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INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
BENITES-CALDERON-ESCATE
109
5. MOVIMIENTO DE FLUIDOS: TOBERAS Y DIFUSORES
5.1 INTRODUCCIÓN
El propósito de este capitulo es describir los aspectos termodinámicos del movimiento de
fluidos. En este estudio se tratará de la variación de las propiedades de un fluido que
experimenta en un proceso. Este proceso puede ser reversible o irreversible, y el fluido, puede
ser compresible o incompresible. Existe una gran superposición entre los análisis
termodinámicos y los análisis de la mecánica de fluidos. El objetivo de este capitulo será
analizar los casos que requieren de explicación termodinámica. Todo flujo o corriente de fluido
es irreversible y tridimensional, pero esta consideración impide un análisis accesible. Podemos
evaluar aproximadamente un gran numero de condiciones de flujo suponiendo movimiento del
fluido en régimen permanente, es decir, corriente constante y unidimensional, y estado estable.
Las limitaciones o restricciones que emplearemos en este capitulo son:
El Flujo másico es Unidimensional
Régimen permanente, intensidad constante a través de un conducto (permanencia en
el tiempo)
Estado estable, las propiedades de un fluido en un punto no varían tampoco con el
tiempo.
Estas condiciones pueden parecernos demasiado restrictivas, pero en muchos casos los
cambios reales que se producen respecto de tales condiciones, son pequeños y es posible
despreciarlos.
Nos interesa particularmente el movimiento de un fluido a través de una tobera, aspecto muy
importante en el diseño de turbinas. Las toberas tienen dos funciones básicas: dirigir el fluido
en la dirección deseada y convertir en energía cinética la energía térmica de la sustancia
fluyente. Analizaremos en detalle la ultima de estas funciones; sin embargo no estudiaremos la
optimización y el análisis del ángulo de acción de las toberas y la configuración angular de los
alabes.
La velocidad sónica se define en términos de las propiedades termodinámicas y se hace notar
la importancia del número de Mach como una variable en el flujo compresible.
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
BENITES-CALDERON-ESCATE
110
5.2 VELOCIDAD SÓNICA O ACÚSTICA
Cuando en un fluido compresible se produce una perturbación de presión, la perturbación viaja
con una velocidad que depende del estado del fluido. La onda de sonido es una perturbación
de presión. En condiciones atmosféricas normales la velocidad del sonido en el aire es
aproximadamente 336 m/s. Una propiedad importante en el estudio de un flujo de gas es la
velocidad del sonido a través del gas, la velocidad sónica o velocidad acústica. Por tanto,
derivaremos ahora una expresión para la velocidad sónica en un gas en términos de las
propiedades del gas.
Figura 5.1 Una pequeña onda de presión en un sistema coordenado estacionario
Consideremos la figura 5.1, donde se ilustra una pequeña onda de presión ocasionada por un
embolo, y que se desplaza a través de un fluido compresible. La onda de presión debe ser lo
suficientemente débil para que los cambios de propiedad del fluido en el fluido sean pequeños
desde el punto de vista diferencial. Si la onda es demasiado grande no se cumplen las
condiciones de cambio diferencial de las propiedades, y no es valido entonces el siguiente
análisis. La onda generada por el movimiento del embolo de la figura 5.1, se desplaza a la
velocidad acústica, a, a través del gas estacionario. Si un observador viaja en la onda de
presión, le parecería que el fluido avanza desde la región estacionaria (a la derecha) con la
velocidad acústica, y que se aleja a una velocidad diferente debido al cambio de presión a
través del frente de onda. La masa tiene que conservarse al entrar y salir de la superficie de
control. La suma de las fuerzas debe corresponder al equilibrio.
( )netF PA P dP A
También con la ecuación de cantidad de movimiento,
2 1v vnet x xF m m
Se considera que los efectos de fuerza cortante y de fricción son despreciables.
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111
Por la ecuación de continuidad:
v= am A A
Al igualar las fuerzas a través de la superficie de control obtenemos
( ) a (a- v)-aPA P dP A d
Lo cual se reduce a
a vdP d (5.1)
La ecuación de continuidad para la superficie de control es
aA=( a-dv)Ad
Despreciando los términos diferenciales de segundo orden, por ser mucho menores que los de
primer orden, queda
v=ad
d
(5.2)
Sustituyendo la ecuación (5.2) en la ecuación (5.1), obtenemos
a=dP
d (5.3)
En el caso de pequeñas ondas de presión, el proceso de compresión es esencialmente
isentrópico (proceso reversible y adiabático). Para un gas ideal, el proceso es:
kPv C
También
kP C
Diferenciando
dP kPvd
Ordenando la ecuación
dPkPv
d (5.4)
Además por la ecuación de estado de gases ideales
Pv RT (5.5)
Remplazando (5.5) en (5.4)
s
dPkRT
d
(5.6)
Finalmente remplazando la ecuación (5.6) en (5.3), obtenemos la velocidad del sonido como
una propiedad termodinámica, que depende del tipo de gas y de la temperatura:
a=s
dPkRT
d
(5.7)
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112
Ejemplo 5.1
Determine la velocidad del sonido en el aire en función de las temperaturas siguientes: (a)
300K y (b) 1000K.
Solución:
(a) Para el aire considerándolo como gas ideal tiene las siguientes propiedades
2
2
1287
mR
s K Constante del aire
Por dato del ejemplo T = 300 K ;
En Tabla A-14 Moran y Shapiro(1999)
1,4P
v
Ck
C Relación de calores específicos
Reemplazando en la ecuación (5.7), obtenemos la velocidad del sonido
a= kRT
2
2
1a= 1,4 287 300
mK
s K
a = 347,2 m/s
(b) Por dato del ejemplo T=1000 K
En Tabla A-14 Moran y Shapiro(1999)
1,336P
v
Ck
C Relación de calores específicos
2
2
1a= 1,336 287 1000
mK
s K
a = 619,2 m/s
5.3 NUMERO DE MACH
En el estudio del flujo de gas, un parámetro útil es la razón de la velocidad del gas en cualquier
punto a la velocidad sónica en el mismo punto. Esta razón se llama número de Mach y se
designa por el símbolo M:
v
aM (5.8)
Con frecuencia, los flujos de fluidos se describen cualitativamente en términos de su número de
Mach como sigue:
M < 1 Flujo subsónico
M = 1 Flujo Sónico
M > 1 Flujo Supersónico
M >> 1 Flujo hipersónico
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113
Ejemplo 5.2
Una corriente de aire se mueve por un conducto a 900 Km/h, a una temperatura de –40ºC .
Calcule cual es su número de Mach.
Solución:
Por datos del ejemplo tenemos las condiciones del aire
V = 900 km/h = 250 m/s
T = -40ºC +273 =233 K
Para el aire como gas ideal tiene las siguientes propiedades
Tabla A-14 Moran y Shapiro (1999)
1,401P
v
Ck
C
2
2
1287
mR
s K
La velocidad del sonido a esta temperatura es
a= kRT
2
2
1a= 1,401 287 233
mK
s K
a = 306,1 m/s
El número de Mach para este fluido es
v 250
a 306,1M
M = 0,82 El Flujo es Subsónico
5.4 PROPIEDADES DE ESTANCAMIENTO
Son las propiedades que obtendría un fluido si se llevara a una condición de velocidad cero y
elevación cero, en un proceso reversible sin transferencia de calor y energía.
Consideremos ahora una corriente de fluido que se desplaza a través de una tubería aislada
térmicamente. La energía del fluido aplicando la primera ley de la termodinámica para
sistemas abiertos será:
2 2
2 12 1 2 1
v v
2q w h h g z z
(5.9)
Para este caso consideramos
w = 0, no se produce transmisión de trabajo en tuberías (no hay partes móviles).
q = 0, no se produce transmisión de calor. El sistema es (adiabático)
Δep =0, La variación de energía potencial se desprecia para fluidos gaseosos.
Remplazando en la ecuación (5.9), se tiene: 0 0 0q w h ec ep
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114
Quedando la ecuación como:
2 2
2 12 1
v v0
2h h
Ordenado la ecuación convenientemente
2 2
1 21 2
v v
2 2h h
Por lo tanto la energía del fluido a través de cualquier plano es h+v2/2, la cual tiene dos
componentes una estática, h, y otra dinámica, v2/2.
Entalpía de estancamiento
Si se lleva el fluido al reposo, donde la velocidad es nula, encontraremos que la energía del
fluido es ho, a la cual definimos como entalpía de estancamiento (remanso).
2v
2Oh h (5.10)
Temperatura de estancamiento
Sustituimos el valor de la entalpía de un gas ideal, h = CpT, en la ecuación (5.10), se tiene:
2
p
v
2COT T
Ordenando la ecuación se tiene la temperatura de estancamiento
2
P
v1
2C
OT
T T (5.11)
Si sustituimos en la ecuación (5.11), las ecuaciones (5.7) y (5.8), obtenemos la temperatura de
estancamiento en función al número de Mach.
21
12
OT kM
T
(5.12)
Presión de estancamiento
Para un proceso isentrópico de un gas ideal se tiene,
1 /
2 2
1 1
k k
T P
T P
Si consideramos una deceleración isentrópica, es posible calcular la presión de estancamiento,
para un gas ideal.
/ 12
P
v1
2C
k k
OP
P T
(5.13)
Si sustituimos en la ecuación (5.13), las ecuaciones (5.7) y (5.8), obtenemos la Presión de
estancamiento en función al número de Mach
/ 1
211
2
k k
OP kM
P
(5.14)
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115
La figura 5.2 presenta un diagrama T-s con los diversos estados, donde las
irreversibilidades relacionadas con la deceleración en el caso adiabático dan por resultado un
incremento de la entropía. Asimismo, también se manifiestan en que la presión de
estancamiento adiabática, P0’, es menor que la presión máxima, la presión de estancamiento
isentrópica, P0.
Figura 5.2 Diagrama T-S que ilustra la temperatura y la presión de estancamiento
Ejemplo 5.3
Por un ducto fluye aire a presión de 150 Kpa, con una velocidad de 200 m/s. La temperatura
del aire es 300 K. Determine la presión y la temperatura de estancamiento isentrópico.
Solución:
Considerando al aire como gas ideal con calor específico constante a 300 K
En tabla A-14 Moran y Shapiro (1999)
Cp = 1,005 KJ/Kg.K
K = Cp/Cv = 1,4
A partir de la ecuación (5.11) calculamos la temperatura de estancamiento
2
P
v1
2C
OT
T T
Ordenando la ecuación tenemos
2
0
P
v
2CT T
Por datos del ejemplo tenemos
V = 200 m/s
T = 300 K
Reemplazando valores en la ecuación anterior
2
0
200 m/s 1kJ300K
2 1,005kJ/kg.K 1000JT
T0 = 319,9 K
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116
A partir de la ecuación (5.13) calculamos la Presión de estancamiento
/ 12
P
v1
2C
k k
OP
P T
Como
2
P
v1
2C
OT
T T
La ecuación de la presión de estancamiento se puede ordenar como
/ 1
00
k kT
P PT
Relación isentrópica
Por dato del ejemplo P = 150 kpa
Reemplazando en la ecuación anterior obtenemos la presión de estancamiento
1,4/ 1,4 1
0
319,9150
300
KP kPa
K
P0 = 187,8 kPa
5.5 FLUJO EN TOBERAS Y DIFUSORES – FLUJO ISENTROPICO (REVERSIBLE Y
ADIABATICO)
Para muchas aplicaciones, la aceleración o desaceleración de un fluido en un canal de flujo
puede tratarse como adiabático y reversible por lo tanto isentrópico. En esta sección
mostramos que la forma requerida de los canales diseñados para cambiar la velocidad del
fluido depende de las condiciones del flujo mismo. Comenzando con las ecuaciones básicas,
seremos capaces de relacionar la variación del área de la sección transversal del flujo al
cambio de velocidad y presión para el flujo estable unidimensional de cualquier fluido.
