View
222
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
228
Proporcionalitatgeomètrica8
SEMBLANÇA DE TRIANGLES
ESCALES
POLÍGONSSEMBLANTS
SEGMENTSPROPORCIONALS
TEOREMA DE TALES
PROPORCIONALITAT GEOMÈTRICA
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 228
La clau de la Ciutat Prohibida
El missioner jesuïta Matteo Ricci va travessar la porta de la Ciutat Prohibida per trobar-se amb l’emperador Wan-Li. Els regals que li havia enviat havien fet efecte i l’emperador el volia conèixer.
L’emperador, que mentre esperava es mirava el mapa del món inclòs en els regals, va aixecar la vista i li va ordenar fer-ne una còpia per a ell.
Després de l’entrevista, el pare Ricci va tornar a casa seva i allí, un altre missioner, una mica sorprès, va dir:
–Encara no entenc per què els crida tant l’atenció el mapa.
–És lògic –va argumentar el pare Ricci–. Fa milers d’anys que es pensen que el món és solament la Xina, que a fora hi viuen bàrbars incapaços d’aportar res a la seva cultura, i, de sobte, els demostrem que no som bàrbars, sinó que estem més avançats que ells en ciències com ara matemàtiques, astronomia, geografia...
–Aquesta és la clau que m’ha conduït a l’emperador de la Xina –va continuar el pare Ricci–. El mapa ha cridat la seva atenció, i quan els he explicat la manera de prendre mesures i la utilització d’escales per representar-les sobre el paper, llavors han vist que els podíem ensenyar moltes coses.
Dues muntanyes que estan situades a una distància de 20 km apareixen dibuixades en un mapa amb una separació de 2 cm. Quina distància hi haurà al mapa entre dos punts que disten en la realitat 40 km?
=
20x = 2 ⋅ 40
20x = 80
x =
x = 4
Entre els dos punts del mapa hi ha 4 cm.
80
20
40
x
20
2
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 229
230
EXERCICIS
Determina la longitud d’aquests segments:
a)
b)
a) 4 cm b) 5,5 cm
Dibuixa els segments AB i CD, de longituds 18 i 24 mm, respectivament.Troba’n la raó.
La raó entre els dos segments és el quocient de les seves longituds.
1,3)
Dibuixa els segments FG = 3 cm i MN = 9 cm. Quina és la raó? Explica el significat del resultat.
La raó entre els dos segments és el quocient de les seves longituds.
El segment MN és 3 vegades més llarg que el segment FG.
La raó de dos segments AB i CD és 0,5. Si AB fa 2 cm, calcula CD. Dibuixa els segments.
El segment CD és el doble de AB.
La raó de dos segments FG i MN és 0,3. Si MN fa 50 mm, calcula la mida (en cm) de FG. Dibuixa els segments.
El segment FG és el triple de MN.
Si la raó entre AB i CD és 2, quina és la raó entre CD i AB?
La raó entre CD i AB és 0,5.
AB
CD
CD
AB= =2 → 0,5
006
FG
MN
FGFG= = = =
500,3 15 mm 1,5 cm→
005
AB
CD CDCD= = =
240,5 cm→
004
MN
FG= =
9
33
003
CD
AB= =
24
18
BA C D
002
001
Proporcionalitat geomètrica
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 230
231
8
Indica si aquests segments són proporcionals:
a) AB = 18 cm, CD = 30 mm, EF = 30 mm i GH = 5 mm
b) AB = 2,5 cm, CD = 5 cm, EF = 4,5 cm i GH = 8 cm
a) Comparem les raons: . Per tant, són proporcionals.
b) Comparem les raons: . Per tant, no són proporcionals.
Troba la longitud del segment desconegut en aquestes proporcions:
a) b) c)
a) c)
b)
Donats dos segments AB = 3 cm i CD = 9 cm:
a) Calcula la raó dels segments AB i CD.b) Escriu dos segment que hi siguin proporcionals.
a) 0,3)
b) EF = 6 cm, GH = 18 cm
Si la raó entre els segments AB i CD és a, i la raó entre EF i GH és b, quina condició s’ha de donar perquè AB i CD siguin proporcionals a EF i GH?
Les raons han de ser iguals. Per tant, a = b.
Calcula la longitud de OA' i BC:
OA = 3 cmAB = 2,25 cm
A'B' = 1,5 cmB'C' = 5 cm
OA
OA
BC
B C
BCBC
' ' '= = =→ →3
2 57,5 cm
OA
OA
AB
A B OAOA
' ' ' ''= = =→ →3
22,25
1,5cm
AB
C
O
A' B' C'
011
010
3
9
1
3= =
009
5 12
6025
ABAB= =→
1
3
1545= =
ABAB→AB
AB3
8
122= =→
13
15=AB
5 1260AB
=AB3
812
=
008
2,5 4,5
5 8�
180
30
30
5=
007
SOLUCIONARI
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 231
232
Calcula la longitud del segment OC a la figura de l’exercici anterior.
OC' = 2 + 1,5 + 5 = 8,5 cm
També es pot trobar sumant els tres segments que el formen.
En aquesta figura sabem que OA = 4,7 cm, AB = 5 cm i la raó .
Calcula A'B', OB i OB'.
OB = OA + AB = 9,7 cm
Divideix gràficament un segment de 7 cm en:
a) 5 parts iguals. b) 2 parts, en què la segona sigui la meitat que la primera.
a)
b)
Divideix un segment de 10 cm en parts proporcionals a dos segments de 2 cm i 3 cm. Quina mida fan els segments resultants?
Els segments fan 4 cm i 6 cm.
10 cm
2 cm
3 cm
015
7 cm
2 cm
4 cm
7 cm
014
OA
OA
OB
OB OBOB
' ' ''= = =→ →1,6
9,76,0625 cm
OA
OA
AB
A B A BA B
' ' ' ' '' '= = =→ →1,6 3,125 cm
5
5 cm
4,7 cmA
B
O
A' B'
OAOA'
= 1,6013
OA
OA
OC
OC
OCOC
' '= = =→ →3
2 8 5,12,75 cm
012
Proporcionalitat geomètrica
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 232
233
8
Observa la figura següent:
Quant fan els segments AP, PQ i QB?
