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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas segunda edio
ISBN 978-85-87978-17-2
Copyright 2010 Karl Heinz Kienitz
Too! o! ireito! re!er"ao!#
Capa$ %&'a (!a'o
Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas segunda edio) porKarl Heinz Kienitz)e!t* li+en+iaa !o,&a .i+en/a Creati"e Coon! Bra!il#eri!!e! al o e!+opo e!ta li+en/a poe e!tar i!pon3"ei!"ia http$44#ele#ita#,r46'ienitz4#
Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)
Kienitz) Karl Heinz
n*li!e e +ir+&ito!$ & eno&e e !i!tea! 4 Karl Heinz Kienitz : 2#e# : S;o ngenharia >ltri+a# ?# >ngenharia >letr@ni+a# ?# >letri+iae# I#T3t&lo
CA : 21#?#0D9
Eni+e! para +at*logo !i!te*ti+o$
1# >ngenharia eletr@ni+a$ +ir+&ito! : 21#?#0D92# n*li!e e +ir+&ito! : 21#?#0D9#77
Ai"i!;o e >ngenharia >letr@ni+aIn!tit&to Te+nol=gi+o e eron*&ti+ara/a Fare+hal >&aro Goe!) 50 : ila a! +*+ia!12#228-900 S;o
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memria de meus avs Ewald, Agnes, David e Maria.
Com sua f no Deus da Bblia moveram montanhas.
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Esta edio contm uma verso revista e corrigida de Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas, cujaprimeira edio surgiu de notas de aula da disciplina Anlise de Circuitos ministrada aos alunos dos cursosde Engenharia Eletrnica e Engenharia de Computao do ITA, o Instituto Tecnolgico de Aeronutica. Adisciplina de anlise de circuitos no ITA tem sido usada tambm para introduzir conceitos fundamentais deanlise de sistemas dinmicos. Circuitos eltricos so sistemas dinmicos, da a naturalidade da opo deapresent-los com um enfoque de anlise de sistemas dinmicos.
O objetivo deste texto apresentar as principais ferramentas tericas e situaes tpicas em circuitos aoestudante e ao profissional interessado num texto de referncia. A sequncia de apresentao pretende sernatural, iniciando com o geral e caminhando para o particular. Assim trata-se, inicialmente, do circuito(linear ou no-linear) no domnio do tempo. Em seguida passa-se discusso de circuitos lineares (isto , aum caso particular) usando as ferramentas pertinentes. Somente depois so tratados fasores e circuitoslineares em regime permanente senoidal (isto , uma situao especial do caso particular).
A abordagem adotada ao mesmo tempo densa e de compreenso facilitada, pois nada precisa ser decorado,tudo pode ser deduzido e portanto entendido; o ponto de partida so leis fundamentais e as equaes comelas obtidas. O texto foi concebido de forma a criar os fundamentos de uma cultura de circuitos adequada saplicaes em constante e rpida evoluo, hoje permeadas de circuitos integrados. Alm das tcnicasconsagradas para lidar com os elementos de circuito padro (resistores, indutores e capacitores lineares) e o
j clssico ampliador operacional, o texto confronta o leitor com exemplos de tcnicas que permitemexplorar os benefcios da no-linearidade quando dispositivos (como o MOSFET, tpico de circuitosintegrados) so usados em quantidade para obteno de alguma caracterstica de interesse.
Sou grato a todos que me ajudaram com crticas e sugestes da primeira edio e de verses preliminares.Igualmente agradeo aos meus colegas da Diviso de Engenharia Eletrnica do ITA por valiosas discussessobre aspectos tcnicos e didticos em anlise de circuitos.
Esta segunda edio difere da primeira pelas usuais correes ao texto, bem como por um refinamento eocasional detalhamento de colocaes e explicaes em alguns pontos.
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1. Leis de Kirchhoff......................................................................................................12. Resistores com dois terminais ..................................................................................113. Resistores com mltiplos terminais..........................................................................284. Ampliadores operacionais ........................................................................................425. Circuitos de primeira ordem.....................................................................................526. Circuitos de segunda ordem e ordem superior..........................................................667. Transformada de Laplace e resposta em frequncia .................................................858. O critrio de Nyquist.................................................................................................1029. Regime permanente senoidal ....................................................................................11110.Circuitos com vrias portas de acesso; reciprocidade ..............................................124Apndice A: Fraes parciais .........................................................................................132
Apndice B: Fator de mrito...........................................................................................133
Referncias .....................................................................................................................137
ndice remissivo..............................................................................................................138
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
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1. Leis de Kirchhoff
Este texto dedicado ao estudo da teoria de circuitos, mais especificamente sua aplicao em anlise de
circuitos.
Teoria de circuitos a disciplina de engenharia voltada para o desempenho eltrico, definido por valores de
tenses e correntes. Os fenmenos e propriedades fsicas subjacentes ao comportamento eltrico, isto ,
aquelas que o provocam, no so objeto de estudo aqui.
O objetivo da teoria de circuitos a predio do comportamento de circuitos fsicos visando a melhorias dos
projetos. Em anlise de circuitos, a preocupao principalmente com o estudo de circuitos j projetados (ou
existentes). A atividade criativa e de concepo envolvendo circuitos denominada projeto de circuitos e est
alicerada sobre um bom conhecimento da anlise. Da a grande importncia de se conhecer a anlise.
Em circuitos existem duas grandezas fsicas fundamentais:
Tenso: A tenso (ou diferena de potencial) entre 2 pontos medida pelo trabalho necessrio paratransferir carga unitria de um ponto para o outro. A diferena de potencial entre dois pontos
perfazendo uma tenso de 1 [V] corresponde a um trabalho de 1 [J] necessrio para transferir uma
carga de 1 [C].
Corrente: Corrente a transferncia (fluxo) de carga. Uma corrente de 1 [A] equivale
transferncia de carga de 1 [C/s].
Circuitos, modelos e elementos de circuito
Dispositivos de circuito, circuitos fsicos
Um dispositivo de circuito um componente eltrico/eletrnico, isto , um objeto fsico. Exemplos de
dispositivos so: resistores, capacitores, transistores, circuitos integrados, transformadores, chaves, fontes detenso e corrente. Um circuito fsico (eltrico/eletrnico) um conjunto interconectado de dispositivos. Para
a interconexo, geralmente usa-se algum meio condutor metlico (cabo, fio, filete etc.).
Resistores e capacitores so os dispositivos de circuito mais comuns. Eles esto presentes em praticamente
todos os circuitos existentes e so fabricados em diversas tecnologias. Os resistores mais comuns so os de
fio e de carbono. Os capacitores mais comuns so os de cermica, polister e os eletrolticos. Resistores de
carbono e capacitores de polister tipicamente tm marcao de seu valor no corpo do componente usando
faixas de cores. As primeiras trs faixas indicam nmeros D1, D2e M que apontam o valor do componente da
seguinte forma: D1D210M
. As unidades so [] para os resistores e [pF] para os capacitores. O cdigo de
cores o seguinte:
Cor Dgito associado
Preto 0
Marrom 1
Vermelho 2
Laranja 3
Amarelo 4
Cor Dgito associado
Verde 5
Azul 6
Violeta 7
Cinza 8
Branco 9
Na terceira faixa de resistores ainda podem ser usados ouro (M = -1) ou prata (M = -2). A cor da quarta faixa
indica a tolerncia do componente:
Resistores: 5% (ouro), 10% (prata), 20% (ausente)
Capacitores: 10% (branco), 20% (preto ou ausente)
A tenso de isolamento para os capacitores indicada pela cor de uma quinta faixa:
250V (vermelho) 400V (amarelo) 630V (azul)
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
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Capacitores eletrolticos possuem polaridade, que sempre est indicada no corpo do dispositivo. Seu uso
exige ateno especial.
Elementos de circuitos e circuitos
Elementos de circuitos so modelos ideais de dispositivos. Trata-se portanto de objetos idealizados. Osseguintes elementos de circuito so os mais comuns:
o resistor com a caracterstica v = Ri;
o indutor com a caracterstica v = Ldi/dt;
o capacitor com a caracterstica i = Cdv/dt.
Um modelo de dado dispositivo composto de um ou mais elementos de circuito.
Exemplo:
Dispositivo Elemento de circuito correspondente
bobina indutor
condensador capacitor
Um modelo resulta de aproximaes. Por isso podem existir diversos modelos para um mesmo dispositivo,
dependendo das aproximaes usadas. As aproximaes usadas dependem das aplicaes nas quais se deseja
empregar o dispositivo. Dispositivos para os quais isto fato estabelecido so, por exemplo, ampliadores
operacionais e transistores de todo tipo.
Por circuito, finalmente, entende-se a interconexo de elementos de circuito. Assim o circuito tambm um
modelo, no caso de um circuito fsico. Do ponto de vista de sistemas, entende-se um circuito como um
sistema e partes de circuitos como sub-circuitos ou subsistemas.
Quando interconectamos diversos elementos de circuito, temos um nem cada juno. Alm disso, terminais
que permanecem abertos tambm so ns.
elemento 1
elemento 21
2 3
FIGURA 1.1 Elementos de circuito, terminais e ns.
O que anlise de circuitos?
A Figura 1.2 ilustra o contexto no qual se insere a anlise de circuitos. Ela a ferramenta que, de forma
semelhante ao experimento, permite extrair informao quantitativa de um circuito. O experimento
realizado com o sistema fsico (circuito fsico ou aparelho). A anlise realizada com o circuito, que o
modelo do sistema fsico.
Aparelho Circuito
modelamento
medidasresultados
calculados
H concordncia?
anliseexperimento
FIGURA 1.2 Contexto da anlise de circuitos.
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
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Em anlise de circuitos, empregam-se o conhecimento matemtico e o de leis eltricas que constituem objeto
deste livro.
Observaes:
Em teoria de circuitos supe-se que os modelos de cada dispositivo sejam conhecidos.
Na prtica, modelos adequados geralmente existem.
Circuitos concentrados circuitos distribudos
Do ponto de vista de modelagem, importante diferenciar os circuitos concentrados dos circuitos
distribudos. Um circuito considerado concentrado quando suas dimenses fsicas permitem supor que os
sinais de interesse se propagam instantaneamente. Para c(velocidade de propagao) e f (maior frequncia
de interesse) definidos, temos isto como vlido, se para o maior caminho no circuito a seguinte condio for
verdadeira:
f
cd
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Definies:
Circuito conectado aquele no qual todo n pode ser alcanado a partir de qualquer outro por meio
de um caminho atravs dos elementos do circuito.