Ecuaciones de variación de área
Para un flujo adiabático sin trabajo realizado y sin cambio de energía potencial, la primera ley
es
2vconstante
2h
Puede ser expresada en forma diferencial como
2v0
2d h
vdv=0dh (5.15)
Cuando restringimos aun más el flujo a procesos reversibles, el flujo es isentrópico, de modo
que
0dP
Tds dh
(5.16)
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117
Combinando la ecuación (5.15) y (5.16), obtenemos
2
v
v v
d dP
(5.17)
La ecuación de continuidad es constante
v=constante
Diferenciando la ecuación de continuidad
v =0d
v
0v
d dA d
A
(5.18)
Sustituyendo la ecuación (5.17) en la ecuación (5.18)
2
1
v
dA dP d
A dP
(5.19)
Pero sabemos que de la ecuación (5.7)
2a
dP
d
Remplazando en la ecuación (5.19)
2 2
1 1
v a
dA dP
A
Despejando 1/v2
2
2 2
v1
v a
dA dP
A
Finalmente, ordenando
2
21
v
dA AM
dP (5.20)
Sustituyendo la ecuación (5.17) en (5.20), da
21
v v
dA AM
d (5.21)
El análisis de las ecuaciones (5.20) y (5.21) conduce a las siguientes conclusiones:
1. Cuando M<1, > 0dA
dP y < 0
v
dA
d
2. Cuando M>1, < 0dA
dP y > 0
v
dA
d
3. Cuando M=1, = 0dA
dP y = 0
v
dA
d
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118
Tobera o Boquilla
Es un dispositivo que tiene dos funciones: convertir energía térmica en energía cinética,
acelera el fluido, y dirigir la corriente del fluido según un ángulo especificado. Lo primero se
logra por medio de un conducto de sección variable.
Para una tobera dP < 0. Por lo tanto,
Para una tobera subsónica, M<1, dA<0 y la tobera es convergente.
Para una tobera supersónica, M>1, dA>0 y la tobera es divergente.
Figura 5.3 Variación área-velocidad-presión en toberas para flujo isentrópico
Difusor
Es un dispositivo que tiene dos funciones: convertir energía Cinética en energía Térmica,
desacelera el fluido, y dirigir la corriente del fluido según un ángulo especificado. Lo primero se
logra por medio de un conducto de sección variable.
Para una difusor dP>0. por lo tanto,
Para un difusor subsónico, M<1, dA> 0 y el difusor es divergente.
Para un difusor supersónico, M>1, dA<0 y el difusor es convergente.
Figura 5.4 Variación área-velocidad-presión en difusores para flujo isentrópico
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119
Relación de presión Crítica
En las condiciones de la garganta (sección transversal mínima) de una tobera para un fluido
compresible, existen propiedades especiales si el flujo es a M=1. Las propiedades se
denominan criticas y se denotan como T* y P*, a la temperatura critica y a la presión critica.
De la ecuación (5.12), para el caso que M=1, se tiene
*
1
2
OT k
T
(5.22)
De la ecuación (5.14), para el caso que M=1, se tiene
/ 1
*
1
2
k k
OP k
P
(5.23)
Al invertir esta ecuación, la razón de presión P*/Po, recibe el nombre de relación de presión
critica. De manera que la presión crítica P* solo es función de k.
/ 1*
0
2
1
k kP
P k
(5.24)
La lista que se presenta a continuación da los valores empleados con más frecuencia:
K=1,2 P*/Po = 0,577 vapor saturado
K=1,3 P*/Po = 0,545 Vapor sobrecal. a baja presión y vapor sat.
K=1,4 P*/Po = 0,528 Aire y gases diatónicos a 25ºC
K=1,67 P*/Po = 0,487 gases monoatómicos
Ejemplo 5.4
Aire que se puede considerar como gas ideal, fluye isentrópicamente por una tobera. Entra a
ella con una velocidad de 100 m/s, a una presión de 600kPa y una temperatura de 600 K. La
presión de salida es de 150 Kpa. Encontrar los valores de las cantidades siguientes: área
transversal, volumen específico, velocidad, velocidad del sonido, número de Mach y
temperatura, correspondientes a la entrada, en la garganta y a la salida de la tobera. La
intensidad de flujo es de 1 kg/s.
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120
Solución:
Para aire a 600 K
En tabla A-14 de Moran y Shapiro (1999)
Cp = 1,051 kJ/kg.K
k = 1,376
Calculamos la Temperatura de estancamiento
2
0
P
v
2CT T
Por datos de entrada de la tobera del ejemplo tenemos
V1 = 100 m/s
T1 = 600 K
Reemplazando valores en la ecuación anterior
2
0
100 m/s 1kJ600K
2 1,051kJ/kg.K 1000JT
T0 = 604,8 K
Calculamos la presión de estancamiento
/ 1
00
k kT
P PT
Relación isentrópica
Reemplazando valores
1,376/ 1,376 1
0
604,8600
600
KP kPa
K
P0 =617,8 kPa
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121
Calculo del volumen específico a la entrada
11
1
RTv
P
Donde
2
2
1287
mR
s K constante del aire como gas ideal
Por dato del Ejemplo P1= 600 kPa
Reemplazando
2
2
1
1287 600
1
600 1000
mK
kPas KvkPa Pa
3
1 0,287 /v m Kg
Calculo del área a la entrada
11
1v
v mA
Reemplazando valores
3
1
0,287 / 1 /
100m/s
m kg Kg sA
3 2 2
1 2,87 10 28,7A m cm
Calculo de la velocidad del sonido
1 1a = kRT
2
1 2
1a = 1,376 287 600
mK
s K
a1 = 486,8 m/s
El número de Mach para este fluido es
11
1
v 100
a 486,8M
M1 = 0,2 El Flujo es Subsónico
Calculo de la Temperatura Crítica
*
0
2
1
T
T k
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122
Reemplazando y despejando
* 2
604,8(1,376 1)
T K
T* = 509,1 K
Calculo de la presión crítica
/ 1*
0
2
1
k kP
P k
Reemplazando
1,376/ 1,376 1*
0
20,532
1,376 1
P
P
Despejando y reemplazando
* 0,532 617,8P kPa
P* = 328,7 kPa
Calculo de volumen específico crítico
RT
vP
Reemplazando
2
2
1287 509,1
1
328,7 1000
mK
kPas KvkPa Pa
30,445 /v m Kg
Calculo de la velocidad crítica
0v 2 ( )PC T T
Reemplazando
1000
v 2 1,051 / . (604,8 509,1)1
JkJ Kg K K
kJ
v* = 448,5 m/s
Calculo de la velocidad del sonido crítico
* *a = kRT
2*
2
1a = 1,376 287 509,1
mK
s K
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123
a* = 448,4 m/s
Finalmente el número de Mach para este fluido es
**
*
v 448,5
a 448,4M
M* = 1,0 El Flujo es Sónico
Calculo del área crítica
v
v mA
Reemplazando valores
30,445 / 1 /
448,5m/s
m kg Kg sA
3 2 20,992 10 9,92A m cm
Calculo de la temperatura a la salida de la tobera, como el proceso 1-2 es isentrópico se
cumple que
( 1) /
22 1
1
k K
PT T
P
Reemplazando
(1,376 1) /1,376
2
150600
600
kPaT K
kPa
T2= 410,8 K
Calculo de la velocidad a la salida
2 0 2v 2 ( )PC T T
Reemplazando
2
1000v 2 1,051 (604,8 410,8)
. 1
kJ JK
Kg K kJ
v2 = 638,5 m/s
Calculo de la velocidad del sonido
2 2a = kRT
2
2 2
1a = 1,376 287 410,8
mK
s K
a2 = 402,8 m/s
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124
El número de Mach para este fluido es
22
2
v 638,5
a 402,8M
M2 = 1,6 El Flujo es Supersónico
Calculo del volumen específico a la salida
22
2
RTv
P
Por dato del Ejemplo P2= 150 kPa
Reemplazando
2
2
2
1287 410,8
1
150 1000
mK
kPas KvkPa Pa
3
2 0,786 /v m Kg
Calculo del área a la salida
22
2v
v mA
Reemplazando valores
3
2
0,786 / 1 /
638,5m/s
m kg Kg sA
3 2 2
2 1,231 10 12,31A m cm
Eficiencia de una tobera
El objeto de una tobera es convertir la entalpía en energía cinética. Las irreversibilidades reales
del flujo impiden que se lleve a cabo una conversión ideal. La eficiencia de una tobera, tob,
relaciona las conversiones real e ideal:
2
2
2
2s
v2( . .)
( . .) v2
real realtob
ideal
ideal
E C
E C
2
2
otob
o s
h h
h h
(5.25)
Los valores típicos de la eficiencia de una tobera van de 94% a 99%.
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125
La figura 5.5 ilustra un diagrama T-s correspondiente a una tobera. El área sombreada
representa el “recalentamiento por irreversibilidad en el flujo” que incrementa la entalpía de
salida hasta 2. Este efecto de recalentamiento es h2 – h2s
Fig. 5.5 Diagrama T-S que ilustra el efecto de recalentamiento (aumento de entalpía por
irreversibilidad) de un fluido real a través de una tobera.
Ejemplo 5.5
El flujo de aire a través de una tobera, que tiene una eficiencia del 95%, es de 1,5 kg/s. El aire
entra a 600 K y 500 kPa y sale a 101 Kpa. Determinar el área transversal de salida, la
velocidad y la entalpía reales.
Solución:
Calcular las condiciones isentrópicas de salida, y a partir de las mismas, se determinará las
condiciones reales de salida.
Las propiedades del aire a 600K
En tabla A-14 Moran y Shapiro
K = 1,376
Cp=1,051 kJ/kg.K
R = 287 J/kg.K
En la ecuación isentrópica
( 1) /
22 1
1
k k
s
PT T
P
T1=600 K
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P1=500 kPa
P2=101 kPa
Obtenemos
(1,376 1) /1,376
2
101600
500s
kPaT K
kPa
T2s=387,6 K
Como no tenemos mas información suponemos v1= 0= v0, por lo tanto h1= h0
De la ecuación
2v
2Oh h
Despejamos v2/2, cuando v = v2 , para
Estado real
2
20 2
v
2h h
Estado ideal
2
2s0 2
v
2sh h
Como h=CpT para gases ideales, tenemos
2 0 2
2 0 2
otob
o s s
h h T T
h h T T
Despejando la temperatura real, T2, de la ecuación de la eficiencia
2 0 0 2tob sT T T T
Como no tenemos mas información suponemos T0= T1=600 K, reemplazando
2 600 0,95 600 387,6T K K K
Obtenemos, la temperatura real T2 = 398,2 K
La entalpía real es
2 2ph C T
2 1,051 398,2.
kJh K
kg K
h2= 418,5 kJ/kg
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BENITES-CALDERON-ESCATE
127
La velocidad real es
2 0 2v 2 ( )PC T T
Reemplazando
2
1000v 2 1,051 / . (600 398,2)
1
JkJ Kg K K
kJ
v2 = 651,3 m/s
El volumen especifico real es
22
2
RTv
P
Reemplazando
2
2
2
1287 398,2
1
101 1000
mK
kPas KvkPa Pa
3
2 1,13 /v m Kg
Calculo del área
22
2v
v mA
Reemplazando valores
3
2
1,13 / 1,5 /
651,3m/s
m kg Kg sA
3 2 2
2 2,60 10 26,0A m cm
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128
PROBLEMAS PROPUESTOS
5.1 Aire que se puede considerar puede como gas ideal, fluye isentrópica mente por una
tobera. Entra a ella con una velocidad de 150 m/s, a una presión de 700kPa y una
temperatura de 700 K. La presión de salida es de 200 Kpa. Encontrar los valores de las
cantidades siguientes: área transversal, volumen específico, velocidad, número de Macha y
temperatura, correspondientes a la entrada, en la garganta y a la salida de la tobera. La
intensidad de flujo es de 1 kg/s.