Apliquem el teorema de Tales: .
QB = 5 cm
Dibuixa tres parells de triangles en posició de Tales. Explica com ho fas.
Dibuixem un triangle i després tracem la paral·lela a un dels seus costats i que talli els altres dos.
Dibuixa tres parells de triangles semblants que no estiguin en posició de Tales.Indica com ho fas.
Digues si aquests dos triangles estan en posició de Tales:Calcula EC i CB si:
AB = 8 cmED = 5 cmAC = 6 cmDB = 4 cm
AD
DE
AB
BC BCBC= = = =→ →4
5
8 40
410 cm
AB
BD
AC
EC ECEC= = = =→ →8
4
6 24
83 cm
A
E
C
D
B
019
018
017
PQ = =15
43,75 cmAP = =
5
41,25 cm
10
8 1 3 4= = =
AP PQ QB
10 cmG F
A P Q B
1 cm3 cm
4 cm
016
SOLUCIONARI
Els triangles estan en posicióde Tales, perquè tenen encomú l’angle A$ i els costatsDE i BC són paral·lels.
A'
A C
B B
B'
CA A'
B
B'
AC'
C
B
A C
B'
A' C'
A' C'
B'
A C
BCC'
B'AA'
B
C'
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 233
234
Els costats d’un triangle fan 5 cm, 4 cm i 8 cm, i els costats d’un altre, 5 cm, 6 cm i 8 cm. Comprova si són semblants.
Els seus costats no són proporcionals: , i els trianglesno són semblants.
Comprova que un triangle rectangle de catets de 8 cm i 6 cm és semblant a un altre de catets de 4 cm i 3 cm.
La hipotenusa del primer triangle fa 10 cm i la del segon és de 5 cm.
Els seus costats són proporcionals: , i els triangles són semblants.
Comprova si aquests triangles isòsceles són semblants, i indica el criteri que has aplicat.
a) Els angles del primer triangle fan 20°, 80° i 80°, i els angles del segontriangle fan 80°, 50° i 50°. Per tant, no són semblants, perquè els seusangles no són iguals.
b) Els costats del primer triangle fan 5 cm, 5 cm i 3 cm, i els costats delsegon fan 7,5 cm, 7,5 cm i 4,5 cm.
Com que , els triangles són semblants, ja que tenen
els costats proporcionals.
L’ombra d’un autobús a una certa hora del dia fa 8 m. A la mateixa hora,l’ombra d’un cotxe, que fa 1,4 m d’alçada, és de 3,5 m. Quina alçada té l’autobús?
Es formen dos triangles semblants, ja que els seus angles són iguals.
xx
8= =
1,4
3,53,2 m→
GF
1,4 m
8 m 3,5 m
023
5 5 3
7,5 7,5 4,5= =
5 cm
3 cmb)
7,5 cm
4,5 cm
a) 20°
80°
022
10
5
8
4
6
3= =
021
4
5
5
6
8
8� �
020
Proporcionalitat geomètrica
F
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 234
Quina alçada té el pal?
Calcula el valor de x.
y = 10 − 6 = 4 cm
Donats aquests rectangles, resol:
a) Són semblants?b) Quina raó de semblança tenen?c) Determina les mides d’un altre rectangle que hi sigui semblant.
a) → Són semblants.
b) La raó de semblança és 1,25.
c) Per exemple, 10 cm i 8 cm.
Calcula el perímetre dels rectangles de l’exercici anterior. Quina és la raó entre els seus perímetres? Quina relació té amb la raó de semblança?
PR. Gran = 30 ⋅ 2 + 20 ⋅ 2 = 60 + 40 = 100 cm
PR. Petit = 24 ⋅ 2 + 16 ⋅ 2 = 48 + 32 = 80 cm
La raó és: = 1,25.
La raó entre els seus perímetres coincideix amb la raó de semblança.
Quina és la raó entre les àrees de l’exercici anterior? Quina relació té amb la raó de semblança?
AR. Gran = 30 ⋅ 20 = 600 cm2
AR. Petit = 24 ⋅ 16 = 384 cm2
La raó és: = 1,5625 = 1,252.
La raó entre les seves àrees és el quadrat de la raó de semblança.
600
384
028
100
80
027
30
24
20
16=
20 cm
30 cm
16 cm24 cm
026
x = + = =4 4 322 2 5,66 cm
hh
6
2
34= =→ cm
6 cm
10 cm
2 cm3 cm
xh
y
025
15
18 10= =
xx→ 8,33 m
024
235
8SOLUCIONARI
G F8 m
G F18 m
GF
15 m
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 235
236
Observa el pentàgon ABCDE de la figura.Construeix un pentàgon semblant, si saps que la raó de semblança és 2.
Dibuixa un pentàgon semblant a l’anterior amb raó de semblança 0,5.
Construeix un polígon semblant, amb raó de semblança 1,5, prenent com a punt O un punt interior del polígon.
Quina figura aconsegueixes com a resultat si construeixes un polígon semblant a un altre amb raó de semblança 1?
Obtenim un polígon idèntic a l’original.
Explica què significa cada escala:
a) 1 : 300 b) 1 : 60.000 c) 1 : 12
a) Una escala 1 : 300 significa que la distància original és 300 vegades més gran que la distància de la gràfica. Així, 1 cm de la gràfica equival a 3 m en l’original.
b) Una escala 1 : 60.000 significa que la distància original és 60.000 vegades més gran que la distància gràfica. Així, 1 cm de la gràfica equivala 600 m en l’original.
c) Una escala 1 : 12 significa que la distància original és 12 vegades més gran que la distància gràfica. Així, 1 cm de la gràfica equival a 12 cmen l’original.
033
032
Q P
NM
031
030
029
Proporcionalitat geomètrica
A
BC
D
E A'
B' C'
D'
E'
A
B C
D
O
M
Q P
N
E
A'
B' C'
D'
E'
Q' P'
N'M'
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 236
237
8
Quina escala hem fet servir per dibuixar un objecte si 3 cm del dibuix equivalena 3 dm de la realitat?
. L’escala és 1 : 10.
