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ESCOLASECUNDÁRIASÁDEMIRANDAFichadetrabalhonº8 12º5/9Abrilde2009

Fernanda Carvalhal 1

1. AAnaestáapreparar‐separaoseuprimeirodiadeaulasdoterceiroperíodo.Olhaparao

seu guarda‐fatos e está indecisa: terá de se decidir por uma entre três saias e por uma

entrecincocamisolas.Dequantasmaneirasdiferentespoderáfazeraescolhadoconjunto

saia/camisola?

2. Se a Ana tivesse n saias e p camisolas de quantas formas diferentes poderia fazer a

escolha?

3. SeumconjuntoA tivern elementos, e, umconjuntoB tiverp elementosquantospares

ordenadosdistintossepoderãoformarcomumelementodecadaumdosconjuntos?

# A( ) = n∧# B( ) = p⇒# A ×B( ) =

4. NofimdasaulasaAna,aBeatriz,oEduardo,oFilipe,oGuilherme,aHelena,aIsabeleo

João foram ao cinema. Compraram oito bilhetes, todos seguidos e na mesma fila e

entraramnasalaparaverofilme.Dequantasmaneirasdistintassepodemsentar:

4.1Semqualquerrestrição?

4.2SeaAnaficarnapontadoladoesquerdo?

4.3SeaAnaficarnumadaspontas?

4.4SeaAnaficarjuntodoJoãonumadaspontas?

4.5SeaAnaficarjuntodoJoão?

4.6SeAnanãoficarjuntodoJoão?

5. Quantassequênciasdiferentessepodemformarcomnelementosdistintos?

6. Suponhaagoraquequatrodosamigos,oFilipe,oGuilherme,aHelenaeaIsabel,vão,no

intervaloàcafetariadocinema.Lásentam‐senumamesaquadradacomquatrocadeiras.

Quantasdisposiçõesdiferentesexistem?

7. Qualonúmerodaspermutaçõescircularesdenelementosdistintos?

8. Nofimdocinemaforamatéumagelatariaeenquantoesperavampelosgeladosestiveram

afazeranagramas(dodicionárioPriberam:anagrama–s.m.,transposiçãodeletras;inversãodasletrasdeum

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nomeparaformaroutro).Quantosanagramasdistintospodemfazercomasletrasdapalavra:

8.1 AMOR

8.2 ANA

8.3 BATATA

8.4 OTORRINOLARINGOLOGISTA

9.Nagelatariaamesa,ondesesentaramparacomerogelado,erarectangular.Decadalado

damesahavia5bancos todos iguais.Dequantas formasdistintas se

podemsentaros8amigos:

9.1 Semqualquerrestrição?

9.2 Ficandovaziososdoislugaresdoladoesquerdo?

9.3 Ficando os rapazes de um lado da mesa e as raparigas do

outro?

9.4 FicandoaAnaemfrentedoJoão?

10 DepoisdogeladodecidiramiratéaoBomJesus.Láestavaumfotógrafoqueseofereceu

para lhesfazerumretrato.Maspôsduascondições:sófotografava

trêsalunosdecadavezesentadosnumbancodo jardim,comtrês

lugares.

10.1 Quantasfotografiasdiferentespodemserfeitas?

10.2 Seosrapazesnãoquiseremtirar fotografiaquantas disposiçõesdiferentesse

podemobter?

11 Quantassequênciasdistintasdepelementosdiferentes,escolhidosentreosnelementos

deumconjunto,sepodemformar?

12 AindanoBomJesusencontraramumcauteleiroerepararamqueeletraziatrêsbilhetesda

LotariaNacional.NãosendocompradoreshabituaisdaLotariainterrogaram‐se:

12.1 Quantosnúmerosháemcadaextraçãodalotaria?

12.2 Quantostêmosalgarismostodosiguais?

12.3 Quantostêmosalgarismostodosdiferentes?

12.4 Quantossãocapicuas?

12.5 Quantostêmexactamentetrêsalgarismos7?

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13 Quantas sequências distintas de p elementos , escolhidos entre os n elementos de um

conjunto,sepodemformar?

14.Ojogodogaloéformadoporumtabuleirocom9casas 3×3( ) .Há9peçasparacolocarnotabuleiro:5“rodas”e4“cruzes”.

14.1Quantasdisposiçõesdiferentesdas9peçassepodemfazer?

14.2 De quantas formas diferentes se podem dispor somente as 5 “rodas” no

tabuleiro?

15.Numacaixahá6bolas:umapreta,umaverde,umaazul,umalaranja,umaamarelaeuma

roxa.

15.1Quantos sub‐conjuntos comumaunicabola sepodem

formar?

15.2 Quantos sub‐conjuntos, distintos, com duas bolas se

podemformar?

15.3Quantossub‐conjuntos,distintos,comtrêsbolassepodemformar?

15.4Quantossub‐conjuntos,distintos,comquatrobolassepodemformar?

