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Osuna Omero Antonio
Cálculo básico para estudiantes Universitarios
Universidad de Los Andes-Facultad de Ciencias-Departamento de Matemática. 2010. p. 299
Venezuela
Disponible en:
http://bdigital.ula.ve/RediCiencia/busquedas/DocumentoRedi.jsp?file=34768&type=ArchivoDocumento
&view=pdf&docu=27821&col=11
¿Cómo citar?
OMERO A. OSUNA
Profesor Universitario, Educacion Media General y Profesional del Ministerio del Poder
Popular para la Educacion
CALCULO BASICO PARA ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS.
Merida, 2010.
2
Titulo de la obra: Calculo Basico
Autor: Profesor Omero A. Osuna
Coleccion: Ciencias Basicas
Serie: Matematica
Indice general
Introduccion 7
1. Los Numeros Reales 8
1.1. Algunas Propiedades de los Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Exponentes y Radicales 19
2.1. Aplicacion en Ciencias Sociales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Definicion de Exponentes negativos y cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Propiedades de los Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4. Expresiones Numericas Mixtas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3. Expresiones Algebraicas 34
3.1. Operaciones de Expresiones Algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1. Adicion y Sustraccion de Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Multiplicacion de Expresiones Algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3. Operaciones Combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4. Division larga de Polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5. Division abreviada de Polinomios. Metodo de Ruffini. . . . . . . . . . . . . . . . 45
3
4
3.6. Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.7. Expresiones Fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7.1. Simplificacion de Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4. Ecuaciones 68
4.1. Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2. Metodo de Factorizacion para Resolver Ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3. Resolucion de Ecuaciones de la formaP
Q= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4. Resolucion de Ecuaciones de la forma xk = d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5. Resolucion de Ecuaciones Cuadraticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6. Ecuaciones con Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.7. Resolucion de Formas Cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.8. Ecuaciones Fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.9. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5. Desigualdades 113
5.1. Desigualdades Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2. Desigualdades Triviales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3. Aplicacion de desigualdades en el Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4. Desigualdades de la forma a < cx + d < b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.5. Desigualdades Cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.6. Desigualdades Cuadraticas Triviales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.7. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.8. Ecuaciones con Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.9. Desigualdades con Valores Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6. Sistemas de Coordenadas Cartesianas 147
6.1. Distancia entre dos Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5
6.2. Punto Medio de un Segmento de Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.3. Graficas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.4. Intersecciones con los Ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.5. La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.6. La Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.7. Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7. Funciones 188
7.1. Aplicaciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2. Distintos Tipos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3. Funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.4. Funcion Definida Por Partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.5. Funcion Valor Absoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.6. Graficas de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.7. Simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.8. Intersecciones con los Ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.9. Prueba de la recta vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.10. Dominio y Rango a traves de la grafica de la funcion . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.11. Grafica de una funcion definida por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.12. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.13. Funcion compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.14. Operaciones geometricas de graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.15. Resolucion geometrica de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.16. Funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.17. Grafica de la funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.18. Funciones cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.19. Maximos y mınimos en funciones cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6
7.20. Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
7.21. Graficas de la funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
7.22. Funciones logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
7.23. Graficas de funciones logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
7.24. Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
7.25. Ecuaciones logarıtmicas y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
7.26. Formula de cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.27. Aplicaciones a las ciencias naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
7.28. Escala de Richter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
7.29. Estimacion de la edad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
7.30. Geometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Introduccion
De acuerdo a la experiencia y preparacion en el area de Matematicas, quise dar a conocer los
objetivos mas importantes de dicha ciencia de una manera mas facil y precisa, siempre y cuando
el estudiante realice un estudio cotidiano sobre la misma, ya que esta es la madre de todas las
ciencias.
Este pequeno texto brindara un gran aporte a todos los educandos de las universidades publi-
cas y privadas, para el proceso de ensenanza aprendizaje en las carreras de Matematicas, Inge-
nierıa, Estadıstica, Fısica, Quımica, Biologıa, Administracion, Contadurıa, Farmacıa y Bioana-
lisis.
Para comprender el material se sugiere ser lo mas analıtico, permitiendo ası la concentracion,
siendo el proceso logico formal que requiere el estudio del calculo matematico. En este sentido,
la elaboracion del presente texto busca constituir ese material de referencia, dirigido especıfi-
camente a los estudiantes que cursan el primer semestre de las carreras antes mencionadas, a
quienes por un interes propio quieran tener acceso al inicio del conocimiento matematico, desde
una perspectiva que, si bien es poco formal y rigorosa, pretende dar el fundamento del calculo.
7
1Los Numeros Reales
Los numeros 1, 2, 3, . . . Se denominan numeros naturales. El conjunto de los numeros natu-
rales se representa con la letra N, ası.
N = 1, 2, 3, . . .
Si se suman dos numeros naturales el resultado es otro natural, pero si se resta el resultado
no necesariamente es un numero natural. Los numeros enteros representados por Z y dados por.
Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicacion, esto quiere decir que si
multiplicamos dos numeros enteros el resultado es entero. Sin embargo los numeros enteros no
son cerrados bajo la division, es decir que si dividimos dos numeros enteros el resultado no
necesariamente es un numero entero.
Los numeros racionales, Q expresados de la forman
m, donde n, m son numeros enteros con
m distinto de cero, es cerrado bajo las cuatro operaciones. Sin embargo no contempla todos los
numeros que podemos conseguir. Por ejemplo 2π que es el perımetro de una circunferencia de
radio 1, no es un numero racional. Tampoco√
2 ≈ 1.41 . . . es un numero racional, este numero
representa la solucion de la ecuacion h2 = 2 y es un numero que esta en la naturaleza pues
8
9
el es la longitud de la hipotenusa de un triangulo rectangulo con los dos catetos iguales a 1
estos numeros que no son racionales, pues no pueden ser expresados de la forman
mse llaman
numeros irracionales. Una diferencia entre los numeros racionales y los irracionales esta dada
en su representacion decimal. Los numeros racionales pueden ser representados por numeros
decimales que terminan
(1
4= 0.25
)
o por numeros decimales que se repiten indefinidamente(
1
6= 0.16666 . . . ,
1
11= 0.09090 . . .
)
. En cambio los numeros irracionales son representados por
numeros decimales que no terminan y que no tienen ninguna periodicidad es decir son la union
de los numeros racionales e irracionales√
2 es un numero irracional y por tanto real.
Ejemplo 1. Diga cuales de los siguientes numeros son naturales, enteros, irracionales, racionales
y reales a) − 3; b) − 4
3; c) 0, 2; d)π + 1; e) 101
Solucion:
a) −3 es un numero entero, tambien es racional pies puede ser escrito como−3
1y es real.
b) −4
3es un numero racional pues puede ser escrito como
−4
3. Tambien es real
c) 0.2 es un numero racional pues puede ser escrito como2
10. Tambien es real.
d) π + 1 es irracional. Observe que como π es irracional su expansion decimal es infinita no
periodica al sumarle 1 da como resultado un numero cuya expansion tambien es infinita
no periodica. Es un numero real
e) 101 es natural, entero, racional y es real.
Ejercicio de desarrollo. Diga cuales de los siguientes numeros son naturales, enteros, irra-
cionales, racionales y reales.
a) 3π; b)√
2 + 2; c) − 3.1
Los numeros reales pueden ser representados en la recta real. Para ellos se traza una lınea
recta y se escoge arbitrariamente un punto en ella, el cual representara el numero 0. Se escoge una
unidad de medida y a partir del 0 se hacen mediciones de una unidad tanto a la izquierda como a
10 CAPITULO 1. LOS NUMEROS REALES
la derecha, los puntos medidos representan los numeros enteros en el orden dado en la figura. Los
puntos a la derecha del 0 representaran los numeros positivos y a la izquierda podemos valernos
de su forma mixta. Ab
ccon b < c, este numero representa a a +
b
c, por ejemplo el numero
13
5puede ser escrito como 2
3
5. Ahora es claro que el numero
13
5= 2
3
5esta a 3/5 unidades de
distancia a la derecha del 2. La representacion del numero −10
3es simetrica con respecto al
origen del numero10
3= 3
1
3. Hay metodos precisos para representar los numeros irracionales a
traves de construcciones geometricas, sin embargo en este texto se haran representaciones no
muy exactas de estos numeros a traves de los primeros dıgitos de su representacion decimal.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
−10
3
√2 ≈ 1.41 . . .
13
3
Ejercicio de desarrollo. Represente aproximadamente numeros en la recta real.
a) 3; b)√
2 + 2; c) − 3.1; d)−3
5
1.1. Algunas Propiedades de los Numeros Reales
A continuacion enunciamos las propiedades mas importantes de los numeros reales. Asuma
en lo que queda de seccion que a, b, c y d son numeros reales, tenemos entonces.
1.- Propiedad conmutativa Propiedad conmutativade la suma de la multiplicacion
a + b = b + a a · b = b · aEjemplo: 3 + 4 = 4 + 3 2 · 6 = 6 · 2
2.- Propiedad asociativa Propiedad asociativade la suma de la multiplicacion
(a + b) + c = a + (b + c) a · (b · c) = (a · b) · cEjemplo: (2 + 13) + 7 = 2 + (13 + 7) 13 · (2 · 5) = (13 · 2) · 5
Comentarios En ambos la cifra es 22 En ambos casos da 130, peroes mas rapido el calculo de la primera
1.1. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES 11
El elemento neutro es aquel que con la operacion que consideremos deja inalterable el numero
esto es a⋆− = a
3.- Elemento neutro de la suma 0 Elemento neutro de la multiplicacion 1
a + 0 = a a · 1 = a
El inverso de un numero es aquel que con la operacion que consideremos nos produce el
elemento neutro de la operacion: a⋆− =elemento neutro.
4.- Propiedad de inverso de la suma: −a Inverso de la multiplicacion:1
a
a + (−a) = 0 a · 1
a= 1
El inverso de la multiplicacion es denotado en ocasiones por a−1. Esto es a−1 =1
a.
El numero 0 no tiene inverso para la multiplicacion ya que no existe ningun numero que
multiplicado por 0 de 1.
5.- Propiedad transitiva: Si a = b y b = c entonces a = c
Ejemplo: Si sabemos que x = y, y, y = 4 entonces x = 4
6.- Propiedad distributiva Propiedad distributiva
a · (b + c) = a · b + a · c (b + c) · a = b · a + c · aEjemplo 3 · (2 + 5) = 3 · 2 + 3 · 5 (2 + 5) · 3 = 2 · 3 + 5 · 3Comentarios En todos los casos da 21
La resta se define como una suma:
a − b = a + (−b)
Recuerde que (−b) es el inverso u opuesto de b.
12 CAPITULO 1. LOS NUMEROS REALES
Muchas veces usamos la definicion al escribir una resta como una suma:
4 − 9 = 4 + (−9) Para definir el producto a.b.c usamos la propiedad asociativa
a.b.c = a.(b.c)
A continuacion listamos una serie de propiedades de los numeros negativos de mucha utilidad.
Propiedades Ejemplos Comentarios
−a = (−1)a −4 = (−1)4 Reescritura
(−a).b = −(a.b) = a(−b) (−2)3 = (−2 · 3) = 2(−3)
−(a + b) = −a − b −(4 + 7) El signo se distribuye
a(b − c) = a · b − a · c 2(4 − 5) = 2 · 4 − 2 · 5 La distributiva se cumplecon la diferencia tambien.
Ejemplo 1.- Demostrar que√
3 − 4 = −4 +√
3
Solucion: Tenemos que√
3−4 =√
3+(−4). Ahora por la propiedad conmutativa√
3+(−4) =√
3+ (−4). Por la propiedad transitiva de la suma resulta que√
3− 4 = (−4)+√
3 quitando los
parentesis en el lado derecho tenemos la igualdad deseada.
En general tenemos que:
x − y = −y + x
Ejercicios de desarrollo: Demostrar
a) (y − x) = −(x − y)
b) (x +√
3) − 4 = (x − 4)√
3
Propiedades del cero
1. a,0 = 0
2. Si a.b = 0 entonces a = 0 o b = 0
La division, a ÷ b es definida a traves de la multiplicacion
1.1. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES 13
Si b#0, entonces a ÷ b = a.b−1
Donde b−1 es el inverso de la multiplicacion
Para la division tambien se emplea la notaciona
b= a ÷ b Recordando que b−1 =
1
b, la
division tambien puede ser definida con la siguiente notacion.
a
b= a
(1
b
)
Con esta notacion podemos interpretar por ejemplo que5
7es cinco veces
1
7
La propiedad 1 del cero permite justificar porque la division entre 0, a÷0, no esta definida.
Si a ÷ 0 = c y a#0 entonces a = c · 0 = 0, pero α no es cero.
0 ÷ 0 tampoco esta definida. Si 0 ÷ 0 = c entonces 0 = c · 0 es decir que 0 pudiese dar
cualquier valor lo cual no tiene sentido.
14 CAPITULO 1. LOS NUMEROS REALES
Para fracciones presentamos el siguiente recuadro de propiedades.