Fem el plànol d’una casa a escala 1:75:
a) Quina raó de semblança hi apliquem?b) Quina mida real té una línia del plànol de 5 cm de longitud?c) Quina mida fa al plànol una longitud de 4,5 cm?
a) La raó de semblança és . c) Al plànol mesura: .
b) 5 ⋅ 75 = 375 cm
ACTIVITATS
Calcula la raó d’aquests segments:
a) AB = 6 cm CD = 8 cm c) AB = 15 dm CD = 9 mb) AB = 64 cm CD = 1 m d) AB = 20 m CD = 4 m
a) 0,75 b) 0,64 c) 0,167 d) 5
Si la raó , calcula:
a) AB, si CD = 76 cm b) CD, si AB = 3 cm
a) AB = 19 cm b) CD = 12 cm
Si la raó ; calcula:
a) AB, si CD = 9 dm b) CD, si AB = 13,6 cm
a) AB = 14,4 dm b) CD = 8,5 cm
Són proporcionals els segments AB, CD, EF i GH en les sèries següents?
a) AB = 2 cm CD = 5 cm EF = 6 cm GH = 16 cmb) AB = 2 dm CD = 1 m EF = 5 cm GH = 25 cmc) AB = 6 cm CD = 8 cm EF = 4 m GH = 3 md) AB = 3 m CD = 4 m EF = 12 dm GH = 16 dm
a) → No són proporcionals. c) → No són proporcionals.
b) → Són proporcionals. d) → Són proporcionals.3
4
12
16=
20
100
5
25=
6
8
4
3�
2
5
6
16�
039��
ABCD
= 1,6038�
ABCD
= 14
037�
036�
4,50,06 cm
75=
1
75
035
3
3
3
30
1
10
cm
dm
cm
cm= =
034
SOLUCIONARI
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 237
238
Calcula la longitud que ha de tenir el quart segment proporcional als segments AB, CD i EF.
a) AB = 3 cm CD = 6 cm EF = 9 cm
b) AB = 2 m CD = 7 m EF = 8,2 m
c) AB = 3 dm CD = 5 dm EF = 21 dm
d) AB = 10 cm CD = 15 cm EF = 25 cm
a) c)
b) d)
La raó de dos segments és i la suma de les seves longituds és de 8 cm.
Troba la longitud de cada segment.
a + b = 8
Aïllem a en la primera equació: a = 8 − b.La raó de proporcionalitat és:
→ → 5 ⋅ (8 − b) = 3 ⋅ b →
→ 40 − 5 ⋅ b = 3 ⋅ b → 40 = 8b → b = 5 cm
b = 5 cm → a = 8 − 5 = 3 cm
8 3
5
−=
b
b
a
b=
3
5
r =3
5
35
042��
10
15
25= =
GHGH→ 37,5 cm
2
7= =
8,228,7 m
GHGH→
3
5
2135= =
GHGH→ dm
3
6
918= =
GHGH→ cm
041�
040
Proporcionalitat geomètrica
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM UN SEGMENT PROPORCIONAL A TRES SEGMENTS MÉS?
Donats tres segments: AB = 4 cm, CD = 3 cm i EF = 2 cm, calcula la longitudd’un quart segment, GH, que sigui proporcional a aquests tres.
El segment que volem trobar l’anomenem segment quart proporcional.
PRIMER. Hi apliquem la definició de segments proporcionals.
SEGON. Resolem l’equació.
TERCER. Comprovem la solució.
AB
CD
EF
GH= = ⋅ = ⋅ =→ → →4
3
24 3 2 6 6
1,51,5
4
3
24 3 2
6
4= ⋅ = ⋅ = =
GHGH GH→ → 1,5 cm
AB
CD
EF
GH GH= =→ 4
3
2
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 238
239
8
La raó de dos segments és 4 i la diferència de les seves longituds és de 7 cm.Calcula la longitud de cada segment.
Calcula les longituds desconegudes:
a) d)
⎯→ x = 5 cm
→ y = 4,16 cm
⎯→ z = 6,4 cm
b) e)
c) f)
xx
2
3= =
4,81,25 cm→x
x8
6
412= =→ cm
4,8 cm
2 cm
3 cmx
4 cm
8 cm
6 cmx
xx
5
10
8= =→ 6,25 cm
xx
2
3
4= =→ 1,5 cm
10 cm
5 cm8 cm
x
2 cm
4 cm
3 cm x
F
z
8 1=
0,8
y
5 2 1,=
0,8
4
1x=
0,8xx
3 2= =
2,53,75 cm→
5,2 cm 8 cm
4 cm
1 cm
x
yz
F
0,8 cm
F
F
2 cm
3 cm
2,5 cm
x
044��
4 77
3
28
3b b b a− = = = = =→ →2,33 cm 9,33 cm
a
ba b
a b=
− =
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
=4
7
4→
043��
SOLUCIONARI
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 239
240
g) h)
⎯→ x = 8 cm
⎯→ y = 3,75 cm
→ z = 10,8 cm
Considera aquesta figura:
a) Si OA = 2 cm OB = 5 cm
OA' = 2,6 cm OC' = 11,7 cm
calcula: A'B', B'C', OB' i BC.
b) Si OA' = 4 cm OB = 9 cm
OB' = 12 cm OC' = 18 cm
calcula: OA, AB, A'B', B'C', OC i BC.
c) Si OA = 5 cm OC = 22,5 cm
OC' = 36 cm OB' = 24 cm
calcula: OA', OB, AB, BC, A'B' i B'C'.
a) AB = 3 cm
B'C' = OC' − OB' = 11,7 − 6,5 = 5,2 cm
OA
OA
BC
B C
BCBC
' ' '= = =→ →2
2,6 5,24 cm
OA
OA
OB
OB OBOB
' ' ''= = =→ →2 5
2,66,5 cm
OA
OA
AB
A B A BA B
' ' ' ' '' '= = =→ →2 3
2,63,9 cm
A
O
B C
A'
B'
C'
045�
z
8,1 1,5=
2
5 2
y=
1,5
3 5
7yy= =→ 4,2 cm
x
6
2=
1,5
xx
2
5
7= =→ 1,43 cm
8,1 cm
5 cm
1,5 cm
6 cm
2 cm
x
y z
F
7 cm
2 cm
3 cm 5 cmx
y
Proporcionalitat geomètrica
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 240
241
8
b) A'B' = OB' − OA' = 12 − 4 = 8 cm
B'C' = OC' − OB' = 18 − 12 = 6 cm
BC = OC − OB = 13,5 − 9 = 4,5 cm
c)
AB = OB − OA = 15 − 5 = 10 cm
BC = OC − OB = 22,5 − 10 = 12,5 cm
A la figura següent, la raó .
