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Algunas Aplicaciones del Problema deRuteo de Vehıculos
Irma Delia Garcıa CalvilloCentro de Investigacion en Matematicas Aplicadas
Universidad Autonoma de Coahuila
VIII Encuentro Cuba-Mexico Metodos Numericos y OptimizacionLa Habana, Cuba
Marzo 2019I. Garcıa VRP Marzo 2019 1 / 59
Agenda
Introduccion: El problema de ruteo de vehıculos
Primer problema: transporte de personal
ProblematicaModelo matematicoResultados computacionales
Segundo problema: transportacion de pacientes a hospitales
Definicion de objetivosModelo matematicoResultados computacionales
Conclusiones
I. Garcıa VRP Marzo 2019 2 / 59
Introduccion
En las ultimas decadas ha habido un incremento de paquetes deoptimizacion basados en tecnicas de investigacion de operaciones oprogramacion matematica, en sistemas de distribucion para el manejoefectivo de la provision de bienes o servicios.
De acuerdo a aplicaciones del mundo real se ha mostrado que unabuena planeacion de los procesos de distribucion genera ahorros del5 % al 20 % en los costos de transportacion global.
Proceso de transportacion: representa del 10 % al 20 % del costo finalde los bienes.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 3 / 59
Introduccion
Exito de la utilizacion de las tecnicas de IdeO en el proceso detransportacion:
Desarrollo de sistemas de computo y la integracion de sistemas deinformacion en el proceso productivo y comercial.
Desarrollo de nuevos modelos y algoritmos.
Modelos que toman en cuenta todas las caracterısticas de losproblemas de distribucion en problemas del mundo real
Algoritmos eficientes que encuentran soluciones en tiempos decomputo aceptables en instancias reales.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 4 / 59
El problema de ruteo de vehıculos: VRP
VRP es uno de los problemas de optimizacion combinatoria masestudiados: distribucion de bienes entre depositos y usuarios finales.
VRP se puede definir como el problema de disenar las rutas de costomınimo para la distribucion de productos desde un deposito central aun conjunto de clientes geograficamente distribuidos, sujeto arestricciones operacionales.
Problema central en la distribucion de productos y debe resolverse deforma rutinaria.
Primer artıculo por Dantzing y Ramser (”The truck dispatchingproblem”, 1959), desde entonces ha sido objeto de investigacion yaplicaciones exitosas
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VRP
Un deposito central
Clientes que requieren productos con cierta demanda
Una flotilla de vehıculos disponibles con cierta capacidad detransportacion.
Se quiere planear la entrega de productos a los clientes.
Se desea minimizar los costos de transportacion (distancia totalrecorrida, numero de vehıculos, tiempo total de transportacion).
Se requiere disenar las rutas de los vehıculos que salen y regresan aldeposito, satisfaciendo las demandas de los clientes, con ciertasrestricciones operacionales.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 6 / 59
VRP
La red vial se describe generalmente con un grafo, los arcosrepresentan secciones o tramos viales y los vertices corresponden a losclientes.
Cada arco tiene asociado un costo que representa la longitud otiempo de viaje.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 7 / 59
VRP
Cuando se cuenta con un solo vehıculo con capacidad ilimitada: problemade agente viajero (TSP). VRP mas difıcil de resolver que el TSP
I. Garcıa VRP Marzo 2019 8 / 59
Primer problema
Transporte de personal en una empresa en Saltillo, Coahuila,Mexico
En colaboracion con:
M.C. Ernesto Terry Davila
I. Garcıa VRP Marzo 2019 9 / 59
Descripcion del problema
Problematica real del norte de Mexico:
I. Garcıa VRP Marzo 2019 10 / 59
Descripcion del problema
El ruteo de vehıculos, enfocadoen el personal, es un temarezagado en las empresas deSaltillo, Ciudad con industriasen el sector automotriz.
Algunos de los principalesproblemas: largos recorridos delas rutas de transporte yelevados costos en el servicio.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 11 / 59
Descripcion del problema
La empresa en donde sedesarrollo el proyecto perteneceal ramo automotriz
Esta ubicada en el parqueindustrial, a 8 km de la paradadel transporte de personal mascercana y 21 km de la masretirada.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 12 / 59
Descripcion del problema
El servicio de transporte lo provee una companıa externa a la empresa.
Esta companıa asigna las rutas con las cuales trabaja, actualmenteson 6 rutas en la ciudad de Saltillo.