Propiedades Ejemplos Comentarios
−a
b=
−a
b=
a
−b−3
5=
−3
5=
3
−5El signo menos se puede transferir a cualquier partede la fraccion
a
c± b
c=
a ± b
c
1
3+
4
3=
1 + 4
3=
5
3Suma o diferencia con igual denominador
a
c± b
d=
a · d ± b · cc · d
2
7− 5
6=
2 · 6 − 7 · 56 · 7 Suma en cruz, recomendable cuando los denomi-
nadores no tienen factores comunes
=12 − 35
42= −23
42
a
b· c
d=
a · c
b · d2
3· 7
9=
2 · 73 · 9
=14
27Multiplicacion de fracciones
Fracciones equivalentesa · cb · c
=a
b
3 · 25 · 2
=3
5;
−4
−7=
(−1)4
(−1)7=
4
7Ley de Cancelacion: c es un factor en el numerador yel denominador
a · b
c=
a
1· b
c=
a · bc
2 · 5
3=
2
1
5
3=
2 · 53
Multiplicacion de un numero entero por una fraccion
a · bc
=a
cb = a
b
c
3 · 52
=3
25 = 3
5
2Reescrituras
a
b · c=
a
b· 1
c
2
3 · 5=
2
3· 1
5Reescrituras
a
c÷ b
d=
acbd
=a · d
b · c2
3÷ 7
5=
2375
=2 · 53 · 7
=10
21Division
a
c÷ b
d=
a
c· d
b=
a · d
c · b1
3÷ 9
4=
1
3· 4
9=
1 · 43 · 9
Division a traves de una multiplicacion
abd
=a1bd
=a · d
b
352
=3152
=3 · 25
=6
5Division entre un numero y una fraccion
ac
b=
acb1
=a
b · c
13
5=
1351
=1
3 · 5=
1
15Division entre una fraccion y un numero
1.1. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES 15
Ejemplo 2.- Realice y simplifique las siguientes
a) 3(x
3+ 1)
, b) − (−2)(−3); c)
(1
2− 3
)
· 4; d)−x
−2÷ (−4); e)
3
5− 1
5+ 3
Solucion: a) Se usa primero la propiedad distributiva
3(x
3+ 1)
= 3 · x
3+ 3 · 1 =
3
1· x
3+ 3 Se realiza la multiplicacion de fracciones
=3 · x3
+ 3 se simplifica usando la ley de cancelacion
= x + 3
Observe: en este tipo de situacion se distribuye y luego se simplifica
b) Se usa primero la propiedad asociativa
−(−2)(−3) = (−1) · (−2)(−3) = (−1)(−2)(−3) = (−1)(6) = −6
c) Podemos distribuir primero(
1
2− 3
)
· 4 =1
2· 4 − 3 · 4 se realiza la multiplicacion de fracciones
=1
2· 4
1− 3 · 4 =
4
2− 12 = 2 − 12 = 10
d) Para la division rescribimos la expresion como fraccion el numero entero −4
−x
−2÷ (−4) =
x(−1)
2(−1)
−4Se usa la ley de cancelacion
=
x
2−4
1
=x · 1
2 · (−4)=
x
−8= −x
8
e) Usamos primero la propiedad asociativa de la suma
3
5− 1
5+ 3 =
(3
5− 1
5
)
+ 3 las fracciones tienen igual denominador
=2
5+
3
1=
2 · 1 + 5 · 35 · 1 =
2 + 15
5=
17
5
Para expresiones numericas mas complicadas se debe tomar en cuenta que lo primero que se
resuelve o elimina son los parentesis mas internos, o bien haciendo la operacion interna o bien
aplicando alguna propiedad de los numeros reales. Luego se procede a realizar la multiplicacion
o divisiones planteadas de izquierda a derecha y finalmente las sumas y restas.
16 CAPITULO 1. LOS NUMEROS REALES
Ejemplo 3.- Realice y simplifique: a)2 − 4
53
− 1; b) 2 + 5
(1
2− 2
3
)
; c) − 3 + 5
(3
5− 2
)
Solucion:
a) Resolvemos primero la diferenciabilidad en el numerador de2 − 4
53
− 1
2 − 4
53
− 1 =
2
1− 4
53
− 1 =
2 · 5 − 4 · 153
− 1 =
10 − 4
53
− 1 =
6
53
1
− 1
Aplicamos la doble C para resolver la division planteada, luego procedemos a simplificar
para finalmente realizar la diferencia planteada.6
53
1
− 1 =6
5 · 3 − 1 =2
5− 1 =
2 · 1 − 5 · 15
= −3
5
Posteriormente en este texto se realizan las sumas de fracciones usando la tecnica del mınimo
comun multiplo de los denominadores.
b) Resolvemos primero el parentesis
2 + 5
(1
2− 2
3
)
= 2 + 5
(1 · 3 − 2 · 2
6
)
= 2 + 5
(
−1
6
)
Pasamos a resolver la multiplicacion planteada:
2 +5
1
(
−1
6
)
= 2 − 5
6
y finalmente resolvemos la diferencia:
2 · 6 − 5
6= −7
6
c) En esta parte, preferimos eliminar los parentesis usando la propiedad distributiva, pues
observamos que al aplicarla en este ejemplo desaparece el denominador.
−3 + 5
(3
5− 2
)
= −3 + 5 · 3
5− 5 · 2 = −3 + 3 − 10 = −10
Ejercicio de desarrollo.- Realice y simplifique.
a)
2 −(
2
4− 1
3
)
1 − 1
2
1.1. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES 17
b) 3 − 5
(
1 − 2
3
)
· 1
5
EJERCICIOS
1. Diga cuales de los siguientes numeros son naturales, enteros, irracionales, racionales y
reales:
1.1) -12; 1.2) -4; 1.3) 3√
5; 1.4.) 0; 1.5) -6.4; 1.6) 31
2. Represente aproximadamente los siguientes numeros en la recta real.
2.1) - 12; 2.2) −√
2 + 2; 2.3) −√
3 − 1; 2.4)1
5; 2.5)
π
2
3. Realice y simplifique las siguientes:
3.1) (−3x) · 1
9; 3.2) (−5)(−4)(−3); 3.3)
(−1
5÷ 3
)
· (−4) 3.4) 3 ÷ −x
23.5)
3 − 1
3− 5
2; 3.6) (−3)
(
−x +1
3
)
3.7) 0.(12)(-27); 3.8) (-3)(-3)+2;
3.9)1
3x÷(
1
9
)
; 3.10) 2 · 0
53.11) 2 · 5
0; 3.12)
(1
5− 3
5
)
÷(
4
3− 1
2
)
;
3.13)
2
3− 1
43
2− 4
3
; 3.14)1 − 4
3
2 − 8
3
; 3.15) 1 − 2
(1
2− 1
)
; 3.16) 2 − 6
(1
2− 2
3+
5
6
)
;
3.17)
(2
3− 1 +
4
3
)
÷ 2; 3.18)
(1
2− 2 +
3
5
)
10 − 3; 3.19) 3 + 2
(1
5− 3
)
· 1
2;
3.20) 4 − 3
(4
3− 3
2
)
; 3.21) −−3
4+ 1; 3.22)
3
−4+ 1; 3.23)
−3
−4+ 1;
3.24) 1 − 3
(1
3− 3
)
2
Respuestas:
1.1) Es un numero entero, tambien es racional y es real. 1.2) es un numero irracional y es
real; 1.3) es un numero irracional y es real; 1.4) es un numero entero, tambien es racional y es
18 CAPITULO 1. LOS NUMEROS REALES
real; 1.5) es un numero entero, tambien es racional y es real; 1.6) es un numero natural entero,
tambien es racional y es real.
3.1) −x
3; 3.2) -60; 3.3)
4
15; 3.4) −6
x; 3.5)
1
5; 3.6) 3x − 1; 3.7) 0; 3.8) 11; 3.9)
3
x; 3.10) 0; 3.11) No esta definido; 3.12) −12
25; 3.13)
5
2; 3.14)
1
2;
3.15)13
5; 3.16) -2; 3.17)
1
2; 3.18) -12; 3.19)
1
5; 3.20)
9
2; 3.21)
7
4;
3.22)1
4; 3.23)
7
4; 3.24) 5.
EJERCICIOS ADICIONALES
1) Realice y simplifique las siguientes:
1.1)1
3−
2 · 1
3· 5
4· 3
5; 1.2)
3
4− 3
5· 2
3− 5
4; 1.3) 3 − 1
2− (−2)5
3 · 2 ; 1.4) 3 − 1
2
(
−2
3+
5
2
) −
2; 1.5)−4
3÷ 2 − 3
(1
−2− 2
3
)
; 1.6) (5.0.3.12)÷(
1
2− 1
3+
1
4− 1
5+ 4
)
− 91
3+
−1
4; 1.7)
−3
4
(6
5· 4
3
)
; 1.8)−3
4
(6
5+
4
−3
)
Respuestas:
1.1) −1
6; 1.2) −17
5; 1.3)
2
3; 1.4)
8
11; 1.5)
17
6; 1.6) −13
4; 1.7)
6
5; 1.8)
1
10.
2Exponentes y Radicales
La potenciacion exponencial. Es una notacion pata abreviar una multiplicacion:
Notacion: an = aa . . . a︸ ︷︷ ︸
n−veces
, para n un entero positivo y a 6= 0
Se lee como a a la n.
a es llamada la base y n el exponente o potencia e indica el numero de veces que se repite el
factor a.
Presentamos a continuacion varios ejemplos ilustrativos
Ejemplo 1:
a) 23 = 2 · 2 · 2 = 8
b) (−5)3 = (−5)(−5)(−5) = −125
c)
(1
3
)5
=1
3
1
3
1
3
1
3
1
3=
1
3 · 3 · 3 · 3 · 3 =1
243
d)
(
−1
2
)4
=
(
−1
2
)(
−1
2
)(
−1
2
)(
−1
2
)
=1
2 · 2 · 2 · 2 =1
16.
e) (a + b)2 = (a + b).(a + b)
Observaciones:
1. Si a negativo entonces an es positivo si n es par y negativo si n es impar, como podemos
apreciar en el ejemplo anterior en b y d.
19
20 CAPITULO 2. EXPONENTES Y RADICALES
2. Una expresion como 2xn o simplemente 2xn es una escritura abreviada de 2.(xn), donde
se puede analizar que las convencion es que primero se hace la potencia y luego la multi-
plicacion por 2. De manera similar −xn representa a −(xn) y −2.xn quiere decir (−2).(xn)
3. −xn 6= (−x)n
Convencion: La potencia es la primera operacion que se ejecuta frente a multiplicaciones,
divisiones, sumas o restas o cambio de signo.
Ejemplo 2.- Evaluar a) 2 · 33; b) −23; c) 3 · (−4)3;
Solucion:
a) 2 · 33 = 2,27 = 54
b) −23 = −(23) = −8
c) 3 · (−4)3 = 3.(−4).(−4)(−4) = 3 · (−64) = −192
2.1. Aplicacion en Ciencias Sociales
Ejemplo 1.- Supone que una sustancia radioactiva tarda 1 semana en desintegrarse la mitad
de la cantidad inicial. Si se tiene 44 gramos de una sustancia radiactiva ¿Cuanto quedara a las
4 semanas?
Solucion: Observe que despues de una semana queda1
5· 50 gramos.
A las dos semanas queda la mitad de la primera semana:1
2
(1
2· 44)
=
(1
2
)2
· 44
A la tercera semana queda la mitad de la segunda semana1
2
((1
2· 44)2)
=
(1
2
)3
· 44
gramos
Ası en la cuarta semana queda1
2
((1
2· 44)3)
= 44 ·(
1
2
)4
gramos
2.2. Definicion de Exponentes negativos y cero
Los casos exponentes negativos o cero se definen como:
2.3. PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES 21
Definicion 2.1 Si a 6= 0 se define a0 = 1 y si n un entero positivo
an =1
an00 no esta definido
Ejemplo 1.-
a) 2−3 =1
23=
1
8
b) 20 = 1;
c) (√
3)0 = 1
d) (x + 2)−n =1
(x + 2)n
e) (2x2)0 = 1
Ejercicio de desarrollo.- Complete la igualdad
a) (3π)0 =
b) (x2 + 1)−2 =
2.3. Propiedades de los Exponentes
En la siguiente tabla se presentan las propiedades mas importantes de exponentes
22 CAPITULO 2. EXPONENTES Y RADICALES
Propiedad Ejemplo Justificacion solo para el caso n natural
an · am = (a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
n−veces
) · (a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
m−veces
)
1 an · am = an+m 23 · 24 = 22+4 = 26 = a · a · · · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
n+m−veces
= an+m
2 (an)m = an·m (22)4 = 22·4 = 28 (an)m = an · an . . . an︸ ︷︷ ︸
m−veces
= an·n...n = an·m
3 (a · b)n = an · bn (2 · b)3 = 23 · b3 = 8b3 (a · b)n = (a · b) · (a · b) . . . (a · b) = an · bn
4(a
b
)n=
an
bn
(2
5
)2
=22
52=
4
25
(a
b
)n=
a
b· a
b. . .
a
b=
a · a . . . a
b · b . . . b=
an
bn
5an
am=
1
am−n
33
35=
1
35−3=
1
9
an
am=
an · a−n
am · a−n=
a0
am−n=
1
am−n
6an
am= an−m 35
33= 35−3 = 9 Ejercicio
7(a
b
)−n=
(b
a
)n (2
3
)−4
=
(3
2
)4 (a
b
)−n=
a−n
b−n=
1/an
1/bn=
bn
an=
(b
a
)n
8an
bm=
1
bm · a−n=
b−m
a−n
2−3
5−1=
5
23Ejercicio
Ejemplo 1.- Simplifique las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes
positivos.
a) (2x2y)2(2−23x3y2); b)
(y2
x
)4(2x
y3
)2
; c) a(a
b
)−2
2.3. PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES 23
Solucion:
a)
(2x2y)2(2−23x2y2) = 22x4y22−23x3y2
= 222−23x4x3y2y2 = 22−23x4+3y2+2
= 3x7y4
b)(
y2
x
)4(2x
y3
)2
=(y2)4
x4· (2x)2
(y3)2
=y8
x4· 22x2
y6=
22y8x2
x4y6
=22y8−6
x4−2=
4y2
x2
c)
a(a
b
)−2= a
a−2
b−2=
a
1· a−2
b−2=
a1−2
b−2=
b2
aEn c) tambien se pudo usar la propiedad 7.
Entenderemos que una expresion de esta naturaleza que consiste en productos y cocientes
de variables esta simplificada cuando aparece una sola vez cada variable.
Ejercicio de desarrollo.- Simplifique la siguientes expresion. Exprese su respuesta usando
exponentes positivos.
(2y2
x
)−2(x−1
2y−2
)2
El lector habra podido darse cuenta de las siguientes:
Extension de la propiedad 3 y 4:
3 (an · bm)k = ank · bmk (33 · xk)2 = 36 · x2k (an · bm)k = (an)k · (bm)k = ank · bmk
4
(an
bm
)k
=ank
bmk
(22
x5
)3
=26
x5·3 =64
x15Ejercicio
24 CAPITULO 2. EXPONENTES Y RADICALES
Los exponentes sirven para representar cantidades muy grandes usando la notacion cientıfica
Recordemos lo siguiente:
Definicion 2.2 Se dice que a es una raız n−esima de b si an = b. En este caso se escribe
n√
b = a
Es claro que n√
0 = 0, para los otros valores de b tenemos que hacer consideraciones acerca
del signo de b y la partida del ındice, la cual es mostrada en la siguiente tabla.
n par (ejemplo n = 4) n impar (ejemplo n = 3)
b > 0 Hay dos raıces reales. Se denotan porn√
b y − n√
b 4√
81 = 3 y − 4√
81 = −3 sonlas raıces cuartas de 81Observe que (−3)4 = 81
Hay una sola raız real Se denotanpor n
√b y siempre es positiva.
3√
27 = 3 es la raız cubica de 27(3)3 = 27
b < 0 No existen raıces reales:Por ejemplo si b = −16, vemos que noexiste a tal que a4 = −16.Observe que el signo de a4 es positivo
Hay una sola raız real Se denotanpor −→ n
√b y siempre es negativa.