Calcula OA', AB i BC.
⎯→ → OA' = 2,875 cm
→ ⎯→ AB = 2,24 cm
→ ⎯→ BC = 3,6 cm0,84,5
=BCOB
OB
BC
B C' ' '=
0,82,8
=ABOB
OB
AB
A B' ' '=
0,82,3
=OA'
OB
OB
OA
OA' '=
2,8 cm
4,5 cm
2,3 cmOA B C
A'
B'
C'
OBOB'
= 0,8046��
OA
OA
BC
B C B CB C
' ' ' ' '' '= = =→ →5
820
12,5cm
OA
OA
AB
A B A BA B
' ' ' ' '' '= = =→ →5
8
1016 cm
OA
OA
OB
OB
OBOB
' '= = =→ →5
8 2415 cm
OA
OA
OC
OC OAOA
' ' ''= = =→ →5
36
22,58 cm
OC
OC
OB
OB
OCOC
' '= = =→ →
18
9
1213,5 cm
AB
A B
OB
OB
ABAB
' ' '= = =→ →
8
9
126 cm
OA
OA
OB
OB
OAOA
' '= = =→ →
4
9
123 cm
SOLUCIONARI
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 241
242
Determina les longituds desconegudes:
Divideix gràficament un segment AB, am AB = 10 cm, en:
a) 4 parts igualsb) 6 parts iguals
a)
b)
Divideix gràficament un segment AB, amb AB = 18 cm, en parts proporcionals a tres segments d’aquestes mides:
a) 3 cm, 5 cm i 6 cm
b) 2 cm, 4 cm i 6 cm
c) 3 cm, 4 cm i 5 cm
d) 2 cm, 6 cm i 9 cm
Calcula les longituds dels segments i compara el resultat amb la solució gràfica.
049��
048�
5
8
6= =
yy→ 9,6 cm
3
2 4= =
xx→ 6 cm
5
8
3= =
zz→ 4,8 cm
3 cmz
y
8 cm
5 cmx
2 cm4 cm
t
F
047��
Proporcionalitat geomètrica
10 cmA B
10 cmA B
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 242
243
8
a)
b)
c)
d)18
2 6 9 2 6 9+ += = =
===
x y zxyz
→2,11 cm6,35 cm9,53 cmm
⎧
⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
18
3 4 5 3 4 56
+ += = =
===
⎧
⎨⎪⎪x y zxyz
→4,5 cm
cm7,5 cm
⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
18
2 4 6 2 4 6+ += = =
===
⎧
⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
x y zxyz
→3 cm6 cm9 cm⎪⎪
18
3 5 6 3 5 6+ += = =
===
x y zxyz
→3,86 cm6,43 cm7,71 cmm
⎧
⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
SOLUCIONARI
18 cmA B
18 cmA B
18 cmA B
18 cmA B
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 243
244
Observa la figura següent, en la qual el segment AB, de 12 cm de longitud, es divideix en parts proporcionals als segments a, b i c. Calcula AP, PQ i QB, amb aquestes dades:
a) a = 6 cm, b = 8 cm i c = 4 cm c) a = 8 cm, b = 10 cm i c = 4 cm
b) a = 5 cm, b = 10 cm i c = 3 cm d) a = 2 cm, b = 5 cm i c = 1 cm
a)
AP = 3,6 cm PQ = 4,8 cm QB = 2,4 cm
b)
AP = 3,33 cm PQ = 6,67 cm QB = 2 cm
c)
AP = 4,36 cm PQ = 5,45 cm QB = 2,18 cm
d)
AP = 3 cm PQ = 7,5 cm QB = 1,5 cm
Divideix un segment de 14 cm en tres parts, cadascuna el triple de l’anterior.
Divideix un segment de 20 cm en tres parts, cadascuna la meitat de l’anterior.052��
051��
12
2 5 1 2 5 1+ += = =
AP PQ QB
12
8 10 4 8 10 4+ += = =
AP PQ QB
12
5 10 3 5 10 3+ += = =
AP PQ QB
12
6 8 4 6 8 4+ += = =
AP PQ QB
PA Q B
a
b
c
12 cm
050��
Proporcionalitat geomètrica
14 cm
20 cm
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 244
245
8
Calcula la longitud dels costats desconeguts en els parells de trianglessemblants següents:
a)
b)
c)
d)
a)
x = 6,66 cm y = 9 cm
Els costats fan 9 cm i 6,66 cm.
b)
x = 7,5 cm y = 5,25 cm
Els costats fan 5,25 cm i 7,5 cm.
c)
x = 10 cm y = 8 cm
Els costats fan 8 cm i 10 cm.
d)
x = 3,125 cm y = 3,125 cm
Els costats fan 3,125 cm.
5 5
2x y= =
3,2
6
3 5 4= =
x y
8
6
10 7= =
x y
3
4
5
12= =
x
y
3 cm 5 cm
12 cm
4 cm
053�
5 cm 5 cm
3,2 cm 2 cm
6 cm5 cm3 cm
4 cm
8 cm
7 cm
10 cm 6 cm
SOLUCIONARI
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 245
246
Dos triangles, ABC i A'B'C', són semblants. Els costats de ABC són:
AB = 4 cm BC = 5 cm CA = 6 cm
Calcula els costats de A'B'C' i la raó de semblança, si A'B' = 7,2 cm.
La raó de semblança és: 0,5)
.
B'C' = = 9 cm C'A' = = 10,8 cm
La raó de semblança de dos triangles, ABC i A'B'C', és .