La empresa contrata un servicio de taxis adicional al transporte oficialde personal en situaciones especiales. Se han elevadoconsiderablemente los costos de transportacion.
La empresa desea disminuir los costos de transportacion del personal.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 13 / 59
Descripcion del problema
I. Garcıa VRP Marzo 2019 14 / 59
Descripcion del problema
Actualmente las rutas son fijas y hay poca flexibilidad de generarrutas a partir de cero, es decir es necesario partir de las existentesdebido a que son las definidas por la empresa.
El transporte oficial solo cuenta con un tipo de unidad, 42 pasajeros.
Las unidades en las rutas de transporte no viajan a su capacidadmaxima.
Propuesta: Considerar incluir una segunda opcion de transporte,conocidas como camionetas Van con capacidad de 17 pasajeros quecubriran rutas similares a las existentes.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 15 / 59
Descripcion del problema
Actualmente las rutas son fijas y hay poca flexibilidad de generarrutas a partir de cero, es decir es necesario partir de las existentesdebido a que son las definidas por la empresa.
El transporte oficial solo cuenta con un tipo de unidad, 42 pasajeros.
Las unidades en las rutas de transporte no viajan a su capacidadmaxima.
Propuesta: Considerar incluir una segunda opcion de transporte,conocidas como camionetas Van con capacidad de 17 pasajeros quecubriran rutas similares a las existentes.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 15 / 59
Formulacion matematica
Formulacion matematica para el VRP considerando el modelo SetPartitioning (Baldacci, Mingozzi, 2009).
V conjunto de nodos o paradas de transporte.
M tipos de vehıculos.
Uk cantidad de vehıculos disponibles tipo k .
Rk conjunto de rutas factibles por vehıculo tipo k ∈ M.
Total de rutasR = ∪k∈MRk
ckl costo de la ruta l ∈ Rk y vehıculo k
Rki ⊂ Rk subconjunto de rutas de vehıculo tipo k que cubre el nodo
i ∈ V .
Rkl indica el subconjunto de nodos visitados por la ruta l ∈ Rk .
xkl variable binaria, indica si la ruta l ∈ Rk pertenece a la solucion.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 16 / 59
Formulacion matematica
mın∑k∈M
∑l∈Rk
ckl xkl
sujeto a ∑k∈M
∑l∈Rk
i
xkl = 1 ∀i ∈ V∑l∈Rk
xkl ≤ Uk , ∀k ∈ M
xkl ∈ 0, 1, ∀l ∈ Rk , ∀k ∈ M
I. Garcıa VRP Marzo 2019 17 / 59
Metodologıa
Los datos fueron proporcionados por una empresa de la localidad enel periodo de noviembre 2016 a enero 2017.
Se proporciono la poblacion total de usuarios de las rutas detransporte.
Rutas de transporte actualmente utilizadas, 6
38 paradas de transporte.
Se generaron 23 rutas nuevas para las camionetas tipo Van quesatisfacen las restricciones de capacidad y cubren todas las paradas.
Se dispone de 7 camiones (costo $ 555.00) y 15 camionetas Van(costo $ 311.00 ).
Con la informacion proporcionada se construyeron las rutas que seproponen en este modelo, usando los viajes que se realizaban en lostaxis como referencia para proponer recorridos.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 18 / 59
Metodologıa
Los datos fueron proporcionados por una empresa de la localidad enel periodo de noviembre 2016 a enero 2017.
Se proporciono la poblacion total de usuarios de las rutas detransporte.
Rutas de transporte actualmente utilizadas, 6
38 paradas de transporte.
Se generaron 23 rutas nuevas para las camionetas tipo Van quesatisfacen las restricciones de capacidad y cubren todas las paradas.
Se dispone de 7 camiones (costo $ 555.00) y 15 camionetas Van(costo $ 311.00 ).
Con la informacion proporcionada se construyeron las rutas que seproponen en este modelo, usando los viajes que se realizaban en lostaxis como referencia para proponer recorridos.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 18 / 59
Metodologıa
I. Garcıa VRP Marzo 2019 19 / 59
Metodologıa
Utilizando el software NEVA segraban todos los nodos en suubicacion geografica asignadapara generar la matriz dedistancias reales.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 20 / 59
Resultados: El modelo se resuelve utilizando Cplex
Se obtuvieron 10 rutas que cubren la demanda total de la empresa y aun costo menor al que se tiene a la fecha.
