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IntroducciónIntroducción
Arquitectura de Computadores
Aproximadamente en el año 1850 George Boole, desarrolló un sistema algebraico para formular proposiciones con símbolos.
George Boole1815-1864
IntroducciónIntroducción
Arquitectura de Computadores
Su álgebra consiste en un método para resolver problemas de lógica que recurre solamente a los valores binarios 1 y 0 y a tres operadores:
• AND (y) • OR (o) • NOT (no)
George Boole1815-1864
Variables BooleanasVariables Booleanas
Las variables Booleanas sólo toman los valores binarios: 1 ó 0.
Una variable Booleana representa un bit que quiere decir:– Binary digIT
Arquitectura de Computadores
Operaciones Booleanas: OROperaciones Booleanas: OR
Arquitectura de Computadores
xx yy x+yx+y
00 00 00
00 11 11
11 00 11
11 11 11
Operación OR:
Operaciones Booleanas: OROperaciones Booleanas: OR
Arquitectura de Computadores
xx yy x+yx+y
00 00 00
00 11 11
11 00 11
11 11 11
Operación OR:
Si una de las entradas es 1, entonces la salida es 1
Operaciones Booleanas: OROperaciones Booleanas: OR
Arquitectura de Computadores
Compuerta OR:
x
yx + y
Operaciones Booleanas: ANDOperaciones Booleanas: AND
Arquitectura de Computadores
xx yy x yx y
00 00 00
00 11 00
11 00 00
11 11 11
Operación AND:
Operaciones Booleanas: ANDOperaciones Booleanas: AND
Arquitectura de Computadores
xx yy x yx y
00 00 00
00 11 00
11 00 00
11 11 11
Operación AND:
Si una de las entradas es 0, entonces la salida es 0
Operaciones Booleanas: ANDOperaciones Booleanas: AND
Arquitectura de Computadores
Compuerta AND:
x
yx y
Operaciones Booleanas: NOTOperaciones Booleanas: NOT
Arquitectura de Computadores
Operación NOT:
xx xx
00 11
11 00
Operaciones Booleanas: NOTOperaciones Booleanas: NOT
Arquitectura de Computadores
Operación NOT:
xx xx
00 11
11 00
La salida es la negación de la entrada
Operaciones Booleanas: NOTOperaciones Booleanas: NOT
Arquitectura de Computadores
Compuerta NOT:
x x
Operaciones Booleanas: AplicaciónOperaciones Booleanas: Aplicación
Arquitectura de Computadores
Ejercicio:
Encontrar w = x y + y z para todas las combinaciones.
Operaciones Booleanas: AplicaciónOperaciones Booleanas: Aplicación
Arquitectura de Computadores
Ejercicio:
Encontrar w = x y + y z para todas las combinaciones.
xx yy zz xyxy yzyz ww
00 00 00 00 00 00
00 00 11 00 00 00
00 11 00 00 00 00
00 11 11 00 11 11
11 00 00 11 00 11
11 00 11 11 00 11
11 11 00 00 00 00
11 11 11 00 11 11
Algebra Booleana: IdentidadAlgebra Booleana: Identidad
Arquitectura de Computadores
Postulados de Identidad:
• 0 + x = ?
• 1 × x = ?
Algebra Booleana: IdentidadAlgebra Booleana: Identidad
Arquitectura de Computadores
Postulados de Identidad:
• 0 + x = x
• 1 × x = x
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Propiedad conmutativa:
• x + y = ?
• x y = ?
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Propiedad conmutativa:
• x + y = y + x
• x y = y x
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Axiomas de complemento:
• x x = ?
• x + x = ?
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Axiomas de complemento:
• x x = 0
• x + x = 1
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Teorema de idempotencia:
• x x = ?
• x + x = ?
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Teorema de idempotencia:
• x x = x
• x + x = x
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Teorema de elementos dominantes:
• x × 0 = ?
• x + 1 = ?
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Teorema de elementos dominantes:
• x × 0 = 0
• x + 1 = 1
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Propiedad distributiva:
• x ( y + z ) = ?
• x + ( y z ) = ?
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Propiedad distributiva:
• x ( y + z ) = x y + x z
• x + ( y z ) = ( x + y ) ( x + z )
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Ley involutiva:
• ( x ) = ?
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Ley involutiva:
• ( x ) = x
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Teorema de absorción:
• x + x y = ?
• x ( x + y ) = ?
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Teorema de absorción:
• x + x y = x
• x ( x + y ) = x
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Teorema del consenso:
• x + x y = ?
• x ( x + y ) = ?
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Teorema del consenso:
• x + x y = x + y
• x ( x + y ) = x y
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Teorema asociativo:
• x + ( y + z ) = ?
• x ( y z ) = ?
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Teorema asociativo:
• x + ( y + z ) = ( x + y ) + z
• x ( y z ) = ( x y) z
Algebra Booleana: PropiedadesAlgebra Booleana: Propiedades
Arquitectura de Computadores
Leyes de Morgan:
• ( x + y ) = x y
• ( x y ) = ?