5.2 Vapor de agua a 3.8 Mpa y 206 ºC, entra a una tobera que tiene un área de garganta de
4,5 cm2. La tobera descarga a 1,0 MPa. Evalué: (a) La intensidad del flujo, (b) la calidad del
vapor a la salida, (c) el área de salida (d) el volumen especifico en la garganta.
5.3 Se diseñara una boquilla para expandir vapor a una velocidad de 0,15 kg/s desde 500 Kpa,
350 ºC, a 100 kPa. La velocidad de entrada debe ser muy baja. Para una eficiencia de
boquilla de 75%, determine las áreas de salida para los flujos isentrópicos y real.
5.4 Por una tobera convergente-divergente circula aire. El área de la garganta es de 90 cm2 y
el área de salida, de 93,4 cm2. La presión de estancamiento es 150 kPa, y la temperatura
correspondiente, de 450 K. La tobera descarga en aire a 100 Kpa. Determinar: (a) la
velocidad de salida y el número de Mach; (b) si en el flujo hay el fenómeno de
estrangulamiento o no.
5.5 Por una tobera fluye aire con las condiciones de entrada 600kPa y 1200 K, y con una
condición de salida de 150 kpa. La eficiencia de la tobera es de 96%. Determine (a) la
velocidad de salida; (b) El número de Mach correspondiente a la salida; (c) la intensidad del
flujo si ele área de la garganta es de 6.45x10-4 cm2.
5.6 A una tobera adiabática entra vapor de agua a 1,4 Mpa, 260 ºC y una velocidad
despreciable, y se expande a 140 kPa con una calidad de 97%. Determine (a) las
condiciones de salida del vapor; la eficiencia de la tobera.
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
BENITES-CALDERON-ESCATE
129
6. COMPRESIÓN DE GASES
6.1 INTRODUCCIÓN
Este capitulo trata del análisis energético de los compresores para gases, los cuales
son dispositivos en los que se efectúa trabajo sobre un fluido gaseoso, elevando así su
presión. El análisis energético es precisamente uno de los aspectos que deben
considerarse al diseñar un compresor.
Un sistema de compresión de gas se usa en una gran variedad de procesos de
manufactura, para transportar materiales sólidos, para proporcionar aire a sistemas
neumáticos de control, para impulsar herramientas diversas en la industria de la
construcción, etc. El compresor es un componente indispensable en los sistemas de
refrigeración y en plantas generadoras de energía turbo gas.
Existen dos tipos de compresores: de movimiento alternativo o reciprocarte (de acción
simple o doble) y de movimiento rotatorio (lóbulo, paleta o tornillo).
En la figura 6.1 se ilustra un compresor alternativo de dos pasos. La descarga de la
primera etapa pasa por un enfriador intermedio y prosigue a la segunda etapa.
Observemos que las válvulas están formadas por discos flexibles que se flexionan
para abrir y cerrar el conducto, debido a una diferencia de presión.
Figura 6.1 Compresor de aire movimiento alternativo, de dos pasos (o etapas)
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
BENITES-CALDERON-ESCATE
130
6.2 COMPRESORES ALTERNATIVOS SIN ESPACIO MUERTO
Todos los compresores de movimiento Alternativo tiene un volumen o espacio muerto
entre la parte superior del embolo y la parte correspondiente del cilindro, y en tal
localización se encuentran las válvulas de succión y descarga. Muchos compresores
son de doble acción, lo cual significa que realizan compresión en uno y otro sentido de
su carrera. Consideremos aquí el compresor que actúa en una sola dirección. También
consideramos nulo el volumen del espacio muerto, lo cual significa que el gas del
cilindro es expulsado totalmente cuando el embolo se encuentra en el punto muerto
superior de su carrera.
Figura 6.2 Diagrama P-V de compresor alternativo de simple acción sin espacio muerto
En la figura 6.2, se ilustra el diagrama P-V correspondiente a este ciclo.
De 0 a 1, se produce la entrada de gas a presión constante hasta que el
embolo o pistón llega al punto muerto inferior en el estado 1.
El gas es comprimido politrópicamente de 1 a 2 hasta que la presión es igual a
la del gas en la tubería de descarga.
La válvula de escape se abre y el gas es descargado a presión constante del
estado 2 al estado 3.
Tan pronto retrocede el pistón una distancia infinitesimal la válvula de succión
se abre y el gas vuelve a entrar de 0 a 1.
La línea 1 a 2´ ilustra un proceso de compresión isotérmica.
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
BENITES-CALDERON-ESCATE
131
Trabajo de un compresor sin espacio muerto
Calculemos ahora el trabajo del ciclo un compresor considerando al gas como ideal o
gas perfecto.
2
1w vdP (6.1)
Considerando el proceso politrópico
nPV C
Obtenemos el trabajo politrópico
1 1 2 21
nw PV PV
n
(6.2)
También se puede ordenar como
1 /
21 1
1
11
n n
Pnw PV
n P
Proceso politrópico (6.3)
Para un proceso isotérmico se tiene
21 1
1
Pw PV Ln
P
(6.4)
6.3 COMPRESORES ALTERNATIVOS CON ESPACIO MUERTO
A continuación se aplicará lo expuesto acerca de los compresores de movimiento
alternativo sin espacio muerto a los compresores reales, en que los que existe dicho
espacio. En estos últimos, el embolo no se desplaza hasta tocar la parte superior del
cilindro, por lo cual queda cierto espacio libre alrededor de las válvulas, que es
conocido como volumen de espacio muerto y que generalmente se expresa como una
fracción (o porcentaje) del volumen de desplazamiento total: tal fracción recibe el
nombre de coeficiente de espacio muerto, c, y se define como
3
D
Vvolumen espacio muertoc
volumen de desplazamiento V (6.5)
Característicamente, el valor de c varia por lo general entre 3% y 10%.
La figura 6.3 de la siguiente pagina, muestra el diagrama P-v que corresponde a un
compresor con espacio muerto.
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
BENITES-CALDERON-ESCATE
132
Comenzando en el estado 1 de la
figura, el gas es comprimido
politrópicamente hasta el estado 2; en
éste la válvula de descarga se abre.
El gas es expulsado a presión
constante desde 2 hasta 3.
En el estado 3, el embolo se
encuentra en el limite superior de sus
carrera, y conforme retrocede, la
válvula de descarga se cierra y el gas
atrapado se expande hasta alcanzar el estado 4.
En este ultimo la presión del cilindro es lo suficientemente baja para admitir
nuevamente gas a través de la válvula de succión hasta llegar al estado 1 y
completar así el ciclo.
Trabajo de un compresor con espacio muerto
Para calcular el trabajo realizado por el ciclo observamos que el Área 1234 es igual a
dicho trabajo y,
Área1234 = Área123´4´ – Área433´4´
Donde es posible calcular las Áreas 123´4´ y 433´4´ como si fuesen trabajos cíclicos
correspondientes a un compresor sin espacio muerto. El trabajo del ciclo será,
1 / 1 /
321 1 4 4
1 4
1 11 1
n n m m
PPn mw PV PV
n P m P
(6.6)
Para este caso, P3=P2 y P4=P1. Como el trabajo de expansión es pequeño comparado
con el de compresión, el error que implica establecer que m=n, también es muy
pequeño. Con tales supuestos y las igualdades de la presión, la ecuación queda como
1 /
21 1 4
1
11
n n
Pnw P V V
n P
(6.7)
Esta ecuación representa el trabajo cíclico que corresponde a un compresor con
espacio muerto. El termino (v1-v4) representa la cantidad de gas que entra al cilindro a
T1 y P1. Tal como podemos observar en la figura 2.3, cuanto mas pequeño sea el
volumen de espacio muerto, tanto mayor será el volumen de gas que puede entrar en
el compresor.
Figura 6.3 Diagrama P-V de compresor alternativo
de simple acción con espacio muerto
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BENITES-CALDERON-ESCATE
133
Ejemplo 6.1
Un compresor ideal tiene un volumen de desplazamiento de 14 litros y un volumen de
espacio muerto igual a 0,7 litros. Toma aire a 100 kPa y lo descarga a 500 kPa. La
compresión es politrópica con n = 1,3, y la expansión es del tipo isentrópico con
m=1,4. Determinar el trabajo neto del ciclo y calcular el error implícito si m=n.
Solución
3
1 2 0,014DV V V m
3
3 0,0007V m
3
1 0,0147V m
1/
1/1,4 334 3
4
0,0007(5) 0,0022
m
PV V m
P
Luego reemplazamos en la ecuación
1 / 1 /
321 1 4 4
1 4
1 11 1
n n m m
PPn mw PV PV
n P m P
1,3 1 /1,3 1,4 1 /1,41,3 1,4
(100)(0,147) 1 5 (100)(0,0022) 1 51,3 1 1,4 1
w
w = -2,40 kJ
Si m=n, entonces
1/
1/1,3 334 3
4
0,0007(5) 0,0024
n
PV V m
P
3
1 4 0,0123V V m
Luego reemplazamos en la ecuación
1 /
21 1 4
1
11
n n
Pnw P V V
n P
1,3 1 /1,31,3
(100)(0,0123) 1 (5)1,3 1
w
w = - 2,39 kJ
El error porcentual es
(2,40 2,39)(100)
0,41%2,40
error
El error es mínimo por lo que es aceptable suponer que m=n.
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134
Ejemplo 6.2
Un compresor de doble acción, con un desplazamiento volumétrico del embolo de 0,05
m3 por carrera, opera a 500 rev/min. El espacio muerto es de 5%, toma aire a 100 kPa
y lo descarga a 600 kPa. La compresión es politropica, Pv1,35=C. Determinar la
potencia requerida, así como la descarga de aire (m3/s).
Solución
Es necesario determinar V1 y V4
1 3 0,05 (0,05)(0,05)D D DV V V V cV
3
1 0,0525V m
1/
1/1,35 334 3
4
0,0025(6) 0,0094
n
PV V m
P
3
1 4 0,0431V V m
Luego en
1 /
21 1 4
1
11
n n
Pnw P V V
n P
1,35 1 /1,351,35
(100)(0,0431) 1 61,35 1
w
w = -9,829 kJ
Trabajo con Doble acción
w = (2)(-9,829) = -19,658 kJ/ ciclo
500 1
19,658 163,81m n 60
rev mínw kJ kW
í seg
Volumen de descarga
1/ 1/1,35
312 1
2
10,0525 0,0139
6
n
PV V m
P
3
2 3 0,0114V V m
2 3
500 1(2)
m n 60desc
rev mínV V V
í seg
3 500 10,0114 (2)
m n 60desc
rev mínV m
í seg
30,19 /descv m s
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BENITES-CALDERON-ESCATE
135
Eficiencia Volumétrica
La función de un compresor consiste en tomar gas y elevar su nivel de presión. El
volumen de gas aspirado (durante su carrera) es función del desplazamiento
volumétrico del émbolo. El termino
eficiencia volumétrica se utiliza para
describir el grado de efectividad con
que el gas es tomado por un
compresor. La eficiencia volumétrica
ideal, ηv, es la razón entre el volumen
del gas aspirado y la máxima cantidad
posible de gas que podría ser admitida,
es decir, el volumen de
desplazamiento, VD.