Las rutas obtenidas visitan cada nodo en el mapa y realizan solo unavisita a la vez
I. Garcıa VRP Marzo 2019 21 / 59
Resultados
I. Garcıa VRP Marzo 2019 22 / 59
Descripcion del problema
I. Garcıa VRP Marzo 2019 23 / 59
Resultados
Estos costos representan tan solo la entrada de personal por un turno,durante un dıa de operaciones normal en la empresa se tienen dos otres turnos, entrada y salida, 5 dıas a la semana.
La reduccion en la distancia de recorrido significa mayores lapsos dedescanso para el trabajador.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 24 / 59
Excel - solucion
I. Garcıa VRP Marzo 2019 25 / 59
Conclusiones
Se logro la disminucion de los costos de transportacion para elproblema de la empresa al considerar la polıtica de considerar otromedio de transporte de personal.
Con la nueva propuesta los trabajadores en promedio viajan menordistancia, lo cual repercute en su rendimiento laboral.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 26 / 59
Segundo problema
Transportacion de personas de movilidad reducida
En colaboracion con:
Yajaira Cardona - UAdeCJoaquın Pacheco - UBU
I. Garcıa VRP Marzo 2019 27 / 59
Introduccion
Se ha tenido un gran incremento en el numero de personas conmovilidad reducida en los ultimos anos.
Satisfacer las necesidades de estas personas es un gran reto para lasautoridades.
Una de las principales necesidades es el transporte desde sus hogaresa los centros donde reciben atencion medica.
Se requieren traslados puerta a puertaSe cuenta con unidades de transporte especiales para este grupo depersonas
I. Garcıa VRP Marzo 2019 28 / 59
Introduccion
I. Garcıa VRP Marzo 2019 29 / 59
Introduccion
I. Garcıa VRP Marzo 2019 30 / 59
Introduccion
Transporte colectivo adaptado para la transportacion de personas conmovilidad reducida
En particular trabajaremos con una aplicacion para transportarpacientes a centros hospitalarios.
Problema de Ruteo de Vehıculos
I. Garcıa VRP Marzo 2019 31 / 59
Introduccion
DARP: Dial A Ride Problem
DARP generaliza Pickup and Delivery VRP y VRP-TW
DARP: VRP con perspectiva humana. Minimizar tiempo de espera,tiempo de viaje.
En este trabajo se considera un modelo para transportar personas con dosobjetivos:
Social
Economico
I. Garcıa VRP Marzo 2019 32 / 59
Introduccion
DARP: Dial A Ride Problem
DARP generaliza Pickup and Delivery VRP y VRP-TW
DARP: VRP con perspectiva humana. Minimizar tiempo de espera,tiempo de viaje.
En este trabajo se considera un modelo para transportar personas con dosobjetivos:
Social
Economico
I. Garcıa VRP Marzo 2019 32 / 59
Objetivos
Problema. Disenar rutas factibles, esto es, respetando capacidad delvehıculo y tiempo maximo de cada ruta para atender todas las solicitudes,de forma que los usuarios de una solicitud viajen en el mismo vehıculo yque optimicen los dos objetivos simultaneamente.
Social: Minimizar la maxima diferencia, entre todos los usuarios, entreel tiempo de viaje de cada usuario y su tiempo directo de viaje
Economico: Minimimizar la distancia total de todas las rutas
Objetivos en conflicto
I. Garcıa VRP Marzo 2019 33 / 59
Modelo propuesto
Notacion.n Numero de solicitudesqi Cantidad de personas o usuarios en la solicitud iV V = 0, 1, . . . , n, n + 1, . . . , 2n localizaciones de los usuarios
0 es el depositoP = 0, 1, . . . , n Puntos de recogidaD = n + 1, . . . , 2n Puntos de destinoUna solicitud esta definida por i ∈ P e i + n ∈ D, i+, i−.
m numero de vehıculosQ Capacidad de cada vehıculoLmax Tiempo maximo entre la primera recogida y la ultima descarga
para cada rutatij , dij Matrices de tiempo y distancia entre cada par de puntos i y j
I. Garcıa VRP Marzo 2019 34 / 59
Modelo propuesto
Objetivo Social:
Para una solucion S formada por m rutas, se tiene
f1(S) = max∆i (S) : i ∈ P
donde ∆i (S) = Ti (S)− ti ,n+i y Ti (S) es el tiempo de viaje de la solicitudi en la solucion S .
