ทฤษฎีจลน ของก าซ(Kinetic Theory of...

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 1

ทฤษฎีจลนของกาซ (Kinetic Theory of Gas)

จากการทดลองพบวา

NkTPV =สมการสถานะ

(Equation of State)

โดยP : ความดัน )(N/m2

V : ปริมาตร )(m3

T : อุณหภูมิ )(K

k: คาคงที่โบลทซมานน

KJ1038.1 23 ⋅×= −

N : จํานวนอนุภาค

กาซอุดมคติ (Ideal Gas) กาซที่ไมมีอันตรกิริยาระหวางอนุภาค

ใกลเคยีงกับกาซจริงที่สภาวะอุณหภูมิสูง และความดันต่ํา

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 2

Charles’ Law

TP ∝

Boyle’s Law

VP 1 ∝

Gay-Lussac’s LawTV ∝

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 3

แบบจําลองเพื่ออธิบายกาซอุดมคติ

แบบจาํลองสถิต

• Isaac Newton, Robert Boyle,

John Dalton (1766-1844)

• อนุภาคของกาซจะมีแรงผลัก

ระหวางกัน

• อนุภาคของกาซจะประพฤติตัว

เปนของไหล

• เมื่อของไหลไดรับความรอน

จะขยายตัวได

แบบจาํลองจลน

• Danielle Bernoulli (1700-1782)

• John Herapath (1790-1868)

• ไมมีอันตรกิริยาใด ๆ ระหวาง

อนุภาคของกาซ

• การใหความรอนจะทําใหอนุภาค

ของกาซเคลื่อนที่เร็วขึ้น

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 4

ทฤษฎีจลน (Kinetic Theory, Molecular Kinetic Theory)

สมมตุฐิาน (แบบจําลองจลน)

• ตองมจีํานวนอนุภาคมหาศาล

• ไมมีอันตรกิริยาใด ๆ ระหวางอนุภาคของกาซ

• การชนกันของอนุภาคกับผนังเปนการชนแบบยืดหยุน

พลงังานจลนของอนุภาคไมเปลีย่นแปลงเมื่อชนผนัง

• อนุภาคมีขนาดเล็กมากเมื่อเทียบกับภาชนะ

• พลังงานจลนรวมของกาซอุดมคติมีคาคงที่

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 5

L

m0

v

L

z

y

x

A

<F>ave

L

พิจารณาในแนวแกน x

=xF ΔΔ

xpt

xvLt 2

=Δ

xxixfx mvppp 2,, =−=Δ

LmvF x

x

2

=จะได

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 6

m0

v

L

z

y

x

A

<F>ave

L

2 xvAL

NmAF

NP⋅

==

2 xvVNm

=

พิจารณา

∫∞=

=

=v

vvdNN

0

∫∞=

=

⋅=v

vvdNv

Nv

0

1

2 xvNmPV =

จํานวนอนุภาค จํานวนอนุภาคที่มีอัตราเร็ว v ถึง v+dv

คาเฉลี่ย

อัตราเร็วเฉลี่ย

ดังนั้น

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 7

พิจารณา

∫∞=

=

⋅=v

vvdNv

Nv

0

22 1

จะได 2222 zyx vvvv ++=

แต 222zyx vvv ==

ดังนั้น

∫∞=

=

⋅=v

vvdNa

Na

0

1 โดยทั่วไป

2222 zyx vvvv ++=

22 3 xvv = 2 =rmsv

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 8

2 xvNmPV =จาก

จะไดวา ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== 22

21

32

31 rmsrms mvNNmvPV

KE32 NPV =

เทียบกบัสมการสถานะ NkTPV =

จะไดวา kT23 KE =

พลังงานจลนเฉลี่ยของอนุภาค

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 9

จาก kT23 KE =

ซึ่งจะไดผลวา อุณหภูมิ คือสิ่งที่แปรผันตรงกับพลังงานจลนเฉลี่ย

ของอนุภาคในกาซนั้น

ตัวอยาง ระหวางน้ําแข็งซึ่งวางอยูบนเครื่องบินที่บินดวยความเร็วเหนือเสียง

กับน้ําเปลาในแกว ซึ่งวางอยูนิ่งๆบนพื้นโลก

1. สิ่งใดมีพลังงานจลนมากกวา?