N de referncia qualquer n adotado por conveno para a medida de potenciais eltricos.
Lei de Kirchhoff das tenses
LKT (Lei de Kirchhoff das tenses)
Para todos os circuitos concentrados, para todas as escolhas de ns de referncia, para todos os
tempos te para todos os ns kejvale
)()()( tetetv jkjk =
onde )(tej o potencial do njno tempo t. Tem-se ainda
)t(v)t(v kjjk = .
j
k
n
+
-
...
...
vk-j
en= 0
+-
ej
ek
+
...
FIGURA 1.4 Diagrama para enunciado da LKT.
Outra formulao para a Lei de Kirchhoff das tenses, denominada formulao nodal, a seguinte: para
todososcircuitosconcentradosconectados,paratodasassequnciasdensfechadas(isto, que iniciam e
terminam no mesmo n), para todos os tempos t, a soma algbrica de todas as tenses n-a-n ao longo de
qualquer sequncia de ns escolhida igual a zero.
Lei de Kirchhoff das correntes
Definio
Uma superfcie fechada tipo balo receber o nome de superfcie gaussiana.
LKC (Lei de Kirchhoff das correntes)
Para todos os circuitos concentrados conectados, para todas as superfcies gaussianas S e todos
tempos t, a soma algbrica de todas as correntes deixando a superfcie Sno tempo t nula.
A formulao nodal para a Lei de Kirchhoff das correntes a seguinte: para todos os circuitos concentrados
conectados e todos tempos t, a soma algbrica de todas as correntes deixando qualquer n no tempo t nula.
Observaes:
LKT e LKC so encarados como postulados fundamentais.
LKT e LKC refletem propriedades da interconexo e no dos elementos de circuito.
LKT e LKC (se empregadas como enunciadas aqui) resultam em equaes algbricas homogneas
lineares com coeficientes reais de valor 0, 1 ou 1.
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
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Exemplo: Para ilustrar o equacionamento usando LKC e LKT ser usado o circuito representado no
diagrama esquemtico anotado da Figura 1.5.
i8(t)
S1
-
+
1
2
3
4
5
i2(t)
i5(t)
i6(t)
i11(t)i1(t)
i4(t)
i10(t)
i9(t)
i3(t)i7(t)
S2
FIGURA 1.5 Diagrama esquemtico anotado.
Equao LKC para S1: i3 i1 i2= 0
Equao LKC para S2: i11 i10 i7+ i4= 0
Equao LKT para a sequncia de ns 5 2 4 5: v5-2+ v2-4+ v4-5= 0
Do circuito ao grafo
Visando a uma mecanizao da aplicao das leis de Kirchhoff, associaremos a cada circuito um grafo
direcionado (que no ser, necessariamente, nico). O grafo direcionado uma representao grfica padro
para circuitos e obtida como descrito a seguir.
Um grafo definido por um conjunto de ns e um conjunto de ramos ligando estes ns. Se os ramos
receberem uma orientao (o que acontecer no nosso caso), o grafo chamado de grafo direcionado ou
dgrafo.
O dgrafo associado a um elemento de circuito com dois terminais o mostrado na Figura 1.6.
+
i1
-
1
2
v1= v1-2
1
2
1
2
1oui1
FIGURA 1.6 Elemento de circuito de dois terminais e dgrafo associado.
v1 a chamada de tenso de ramo e i1 chamada de corrente de ramo. Com as direes escolhidas, o produto
v1i1corresponde potncia entregue ao elemento de circuito atravs de seus terminais.
Para associar um grafo a um elemento de circuito com mais de dois terminais, considere-se o elemento de n
terminais da Figura 1.7.
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1
2 k
n
...
...
ik
i1
i2
in
FIGURA 1.7 Elemento de circuito de n terminais.
Como sabemos pela LKC que apenas n 1 correntes so independentes, pois
0)(
1
==
n
j
j ti ,
passamos a desconsiderar in(e a equao acima) e associamos ao elemento de circuito o grafo da Figura 1.8.
O n ntorna-se assim o n de referncia do elemento de circuito. Em vez de optar pelo n ncomo n de
referncia, poder-se-ia optar por qualquer outro n. O grafo resultante seria diferente, porm equivalente.
1
2n-1
n
...
n-11
2
FIGURA 1.8 Grafo associado a elemento de circuito de n terminais.
A potncia instantnea fornecida a um elemento de circuito atravs de seus nterminais vale:
)()()(
1
1
titvtp j
n
j
j
=
=
Exemplo: Ao ampliador operacional do circuito da Figura 1.5 pode-se associar um grafo como mostrado
abaixo. Neste caso, adotou-se o n 5 como n de referncia (no para o circuito, mas para o ampliador
operacional). Esta escolha no a nica possvel. Para outras escolhas, o grafo resultante ser diferente,
porm equivalente.
-
+
2
3 4
5
i11(t)
i4(t)
i10(t)
i7(t) 3
2
5
7
10
4
4
FIGURA 1.9 Grafo associado a um ampliador operacional.
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O grafo de um circuito obtido pela interconexo dos grafos de seus elementos de circuito.
Exemplo:Um grafo representativo do circuito da Figura 1.5 dado a seguir:
3
2
5
710
4
41
3
2
19
5
6
8
FIGURA 1.10 Grafo correspondente ao circuito da Figura 1.5.
O problema remanescente o procedimento (ainda em aberto) com os circuitos no-conectados. Circuitos
no-conectados podem ser conectados usando um ramo de conexo "artificial", desprovido de significado
fsico, pois por ele no passar corrente. O procedimento ilustrado na Figura 1.11.
1
2
1
3
4
2
1
2
1
3
4
2
3
1
2
3
1 2
FIGURA 1.11 Grafo desconectado (acima esquerda) e o equivalente conectado (acima direita) que
pode ser simplificado eliminando-se o n 4(ao meio).
Ao equacionar circuitos usando as leis de Kirchhoff, os seguintes lapsos podem ocorrer com facilidade:
pode-se omitir alguma equao importante;
podem-se obter equaes linearmente dependentes, isto , equaes em excesso.
Para ambos os casos, uma possvel soluo encontra-se num equacionamento sistemtico a partir do dgrafo
do circuito.
LKC e LKT usando grafos e notao matricial
Para exposio do assunto, considere-se para equacionamento usando LKC e LKT um circuito com o dgrafo
da Figura 1.12.
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1
2
4
5
21 6
3
4
3
FIGURA 1.12: Exemplo de dgrafo.
As equaes obtidas usando LKC so:
0:4noPara
0:3noPara
0:2noPara0:1noPara
654
531
432
621
=+
=++
=+=+
iii
iii
iiiiii
Por conveno do enunciado dado para a LKC, o coeficiente da corrente que sai de um n +1 na equao
referente quele n, 1 quando entra no n, e 0 nos demais casos.
As quatro equaes obtidas so linearmente dependentes, pois a soma de seus lados esquerdos resulta em 0.
Qualquer conjunto de trs dessas equaes, no entanto, um conjunto de equaes linearmente
independentes. Tanto o conjunto de quatro equaes quanto qualquer conjunto de trs equaes podem ser
escritas na forma matricial, conforme abaixo. Aqui optou-se por eliminar a equao do n 4 (escolhendo-o
assim como n de referncia).
0
11-1-000
010101-
0011-1-0
1-00011
4n
3n
2n
1n
6
5
4
3
2
1
==
iA
i
i
i
i
i
i
a 0
010101-
0011-1-0
1-00011
6
5
4
3
2
1
==
Ai
i
i
i
i
i
i
O vetor i o vetor das correntes de ramo. A matriz Aarecebe o nome de matriz de incidncia, pois descreve
os sentidos de incidncia dos ramos nos ns. A matrizA denominada matriz de incidncia reduzida.
Uma vez que cada ramo interliga to-somente dois ns, cada coluna da matriz de incidncia dever conterum 1 e um 1. Os demais elementos da coluna devero ser nulos.
As equaes obtidas usando LKT com o n de referncia 4 (isto , e4= 0) so:
16
35
24
323
212
311
:6ramooPara
:5ramooPara
:4ramooPara
:3ramooPara
:2ramooPara
:1ramooPara
ev
ev
ev
eev
eev
eev
=
=
=
+=
=
=
Tambm essas equaes podem ser colocadas na forma matricial:
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Mev
e
e
e
v
v
v
v
v
v
=
=
ou
001
100
010
110
011
101
3
2
1
6
5
4
3
2
1
O vetor v o vetor das tenses de ramo. O vetor e o vetor das tenses n-referncia. (No caso, e4no
consta da equao, pois o n 4 o n de referncia.) Observa-se queM=AT.
Propriedades gerais de circuitos concentrados
Uma matriz de incidncia reduzida de um circuito conectado sempre possuir pleno posto de linhas,1como
ser enunciado e demonstrado no teorema a seguir:
Teorema
Para qualquer dgrafo com nns, as equaes obtidas pela aplicao da LKC em sua formulao
nodal para n-1 ns quaisquer formam um conjunto de equaes linearmente independentes
Demonstrao
Denotemos a equao para o njda seguinte formafj(i1, ..., in) = 0. Suponha (por absurdo) que kn-1
equaes das nso linearmente dependentes. Portanto existem a1, ..., akno todos nulos tais que:
nnj
k
j
j iiiifa ,...,devaloresostodospara0),...,( 111
==
Sem perda de generalidade pode-se assumir que todos os aj so no nulos. Considerem-se agora
dois conjuntos disjuntos de ns: os kns das equaes linearmente dependentes, e os demais. Como
o grafo conectado, existe pelo menos um ramo ligando um conjunto ao outro. A(s) corrente(s)
deste(s) ramo(s) aparece(m) uma nica vez no somatrio acima e, portanto, no pode(m) estar sendo
cancelada(s), ou seja, as equaes no podem ser linearmente dependentes, o que uma
contradio.