3√−27 = −3 es la raız cubica de −27
(−3)3 = −27
Notacion: Si n = 2 entonces colocamos√
a
Observaciones:
1.√
4 6= ±2,√
4 es la positiva, el signo se omite.√
4 es simplemente 2.
2. n√
an = a para n impar.
3. Para n par tenemos
n√
an =
a si a ≥ 0
−a si a < 0
Por ejemplo√
(−2)2 =√
4 = 2 = −(−2) 6= −2.
En el resto del capıtulo, a menos que se diga lo contrario, supondremos que todas las variables
representan numero positivos.
Para definir los exponentes racionales se usan radicales
2.3. PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES 25
Definicion 2.3 Sea m,n numeros, n > 1, si n√
a existe, entonces se define
am/n = n√
am.
Se exceptuan de la definicion los siguientes casos:
1. n par y a negativo.
2. m impar y a cero.
Ejemplo 2.- Exprese los siguientes radicales como potencia de exponentes racionales.
a) 3√
2; b)5√
x3; c)√
8
Solucion:
a) 3√
2 = 21/3; b)5√
x3 = x5/3;√
8 = 81/2
La siguiente tabla muestra las propiedades de los radicales, se ha colocado en el lado derecho
r la propiedad equivalente usando la notacion con exponente racional.
Propiedad Ejemplo Escritura en exponentefraccionario
n√
a · b = n√
a · n√
b 1)√
18 =√
9 · 2 =√
9 ·√
2
2) 3√
8 · 27 = (8 · 27)1/3 = (23 · 33)1/3 = 6 (a · b)1/n = a1/n · b1/n
n
√a
b=
n√
an√
b
3
√
8
3=
3√
83√
3=
23√
3
(a
b
)1/n=
a1/n
b1/n
n√
m√
a = n·m√
a√
4√
27 = 8√
27 (a1/m)1/n = a1
n·m
n√
am = ( n√
a)m 1) 5√
(32)3 = ( 5√
32)3 = (5√
25)3 = 23 = 8
Si n es par y a es negativa 2) (−1)5/3 =
(
(−1)1/3
)5
= (−1)5 = −1 am/n = (a1/n)m
la propiedad no es valida
Esta ultima propiedad se usa para evaluar expresiones como5√
323. Este numero es el mismo
que ( 5√
32)3 = 23 = 8.
Ejemplo 3.- Evalue las siguientes cantidades a) (−8000)1/3 ; b) (√
0.16)−3
Solucion:
26 CAPITULO 2. EXPONENTES Y RADICALES
a) Descomponemos −8000 = −1.8 · 1000. Para luego expresar cada factor como potencias.
(−8000)1/3 = (−1 · 23 · 103)1/3 = (−1)1/3(23)1/3(103)1/3 = −1 · 233 · 10
33 = −2 · 10 = −20.
b) En los siguientes pasos se usa las propiedades de los exponentes.
(√
0.16)−3 =1
(√
0.16)3. Escribimos 0,16 =
16
100, para luego usar la propiedad del cociente de
la raız
(√
0.16)−3 =1
(√
16
100
)3 =1
( √16√100
)3 =1
(4
10
)3 =1
(2
10
)3
=1123
53
=125
8
Ejercicio de desarrollo.- Simplifique la siguiente expresion. Exprese su respuesta usando ex-
ponentes positivos
a) (400)3/2
b) 3√−0.027
c) −91/2
Ejemplo 4.- Simplifique las expresiones dadas. Evite radicales en su respuesta, use exponentes
positivos
a)√
18 ·√
2; b)√
(x2y)3 ·√
y5
Solucion:
a)√
18 ·√
2 =√
18 · 2 =√
36 = 6
b)√
(x2y)3 ·√
y5 = (x2y)32 y
52 = (x2)
32 y
32 y
52 = x
2 32 y
32 y
52 = x3y
32+ 5
2 = x3y4
Ejercicio de desarrollo. Simplifique las expresiones dadas. Evite radicales en su respuesta, use
exponentes positivos.
a)3√
(xy2)4
xy1/3
b)
√
(x2y5)3
xy
2.3. PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES 27
Ejemplo 5.- Elimine los exponentes negativos y/o los radicales en las siguientes expresiones:
a)√
x +√
2y; b)x−1 + 2√−1; c)x(x−1 +
√y)−1
Solucion:
a)√
x +√
2y = x1/2 + (2y)1/2
b)x−1 + 2√−1 =
1
x+ 2
√1
y=
1
x+ 2
(1
y
)1/2
c)
x(x−1 +√
y)−1 = x · 1
(x−1 +√
y)=
x
1· 1
1
x+
√y
=x
1 + x√
y
x
=x2
1 + x · y1/2
Ejemplo 6.- Escriba las formas exponenciales en otra forma que involucre radicales
a) 5 − 2x1/2; b) (5 − 2x)−1/2
Solucion:
a) En la expresion 5−2x1/2, x es la expresion que esta elevada a la 1/2. Ası que convertimos
esta expresion con exponentes fraccionarios en una con radicales
b) En este caso es (5 − 2x) que esta elevado a la −1/2. Primero eliminamos el signo menos,
pasando la expresion al denominador:
(5−2x)−1/2 =1
(5 − 2x)1/2Es importante que el estudiante entienda que en esta situacion el
parentesis no se puede omitir, este parentesis va indicar que la raız se va aplicar a la expresion
5 − 2x. Ası
(5 − 2x)−1/2 =1√
5 − 2x
Tipificacion de errores
28 CAPITULO 2. EXPONENTES Y RADICALES
Error Comentario
(a + b)1/n 6= a1/n + b1/n La propiedad no es con la suma sino con la multiplicacionn√
a + b 6= n√
a + n√
b
anam 6= an·m Los exponentes de igual base se suman, no se multiplican
ab−n 6= 1
abnLa potencia es la primera operacion a considerar, afecta soloa b
n√
an + b 6= a + b Para poder simplificar debe ir todo el radicando elevado ala n.
n√
abn 6= a · b
2.4. Expresiones Numericas Mixtas:
Para evaluar las expresiones numericas mixtas existe una convencion en el orden de las
operaciones. Esta es:
1. Se resuelven las operaciones delimitadas por los parentesis mas internos.
2. Se encuentran las potencias y radicales de izquierda a derecha.
3. Se consideran las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha
4. Se resuelven las sumas y restas de izquierda a derecha.
Ejemplo: 1.- Evaluar las siguientes expresiones numericas
a)1
27− 2
(2
3
)3
; b)1 − 4 · 32
22 − 3 · 23; c)
√2 · 32 − 2 − 12
3− 3 · 4
Solucion:
a) Resolvemos primero el parentesis aplicando las propiedades de los exponentes.
1
2− 2
(2
3
)3
=1
27− 2
1· 23
33=
1
27− 2
1· 8
27
Se realiza entonces la multiplicacion y por ultimo la diferencia de fracciones
=1 − 2 · 8
27=
1 − 16
27= −15
27= −5
9
2.4. EXPRESIONES NUMERICAS MIXTAS: 29
b) En este caso se calcula primero las indicadas, luego se pasa a resolver las multiplicaciones
y por ultimo las diferencias de cada parte de la fraccion.
1 − 4 · 32
22 − 3 · 23=
1 − 4 · 94 − 3 · 8 =
1 − 36
4 − 24=
−35
−20=
7
4
c) Se realiza primero la radicacion, para ello debemos resolver la operacion indicada en el
radicando
√2 · 32 − 2 − 1
2
3− 3 · 4
Simultaneamente podemos trabajar las operaciones del denominador
√16 − 1
2
3− 12
=4 − 1
2
3− 12
1
=3
2 − 36
3
=3 · 3−34
= − 9
34
Ejercicio de desarrollo. Evaluar la siguiente expresion numerica
1
27+ 2 − 4
25·(
6
5
)−3
;
Ejemplo 2.- Simplificar las siguientes expresiones numericas:
a)√
2500 − 3√
250 −√
10 + 5; b)
√27 − 3
√8 + 5
√12 +
√32√
2Solucion:
a) Primero sacamos factores cuadraditos factorizando el radicando
√2500 − 3
√250 −
√10 + 5 =
√25 · 100 − 3
√25 · 10 −
√10 + 5
=√
25 ·√
100 − 3√
25 ·√
10 −√
10 + 5
= 5 · 10 − 3 · 5√
10 −√
10 + 5
Agrupamos terminos con radicales iguales
= 50 + 5 − 15√
10 −√
10 Se saca factor comun√
10
= 55 −√
10(15 + 1) = 55 − 16√
10
b) De nuevo, lo primero que hacemos es sacar factores cuadraticos
30 CAPITULO 2. EXPONENTES Y RADICALES
√27 − 3
√8 + 5
√12 +
√32√
2=
√32 · 3 − 3
√22 · 2 + 5
√22 · 3 +
√24 · 2√
2
=
√32√
3 − 3√
22√
2 + 5√
22√
3 +√
24√
2√2
=3√
3 − 6√
2 + 10√
3 + 4√
2√2
Agrupamos terminos con radicales iguales
=3√
3 + 10√
3 − 6√
2 + 4√
2√2
Se saca factor comun√
3 y√
2 y queda
=13√
3 − 2√
2√2
Este tipo de expresiones se suelen expresar con el denominador racionalizado. En el caso que
exista un solo termino en el denominador se multiplica y divide por un numero que complete la
potencia del ındice. Ası
3√
3 + 10√
3 − 6√
2 + 4√
2√2
=13√
3 − 2√
2√2
·√
2√2
=(13
√3 − 2
√2)√
2√2√
2=
13√
3√
2 − 2(√
2)2
(√
2)2=
13√
6 − 2
2
Ejercicio de desarrollo.
Simplificar las siguientes expresiones numericas:
a)√
6 − 3√
24 −√
54 −√
8; b)
√12 −
√75 + 5 +
√6√
3EJERCICIOS:
1) Simplificar las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos.
1 � 1) 2(a4b2)3(3a2b3)2; 1 � 2)
(xy2
2
)3(2y
x3
)2
; 1 � 3)
(xy2
2
)−3 (xy
2
)2;
2.4. EXPRESIONES NUMERICAS MIXTAS: 31
1 � 4)xy2
(y2
2x
)−2
; 1 � 5) (xy)2(
y2
2x
)−2
; 1 � 6)
(
a( a
a−2b3
)−2)3
;
1 � 7) a
(( a
a−2b3
)−2)3
2) Evalue las expresiones:
2 � 1)
√
1
16; 2 � 2)
√
4
9; 2 � 3) 3
√
−27
8; 2 � 4) 3
√0 · 027;
2 � 5) (0 · 04)1/2; 2 � 6) (27000)1/3 ; 2 � 7) (−32)1/5; 2 � 8) 3√−64;
2 � 9) (32)−1/5; 2 � 10) (0 · 09)−3/2; 2 � 11) (−8000)−2/3
3) Escriba las formas exponenciales en otra forma que involucre radicales
3 � 1) 3x1/2 − 21/2; 3 � 2) 3x − 21/2; 3 � 3) (3x − 2)1/2; 3 � 4) 31/2x − 23/2;
3 � 5) (3x)1/2 − 21/2; 3 � 6) (3 − 2x)−3/2; 3 � 7) 3x−1/2 − 23/2; 3 � 8) 3x − 2−1/2;
3 � 9) (3x − 2)−1/2
4) Escriba las formas dadas en otra que use exponentes positivos, evite radicales y exponentes
negativos.
4 � 1)√
5 −√
2x; 4 � 2)√
5 − 2x; 4 � 3) 5x−1 − 2; 4 � 4) (5x − 2)−1
4 � 5) (5x)−1 − 3; 4 � 6)√
5 − 2√
x; 4 � 7) (5x − 2)−2; 4 � 8) 5x − 2−2
5) Simplifique las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos.
Evite radicales.
5 � 1) 3
√
27x6
−y3; 5 � 2)
√27x2
3x; 5 � 3)
√
x2y√
x3y5; 5 � 4) 3√
xy2
(y
2 · 3√
x
)−2
32 CAPITULO 2. EXPONENTES Y RADICALES
5 � 5) (xy)2(
y2
2x
)−2
; 5 � 6)
(
a
(3√
a
a−2b3
)−2)3
; 5 � 7)3√
a2 ÷((
a√a−2b3
)−2)3
;
5 � 8)
(a2b√
a
) √ab2
b−1; 5 � 9) 3
√
x√
y(x2y)−2; 5 � 10) 2(a√
b)33a2√
b3;
5 � 11)
(y2
2x
)2√
xy3; 5 � 12)√
x−1y(xy
2
)2; 5 � 13)
√
xy2
xy2÷ xy−1.
6) Evalue las siguientes expresiones mixtas.
6 � 1) 2 − 3 · 41/2; 6 � 2) 2 ·(
3
2
)2
− 4 3√
27
2; 6 � 3)
−2
1 − 2 · 22; 6 � 4) − 22 − 5
(1
2− 2
3
)2
6 � 5)
(3
2− 2
3
)2
−(
3
2
)2
+ 1; 6 � 6) 1 − 9
(1
9− 1
)2
+ 21
5; 6 � 7)
(
√2 − 4
√2
3
)2
;
6 � 8)2 − 1
3√5 + 5 · 22 − 1
4
6 � 9)
√9 · 22 − 1
2
3 · 4 − 1
2
; 6 � 10) 1 − 2 · 8−2/3;
6 � 11)(√
2√
52 − 17 − 2)2√52 − 9
; 6 � 12)
(
1 − 3√
54 − 33
2
)3
7) Simplificar las siguientes expresiones numericas:
7 � 1)√
28 − 3√
16 + 2√
7 − 3; 7 � 2)
√24 −
√108 +
√54√
6;
7 � 3)√
8 +√
28 − 3(√
18 +√
63); 7 � 4)
√6 − 2
√54 +
√8√
6; 7 � 5)
√48 − 1 − 3
√3
PROBLEMAS DE CIENCIAS NATURALES:
1) La densidad de la atmosfera de la Tierra es aproximadamente
D = 1.2225−(1.12×10−4)h+(3.24×10−9)h2 en Kg/m3, donde h es la altitud en metros. ¿Cual
es la densidad de la atmosfera a una altitud de 1000 metros? 1 (Respuesta: 11704kg/m3).
Hr = 100
(112 − 0.1T + Pr
112 + 0.9T
)8
Pr = Punto de rocıo.
