anlise em frequncia
Anlise em frequncia
EXEMPLOSPerodo de amostragem no coincidente com um nmero inteiro deciclos (harmnica de amplitude 1, fase 0 radianos e frequncia 8 hz):
0 0.5 1
1
1
0 10 20 30 400
1
2
88
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 45
Windowing (leakage)Anlise em frequncia
Anlise em frequncia
EXEMPLOSPerodo de amostragem no coincidente com um nmero inteiro deciclos da harmnica de maior frequncia:
0 0.5 1
5
5
0 10 20 30 400
1
2
Como podemos vr, a no existncia de um nmero inteiro de ciclos no sinalamostrado provoca no espectro FFT o aparecimento de falsas componentes defrequncia assim como a amplitude frequncia verdadeira surge mais pequena.Este efeito chama-se windowing, ou efeito de janela.
89
Windowing (leakage)Anlise em frequncia
Anlise em frequncia
A razo deste nome deve-se a que a parte amostrada do sinal sejacomo a parte do sinal real que vimos atravs de uma janela:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5
5
90
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 46
Windowing (leakage)Anlise em frequncia
Anlise em frequncia
O erro de windowing pode ser reduzido se escolhermos a janelaadequada. At aqui usmos a janela rectangular mas existem outrasjanelas que, consoante o tipo de sinal, so aconselhadas pois reduzemsubstancialmente os erros de windowing.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5
5
91
Windowing (leakage)Anlise em frequncia
Anlise em frequncia
Uma das janelas mais usadas na medio de vibraes peridicas emManuteno a janela Hanning. O objectivo desta janela conseguirque as amplitudes do espectro sejam mais prximas dos seus valoresverdadeiros e reduzir o nmero de componentes falsas do espectro.
0 0.5 1
10
10
0 10 20 30 400
1
2 ghn
gn
1 cos2 pi n dt
T
:=
92
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 47
Windowing (leakage)Anlise em frequncia
Anlise em frequncia
No tempo verifica-se uma atenuao do sinal amostrado nos extremose, na frequncia, podemos constatar que a amplitude da maiorfrequncia se aproximou mais do seu valor real (X=2) e o nmero defalsas componentes diminuiu apesar das que restaram aumentaremem amplitude.
0 2 4 6 8 10
5
5
93
Windowing (leakage)Anlise em frequncia
Anlise em frequncia
94(ref: Bruel & Kjaer BA 7683-11.28 )
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 48
Windowing (leakage)Anlise em frequncia
Anlise em frequncia
95(ref: Bruel & Kjaer BA 7683-11.28 )
Windowing (leakage)Anlise em frequncia
Anlise em frequncia
96(ref: Bruel & Kjaer BA 7683-11.28 )
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 49
Windowing (leakage)Anlise em frequncia
Anlise em frequncia
97(ref: Bruel & Kjaer BA 7683-11.28 )
Windowing (leakage)Anlise em frequncia
Anlise em frequncia
98(ref: Bruel & Kjaer BA 7683-11.28 )
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 50
Windowing (leakage)Anlise em frequncia
Anlise em frequncia
99(ref: Bruel & Kjaer BA 7683-11.28 )
Picket fence effect Anlise em frequncia
Anlise em frequncia
O picket fence effect, ou efeito de cerca, um erro da FFT que tem quever com a amostragem na frequncia, ou seja, com a escala defrequncia escolhida ou com o tempo de aquisio. Se determinadafrequncia do sinal no tem representao exacta no espectro entoaparecer na linha mais prxima.
Este erro pode ser atenuado aumentando o tempo de aquisio. Parano alterar a frequncia mxima do espectro poder aumentar-se onmero de amostras na mesma proporo do tempo.
100
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 51
Picket fence effect Anlise em frequncia
Anlise em frequncia
O seu nome advm do facto de que quando olhamos algo e temosuma cerca de permeio, s conseguimos vr as partes que so visveispor entre as tbuas que formam essa cerca. Ficamos pois com umaimagem deformada da realidade. Quanto mais estreitas forem astbuas melhor ser a imagem pois teremos mais aberturas por ondeespreitar.
101
Picket fence effectAnlise em frequncia
Anlise em frequncia
Fazendo o paralelismo com a figura, as tbuas mais largas sero porexemplo o caso de um perodo T=1 s que originar um espectro com asfrequncias 1,2,3,...Hz e as tbuas mais estreitas seria o caso de umperodo T=5 s que originaria um espectro com as frequncias 0.2, 0.4,0.6, 0.8, 1,...Hz.
muro
Obviamente que neste ltimocaso obteremos muito maispormenor do contedo emfrequncia do sinal. No entanto,para um mesmo N o espectro dosinal amostrado em 1 s seria 5vezes mais largo que o espectrodo sinal amostrado em 5 s.
102
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 52
Anlise em frequncia
103
Erros da DFTAnlise em frequncia
(ref: Bruel & Kjaer BA 7683-11.28 )
Anlise em frequncia
104
Erros da DFTAnlise em frequncia
(ref: Bruel & Kjaer BA 7683-11.28 )
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 53
Anlise em frequncia
105
Analisador FFTAnlise em frequncia
(ref: Bruel & Kjaer BA 7683-11.28 )
Anlise em frequncia
106
Analisador FFTAnlise em frequncia
(ref: Bruel & Kjaer BA 7683-11.28 )
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 54
Anlise em frequncia
107
Analisador FFTAnlise em frequncia
(ref: Bruel & Kjaer BA 7683-11.28 )
Anlise em frequncia
108
Analisador FFT - Anlise em tempo real Anlise em frequncia
(ref: Bruel & Kjaer BA 7683-11.28 )
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 55
Anlise em frequncia
109
Analisador FFT - Anlise em tempo real Anlise em frequncia
(ref: Bruel & Kjaer BA 7683-11.28 )
Anlise em frequncia
110
Analisador FFT - Anlise em tempo real Anlise em frequncia
(ref: Bruel & Kjaer BA 7683-11.28 )
Chedas Sampaio, Maro 2013 16-03-2013
Anlise em frequncia 56
FIM
Anlise em frequncia
111
Recommended