El volumen o la masa, en ciertos casos
pueden emplearse para definir una
eficiencia volumétrica. Así pues
1 4
v
D
V VVolumen aspirado
Volumen desplazado V
(6.8)
En la figura 6.4 observamos que 3 Dv c v , y la eficiencia volumétrica ideal se puede
expresar como sigue
1 D DV V cV
Al sustituir en la ecuación (6.8) obtenemos como resultado
1/
2
1
n
v
Pc c
P
(6.9)
Si analizamos esta ecuación observaremos que la eficiencia volumétrica disminuye
conforme se incrementa el espacio muerto, así como la presión de descarga. Un
incremento en uno u otro de estos efectos ocasionara que la, masa de gas entrante
sea menor, debido a una mayor masa del gas atrapado en la parte superior del cilindro
cuando el pistón llega al punto muerto respectivo.
En un compresor real no se producen los procesos ideales. La figura 6.5 de la página
siguiente ilustra el diagrama P-v real que corresponde a un compresor de movimiento
alternativo.
Figura 6.4 Diagrama P-V Cuando los procesos de expansión y compresión se efectúan según la ley PV
n=C
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
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136
La presión del gas antes de la toma del compresor debe ser mayor que la presión en
el interior del cilindro, pues de lo contrario del gas no pasaría hacia el interior del
mismo. Existen efectos que se oponen al flujo alrededor de las válvulas de succión, así
como ciertas irreversibilidades en el flujo dentro del propio cilindro. Además, las
paredes del cilindro del compresor están calientes, lo cual eleva la temperatura del gas
entrante. Estos efectos combinados reducen el volumen efectivo de gas que puede
aspirar el compresor. Para tener en cuenta estos efectos, la eficiencia volumétrica
ideal es reducida por la razón de la presión interior en el cilindro en el estado 1, a la
presión exterior del gas a tomar de los alrededores, P0. El término correspondiente al
efecto de calentamiento es la razón entre la temperatura del gas exterior, T0, y la
temperatura del gas en el estado 1.
01( )
0 1
v real v
TP
P T
(6.10)
El trabajo del compresor se incrementará, pues deberá realizar una compresión desde
una presión menor que la exterior
de toma a otra mayor que la interior
de descarga. ¿Por qué mayor? Para
que el gas pueda fluir desde el
cilindro y salir por las válvulas hasta
la tubería de descarga, tiene que
haber una diferencia de presión.
Esta mayor presión debe utilizarse
para calcular el trabajo efectuado
por el compresor. La figura 6.5
también ilustra el efecto de la mayor
presión. El trabajo para vencer la
fricción en las válvulas esta
representada por las áreas rayadas
(o achuradas) en la figura 6.5.
Una vez conocida la eficiencia volumétrica de un compresor, podremos determinar
fácilmente su capacidad multiplicando dicho coeficiente volumétrico por el volumen de
desplazado del embolo. Otro problema que surge en la operación de los compresores
de aire es que la densidad y por tanto, el volumen específico del aire, varían con la
altitud.
Figura 6.5 Diagrama P-V correspondiente a un compresor de movimiento alternativo y en el que se indican las pérdidas en las válvulas
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
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137
Ejemplo 6.3
Un compresor toma aire de los alrededores a 100 kPa y 21°C. Existe una caída de
presión de 2 kpa en las válvulas de toma o succión, y la temperatura al final de la
misma es de 38 °C. La presión de descarga vale 480 kPa, y hay una caída de presión
de 20 kPa en las válvulas de descarga. Determinar (a) las eficiencias volumétricas
ideal y Real; (b) la potencia motriz del compresor si el volumen desplazado del embolo
es de 14 litros y el volumen efectivo es de 11,2 litros. El compresor funciona a 200
rev/min y n=1,35
Solución
P0 = 100 kPa
P1 = 100-2 = 98 kPa
P2 = 480+20 = 500 kPa
T0 = 21+273 = 294 K
T1 = 38+273 = 311 K
P2 > Pdescarga
1 4 11,20,80
14v
D
V V
V
01( )
0 1
98 294(0,80) 0,741
100 311v real v
TP kPa K
P T kPa K
1 /
21 1 4
1
11
n n
Pnw P V V
n P
1 /
21 ( )
1
11
n n
v real D
Pnw P V
n P
1,35 1 /1,351,35 500
(100)(0,741)(0,014) 11,35 1 98
w
w= - 2,10 kJ/ciclo
200 12,10 7
m n 60
rev mínw kJ kW
í seg
Hemos visto que el compresor isotérmico emplea el trabajo mínimo. Para aproximarse
a este ideal, en algunos compresores se cuenta con cilindros provistos de camisa de
agua, y en otros se tienen cilindros con aletas exteriores. Cuando se emplean aletas
de disipación se transfiere una mayor cantidad de calor al aire ambiente que cuando
-
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
BENITES-CALDERON-ESCATE
138
que cuando las paredes del cilindro son lisas. Cuando mayor sea la transferencia de
calor, tanto menor será la temperatura en el estado 2, y tanto mas cerca se hallará de
la condición isotérmica el proceso de compresión.
6.4 COMPRESIÓN MÚLTIPLE
Cuando se busca presiones de 300 kPa o más, se requiere emplear dos o más etapas
para la compresión, lo que conlleva menos trabajo que si se tratara de una sola etapa.
La evaluación exacta se haría con base en el costo, como se efectúan normalmente
todas las estimaciones. La compresión en pasos sucesivos es mas eficaz debido a
que el gas puede ser enfriado entre cada etapa de compresión. Esto también es
necesario para evitar la vaporización del aceite lubricante y evitar su ignición en caso
de que la temperatura se eleve demasiado. Lo anterior podría suceder fácilmente en la
compresión simple, o de una sola etapa, hasta una presión elevada (en un compresor
de un solo paso).
Figura 6.6 Esquema de compresión múltiple con enfriamiento intermedio
La figura 6.6 ilustra un compresor de dos pasos provisto de un enfriador intermedio
entre el primero y el segundo. Idealmente, dicho enfriador bajará la temperatura del
gas que sale de el hasta igualarla a la temperatura con que se inicia la compresión en
la etapa anterior. Las figura 6.7 (a) y 6.7 (b) presentan los diagramas P-V y T-S que
corresponden al compresor. Para lograr esta caída de temperatura, el enfriador
intermedio puede estar provisto de una camisa de enfriamiento con agua. En el caso
de un compresor de dos pasos, tal enfriador puede estar formado por un conjunto de
tubos aleteados paralelos que conectan el colector de descarga de la baja presión con
el colector de succión de la alta presión. Las aletas de ventilación montadas en el
volante del compresor impulsan aire sobre tubos, enfriando con ello el gas comprimido
que conducen.
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
BENITES-CALDERON-ESCATE
139
El trabajo correspondiente a los cilindros de la primera y la segunda etapa puede
calcularse con la aplicación de la ecuación (6.7):
1 /
21 1 8
1
11
n n
prim
Pnw P V V
n P
(6.11)
El trabajo que corresponde a la segunda etapa es
( 1) / ´
4. 2 3 6
2
´1
´ 1
n n
seg
Pnw P V V
n P
(6.12)
La experiencia en la operación de compresores demuestra que n´ = n. El trabajo total
de compresión es la suma de los correspondientes a los dos pasos.
1 / ( 1) / ´
2 41 1 8 2 3 6
1 2
1 11 1
n n n n
total
P Pn nw P V V P V V
n P n P
(6.13)
En el caso de flujo constante en el compresor, la masa que entra al primer paso
también entra en el segundo, siendo
1 / ( 1) / ´
2 41 3
1 2
1 11 1
n n n n
total
P Pn nw mRT mRT
n P n P
(6.14)
Figura 6.7 (a) Diagrama P-V que corresponde a un compresor alternativo de dos pasos. (b)
Diagrama T-S para el caso de compresión en dos etapas con enfriamiento intermedio ideal.
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140
Si se trata de un compresor ideal, T3 = T1. Determinemos ahora el valor de P2 que
reducirá al mínimo el trabajo total. Para que totalw sea mínimo, la primera derivada de
la expresión anterior con respecto a la variable P2 debe ser nula. En consecuencia,
2 1 4P PP (6.15)
Cuando el valor de la presión correspondiente al interenfriador esta determinada como
en la ecuación (6.15), el trabajo es igual en todas las etapas, y el trabajo total será
mínimo.
La segunda derivada del trabajo total, expresada como el negativo de la ecuación
(6.14), es positiva; de manera que el trabajo es mínimo.
En el caso de un compresor de tres etapas podemos calcular de manera semejante la
presión para el enfriador intermedio de baja presión, P2, y resulta así:
23
2 1 4( )P P P (6.16)
La presión para el enfriador intermedio de alta presión, P2, será donde p1 es la presión
en la toma y P4 representa la presión final de descarga.
23
2 1 4( )( )P P P (6.17)
Ejemplo 6.4
Un compresor de aire de dos etapas toma 0,238 m3/s de aire a 100 kPa y 27 ºC, y lo
descarga a 1000 kPa. El valor de n correspondiente a la compresión es 1,35.
Determinar (a) la potencia mínima necesaria para llevar a cabo la compresión; (b) la
potencia que se requiere para efectuar una compresión en un paso hasta la misma
presión; (c) la temperatura máxima en (a) y en (b); (d) el calor absorbido en el
enfriador intermedio.
Solución
Calcular la presión óptima, así como el trabajo correspondiente a una etapa de
compresión, y duplicar el resultado para el caso de dos pasos.
(a) En caso de dos etapas a potencia mínima:
2 1 4 (100)(1000) 316P PP kPa
Como el trabajo total será el mínimo, y el trabajo es igual en ambas etapas
bastará determinar el trabajo en la primera etapa, usando ec. (6.11)
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141
1 /
21 1 8
1
11
n n
prim
Pnw P V V
n P
Usando el flujo volumétrico 1 8V V V , se tiene
1 /
21
1
11
n n
prim
Pnw P V
n P
1,35 1 /1,351,35 316
(100)(0,238) 11,35 1 100
primw
primw = -31,9 kW
primw +seg= -63,8 kW
(b) En el caso de una compresión en un solo paso, P2 =100 kPa,
1,35 1 /1,351,35 1000
(100)(0,238) 11,35 1 100
w
w = -74,9 kW
Esto representa un incremento de 17,4% en la potencia requerida.
(c)
( 1) / (1,35 1) /1,35
2max( ) 1
1
316300 404,2
100
n n
a
PT T K
P
(1,35 1) /1,35
max( )
1000300 544,9
100bT K
(d) En lo que se refiere a la primera ley, el análisis de sistema abierto para el
enfriador intermedio es
2 1 2 3 3 1; pq h h C T T T T
1,005 404,2 300 104,7 /q kJ kg
1 1
1
0,276 /Pv
m kg sRT
Q mq
(0,276)(104,7) 28,9Q kW
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BENITES-CALDERON-ESCATE
142
6.5 COMPRESORES DE TIPO ROTATORIO
Aquí se describirá la importante clase de los compresores rotatorios. Los principios de
funcionamiento de sus dos principales variantes, de efecto directo y de efecto
centrífugo, son completamente distintos. La
figura 6.8 ilustra un compresor rotatorio de
tipo directo o de acción positiva, el soplador
Rootos, que suele emplearse para
sobrealimentar (o sobrecargar) los motores
Diesel. El aire aspirado queda entre los
rotores o lóbulos y la envolvente del
soplador, y es empujado hasta alcanzar la
presión de la tubería de descarga. El
espacio libre entre dichos lóbulos y la
carcasa o envolvente, así como entre los lóbulos mismos, es muy pequeño para
reducir al mínimo cualquier fuga. Observemos que los rotores giran en sentidos
opuestos, y que a través del compresor fluye una corriente constante de aire o gas.
