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AnáliseAnálise
CombinatóriaCombinatória
Professor DEJAHYR LOPES JUNIORProfessor DEJAHYR LOPES JUNIOR
Introdução: Dados dois conjuntos A = {a1, a2, . . . , am} e B = {b1, b2, b3, . . . , bn}, o total de pares distintos (ai, bj) que podemos formar com os elementos dos dois conjuntos é igual a: n .m
a1
b1 b2
b3
b n
a2
b1 b2
b3
b n
am
b1 b2
b3
b n
. . . . . . . . . . . . .
n pares n pares n pares+ +
+. . . . . . . . .
n + n + n + . . . + n (m vezes) = n.m
Exemplos
1) Para revestir o piso e a parede de um banheiro um arquiteto pode escolher entre 6 tipos de pisos e 9 tipos de
azulejos. Se um tipo de piso pode ser usado com qualquer tipo de azulejo, de quantas maneiras o arquiteto pode
combinar o par para revestir o banheiro?
Piso = {P1, P2, P3, . . . , P6}
Azulejos = {A1, A2, A3, . . . , A9}
nP = 6
nA = 9
npares= 69 npares= 54
2) Se você vai a um restaurante que oferece 10 pratos diferentes e 6 sucos diferentes, de quantas maneiras você
pode fazer uma refeição se você pode tomar ou não suco?
Pratos = {P1, P2, P3, . . . , P10} nP = 10
Sucos = {N1, N2, N3, . . . , N6} nS = 6
Se você optar por não tomar o suco: no de refeições = 10
Se você optar por tomar o suco: no de refeições = 106 = 60
Total = 10 + 60 = 70
ou
Tipos de agrupamentos:
Arranjos: Importa a ordem e a natureza dos elementos.Permutação:Importa a ordem dos elementos.
Combinações:Não importa a ordem dos elementos, só a natureza.
Podemos analisar a partir do PFC
Exemplos
1) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números formados por dois algarismos distintos podem ser formados?
Como não é possível repetir algarismos, temos:
6 5 = 30 números2) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números formados por dois algarismos podem ser formados?
Agora pode repetir algarismos:
6 6 = 36 números
São exemplos de arranjos, o primeiro sem repetição (simples) e o segundo com repetição
Sair Entrar
Outro exemplo: A frente de um prédio tem 10 portas de entrada. Se uma pessoa, ao entrar no prédio, nunca usa a mesma porta para sair, de quantas maneiras distintas ela
pode entrar e sair do prédio?
10 9 = 90x
Ma
Se a pessoa entrar e sair por qualquer porta:
Ma
10 x 10 = 100
Princípio Fundamental da ContagemParte 1
Considerando os conjuntos:
A = {a1, a2, a3, . . . , am}
B = {b1, b2, b3, . . . , bn}
C = {c1, c2, c3, . . . , cp}
.....................................
X = {x1, x2, x3, . . . , xu}
O total de agrupamentos possíveis do tipo
(ai, bj, ck, . . . , xt}
Total = mnp. . . u
Exemplo
De quantas maneiras diferentes uma moça poderá escolher uma saia, uma blusa, um par de meias e um par de sapatos se ela tem 6 saias, 4 blusas, 2 pares de sapatos e 5 pares de
meias?
Saia Blusa Sapatos Meias
6 x 4 x2 5x = 240
Se for possível repetir elementos no agrupamento formado, teremos:
p casas
n n n n . . . . . . . . . . . . . .
Total = nnn . . .n = np
ExemploCalcular quantos números de 4 algarismos distintos podem
ser formados usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6.
6 5 4 3x x x = 360
4 casas
Quem está aqui!
Não pode estar aqui!
E se fosse possível repetir algarismos?
6 6 6 6x x x = 1296
Quem está aqui!
Pode estar aqui!
4 casas
Calcular quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6.
6 5 4 3x x x
5 casas
2x = 720
Calcular quantos números de 6 algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6.
6 5 4 3x x x
6 casas
2x = 7201x
6 fatorial = 6! = 6x5x4x3x2x1
12111098!
O preenchimento das casas, apresentado nos exemplos anteriores, é um bom método. Devemos lembrar que o seu
uso implica em obter agrupamentos diferentes quando mudamos a ordem dos elementos do agrupamento.
Observações
Como vimos: 0! = 1, 1! = 1
Lembremos como simplificar frações envolvendo fatorial
12!
8!=
8!= 11880
Desenvolvemos o maior fatorial até chegar no
menor e simplificamos.
Arranjos ou Arranjos SimplesVamos considerar o exemplo: Dado um conjunto de 5 pessoas e vamos escolher 3 delas para formarmos uma
diretoria. A primeira escolhida será presidente, a segunda vice e a terceira secretária. De quantas formas isso poderá
ser feito?