Uma pergunta que resta : por que com a n-sima equao o conjunto torna-se um conjunto de equaes
linearmente dependentes? Isso acontece porque cada coluna da matriz de incidnciaAapossui um nico 1 e um
nico 1, o que significa que, se somarmos todas as equaes, todos os termos estaro sendo cancelados.
Teorema de Tellegen
Seja dado um dgrafo de um circuito concentrado com bramos, vetor ide correntes de ramo e vetor
vde tenses de ramos. Ento vTi= 0.
Demonstrao
Da LKT v= ATe, onde A a matriz de incidncia reduzida e eo vetor de tenses n-referncia.
Portanto, vTi= e
TAi= 0, usando-se LKC.
Algumas interpretaes para o teorema de Tellegen
a) O produto vTido Teorema de Tellegen pode ser reescrito como
01
T==
=
)t(i)t(viv j
b
jj
1Uma matrizMpossui pleno posto de linhas se a equaoMTx= 0 admitex= 0 como nica soluo.
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Como visto anteriormente, vk(t)ik(t) a taxa de fornecimento de energia ao ramo kpelo resto do circuito no
tempo t. Assim pode-se concluir pelo teorema de Tellegen que a conservao de energia em circuitos
concentrados uma consequncia das leis de Kirchhoff.
b) Tanto o vetor i (soluo das equaes de LKC) como o vetor v (soluo das equaes de LKT) so
elementos do
b
. O primeiro vetor existe no subespao das solues de LKC, de dimenso b (n 1). Osegundo vetor existe no subespao das solues de LKT, de dimenso (n 1). O teorema de Tellegen nos
informa que estes dois subespaos so ortogonais.
Exerccios propostos
Exerccio 1:No circuito da Figura 1.13, considere
va-N'= 100 [V], vb-N'= 100 [V],
vc-N'= 50 [V], va-N= 16,7 [V].
a) Encontre os valores das tenses vb-Ne
vc-N.
b) Trace o dgrafo do circuito e repita oitem (a) usando o dgrafo.
+-
+-
+-
N
a
b
c
N'
FIGURA 1.13
Exerccio 2:a) Trace o dgrafo do circuito da Figura 1.5 usando o n 4 como n de referncia do ampliador
operacional. Determine a matriz de incidncia Aa e determine seu posto, isto , o nmero de linhas
linearmente independentes.
b) Usando agora o n 5 como n de referncia do ampliador operacional, escreva as equaes das leis de
Kirchhoff usando a matriz de incidncia reduzida.
Exerccio 3:
a) No circuito da Figura 1.14, d nome aos ns e ramos. Aseguir, determine o dgrafo do circuito e a matriz de incidncia
correspondente.
b) Suprima uma das linhas da matriz de incidncia e verifique
que as linhas ainda so linearmente dependentes. Explique.
c) Conecte o dgrafo obtido no item (a) e determine a matriz de
incidncia reduzida do novo dgrafo, que agora um dgrafo
conectado. Verifique que as linhas desta matriz so
linearmente independentes.
d) Usando a matriz de incidncia reduzida do item anterior,
escreva as equaes que resultam das leis de Kirchhoff.
+-
+-
FIGURA 1.14
Exerccio 4:a) Reescreva as equaes das leis de Kirchhoff para o grafo da Figura 1.12.
b) Uma soluo do sistema de equaes fica determinada com a escolha das trs tenses de ramo e de um
conjunto de 3 valores de correntes de ramo. Escolha dois conjuntos diferentes de valores para trs
correntes e a trs tenses.
c) Para cada uma de suas duas escolhas, calcule as tenses de ramo e as correntes de ramo remanescentes.
d) De posse dos valores do item (c), verifique o teorema de Tellegen, isto , verifique que de fato para
ambos os conjuntos de solues
01
T==
=
)t(i)t(viv j
b
jj .
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
2. Resistores com dois terminais
Obtidas as equaes das leis de Kirchhoff, restam graus de liberdade (ver exerccio 4 do Captulo 1) e porisso importante considerar as relaes entre tenses e correntes de ramos do circuito. Essas relaes so
definidas pelo comportamento dos elementos de circuito. A primeira classe de elementos de circuito a ser
estudada a dos resistores.
Definio:
Resistor um elemento de circuito definido completamente pela relao entre os valores
instantneos de corrente i(t) e tenso v(t), isto , por sua caracterstica tenso corrente (ou corrente
tenso).
Resistores de dois terminais
No caso do resistor linear de dois terminais existe proporcionalidade entre corrente e tenso do ramo
correspondente no grafo do circuito, isto , vale a lei de Ohm:
)()(ou)()( tGvtitRitv ==
Assim R e G relacionam-se por R = 1/G. O valor R denominado resistncia (medida em Ohm, [] =
[V/A]). O valor G denominado condutncia(medida em Siemens, [S] = [A/V]). Curto circuitos (R= 0) e
circuitos abertos (G= 0) so casos-limite do resistor linear.
Mas, de forma geral, a caracterstica v(t)i(t) (ou i(t)v(t)) pode ser no-linear. No caso geral, tem-se:
{ }0),(:),( == ivfivR
Como visto anteriormente, para o caso linearfassume a forma particular
Rivivf =),(
ouGviivf =),(
~
A caracterstica resistiva f(v,i) denominada a caracterstica dual de f(v,i). Uma caracterstica f(v,i)
chamada caracterstica bilateral quando f(v,i) = f(-v,-i). A bilateralidade corresponde simetria da
caracterstica em relao origem. Resistores lineares so bilaterais.
A simbologia adotada para resistores neste trabalho indicada na Tabela 2.1.
Tabela 2.1 Simbologia para resistores de dois terminais.
Resistor linear
Rou Gi
+ -v
Resistor no-linear
f(v,i)i
+ -v
Definies:
Resistores controlados por corrente so aqueles que tm o valor de tenso entre seus terminaisunivocamente determinado para dado valor de corrente.
Resistores controlados por tensoso aqueles que tm o valor de corrente atravs de seus terminaisunivocamente determinado para dado valor de tenso.
- 11 -
7/22/2019 Anlise de Circuitos - Um enfoque em sistemas
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
Muitas vezes um resistor tanto um resistor controlado por tenso quanto um resistor controlado por
corrente. Este o caso dos resistores lineares.
Entre resistores lineares e no-lineares existem algumas diferenas marcantes de comportamento.
Resistores no-lineares produzem harmnicas (superiores). Para resistores no-lineares, muitas vezes aproximaes lineares por partes podem ser usadas.
Tabela 2.2 Comparao de resistores lineares e no-lineares.
Resistores lineares Resistores no-lineares
)()()( 2121 vivivvi +=+ )()()( 2121 vivivvi ++
)()( vkikvi = )()( vkikvi
Exemplo:Um resistor no-linear com a caracterstica corrente tenso da Figura 2.1 produz uma forma de
onda de corrente no-senoidal, quando a tenso aplicada senoidal. A deformao da forma de onda decorrente produo de harmnicas pelo resistor no-linear.
v
i
0
forma de onda no-senoidal
de corrente
forma de onda senoidal detenso
FIGURA 2.1 Produo de harmnicas por um resistor no-linear.
Potncia, passividade e modelamento
Um resistor denominado passivo se apenas dissipa energia, isto , o produto v(t)i(t) para o ramo
correspondente do grafo do circuito positivo. Um resistor no-passivo chamado de ativo. Neste caso, o
produto v(t)i(t) para o ramo correspondente negativo
Exemplos:
Um resistor linear passivo seR0. Um resistor no-linear ativo se sua
caracterstica v(t)i(t) ou alternativamente
i(t)v(t) estiver contida inteiramente no
segundo e quarto quadrantes.i
v
FIGURA 2.2 Caracterstica v(t)i(t) de um
resistor ativo.
- 12 -
7/22/2019 Anlise de Circuitos - Um enfoque em sistemas
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
Diodo
O diodo de juno um dispositivo bastante comum em circuitos. Frequentemente pode ser aproximado por
um diodo ideal. As caractersticas do diodo ideal e um modelo exponencial para o diodo de juno so dados
na Tabela 2.3.
Tabela 2.3 Smbolos e caractersticas de diodos.
Smbolo Caracterstica Expresso analtica
Diodoideal
i+
-
v
0 v
i
{ }0p/0e0p/0,0:),( >=
7/22/2019 Anlise de Circuitos - Um enfoque em sistemas
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
{ }0),,(:),,( == tivftivR
Observao:
As variveis tenso e corrente para qualquer resistor so, de forma geral, variantes no tempo. Adefinio acima para variante no temporefere-se relao entre tenso e corrente de ramo.
Exemplos: Dois exemplos de resistores variantes no tempo so potencimetros e chaves, cujos smbolos so
dados abaixo.
Potencimetros:
R(t)i(t)
+ -v(t)
Chaves:
i(t)
+ -v(t)
FIGURA 2.4 Simbologia para potencimetros e chaves.
Fontes no controladas
Fontes de tenso e corrente com valores fixos ou dependentes apenas da varivel tempo so chamadas de
fontes no controladas (ou independentes).
Uma fonte de tenso no controlada um elemento de circuito que mantm uma tenso especificada vf(t)entre seus terminais, no importando a corrente por ela.
Uma fonte de corrente no controlada um elemento de circuito que mantm uma corrente especificadaif(t) entrando e saindo de um circuito qualquer ao qual est conectado. O valor de corrente independe da
tenso entre os terminais da fonte.
Tanto a fonte de tenso quanto a fonte de corrente satisfazem a definio dada para resistores. Os smbolosadotados para fontes de tenso e corrente independentes encontram-se na Figura 2.5.
i
+-
vf(t) if(t)
+
-
v
FIGURA 2.5 Smbolos para fontes no controladas de tenso e corrente.
Fontes de tenso invariantes no tempo so tambm frequentemente representadas pelo smbolo da Figura 2.6.
+
-
v
i(t)
FIGURA 2.6 Smbolo para fontes de tenso constantes.
O elemento de circuitofonte de tenso um elemento idealizado. A tenso entre os terminais de uma fonte
de tenso real varia quando ela conectada a um circuito. Esse efeito de carregamento modelado por uma
resistncia de sada, conforme mostrado na Figura 2.7. Para a fonte ideal R = 0.
- 13 -- 14 -
7/22/2019 Anlise de Circuitos - Um enfoque em sistemas
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
E
R +
-
0 i
v
E
E/R
i
v Carga
FIGURA 2.7 Fonte de tenso com resistor modelando o efeito de carregamento: diagrama de circuito e
caracterstica tenso corrente.