Objetivo Economico
f2(S) =m∑
k=1
∑i∈V
∑j∈V
dijxkij
I. Garcıa VRP Marzo 2019 35 / 59
Modelo propuesto: variables
Modelo de tres ındices basado en Cordeau(2006) para DARP.
xkij =
1 si y solo si el vertice j es visitado justo despues del vertice i
por el vehıculo k.0 en otro caso
q0 = 0, qi = −qi−n, i = n + 1, . . . , 2n
uki = tiempo en que el vehıculo k sale del vertice i .
wki = carga del vehıculo k al partir vertice i
rki = tiempo de viaje del usuario i en el vehıculo k
I. Garcıa VRP Marzo 2019 36 / 59
Modelo propuesto: formulacion matematica
mın
α, m∑k=1
∑i∈V
∑j∈V
dijxkij
(1)
sujeto a
rki − ti ,n+i ≤ α, i ∈ P, k = 1, . . . ,m (2)
m∑k=1
∑j∈V ,j 6=i
xkij = 1, i ∈ P (3)
∑j∈V ,j 6=0
xk0j ≤ 1 k = 1, . . . ,m (4)
I. Garcıa VRP Marzo 2019 37 / 59
Modelo propuesto: formulacion matematica
∑j∈V ,j 6=i
xkij −∑
j∈V ,j 6=i+n
xki+n,j = 0, i ∈ P, k = 1, . . . ,m (5)
∑j∈V ,j 6=i
xkji −∑
j∈V ,j 6=i
xkij = 0, i ∈ V , k = 1, . . . ,m (6)
ukj ≥ (uki + tij)− (1− xkij )M, i , j ∈ V ; j 6= 0, j 6= i ,k = 1, . . . ,m (7)
wkj ≥ (wk
i + qj)− (1− xkij )Q, i , j ∈ V ; j 6= 0, j 6= i ,k = 1, . . . ,m (8)
I. Garcıa VRP Marzo 2019 38 / 59
Modelo propuesto: formulacion matematica
ukn+i − uki ≥ 0 i ∈ P, k = 1, . . . ,m (9)
rki ≥ ukn+i − uki i ∈ P, k = 1, . . . ,m (10)
∑i∈V−0
∑j∈V−0
j 6=i
tijxkij ≤ Lmax k = 1, . . . ,m (11)
max0, qi ≤ wki ≤ mınQ,Q + qi i ∈ V , k = 1, . . . ,m (12)
xkij ∈ 0, 1 i , j ∈ V , j 6= i , k = 1, . . . ,m (13)
I. Garcıa VRP Marzo 2019 39 / 59
Solucion
Soluciones eficientes. Una solucion es eficiente si no existe otra que ladomina. Se busca determinar las soluciones eficientes, lo que se conocecomo Frente optimo de Pareto.
Sean dos soluciones S y S ′, se dice que S domina a S ′ si
a) f1(S) ≤ f1(S ′)
b) f2(S) ≤ f2(S ′) y
c) o bien f1(S) < f1(S ′) o bien f2(S) < f2(S ′)
I. Garcıa VRP Marzo 2019 40 / 59
Problema Biobjetivo: Ejemplo 10 pacientes
Puntos extremos (0, 170) y (47, 97)Punto intermedio (19, 105)
I. Garcıa VRP Marzo 2019 41 / 59
Solucion
Se resolvio el modelo utilizando Cplex con ε-Constraint
mınx∈Ω
f2(S)
sujeto af1(S) ≤ ε
I. Garcıa VRP Marzo 2019 42 / 59
Aplicacion
Caso de traslado de pacientes de la Ciudad de Saltillo, Coahuila aMonterrey, Nuevo Leon.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 43 / 59
Aplicacion
IMSS envıa alededor de 300 pacientes diarios para recibir tratamientosespecializados
I. Garcıa VRP Marzo 2019 44 / 59
Aplicacion
Clınica 25 - Oncologıa (55 %)Clınica 34 - Cardiologıa (20 %)Clınica 21 - Traumatologıa (10 %)Clınica 33 - Ginecologıa (10 %)Clınica 22 - Psiquiatrıa (5 %)
I. Garcıa VRP Marzo 2019 45 / 59
Aplicacion
El IMSS no cuenta con la infraestructura de vehıculos necesaria paraatender los traslados, entre Saltillo y Monterrey, de todos lospacientes.
Actualmente algunos pacientes se trasladan en vehıculos particulares,otros en transporte publico (con bonos de autobus pagados por elIMSS) y otros lo hacen en vehıculos o ambulancias del IMSS
Se requiere disenar de manera eficiente el traslado de los pacientespara que acudan a su cita y reciban su tratamiento en vehıculoscompartidos adaptados.