ก) น้ํา ข) น้ําแข็ง ค)ไมรู

2. สิ่งใดมีอุณหภูมิสูงกวา?

ก) น้ํา ข) น้ําแข็ง ค)ไมรู

จริงๆแลวเรานิยามอุณหภูมิจากการกระจายของความเร็วเทียบกับ

ความเร็วศูนยกลางมวล

อาจารย ดร. อรรถกฤต ฉัตรภูติ ภาควิชาฟสกิส คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 10

อุณหภูมิต่ําที่สดุบนผิวโลก

อุณหภูมิต่ําที่สุดบนผิวโลกอยูที่ ทะเลสาบ Vostok ในทวีป Antarctic วัดได

เทากบั -89.4 C (-129 F) เมื่อวันที่ 21 กรกฎาคม 1983

อาจารย ดร. อรรถกฤต ฉัตรภูติ ภาควิชาฟสกิส คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 11

อุณหภูมิต่ําสุด 0K

ตามทฤษฎีอุณหภูมิต่ําที่สุดที่เปนไปไดคือ 0K หรือ -273 องศา

3KE2

kT< >= 0v< >=

ยิ่งโมเลกลุของกาซมีการเคลื่อนที่ (ความเร็ว) นอย อุณหภูมิของระบบยิ่งต่ําอุณหภูมิต่ําสุดที่มนุษยสรางไดในหองทดลองคือ 0.1 nK (0.0000000001 K)

ที่ Low Temperature Lab ของ Helsinki University of Technology ประเทศ

ฟนแลนด

นักฟสิกสสรางระบบที่มีอุณหภูมิต่ําๆ ใกลศูนยเคลวินไดอยางไร?

อาจารย ดร. อรรถกฤต ฉัตรภูติ ภาควิชาฟสกิส คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 12

Laser cooling

นักฟสิกสสามารถทําใหอะตอมวิ่งชาลง

ไดโดยใชแสงเลเซอร อะตอมที่วิ่งเขา

หาแสงจะดูดกลืนพลังงานของโฟตอน

ในขณะที่อะตอมที่อยูนิ่งๆจะไมดูดกลนื

Doppler effect: ความถี่ของแสง

เลเซอรที่อะตอมจะดูดกลนืขึ้นกับ

ความเร็วของอะตอม !!

อาจารย ดร. อรรถกฤต ฉัตรภูติ ภาควิชาฟสกิส คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 13

Nobel prize 1997

http://nobelprize.org/physics/laureates/1997/index.html

อาจารย ดร. อรรถกฤต ฉัตรภูติ ภาควิชาฟสกิส คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 14

ฟสิกสที่นาสนใจที่อุณหภูมิต่ําๆ

Bose-Einstein Condensation (BEC)

Superconductor

อาจารย ดร. อรรถกฤต ฉัตรภูติ ภาควิชาฟสกิส คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 15

อุณหภูมิสูงที่สุด?