A fonte de corrente tambm um elemento idealizado. Uma fonte de corrente real pode ser modelada por
uma fonte ideal em paralelo com um resistor linear conforme mostrado na figura 2.8.
if(t)
+
-
R
i
v Carga
FIGURA 2.8 Fonte de corrente com resistor modelando o efeito de carregamento.
Conexes em srie, em paralelo e srie-paralelo
Conexes de resistores em srie, em paralelo e srie-paralelo podem ser vistas como elementos de circuitos
resistivos.
Na interconexo srie de dois ou mais resistores, as caractersticas de tenso corrente somadas ponto-a-
ponto resultam na caractersticas de tenso corrente da interconexo. O caso da interconexo srie de dois
resistores no-lineares ilustrado na Figura 2.9.
i
+ -v1
i
+ -v2
v
)()()( 21 iviviv +=
FIGURA 2.9 Interconexo srie de dois resistores no-lineares.
Na interconexo paralelo de dois ou mais resistores, as caractersticas de corrente tenso somadas ponto a
ponto resultam na caractersticas de corrente tenso da interconexo. A interconexo paralelo de dois
resistores no-lineares ilustrada na Figura 2.10.
i1
+ -i
i2
+ -v
)()()( 21 vivivi +=
FIGURA 2.10 Interconexo paralelo de dois resistores no-lineares.
- 15 -
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
No caso da conexo srie de nresistores lineares com resistnciasR1, ..., Rn, tem-se:
iRiRiviv
n
j
j
n
j
j
n
j
j
===
=== 111
)()(
Ou seja, o conjunto possui uma resistncia igual soma das resistncias.
No caso da conexo paralelo de m resistores lineares com condutncias G1, ..., Gm, tem-se:
vGvGvivi
m
j
j
m
j
j
m
j
j
===
=== 111
)()(
Ou seja, o conjunto possui uma condutncia igual soma das condutncias.
Na determinao da resistncia ou condutncia equivalente de interconexes srie-paralelo de resistores
lineares, procede-se por partes
Observao:
Nem toda interconexo de elementos de circuitos faz sentido. A conexo em srie de fontes de
corrente com correntes diferentes ou a conexo em paralelo de fontes de tenso com tenses
diferentes so dois exemplos de interconexes sem sentido fsico.
Exemplo: Na Figura 2.11 ilustrada a conexo srie de trs resistores e a obteno da caracterstica
resultante para a interconexo. Como se trata de uma interconexo srie, a caracterstica resultante obtida
somando-se as caractersticas de cada resistor da interconexo.
R> 0
0 i
vdiodo
E
i
+
v
-
0 i
vresistor linear
R> 0
0 i
vfonte
E
0 i
v
R> 0
E
+
+
FIGURA 2.11 Exemplo de interconexo srie e caracterstica resultante.
- 16 -
7/22/2019 Anlise de Circuitos - Um enfoque em sistemas
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
Exemplos:
1. Um divisor de tenso um subcircuito com dois resistores lineares como o mostrado na figura 2.12,que pode ser usado para criar uma tenso v2 proporcional a uma tenso disponvel v. Neste
circuito iRiRvvv 2121 +=+= e portanto
vRR
Rv
21
22
+= .
R1
R2
++
-
v v2
-
+
v1 -
i i
FIGURA 2.12 Divisor de tenso.
2.
Um divisor de corrente um subcircuito com dois resistores lineares como o mostrado na figura2.13, que pode ser usado para criar uma corrente i2proporcional a uma corrente disponvel i. Neste
circuito vGvGiii 2121 +=+= e portanto
iGG
Gi
21
22
+= .
G1 G2
+
-
v
i2i1
i
FIGURA 2.13 Divisor de corrente.
Circuitos equivalentes
Na seo anterior, ficou claro que uma interconexo de resistores em srie ou em paralelo pode ser
substituda por um resistor com caracterstica derivada daquelas dos elementos da interconexo. Diz-se
nestes casos que os circuitos correspondentes (com os vrios ou com um nico resistor resultante da
interconexo) so equivalentes. De forma geral, circuitos equivalentesso aqueles que possuem as mesmas
propriedades eltricas nas portas de acesso. Uma porta de acesso constituda de um par de pontos de acesso
ou terminais.
Exemplo: O par mais famoso de circuitos equivalentes e sua caracterstica tenso
corrente so dados naFigura 2.14.
i
+-
vf(t)vf(t)/R
+
-
v
0 i
v
Vf
R
R
i
+
-
v
-Vf/R
FIGURA 2.14 Circuitos equivalentes de Norton (esquerda) e Thvenin (centro), com caracterstica tpicapara vf(t) = Vfconstante.
- 17 -
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
Os parmetros R e vf(t) podem ser obtidos observando que eles se relacionam com a corrente de curto-
circuito tenso em aberto do circuito. vf(t) a prpria tenso em aberto, e R a razo entre essa tenso em
aberto e a corrente de curto-circuito.
A Figura 2.15 apresenta um circuito exemplo e seus equivalentes de Thvenin e Norton cujos parmetros
podem ser obtidos da forma descrita acima.
1
1
+-
10 sen t
1/2
+-
5 sen t 1/2 10 sen t
FIGURA 2.15 Circuito exemplo (esquerda) com seus equivalentes de Norton (direita) e Thvenin (centro).
Resistores cncavos e convexos
Nesta seo ser discutido o uso sistemtico da aproximao linear por partes para tratar caractersticas deresistores no-lineares. Tais aproximaes podem ser muito teis, pois nas regies lineares o tratamento do
circuito bastante simplificado. Duas definies sero empregadas neste estudo.
Definio 1Um resistor cncavo um elemento de circuito de dois terminais cuja caracterstica corrente
tenso e smbolo so definidos na Figura 2.16.
[ ])(||2
1)( EvEvGvi += i
+-
v
(G, E)
FIGURA 2.16 Caracterstica e smbolo de um resistor cncavo.
Definio 2Um resistor convexo um elemento de circuito de dois terminais cuja caracterstica tenso
corrente e smbolo so definidos na Figura 2.17.
[ ])(||2
1)( IiIiRiv += i+-
v
(R, I)
FIGURA 2.17 Caracterstica e smbolo de um resistor convexo.
Para G> 0 um resistor cncavo pode ser realizado pela conexo srie de um resistor linear, uma fonte de
tenso constante e um diodo ideal como mostrado na Figura 2.18.
R > 0
E
i+
v
-0
i
v
G=1/R
E
+
+
FIGURA 2.18 Realizao de um resistor cncavo (esquerda) e esboo de sua caracterstica (direita).
- 18 -
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
ParaR> 0 um resistor convexo pode ser realizado pela conexo paralelo de um resistor linear, uma fonte de
corrente constante e um diodo ideal como mostrado na Figura 2.19.
0 v
i
G=1/R
I
i
I
+
-
vR
FIGURA 2.19 Realizao de um resistor convexo (esquerda) e esboo de sua caracterstica (direita).
Aproximaes lineares por partes
Na aproximao de caractersticas no-lineares quaisquer por caractersticas lineares por partes, no se
procura uma linearizao local da caracterstica, mas sim uma aproximao global por uma coleo de
segmentos de reta e semirretas. No caso de um elemento de circuito controlado por tenso, uma caracterstica
linear por partes sempre poder ser representada por:
=
++=
n
j
jj Evbvaavi
1
10 ||)( (2.1)
onde E1< ... < Enso os pontos de quebra. Dados o valor da corrente i(v = 0), e a inclinao do j-simo
segmento de reta (ou semirreta) mj, os valores de a0, a1e dos bjso calculados da seguinte forma:
=
==+=
n
j
jjjjjn Ebiammbmma
1
0101 ||)0()(2
1)(
2
1
Uma caracterstica linear por partes controlada por tenso do tipo (2.1) pode ser sintetizada (isto , criada)
por uma fonte de corrente, um resistor linear e resistores cncavos em paralelo.
Com caractersticas no-lineares controladas por corrente procede-se analogamente. A sntese nesse casoacontecer usando fonte de tenso, resistor linear e resistores convexos conectados em srie.
Exemplo: Considere uma caracterstica de diodo tnel a ser aproximada usando segmentos de reta e
semirretas. A caracterstica com uma aproximao possvel superposta mostrada na Figura 2.20 juntamente
com uma decomposio que considera o uso de um resistor linear e dois resistores cncavos, um deles com
parmetro G< 0.
0 v
i
E1 E2
0 v
i
E1 E2
G0 G2
G1
FIGURA 2.20 Aproximao linear por partes de uma caracterstica de diodo tnel e sua decomposio.
- 19 -
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
A expresso para a caracterstica aproximada vale:
|Ev|b|Ev|bvaa)v(i 221110 +++= (2.2)
O circuito correspondente mostrado na Figura 2.21.
i
I=0
+
-
v G0 (G1, E1) (G2, E2)
i0 i2i1
FIGURA 2.21 Circuito que aproxima a caracterstica de um diodo tnel.
Para a corrente dos ramos, tem-se:
[ ]
[ ]
210
2222
1111
00
)(||2
1
)(||2
1
iiii
EvEvGi
EvEvGi
vGi
++=
+=
+=
=
Da comparao da ltima expresso acima com a expresso 2.2, obtm-se a correspondncia entre os
coeficientes a0, a1, b1, b2e os parmetros G0, G1, G2.
2101
22110
2
1
2
1
)(2
1
GGGa
EGEGa
++=
+=
22
11
2
1
2
1
Gb
Gb
=
=
Aqui h 4 equaes com apenas 3 graus de liberdade, isto , apenas 3 das variveis podem ser escolhidas
independentemente. De fato, de consideraes anteriores tem-se que |||| 22110 EbEba += .
Anlise DC
A anlise DC consiste na obteno de solues (tenses e correntes) para circuitos invariantes no tempo com
fontes constantes (ou DC, do ingls direct current). Tais solues so chamadas pontos de operao. Para
discutir as problemticas, considerem-se dois circuitos resistivos com fontes constantes, conectados por suas
portas de acesso, conforme mostrado na Figura 2.22.
