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Rapporti statisticiper l’analisi dell’andamento temporale di un fenomeno

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Prof.ssa Paola Zuccolotto - Statistica - Rapporti Statistici

Rapporti Statistici

Uno degli strumenti utilizzati dallaStatistica per sintetizzare l’informazionesono i rapporti tra grandezze di cuialmeno una di natura statistica.Tali rapporti sono detti rapportistatistici.

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Rapporti Statistici

Vi sono svariate tipologie di rapportistatistici, alcuni dei quali di uso moltocomune.Un esempio sono i cosiddetti rapporti dicomposizione, che confrontano una partecon il tutto: se in una classe di 50 studentivi sono 20 ragazze, possiamo dire che leragazze sono il 40% del totale (20/50=0.4è un rapporto di composizione).

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Numeri Indici e Variazioni

Noi ci occuperemo di alcuni particolarirapporti, detti numeri indici, checonsentono di analizzare l’andamento diun fenomeno nel tempo.Vedremo, poi, come dai numeri indici sipossano ricavare le cosiddette variazioni.

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La dinamica di unfenomeno nel tempo

Il proprietario di due appezzamenti diterreno coltivati a vite misura negli anni laproduttività dei due terreni, ottenendo laseguente tabella.

Anno Terreno1 Terreno22008 98 602009 104 682010 110 752011 119 832012 125 95

Produttività (Q/ha)

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La dinamica di unfenomeno nel tempo

In particolare, poichè il proprietario hatrattato le coltivazioni nei dueappezzamenti con tecniche diverse, eglivorrebbe, almeno a livello descrittivo,effettuare un confronto tra i miglioramentidi produttività dei due appezzamenti.

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Grafici temporali

Puntiamo per ora l’attenzione sul primoappezzamento (Terreno1).Una prima sintesi può essere fatta tramiteun grafico che riporti il tempo sull’assedelle ascisse e le produttività sull’assedelle ordinate.

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Grafici temporali

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Grafici temporali

Pur nella sua semplicità, questo graficopuò risultare molto differente a secondadella scala.Le rappresentazioni grafiche possonotalvolta trasmettere idee diverse aseconda di come sono strutturate....:bisogna fare attenzione!!

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Grafici temporali

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Grafici temporali

Ancora maggiore attenzione va prestataquando si vuole utilizzare il grafico perfare dei confronti tra fenomeni,specialmente quando essi hanno scalediverse.Vediamo il grafico in cui sono riportate leproduttività di entrambi gli appezzamenti.

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Grafici temporali

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Grafici temporali

Notiamo che entrambi gli appezzamentihanno avuto negli anni una produttività increscita, e l’andamento dei due apparesostanzialmente molto simile.Ora approfondiamo questa prima analisigrafica, utilizzando i rapporti statistici.

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Numeri Indici a base fissa

I numeri indici a base fissa analizzanol’andamento nel tempo di un fenomenoconfrontandolo con la situazione di unadato istante iniziale, detto base.

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Numeri Indici a base fissa

Per un dato istante t, il numero indice abase fissa, con base l’istante t=b, è datoda

dove xt indica il valore del fenomenoanalizzato osservato al tempo t.

b

ttb x

xI

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Numeri Indici a base fissa

A fini interpretativi, spesso si usamoltiplicare l’indice per 100

Posta a 100 la produttività del 2008,quella dell’anno 2011 è stata di 121.4

Produttività (Q/ha)Anno Terreno1 Nibf2008 (x 100)2008 98 1.000 (=98/98) 100.02009 104 1.061 (=104/98) 106.12010 110 1.122 (=110/98) 112.22011 119 1.214 (=119/98) 121.42012 125 1.276 (=125/98) 127.6

Nibf2008

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Numeri Indici a base mobile

I numeri indici a base mobile analizzanol’andamento nel tempo di un fenomenoconfrontandolo con la situazionedell’istante precedente.

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Numeri Indici a base mobile

Per un dato istante t, il numero indice abase mobile è dato da

dove xt indica il valore del fenomenoanalizzato osservato al tempo t.

1t

tt1t x

xI

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Numeri Indici a base mobile

Produttività (Q/ha)Anno Terreno1 Nibm (x 100)2008 98 - - -2009 104 1.061 (=104/98) 106.12010 110 1.058 (=110/104) 105.82011 119 1.082 (=119/110) 108.22012 125 1.050 (=125/119) 105.0

Nibm

Anche in questo caso si può moltiplicareper 100 per interpretare più facilmente

Posta a 100 la produttività del 2010,quella dell’anno 2011 è stata di 108.2

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Variazioni

Sottraendo 1 ai numeri indici a base fissasi ottengono le variazioni rispetto all’annobase.

b

bt

b

bt

b

ttbtb xx

xx

x

xIV

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Variazioni

Sottraendo 1 ai numeri indici a basemobile si ottengono le variazioni rispettoall’anno precedente.

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111 11

t

t

t

tt

t

ttttt xx

xx

x

xIV

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Variazioni

Le variazioni possono essere positive onegative: quelle positive indicano unaumento, quelle negative una diminuzione.Anch’esse si interpretano meglio semoltiplicate per 100.Ad esempio una variazione pari a 0.021indica un aumento del 2,1%, una variazionepari a -0.321 indica una diminuzione del32,1%.

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Variazioni

es: la produttività del terreno tra il 2008 eil 2011 è aumentata del 21.4%es: la produttività del terreno nel 2011 èaumentata dell’8,2% rispetto all’annoprecedente

Produttività (Q/ha)Anno Terreno1 Nibf2008 Nibm Vbf Vbm2008 98 1.000 - 0.0002009 104 1.061 1.061 0.061 0.0612010 110 1.122 1.058 0.122 0.0582011 119 1.214 1.082 0.214 0.0822012 125 1.276 1.050 0.276 0.050

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Confronto tra i due appezzamenti

Eseguiamo gli stessi calcoli per il secondoappezzamento

notiamo che le variazioni sono moltodiverse, contrariamente a quella che erastata la prima impressione.