2.4. EXPRESIONES NUMERICAS MIXTAS: 33
T = Temperatura en grados ◦ Celsius
Hr = Humedad relativa. “De Wikipedia
La temperatura de una masa de aire es de 20◦C y la temperatura de punto de rocıo es de
10◦. Calcular la humedad relativa. (Respuesta: 76, 9%)
3) Una sustancia radiactiva tiene la propiedad que el tiempo para que se desintegra a la
tercera parte de la cantidad inicial es de siete dıas. Si la cantidad original de esa sustancia es de
250 mg. Exprese la cantidad de sustancia existente al cabo de n semanas. (respuesta: 250(1
3)n)
4) La altura en metros de cierto arbol se puede modelar con el tiempo a traves de la siguiente
formula.
A = 112
(1
4
) 20r
Pronostique la altura a los 10 anos, 20 anos y 40 anos se sembrado.
(Respuesta: 7, 23 y 56m.)
3Expresiones Algebraicas
Un grupo de variables representadas por letras junto con un conjunto de numeros combina-
dos con operaciones de suma, resta, multiplicacion, division, potencia o extraccion de raıces es
llamada una expresion algebraica.
Ejemplo 1.- Los siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas:
a.-(√
x − 1)x
x3 + 1. En este caso la variable es x.
b.-1
2xy− (x + y)2. Aquı tenemos una expresion algebraica en las variables x y y.
c.- 3ax5−5x2−1. Si asumimos a una constante, esta es una expresion algebraica en la variable x.
Esta expresion algebraica tiene tres terminos. Recordemos que un termino es un sumando
de una expresion. En este caso los terminos son 3ax5, −5x2y − 1. Como a representa un
numero fijo entonces 3a es el coeficiente de x5 y 3 es el coeficiente numerico. El termino
−1 es el termino constante.
Las expresiones algebraicas con un solo termino se las conoce como monomios. Por ejemplo√
2x. Las que tienen dos terminos se las denomina binomios. Las que tienen tres terminos
trinomios. El ejemplo b es un binomio y el c un trinomio. Cuando tiene mas de un termino se
les llama un multinomio. La expresion c es conocido tambien como un polinomio.
Un polinomio es una expresion de la forma
34
3.1. OPERACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. 35
anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0
con n un entero no negativo. Si an 6= 0, entonces n es el grado del polinomio y an es conocido
como el coeficiente principal. Por ejemplo: 2x3 − 1 es un polinomio de grado 3 con coeficiente
principal 2 ·√
5x + 1 es un polinomio de grado 1, el coeficiente principal es√
5. La expresion√
x = x1/2 no es un polinomio porque el exponente no es entero. Tampoco x−1 − 1 es polinomio
porque el exponente de la x es negativo.
3.1. Operaciones de Expresiones Algebraicas.
Como las variables representan numero reales, las propiedades de los numeros reales pueden
ser usadas para operar expresiones algebraicas con la idea de ir obteniendo expresiones equiva-
lentes pero mas sencillas. A continuacion indicaremos como proceder con sumas, restas, multi-
plicaciones y divisiones.
3.1.1. Adicion y Sustraccion de Expresiones Algebraicas
El primer ejemplo que mostramos es muy riguroso en el uso de las propiedades. De este
ejemplo intentaremos extraer los pasos mas importantes para proceder de manera mas rapida
en los siguientes. Una clave en este tipo de manipulacion es la suma de los terminos semejantes.
Se dice que dos terminos son semejantes si son iguales salvo en el coeficiente numerico. Por
ejemplo la expresion: 2√
x + 1 +√
x + 1 tiene dos terminos semejantes.
En√
x + 2x2 + 3x√
x + 3x2, solo 2x2 y 3x2 son terminos semejante, no ası√
x y 3x√
x, pues
difieren en algo mas que su parte numerica.
Ejemplo 1.- Determine la suma (x2 − 3x + 2) + (4x3 − 5x2 − 1). Simplifique tanto como sea
posible
Solucion: Podemos quitar los parentesis.
36 CAPITULO 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
(x2 − 3x + 2) + (4x3 − 5x2 − 1) = x2 − 3x + 2 + 4x3 − 5x2 − 1
= 4x3 + x2 − 5x2 − 3x + 2 − 1
Aplicamos propiedad conmutativa, agrupando los terminos semejantes
= 4x3 + (1 + (−5))x2 − 3x + 1
Aplicamos la propiedad distributiva para realizar x2 − 5x2
Realizamos la suma algebraica de los terminos constantes.
= 4x3 − 4x2 − 3x + 1
Observe como en el ejemplo anterior terminamos sumando algebraicamente los coeficientes de
los terminos semejantes. Podemos obviar el paso de la propiedad conmutativa y la aplicacion
de la propiedad distributiva y de una vez sumar los coeficientes de los terminos semejantes y
colocar la parte no numerica: axr + bxr = (a + b)xr
Veamos el siguiente, donde aprovecharemos este comentario:
Ejemplo 2.- Determine (x2 −3√
x+2)− (2x2 −5x−√x). Simplifique tanto como sea posible
Solucion: Reescribimos la resta como una suma y luego quitamos los parentesis aplicando la
propiedad distributiva.
(x2 − 3√
x + 2) − (2x2 − 5x −√x) = (x2 − 3
√x + 2) + (−1)(2x2 − 5x −√
x)
= x2 − 3√
x + 2 − 2x2 + 5x +√
x
[
x2y − 2x2
]
son terminos semejantes igualmente − 3√
x y√
x
= (1 + (−2))x2 + 5x + (1 − 3)√
x + 2
Se suma algebraicamente los coefientes de terminos semejantes
= −x2 + 5x − 2√
x + 2
Comentarios: Cuando hay una resta podemos proceder a eliminar el parentesis tomando en
cuenta que el signo menos cambia el signo de cada termino de la expresion que estamos restando,
3.2. MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICA 37
como efectivamente ocurrio en el ejemplo anterior.
Ejemplo: 3.- Determine (x3 − 3√
x + 4)− (−4x3 − 5x2 +√
x) = x3 − 3√
x + 4 + 4x3 + 5x2 −√x.
Simplifique tanto como sea posible
Solucion: En esta ocasion hacemos uso del comentario anterior, eliminamos el parentesis cam-
biando el signo a cada termino de la segunda expresion
(x3 − 3√
x + 4) − (−4x3 − 5x2 +√
x) = x3 − 3√
x + 4 − 4x3 + 5x2 −√x
Se suma algebraicamente los coefientes de terminos semejantes
= 5x3 + 5x2 − 4√
x + 4
Ejercicio de desarrollo: Determine (3x2 − 3√
x+3)− (x2 −x+2√
x). Simplifique tanto como
sea posible.
3.2. Multiplicacion de Expresiones Algebraica
Para multiplicar expresiones algebraica podemos proceder usando la propiedad distributiva
o bien si es el caso aplicando un producto notable de uso frecuente, los cuales se aprenden de
memoria.
Productos Notables:
1) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
2) (x + a)(x − a) = x2 − a2
3) (x + a)2 = x2 + 2ax + a2
4) (x − a)2 = x2 − 2ax + a2
5) (x + a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3
6) (x − a)3 = x3 − 3ax2 + 3ax2 − a3
En el siguiente ejemplo se presenta distintos casos donde es apropiado usar productos notables.
38 CAPITULO 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Ejemplo: 1.- Realizar los siguientes productos.
a) (x + 3)(x + 6); b) (x + 3)(x − 4); c) (3x2 − 2)(3x2 + 2); d) (√
x2 + 1 − 2)2; e) (4y − 3)3
Solucion:
a) Lo identificamos con el producto I : (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab en este caso a = 3 y
b = 6. Ası:
(x + 3)(x + 6) = x2 + (3 + 6)x + 3 · 6 = x2 + 9x + 18
b) Este producto lo identificamos de nuevo con 1, en este caso a = 3 y b = −4. Tenemos entonces:
(x + 3)(x − 4) = x2 + (3 + (−4))x + 3 · (−4) = x2 − x − 12
c) En este caso tenemos la forma 2. Aquı tenemos que tener amplitud y pensar que el nuevo x
es 3x2 y a = 2. De esta forma
(3x2 − 2)(3x2 + 2) = (3x2)2 − 22 = 9x4 − 4
d) La forma apropiada a aplicar es la 4 como√
x2 + 1 como el nuevo x y a = 2. Entonces
tenemos
(√
x2 + 1 − 2)2 = (√
x2 + 1)2 − 2√
x2 + 1 · 2 + 22 = x2 + 1 − 4√
x2 + 1 + 4
= x2 + 5 − 4√
x2 + 1
e) Lo identificamos con el producto notable 6, con x = −4y y a = −3. Ası
(4y − 3)3 = (4y)3 − 3 · 3(4y)2 + 3 · 32(4y) − 33
= 43y3 − 9 · 42y2 + 27 · 4y − 27
= 64y3 − 144y2 + 108y − 27
Ejercicio de desarrollo.- Realizar los siguientes productos
a) (2x − 5)2
3.2. MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICA 39
b) (2x + 3√
3)(3√
3 − 2x)
c) (√
x + 2)3
En el ejemplo 2 tenemos el caso es apropiado usar la propiedad distributiva
Ejemplo 2.- Realizar los siguientes productos:
a)x(x3 − 3x + 1); b) (3y − 1)(y2 + 2y − 4)
Solucion: Usamos en ambos casos la propiedad distributiva
a) x(x3 − 3x + 1) = x4 + 3x2 + x
b) En este caso interpretaremos (3y − 1) como el factor que se distribuye en (y2 + 2y − 4)
(3y − 1)(y2 + 2y − 4) = (3y − 1)y2 + (3y − 1)2y + (3y − 1) − (3y − 1)4
Ahora interpretamos y2, 2y y 4 como los factores que se distrubuyen en (3y − 1)
= (3y3 − y2) + (6y2 − 2y) − (12y − 4)
Finalmente, distribuimos los signos y sumamos terminos semejantes
= 3y3 + 5y2 − 14y + 4
Cuando examinamos la primera lınea de ejemplo 2b, vemos que en realidad cada termino de
cada factor se multiplica con cada termino del segundo factor.
(3y − 1)(y2 + 2y − 4)
De esta manera procederemos en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 3.- Realizar los siguientes productos:
a) (x2 − 3x + 2)(4x3 − 3x − 1); b) (√
x + 2)(x + 2√
x + 2)
Solucion:
40 CAPITULO 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
a)
(x2 − 3x + 2)(4x3 − 3x − 1) = 4x3x2 − 3xx2 − 1x2 + 4x3(−3x) − 3x(−3x) − 1(−3x) + 2 · 4x3 − 2 · 3x − 2 · 1
= 4x5 − 3x3 − x2 − 12x4 + 9x2 + 3x + 8x3 − 6x − 2
Se suman los terminos semejantes
= 4x5 − 12x4 + 5x3 + 8x2 − 3x − 2
b)
(√
x + 2)(x + 2√
x + 2) = x√
x + 2√
x√
x + 2√
x + 2x + 2 · 2√x + 2 · 2
= x√
x + 2x + 2√
x + 2x + 4√
x + 4
Se suman los terminos semejantes
= x√
x + 4x + 6√
x + 4
Ejercicio de desarrollo: Realizar el siguiente producto:
(x2 + 2)(x2 − 3x − 4)
3.3. Operaciones Combinadas
Una expresion como 2
{
x− [x− (x2 +1)2]
}
− (x− 3)(x+3) puede ser escrita de una manera
mas sencilla tanto para evaluar como en su propia escritura. Para realizar este tipo de operacion
se debe eliminar primero los parentesis o separadores mas internos, intentando con este criterio
de ir eliminando todos los parentesis o separadores. Una vez eliminados se suman los terminos
semejantes.
En ocasiones es util usar las propiedades asociativas, conmutativa o alguna otra dada.
Analicemos algunas expresiones:
Ejemplo 1.- Simplificar
a) 2 − 8(t − 1); b) 2 − 8(t − 1)2; c) 2 − (8(t − 1))2; d) 2(x − 3)2 − x(x − 2)(x − 3);
e) 2
{
x − [x − (x2 + 1)2]
}
− (x − 3)(x + 3)
3.3. OPERACIONES COMBINADAS 41
Solucion:
a) Primero se resuelve el parentesis mas interno, en este caso hay uno solo
2 − 8(t − 1) = 2 − 8t + 8 = −8t + 8 + 2 = −8t + 10 Cuidado!!! 2 − 8(t − 1) 6= −6(t − 1)
b) Aquı interpretamos que 8 esta multiplicando la expresion (t − 1)2. Luego de obtener el
resultado de este producto se realiza la resta algebraica entre 2 y 8(t − 1)2.
Realizamos entonces primero el producto notable. Hay que mantener el parentesis para in-
dicar que −8 esta multiplicando el resultado completo de (t − 1)2.
2 − 8(t − 1)2 = 2 − 8(t2 − 2t + 1) = 2 − 8t2 + 16t − 8 = −8t2 + 16t − 6
c) En este caso, podrıamos ejecutar primero 8(t−1) y luego esta expresion elevarla al cuadrado.
Sin embargo, se le sugiere al estudiante aplicar la propiedad (x.y)n = xnyn. De esta manera
2 − [8(t − 1)]2 = 2 − 82(t − 1)2 = 2 − 64(t2 − 2t + 1)
= 2 − 64t2 + 128t − 64 = −64t2 + 128t − 62
d) Primero efectuamos los productos de dos terminos de la expresion 2(x−3)2−x(x−2)(x−3).
Para el segundo usamos la propiedad asociativa.