Calcula els costats desconeguts dels dos triangles, si saps que:
a) AB = 5 cm, BC = 8 cm i CA = 10 cmb) A'B' = 20 cm, B'C' = 24 cm i C'A' = 26 cmc) AB = 4 cm, BC = 5 cm i C'A' = 16 cm
a) A'B' = 4 ⋅ 5 = 20 cm B'C' = 4 ⋅ 8 = 32 cm C'A' = 4 ⋅ 10 = 40 cm
b)
c) A'B' = 4 ⋅ 4 = 16 cm B'C' = 4 ⋅ 5 = 20 cm
056
CA = ⋅ =1
416 4 cm
CA = ⋅ =1
426 6,5 cmBC = ⋅ =
1
424 6 cmAB = ⋅ =
1
420 5 cm
r = 14
055�
CA0,5)BC
0,5)
AB
A B' '= =
4
7,2
054�
Proporcionalitat geomètrica
FES-HO AIXÍ
COM RECONEIXEM ELS TRIANGLES
EN POSICIÓ DE TALES?
Indica quins triangles de la figura següent estan en posició de Tales:
PRIMER. Identifiquem tots els triangles possibles.
ABC ABE ABG ADE AEG EBF GBC DBE DBF
SEGON. Prenem els que tenen un angle comú.
ABC i DBF tenen l’angle B$ en comú.
ABE , ABG i DBE tenen l’angle B$ en comú.
EBF i GBC tenen l’angle B$ en comú.
TERCER. De cada grup de triangles amb un angle en comú, considerem els que te-nen paral·lels els costats oposats a aquest angle.
ABC i DBF tenen AC i DF paral·lels.
ABG i DBE tenen AG i DE paral·lels.
EBF i GBC tenen EF i GC paral·lels.
Per tant, aquests parells de triangles estan en posició de Tales.
B
D
A G C
F
E
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 246
Identifica en les figures següents tots els triangles que estiguin en posició de Tales.
a) Els triangles que estan en posició de Tales són:
AGC i DFG, ABG i DEG, BCG i EFG, AFG i CDG.
b) Els triangles que estan en posició de Tales són:
ABJ amb BCI i BEG, HDF i GEF, HDF i HGI, HDF i CED.
c) Els triangles que estan en posició de Tales són:
ADG i ACH, ADG i HFG, ADG i IEG, ADG i BDF, HFL i BCL,
HFL i LJK, LJK i LBC.
d) Els triangles que estan en posició de Tales són:
ADF i AGC, ADF i BED, ADF i GEF, BCH i GEH.
Els costats d’un triangle ABC fan AB = 12 mm, BC = 15 mm
i CA = 21 mm, i els del triangle A'B'C' fan A'B' = 35 mm, B'C' = 25 mm i C'A' = 20 mm. Són semblants tots dos triangles?
Els costats són proporcionals: . Per tant, són semblants.
Determina si aquests parells de triangles són semblants i explica quin criteriapliques en cada cas:
a) Com que , els seus costats
no són proporcionals i no sónsemblants.
b) Com que , els seus costats
no són proporcionals i no són semblants.
c) Com que , els seus
costats no són proporcionals i no són semblants.
5
8
7 7=
11,2 12,8�
9
11
7�
9,1
4
5
5
6�
059��
21
35
15
25
12
20= =
058�
057��
247
8
5 7
7
12,8
11,2
8
11
9,1
65°9
7
65°
5
4
80°
5
6
80°
B
E
A
H
C D
G
F
B
EA
C
D
G
I
H
J
F
B
FL
A
G
C D
H
IJ K
EB
D
A
G
C
FE
SOLUCIONARI
a) b) c) d)
a)
b)
c)
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 247
248
d) La hipotenusa del triangle
més petit és i el catet
del triangle més gran és .
Com que , no tenen
els costats proporcionals i no sónsemblants.
e) Són semblants, perquè els seus anglessón iguals (90°, 50° i 40°).
f) Són semblants, perquè els seus anglessón iguals (70°, 50° i 60°).
Els costats d’un triangle ABC fan AB = 4 cm, BC = 5 cm i CA = 6 cm.
Troba la longitud dels costats d’un triangle semblant A'B'C', si saps que:
a) La raó de semblança és r = 2,5.
b) El perímetre de A'B'C' és de 30 cm.
a)
b)
Dibuixa dos quadrats semblants que tinguin les raons de semblança següents:
a) r = 2 b) c) r = 2,5 d)
a) c)
b) d)
r = 13
r = 12
061�
C A' ' = ⋅ =3
46 4,5 cmB C' ' = ⋅ =
3
45 3,75 cmA B' ' = ⋅ =
3
44 3 cm
4 5 6
20
4 5 6+ += = =
A B B C C A' ' ' ' ' '
B C' ' = ⋅ =1
5 22,5
cm
C A' ' = ⋅ =1
62,5
2,4 cmA B' ' = ⋅ =1
42,5
1,6 cm
060��
5
10
3
69�
69
34
Proporcionalitat geomètrica
50°50°
70° 60°
50°
40°
3
513
10
d)
e)
f)
D' C'
A' B'
D
A
C
B
D' C'
A' B'
D
A
C
B
D' C'
A' B'
D
A
C
B
D' C'
A' B'
D
A
C
B
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 248
249
8
Dibuixa triangles semblants que tinguin aquestes raons de semblança respectedel que està dibuixat:
a) c) r = 3
b) d)
a) c)
b) d)
Dibuixa figures semblants a les següents que tinguin com a raó de semblança r = 2 i r = 0,5:
a) b)
a) b)
Dos triangles ABC i A'B'C' són semblants i la seva raó de semblança és .
Les mides dels costats del triangle ABC són AB = 8 cm, BC = 10 cm i AC = 14 cm. Troba les longituds dels costats de l’altre triangle.
Dos triangles ABC i A'B'C' són semblants i la seva raó de semblança és 3.
Les mides dels costats del triangle ABC són AB = 6 cm, BC = 7 cm i AC = 3,5 cm. Troba les longituds dels costats de l’altre triangle.