16.Seumconjuntotemnelementosquantossubconjuntosdistintosdepelementossepodem

formar?

17. Na figura está representado um tabuleiro e 8

peças (1verde, 1 amarela, 1 azul e 5 vermelhas )

para colocarno tabuleiro.Àpergunta: “Dequantas

formas diferentes se podem colocar as 8 peças no

tabuleiro?”foramdadastrêsrespostasdiferentes:

i)12!5!×4!

ii)12C5 ×

7A3 iii)12A3 ×

9C4

17.1Provequetodasasrespostassãoequivalentes.

17.2Expliqueoraciocíniosubjacenteacadaresposta

18.VerifiquequenCp =

nCn−p

19. No “Euromilhões” quantas apostas simples ( 5 números em 50 e 2 estrelas em 9) e

diferentessepodemformar?

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20.Quantasmatrizesdiferentesdo“Euromilhões”dãodireitoaoquintoprémio(4númerose

1estrela)?

21. No “Euromilhões” conseguem construir‐se mais matrizes distintas acertando em 3

númerose1estrelaouacertandoem2númerose2estrelas?

22. Numa turma constituída por 27 alunos, dos quais 12 são raparigas, vão ser formadas

comissõesdetrêsalunos.

22.1Quantascomissõessepodemconstituir,semqualquerrestrição.

22.2Quantascomissõessãoformadasporduasraparigaseumrapaz?

22.3Quantascomissõessãoformadassóporraparigas?

22.4Quantascomissõessãomistas?

22.5EmquantascomissõesestãoemsimultâneooRui,queédelegadodeturmaeaInêsqueé

asub‐delegada?

22.6Suponhaagoraqueacomissãoserá formadapor trêselementosda turmacomtarefas

distintas.Quantascomissõesexistemnestecaso?

23.Comosalgarismos0,1,2,4,5,6,8,9quantosnúmerosdistintos,de4algarismos,sepodem

formar:

23.1Semqualquerrestrição?

23.2Comosalgarismostodosdiferentes?

23.3Pares?

23.4Ímparesecomosalgarismostodosdiferentes?

23.5Paresecomosalgarismostodosdiferentes?

24.Com15bolas,6vermelhas,4azuis,3brancase2pretasquantassequênciasdistintasse

podemformar?

25.Numtabuleirodexadrês(64“casas”)pretendocolocar7peças:3peõespretos,2peões

brancos,obispopretoearainhabranca.Quantasdisposiçõesdiferentespossofazer?

26.Pretende‐sepintarumabandeiraformadaporquatrotriângulosconforme

a figura junta sugere. Terá de se colorida comalgumasdas seguintes cores:

azul, verde, preto, roxo e laranja. Quantas bandeiras diferentes se podem

formar:

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26.1Nãohavendodoistriângulosadjacentescomamesmacor?

26.2Ficandoaáreajuntoaomastropintadadeazulenãohavendodoistriângulosadjacentes

comamesmacor?

26.3Comascorestodasdiferentes?

27. De quantas formas diferentes se podem colocar 6 bolas indistinguíveis em 4 caixas

distintasdemodoquecadacaixacontenhapelomenosumabola?

28.Dequantasmaneiraspodemficarcolocadas6bolasdiferentesem4caixasdiferentes.

29.Numacarruagemdecomboiohá32 lugares:16viradosparaa frentee16viradospara

trás.Entramnocomboio17amigosdosquais6nãoqueremirviradosparatrás,4queremir

viradosparatráseosoutrossãoindiferentesquantoàformacomosevãosentar.

29.1Dequantasformasdiferentessepodemsentaros

amigos?

29.2OLuíseaIsabelqueremirviradosparaafrentee

sentados ao lado um do outro (considere que

pretendem ir ao lado um do outro, sem a coxia no

meio).Quantasdisposiçõesdiferentesdosamigosnacarruagemsepodemformar?

29.3AFranciscaeaPatríciapretendemirviradasparatrás.Emquantasdisposiçõeselasnão

vãoaoladoumadaoutra.

30.Os17amigosdoproblemaanterior,quandochegamaodestino,saemdocomboioemfila.

30.1Dequantasformasdiferentesopodem?

30.2Dequantasformasdiferentesopodemfazerseas8raparigassaíremprimeiro?

30.3Dequantasformasdiferentesopodemfazersesaíremalternadamenterapaz‐rapariga?

30.4DequantasformasdiferentesopodemfazerseaFrancisca,aIsabeleaPatríciasaírem

exactamenteporestaordemesemninguémentreelas?

31.NaPousadadaJuventudeondetinhamreservadoquartoforaminformadosquetinhamà

suadisposição6quartos:umde4camas,trêsde3camasedoisde2camas.

31.1Dequantasformasdiferentespodemserescolhidosostrêsquartosquevãoserocupados

pelos9rapazes?

31.2 Decididos os quartos que vão ficar ocupados pelas raparigas de quantas formas

diferentespodemserescolhidasas17camasdisponíveis?