2(x − 3)2 − x(x − 2)(x − 3) = 2
(
(x − 3)2)
− x
(
(x − 2)(x − 3)
)
= 2(x2 − 6x + 9) − x
(
x2 − 5x + 6
)
Ahora se usa la propiedad distributiva
= 2x2 − 12x + 18 − x3 + 5x2 − 6x
Se suman terminos semejantes
= −x3 + 7x2 − 18x + 18
42 CAPITULO 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
e)
2
{
x − [x2 − (x2 + 1)2]
}
− (x − 3)(x + 3) = 2
{
x − [x2 − (x4 + 2x2 + 1)]
}
− {(x − 3)(x + 3)}
= 2
{
x − [x2 − x4 − 2x2 − 1]
}
− {x2 − 9}
= 2
{
x − [−x4 − x2 − 1]
}
− x2 + 9
= 2
{
x + x4 + x2 + 1
}
− x2 + 9
= 2x4 + 2x2 + 2x + 2 − x2 + 9
Se suman terminos semejantes
= 2x4 + x2 + 2x + 11
Ejercicio de desarrollo.- Simplificar
2(2x − 3)(2x + 3) − x(x − 2)2
Ejercicios:
1. Realizar los siguientes productos, simplifique tanto como pueda:
1.1) (3x2 + 2)2; 1.2) (9x2 + 2)2; 1.3) (x3 − 2)2; 1.4) (x2 + 2)3;
1.5) (2x − 3)(2x + 3); 1.6) (3x2 − x + 1)(2x3 − 1); 1.7) (√
2x + 3)2;
1.8) (t1/2 + 1)(t1/2 − 2); 1.9) (√
x + 2)(2 −√x); 1.10) (2
√x + 3)2;
1.11) (4x4 + 3x2 + 2)(4x3 − 3x); 1.12) (4√
x3 −√x)(
√x + 4
√x − 1);
1.13) (3 − 2t)2; 1.14)
(
2 − 1
x
)2
; 1.15)
(
2z − 1
z
)2
: 1.16)
(
3√
x − 1
x
)3
;
3.4. DIVISION LARGA DE POLINOMIO 43
1.17) (3 −√
2x)2; 1.18) (2 −√
2x)2; 1.19) (2 +√
2y)(2 −√
2y);
1.20) (2 −√
2x)(2 +√
2x); 1.21) ( 3√
4 − 3√
x)3; 1.22) (2x1/2 − 1)3
2. Realice las siguientes operaciones, simplifique tanto como pueda:
2.1) (2x2 − 3x − 2) + 2(x − 3); 2.2) (z2 − 3z + 3) − 2(z − 1);
3.2) (√
x3 + 2√
x) − (x + 3x√
x +√
x); 2.4) ( 4√
x +√
x) + 2(2√
x + 4√
x);
2.5) (x + 3)2 + 2(x − 1)2; 2.6) (x − 2)2 − 3(2x − 1)2; 2.7) (√
x + 2)2 − (√
x + 1)2;
2.8) (x2 + 2)3 − 4(x4 + 2x2); 2.9) (y2 − 3)(y + 3) + y;
2.10) −[1 − (3x2 − x + 1)] + (2x3 − 1);
2.11) 4(x − 1)2 − 3{2[(x2 + 3) − (2x + 2)] − (x2 + x − 2)} − 2(x − 1)(x + 3);
2.12) x(x − 2)(x + 2) − x(x + 1); 2.13) 2x(x − 3)(x + 2) + 2(x + 2)(x + 1);
2.14) 3(2x − 3)(2x + 3) − (4x − 1)(x − (5x − 1))
3. Realice las siguientes operaciones, simplifique tanto como pueda.
3.1) (3z2 − 2)2; 3.2) (√
2x +√
8)2; 3.3) (x3 + 2x + −2) − (x4 − x3 + 3x2 − 2x + 1);
3.4) (√
x + 2√
x3)3; 3.5) (x√
x − 2x +√
x − 3) − (√
x3 − 2x −√x + 3);
3.6) (3t2 − t + 1)(2t3 − 2); 3.7) (√
2x + 3√
x)2; 3.8) (√
x − 2√
y)2(√
x + 2√
y)2;
3.9) (2√
x + 2)(2√
x − 3)
3.4. Division larga de Polinomio
Supongamos que tenemos los polinomios P (x) = 2x4 − x2 + 3x + 1 y D(x) = x2 − 2x + 3.
Se pretende mostrar en esta seccion como es la divisionP (x)
Q(x)entre polinomios. Al igual que en
los numeros enteros, existira un cociente y un residuo. Pero en nuestro caso el cociente sera un
polinomio y el residuo un polinomio de grado estrictamente menor que el divisor.
Para realizar la division arreglamos P (x) en orden de decreciente de potencias de xn, colo-
cando 0 en los coeficientes que no aparecen, en este caso el coeficiente de grado 3 de P (x) es
44 CAPITULO 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
0.D(x) tambien similar a la division de numeros enteros.
Buscamos un monomio tal que cuando se multiplique por x2 (Primer termino del divisor) nos
de 2x4 (primer termino del dividendo). Este es 2x2 que se obtiene al realizar2x4
x2. Multiplicamos
cada termino de D(x) por 2x2 y los resultados los colocamos con signo cambiado en la columna
del grado respectivo.
x2 − 2x + 3
2x2
2x4 0 −x23x 1
−2x44x3 −6x2
Sumamos y bajamos el siguiente termino de p(x).
x2 − 2x + 3
2x2
2x4 0 −x23x 1
−2x44x3 −6x2
4x3 −7x23x
Repetimos el proceso. Dividimos 4x3 entre x2, el resultado 4x es el segundo termino del
cociente, el cual lo multiplicaremos por el divisor (x2−2x+3) y lo colocamos con signo cambiado
debajo de la ultima lınea escrita del lado izquierdo, segun su grado, procedemos hacer la suma
de estas lıneas y repetimos el proceso hasta el grado de la ultima lınea del lado izquierdo (el
residuo) sea menor que el del divisor D(x). Presentamos a continuacion la division completa:
x2 − 2x + 3
2x2 + 4x + 1
2x4 0 −x23x 1
−2x44x3 −6x2
4x3 −7x23x
−4x38x2 −12x
x2 −9x 1
−x22x −3
−7x −2
Cociente
4x =4x3
x2
Residuo R(x)
de grado menor que D(x)Resultado de la suma.El grado no es menor
que el del divisor,
continua la division
Igual como ocurre en la division de los numeros enteros tenemos que
P (x) = D(x) · C(x) + R(x)
3.5. DIVISION ABREVIADA DE POLINOMIOS. METODO DE RUFFINI. 45
27 4
3 6Recuerde que
27 = 4 · 6 + 3
En este caso tenemos entonces que
2x4 − x2 + 3x + 1 = (x2 − 2x + 3)(2x2 + 4x + 1) + (−7x − 2)
Ejercicio de desarrollo.- Determinar el cociente y el residuo de la siguiente divisionP (x)
Q(x), donde
p(x) = 2x4 + 2x2 + 2; D(x) = x2 + 3. expresar P en terminos del cociente y el residuo.
3.5. Division abreviada de Polinomios. Metodo de Ruffini.
Este metodo se usa cuando el divisor es de grado 1.
Para dividir anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 entre x − c, usando Ruffini, seguimos los
siguientes pasos:
1. Colocamos en orden los coeficientes de mayor a menor en una lınea horizontal, incluyendo
los coeficientes ceros. En la izquierda colocamos c. Observe que es el numero que acompana
al menos en x − c trazamos las rayas como en la figura.
an
c
an an−1 an−2 . . . a1 a0
2. Multiplicamos an por ce y lo colocamos debajo de an−1 sumamos estas dos cantidades:
an−1 + can y lo colocamos en el ultimo nivel al lado de an. Volvemos a repetir este proceso
hasta llegar a la ultima columna.
46 CAPITULO 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
an
c
an an−1 an−2 . . . a1 a0
can cbn−2 . . . cb1 cb0
bn−2 bn−3 b0 r
Multiplicar
Sumar como:
bn−3 = an−2 + cbn−2
3. El cociente de la division es
C(x) = anxn−1 + bn−2xn−2 + . . . + b1x + b0
El residuo es R(x) = r. Observe que en este caso el residuo es un numero, ¿ Por que?
Ejemplo 1.- Divida P (x), determine el cociente y el residuo, donde
P (x) = −2x3 − x2 + 4x + 2 y D(x) = x + 1
Solucion: Como el divisor es un polinomio de grado 1 podemos usar Ruffini.
Ejemplo 2.- Determinar el cociente y el residuo de P (x)÷D(x). Expresar P en terminos del
cociente y el residuo. P (x) = 2x3 − 32 − 3 y D(x) = x − 3
Solucion: De nuevo usamos Ruffini.
De esta tabla obtenemos C(x) = 2x2 + 3x + 9; el residuo es R(x) = 24 y
P (x) = (2x2 + 3x + 9)(x − 3) + 24.
Ejercicio de desarrollo. Divida P (x) entre D(x), determine el cociente y el residuo donde
P (x) = 3x4 − 4x3 − 1 y D(x) = x − 1
3Expresar P en terminos del cociente y el residuo.
Ejercicios:
1. Determinar el cociente y el residuo de las siguientes divisiones de P (x) entre D(x), expresar
P en terminos del cociente y el residuo.
1.1) P (x) = 4x4 + 3x + 9; D(x) = x2 + 2x; 1.2) P (x) = 2x5 + x2 + 1; D(x) = x3 + 3x
1.3) P (x) = x3 + 16; D(x) = x2 − 3x + 9; 1.4) P (x) = 9 − 4x + 8x5; D(x) = 4x − x3;
1.5) P (x) = 9 − x2 − 2x4; D(x) = x3 − 2x + 1;
3.6. FACTORIZACION 47
1.6) P (x) = 4x4 + 3x + 6; D(x) = x2 + 2; 1.7) P (x) = x5 − 5x + 2; D(x) = x2 + 2;
1.8) P (x) = 15x3 + 3x; D(x) = 1 + 3x2; 1.9) P (x) = 9x5 − 15x + 2; D(x) = 3x − 5
2. Determinar el cociente y el residuo de las siguientes divisiones P (x) ÷ D(x), expresar P
en terminos del cociente y el residuo. Aplique Ruffini.
2.1) P (x) = x4 − x2 + 3; D(x) = x + 2; 2.2) P (x) = 2x5 − x + 2; D(x) = x + 3;
2.3) P (x) = x3 + 27; D(x) = x − 4; 2.4) P (x) = 4 − 8x + 3x3; D(x) = x − 1;
2.5) P (x) = −x4 − 2x2 + 9; D(x) = x + 1; 2.6) P (x) = x − 2x2 + x3; D(x) = x − 1;
2.7) P (x) = 2x4 − 8x2 + 2x − 3; D(x) = x − 2;
2.8) P (x) = 1 − 2x + 4x3; D(x) = x +1
2.
3.6. Factorizacion
Empezamos esta seccion recordando que dos expresiones que se multiplican se llaman fac-
tores. Por ejemplo, la expresion (x + 1)(x − 2) esta expresado como un producto, donde (x + 1)
y (x− 2) son los factores. En ocasiones va ser de suma importancia escribir una expresion como
un producto, ese producto de expresarlo como un producto se llama factorizacion, Por ejemplo,
x2 − 4 no es un producto, pero sabemos que:
(x + 2)(x − 2) = x2 − 4.
Aquı hemos factorizado la expresion x2 − 4, identificado con un producto notable.
Hay varias tecnicas para factorizar expresiones, listamos algunas.
1. Factor comun
2. Identificando con productos notables
3. Raıces de polinomio
4. Division del polinomio
48 CAPITULO 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
En general buscamos que los factores sean polinomios de grado menor que el polinomio
original.
Cuando se pretende factorizar completamente una expresion se busca que los factores no
puedan factorizarse mas y en ocasiones tendremos que mezclar tecnicas.
1.- Factor Comun.
La tecnica de factor comun consiste en aplicar la propiedad distributiva en sentido inverso.
xy + xa = x(y + a)
Veamos ejemplos donde es apropiado usar la tecnica de factor comun.
Ejemplo 1.- Factorice completamente
a) 4a2x3 − 12ax; b) 6yx3 − 18x3 + 24yx4; c) (x + 2)2 − 2(x + 1)(x + 2); d)x1/3 − x4/3.
Solucion: a) En 4a2x3−12ax tenemos dos terminos en esta expresion. El primer termino puede
ser expresado como 4a2x3 = 4aaxx2. El segundo lo podemos escribir como
12ax = 3 · 4ax. Podemos ver que 4ax es un factor comun en ambos terminos. Al identificar
4ax como el factor que esta en los dos terminos aplicamos la propiedad distributiva en sentido
inverso.
4a2x3 − 12ax = 4ax(ax2 − 3)
Comentarios: x tambien es un factor comun en ambos, pero nos piden factorizar completamente
la expresion, es por ello que sacamos el maximo factor comun.
b) En este caso, 6 es un factor que esta en cada termino de 6yx3 − 18x2 + 24yx4 igualmente x2.
Observe que y no esta en el segundo termino, por lo tanto no es comun. Ası 6x2 es el maximo
factor comun entre los tres terminos. Entonces
6yx3 − 18x2 + 24yx4 = 6x2(yx − 3 + 4yx2)
c) En este ejemplo conviene sacar factor comun (x + 2). Ası
3.6. FACTORIZACION 49
(x + 2)2 − 2(x + 1)(x + 2) = (x + 2)((x + 2) − 2(x + 1))
= (x + 2)(x + 2 − 2x − 2)
= (x + 2)(−x) = −x(x + 2)
d) Aun cuando esta expresion no es un polinomio se puede factorizar. Sacamos el maximo
factor comun que es x al mınimo exponente de los terminos. En este caso este exponente es 1/3.
Ası
x1/3 − x4/3 = x1/3(1 − x)
2.- Factorizacion por productos notables:
Esta tecnica consiste en identificar una suma con un producto notable. Antes de continuar
damos los productos notables escritos de derecha a izquierda.
1. x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
2. x2 − a2 = (x − a)(x + a)
3. x2 + 2ax + a2 = (x + a)2
4. x2 − 2ax + a2 = (x − a)2
Conviene aprenderse de memoria otros dos resultados, por su frecuencia en el calculo:
5. x3 − a3 = (x − a)(x2 + ax + a2)
6. x3 + a3 = (x + a)(x2 − ax + a2)
Comentarios:
1) Si tenemos un polinomio de grado 2 de tres terminos y el coeficiente principal es 1 podemos
intentar aplicar la formula 1. Para ello debemos pensar en dos numeros que sumados algebraica-
mente den el coeficiente en x y multiplicados den el termino constante. Por ejemplo al factorizar
x2 − 3x − 4, buscamos dos numeros que multiplicados den −4 (el signo − nos dice que tienen
50 CAPITULO 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
que ser de signos contrarios) y sumados −3 (el signo − en este caso nos dice que el mayor es el
negativo). Estos numeros son −3 y 1. Efectivamente (x−3)(x+ l) = x2 −3x−4. (En general, se
intenta de aplicar la formula 1 cuando el grado del polinomio es par, luego otro termino de grado
la mitad del anterior y luego la constante, por ejemplo que aparezca el termino x4 y tambien
uno con x2 y luego la constante).
2) Se puede intentar usar 2, 5 o 6 cuando tenemos dos terminos. Usamos 2 cuando la variable
esta como un cuadrado perfecto: x2x2etc . Usamos 5 y 6 cuando la variable esta como un cubo
perfecto: x3, x6, etc.
Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1.- Factorice completamente: a)x2 − 5x + 4; b) t2 − 9; c)x3 − 27
Solucion:
a) Intentamos la forma (x + a)(x + b) pues es un polinomio de grado 2 con tres terminos.