A'B' = 3 ⋅ 6 = 18 cm B'C' = 3 ⋅ 7 = 21 cm C'A' = 3 ⋅ 3,5 = 10,5 cm
065��
C A' ' = ⋅ =1
414 3,5 cmB C' ' = ⋅ =
1
410 2,5 cmA B' ' = ⋅ =
1
48 2 cm
14
064��
063�
r = 54
r = 14
r = 126 cm 8 cm
12 cm
062�
SOLUCIONARI
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 249
Raona si les afirmacions següents són certes:a) Tots els quadrats són semblants.b) Tots els rectangles són semblants.c) Tots els pentàgons són semblants.d) Tots els pentàgons regulars són semblants.e) Tots els triangles rectangles són semblants.
a) Certa b) Falsa c) Falsa d) Falsa e) Certa
Troba el perímetre d’un rectangle que és semblant a un altre rectangle de costats 8 cm i 5 cm, amb aquestes raons de semblança:
a) r = 2 b) r = 0,5 c) d)
Quina relació hi ha entre els perímetres del rectangle original i els dels triangles semblants?
a) Els costats seran 16 cm i 10 cm i, per tant, el perímetre fa 52 cm.
b) Els costats seran 4 cm i 2,5 cm i, per tant, el perímetre fa 18 cm.
c) Els costats seran 6 cm i 3,75 cm i, per tant, el perímetre fa 19,5 cm.
d) Els costats seran 20 cm i 12,5 cm i, per tant, el perímetre fa 65 cm.
La raó dels perímetres és la mateixa que la dels rectangles.
068
r = 52
r = 34
067��
066��
FES-HO AIXÍQUINA RELACIÓ HI HA ENTRE EL PERÍMETRE I L’ÀREA DE DUES FIGURES SEMBLANTS?
Calcula el perímetre i l’àrea d’aquests dostrapezis semblants:
Si dos polígons són semblants, es compleix que:• Els perímetres són proporcionals amb raó r.• Les àrees són proporcionals amb raó r 2.
PRIMER. Calculem la raó de semblança del primer polígon respecte del segon.
← Raó de semblança
SEGON. Obtenim el perímetre i l’àrea del segon polígon.
P = 3 + 4 + 2 + 3,6 = 12,6 cm
TERCER. Multipliquem aquests resultats per la raó i pel quadrat de la raó, i obtenimel perímetre i l’àrea del primer polígon, respectivament.
P = 12,6 ⋅ r = 12,6 ⋅ 2 = 25,2 cm A = 9 ⋅ r 2 = 9 ⋅ 22 = 36 cm2
AB b h
=+ ⋅
=+ ⋅
=( ) ( )
2
4 2 3
29 2cm
6
3
8
4
4
22= = =
4 cm
6 cm
8 cm
3 cm 3,6 cm
2 cm
4 cm
250
Proporcionalitat geomètrica
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 250
251
8
Troba el perímetre i l’àrea d’aquests polígons semblants:
a) Un triangle semblant a un triangle rectangle de costats 3 cm, 4 cm i 5 cm, i raó 3.
b) Un quadrat semblant a un quadrat de costat 3 cm i raó 4.c) Un rectangle semblant a un rectangle de costats 4 cm i 6 cm, i raó 2.
a) P = 12 ⋅ 3 = 36 cm A =
b) P = 12 ⋅ 4 = 48 cm A = 3 ⋅ 3 ⋅ 42 = 144 cm2
c) P = 20 ⋅ 2 = 40 cm A = 4 ⋅ 6 ⋅ 22 = 96 cm2
Expressa mitjançant una escala numèrica:
a) 25 cm d’un plànol representen 25 km reals.b) 0,8 dm d’un plànol representen 160 km reals.
a) 1 : 100.000 b) 1 : 2.000.000
Expressa mitjançant una escala numèrica i una escala gràfica:
a) 1 cm al plànol equival a 2 km a la realitat.b) 1 cm al plànol equival a 50 km a la realitat.
a) b)
Calcula l’alçada real dels objectes:
En el gràfic, l’armari fa 2 cm i en la realitat mesura:
2 ⋅ 20 = 40 cm.
En el gràfic, la furgoneta mesura 1,5 cm i en la realitat mesura:
1,5 ⋅ 10 = 15 cm.
En el gràfic, la casa mesura 2,3 cm i en la realitat:
2,3 ⋅ 25 = 57,5 cm.
072�
071�
070�
3 4
23 542 2⋅
⋅ = cm
069��
SOLUCIONARI
2 4 6 8 10 km
1 cm
50 100 150 200 250 km
1 cm
Objecte Escala
1 : 20
1 : 10
1 : 25
G F G F
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 251
252
Troba la distància real entre dos pobles separats4 cm en un mapa amb aquesta escala:
40 km = 4.000.000 cm
L’escala gràfica és 1 : 4.000.000, de manera que 4 cm en el plànol equivalen a: 4 ⋅ 4.000.000 = 16.000.000 cm = 160 km reals.
La distància real entre dues ciutats és de 450 km. Troba la distància que les separa en un mapa dibuixat a escala 1 : 1.500.000.
L’escala 1 : 1.500.000 significa que 1.500.000 cm de la realitat es representen en el plànol com 1 cm. Com que 1.500.000 cm = 15 km:
→ x = = 30 cm
La carretera que uneix dos pobles està representada en un mapa a escala 1 : 500.000 i fa 6 cm de longitud. Quina seria la longitud de la carretera si la representem en un mapa a escala 1 : 60.000?
En l’escala 1 : 500.000, la longitud de 6 cm en el mapa és:
6 ⋅ 500.000 = 3.000.000 cm = 30 km reals
En l’escala 1 : 60.000, la longitud real de 30 km és:
3.000.000 : 60.000 = 50 cm en el plànol
El plànol d’una casa està fet a escala 1: 60.
a) Quines dimensions reals té la cuina si al plànol fa 4 cm d’amplada i 7 cm de llargada?
b) El passadís fa 7,5 m a la realitat. Quant fa de llargada al plànol?
a) Amplada: 4 ⋅ 60 = 240 cm = 2,4 m. Llargada: 7 ⋅ 60 = 420 cm = 4,2 m.
b) Llargada: .