N1
i1+
-
v1 N2
i2+
-
v2
1
2
FIGURA 2.22 Dois circuitos resistivos de uma porta conectados entre si.
- 20 -
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
Sejam as caractersticas dos dois circuitos dadas por f1(v1,i1) = 0 e f2(v2,i2) = 0. As equaes das leis de
Kirchhoff so:
iii
vvv
LKC
LKT
==
==
21
21
Por isso, as solues (isto , os pontos de operao) so determinadas a partir do sistema de equaes
f1(v,-i) = 0
f2(v,i) = 0
Essas duas equaes combinam as caractersticas dos dois circuitos e as equaes obtidas pelas leis de
Kirchhoff, equaes estas que traduzem as propriedades de interconexo dos dois circuitos. Para a soluo
do sistema de duas equaes, podem-se usar mtodos:
analticos: quando expresses analticas para f1 e f2forem conhecidas e uma soluo analtica forvivel;
grficos: quando as caractersticasf1ef2estiverem disponveis na forma de grficos; ou numricos: usando algoritmos numricos de soluo de equaes transcendentais (no caso geral de
circuitos no-lineares).
Na anlise DC podero ocorrer 3 situaes:
existncia de soluo nica (exemplo: fonte de tenso alimentando um resistor linear); existncia de solues mltiplas (ver exemplo abaixo); soluo inexistente (exemplo: fonte de corrente alimentando diodo ideal polarizado inversamente).
Exemplo: Determinar as solues (pontos de operao) para o circuito da Figura 2.23a.
R1
i2=4v22
E1
i1 +
-
v1= v = v2
i2
(a)
211
21
21
222
1111
4
4
vi
EiRv
iii
vvv
vi
EiRv
=
+=
==
==
=
+=
(b)
0 v
i
E1
E1/R1
linha de
carga
(c)
FIGURA 2.23 (a) Circuito resistivo no-linear; (b) equacionamento da anlise DC; (c) soluo grfica da
anlise DC.
Pelo procedimento grfico de soluo ilustrado na Figura 2.23c, constata-se que existem dois pontos de
operao possveis para este circuito. O procedimento grfico equivalente soluo numrica das equaes
dadas na Figura 2.23b. No caso de caractersticas simples ou no-analticas, o procedimento grfico pode ser
vantajoso.
Anlise de pequenos sinais
Na anlise de pequenos sinais, parte-se da premissa de que, alm das fontes invariantes no tempo, existem
fontes contribuindo com sinais de corrente ou tenso de pequena amplitude. Por pequena amplitude
entende-se uma amplitude tal que os valores dos pontos de operao do circuito no sofram uma alteraosignificativa. O significado quantitativo desta hiptese varia de aplicao para aplicao, pois o que pode ser
- 21 -
7/22/2019 Anlise de Circuitos - Um enfoque em sistemas
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
uma amplitude pequena num contexto, pode no s-lo em outro. A anlise de pequenos sinais s vezes
tambm recebe o nome de anlise AC (do ingls alternated current).
Partindo da hiptese de que os sinais so de pequena amplitude, busca-se equacionar separadamente o ponto
de operao (contribuio das fontes constantes), usando anlise DC, e a contribuio do sinal, usando a
anlise de pequenos sinais. Para isto procede-se em trs passos: determina-se o ponto de operao usando o modelo no-linear; lineariza-se o circuito em torno do ponto de operao; usa-se o circuito linearizado para determinar a contribuio de sinal.
O procedimento ilustrado no exemplo a seguir.
Exemplo:Determinar v(t) em funo de vs(t) para o circuito da Figura 2.24.
R
E
+
-
v
i
+-
vs(t)
FIGURA 2.24 Circuito no-linear com diodo tnel.
As duas equaes que definem as variveis v(t) e i(t) do circuito so:
[ ])()(
)()()(
tviti
EtRitvtv s
=
+=
Em termos grficos a situao representada na Figura 2.25.
0 v
i
E
E/R
vs
(IQ,VQ)
)v(ii =
FIGURA 2.25 Determinao do ponto de operao do circuito da Figura 2.24.
O ponto de operao Q= (IQ, VQ) obtido fazendo-se vs(t) = 0 e resolvendo-se
ViI
ERIV
=
+=
onde i a caracterstica conhecida do diodo tnel usado no circuito.
Tenso v(t) e corrente i(t) podem ser entendidas como variveis que recebem duas contribuies:
uma do ponto de operao (valor quiescente, esttico), e uma do sinal.
Dessa forma
- 22 -
7/22/2019 Anlise de Circuitos - Um enfoque em sistemas
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
Q
Q
Ititi
Vtvtv
+=
+=
)(~
)(
)(~)(
onde )t(v~),t(i~
so as contribuies das fontes de pequenos sinais s correntes e tenses de ramos. A
movimentao em torno de Q ento descrita por:
[ ] [ ]
)(~)(~
)(~
)()(~
)(~)(
~)(
~)()(~
s
QsQ
VtvitiI
tiRtvtv
VtvitiI
EtiRRItvVtv
+=+
=
+=+
+=+
Caso )(~ tv seja pequeno, ento a seguinte aproximao de primeira ordem razovel:
[ ] [ ] )(~)(
)(~)(~
tvdv
vidViVtvitiI
QVv
QQQ
=
++=+
ou seja
)(~)()(~)(
)(~
)(~
)()(~
tvVGtvdv
vidti
tiRtvtv
Q
Vv
s
Q
=
=
=
Este equacionamento corresponde ao equacionamento de um assim chamado circuito de pequenos sinais,
que para este exemplo mostrado na Figura 2.25. A quantidade G(VQ) denominada condutncia de
pequenos sinais e funo do ponto de operao.
R
G(VQ)
+
-
+-
vs(t)
)(~
ti
)(~ tv
FIGURA 2.26 Circuito de pequenos sinais para o circuito da Figura 2.24.
A soluo da anlise de pequenos sinais contempla apenas as variaes em torno do ponto de operao e
ser:
)()(1
)(
)(~
)()(1
1)(~
tvVRG
VG
ti
tvVRG
tv
sQ
Q
sQ
+=
+=
Ganho
No exemplo anterior, a soluo para a tenso foi:
)()(1
1)(~ tv
VRGtv s
Q+= ou
)(1
1
)(
)(~
Qs VRGtv
tv
+=
A quantidade )1(1 RG+ corresponde a um ganho de tenso de sinal, que pode ser elevado, para valores
adequados negativos da condutncia de pequenos sinais G.
- 23 -
7/22/2019 Anlise de Circuitos - Um enfoque em sistemas
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
Pode-se pensar em termos de ganho tambm considerando a varivel potncia. Se definirmos a potncia de
sinal como o produto da corrente e tenso obtidos na anlise de pequenos sinais, tem-se, para o caso do
exemplo acima, o seguinte valor para o ganho de potncia de sinal
RGi~v
i~
v~
s +
=
1
1,
que neste caso coincide com o ganho de tenso. Via de regra, no entanto, os valores para o ganho de
potncia e de tenso sero diferentes.
Caractersticas de transferncia
Por caracterstica de transferncia entende-se a caracterstica que relaciona duas variveis de interesse, uma
delas considerada varivel de entrada (ou determinante) e outra varivel de sada (ou determinada pela
escolha da entrada). Quando se tratar de circuitos resistivos, as caractersticas de transferncia sempre sero
estticas e podero ser expressas usando equaes algbricas ou na forma grfica como no exemplo a seguir.
Exemplo: A caracterstica de transferncia de vi(t) para vo(t) do circuito retificador da Figura 2.27 pode ser
determinada a partir das caractersticas de cada elemento de circuito.
R
+
-
vi(t) vo(t)
-
+
FIGURA 2.27 Circuito retificador.
A caracterstica de transferncia de vi(t) para vo(t) do circuito da Figura 2.27 dada na Figura 2.28.
vi
vo
0
FIGURA 2.28 Caracterstica de transferncia do circuito retificador da Figura 2.27.
Exerccios propostos
Exerccio 1:
Suponha que um resistor no-linear controlado por tenso tenha a seguinte caracterstica:
i(t)= v(t)+v2(t)+v
3(t).
Determine i(t) para v(t) = cos(t). Quais frequncias esto presentes no sinal i(t) alm da harmnica
fundamental ?
Exerccio 2:
Determine as caractersticas i vdos circuitos da Figura 2.29.
- 24 -
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
2 k
5 mA
4 k
i
+
-
v
2 k
5 mA
4 k
i
+
-
v
2 k 4 k
i
+
-
v
(a) (b) (c)
(d) (e)
FIGURA 2.29
Exerccio 3:
Os circuitos da Figura 2.29(a)-(b) so conectados em paralelo. Determine a caracterstica corrente tenso
da interconexo e determine um circuito equivalente para o conjunto, isto , um circuito mais simples com o
mesmo comportamento corrente tenso.
Exerccio 4:
Determine a caracterstica i vdo circuito da Figura 2.30. Apresente um esboo grfico da caracterstica
resultante.
2 k
5 mA
i
+
-
v
(-3.5 k, 10 mA)
(2 k, 20 mA)
FIGURA 2.30
Exerccio 5:
Trace o grafo orientado correspondente ao circuito da Figura 2.31. Determine a matriz de incidncia e a
matriz de incidncia reduzida. Determine um conjunto de equaes (suficientemente determinado) que
permita calcular todas as correntes de ramo em funo dosRi, Ij, EeI.
2 k 4 k
5 V
i+
-
v
2 k
5 V
4 k
i
+
-
v
- 25 -
7/22/2019 Anlise de Circuitos - Um enfoque em sistemas
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
R2R1
IE
(Rb, Ib)
(Ra, Ia)
FIGURA 2.31
Exerccio 6:
a) Quais os pontos de operao (v, i) do circuito da Figura 2.32?b) Determine o circuito equivalente de pequenos sinais em cada um dos pontos de operao.
2 k500
5 mA20 V
i
+
-
v
(-3.5 k, 10 mA)
(2 k, 20 mA)
+-
vs(t)
FIGURA 2.32
Exerccio 7:
Faa um balano de potncia completo para o circuito do exerccio 6, explicando para cada ponto de operao
quais os elementos de circuito que dissipam potncia e quais os elementos que fornecem potncia no
circuito. Por balano de potncia entende-se o clculo da potncia dissipada ou fornecida por elemento de circuito
e a verificao final de que a soma das potncias fornecidas igual s dissipadas.