Buscamos dos numeros que multiplicados den 4 y sumados algebraicamente den −5. Observe
que son del mismo signo (lo dice la multiplicacion) y este signo debe ser − (lo indica la suma).
Estos numeros son −1 y −4. Ası
x2 − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4)
b) Intentamos asociarlos con la forma x2−a2 = (x−a)(x+a). En este caso 9 = a2, de aquı a = 3.
De esta manera:
t2 − 9 = t2 − 32
= (t − 3)(t + 3)
c) Vemos que es de la forma x3 − a3 = (x − a)(x2 + ax + a2), con a3 = 27 = 33. Ası a = 3. Por
tanto:
x3 − 33 = (x − 3)(x2 + 3x + 9).
Ejercicio de desarrollo.- Factorice completamente.
3.6. FACTORIZACION 51
a) x2 − x − 12
b) x2 − 36
c) 27x3 + 8
d) 6x − x2
El siguiente ejemplo muestra una mezcla de los metodos hasta ahora vistos:
Ejemplo 2.- Factorice completamente: a)x3 − 6x2 + 9x; b) y4 − 16; c) 2 − 2x3;
d)x3(x + 1) − x(x + 1)(x + 2)
Solucion:
a) Observamos primero que x es factor comun en cada termino por lo tanto: x3 − 6x2 + 9x =
x(x2 − 6x + 9). Este segundo factor no esta completamente factorizado, identificamos con la
forma (x − a)2 = x2 − 2ax + a2. En este caso a2 = 9. Ası a = 3 y es efectivamente 2ax = 6x.
Entonces finalmente:
x3 − 6x2 + 9x = x(x2 − 6x + 9) = x(x − 3)2
b) Intentamos asociarlos con la forma x2 − a2 = (x− a)(x + a). Aquı y4 se identifica con x2, de
donde y2 es x. Por otro lado 16 = a2, ası a = 4. De esta manera.
y4 − 16 = ((y2)2 − 42) = (y2 − 4)(y2 + 4).
c) Para empezar una factorizacion, el lector ha podido apreciar que primero intentamos extraer
factor comun. En este caso 2 es el factor comun.
2 − 2x3 = 2(1 − x3) Factorizamos (1 − x3) usando 5). Observe que se hacambiado los papeles de x por a y de 1 por a
= 2(1 − x)(1 + x + x2)
Esta ultima tambien puede ser expresado como −2(x − 1)(1 + x + x2)
52 CAPITULO 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
d) En este ejemplo, se puede en principio realizar las operaciones para luego factorizar la
expresion resultante, sin embargo es mas facil sacar de factor comun x(x + 1).
x3(x + 1) − x(x + 1)(x + 2) = x(x + 1)[x2 − (x + 2)]
= x(x + 1)[x2 − x − 2] Se factoriza la ultima expresion
= x(x + 1)[(x + 1)(x − 2)]
= x(x + 1)2(x − 2)
Ejercicio de desarrollo.- Factorice completamente
a) 36x + 3x2 − 3x3
b) 4x2(2 + x)3 − 2(2 + x)
Ejercicios
1) Factorice completamente los siguientes polinomios:
1.1) x2 − 9; 1.2) x2 + 3x + 2; 1.3) x2 − 6x − 7; 1.4) t2 − 3t + 2;
1.5) x6 − 16x3 + 64; 1.6) y3 + 8; 1.7) 5x3 − 45x; 1.8) 3z3 − 12z2 + 9z;
1.9) 2x3 − 54; 1.10) x6 − 64; 1.11) 3x4 + 15x3 + 18; 1.12) 3x4 − 12x2; 1.13)
3x4 + 24x; 1.14) 3x4 + 15x3 + 18x2; 1.15) 2x3 + 10x2 + 12x;
1.16) 2x(x2 − 4) − 3x(x + 2); 1.17) 3x(x2 − 9) + 15x; 1.18) x4 − 8x2 + 16;
1.19) (x + 3)3 − (x + 3)2(x + 1); 1.20) (x + 2)5 − 4(x + 2)3; 1.21) y1/5 − y6/5;
1.22) 1 − 4x2; 1.23) 81x3 − 18x + 1; 1.24) 8 − 27x3
3.- Factorizacion por raıces del polinomio
Si tenemos un polinomio de segundo grado:
P (x) = ax2 + bx + c
Con a 6= 0 y si este polinomio tiene raices reales: r1 y r2 entonces podemos factorizar P (x) =
ax2 + bx + c como:
3.6. FACTORIZACION 53
P (x) = a(x − r1)(x − r2)
(Observe que al multiplicar esta ultima expresion obtenemos el mismo coeficiente de grado 2.
por otro lado P (x) = a(x − r1)(x − r2) tambien se hace cero en r1 y r2)
Si P es un polinomio de segundo grado que no tiene raıces reales entonces no admite mas
factorizacion en el campo real. Cuando un polinomio no se puede factorizar mas como producto
de polinomios de grados menor, pero distintos a cero se dice que el polinomio es irreducible en
los reales.
Ejemplo 1.- Factorizar P (x) = x2 + 3x + 2.
Solucion: Planteamos x2 + 3x + 2 = 0. Las raıces son:
r1,2 =−3 ±
√9 − 4 · 22
De aquı
r1 = −2; r2 = −1.
Entonces podemos factorizar P (x) como P (x) = (x − (−1))(x − (−2)), es decir P (x) = (x +
1)(x + 2).
Observe que la factorizacion por identificacion del producto notable
P (x) = (x + a)(x + b) es mas rapida en este caso. Sin embargo, no siempre resulta este metodo.
En el caso a 6= 1 o cuando a = 1, peor no conseguimos numeros que multiplicados den c y
sumados den b en ax2 + bx + c, es recomendable la factorizacion por las raıces del polinomio.
Ejemplo 2.- Factorizar completamente P (x) = x2 + 3x + 1;
Solucion: En este ejemplo no puede conseguir dos numeros que multiplicados den 1 y sumados
3. En este caso es apropiado usa el metodo de las raıces. Busquemos las raıces.
r1,2 =−3 ±
√9 − 4 · 12
54 CAPITULO 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
De aquı,
r1 =−3 +
√5
2y r2 =
−3 −√
5
2.
Entonces podemos factorizar P (x) como
P (x) =
(
x − −3 +√
5
2
)(
x − −3 −√
5
2
)
.
Es decir
P (x) =
(
x +3 −
√5
2
)(
x +3 +
√5
2
)
.
Ejemplo 3.- Factorizar completamente P (x) = 2x2 + 3x + 1
Solucion: Primero se calcula las raıces: 2x2 + 3x + 1 = 0,
r1,2 =−3 ±
√9 − 4 · 2
2 · 2tenemos
r1 = −1 y r2 =−1
2.
Entonces P (x) = 2(x − (−1))
(
x −(
−1
2
))
= (x + 1)(2x + 1).
Ejemplo 4.- Factorizar completamente P (x) = x2 + 3x + 3.
Solucion: Como las raıces de x2 + 3x + 3 = 0
r1,2 =−3 ±
√9 − 4 · 32
=−3 ±
√−3
2No son reales (el discriminante es menor que cero) entonces
el polinomio no se puede factorizar mas en los reales. El polinomio es irreducible.
4.- Factorizacion por Ruffini.
Supongamos un polinomio de grado n : P (x) = anxn + . . . + a1x + a0 y que r1 es raız de
P (x). Esto es P (r1) = 0. Entonces es facil ver que (x − r1) divide exactamente al polinomio
P (x). Si el cociente de la division es C(x), entonces
3.6. FACTORIZACION 55
P (x) = (x − r1)C(x)
Pues R(x) = 0
Luego hay que considerar factorizar C(x), pues (x − r1) es ya irreducible. En el siguiente
ejemplo se realiza la division de polinomio a traves de Ruffini.
Un resultado conocido en algebra es que si r, numero racional, es una raız de P, entonces r
puede ser escrito en la formap
q, donde p es divisor de a0 y q es divisor de an.
Ejemplo 1. factorizar completamente P (x) = x3 + 7x2 + 16x + 12
Solucion: Las posibles raıces racionales son: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6 y ±12. Podemos verificar que
−2 es raız. Esto es P (−2) = 0. Aplicamos Ruffini
1 7 16 12
-2 -2 -10 -12
1 5 6 0
De esta manera C(x) = x2 + 5x + 6 y R(x) = 0. Por lo tanto
P (x) = (x2 + 5x + 6)(x + 2)
Para analizar la factorizacion se identificara con el producto notable (x + a)(x + b). Ası rapida-
mente vemos C(x) = (x + 3)(x + 2). Finalmente.
Ejemplo 2- Factorizar completamente P (x) = 2x3 − 3x2 − 8x − 3
Solucion: Las posibles raıces racionales son: ±1
2; ±3
2; ±1; ±3 Podemos verificar que −1 es
raız
56 CAPITULO 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
2 -3 -8 -3
-1-2 5 3
2 -5 -3 0
3 6 3
2 1 0
Volvemos aplicar Ruffini con 3 como raız.
De esta manera obtenemos la factorizacion deseada.
P (x) = (2x + 1)(x − 3)(x + 1)
Observe que a diferencia del ejemplo pasado en este ejemplo se dedico reiterar la division de
polinomio para factorizar completamente a P.
Ejemplo 3. Factorizar completamente P (x) = −2x3 − x2 + 3x + 2
Solucion: Las posibles raıces racionales son: ±1
2; ±1; ±2. Podemos verificar que −1 es raız.
Esto es P (−1) = 0. Aplicamos Ruffini.
-2 -1 3 2
-1 2 -1 -2
-2 1 2 0
De esta manera c(x) = −2x2 + x + 2 y R(x) = 0. Por lo tanto tenemos
P (x) = (−2x2 + x + 2)(x + 1).
Para finalizar la factorizacion se usara el metodo de las raıces en C, pues no hay mas raıces
racionales. Se puede verificar que las raıces de C(x) son−1 ±
√17
−4. Estas son los numeros
irracionales1 −
√17
4y
1 +√
17
4
Ası, C(x) = −2
(
x −(
1 −√
17
4
))(
x −(
1 +√
17
4
))
. Finalmente,
3.6. FACTORIZACION 57
P (x) = −2(x + 1)
(
x −(
1 −√
17
4
))(
x −(
1 +√
17
4
))
Ejercicio de desarrollo.- Factorizar completamente P (x) = x4 − 3x2 + 2
Ejemplo 4.- Factorizar completamente P (x) = x3 + x − 2
Solucion: Las posibles raıces racionales son: ±1; ±2. Podemos verificar que 1 es raız. Esto es
P (1) = 0. Aplicamos Ruffini.
1 0 1 -2
1 1 0 2
1 1 2 0
Podemos verificar que no tiene mas raıces racionales
Hasta ahora la factorizacion es
x3 + x + 2 = (x2 + x + 2)(x − 1).
Se intenta de factorizar (x2+x+2) por otro metodo. Ahora bien, vemos que las raıces−1 −
√1 − 8
2=
−1 −√−7
2de este polinomio no son reales (es un numero complejo). Ası podemos concluir que
(x2 + x + 2) es irreducible sobre los reales, y la factorzacion completa de P es:
x3 + x + 2 = (x2 + x + 2)(x − 1)
Ejercicios: Factorizar los siguientes polinomios
1.1) P (x) = 6x2 − 16x − 6; 1.2) P (z) = −6z2 + 3z − 4; 1.3) P (x) = 2x2 + 5x − 12;
1.4) P (x) = 6x3 − 3x2 − 9x; 1.5) P (x) = x5 − x3 − x2 + 1; 1.6) P (x) = 8x3 − 16x2 − 10x;
1.7) P (z) = z3 − 16z2 + 63z; 1.8) P (x) = (x5 − x3) − (x2 − 1);
1.9) P (t) = t3 + 3t2 + 2t − 2(t2 + 3t + 2); 1.10) P (z) = 2z3 + 10z2 + 14z + 4;
1.11) P (x) = x4 − 10x3 + 16x2 + 90x − 225; 1.12) P (z) = 2z4 + z3 + 2z + 1;
1.13) P (t) = 2t3 − t2 − 8t + 4; 1.14) P (x) = 2x3 − 6x2 − 8x;
58 CAPITULO 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.15) P (x) = x4 − 3x3 + x2 + 3x − 2; 1.16) P (x) = 4x4 − 5x2 + 1;
1.17) P (x) = 18x4 − 9x3 − 11x2 + x + 1; 1.18) P (x) = 1 + 3x − 4x3;
1.19) P (x) = 6x4 − 7x3 + x.
3.7. Expresiones Fraccionarias
Una expresion es una expresion que se puede escribir como el cociente de dos polinomios.
Ejemplo: 1.- Las siguientes expresiones son racionales
a)x2 − 1
3x3 + 2x2 + 3x − 6, pues es el cociente de polinomios
b) 1 + x−2, pues puede ser escrita como:x2 + 1
x2y tanto x2 + 1 como x2 son polinomios.
c) 3x3 − 2x2 + x− 4, pues puede ser escrita como3x3 − 2x2 + x − 4
1. En general, un polinomio
es una expresion racional.
Ejemplo.- Las siguientes expresiones no son racionales.
a) 3x3 − 2x1/2
b)
√x − 1 + x√x + 1 − x
.
Estas ultimas expresiones, que se puede expresar como cociente de expresiones algebraicas
son conocidas como expresiones fraccionarias.
En esta seccion ademas de algunas manipulaciones propias de expresiones fraccionarias,
estudiaremos la simplificacion, la suma, diferencia, multiplicacion y cociente de expresiones
racionales.
3.7.1. Simplificacion de Fracciones
Como la variable representa un numero se puede usar las reglas de simplificacion de los
numeros reales, esta es:
3.7. EXPRESIONES FRACCIONARIAS 59
a · cb · c =
a
b
(
conviene recordar que:a · cb · c =
a
b· c
c=
a
b· 1 =
a
b
)
En nuestro caso las letras seran expresiones. Una expresion se podra simplificar en una fraccion
cuando aparece multiplicando el resto del numerador y al mismo tiempo al resto del denomi-
nador. Ası que para simplificar, tanto el numerador como el denominador deben estar factoriza-
dos.
Veamos los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1.- Simplifique las siguientes expresiones.
a)2x2 − 8
x2 − 3x + 2; b)
x3 − 4x2 + 3x
3x2 − x3; c)
2x2 + 3x + 1
x3 + 1.
Solucion: Lo primero es factorizar tanto numerador como denominador, para luego si hay
factores comunes simplificar.
a)
2x2 − 8
x2 − 3x + 2=
2(x − 2)(x + 2)
(x − 2)(x − 1)=
2(x + 2)
x − 1
Estas expresiones son iguales salvo para x = 2, pues la primera no esta definida y ultima si.