Un arbre fa 5 m d’alçada i, a una determinada hora del dia, projecta una ombra de 6 m. Quina alçada tindrà l’edifici de la figura si a la mateixa hora projecta una ombra de 10 m?
L’edifici té 8,33 m d’altura.
6
10
58 33= =
xx→ , m
077��
750
60= 12,5 cm
076��
075��
450
15
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
415 km ⎯⎯→ 1 cm450 km ⎯⎯→ x
074�
Quilòmetres
0 40 80 120073�
Proporcionalitat geomètrica
10 m
6 m
5 m
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 252
253
8
Si un pal fa 1 m, i l’ombra que projecta a una determinada hora del dia és d’1,5 m, quant fa un edifici que projecta una ombra de 6 m a la mateixa hora?
Com que són dos triangles rectangles semblants:
Un jugador de bàsquet d’1,9 m llança una pilota a la cistella, que està situada a 6,25 m. Calcula l’alçada que agafa la pilota quan va per la meitat del recorregut.
Els dos triangles són semblants, i com que z és la meitat de 6,25 m, y serà la meitat d’1,15 m: y = 0,575 m.
L’alçada de la pilota serà: x = 1,9 + 0,575 = 2,475 m.
L’ombra que projecta un pare que fa 1,8 m d’alçada, a les 3 de la tarda, és de 2,1 m. Quina alçada té el fill si l’ombra que projecta és d’1,5 m?
L’ombra que projecta la Júlia, que fa 1,34 m, a la 1 de la tarda és d’1,2 m. Quant fa la seva mare si en el mateix moment projecta una ombra d’1,4 m?
Al costat d’un semàfor, l’ombra d’en Joan fa 1,5 m i l’ombra del semàfor és 60 cm més llarga que la d’en Joan. Quina és la longitud del semàfor si en Joan fa 1,75 m d’alçada?
1 75
1 5 2 1
,
, ,= =
xx→ 2,45 m
082��
1,34
1,2 1,41,56 m= =
xx→
081��
1,8
2,1 1,51,29 m= =
xx→
080��
079��
hh
1
64= =
1,5m→
078��
6,25 m
1,9
mx3,05 m
G F6 m
1 m
1,5 m
SOLUCIONARI
z zy
6,25 m
h
G
G
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 253
254
L’Anna està situada a 5 m de la riba d’un riu i veu reflectida una muntanya a l’aigua. Si l’Anna fa 1,70 m i el riu està a 3 km de la muntanya, quinaalçada té la muntanya?
Mesurem l’ombra d’un edifici en dos moments del dia.
Calcula l’altura de l’edifici.
Com que els triangles ABC i ACDsón semblants:
L’altura de l’edifici és 11,65 m.
6,67133,4 m
AC
ACAC= = =
2011 65→ ,
6,67 m
20 m
60° 30°
085��
xx
3 000 51 020
..= =
1,7m→
084��
083
Proporcionalitat geomètrica
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM L’ALÇADA MITJAÇANT EL REFLEX EN UN MIRALL?
Per determinar l’alçada d’un objecte inaccessible, col·loquem un mirall al terrai ens allunyem la distància necessària per observar el punt més alt de l’objecte.Quina alçada té l’edifici?
PRIMER. Comprovem que els triangles ABC i AB'C' són semblants. En aquest cas,són semblants perquè són triangles rectangles i perquè els angles de refracció sóniguals.
SEGON. Apliquem la proporcionalitat entre els seus costats.
L’alçada de l’edifici és de 7 m.
B C
BC
AC
AC
B CB C
' ' ' ' '' '= = = ⋅ =→ →
1,751,75 m
8
24 7
8 m 2 m
1,75 mC'
B'
C
B
A
C
A D B
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 254
255
8
L’Enric està a 2 m d’un penya-segat i veu alineat un poble amb el caire del penya-segat. A quina distància està el poble del penya-segat?
La distància del poble al penya-segat és de 562,5 m.
Raona les qüestions següents:
a) Dos polígons amb tots els seus angles iguals, són semblants? En quina mena de polígons és verdadera aquesta afirmació?
b) Dos polígons amb tots els seus costats proporcionals, són semblants? En quina mena de polígons és verdadera aquesta afirmació?
a) No és cert en general, ja que la igualtat dels angles no suposa que els costats siguin proporcionals, per exemple en els rectangles. Només és cert en el cas dels triangles.
b) No és cert en general, ja que la proporcionalitat dels costats no implica la igualtat dels angles, per exemple un quadrat i un rombe. Només és certen el cas dels triangles.
Troba l’àrea de la zona acolorida, si saps que:
• El quadrat fa 2 cm de costat.• El punt E és el punt mitjà del costat DC.• L’angle F$ és recte.
Com que ABG és igual a AED, l’àrea que busquem és igual a l’àrea delquadrat menys l’àrea dels dos triangles més l’àrea de la intersecció
(el triangle AFG, que és semblant a ADF).
cm
Àrea de AFG =
Àrea total = 4 − 1 − 1 + 0,2 = 2,2 cm2
0 45 0 89
22, ,⋅
= 0,2 cm
AG
AE
FG
DE
AF
AD
FG AFFG
AF
= = = == =
=→ →1
5 1 2
1
52
0,45 cm
55=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪0,89 cm
AE = + =2 1 52 2
088��
087��
1,6562,5 m
450
2= =
xx→
1,6 m
2 m45
0 m
x
086��
ED
BA
G
C
F
SOLUCIONARI
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 255
256
El triangle ABC és isòsceles, d’àrea 8 cm2. Si D i E són els punts mitjans dels costats iguals,calcula l’àrea del trapezi ABDE.
L’àrea del trapezi és l’àrea de ABCmenys l’àrea de DEC.
Els triangles ABC i DEC són semblants, de raó , i la seva àrea té com
a raó . Per tant, l’àrea de DEC és: 8 : 4 = 2 cm2.
L’àrea del trapezi és: 8 − 2 = 6 cm2.
Eratòstenes i la mida de la Terra: El primer mesurament raonable de l’extensióde la Terra és degut a Eratòstenes, que vivia a la ciutat de Siena (ara s’anomena Assuan).