Exerccio 8:
Qual a caracterstica de transferncia de vi(t) para vo(t) do circuito da Figura 2.33?
50 10
+
-
vi(t) vo(t)
-
+
FIGURA 2.33
Exerccio 9:
Determine todas as correntes de ramo e tenses nodais dos circuitos da Figura 2.34.
- 26 -
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
2 2
1
10 V
+
-
2 2
1
+-
10 sen t
R1
R4 R5
R6
R3
R2
i7
FIGURA 2.34
Exerccio 10:
Ache os equivalentes de Norton e Thvenin do circuito da figura 2.35, considerando todos os resistores
iguais a 1 [].
v1 [mA]
i+
-
FIGURA 2.35
- 27 -
7/22/2019 Anlise de Circuitos - Um enfoque em sistemas
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
- 28 -
3. Resistores com mltiplos terminais
Neste captulo, o conceito de resistor estendido a certos elementos de circuito com mais de dois terminais.De forma geral, considerar-se- um resistor qualquer elemento de circuito cujo comportamento seja descritopor relaes algbricas sem o uso de equaes a diferena ou equaes diferenciais. Sero apresentadosalguns exemplos de relevncia para a engenharia eletrnica.
Resistores com mltiplos terminais
Um elemento de trs terminais ou com duas portas de acesso1(isto , dois pares de pontos de acesso) serchamado um resistor2se tenses e correntes satisfizerem a relao:
{ }0e0 21212212112121 === )i,i,v,v(f)i,i,v,v(f:)i,i,v,v(R
Seu comportamento est completamente definido pela relao entre os valores instantneos de corrente etenso, satisfazendo assim tambm a definio de resistor dada no incio do Captulo 2. Um resistor genricocom duas portas de acesso e trs terminais encontra-se representado na Figura 3.1. O par de ns 1-3 e 2-3constituem as duas portas de acesso.
+
-
i1
v1
i2
+
v2
2
3
1
FIGURA 3.1 Resistor genrico de trs terminais.
Um resistor genrico com duas portas de acesso e quatro terminais encontra-se representado na Figura 3.2.Nesse caso, as portas de acesso so formados pelos pares de ns 1-2 e 3-4. Ao contrrio do caso anterior(resistor de trs terminais), as portas de acesso no tm um terminal em comum.
i1+
-
v1
1
2
i2+
-
v2
3
4
FIGURA 3.2 Resistor genrico de quatro terminais.
Exemplo:Um resistor de trs terminais constitudo por um conjunto interligado de trs resistores lineares dedois terminais encontra-se esquematizado no interior do retngulo pontilhado da Figura 3.3.
1Uma porta corresponde a um par de pontos de acesso. Quando um elemento possui mais de uma porta,
portas distintas podem compartilhar um dos pontos de acesso.2invariante no tempo.
7/22/2019 Anlise de Circuitos - Um enfoque em sistemas
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
- 29 -
23
4
i3
R3
R2R1 i2
is2
+
-
v2
i1
+
-
v1
is1
1
FIGURA 3.3 Um resistor linear de quatro terminais.
A relao que descreve o resistor da Figura 3.3 pode ser deduzida usando as leis de Kirchhoff e a definiodos resistores lineares. Tal deduo fica proposta como exerccio. O resultado ser:
.2
1
323
331
2
1
+
+==
=
i
i
RRR
RRRRi
v
vv
A representao acima uma representao controlada por corrente. Uma representao controlada portenso tem a forma i = Gv, e neste exemplo tal representao existe e G = R-1.
Representaes possveis
Para resistores com duas portas, existem diversas representaes possveis. Elas so apresentadas na Tabela3.1.
Tabela 3.1 Representaes para resistores com duas portas
Nome variveis independentes variveis dependentes expresso
controlada por corrente i1, i
2 v
1, v
2 v = Ri
controlada por tenso v1, v2 i1, i2 i = Gv
Transmisso 1 v2, i2 v1, i1
=
2
2
1
1
i
vT
i
v
Transmisso 2 v1, i1 v2, i2
=
1
1
2
2
i
vT
i
v
hbrida 1 i1, v2 v1, i2
=
2
1
2
1
v
iH
i
v
hbrida 2 v1, i2 i1, v2
=
2
1
2
1
i
vH
v
i
Os elementos da matrizRpodem ser interpretados como indicado a seguir:
=
2221
1211
rr
rrR
r11: resistncia da porta 1 quando i2= 0; r21: resistncia de transferncia quando i2= 0; r12: resistncia de transferncia reversa quando i1= 0; r22: resistncia da porta 2 quando i1= 0.
7/22/2019 Anlise de Circuitos - Um enfoque em sistemas
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
- 30 -
Para os elementos das matrizes G, H, H,T e Texistem interpretaes semelhantes.
As representaes da Tabela 3.1 so especialmente teis quando os elementos das matrizes R,G, H, H,T eTforem constantes, o que acontecer para resistores lineares.
Alguns elementos de circuito resistivos comuns de duas portas
Fontes controladas
Fontes controladas so elementos de circuito idealizados muito teis no modelamento de dispositivos reais,em especial os ativos, tais como ampliadores operacionais e transistores. Nas Figuras 3.4 a 3.7, encontram-sediagramas de definio e representaes para fontes controladas lineares. muito til trabalhar tambm comfontes controladas no-lineares. Para isso basta uma pequena extenso das definies, substituindo asexpresses lineares das variveis controladas pelas expresses no-lineares da aplicao considerada. Porvarivel controlada entende-se aquela cujo valor definido em funo de uma das outras variveis docircuito. No caso da fonte definida na Figura 3.4, por exemplo, a varivel controlada v2, pois ela definidapor rmi1, onde rm um parmetro da fonte com dimenso de resistncia.
Fonte de tenso controlada por corrente
O diagrama esquemtico e a relao matemtica que definem uma fonte de tenso controlada por correnteso dados na Figura 3.4.
+
-
i2
rmi1
+-
i1
v1= 0 v2
+
-
=
=
2
1
2
1
2
1
0
00
i
iR
i
i
rv
v
m
FIGURA 3.4 Diagrama esquemtico e relao que definem a fonte de tenso controlada por corrente.
Observao:
A inversa da matrizRno existe (e no faz sentido). Algo semelhante acontece com as matrizes dasrepresentaes das demais fontes controladas dadas a seguir.
Fonte de corrente controlada por tenso
O diagrama esquemtico e a relao matemtica que definem uma fonte de corrente controlada por tensoso dados na Figura 3.5.
+
-
i2
gmv1
i1=0
v1 v2
+
-
=
2
1
2
1
0
00
v
v
gi
i
m
FIGURA 3.5 Diagrama esquemtico e relao que definem a fonte de corrente controlada por tenso.
Fonte de corrente controlada por corrente
O diagrama esquemtico e a relao matemtica que definem uma fonte de corrente controlada por corrente
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
- 31 -
so dados na Figura 3.6.
+
-
i2
i1
v2
i1
v1= 0
+
-
=
2
1
2
1
0
00
v
i
i
v
FIGURA 3.6 Diagrama esquemtico e relao que definem a fonte de corrente controlada por corrente.
Fonte de tenso controlada por tenso
O diagrama esquemtico e a relao matemtica que definem uma fonte de tenso controlada por tenso sodados na Figura 3.7.
i1=0
v1
+
-
+
-
i2
v1
+-
v2
=
2
1
2
1
0
00
i
v
v
i
FIGURA 3.7 Diagrama esquemtico e relao que definem a fonte de tenso controlada por tenso.
Circuitos equivalentes para elementos resistivos lineares de duas portas
Circuitos equivalentes so instrumentos teis para o esboo e entendimento de diagramas de circuitoscompostos da interconexo de diversos elementos de circuito complexos.
Considere a representao controlada por corrente de um elemento resistivo linear de duas portas:
=
2
1
2221
1211
2
1
i
i
rr
rr
v
v.
Em termos de diagrama de circuito, este elemento pode ser representado (equivalentemente) pelo circuito daFigura 3.8.
r12i2
i1
v1
+
-
+-
r11
r21i1
i2
v2
+
-
+-
r22
FIGURA 3.8 Circuito equivalente de um elemento resistivo linear de duas portas controlado por corrente.
Raciocnio semelhante pode ser utilizado para encontrar circuitos equivalentes para circuitos descritos poruma das outras representaes da Tabela 3.1. Por exemplo, um circuito usando condutncias e fontes
controladas de corrente pode ser obtido diretamente a partir da representao controlada por tenso.
7/22/2019 Anlise de Circuitos - Um enfoque em sistemas
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
- 32 -
Transformador ideal
O diagrama esquemtico e a relao matemtica que definem um transformador ideal so dados na Figura3.9.
i1
v1
+
-
+
-
i2
v2
n=n1:n2
12
21
nii
nvv
=
=
FIGURA 3.9 Representao esquemtica e relao que definem o transformador ideal.
Para o transformador ideal, valem as seguintes propriedades:
1 Usando-se as expresses da definio da Figura 3.9, pode-se verificar o seguinte balano de potnciapara o transformador 02211 =+= )t(i)t(v)t(i)t(v)t(p .
2 Colocando-se uma resistncia de valor R no secundrio do transformador (lado de ndice 2), umobservador no primrio (lado de ndice 1) observar uma resistncia de valor n2R. De fato:
Rn)t(i
)t(vn
n)t(i
)t(nv
)t(i
)t(v
)t(Ri)t(v
2
2
22
2
2
1
1
22
==
=
=
Observaes:
Transformadores prticos normalmente so implementados usando bobinas com ncleocomum, e operam com sinais de corrente alternada (AC). A relao de transformao n=n1:n2
neste caso definida pela relao entre os nmeros de espiras das bobinas no primrio e nosecundrio do transformador.
A definio do modelo do transformador ideal no est restrita a transformadores AC.
Anlogo mecnico
Existem analogias entre sistemas eltricos e mecnicos. Isso pode ser ilustrado comparando-se umtransformador ideal com uma par de engrenagens implementando uma reduo (Figura 3.10).
A
2
r1
1
r2
FIGURA 3.10 Par de engrenagens.