En x = 1, no estan definidas ambas.
b)
x3 − 4x2 + 3x
3x2 − x3=
x(x − 3)(x − 1)
x2(3 − x)=
(x − 3)(x − 1)
−x(x − 3)= −x − 1
x
Es conveniente, para visualizar mejor las posibles simplificaciones, reescribir los polinomios con
coefientes principal positivo. En este caso se reescribio (3 − x) = −(x − 3)
c)
2x2 + 3x + 1
x3 + 1=
(2x + 1)(x + 1)
(x + 1)(x2 − x + 1)=
2x + 1
x2 − x + 1
Para multiplicar expresiones radicales, de nuevo recordamos la regla de multiplicacion de
numeros reales.
60 CAPITULO 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
a
b· c
d=
a · cb · d
Ejemplo 1.- Realice y simplifique tanto como pueda
a)x − 4
3x − 2· x
x + 1; b)
x2 − 5x + 6
x3 + 3x2· 2x2 + 7x + 3
x − 2Solucion:
a)x − 4
3x − 2· x
x + 1=
(x − 4)x
(3x − 2)(x + 1)b)
x2 − 5x + 6
x3 + 3x2· 2x2 + 7x + 3
x − 2=
(x2 − 5x + 6)(2x2 + 7x + 3)
(x3 + 3x2)(x − 2)
=(x − 2)(x − 3)(2x + 1)(x + 3)
x2(x + 3)(x − 1)=
(x − 3)(2x + 1)
xEjercicio de desarrollo.- Realice y simplifique tanto como pueda
x2 − 3x
2x2 + x − 1· x2 − x − 2
x2 − 9Para la division, podemos empelar la propiedad de los numeros reales o bien expresar la
division de dos fracciones a las que se le aplica la regla doble c.
a
b÷
c
d=
a
b
c
d
Ejemplo. 2.- Realice y simplifique tanto como pueda.
a)2x2 − 2
x2 + x − 6÷ x2 − 2x + 1
x + 1; b) (x2 − x) ÷ x3 − 1
x + 1
Solucion:
a) Expresamos el cociente para aplicar la doble C.
2x2 − 2
x2 + x − 6x2 − 2x + 1
x + 1
=
2(x − 1)(x + 1)
(x − 2)(x + 3)
(x − 1)2
x + 1
=2(x − 1)(x + 1)2
(x − 1)2(x − 2)(x + 3)=
2(x + 1)2
(x − 1)(x − 2)(x + 3)
3.7. EXPRESIONES FRACCIONARIAS 61
b) A fin de aplicar la doble C, expresamos x2 − x comox2 − x
1
x2 − x
1x3 − 1
x + 1
=(x2 − x)(x + 1)
x3 − 1Se factoriza a fin de simplificar
=x(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x2 + x + 1)=
x(x + 1)
x2 + x + 1
Ejercicio de desarrollo.- Realice y simplifique tanto como pueda.
2x2 − 8
3x2 + x − 2÷ 3x2 − 3x − 36
x + 1
Sumas y Restas
Para sumar o restar racionales se procede de manera similar que en los numeros reales,
tomando en cuenta que ahora los factores irreducibles toman el papel de los numeros primos del
caso numerico.
El primer ejemplo nos recuerda que si los denominadores son iguales, simplemente se suman
o se restan los numeradores y se coloca el mismo denominador
Ejemplo 1.- Realice y simplifique tanto como puedax2 − x
x + 1− 4x + 6
x + 1
Solucion:
x2 − x
x + 1− 4x + 6
x + 1=
(x2 − x)(4x + 6)
x + 1=
x2 − 5x − 6
x + 1
=x2 − 5x − 6
x + 1Se factoriza a fin de simplificar
=(x − 6)(x + 1)
x + 1= x − 6
Para sumar fracciones con denominadores distintos emplearemos el metodo de simplificar
del m.c.m de los denominadores. Recordemos el caso numerico.
Ejemplo 2.- Realice y simplifique tanto como pueda1
30− 7
24− 5
18Solucion:
Cada denominador se descompone en sus factores primos a fin de calcular el m.c.m de ellos.
62 CAPITULO 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
30 = 2 · 3 · 5; 24 = 23 · 3 y 18 = 2 · 32
Recordemos que el m.c.m de tres numeros son los factores primos comunes y no comunes con
su mayor exponente.
Comunes: 2 y su maximo exponente 3 : Aporta 23
3 y su maximo exponente 2 : Aporta 32
no comunes: 5 y su exponente 1 : Aporta 5
Por lo tanto el m.c.m (30, 24, 18) = 23 ·32 ·5 = 360. Es conveniente dejarlo factorizado, parta
realizar las divisiones mas rapidamente.
1
2 · 3 · 5 − 7
23 · 3 − 5
2 · 32=
1 · (22 · 3) − 7(
23·32·523·3︷︸︸︷
3 · 5 ) − 5(
23·32·52·32︷ ︸︸ ︷
22 · 5)=
m.c.m
denominador tercer termino
23 · 32 · 5
=12 − 105 − 100
360= −193
360
Ahora imitaremos el procedimiento con expresiones algebraicas, considerando que los polinomio
irreducibles hacen las veces de los numeros primos.
Ejemplo: Realice y simplifique tanto como pueda
x − 1
x(x + 2)2− x − 3
x2(x + 1)(x + 2)− 5
x2(x + 2)
Solucion: Calculemos primero el m.c.m de los denominadores . observe que este caso ya estan
factorizados los denominadores:
Comunes: (x + 2) su maximo exponente es 2 : Aporta (x + 2)2
x su maximo exponente es 2 : Aporta x2
No comunes: (x + 1) su maximo exponente es 1 : (x + 1)
Ası, el m.c.m de los denominadores es: x2(x + 2)2(x + 1)
3.7. EXPRESIONES FRACCIONARIAS 63
x − 1
x(x + 2)2− x − 3
x2(x + 1)(x + 2)− 5
x2(x + 2)=
(x − 1)(x(x + 1)) + (x − 3)
x2(x+1)(x+2)2
x2(x+1)(x+2)
︷ ︸︸ ︷
(x + 2) −5(x + 1)(x + 2)
x2(x + 1)(x + 2)2
=x3 − x + x2 − x − 6 − 5(x2 + 3x + 2)
x2(x + 1)(x + 2)2
=x3 − x + x2 − x − 6 − 5x2 − 15x − 10
x2(x + 1)(x + 2)2
=x3 − 4x2 − 17x − 16
x2(x + 1)(x + 2)2
No se factoriza el numerador pues se verifico que n1 0, ni = 1, ni = 2 son raıces del numerador
y por consiguientes no hay simplificacion posible en esta fraccion
Ejemplo: 4.- Realice y simplifique tanto como puedax
x2 + 3x − 4+
2x + 1
x2 − 4x
Solucion: Primero se debe factorizar los denominadores con el objeto de calcular el m.c.m de
los denominadores.
x
x2 + 3x − 4+
2x + 1
x2 − 4x=
x
(x + 4)(x − 1)+
2x + 1
x(x + 4)
El lector puede verificar que el m.c.m = x(x − 1)(x + 4)
Ası tenemos
x
(x + 4)(x − 1)+
2x + 1
x(x + 4)=
x(x) + (2x + 1)(x − 1)
x(x + 4)(x − 1)
=x2 + 2x2 − x − 1
x(x + 4)(x − 1)=
3x2 − x − 1
x(x + 4)(x − 1)
Ejercicio de desarrollo.- Realice y simplifique tanto como pueda
a)1
x2 + 2x + 1− 3x − 1
x2 − 4
b)1
x(x + 1)− 3
x2(x + 1)− 5
x2(x + 1)(x + 2)
Operaciones Mixtas
Ejemplo 1.- Realice y simplifique tanto como pueda
1
z− 2
z + 1z − 1
64 CAPITULO 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Solucion: En esta expresion debemos primero realizar la diferencia del numerador, expresarlo
como una sola fraccion, para luego realizar la division mediante la doble C, estando claro que la
expresion z − 1 debe ser expresado como una fraccion.
1
z− 2
z + 1z − 1
=
z + 1 − 2z
z(z + 1)
z − 1=
−z + 1
z(z + 1)z − 1
1
=(−z + 1) · 1
z(z + 1)(z − 1)=
−(z − 1)
z(z + 1)(z − 1)
= − 1
z(z + 1)
Ejemplo 2.- Realice y simplifique1√
x − 4+ 2
√x − 4
Solucion: Primero escribimos el segundo termino como una fraccion a fin de realizar una suma
de fracciones:
1√x − 4
+ 2√
x − 4 =1√
x − 4+
2√
x − 4
1
Es claro que el m.c.m de los denominadores es√
x − 4.Alternativamente se puede hacer la suma es cruz
=1√
x − 4+
2(√
x − 4)2√x − 4
=1 + 2(x − 4)√
x − 4
Observe de la necesidad de colocar parentesisen la expresion 1 + 2(x − 4)
=1 + 2x − 8√
x − 4=
2x − 7√x − 4
Ejercicio de desarrollo: Realice y simplifique tanto como pueda
a)3 − 3
z + 1z2 − 1
3.7. EXPRESIONES FRACCIONARIAS 65
b)
3 − 3x
2√
x − 1x2 − 3x + 2
Racionalizacion de Denominadores
En ocasiones pudieramos tener expresiones como3√
3 − 4o bien
x − 1√x + 1 − 2
, donde nos
conviene eliminar las raıces en el denominador, esto es debemos racionalizar el denominador.
Observe que estamos tratando el caso que el denominador tiene dos terminos.
Para realizar este objetivo es reescrita multiplicando y dividiendo por la conjugada del de-
nominador.
a)3√
3 − 4; b)
x − 1
2√
x + 1 − 3; c)
√x + 1 −√
x√x + 1 +
√x
Solucion:
a) Multiplicamos arriba y abajo por la conjugada del denominador. Esta es la misma expresion
que el denominador pero con el segundo termino cambiado de signo:√
3 + 4
3√3 − 4
=3√
3 − 4· 1 =
3√3 − 4
·√
3 + 4√3 + 4
Se ha provocado el producto notable (a − b)(a + b) = a2 − b2,sin alterar la expresion original
=3(√
3 + 4)
(√
3 − 4)(√
3 + 4)=
3(√
3 + 4)
(√
3)2 − 42
=3(√
3 + 4)
3 − 16=
3(√
3 + 4)
−13= − 3
13(√
3 + 4)
b)
66 CAPITULO 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
x − 1
2√
x + 1 − 3=
x − 1
2√
x + 1 − 3· 1 =
x − 1
2√
x + 1 − 3· 2
√x + 1 + 3
2√
x + 1 + 3
=(x − 1)(2
√x + 1 + 3)
(2√
x + 1 − 3)(2√
x + 1 + 3)=
(x − 1)(2√
x + 1 + 3)
(2√
x + 1)2 − 32
=(x − 1)(2
√x + 1 + 3)
22(√
x + 1)2 − 9=
(x − 1)(2√
x + 1 + 3)
4(x + 1) − 9
=(x − 1)(2
√x + 1 + 3)
4x − 5
c)
√x + 1 −√
x√x + 1 +
√x
=
√x + 1 −√
x√x + 1 +
√x·√
x + 1 −√x√
x + 1 −√x
=(√
x + 1 −√x)2
(√
x + 1)2 − (√
x)2=
(√
x + 1 −√x)2
x + 1 − x= (
√x + 1 −√
x)2
Ejercicio de desarrollo.- Racionalice el denominador de las siguientes expresiones:
a)−2
2 +√
8
b)x√
x2 − 1 − x
c)
√2x + 1 + 2
√x√
2x + 1 − 2√
x
Ejercicios
1. Realice las siguientes sumas de fracciones por el metodo del m.c.m de los denominadores
simplifique
1.1)3
26+
4
39; 1.2)
5
72− 1
24+
4
9; 1.3)
3
10− 4
25+
3
8;
1.4)5
48− 7
90− 2; 1.5)
1
4− 5
24− 2 +
2
9; 1.6)
1
2− 25
48− 2
3+ 1
3.7. EXPRESIONES FRACCIONARIAS 67
2. Realice las siguientes operaciones y simplifique tanto como pueda
2.1)3x
x + 3+
2x − 3
x + 3; 2.2)
2x
2x + 1− x − 1
2x + 1; 2.3)
4
3x + 1− (1 − 3x);
2.4)x
x + 1+
x − 1
x + 2; 2.5)
4
x2 − 2x + 1+
2x − 3
x2 − 1; 2.6)
2t
t2 − 4t + 3+
t + 1
t − 1
2.7)2x
2x2 − x − 1− x − 1
2x2 + x+
4
x; 2.8)
6 − 3x
3x2 + 2x − 1− 2x − 1
x2 + 2x + 1+
3
x + 1
2.9)2x + 5
2x2 + x− 1
x− 2; 2.10)
x − 2
2x2 − x − 1÷ x − 1
2x2 + x; 2.11)
x3 − 9x
x2 + 2x + 1÷ 3x − 9
x2 + x;
2.12) y2 ÷ y − 1
2y2 + y; 2.13)
x − 1
x2 + 5x + 62x2 + 4x − 6
; 2.14)
1
(x + 1)2− 1
x2
2x2 + x;
2.15)
(
1 − 2x + 1
x2 + 2x + 1
)(x + 1
x
)
; 2.16)2
z+
z + 3
z2 − 3z− 3;
2.17)x3 − 16x
x2 + 3x + 2÷ x − 4
x2 + 2x; 2.18)
1
(2 + h)2− 1
4
h;
2.19)x
x2 − 4+
2
x2 + 3x + 2− 1
x + 2; 2.20)
1
1 + t− 1
2
t + 1− 2
t − 1
;
2.21)8 − z3
z2 − 9÷ z2 + 5z + 6
2z2 − 5z − 3; 2.22) 3
√x2 + 1 − x√
x2 + 1
3. Racionalice el denominador de las siguientes expresiones
3.1)5√
5 −√
3; 3.2)
2
7 +√
2; 3.3)
x − 1
2√
x + 1 − 33.4)
2x√2z − 1 +
√z − 1
3.5)
√2x + 3
√x√
2x − 3√
x
4Ecuaciones
Se quiere establecer las dimensiones do un rectangulo de tal manera que la base sea el doble
de la altura. ¿Como deben ser las dimensiones del rectangulo para que su area sea 1200m2?
Una persona recibe un salario de 100UM mas un 4%, sobre las ventas mensuales. Otra
persona no recibe salario pero en cambio se le da una bonificacion del 8% sobre las ventas
mensuales. ¿Cual es el nivel de ventas para el cual las dos personas reciben el mismo ingreso al
mes?