En el compresor rotatorio de efecto
centrífugo que se ilustra en la figura 6.9
se utiliza un principio diferente de
operación. El gas entra axialmente a un
impulsor rotatorio (en el esquema, por el
centro del compresor) y su velocidad va
cambiando a la dirección radial
Debido a la fuerza centrífuga
desarrollada, mientras adquiere una
velocidad angular que se aproxime a la
del impulsor. Conforme el gas se mueve
hacia afuera del compresor, una mayor
cantidad de este fluirá hacia el impulsor, creando así un flujo continuo de gas (como el
de un liquido en una bomba centrífuga). A medida que el fluido circula radialmente por
el difusor estacionario, que presenta áreas de paso crecientes en dirección radial, la
energía cinética se va convirtiendo en energía de presión. Desde el punto de vista de
la conservación energética, la energía cinética disminuye debido a la reducción de la
velocidad. y la energía se conserva por un aumento en la entalpía. Aun cuando el
proceso fuese isotérmico, la componente PV de la entalpía se incrementa.
Figura 6.8 Compresor rotatorio directo del tipo Roots.
Figura 6.9 Compresor rotatorio centrifugo con difusor.
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
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143
El compresor rotatorio de flujo axial tiene una apariencia similar a la turbina de vapor,
pero los alabes se encuentran insertados en orden inverso. Con el fin de impulsar el
gas de baja densidad, en primer lugar se tienen los alabes de mayor tamaño, y luego
van disminuyendo de altura, puesto que la densidad del gas va aumentando.
Análisis Energético
Para calcular el trabajo realizado por compresores del tipo rotatorio o del tipo
alternativo (utilizando el supuesto de flujo constante), es posible formular un balance
de la energía que fluye en el compresor. El cambio de energía cinética es
esencialmente nulo, pues el gas sale con una velocidad casi igual a aquella con la cual
entro. Las tuberías de succión y de descarga son de distinto diámetro para adaptarse
a los cambios de presión y volumen específico. La perdida de calor por unidad de
masa de gas es muy pequeña si consideramos el valor del flujo a través del
compresor; los cambios de la energía potencial también son despreciables. Un análisis
energético da entonces por resultado
2´ 1w m h h (6.18)
Donde h2´ es la entalpía real del gas que sale del compresor, y h1 es la entalpía en la
entrada. La figura 6.10 muestra un diagrama T-S para un compresor. La línea continua
que va de 1 a 2 representa la compresión isentrópica, en tanto que la punteada indica
el proceso irreversible entre las condiciones de entrada y salida. El trabajo ideal es
2 1w m h h (6.19)
y la eficiencia de compresión, ηcom. La ecuación será
2 1
2´ 1
scon
h h
h h
h (6.20)
Figura 6.10 Diagrama T-S de un compresor, donde se muestran los procesos reales e ideales
ηcom
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144
Ejemplo 6.5
Se comprime aire con un compresor centrífugo desde 110 kPa y 300 K hasta una
presión de 330 kPa. La eficiencia interna de compresión es 0,90. Determinar el trabajo
por unidad de masa empleando la ley del gas ideal.
Solución
Para resolver este trabajo tenemos que determinar h2´, la entalpía real a la salida del
compresor, y conociendo este dato y la entalpía en la entrada, podremos calcular el
trabajo
( 1) / (1,4 1) /1,4
22 1
1
330300 410,6
110
k k
PT T K
P
2 1 2 1
2´ 1 2´ 1
0,90s scon
h h T T
h h T T
h
T2´ = 422,9 K
2´ 1 2´ 1 123,5 /Pw h h c T T kJ kg
Ejemplo 6.6
Consideremos como sistema abierto un compresor alternativo del tipo múltiple,
enfriado con agua. El agua entra a 21 °C y sale a 38 °C con un flujo de 0,038 kg/s. El
aire, a razón de 0,227 kg/s, entra a 300 K y 100kPa, y sale a 1000 kPa y 450 K.
Determinar la potencia suministrada.
Solución
Primera ley, sistema abierto para todo el conjunto de equipos
. . . . .
0 0Q W H E C E P
Donde
Trabajo total (primera etapa + segunda etapa)
. . .
1 2W W W
Calor eliminado por el sistema = calor absorbido por el agua de refrigeración
22
. .
2 1h oh o
Q m h h
22 2
. .
( ) 2 1 0,038 7,186 38 21 º.º
h o p h o h o
kg kJQ m C T T C
s kg C
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145
.
2,7Q kW
Cambio de entalpía del aire
. .
4 1aH m h h
. .
( ) 4 1 0,227 1,005 450 300.
a p aire
kg kJH m C T T K
s kg K
.
34,2H kW
Despejando la ecuación de la primera ley para S.A.
. . .
W Q H
Reemplazando valores
. .
2,7 34,2 37W kW
6.6 PROBLEMAS PROPUESTOS
6.1 Calcule la eficiencia volumétrica de un compresor de un solo cilindro y doble
acción, con diámetro interior y carrera de 0,45 m y 0,45 m respectivamente. El
compresor se prueba a 150 rev/min y se encuentra que maneja gas de 101,3 kPa y
300 K a 675 kPa, a razón de 0,166 m3/s, cuando n = 1,33 para los procesos de
expansión y de compresión.
6.2 Un compresor de movimiento alternativo con 3% de espacio muerto, toma aire a
100 kPa y 300 K, y lo descarga a 1,0 Mpa. La expansión y la compresión son
politrópicas, con n = 1,25. Se produce una caída de presión de 5% a través de las
válvulas de succión y de descarga. Las paredes del cilindro calientan el aire hasta
38 ºC al finalizar la carrera de succión. Determine (a) las eficiencias volumétricas
teorica y real; (b) el trabajo realizado por kilogramo; (c) el porcentaje de trabajo
necesario para vencer las perdidas de estrangulación.
6.3 Un compresor de aire de un cilindro y doble acción funciona a 220rev/min, con una
velocidad en el embolo de 200 m/s. El aire es comprimido isentropicamente de
96.5 kPa y 289 K, a 655 kPa. El espacio muerto en el compresor es de 4,5%, y el
flujo de aire, de 0,4545 kg/s. Determine, para n = 1,35, (a) la eficicacia volumétrica;
(b) el volumen de desplazamiento; (c) la potencia motriz; (d) el diámetro interior y la
carrera si L=D.
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146
6.4 Un compresor de gas natural maneja 100 m3/s de gas a 101 kPa y 280 K. La
presión de descarga es de 500 kPa. La compresión es politrópica con n = 1,45.
Determine (a) la potencia requerida; (b) la temperatura de descarga; (c) la potencia
isotérmica necesaria.
6.5 Un soplador Roots se utiliza para sobrealimentar un motor de combustión interna.
El aire entra a 300 K y 98 kPa y sale a 122 kPa. El flujo es de 1,5 m3/s.
constante.
6.6 Un compresor impulsado por una turbina maneja 10 kg/s de aire a 100 kPa a 60 K,
con una temperatura en la succión de 300 K, y una temperara en la descarga de
530 k. La toma tiene un diámetro de 0,5m, y la descarga, de 0,2 m. La compresión
es adiabática. Determine 8ª) la velocidad del aire en la entrada y en la salida; (b) la
eficiencia de compresión isentrópica; (c) la potencia requerida.
6.7 Un compresor de aire del tipo alternativo con dos etapas, se requiere para
suministrar 0,70 kg/s de aire desde 98,6 kPa y 305 K hasta 1276 kPa. El
compresor funciona a 205 rev/min; los procesos de compresión y expansión siguen
la ley Pv1.25 = C, y los dos cilindros tiene un espacio muerto de 3,5%. Se produce
una caida de presión de 20 kPa en el enfriador intermedio. El cilindro de baja
presión descarga el aire a una presión optima, al enfriador. El aire entra al cilindro
de alta presión a 310 K. Se usa agua en el enfriador intermedio, la cual entra a 295
K y sale a 305 K. Determine (a) la capacidad (en “ aire libre”), en m3/s; (b) las
temperaturas de descarga en la alta y en la baja presión; (c) la presión optima
entre las etapas; (d) el flujo de agua de enfriamiento para el enfriador, en kg/s;(e) la
potencia teórica requerida; (f) las dimensiones del cilindro de baja presión si L/D
=0,70; (g) la potencia del motor en kW, si las eficiencias de compresión adiabática
son de 83%, y la eficiencia mecánica, de 85%.
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147
7. MEZCLAS NO REACTIVAS: GAS IDEAL. COMPOSICIÓN. PROPIEDADES.
ENTROPIA.
7.1 INTRODUCCIÓN
Una sustancia pura se define como una sustancia que es homogénea y sin cambios
en su composición química. Mezclas homogéneas de gases que no reaccionan una
con la otra, son por lo tanto, sustancias puras, y las propiedades de tales mezclas
pueden ser determinadas justamente como las propiedades de cualquier otra
sustancia pura. Las propiedades de mezclas comunes tales como aire y ciertos
productos de combustión han sido tabulados o fijados por ecuaciones, pero ya que es
posible un número ilimitado de mezclas, las propiedades de todas ellas no pueden ser
tabuladas.
Debido a que los ingenieros frecuentemente tratan con mezclas. Debemos ser
capaces de calcular las propiedades de cualquier mezcla a partir de las propiedades
de sus componentes. Este capítulo discute tales cálculos, primero para mezclas de
gases y después para mezclas de gas y vapor.
7.2 ANÁLISIS DE MEZCLAS
Si una mezcla de gas consiste en los gases A, B, C. y así sucesivamente. La masa de
la mezcla es la suma de las masas de los gases componentes:
...m A B C im m m m m (7.1)
Donde el subíndice m se refiere a la mezcla y el subíndice i se refiere al iésimo
componente
Fracción de Masa
La fracción de masa (o concentración) de cualquier componente i se define como
,ii
m
mx
m ,A
A
m
mx
m .etc (7.2)
Análisis de Masa
Un análisis de masa (algunas veces llamado análisis gravimétrico) se expresa en
términos de las fracciones de masa y
1 ...A B C ix x x x (7.3)
El número total de moles de una mezcla es la suma del número de moles de
sus componentes:
...m A B C iN N N N N (7.4)
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148
Fracción Molar
La fracción molar y se define como
,ii
m
Ny
N ,A
A
m
Ny
N .etc (7.5)
Análisis Molar
Un análisis molar se expresa en términos de las fracciones molares, y
1 ...A B C iy y y y (7.6)
El Numero de moles N, la masa m, y la masa molar M de un componente (subíndice i)
y el de toda una mezcla (subíndice m) están relacionados por
i i im N M
m m mm N M (7.7)
Donde Mm es la masa molar de la mezcla Sustituyendo de la ecuación (7.7) en la
ecuación (7.1) se obtiene
m i i im m N M
i imm i i
m m
N MmM y M
N N
(7.8)
De las ecuaciones anteriores, una relación útil para conversiones de análisis de
mezcla es
mi i
i
My x
M (7.9)
7.3 PRESIÓN PARCIAL
La presión parcial Pi de un componente i en una mezcla de gas se define como
i i mP y P
A A mP y P .etc (7.10)
Donde y es la fracción molar. De esta definición, la suma de las presiones parciales de
los componentes de una mezcla de gases es igual a la presión de la mezcla
i i m m i mP y P P y P (7.11)
Esto se aplica a cualquier mezcla de gases, ya sea que esta sea o no un gas ideal.