Pessoas = {a, b, c, d, e}
abcacbbacbcacabcba
abdadbbadbdadabdba
abeaebbaebeaeabeba
acdadccadcdadacdca
aceaeccaeceaeaceca
adeaeddaedeaeadeda
bcdbdccbdcdbdbcdcb
bcebeccbecebebcecb
bdebeddbedebebdedb
cdeceddcedececdedc
abcacbbacbcacabcba
abdadbbadbdadabdba
abeaebbaebeaeabeba
acdadccadcdadacdca
aceaeccaeceaeaceca
adeaeddaedeaeadeda
bcdbdccbdcdbdbcdcb
bcebeccbecebebcecb
bdebeddbedebebdedb
cdeceddcedececdedc
abc abd Porque tem elementos diferentes (c d)
Isso é chamado de diferença na natureza dos elementos.
abc acb
Porque os elementos ocupam posições diferentes; b é vice em abc e secretária em acb e c é exatamente o contrário.
Isso é chamado de diferença na ordem dos elementos.
Logo, para reconhecer se os agrupamentos formados são arranjos ou não, é só escrever um deles e mudar a
ordem de elementos distintos que o compõe. Se o novo agrupamento obtido for diferente do anterior, temos ARRANJOS, se o agrupamento obtido for igual ao
escrito, não temos ARRANJOS.
Arranjos são agrupamentos que diferem entre si na ordem ou na natureza de seus elementos.
No caso anterior, como tiramos de um conjunto de 5 elementos 3 deles para compor uma diretoria, temos
“Arranjos de 5 elementos tomados 3 a 3.”
A5,3
Simboliza “Arranjo”.Quantidade de elementos
do conjunto dado.
Quantidade de elementos agrupados.
= 60Total de possíveis diretorias a serem
formadas.
Vamos considerar alguns exemplos
Quantos números pares formados por 4 algarismos distintos podem ser feitos usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7?O conjunto do qual tiraremos os elementos tem 7 termos(n = 7)
Usaremos 4 deles, ou seja teremos 4 casas para serem preenchidas.
Devemos sempre preencher a casa condicionada
Par
36 5 4
6x5x4x3 = 360
1204.5.6!3
!6
)!36(
!63,6
A
Ou pela fórmula do Arranjo:
Assim: 120.3 = 360
Considerando que as placas de um carro tem 3 letras e 4 algarismos e que as letras são retiradas de um alfabeto que tem 26 letras distintas, determinar quantas placas existem
formadas por letras distintas e algarismos distintos.
26 25 24 10 9 8 7
26x25x24x10x9x8x7 = 78.624.000
Se for possível repetir letras ou algarismos será possível emplacar 175.760.000 veículos auto-motores.
Vocês já imaginaram quantos veículos auto-motores tem no Brasil?
Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 quantos números com algarismos distintos existem de 1 até 1000?
De 1 até 1000 temos números com 1 algarismo, ou 2 ou 3.
Com 1 algarismo:9
Com 2 algarismos:9 8x = 72
Com 3 algarismos:9 8x 7x = 504
Total = 9 + 72 + 504 = 585
Uma pessoa esqueceu sua senha bancária de 6 dígitos, porém, lembra que os dois primeiros dígitos são letras distintas e vogais e os quatro últimos são algarismos pares e distintos. Quantas tentativas ela terá que fazer, no máximo, se for possível, para acertar a senha?
Letras Algarismosx 4 5 3 2x x x5 x 4
Total = 2400
Permutações SimplesPermutações são agrupamentos feitos com todos os elementos de um conjunto dado sendo que cada agrupamento difere dos demais apenas pela ordem de seus elementos.Dado um conjunto com n elementos vamos fazer todos os arranjos possíveis com n elementos.
. . . . . . . . . . . .
n (n – 1) (n – 2) 3 2 1
nP n!
n casas
Na figura temos 4 meninos e uma menina prontos para entrarem no clubinho dos meninos. Logicamente é um dia atípico, visto que a entrada de meninas é proibida, principalmente sendo a Mônica. Mas vão entrar. Se Jeremias é um perfeito cavalheiro e só entra após a Mônica, de quantas maneiras diferentes os cinco podem entrar no clubinho.
(Revista Mônica No 186 – Editora Globo)
Calcular a quantidade de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra BRASIL.
Brasil tem 6 letras diferentes e todas serão usadas
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 P6 = 6! = 720
De quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem fazer uma fila se duas delas (A e B) pretendem ficar uma ao lado da outra?
Consideramos as duas pessoas (A e B) como uma só. Pode ser B e A.