Produttività (Q/ha)Anno Terreno2 Nibf2008 Nibm Vbf Vbm2008 60 1.000 - 0.0002009 68 1.133 1.133 0.133 0.1332010 75 1.250 1.103 0.250 0.1032011 83 1.383 1.107 0.383 0.1072012 95 1.583 1.145 0.583 0.145

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Confronto tra i due appezzamenti

Produttività (Q/ha)Anno Terreno2 Nibf2008 Nibm Vbf Vbm2008 60 1.000 - 0.0002009 68 1.133 1.133 0.133 0.1332010 75 1.250 1.103 0.250 0.1032011 83 1.383 1.107 0.383 0.1072012 95 1.583 1.145 0.583 0.145

Produttività (Q/ha)Anno Terreno1 Nibf2008 Nibm Vbf Vbm2008 98 1.000 - 0.0002009 104 1.061 1.061 0.061 0.0612010 110 1.122 1.058 0.122 0.0582011 119 1.214 1.082 0.214 0.0822012 125 1.276 1.050 0.276 0.050

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Confronto tra i due appezzamenti

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Confronto tra i due appezzamenti

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Dai Numeri Indici a base fissaai Numeri Indici a base mobile

Nel caso in cui disponiamo solo dei numeriindici a base fissa (e non dei valori xt con iquali essi sono stati calcolati), ècomunque possibile risalire ai numeriindici a base mobile.

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Dai Numeri Indici a base fissaai Numeri Indici a base mobile

Anno NIbf NIbm

1

2

3

4

5

0

110 x

xI

0

220 x

xI

0

330 x

xI

0

440 x

xI

0

550 x

xI

10I

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Dai Numeri Indici a base fissaai Numeri Indici a base mobile

Anno NIbf NIbm

1

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3

4

5

1

2

1

0

0

2

0

1

0

2

10

20

xx

xx

xx

xxxx

II

0

110 x

xI

0

220 x

xI

0

330 x

xI

0

440 x

xI

0

550 x

xI

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Dai Numeri Indici a base fissaai Numeri Indici a base mobile

Anno NIbf NIbm

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4

5 2

3

2

0

0

3

0

2

0

3

20

30

xx

xx

xx

xxxx

II

10

20

II

0

110 x

xI

0

220 x

xI

0

330 x

xI

0

440 x

xI

0

550 x

xI

10I

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Dai Numeri Indici a base fissaai Numeri Indici a base mobile

Anno NIbf NIbm

1

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5

3

4

3

0

0

4

0

3

0

4

30

40

xx

xx

xx

xxxx

II

10

20

II

20

30

II

0

110 x

xI

0

220 x

xI

0

330 x

xI

0

440 x

xI

0

550 x

xI

10I

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Dai Numeri Indici a base fissaai Numeri Indici a base mobile

Anno NIbf NIbm

1

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5

4

5

4

0

0

5

0

4

0

5

40

50

xx

xx

xx

xxxx

II

10

20

II

20

30

II

30

40

II

10I0

110 x

xI

0

220 x

xI

0

330 x

xI

0

440 x

xI

0

550 x

xI

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Dai Numeri Indici a base fissaai Numeri Indici a base mobile

Anno NIbf NIbm

1

2

3

4

540

50

II

0

110 x

xI

0

220 x

xI

0

330 x

xI

0

440 x

xI

0

550 x

xI

10

20

II

20

30

II

30

40

II

10I

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Dai Numeri Indici a base mobileai Numeri Indici a base fissa

Ovviamente è possibile anche effettuarel’operazione inversa.

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Dai Numeri Indici a base mobileai Numeri Indici a base fissa

Anno NIbf NIbm

1

2

3

4

5

0

110 x

xI

1

221 x

xI

2

332 x

xI

3

443 x

xI

4

554 x

xI

10I

0

2

1

2

0

12110 x

xxx

xx

II

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Dai Numeri Indici a base mobileai Numeri Indici a base fissa

Anno NIbf NIbm

1

2

3

4

5

0

110 x

xI

1

221 x

xI

2

332 x

xI

3

443 x

xI

4

554 x

xI

10I

0

3

2

3

1

2

0

1322110 x

xxx

xx

xx

III

2110 II

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Dai Numeri Indici a base mobileai Numeri Indici a base fissa

Anno NIbf NIbm

1

2

3

0

110 x

xI

1

221 x

xI

2

332 x

xI

3

443 x

xI

4

554 x

xI

10I

0

4

3

4

2

3

1

2

0

143322110 x

xxx

xx

xx

xx

IIII

2110 II

322110 III

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Dai Numeri Indici a base mobileai Numeri Indici a base fissa

Anno NIbf NIbm

1

2

3

4

0

110 x

xI

1

221 x

xI

2

332 x

xI

3

443 x

xI

4

554 x

xI

10I

0

5

4

5

3

4

2

3

1

2

0

15443322110 x

xxx

xx

xx

xx

xx

IIIII

2110 II

322110 III

43322110 IIII

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Dai Numeri Indici a base mobileai Numeri Indici a base fissa

Anno NIbf NIbm

1

2

3

4

5

0

110 x

xI

1

221 x

xI

2

332 x

xI

3

443 x

xI

4

554 x

xI

10I

5443322110 IIIII

2110 II

322110 III

43322110 IIII

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