Duas equaes descrevem este par de engrenagens. Uma obtida considerando-se que a velocidade das duasengrenagens no ponto de contato A igual. A segunda equao obtida considerando-se que a fora sobrecada uma das duas engrenagens no ponto A igual em mdulo e de sinal oposto quela sobre a outraengrenagem. Usando i para representar o torque sobre a engrenagem i, as equaes so:
2
2
1
1
1122
r
)t(
r
)t(
r)t(r)t(
=
=
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
- 33 -
Assim a analogia pode ser explicitada como na Tabela 3.2.
Tabela 3.2 Analogias entre variveis em sistemas mecnicos e circuitos
Sistema mecnico Circuitos
velocidade angular () tenso
torque () corrente
razo dos raios (r2/r1) razo de transformao (n= n1/n2)
Girador ideal
O diagrama esquemtico e a relao matemtica que definem um girador ideal so dados na figura 3.11.
i1
v1+
-
+
-
i2
v2
G
)t(vG
G)t(i
Gvi
Gvi
=
=
=
0
0
12
21
FIGURA 3.11 Representao esquemtica e relao que define o girador ideal.
Para o girador com G= 1, tudo o que colocado na sada (porta 2) visto de forma dual na entrada (porta1), pois
=
=
=)t(v)t(i
)t(v)t(i
G)t(GvG
)t(i
)t(i)t(v
22
222
2
2
11 1
Dessa forma, uma resistncia deR[] na porta 2 ser vista como uma condutncia deR[S] na porta 1.
Giradores podem ser realizados com o auxlio de circuitos integrados para aplicaes que envolvam sinais debaixa frequncia.
Elementos no-lineares de duas portas
Para elementos no-lineares pelo menos uma das caractersticasf1ef2que definem o resistor no-linear.
{ }0e0 21212212112121 === )i,i,v,v(f)i,i,v,v(f:)i,i,v,v(R
s vezes possvel escrever as caractersticas em formas passveis de representao grfica, como:
)v,i(ii
)v,i(vv
)i,i(vv
)i,i(vv
2122
2111
2122
2111 ou=
=
=
=
Vrios dispositivos possuem modelos desse tipo. Exemplos so os transistores. Como o tratamento de todosos transistores semelhante do ponto de vista de circuitos, aqui ser citado apenas o transistor MOSde efeitode campo, um componente muito comum em circuitos integrados.
Transistor MOS
Existem vrios tipos de transistores MOSde efeito de campo (ou simplesmente MOSFETs, do inglsMetal-Oxide-Semiconductor Field Effect Transistor). Como o objetivo ilustrar o tratamento de elementos no-
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
- 34 -
lineares de duas portas, trabalhar-se- somente com o transistor MOS, tipo reforo, canal N. Os smbolos e anomenclatura adotados para este transistor encontram-se na Figura 3.12.
D
G
S
idig
+
+-
-
vds
vgs
D
G
S
idig
+
+-
-
vds
vgs
D
G
S
idig
+
+-
-
vds
vgs
D: dreno (drain)
G: porta (gate)
S: fonte (source)
FIGURA 3.12 Smbolos usados para o transistor MOS, tipo reforo, canal N
Uma caracterstica tpica para estes transistores encontra-se na Figura 3.13. Por construo, a corrente igde
um transistor MOSpode ser considerada sempre nula.
08
16
id[mA]
vds[V]
vgs= 10 [V]
9
8
7
5
6
_
|
FIGURA 3.13 Caracterstica tpica de um MOSFET, tipo reforo, canal N.
direita da reta tracejada da Figura 3.13 um modelo analtico aproximado para o MOSFET considerado( gsv positivo) :
thgsdsthgsd Vvv)Vv(i = para2
1 2 (3.1)
A constante depende das dimenses do dispositivo e de constantes fsicas. A constante Vth depende da
tecnologia do dispositivo. A regio na qual vale este modelo chamada de regio de saturao.
Na regio esquerda da reta tracejada da Figura 3.13, chamada de regio linear, o modelo analticoaproximado :
thgsdsds
dsthgsd Vvvv
vVvi
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
- 35 -
+
-
id
0,5(vgs-Vth)
ig=0
vgs vds
+
-
FIGURA 3.14 Circuito equivalente de um MOSFET, tipo reforo, canal N, na regio de saturao.
Alm de ser usado em uma das regies descritas pelas equaes (3.1) e (3.2), o MOSFET frequentementeusado como chave de potncia. Na caracterstica da Figura 3.13 verifica-se que para fechar a chave bastaaplicar uma tenso vgs adequada. Neste caso, o dispositivo ir permitir a passagem de uma corrente pelodreno. Para abrir a chave, basta colocar vgs= 0. A qualidade do MOSFETcomo chave ser tanto melhorquanto mais ngreme for a reta tracejada da Figura 3.13.
O princpio translinear MOS
O MOSFET um elemento de circuito que ( semelhana de outros no discutidos aqui, como o transistor
bipolar) utilizado em quantidade em circuitos integrados. A anlise e sntese de tais circuitos exigeferramentas especficas para a classe de elementos de circuito considerada. Uma delas apresentada a seguir:o princpio translinear MOS.3Esse princpio refere-se a circuitos constitudos por transistores MOS e fontesde corrente interconectados numa topologia mostrada na Figura 3.15, tipicamente implementvel emcircuitos integrados analgicos. Essa topologia recebe o nome de topologia translinear.
vgs
+
-
id
FIGURA 3.15 Topologia translinear de interconexo de transistores MOS, tipo reforo, canal N.
Nesta interconexo por hiptese h um igual nmero de MOSFETs ligados no sentido horrio e no sentidoanti-horrio. Por hiptese todos os transistores esto na regio de saturao e tm mesmos e Vth. Almdisso, assumir-se- (por simplicidade) que todos os MOSFETs so do tipo "reforo" com canal N. Sob estashipteses, pela lei de Kirchhoff das tenses tem-se
=horrio-antisentidohorriosentido
kgsgsvv
j
+=
+horrio-antisentidohorriosentido
22
kj dth
d
thi
Vi
V
=horrio-antisentidohorriosentido
kj ddii (3.3)
A equao (3.3) caracteriza o princpio translinear MOS. Ele simplifica muito a anlise de circuitostranslineares usando MOSFETs. Em seguida ser apresentado um exemplo de aplicao deste princpio naanlise de circuitos translineares MOS(circuitos MOScom a topologia da Figura 3.15).
3Maiores detalhes podem ser encontrados em Wiegerink, 1993.
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
- 36 -
Exemplo: No circuito da Figura 3.16, a corrente de entrada ie; a corrente de sada is. ipol uma corrente depolarizao. Por hiptese todos os transistores tem mesmos e Vth. Usando o princpio translinear, mostreque este circuito funciona como quadrador de corrente
is
ie
ipol
T1
T2
T3
T4T5
FIGURA 3.16 Circuito MOS translinear quadrador de corrente.4
Inicialmente constata-se que o circuito da Figura 3.16 um circuito translinear no padro da Figura 3.15.Usando a lei de Kirchhoff das correntes e o princpio translinear MOS, tem-se o seguinte conjunto deequaes:
4321 ddddiiii +=+
21 dpoldiii ==
eddd iiii +== 354
35 ddsiii +=
Combinando-se as equaes acima resulta:
442 dedpol iiii +=
Resolvendo esta equao encontra-se:
pol
eepold
i
iiii
162
2
4 ++=
Donde se conclui que
pol
epoldds
i
iiiii
82
2
35
+=+=
ou seja, o circuito acima de fato um quadrador de corrente (descontado um mltiplo da corrente depolarizao).
Elementos de circuito resistivos de mltiplas portas
Generalizando noes e definies introduzidas em sees anteriores, podem-se definir elementos resistivoscom nmero arbitrrio de portas de acesso como elementos de circuito descritos por:
{ }0,...0 2121212112121 === )i,...,i,i,v,...,v,v(f,)i,...,i,i,v,...,v,v(f:)i,...,i,i,v,...,v,v( nnnnnnnR
4Circuito apresentado em Wiegerink, 1993.
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- 37 -
Transformador ideal com trs enrolamentos
O smbolo de um transformador ideal com trs enrolamentos dado na Figura 3.17.
v1+
-
-
-
+
+ v2
v3
i1
i3i2
n1, n2, n3
FIGURA 3.17 Smbolo do transformador ideal de trs enrolamentos.
Este transformador definido por:
0
0
0
3322113213213
33
223213212
3
3
1
13213211
=++=
==
==
ininin:)i,i,i,v,v,v(f
nv
nv:)i,i,i,v,v,v(f
n
v
n
v:)i,i,i,v,v,v(f
Como no transformador ideal de duas portas, tanto a matriz de resistncia quanto a de condutncia inexistem.A representao matricial adequada a representao hbrida seguinte:
=
3
2
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
1
0
00
00
v
i
i
n
n
n
n
n
n
n
n
i
v
v
Fazendo-se o balano de potncia para o transformador de trs enrolamentos, pode-se verificar que a somadas potncias entrando pelas trs portas de acesso nula.
Circulador
O smbolo do circulador mostrado na Figura 3.18.
i2
i3
+
R
-
v2
+
-
v3
i1
v1+
-
FIGURA 3.18 Smbolo do circulador ideal.
O circulador ideal definido por:
0
0
0
2133213213
3123213212
3213213211
=+=
=+=
=+=
RiRiv:)i,i,i,v,v,v(f
RiRiv:)i,i,i,v,v,v(f
RiRiv:)i,i,i,v,v,v(f
Uma representao matricial controlada por corrente :
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- 38 -
=
3
2
1
3
2
1
0
0
0
i
i
i
RR
RR
RR
v
v
v
O valor de resistncia R denominado resistncia caracterstica do circulador. Fazendo-se o balano depotncia para o circulador, pode-se verificar que a soma das potncias entrando pelas trs portas de acesso nula, semelhana do que acontece tambm com o transformador ideal de trs enrolamentos.
Numa das suas aplicaes mais comuns, o circulador ligado como indicado na Figura 3.19.
i2
i3
+
R
R
R
-
v2
+
-
v3+
-vf
i1
R v1
+
-
FIGURA 3.19 Aplicao do circulador ideal.