5 4 3 2 1 = 5! = 2402 x
Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando os algarismos 1, 3, 4, 5 e 8, qual é o lugar ocupado pelo número 54831?
Vamos procurar quantos são os números menores do que 548311
3
4
5 1
5 3
5 4
5 4 1
3
5 4 8 1
P4 = 4! = 24
P4 = 4! = 24
P4 = 4! = 24
P3 = 3! = 6
P3 = 3! = 6
P2 = 2! = 2
P2 = 2! = 2
P1 = 1! = 1
Total:
89
menores.
Lugar ocupado
90o
Vamos considerar o exemplo: Dado um conjunto de 5 pessoas, vamos escolher 3 delas para formarmos uma
comissão.
Pessoas = {a, b, c, d, e}
abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde
Combinações Simples ou Combinações
Se mudarmos os elementos de lugar nos agrupamentos, os mesmos não mudam. A comissão abc é a mesma acb.
abc = bac
A ordem não muda o agrupamento.
abc abd
Os agrupamentos são diferentes na natureza dos elementos.
Como calcular o total de combinações simples?
Vamos considerar o exemplo de cálculo de arranjo de 5 tomados 3 a 3. abc
acb
bac
bca
cab
cba
abd
adb
bad
bda
dab
dba
abe
aeb
bae
bea
eab
eba
acd
adc
cad
cda
dac
dca
ace
aec
cae
cea
eac
eca
ade
aed
dae
dea
ead
eda
bcd
bdc
cbd
cdb
dbc
dcb
bce
bec
cbe
ceb
ebc
ecb
bde
bed
dbe
deb
ebd
edb
cde
ced
dce
dec
ecd
edc
Vamos observar que de cada coluna aproveitamos apenas uma combinação.
3
3 55
A 5.4.3C 10
6 6
6 = 3!“Número de casas” fatorial
Combinações são agrupamentos que diferem entre si apenas na natureza de seus elementos.
Na formação das comissões tínhamos 5 elementos no conjunto e escolhemos apenas 3.
C5,3
5 x 4 x 3
3!=
5.4.3
3.2.1= 10
= 5!
(5 – 3)!.3!
Quantidade de elementos agrupados.
Quantidade de elementos do conjunto dado.
Total de possíveis comissões a serem formadas.
= 5.4.3!2!3!
= 10
Exemplos
Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser juntadas porque produzem misturas explosivas.
6 serão misturadasPerigo
Não usando!!!
68
8! 8.7.6!C 28
(8 6)!6! 2!.6!
Não usando uma e usando a outra!!!
58
8! 8.7.6.5!C 56
(8 5)!5! 2!.5!
Trocando as duas incompatíveis!!!
58
8! 8.7.6.5!C 56
(8 5)!5! 2!.5!
28 + 56 + 56 = 140
Permutação com repetiçãoPartindo do exemplo: calcular o total de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra PIRACICABA.
A palavra tem 10 letras. Se todas fossem diferentes a quantidade de anagramas seria igual a 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800
A letra A aparece 3 vezes. Mudando o A de lugar com ele mesmo, obtém-se 6 palavras (3!) das quais aproveita-se uma. A letra I aparece 2 vezes, logo, mudando de lugar o I com ele obtém-se 2 palavras (2!) e aproveita-se apenas uma, o mesmo ocorre (2) com a letra C.
3,2,210P =
6.2.210!
3! 2! 2!=
3.628.800= 151.200
Para calcular a permutação de n elementos com repetição de um deles vezes, outro vezes, outro vezes e assim sucessivamente, até um vezes tem-se a fórmula:
, , ,...,n
n!P
! ! !... !
De quantas maneiras diferentes podemos distribuir 9 cartas distintas de um baralho em 3 montinhos distintos?
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3
39C 3
6C 33C
3!
x x= 280
Mudando um grupo de lugar com outro não acarreta mudança na distribuição.
Permutação CircularDe quantas maneiras diferentes n pessoas podem se colocar em uma fila circular?
Pn’ = (n – 1)!
Arranjos Completos
Tratando-se de arranjos completos podemos ter elementos repetidos nos agrupamentos.
Exemplo: Não existe restrição para numerar uma placa de veículos auto motores. A placa é formada por 3letras de um alfabeto de 26 letras e quatro algarismos escolhidos de zero a nove (10 algarismos).
3 Letras 4 Algarismos
26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175.760.000 Placas
pR(n,p) (n,p)A A' n
Combinações Completas
Tratando-se de combinações completas podemos ter elementos repetidos nos agrupamentos.
As Combinações Completas são pouco usadas nos diversos problemas que temos visto ao longo dos nossos estudos.
R(n,p) (n,p)(n p 1)!
C C'(n 1)!p!
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