Suposava que la Terra era esfèrica i que els raigssolars queien paral·lels al planeta. Hi havia un diaa l’any que els raigs solars queien perpendicularssobre la seva ciutat, però no passava el mateixsobre Alexandria, ciutat que es trobava a5.000 estadis, i això significava que la Terra no eraplana. Llavors va fer un mesurament el mateix diad’aquest angle α, i era aproximadament de 7° 12'.
Si la mida d’un estadi era d’uns 150 metres, esbrina, mitjançant una regla de tres, quina era la mida d’un meridià terrestre segons Eratòstenes.
Primer convertim 7° 12' en graus:
Ara fem una regla de tres:
Així doncs, un meridià tindrà estadis,
que, en quilòmetres són 250.000 · 150 = 37.5000.000 m = 37.500 km. Això vol dir que:
Distància Sol-Terra
Estimació:
Distància real: 149,5 milions de km
Distància Lluna-Terra
Estimació:
Distància real: 384.400 km
780 0000 150
117 000.,
.estadiskm
1 estadikm⋅ =
8040 150
120 6milions estadiskm
1 estadi⋅ =
,, mmilions de km
Erelatiu = =2 500
40 0000 0625 6 25
.
., , %→
E absolut km= − =⏐ ⏐37 500 40 000 2 500. . .
5 000 360
7 2250 000
.
,.
⋅=
7 2 5 000360
, ,° estadis°
→→ x
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
712
607 2+ = , °
090��
1
2
1
4
2⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
1
2
ED
BA
C089��
Proporcionalitat geomètrica
Alexandria
Siena
αα
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 256
257
8
Demostra que l’altura sobre la hipotenusa d’un triangle rectangle en genera dosmés de semblants.
Com que ABC és un triangle rectangle: B$ = 90° − C$.
Com que DCA és un triangle rectangle: A$ = 90° − C$.
Per tant, ABC i DCA tenen els tres anglesiguals. Així, són semblants.
El raonanament per a DAB és similar.
A LA VIDA QUOTIDIANA
En Ramon se’n va a viure a un pis nou. Segons el plànol, aquesta serà la sevahabitació:
El plànol està dibuixat a escala i l’únic que en Ramon sap de la seva novahabitació és que a la realitat fa 4,56 m de llargada.
En aquesta habitació haurà de distribuir els mobles que té. Per fer-se una ideade com els col·locarà, n’ha pres les mides de tots.
Després, els dibuixarà a escala i els retallarà. Aquests retalls els col·locarà sobreel plànol de l’habitació, i farà proves per decidir quina serà la ubicació dels mobles.
Copia el plànol a la teva llibreta i determina com es poden distribuir els mobles.
Podrà muntar a la nova habitació la maqueta completa del seu tren elèctric, que fa 2,5×1,5 m?
092��
DB
A
C
091��
SOLUCIONARI
G F
G
F
GF
GF
G
FG
F1,5 m
0,9
m
0,6 m
0,3 m 0,8 m2 m
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 257
258
L’habitació fa 4,56 m de llargada i està representat per 7,6 cm.
Com que , l’escala del plànol és 1 : 60.
L’amplada de l’habitació serà: 4,6 ⋅ 60 = 276 cm = 2,76 m.
Les dimensions dels mobles al plànol són:
Llit: Llargada Amplada
Escriptori: Llargada Amplada
Calaixera: Llargada Amplada
Les dimensions de la maqueta del tren a escala són:
Llargada Amplada
La maqueta no cap a l’habitació, ja que hem de tenir en compte l’espai per poder obrir la porta.
Aquesta és la peça que s’ha de fabricar per a l’enganxall de vagons de tren.
Per programar la màquina que la fabricarà cal construir la mateixa peça a una escala més petita. Quan es col·loqui aquesta peça sobre un escàner i s’hi indiqui l’escala, la màquina fabricarà totes les peces que s’encarreguin.
Si disposem d’una barreta de 6,5 cm de llargada i volem fer la peça tan grancom puguem, quina escala farem servir?
2 cm
5 cm13 cm
6,25 cm
093��
= =150
602,5 cm= =
250
604,17 cm
= =30
600,5 cm= =
80
601,33 cm
= =60
601 cm= =
150
602,5 cm
= =90
601 5, cm= =
200
603,33 cm
45660
7,6=
Proporcionalitat geomètrica
13 cm
5 cm
A B C D
E F
2 cm
6,25 cm
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 258
259
8
Apliquem el teorema de Pitàgores:
La longitud de la peça és: 13 + 2 + 6,25 + 3,75 + 2 + 12 = 39 cm.
Per tant, l’escala és: 1 : 6 .
A la cantonada de la casa d’en Ricard han posat un fanal molt alt. En Ricard pensa que l’altura del fanal incompleix la normativa sobrecontaminació lumínica i vol esbrinar quina alçada té exactament.
Al principi va pensar fer-ho mesurant-ne l’ombra, però comque el fanal està envoltat de plantes no el pot mesurar
amb exactitud. Així doncs, ha decidit utilitzar lesmides de dos senyals de trànsit que hi ha al
costat dels fanals.
Per fer-ho, ha pres les mides de lesombres dels dos senyals, que estan
alineats amb el fanal, l’alçada i la separació entre tots
dos. Quina és l’alçada del fanal?
Si anomenem h l’alçada del fanal i x la distància del fanal al primer senyal, tenim que:
Hi ha dues parelles de triangles semblants: ABD amb EBG i ACD amb FCH. Així, obtenim un sistema de dues equacions amb dues incògnites.
→ →
→ 4 ⋅ (x + 90) = 3 ⋅ (x + 230) → x = 330 cm
L’alçada del fanal és 7 m.
420
90 150700 7= = =
hh→ cm m
x = 330⎯⎯⎯⎯→x h+
=90
90 150
x x+=
+ +90
90
110 120
120
x h
x h
+=
+ +=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
90
90 150110 120
120 150
094��
396
6,5=
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
CD = − =39,0625 3,75 cm25
AB = − =169 25 12 cm
90 cm
1,5
m
120 cm
110 cmG F
SOLUCIONARI
1,5
m
D
h
BE C
HG
x
FA
830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 259
Recommended