Neste caso determina-se i1 = vf/2R, i1 = i2 e i3 = 0. Isso significa que o circulador um elementoindispensvel na ligao de uma antena a ser usada para transmisso e para recepo. Como transmissora, aantena constitui cargaRpara uma fonte de sinal. Como receptora, a antena modelada como fonte de sinalseguida de um resistorRno valor da impedncia nominal.
Exerccios propostos
Exerccio 1:
Para o circuito com duas portas de acesso da Figura 3.20, determine uma descrio controlada por corrente,
isto , uma descrio do tipo
)i,i(fv
)i,i(fv
2122
2111
=
=
Esta descrio pode ser colocada na forma controlada por corrente da Tabela 3.1? Explique.
2 k
+
-
v1
(-3.5 k, 10 mA)
(2 k, 20 mA)
+
-
v2
i2
i1
FIGURA 3.20
Exerccio 2:Para o circuito da Figura 3.21 faa o seguinte:a) Determine o ponto de operao Q, supondo (inicialmente) que o transistor est operando na regio de
saturao. Aps os clculos, confirme a validade desta hiptese.b) Desenhe o circuito equivalente de pequenos sinais.c) Determine a tenso de pequenos sinais )(~2 tv e o ganho de pequenos sinais )t(v/)t(v~ 12 .Dados: = 0,64 [mA/V
2
] Vth= -4,0 [V]
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
- 39 -
1 [V]
1 [k]iD
+vGS
-
15 [V]
500 []
+
vDS-
+v2
-
v1(t)=0,01sen(t)+
-
FIGURA 3.21
Exerccio 3:Para o circuito da Figura 3.22 faa o seguinte:a) Determine o ponto de operao Q, supondo (inicialmente) que o transistor est operando na regio de
saturao. Aps os clculos, verifique se esta hiptese vlida. Se necessrio, refaa os clculos.b) Desenhe o circuito equivalente de pequenos sinais.c) Determine a tenso de pequenos sinais )(~2 tv e o ganho de pequenos sinais )t(v/)t(v~ 12 .Dados: = 0,64 [mA/V2] Vth= -4,0 [V]
7 [V]
1 [k]iD
+
vGS
-
10 [V]
500 []
+
vDS
-
+v2
-
v1(t)=0,01sen(t)+
-
FIGURA 3.22
Exerccio 4:
No circuito da Figura 3.23, Na um girador com condutncia caracterstica G = 2 [S]. Determine umarepresentao do circuito Nb tal que a interligao de Nae Nbse comporte como uma fonte controlada porcorrente na qual a corrente de sada o dobro da corrente de entrada.
Na Nb
FIGURA 3.23
Exerccio 5:
Determine a matriz de condutncia Gda representao controlada por tenso (Tabela 3.1) para o circuito daFigura 3.3.
Exerccio 6:
Demonstre a equivalncia dos dois circuitos da Figura 3.24 do ponto de vista das variveis ie v.R aresistncia caracterstica do circulador.
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
- 40 -
i
vs(t)/R
+
-
vR
i
+
R
R
-v
+-
vs
R
FIGURA 3.24
Exerccio 7:
Para o circuito da Figura 3.25, onde i1(t) um pequeno sinal, faa o seguinte:d) Determine o ponto de operao Q.e) Desenhe o circuito equivalente de pequenos sinais.f) Determine a tenso de pequenos sinais )(~2 tv como funo de i1(t).Na sua opinio, para que faixa de
valores de i1(t) o modelo de pequenos sinais fornece resultados razoveis?
Dados: = 0,64 [mA/V2] Vth= -4,0 [V]
47 [k] iD
+vGS -
18 [V]
470 [] +v2-
i1(t)10 [k]
FIGURA 3.25
Exerccio 8:
Os itens abaixo referem-se ao subcircuito translinear MOS da figura 3.26, que representa um diagramaesquemtico de um programa de simulao de circuitos. Considere-se o subcircuito como candidatohipottico a incluso numa implementao em CI. Todos os transistores tm mesmos e Vth.
a) Deduza a caracterstica de transferncia do circuito, supondo todos os transistores operando na regiosaturada. A varivel de sada (de interesse) a corrente pelo resistor R7. As variveis de entrada so ascorrentesx0 ey 0.
Dica: Para a deduo use o princpio translinear MOSe as leis de Kirchhoff.
Resultado:A corrente por R7 proporcional mdia geomtrica das correntesxey.
b) Usando o programa de simulao de circuitos de sua preferncia e selecionando um dispositivoMOSFET padro, tipo reforo, canal N, avalie para que regio de valores x e y o circuito realmenteimplementa com boa aproximao a caracterstica de transferncia desejada. Faa esta avaliao paratenses de alimentao V4 iguais a 15 e 30 [V], bem como valores de R7 iguais a 200 e 1000 []. (Seusar o programa PCSPICE ou equivalente, use o dispositivo MbreakN ou equivalente com osparmetros "default" do modelo.)
Sugestes:
Implemente (x+y)/4 usando duas fontes de corrente controladas por corrente. Faa a varredura do domnioxyusando as fontes I3 e I4.
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FIGURA 3.26 Diagrama esquemtico de um circuito que implementa a mdia geomtrica.
Exerccio 9:
Considere as seguintes modificaes no circuito da Figura 3.23:
a) a fonte de corrente I8 fornecex/2 ao invs de (x+y)/4;b) a fonte I4 fornecex+yao invs dex;c) a fonte I3 fornecex-yao invs dey;d) x |y| 0.Mostre que a corrente por R7 ser proporcional a 22 yx .
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4. Ampliadores operacionais
O ampliador operacional um elemento ideal muito bem aproximado por diversos dispositivos,
especialmente em baixas frequncias. Seu uso muito difundido em todas as aplicaes de eletrnicaanalgica. Por serem produzidos em grandes quantidades, ampliadores operacionais tornaram-se muito
acessveis, estando disponveis em circuitos integrados com um a quatro ampliadores operacionais
independentes. Dispositivos que realizam ampliadores operacionais esto disponveis em diversas
tecnologias de circuito integrado. Exemplos bastante comuns so o circuito integrado (CI) LM741 (que
contm um ampliador operacional) e o CI LM324 (que contm quatro ampliadores operacionais). Estas
implementaes satisfazem a definio do elemento de circuito com boa preciso at frequncias de sinal na
faixa de 10-20 kHz.
A simbologia usada para o ampliador operacional encontrada na Figura 4.1.
FIGURA 4.1 Smbolos para o ampliador operacional
O ampliador operacional ideal pode ser entendido como uma fonte no-linear de tenso controlada por
tenso definida pelo modelo da Figura 4.2 com a caractersticaf(vd) dada na Figura 4.3.
i+=0
v+ +
-
+
-
io
f(vd)+-vo
i-=0
v-
vd=v+ v-
FIGURA 4.2 Circuito equivalente do ampliador operacional.
0
vo= f(vd)
vd
0
Esat
-
-Esat inclinao (ganho)A
FIGURA 4.3 Caracterstica de transferncia do ampliador operacional.
-
+
entrada inversora
entrada no-inversora
sada
+V
-V
-
+
entrada inversora
entrada no-inversora
sada
+Valimentao
-Valimentao
-
+
entrada inversora
entrada no-inversora
sada
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- 43 -
Via de regra assume-se queEsat, a assim denominada tenso de saturao do ampliador operacional, coincide
com a tenso de alimentao Vda Figura 4.1. De fatoEsatcostuma ser ligeiramente inferior a V.
Terra virtual
Quando um ampliador operacional com ganho A muito elevado est operando na regio linear da
caracterstica da Figura 4.3, o valor da tenso (Figura 4.3) muito pequeno, muito menor do que o valor
das tenses relevantes dentro do circuito. Assim pode-se equacionar o circuito considerando vd= 0. A este
"curto-circuito aparente" entre o terminal inversor e o terminal no inversor chama-se terra virtual.
A noo de terra virtual muito importante no equacionamento de circuitos com ampliadores operacionais.
Considerem-se os exemplos a seguir.
Exemplo: O amplificador inversor um (sub)circuito bastante comum. Seu diagrama de circuito o da
Figura 4.4.
-
+
R2
vo(t)vi(t)
+
-
R1
+
-
i1
+-
i2
FIGURA 4.4 Amplificador inversor.
O equacionamento sem o uso do conceito de terra virtual segue o seguinte roteiro:
+
+=+==
21
111 )(
RR
vvRvAiRvAAvv oiiido ,
21
1
21
2
RR
ARv
RR
ARvv oio
+
+= ,
e, finalmente,
iA
o vR
Rv
1
2
.
O equacionamento com o uso do conceito de terra virtual, por sua vez, bem mais simples, como mostrado a
seguir.
iooi
d
vR
Rv
R
v
R
vii
v
1
2
2121
0
===
=
A caracterstica de transferncia obtida vale somente enquanto o ampliador estiver operando na regio linear,
ou seja com vital que |vo|
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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas
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Circuito 1:
-
+
vo(t)
vi(t)
+
-
+
-+-
Circuito 2:
+
-
vo(t)
vi(t)
+
-
+
-+-
FIGURA 4.5 Dois circuitos candidatos para implementao de um "buffer".
No entanto, uma verificao em laboratrio mostraria que o circuito 2 da Figura 4.5 no funciona como
"buffer". A razo est no uso de realimentao positiva. Sua inconvenincia pode ser compreendida
intuitivamente. Suponha que para um valor fixo de vi= v1> 0 o valor da sada voencontra-se estabilizado
tambm em v1. Caso, por algum rudo qualquer, surja um vi= v1+ , isto implicar uma diminuio em vd, e
consequentemente em vo.Uma diminuio em volevar a nova diminuio em vde assim por diante, at que
o elemento de circuito atinja a condio de saturao. Este fenmeno no ocorre com o circuito 1, que
emprega "realimentao negativa".
De fato as caractersticas de transferncia completas dos dois circuitos (incluindo as regies de saturao)
so bem diferentes, como mostram os grficos da Figura 4.6.
Circuito 1:
0
vo
vi
Esat
Esat
-Esat
-Esat
Circuito 2:
0
vo
vi
Esat
Esat
-Esat
-Esat
FIGURA 4.6 Caractersticas de transferncia dos circuitos da figura 4.5.
Exemplo: O amplificador no-inversor tambm um (sub)circuito muito comum. Seu diagrama de circuito
o da Figura 4.7.
+
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