Aljabar Linear Elementer · 06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 1 Aljabar Linear Elementer...

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear Bab VIII Ruang Eigen

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 2

Ruang Hasilkali Dalam (RHD) Sub Pokok Bahasan

– Definisi RHD – Himpunan Ortonormal – Proses Gramm Schmidt

Aplikasi RHD : bermanfaat dalam beberapa metode optimasi, seperti metode least square dalam peminimuman

error dalam berbagai bidang rekayasa.

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 3

Definisi RHD Misalnya V adalah suatu ruang vektor, dan maka notasi < , > dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut: 1. (Simetris)

2. (Aditivitas)

3. untuk suatu kR,

(Sifat Homogenitas)

4. , untuk setiap

dan (Sifat Positifitas)

Vvu ,

vu , uv ,

wvu , wvwu ,,

vuk , vku , vuk ,

0, uu

0, uu 0 u

u

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 4

Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor dinyatakan oleh : yang didefinisikan oleh : Contoh 1 : Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rn ) Misalkan , Rn maka = (u1

2 + u22 + …..+un

2)½

0, 21 uuu

u

u

nnvuvuvuvu ..., 2211u v

0, 21 uuu

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 5

Contoh 2 :

Misalnya W R3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali dalam ,

dimana Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam

Jawab :

Misalkan

2u1v1 + u2v2 + 3u3v3

= 2 v1u1 + v2u2+ 3v3u3

(terbukti simetris)

332211 32, vuvuvuvu

Wvu ,

Wwvu ,,

vu ,

uv ,

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 6

<(u1+v1, u2+v2, u3+v3), (w1, w2, w3)>

= 2(u1+ v1)w1 + (u2+v2)w2 + 3(u3+v3)w3

= 2u1w1+2v1w1+u2w2 +v2w2+3u3w3+3v3w3

= 2u1w1+u2w2+3u3w3+2v1w1+v2w2+3v3w3

(bersifat aditivitas)

(iii) untuk suatu kR, <(ku1, ku2, ku3), (v1, v2, v3)> = 2ku1v1 + ku2v2 + 3ku3v3

= k2u1v1 + ku2v2 + k.3u3v3 (bersifat homogenitas)

wvu ,)ii(

wvwu ,,

vuk ,

vku , vuk ,

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 7

Jelas bahwa dan

Contoh 3 : Periksa apakah merupakan hasil kali dalam Jawab : Perhatikan Pada saat 3u3

2 > u12 + 2u2

2

maka

23

22

21 32,)iv( uuuuu

uuu setiapuntuk 0, 21

0jika hanya0, uuu

1 1 2 2 3 3, 2 3u v u v u v u v

23

22

21 32, uuuuu

0, uuTidak memenuhi

Sifat positivitas

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 8

cfadvu ,

),,( cbau ),,( fedv

vu ,

Contoh 4 : Diketahui

dimana dan

Apakah merupakan hasil kali dalam?

uu, 0

)0,2,0(u 0, uu

0u

vu ,

Jelas bahwa = ( a2 + c2 )

Misalkan diperoleh

Padahal ada

Aksioma terakhir tidak terpenuhi. Jadi

ad + cf bukan merupakan hasil kali dalam.

Jawab :

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 9

Himpunan Ortonormal Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam

dinamakan himpunan ortogonal

jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak lurus).

Himpunan ortonormal himpunan ortogonal yang

setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu.

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 10

Secara Operasional

Misalkan, pada suatuRHD

T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika

untuk setiap i ≠ j

Sedangkan, T dikatakan himpunan vektor ortonormal

jika untuk setiap i berlaku

ncccT ,...,, 21

0, ji cc

1ic

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 11

Contoh 5 : 1. Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal. 2. Pada RHD Euclides, B merupakan himpunan ortonormal. 3. Pada RHD Euclides, C merupakan himpunan ortonormal.

0 1-

0 1

,

A

1- 0

0 1

,

B

21

21

212

1

C

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 12

Misalkan adalah basis ortonormal untuk RHD V Jika adalah sembarang vektor pada V, maka

Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku : Karena S merupakan himpunan ortonormal dan

nvvvS ,...,, 21

u

nnvkvkvku ...2211

inni vvkvkvkvu ,..., 2211

inniiiii vvkvvkvvkvvk ,...,...,, 2211

ivv ii setiapuntuk 1, jivv ji setiapuntuk 0, dan

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 13

Sehingga, untuk setiap i berlaku

ii kvu ,

nn vvuvvuvvuu ,...,, 2211

nnvkvkvku ...2211Kombinasi linear

Ditulis menjadi

Contoh 6 : Tentukan kombinasi linear dari

21

a

pada RHD Euclides berupa bidang yang dibangun

21

21

u

21

21

vdan

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 14

Jawab :

vvauuaa ,,

vua

21

21

21

21

,21

,21

21

vua 21

21

Perhatikan ….. u dan v mrp

Basis ortonormal

vkuka 21

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 15

Proses Gramm-Schmidt ncccS ,, 21

nwwwB ,...,, 21

basis bagi suatu RHD V

basis ortonormal bagi V

1

11.1

ccw

Langkah yang dilakukan

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 16

2. Langkah kedua

2c

1w 1p

1q

2w

2w2c

1

2 1 11 2 2 1 12

1

, ,wc w wp proy c c w w

w

121 pcq

2122

11222

,,,

wwccwwccw

Vektor satuan searah 1q

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 17

3. Langkah ketiga 3w3c

W

3c

1w 2w2p

2q

3w

22311332 ,, wwcwwccproyp W 232 pcq

3 3 1 1 3 2 23

3 3 1 1 3 2 2

, ,, ,

c c w w c w wwc c w w c w w

Vektor satuan Yang tegak lurus

Bidang W

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 18

Contoh 7 : Diketahui :