7.4 VOLUMEN PARCIAL
El volumen parcial vi de un componente i en una mezcla de gases se define como
i i mv y v
A A mv y v .etc (7.12)
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149
La suma de los volúmenes parciales de los componentes de una mezcla de gases es
igual al volumen de la mezcla:
i i m m i mv y v v y v (7.13)
El volumen parcial, por supuesto, no es el volumen real de un componente tal como
este existe en la mezcla debido a que cada componente llena el volumen entero del
recipiente que contiene la mezcla.
Las definiciones de presión parcial y volumen parcial son generales y son validas para
todas las mezclas. Veremos que para mezclas de gases ideales, presión parcial y el
volumen parcial tienen un significado físico.
Se acostumbra usar dos modelos diferentes de mezclas de gases, el modelo de
Dalton y el modelo de Amagat. Nosotros usamos ambos en este libro. En nuestras
descripciones de mezclas de gases ideales confinamos nuestra atención a los casos
donde la mezcla misma es un gas ideal. Teniendo en mente, sin embargo, que una
mezcla de gases ideales no siempre es ella misma un gas ideal. Qué tan cerca se
ajusta la mezcla a la ecuación de estado de un gas ideal, depende de la presión de la
mezcla, temperatura y masa molar.
7.5 EL MODELO DE DALTON
El modelo de Dalton es un modelo aditivo de presiones
Figura 7.1 El modelo de Dalton
Para una mezcla de gases ideales que es también un gas ideal, la presión de la
mezcla es
( ...)...m m A B m A m B m
m
m m m m
N RT N N RT N RT N RTp
V V V V
' ' ' ' ' '...A A m m B B m m i i m mp N T V p N T V p N T V (7.14)
Donde ' 'A A m mp N T V ' 'A A m mp N T V es la presión de NA moles del componente “A” a la
temperatura Tm y al volumen Vm. Repitiendo, el modelo de Dalton dice:
La presión de una mezcla de gases ideales es igual a la suma de las presiones de sus
componentes, si cada uno existe solo a la temperatura y volumen de la mezcla.
Hemos mostrado que el modelo de Dalton es valido para mezclas de gases ideales,
pero este también es aproximadamente valido para mezclas de gases reales, incluso en
algunos intervalos de presión y temperatura donde pv = RT no es exacta.
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150
Combinando la ecuación de estado de un gas ideal para pA, la ecuación anterior para
Pm, y la definición de presiones parciales da
' 'A m A
A A m m m A m A
m m
N RT Np N T V gas ideal p y p p
V N (7.15)
Esto es, en una mezcla de gases ideales, la presión parcial de cada componente es
igual a la presión que este componente debería ejercer si existiera solo a la tempe-
ratura y volumen de la mezcla. Otra descripción del modelo de Dalton es la que sigue;
En una mezcla de gases ideales, cada componente se comporta en todos los
aspectos como si existiera solo a la temperatura de la mezcla y su presión parcial o
equivalentemente, a la temperatura y volumen de la mezcla.
Véase la figura 7.1. Por lo tanto, la energía interna y la entropía de una mezcla gas
ideal son iguales, respectivamente, a las sumas de las energías internas y entropías
de los componentes si cada uno existe solo a la temperatura y volumen de la mezcla
o, equivalentemente, a la temperatura de la mezcla y la presión parcial del
componente.
3.6 EL MODELO DE AMAGAT
El modelo de Amagat es un modelo aditivo de volumen
Figura 7.2 El modelo de Amagat
Si una mezcla de gases ideales es también un gas ideal, entones para una mezcla de
gases ideales A, B y C, y así sucesivamente,
......
A B mm m A m B mm
m m m m
N N TN RT N RT N RTV
p p p p
' ' ' ' ' '...A A m m B B m m i i m mV N T p V N T p V N T p (7.16)
Donde ' 'A A m mV N T p es el volumen de NA moles del componente “A” a la Temperatura
Tm y a la presión pm . Así, el modelo de Amagat dice:
El volumen de una mezcla de gases ideales es igual a la suma de los volúmenes de
sus componentes si cada uno existe solo a la temperatura y presión de la mezcla.
Véase la figura 7.2. Como el modelo de Dalton, el modelo de Amagat es preciso solo
para gases ideales, pero es aproximadamente válido para mezclas de gases reales
incluso en algunos rangos de presión y temperatura donde pv = RT es inexacta.
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151
Fracción de volumen
Para mezclas de gases ideales se utiliza con frecuencia el análisis volumétrico. La
fracción de volumen se define como
Fracción de Volumen de ' 'A A m m
m
V N T pA
V m' m
m' m
Volumen de A existente solo en T p
Volumen de la mezcla en T p (7.17)
La fracción de volumen no se define como la relación del volumen de un componente
al volumen de la mezcla, ya que esta relación siempre es unitaria. Esto es verdadero
ya que en la mezcla real cada componente ocupa un volumen igual al volumen de la
mezcla. En otras palabras, existe, perfectamente mezclado, a través del volumen de
toda la mezcla. El volumen parcial es simplemente una construcción que es útil para el
análisis de gases. Note también que definimos la fracción de volumen o análisis
volumétrico solo para mezclas de gases ideales, ya que só1o para gases ideales el
modelo de Amagat o de volumen aditivo es preciso. La fracción de volumen de un
componente en una mezcla gas ideal es igual a su fracción molar, como puede mostrarse
por
' 'A A m m A m m AA
m m m m m
V N T p N RT p Ny
V p N RT N
(7.18)
Y el volumen de un componente de mezcla de un gas ideal, si existe solo Pm y Tm es
igual al volumen parcial del componente en la mezcla:
' ' gas idealA A m m A m AV N T p y V V (7.19)
La igualdad de la fracción de volumen y la fracción molar en una mezcla gas ideal nos
permite escribir las unidades de fracción de volumen como moles del componente por
mol de mezcla; haciendo esto simplificamos la conversión entre análisis volumétrico y
análisis de masa. Tales conversiones pueden hacerse ya que las mezclas de gas son
frecuentemente analizadas sobre una base volumétrica, pero un análisis de masa es
generalmente más útil al relacionar las propiedades de una mezcla a las propiedades de
sus componentes. La conversión de una base a la otra se ilustra en los dos ejemplos que
siguen. Nótese que la presión y la temperatura de la mezcla no tienen importancia en Ia
conversión. Una mezcla de gas ideal puede ser calentada, enfriada, comprimida o
expandida, y su análisis volumétrico permanece constante, tal como lo hace su análisis
de masa. Dos sugerencias al hacer las conversiones son (1) utilizar una forma tabular si
existen más de dos componentes y (2) escribir las unidades en la cabeza de cada
columna, y observarlas cuidadosamente.
El modelo de Dalton se usa de manera más amplia que el modelo de Amagat, pero cada
uno tiene sus ventajas, de modo que frecuentemente se usan juntos. Por ejemplo, el
análisis volumétrico, el cual esta basado en el modelo de Amagat, se usa con frecuencia
en conexión con cálculos basados ampliamente sobre el modelo de Dalton.
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152
Ejemplo 7.1 Análisis de conversión: volumétrico a masa
Un gas tiene el siguiente análisis volumétrico en porcentajes: H2, 46.0; CO,
10.5: CH4, 31.0; y N2, 12.5. Determine el análisis de masa.
Solución
En la tabla de siguiente, los datos están dados en las columnas a y b. Las masas molares
aproximadas se listan en la columna c. Los valores en la columna d son los productos de
aquellos de las columnas b y c. La suma de la columna d es la masa de un mol de
mezcla o la masa molar de la mezcla. Los valores de la columna e se obtienen al dividir
los valores de la columna d por el total de la columna d.
Ejemplo 3.2 Análisis de conversión: masa a volumétrico
Una mezcla de gas tiene el siguiente análisis de masa en porcentajes:
H2, 10; CO, 60; y CO2, 30. Determinar el análisis volumétrico.
Solución
Las hojas de cálculo electrónicas son convenientes para tales cálculos y son
especialmente convenientes cuando deben ser considerados varios casos. Mostramos
aquí una solución de hoja de cálculo usando masas molares aproximadas, y otra
utilizando valores precisos. A continuación procede agregar otros gases o calcular otras
cantidades de interés.
Comentario: Nótese que el H2 fue solo 10% de la mezcla por masa pero una fracción
mayor de la mezcla por volumen. Esto es razonable ya que el H2 es el componente
menos denso. Esta clase de verificación sobre la razonabilidad del resultado debería
hacerse para todas las conversiones de análisis de mezclas.
a b c d e
Componente
i
Analisis
volumetrico
yi
(kmol/kmold
e mezcla)
Masa molar,
Mi (kg/kmol)
yiMi
(kg/kmol de
mezcla)
Analisis de
masa
yiMi/Mm
(kg/kg de
mezcla)
H2 0.460 2 0.92 0.07
CO 0.105 28 2.94 0.24
CH4 0.310 16 4.96 0.40
N2 0.125 28 3.50 0.28
1.000 Mm= 12.32 1.00
a b c d e
Componente
i
Analisis de
masa xi
(kg/kg de
mezcla)
Masa molar,
Mi (kg/kmol)
xi/Mi
(kmol/kg de
mezcla)
Analisis
volumetrico
yi
(kmol/kmol
de mezcla)
H2 0.100 2 0.0500 0.64
CO 0.600 28 0.0214 0.27
CO2 0.300 44 0.0068 0.09
1.000 0.0782 1.00
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153
7.7 PROPIEDADES DE MEZCLAS DE GAS-IDEAL BASADAS EN EL MODELO DE DALTON
Para discutir las propiedades de mezclas de gas-ideal, considérese una mezcla de
tres gases ideales, A, B y C (el resultado puede ser generalizado fácilmente a una
mezcla de cualquier número de componentes). Las propiedades de tal mezcla, en
términos de las propiedades de sus componentes, se discuten aquí.
Temperatura. Para cualquier mezcla uniforme, la Temperatura es la misma para
cada componente y para la mezcla: (también es válido para el modelo de Amagat.)
m A B CT T T T (7.20)
Masa, número de moles y masa molar. La masa, el número de moles y la masa
molar de una mezcla, están dadas por
m A B C
m A B C
m A A B B C C
m m m m
N N N N
M y M y M y M
(7.21)
Estas relaciones son válidas para todas las mezclas, no solo para gases ideales
(También son válidas para el modelo de Amagat.)
Presión. Utilizando el modelo de Dalton para una mezcla de gas-ideal mostramos que
la presión parcial es igual a la presión de los componentes a la temperatura y volumen
de la mezcla. Ya que la suma de las presiones parciales debe igualar a la presión de la
mezcla, se sigue que la suma de las presiones componentes al volumen y
temperatura de la mezcla es igual a la presión de la mezcla.
El concepto de Dalton de que cada componente se comporta en todos aspectos como
si existiera solo, a su presión parcial y a la temperatura de la mezcla, esta de acuerdo
con el modelo molecular que muestra que la presión de un gas ideal es el resultado del
bombardeo de las moléculas del gas sobre las paredes del recipiente. Desde este
punto de vista es fácil separar la presión de una mezcla en partes, cada una atribuible
al bombardeo de las paredes de un recipiente por las moléculas de un componente.
Es imposible medir directamente la presión de solo un componente de la mezcla; sin
embargo, con frecuencia es conveniente tratar la presión parcial de un componente en
una mezcla de gas-ideal como la presión ejercida por dicho componente como si este
existiera solo en la mezcla.
Volumen. El volumen de cada componente de una mezcla de gas es el mismo que el
volumen de la mezcla debido a que las moléculas de cada componente se encuentran
en libertad para moverse a través del espacio total ocupado por la mezcla.