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 16

การแจกแจงอัตราเร็วของโมเลกุล

แมกซเวลล (1860) เสนอวา dvNdN vv =

การแจกแจงอัตราเร็วแบบ

แมกซเวลล

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

kTmvv

kTmNN v 2

exp2

4 2

22/3

πโดย

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 17

จากการแจกแจงอัตราเร็วแบบแมกซเวลล

จะไดวาmkTdNv

Nv

v

vv π

8 1 0

=⋅= ∫∞=

=

mkTdNv

Nvv

v

vvrms

3 1 0

222 =⋅== ∫∞=

=

mkTvrms

3 =

mkTvmp

2 =

และ

และ

0 == mpvv

v

dvdN

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 18

ตัวอยาง อนุภาค 22 ตัว มีอัตราเร็วดังนี้

1. จงหาอัตราเร็วเฉลี่ย

2. จงหา

3. จงหาอัตราเร็วที่มีจํานวนโมเลกุลมากที่สุด

rmsv

iN

( )s/cmiv

2 4 6 8 2

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 19

1. อัตราเร็วเฉลีย่

3. อัตราเร็วที่มีจํานวนโมเลกลุมากที่สุด

2. จงหา rmsv

( )5248362412221

×+×+×+×+×== vvav

cm/s 18.3 =

( )2222222 5248362412221

×+×+×+×+×== vvrms

22/scm 4.11 =

ดังนั้น cm/s 37.3 =rmsv

cm/s 4 =mpv

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 20

ตัวอยาง กลองใบหนึ่งบรรจุกาซออกซิเจน ที่อุณหภูมิ 300 K

1. จงหาวาจะมีโมเลกลุทีม่ีอัตราเร็วในชวง 599 ถงึ 601 m/s กี่เปอรเซ็นต

จาก dvNdN vv =

แทนคา kg 1066.132 27−××=mm/s 599 =v

J/K 1038.1 23−×=k

K 300 =Tm/s 2 =dv

จะได 31062.2 −×=N

dNv

นั่นคือมีจํานวนโมเลกุล 0.262% ที่มีอัตราเร็ว 599 ถึง 601 m/s

Maxwell’s speed distribution

จํานวนอนุภาคที่มีอัตราเร็ว ถงึv dvv +

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 21

ในกรณีที่ชวงอัตราเร็วกวาง ( ) ∫=→2

1

21

v

vvdvNvvN

2. โมเลกลุมีอัตราเร็วเฉลี่ยเทาใด

m/s 445

8 ===m

kTvvav π

m/s 483 3 2 ===mkTvvrms

3. โมเลกลุมี เทาใด rmsv

4. จงหาอัตราเร็วที่มีจํานวนโมเลกุลมากที่สุด

m/s 395 2 ==mkTvmp

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 22

ตัวอยาง กาซสมมุติจํานวน N โมเลกลุ มีการแจกแจงอัตราเร็วดังนี้

vN

a

0v 02vv

0

1. จงเขียน ในเทอมของ และa 0vN

2. จงหาอัตราเร็วเฉลี่ยของโมเลกลุในเทอมของ 0v

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 23

vN

a

0v 02vv

0

1. จงเขียน ในเทอมของ และa 0vN

∫∞

=0

1 1 dvNN v

∫∞

=0

dvNN v

∫∫ +=0

0

0 2

0 0

v

v

v

advvdvvaN

00 2

avva+=

23 0avN =

32

0vNa =

จะได

จาก

vN

a

0v 02vv

0

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 24

2. จงหาอัตราเร็วเฉลี่ยของโมเลกลุในเทอมของ 0v

∫∞

=0

1 dvvNN

v vav

∫∫ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

0

0 2

0 0

1 1 v

v

v

avdvN

vdvvva

N

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=0

0

0 22

00

3

2

3

v

v

vv

vv

Na

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= 2

0611 v

Na

จะได

0911 vvav =

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 25

กาซจริง (Real Gas)

NkTPV =

( )( ) NkTbVaP =′−′+

สมการสถานะ

(Equation of State)

อนุภาคมีขนาด มีผลทําใหที่วางนอยกวาปริมาตรของภาชนะ

มีแรงดึงดูดระหวางอนุภาค มีผลทําใหความดันจริงต่ํากวาตามทฤษฎี

ความดันของกาซจริง ปริมาตรของภาชนะ

ความดันกาซอุดมคติ ปริมาตรที่วาง

พิจารณา

อาจารย ดร. อรรถกฤต ฉัตรภูติ ภาควิชาฟสกิส คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 26

Rudolf Clausius 1822 -1888

ผูเสนอกฎสองขอของเทอรโมไดนามิก

b

bbb

V2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′

VNaa

อาจารย ดร. เจษฎา สขุพทิักษ ภาควิชาฟสกิส คณะวทิยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ทฤษฎีจลนของกาซ 27

Van de Waal เสนอวา

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′

VNaa

( ) NkTbVVNaP

2

=′−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+จะไดวา

Van de Waal

Equation of State( ) kTbaP 2 =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + υ

υ

โดย

NV =υ ปริมาตรตออนุภาค ,

Vbb′

=

a,b หาไดจากการทดลอง