B merupakan basis pada RHD Euclides di R3. Transformasikan basis tersebut menjadi basis

Ortonormal

Jawab : Langkah 1.

100

,110

,111

321 uuuB

11

1 uuv

3

1,1,1

313

13

1

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 19

Langkah 2

22

222

1

1

uproyu

uproyuv

v

v

31,

31,

32

31,

31,

31

321,1,0

, 112222 1 vvuuuproyu v

36

91

91

94

22 1 uproyu v

616

16

2

2v

Sementara itu,

Karena itu,

sehingga :

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 20

Langkah 3

Sementara itu,

sehingga :

33

333

uproyu

uproyuv

W

W

21,

21,0

61,

61,

62

61

31,

31,

31

311,0,0

,, 223113333 vvuvvuuuproyu W

21

21

3

0v

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 21

Jadi, 321 ,, vvv

merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R3

dengan hasil kali dalam Euclides

21

21

616

16

2

313

13

1 0,,=

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 22

Contoh 8 :

110

, 101

111

u

Diketahui bidang yang dibangun oleh

merupakan subruang dari RHD Euclides di R3

Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor

pada bidang tersebut.

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 23

Jawab :

110

, 101

21 vv

Diketahui

Selain membangun subruang pada RHD

Karena

merupakan basis bagi subruang pada RHD tsb.

himpunan tsb juga saling bebas linear (terlihat bahwa ia tidak saling kelipatan).

21 , vv

Langkah awal : Basis tersebut basis ortonormal.

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 24

21 , 0 ,

21

21 , 0 , 1

101

1 , 0 , 1

222

11

1 vvw

21

2100

2

1 ,0 , 2

1 1 , 1 , 0, 12

wvPerhatikan bahwa :

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 25

21 , 0 ,

21

21 , 0 ,

21

21 , 112 wwv

21 , 1 ,

21

21 , 0 ,

211 , 1 , 0 , 1122 wwvv

621

46

411

41

211

21 ,

22

21122

wwvv

Sehingga:

Akibatnya :

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 26

Akhirnya, diperoleh

61 ,

62 ,

61

621

21 , 1 ,

21

, ,

1122

11222 wwvv

wwvvw

6162

61

,

2102

1

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tsb

=

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 27

111

u

uoy WPr 2211 , , wwuwwu

22

22

1 0 2

12

1 , 0 , 2

1 1 , 1 , 1, 1

wu

Proyeksi Orthogonal Vektor

pada bidang tersebut adalah

Perhatikan bahwa :

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 28

Sementara itu :

62

61

62

61

,111

,

616

26

1

2

wu

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 29

uoy WPr2211 , , wwuwwu

3132 31

101

3432 32

Dengan demikian,

=

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 30

110

, 101

111

u

Contoh 9 : Diketahui bidang yang dibangun oleh

merupakan subruang dari RHD Euclides

Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor

pada bidang tersebut.

21 , vv

1v 2v

Jelas bahwa

merupakan basis bagi bidang tersebut, karena

dan saling bebas linear

Jawab

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 31

Basis tersebut akan ditransformasikan menjadi basis ortonormal.

21 , 0 ,

21

21 , 0 , 1

101

1 , 0 , 1

222

11

1 vvw

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 32

Perhatikan bahwa :

21

2100

2

1 ,0 , 2

1 1 , 1 , 0, 12

wv

Sehingga:

21 , 0 ,

21

21 , 0 ,

21

21 , 112 wwv

21 , 1 ,

21

21 , 0 ,

211 , 1 , 0 , 1122 wwvv

akibatnya

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 33

u

uoy WPr 2211 , , wwuwwu

Proyeksi Orthogonal Vektor pada bidang W adalah:

3132 31

101

3432 32

=

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 34

61 ,

62 ,

61

621

21 , 1 ,

21

, ,

1122

11222 wwvv

wwvvw

6162

61

,

2102

1

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tersebut adalah :

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 35

Latihan Bab VI

vu ,

vu ,

vu ,

1. Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan

= u12v1 + u2v2

2 di R2

= u1v1 + 2u2v2 – u3v3 di R3

= u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3

a.

b.

c.

2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1) dan vektor (k, 5, 6 ) adalah orthogonal dalam ruang Euclides !

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 36

011

101

211

3. W merupakan subruang RHD euclides di 3

yang dibangun oleh vektor

dan

Tentukan proyeksi orthogonal vektor

pada W