Software NEVA para matrices de distancia y tiempos.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 46 / 59
Aplicacion
Localizacion y representacion de los nodos y las rutas solucion en laplataforma:NEVA - Sistema para la generacion de instancias y representacion desoluciones en modelos de rutas de transporte y logıstica
1 paciente por solicitud
2 depositos: 1 Saltillo (salen) y 1 Monterrey (estacionan y esperan)
I. Garcıa VRP Marzo 2019 47 / 59
Aplicacion
Origen: n = 5 solicitudes, m = 2 vehıculos, (Q = 3 pasajeros)
I. Garcıa VRP Marzo 2019 48 / 59
Aplicacion
Destino: n = 5 solicitudes, m = 2 vehıculos, (Q = 3 pasajeros)
I. Garcıa VRP Marzo 2019 49 / 59
Frentes de Pareto
Lmax = 150 minutos
(9, 384.258), (17, 383.061), (29, 383.056)
I. Garcıa VRP Marzo 2019 50 / 59
Frentes de Pareto
Lmax = 150 minutos
(9,384.258)R1 = P4+ → P1+ → P2+ → P1− → P4− → P2−
R2 = P5+ → P3+ → P5− → P3−
(17,383.061)R1 = P4+ → P1+ → P2+ → P2− → P4− → P1−
R2 = P5+ → P3+ → P5− → P3−
(29, 383.056)R1 = P4+ → P1+ → P2+ → P2− → P1− → P4−
R2 = P5+ → P3+ → P5− → P3−
I. Garcıa VRP Marzo 2019 51 / 59
Frentes de Pareto
Lmax = 200 minutos
(9, 384.258), (17, 383.061), (24, 382.592), (30, 382.210)
I. Garcıa VRP Marzo 2019 52 / 59
Frentes de Pareto
Lmax = 500 minutos
(0, 873.418), (2, 704.707), (7, 584.002)
(9, 383.311), (17, 382.114), (30, 382.033)
(59, 382.030), (205, 380.933), (209, 380.745)
(211, 380.476), (216, 378.064), (224, 378.059)
I. Garcıa VRP Marzo 2019 53 / 59
Trabajo en proceso
El problema es NP–completo =⇒ Para instancias de mayor tamanodisenamos estrategias basadas en metaheurısticas.
El metodo de solucion esta basado en MOAMP: MultiobjectiveMetaheuristic using an Adaptive Memory Procedure.
Consiste de tres fases.
Fase I. Aproxima los extremos del frente de Pareto, esto es, lasmejores soluciones considerando cada objetivo por separado.Se aproxima el punto ideal:
y1 = mınx∈Ω
f1, y2 = mınx∈Ω
f2
I. Garcıa VRP Marzo 2019 54 / 59
Trabajo en proceso
Fase II. Busca aproximar puntos dentro de la curva de eficiencia. Serealizan una serie de Busquedas Tabu enlazadas, usandocomo funcion objetivo la minimizacion en la distancia L∞ alpunto ideal.
Fλ(S) = max
λf1(S)− f mın
1
f max1 − f mın
1
, (1− λ)f2(S)− f mın
2
f max2 − f mın
2
λ ∈ (0, 1)
Si un punto minimiza la distancia L∞ normalizada al puntoideal, entonces es un punto eficiente.
El conjunto de puntos eficientes obtenidos de esta forma sedenomina Conjunto Compromiso.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 55 / 59
Trabajo en proceso
Fase III. Intensifica la busqueda alrededor de los puntos quepertenecen a SetND , explorando los vecindarios de todos lospuntos en este conjunto, buscando nuevos puntosno-dominados.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 56 / 59
Trabajo en proceso
Instancias de mayor tamano
Aumentar el numero de vehıculos.
Capacidad de vehıculos
Aplicaciones para traslados de personas a actividades dentro de unamisma Ciudad.
I. Garcıa VRP Marzo 2019 57 / 59
Conclusiones
Se ha analizado un problema de transpote de personas de movilidadreducida desde sus hogares a centros de atencion
Se presenta el modelo matematico asociado con dos objetivos: socialy economico
Se trabaja desde la pespectiva biobjetivo.
Se calculan frentes de Pareto presentando diferentes opciones encuanto al maximo excedente de tiempo de traslado y la distancia totalrecorrida
I. Garcıa VRP Marzo 2019 58 / 59
Gracias por su atencion
irma.garcia@uadec.edu.mx
I. Garcıa VRP Marzo 2019 59 / 59
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