' ' ' ' ...A A A m B B B m mV N p T V N p T V (7.22)
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154
Aquí, VA (NA , PA , Tm ) es el volumen de un componente A, tal como existe en la
mezcla, esto es, a la presión parcial pA y Temperatura de la mezcla Tm.
Energía interna, entalpía, entropía Para una mezcla de gases ideales, el modelo de
Dalton conduce a
' ' '
' ' '
' ' ' ' ' '
m A A m B B m C C m
m A A m B B m C C m
m A A A m B B B m C C C m
U U N T U N T U N T
H H N T H N T H N T
S S N p T S N p T S N p T
(7.23)
y expresiones similares para otras propiedades tales como Am y Gm. En estas
ecuaciones, las propiedades de los componentes deben ser evaluadas como si cada
componente existiera solo a la temperatura y volumen de la mezcla o a su presión
parcial y a la temperatura de la mezcla. La energía interna y la entalpía de un gas ideal
son funciones de la temperatura solamente, la única temperatura que usamos al
evaluar las propiedades de una mezcla o de sus componentes es la temperatura de la
mezcla Tm. Sin embargo, la entropía de un gas ideal es una función de dos
propiedades, de manera que la componente de entropía debe ser evaluada a la
temperatura de la mezcla y la presión parcial del componente, o equivalentemente, a
la temperatura y volumen de la mezcla. Véase nuevamente la figura 7.1 que ilustra el
modelo de Dalton. Por unidad de masa esas expresiones son
m A B C A A B B C Cm
m m m
m A A B B C Cm
m m
A A B B C CAm
m m
U U U U m u m u m uU
m m m
H m h m h m hh
m m
m s m s m sSs
m m
(7.24)
Calores específicos, constante de gas.
Ya que
CA Bm A B C
m m m
mm mU u u u
m m m (7.25)
cv de una mezcla está dado por
m C CA A B Bvm
v vv vm m m
A vA B vB C vC CA BvA vB vC
m m m m
A vA B vB C vC
u m um u m uc
T m T m T m T
m c m c m c mm mc c c
m m m m
x c x c x c
(7.26)
De manera similar,
Sm
um
um
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
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155
CA Bpm p A pB pC
m m m
mm mc c c c
m m m (7.27)
Y
CA Bm A B C
m m m
mm mR R R R
m m m (7.28)
La constante de gas de la mezcla puede obtenerse también por
m
m
RR
M (7.29)
Ejemplo 7.3 Propiedades de mezclas de gas-ideal
Una mezcla de gas a 100 kPa, 25°C, tiene un análisis de masa de 20% de hidrógeno,
30% de nitrógeno, y 50% de oxígeno. Determine (a) las presiones parciales de los
componentes y (b) el calor especifico a presión constante, cp
Solución:
a) Para determinar las presiones parciales convertimos primero el análisis de
masa a un análisis volumétrico o molar:
(b) El Cp de la mezcla es el promedio pesado de Cp que se obtiene mediante
0,20(14,3) 0,30(1,04) 0,50(0,919) 3,63 / .pm i piC x C kJ kg K
Ejemplo 7.4 Proceso de una mezcla de gas-ideal
Una mezcla con una composición molar de 70% de helio y 30% de oxigeno se
comprime reversiblemente y adiabáticamente de 14.0 psia, 50°F, a 45 psia. Determine
(a) la temperatura final, (b) el trabajo por libra de mezcla, y (c) el cambio de entropía
de cada componente por libra de mezcla.
Solución:
Análisis: En los rangos de presión y temperatura involucrados podemos modelar la
mezcla de gas como un gas ideal. Los calores específicos del helio, un gas
monoatómico, son constantes, y la variación del calor específico del oxígeno es
a b c d e f
Componente
i
Analisis de
masa xi
(kg/kg de
mezcla)
Masa molar,
Mi (kg/kmol)
xi/Mi
(kmol/kg de
mezcla)
Analisis
Volumetrico,
yi
(kmol/kmol
de mezcla)
Presión
pracial,
yiPm (kpa)
H2 0.20 2.00 0.10 0.79 79.15
N2 0.30 28.00 0.01 0.08 8.48
O2 0.50 32.00 0.02 0.12 12.37
1.00 0.13 1.00 100.00
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156
probablemente pequeña para el rango limitado de temperatura resultante de una
razón de presión de aproximadamente tres. Por lo tanto, suponemos que la mezcla
puede ser modelada como un gas ideal con calores específicos constantes.
Para un proceso adiabático reversible de un gas ideal con calores específicos
constantes, podemos obtener la temperatura final a partir de la relación pT obtenida al
combinar la ecuación de estado de un gas ideal y pvk = constante.
Puede obtenerse trabajo a partir de la primera ley, ya que podemos evaluar el cambio
en la energía interna a partir de la temperatura de estado final y del estado inicial.
El cambio de entropía para cada componente puede obtenerse integrando una de las
ecuaciones T ds, ya que cada componente actúa como si existiera solo a su presión
parcial y a la temperatura de la mezcla.
(a) Para determinar los calores específicos de la mezcla, determinamos primero
el análisis de masa:
Entonces, los calores específicos de la mezcla, usando los calores específicos
componentes a partir de tablas a una temperatura media estimada de 150°F, están
dados por
2
20.226(1.24) 0.774(0.222) 0.452 B/lbm-R
OHepm pHe pO
m m
mmc c c
m m
2
20.226(0.745) 0.774(0.160) 0.292 B/lbm-R
OHevm vHe vO
m m
mmc c c
m m
0.4521.548
0.292
pm
m
vm
ck
c
Como suponemos que los calores específicos son constantes, la temperatura final para
el proceso adiabático reversible es
1 / 0.548/1.548
22 1
1
45510 771 R 311 F
14
m mk k
pT T
p
(b) Aplicando la primera ley al sistema cerrado para este proceso adiabático,
tenemos
2 1 2 1 0entrada m m vmW u u q c T T
Componente
Analisis
volumetrico
(lbmol/lbmol
de mezcla)
Masa molar
(lbm/lbmol)
(lbm/lbmol
de mezcla)
Analisis de
masa
(lbm/lbm de
mezcla)
He 0.7 4 2.80 0.226
O2 0.3 32 9.60 0.774
1.0 Mm= 12.40 1.000
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157
0.292(771 510) 76.2 B/lbm
(c) Para este proceso adiabático reversible la entropía de la mezcla debe permanecer
constante. La entropía de cada componente puede cambiar, pero la suma de los
cambios de entropía de los dos componentes debe ser cero. Para cualquier proceso
de un gas ideal,
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
pc dTdh vdp dps ds R
T T T p
y si Cp es constante, el cambio de entropía para cada componente i es
22
1 1
ln ln ii pi
i
pTs c R
T p
Para cada componente en la mezcla, las presumes que son usadas son las parciales,
pero nótese que para cada gas,
2 2 2 2
1 1 1 1
i i m m
i i m m
p y p p
p y p p
Ya que y2 = y1. Así, aplicando la ecuación para ΔS al helio, tenemos B
.
.
.
386771 451.24ln ln 0.0668 B/ .
510 778 14
ft lbf
lbm RHe ft lbf
B
s lbm R
Por libra de mezcla,
0.226( 0.0668) 0.0151 B/ .He He He
m m
s m slbm mezcla R
m m
Para el oxígeno,
2
771 48.3 450.222ln ln 0.0193 B/ .
510 778 14Os lbm R
y, por libra de mezcla,
2 2 2 0.774(0.0193) 0.0149 B/ .O O O
m m
s m slbm mezcla R
m m
Dentro de los limites de precisión de los cálculos mostrados, esos dos valores Δs por
libra de mezcla para el helio y para el oxigeno son iguales en magnitud aunque
opuestos en signo. Es realmente innecesario calcular ambos valores Δs de esta
manera, excepto como un chequeo de los cálculos, ya que conocemos que su suma
es cero.
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158
7.8 MEZCLAS DE GASES IDEALES
En las dos secciones precedentes discutimos mezclas de gases ideales y
relacionamos las propiedades de las mezclas a las propiedades de los gases ideales
componentes. Tratamos con estados de mezcla. Ahora regresaremos al proceso de
mezclado. Relacionamos los estados de los componentes antes del mezclado con los
estados de la mezcla y los componentes individuales después de que el mezclado
ocurre.
El problema usual es determinar las propiedades de una mezcla formada por
componentes de mezcla con propiedades conocidas. No se involucran nuevos
principios. Simplemente aplicarnos la primera ley y el principio de conservación de la
masa a un sistema seleccionado convenientemente. Por ejemplo, considere la mezcla
adiabática de tres gases, A, B y C, a diferentes presiones y temperaturas en un
sistema cerrado de volumen fijo. Los gases pueden estar inicialmente en tres
tanques conectados por tuberías, o pueden estar en tres partes de un tanque
separados por paredes como en la figura 7.3. Si las paredes se rompen o se quitan o
las válvulas se abren, los tres gases formarán una mezcla que tiene una masa y un
volumen dados por
m A B C
m A B C
m m m m
V V V V
(7.30)
Donde VA, VB y Vc son los volúmenes de los componentes antes de mezclarse. El
proceso de mezclado se especificó como adiabático y no hay trabajo realizado; así, la
energía interna del sistema permanece constante y
m A B CU U U U
Figura 3.3 Tres gases ideales en sistemas adiabáticos antes de mezclarse.
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159
Donde UA, UB y Uc son las energías internas de los componentes antes de ser
mezclados. La energía interna de la mezcla es también igual a la suma de las
energías internas de los componentes antes de la mezcla, pero la energía interna de
cada componente generalmente no es la misma antes y después de ser mezclados.
Como la energía interna del sistema completo permanece constante, la suma de los
cambios de energía interna de los componentes es cero:
0A B CU U U U (7.31)
o
Para cualquier gas ideal, la energía interna u es una función solo de la Temperatura,
por lo que la ecuación anterior puede escribirse corno
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0A A m A A B B m B B C C m C CU m u T u T m u T u T m u T u T (7.32)
Si la relación uT para cada gas se introduce en un programa solucionador de
ecuaciones, esta ecuación puede ser resuelta para la temperatura de la mezcla. Para
el caso especial de los valores de cv que son constantes para cada componente en
todo el rango de temperatura, esta ecuación puede reducirse a
A vA A B vB B C vC Cm
A vA B vB C vC
m c T m c T m c TT
m c m c m c
(7.33)
La derivación de esta ecuación no involucra ninguna suposición referente a una
temperatura a la cual U=0, ni se estipulo que U = 0 a la misma temperatura para
todos los componentes.
Después de que la temperatura de la mezcla ha sido determinada, la presión puede
calcularse de
m m mm
m
m R Tp
V (7.34)
Rm puede determinarse del análisis de la mezcla
Como el proceso de mezclado que estamos considerando es irreversible y adiabático,
la entropía del sistema debe incrementarse. La entropía de la mezcla, aunque es igual
a la suma de las entropías de los componentes mientras existen en la mezcla, es
mayor que la suma de las entropías de los componentes antes de mezclarse. El
cambio de entropía del sistema complete es
0A B Cs S S S (7.35)
0A A B B C CU m u m u m u
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160
Y el cambio de entropía para cada componente puede calcularse como si cada
componente existiera solo y se expandiera desde sus condiciones iniciales a la
temperatura y volumen de la mezcla, siendo su presión final, por lo tanto, su presión
parcial en la mezcla.
Hemos ilustrado aquí que no intervienen nuevos principios o técnicas en !a
determinación de las propiedades de una mezcla de gas-ideal formada por
componentes de propiedades conocidas en un sistema adiabático cerrado, rígido.
Pueden ser analizados también mezclado no adiabático y mezclado en sistemas
abiertos, tanto de flujo estable como transitorio, por medio de los principios que ya
han sido presentados.
Ejemplo 7.5 Mezclado
Metano a 100 kPa, 15°C, entra a una cámara de mezclado aislada a una velocidad de
1.08 kg/s. Se mezcla con aire a 100 kPa, 160°C, en una razón de masa aire/metano
de 17.0. El flujo es estable y los cambios de energía cinética son despreciables. La
presión y temperatura ambiente son 100 kPa, 15°C. Determine (a) la temperatura de
la mezcla que sale de la cámara y (b) la irreversibilidad del mezclado por kilogramo
de metano.
Solución:
Análisis: Para encontrar el estado de la mezcla que deja la cámara de mezclado,
estado 3, aplicaremos la primera ley, tomando en cuenta que el mezclado es
adiabático, los cambios de energía cinética son despreciables, no hay trabajo
realizado en una cámara de mezclado, y el flujo es estable. Esto nos dará los valores
para los cambios de entalpía a lo largo del proceso de mezclado, y a partir de los
cambios de entalpía podemos determinar los cambios de temperatura. Para calcular la
irreversibilidad necesitamos calcular los cambios de entropía a través del proceso de
mezclado, y podemos hacer esto calculando el cambio de entropía para cada flujo
componente y sumarlos.
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161
Cálculos: (a) La primera ley aplicada a la cámara de mezclado bajo las restricciones
listadas en el análisis es
4 4 4 4 4,1 ,2 ,3 ,3 ,3( )CH CH aire aire CH aire m CH CH aire airem h m h m m h m h m h
Reordenando da
4 43 1 3 2( ) ( ) 0CH CH aire airem h h m h h
Utilicemos calores específicos constantes para relacionar cambios de entalpía con
cambios de temperatura. Entonces
4 4
4 4
4 4
, 3 1 , 3 2
, 1 , 2
3
, ,
( ) ( ) 0
)
CH p CH aire p aire
CH p CH aire p aire
CH p CH aire p aire
m c T T m c T T
m c T m c TT
m c m c
La Temperatura de la mezcla que deja la cámara de mezclado estará entre 160°C y
15°C y, en vista de que la razón de masa aire/metano es de 17, esta más cercana a
160°C.
3
1.08(2.37)288 17(1.08)1.02(433)416 K 142º
1.08(2.37) 17(1.08)1.02T C
por lo tanto, seleccionamos de la tabla valores medios de cp CH4 = 2.37 kJ/kg K y cp aire
= 1.02 kJ/kg K Haciendo las sustituciones en la ecuación para T3 se obtiene
(b) La irreversibilidad esta dada por
4 4
4
4
0 0
0
( )CH CH aire aire
aireCH aire
CH
I T S T m S m S
mi T S S
m
Para cada componente, suponiendo que los valores de Cp son constantes,
ln lnp finalm
p
inicial inicial
c dT pTdh vdp dps ds R c R
T T T p T p
La presión inicial de cada componente esta especificada, y es igual a la presión final
de la mezcla. La presión final de cada componente es su presión parcial. Por lo tanto,
para cada componente
3ln lnp
inicial
Ts c R
T yi
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162
Donde
4 4 4
4
4 44 4
1
1
CH CH CH
aire aire
CH CH aire aireCH CH
CH m M
m M
N m My
N m M m M
1628.97
10.0963
1 17
4
1 1 0.0963 0.9.37aire CHy y
Sustituyendo en la ecuación para i se obtiene
4 44
4
3 3, ,
1 2
ln ln ln lnaire
CH
CH
o p CH CH p aire aire aire
MT Ti T c R y c R y
T M T
416 416288 2.37ln 0.519ln0.0963 17 1.02ln 0.287ln0.9 037
288 433i
537 kJ/kgi
7.9 MEZCLAS DE GASES REALES
Para gases reales que no siguen la ecuación de estado del gas-ideal, no tenemos
relaciones pvT simples y tampoco expresiones simples para los cálculos numéricos de
energía interna, entalpía y entropía, incluso para gases individuales. Por lo tanto, no
tenemos un método general confiable para calcular las propiedades de mezclas de
gases-reales. No obstante, surge la necesidad de tales cálculos, por lo que se han
propuesto varias aproximaciones.
Un método para cálculos pvT es suponer que el modelo de presión aditiva (Dalton)
es valido de modo que
( , , ) ( , , ) ...m A A m m B B m mp p N T V p N T V (7.36)
En esta ecuación pA (NA, Tm, Vm), pB (NA, Tm, Vm), . . . denota las presiones que serían
ejercidas por los componentes individuales si existieran solos a la temperatura y
volumen de la mezcla. Estas no son presiones parciales, ya que la presión parcial esta
definida por pi = yi pm y pi = pi (Ni, Tm, Vni) solo para mezclas de gas-ideal.
Seleccionando una ecuación de estado apropiada es posible determinar la presión de
cada componente en una mezcla si existe solo a Tm y Vm. Entonces los sumamos
para determinar la presión de la mezcla.
Otro método es suponer que el modelo de volumen aditivo (Amagat) es válido de modo
que
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163
( , , ) ( , , ) ...m A A m m B B m mV V N p T V N p T (7.37)
En esta ecuación VA(NA, pm, Tn) y VB(NB, pm, Tm) denotan los volúmenes de los
componentes individuales si existen solos a la presión y temperatura de la mezcla.
Estos no son volúmenes parciales, ya que el volumen parcial se define por Vi = yi Vm ,
pero Vi= Vi(Ni, pm, Tm) solo para mezclas de gas-ideal. Para obtener la formulación de
volumen aditivo en términos de volúmenes molares específicos, dividir la forma dada
anteriormente por el número de moles en la mezcla y usar
La definición de fracción molar, yi. = Ni/Nm, para
( , , ) ( , , )...m A A m m B B m m
m
m m m
V V N p T V N p Tv
N N N
( , , ) ( , , )...
( , ) ( , ) ...
A A A m m B B B m m
A B
A A m m B B m m
y V N p T y V N p T
N N
y v p T y v p T
(7.38)
Eligiendo una ecuación de estado conveniente es posible determinar el volumen
específico molar de cada componente si existe solo a Pm y Tm, pero puede requerirse un
método iterativo si las ecuaciones de estado no están en una forma explicita para el
volumen. (Para gases ideales, el volumen especifico molar es el mismo para todos los
componentes como si estos existiesen solos a la misma presión y temperatura, pero
recuerde que esto no es cierto para gases reales.)
Un tercer método es utilizar un factor de compresibilidad y la relación
m m m m mp V Z N RT (7.39)
Como los factores de compresibilidad para mezclas por lo general no están
disponibles, la determinación de Zm es una alternativa. Una aproximación que con
frecuencia ha sido probada satisfactoriamente es
...m A A B BZ y Z y Z (7.40)
Donde yA, yB … son las fracciones molares de los componentes y ZA, ZB, . . .son sus
factores de compresibilidad. Si los factores de compresibilidad son evaluados a la
presión y temperatura de la mezcla, la ecuación para Zm se reduce al modelo de
volumen aditivo.
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164
Este es un procedimiento conveniente, porque están disponibles cartas de Z como
una función de pR y TR. Al determinar pR para cada componente, se utiliza pR = Pm/Pc,
como la razón de presión parcial del componente a su presión critica.
Los cambios en entalpías y entropía para una mezcla gas-real pueden calcularse de
...m A A B B i ih y h y h y h
o
...m A A B B i ih y h y h y h (7.41)
y
...m A A B B i is x s x s x s
o
...m A A B B i is y s y s y s
7.10 PROBLEMASPROPUESTOS
7.1 Una mezcla gaseosa contiene 0.28 Kg de CO, 0.16 Kg. de O2 y 0.66 Kg de
CO2 a 1.4 bares y 17ºC. Calcule: a) el análisis volumétrico, b) la constante de
gas aparente en kJ/(Kg.K) y c) el volumen ocupado por la mezcla en m3.
7.2 Una mezcla de gases ideales tiene el análisis volumétrico siguiente: CO2,
50%; N2, 40%; H2O, 10%.
a) Calcule el análisis gravimétrico de la mezcla y la masa molar.
b) Un tanque de 0.0224 m3 de capacidad contiene 0.060 Kg de la mezcla a
7ºC. Determine la presión en el tanque en kPa.
7.3 Un tanque rígido contiene una mezcla gaseosa en un estado inicial de 227ºC y 200
kPa con el análisis volumétrico siguiente: N2, 70%; CO2, 20%; O2, 10%. La
mezclase enfría a 27ºC. Determine la transferencia de calor requerida en
kJ/kgmol, basándose en: a) dalos tabulados para gases ideales y b) en datos de
capacidades térmicas específicas promedio.
7.4 1 gmol de dióxido de carbono (CO2), inicialmente a 2 bares y 27ºC, se mezcla en
forma adiabática con 2 gmol de O2 inicialmente a 5 bares y 152ºC. Durante el
proceso de mezclado a volumen constante, se suministra energía eléctrica
equivalente a 0.67 kJ/gmol de la mezcla. Determine a) la temperatura final de la
mezcla, en grados Celsius, si se usan datos tabulados, y b) la presión final en
bars.
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165
7.5 Un tanque rígido contiene 0.2 kg de nitrógeno y 0.1 kilogramos de dióxido de
carbono a 2 bares (200 kPa) y 37ºC. Durante un proceso, se suministran 4.90 kJ
de calor y una corriente de 4.5 A pasa por un resistor dentro del tanque durante
un tiempo de 6.0 minutos. Si la temperatura final de la mezcla gaseosa es de
147ºC, determine el voltaje constante aplicado al resistor. Utilice los datos de las
tablas para gases ideales.
7.6 El análisis volumétrico para una mezcla de gases ideales es el siguiente: CO,
33.3%; CO2 50%, O2, 16.7°/o. Entra a un compresor de estado estacionario a
37ºC y 60 m/s y sale del dispositivo a 237ºC y 100 m/s.
a) Determine en kJ/kg el trabajo de flecha requerido, si ocurre una perdida de
calor de 4.0 kJ durante el proceso.
b) Si el gasto de volumen a la entrada es de 6.0 m3/min y la presión es de 120
kPa, determine la potencia de entrada en kw.
7.7 Una mezcla gaseosa compuesta por N2, CO2 y H2O en una proporción molar
de 4:1:1 entra a una turbina a 1000 K. Los gases se expanden
isentrópicamente con una relación de presión de 6:1 Usando datos de s,
calcule en kJ/kgmol el trabajo de salida de la mezcla.
7.8 Un tanque rígido esta subdividido en dos compartimientos, uno de los cuales
contiene 0.020 kgmol de CO inicialmente a 500 K y 0.420 m3, mientras que el
otro compartimiento contiene 0.040 kgmol de CO2 inicialmente a 300 K. La
partición que separa los dos compartimientos se rompe, y los gases se
mezclan adiabáticamente. La presión final es de 123 kPa. Determine a) la
temperatura final de la mezcla en K y b) el cambio de entropía del monóxido
de carbono en kJ/K.
7.9 Un tanque aislado de 0.06 m3 está dividido en dos secciones mediante una
partición. Una de las secciones, con un volumen de 0.02 m3 contiene al inicio
0.070 kg de monóxido de carbono de 267°C. La otra sección contiene
inicialmente 0.010 kg de helio a 17°C. La partición adiabática se elimina,
permitiéndose que se mezclen los gases. Determine a) la temperatura de
equilibrio de la mezcla en K, b) la presión final de la mezcla en kPa y c) el cambio
de entropía del monóxido de carbono en kJ/K.
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