Estos tipos de problemas pueden ser resueltos planteando,- una ecuacion. Veremos posterior-
mente que por ejemplo la ecuacion que resuelve el ultimo problema esta dada por: 100+0.04·r =
0.08 · x.
Las ecuaciones son protagonistas en las resoluciones de muchos problemas de aplicaciones
pero tambien son piezas claves para conseguir ciertos resultados en calculo. Es por consiguiente
una herramienta que el estudiante debe dominar.
Una ecuacion en una variable es un enunciado de igualdad entre dos expresiones algebraicas
en la variable.
Ejemplo 1.- Los siguientes son ejemplos de ecuaciones
a) 2x = 10
b) t2 = −2t + 3
68
69
c) 1 −√
2r + 1 = 0
d)5x − 1
x − 1+
1
x= 0
e) x(x + 1) − x + 1 = 0
Estos son ejemplos de ecuaciones-en una variable. En los ejemplos a, d y e la variable es
x. En b la variable es i y en c la variable es r. Las expresiones que estan al lado del signo de
igualdad se llaman miembros de una ecuacion.
Se dice que a es una solucion o raız de una ecuacion si es un valor de x que hace que la
ecuacion sea una proposicion verdadera.
5 es una raız o una solucion de la ecuacion del ejemplo a, por cierto es la unica solucion. 1
y −3 son raıces de la segunda ecuacion.
Resolver una ecuacion consiste1 en encontrar todos los valores de x que son solucion de la
ecuacion. El conjunto de todas las soluciones es llamado el conjunto solucion. A veces se usa la
terminologıa incognita para referirse a la variable.
Para resolver una ecuacion normalmente realizamos una serie de pasos, de acuerdo a la
caracterıstica de la ecuacion. Debemos estar claros si los pasos que realicemos nos conducen a
una ecuacion con las mismas soluciones o no que la original. Si despues de realizar operaciones
en las ecuaciones obtenemos otra con las mismas soluciones que la original diremos que ambas
ecuaciones son equivalentes.
Existen operaciones que garantizan que vamos a obtener ecuaciones equivalentes a la
original como:
1) Sumar o restar el mismo polinomio a ambos lados de la ecuacion.
2) Multiplicar o dividir por una constante distinta de cero ambos miembros de la ecuacion.
3) Sustituir una expresion por otra equivalente.
Hay operaciones que pueden agregar solucion:
70 CAPITULO 4. ECUACIONES
1) Multiplicar por un polinomio ambos miembros de la ecuacion.
Ejemplo: Si en la ecuacion 2x = 10 cuya unica solucion es 5, multiplicamos por (x−1) ambos
lados de la ecuacion, nos queda la ecuacion
2x(x − 1) = 10(x − 1)
Esta ultima ecuacion tiene como soluciones 5 y 1. Se agrego una solucion.
2) Elevar al cuadrado o a una potencia par ambos lados de una ecuacion.
Ejemplo: Si en la ecuacion x = l, cuya solucion es explıcita: 1, elevamos ambos miembros al
cuadrado nos queda x − 1, el lector puede verificar que las soluciones de esta ultima son −1 y
1 : De nuevo se agrego una solucion: −1 que no satisface la original: Las ecuaciones x2 = 1 y
x = 1 no son equivalentes.
No siempre se agrega solucion, Por ejemplo la ecuacion√
x = 1 tiene como unica solucion 1.
Si se eleva al cuadrado ambos miembros queda la ecuacion x = 1 donde la solucion es explıcita
y la misma que la original. Las ecuaciones√
x = 1 y x = 1 son equivalentes.
En algunos metodos de resolucion hay que realizar estas operaciones. En este caso se debe
verificar siempre las soluciones encontradas para ver si fueron soluciones anadidas. En el caso
do multiplicar por un polinomio, las posibles soluciones anadidas son las raıces del polinomio.
Observe como al multiplicar en la ecuacion 2x = 1 0 por x − 1 ambos lados de la ecuacion se
agrego la solucion 1, efectivamente este polinomio se hace cero en 1. Ası que en el caso que
se multiplique por un polinomio simplemente se verifica que las soluciones encontradas tengan
sentido en la ecuacion original. En el caso de elevar al cuadrado se tienen que verificar las
soluciones en la ecuacion original.
Hay operaciones que pueden quitar soluciones a la ecuacion original como: Dividir por un
polinomio a ambos miembros.
La operacion de dividir entre un polinomio debe ser evitada, pues se puede perder soluciones.
Es frecuente en los estudiantes resolver la ecuacion de la siguiente manera:
4.1. ECUACIONES LINEALES 71
CUIDADO!!!Al cancelar puede perder soluciones
x2 = x
x2 = x · 1x = 1
Al cancelar, realmente se esta
dividiendo ambos lados por x
La ecuacion original x2 = x tiene dos soluciones: 0 y 1. Al cancelar o dividir entre un
polinomio en la variable se perdio la solucion 0.
En esta seccion aprenderemos a resolver ciertos tipos de ecuaciones. Un primer paso para
resolver una ecuacion es reconocer que tipo es y entonces aplicar las recomendaciones del caso.
El ejemplo 1 nos da una muestra de las ecuaciones a estudiar en este tema:
a) 2x = 10 es una ecuacion lineal
b) t2 = −2t + 3 es una ecuacion cuadratica
c) 1 −√
2r + 1 = 0 es una ecuacion con radicales
d)5x − 1
x − 1+
1
x= 0 es una ecuacion racional
Tambien se ensenaran estrategias que pueden servir para resolver una cierta variedad de ecua-
ciones.
4.1. Ecuaciones Lineales
Definicion 4.1 Diremos que una ecuacion es lineal en la variable x si puede escribir en la
forma
ax + b = 0
con a y b constantes y a 6= 0.
Para resolver ecuaciones lineales se debera realizar una serie de operaciones que conduzcan a
ecuaciones equivalentes a la original hasta obtener una ecuacion de la forma x = c cuya solucion
72 CAPITULO 4. ECUACIONES
es explıcita. Normalmente se dice que la-jx debe quedar despejada en un lado de la ecuacion.
Veamos el siguiente ejemplo que ilustra como vamos-obteniendo ecuaciones equivalentes:
Ejemplo 1.- Resolver 4x = 2x − 5
Solucion:
4x − 2x = 2x − 5 − 2x Restamos 2x a ambos miembros
2x = −5
2x
2=
−5
2Dividimos por 2 a ambos miembros
x = −5
2
De aquı, x = −5
2es la unica solucion de la ecuacion 4x = 2x − 5.
Comentario: Como se puede observar en este ejemplo restar una expresion a ambos lados de
una ecuacion es equivalente a pensar que una expresion que esta sumando pasa restando al otro
miembro. De manera similar, si una expresion esta dividiendo todo un miembro de la ecuacion
pasa multiplicando. Si esta multiplicando todo un miembro de la ecuacion pasa dividiendo al
otro miembro.
Ejemplo 2.- Resolver. x − 1 = 3(x − 5)
Solucion: Se resuelven primero los parentesis para luego agrupar las x de un lado y las constantes
del otro. En general, es conveniente eliminar los parentesis. Para ello aplicamos la propiedad
distributiva en el lado derecho:
4.1. ECUACIONES LINEALES 73
x − 1 = 3(x − 5)
x − 1 = 3x − 15 Pasamos el 15 sumando al otro lado, equivalemente sumamos 15 a ambos lados
x − 1 + 15 = 3x Pasamos la x restando al otro lado, equivalemente sumamos x a ambos lados
14 = 3x − x
14 = 2x Pasamos el 2 dividiendo al otro lado, equivalemente dividimos por 2 a ambos lados
14
2= x
x = 7
Ejemplo 3.- Resolverx − 1
2− 1
6= 3
Solucion: Cuando existen denominadores numericos podemos multiplicar ambos lados por el
m.c.m. de los denominadores. Con ello se eliminan los denominadores y se evita de esta forma
sumar fracciones que puede ser mas tedioso. En esta caso el m.c.m de los denominadores es 6.
6
(x − 1
2− 1
6
)
= 3 · 6 Se distribuye el 6
6 · x − 1
2− 6 · 1
6= 18 Se simplifica
3(x − 1) − 1 = 18 Se distribuye el 3
3x − 3 − 1 = 18
3x = 22
x =22
3Tres consejos se han dado en esta seccion para resolver ecuaciones lineales
1) Si existen denominadores numericos, elimınelos multiplicando ambos miembros por el m.c.m
de los denominadores.
2) Resuelva los parentesis de acuerdo con las reglas ensenadas.
74 CAPITULO 4. ECUACIONES
3) Agrupe los terminos en x en un miembro y las constantes en otro para despejar x.
Hay que reiterar que estos son solo consejos practicos muy generales, seguramente en casos
particulares existan otros procedimientos mas rapidos.
Ejercicios
1) Determine si las siguientes ecuaciones son equivalentes o no
1.1) x = 3;x
x − 2=
3
x − 2; 1.2) x − 1 = 6; (x − 1)x = 6 · x; 1.3) x3 = x2; x = 1
2) Resolver las siguientes ecuaciones
2.1) 3 − 2x = 7; 2.2) 5 − 2(x − 2) = 13; 2.3) 2x − 1 = 4(x − 3); 2.4) x − 1
2=
x − 2
4;
2.5)x + 1
3+
x + 4
6= 2; 2.6)
z − 1
2− z − 1
3+
z − 1
4= 0; 2.7)
3 − x
6− x − 1
3= 3 − x;
2.8)√
3x − 3 = x; 2.9) (3x − 1)2 = (3x − 1)(3x + 1); 2.10)1
3(3x − 1) = 2[1 − (2x + 1)];
2.11) (1 +√
2)t = 0; 2.12) 3(z − 1) − 2(3 − 2z) = 3; 2.13)3
4(z − 1) + 2(1 − z) = 5;
2.14)√
2z − 2
3(1 − z) = 3; 2.15)
2(1 − 3z)
3= 0; 2.16)
1 − 3(3 − 4x)
3= 0;
2.17)(2x − 1)(x + 4)
2− (x − 4)(x − 3) − 1 = 0.
Aplicaciones:
Una gran variedad de problemas que surgen en la practica se pueden resolver usando ecua-
ciones. No hay una regla basica para resolverlos frente a la gran variedad de problemas que se
pueden plantear. Sin embargo podemos dar algunas sugerencias de trabajo que puedan ayudar
al lector a plantear la ecuacion que conduzca a la solucion de cada problema.
1. Lea el problema detenidamente si hace falta varias veces, hasta que sea capaz de decir que
se quiere conseguir y que informacion o datos dispone.
4.1. ECUACIONES LINEALES 75
2. Represente una de las cantidades desconocidas en terminos de una variable, x suele ser la
mas usada. Si hay otra cantidad desconocida intente escribirla en terminos de su variable
(probablemente necesite algun dato del problema).
3. Un dibujo o esquema siempre ayuda aclarar situaciones.
4. Plantear una ecuacion. Esto es plantear una igualdad entre expresiones, busque las expre-
siones que son iguales en terminos de su variable a traves de las relaciones entre cantidades.
Estas expresiones estan dadas en forma verbal en el problema usted debera llevarlas a una
expresion algebraica donde intervenga su variable.
5. Resuelva la ecuacion. Puntualice o remarque la respuesta.
6. Responda en palabras cada pregunta del problema.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo l.-Una poblacion tiene 20.000 habitantes, si el ritmo de crecimiento ha sido del 5%.
¿Cual era su poblacion hace un ano?
Solucion: Una variable natural aquı es
p = tamano de la poblacion hace un ano. La siguientes expresiones verbales son iguales
Poblacion actual =20.000.
Ahora debemos expresar poblacion actual en terminos de p. Aquı usamos el hecho que ha
aumento en un 5%. El 5% de p es 0.05p, ası que la poblacion actual es
P + 0.05p.
Ahora planteamos la ecuacion
p + 0.05p = 20.000
Resolvemos la ecuacion planteada
76 CAPITULO 4. ECUACIONES
1.05p = 20.000
p =20.000
1.05≈ 19048 hab.
El tamano de la poblacion era aproximadamente de 19048 habitantes hace un ano.
Ejemplo 2.- Una persona necesita 15.000 litros de una solucion, al 7%. En el mercado existe
dos presentaciones: una al 6% y el otro al 8.25%. ¿Cuanto debe comprar de cada presentacion
a fin de tener la solucion con la concentracion que necesita?
Solucion: En este problema hay dos cantidades desconocidas, cuanto se debe comprar de la
solucion al 6% y′′; cuanto de la de 8.25. Elegimos
x = cantidad comprar 6% Observe que podemos expresar la otra cantidad en terminos de x
15.000 − x = cantidad a comprar de la solucion al 8.25%.
x litros UM a una concentracion del 6% tiene: 0.06 ·x soluto. 15.000−x a una concentracion
del 8,25% tiene: 0.0825 · (15.000 − x) de soluto.
La mezcla de estas dos compras contiene una cantidad de, soluto igual a:
0.06x + 0.0825 · (15.000 − x)
Esta expresion debe ser igual al soluto existente en 15.000 litros al 7% :
0.07 − 15.000 = 1050 UM. Ası debemos plantear
0.06x + 0.0825 · (15.000 − x) = 1.050;
Resolvemos ahora la ecuacion planteada:
−0.0225x + 1237, 5 = 1050
0.0225x = 187, 5;
x = 8333, 33
Ası que debe comprar 8333, 33 litros en la presentacion al 6% y 6666, 66 litros en la pre-
sentacion de 8.25%.
4.2. METODO DE FACTORIZACION PARA RESOLVER ECUACIONES. 77
4.2. Metodo de Factorizacion para Resolver Ecuaciones.
Este es un metodo de resolucion de ecuaciones que permite resolver una gran variedad de
ecuaciones. Se basa en la propiedad de los numeros reales en que si: a · b = O entonces a = O
o b = O. Este metodo es aplicable si luego de transformar la ecuacion original en otra donde el
cero este en un miembro de la ecuacion, el otro miembro sea facil de factorizar.
Puntualicemos los pasos para resolver ecuaciones por este metodo
1. Se lleva a la forma expresion=0,
2. Se factoriza la expresiont
expresion(fact.1) · (fact.2) . . . · (fact.K)
Ası la ecuacion queda escrita como
3. Se usa el razonamiento que si un producto es cero ·′ · ·5,
(fact.1) · (fact.2) . . . (fact.k) = 0
entonces algunos de los factores es cero. Por consiguiente se plante un tantas ecuaciones
como factores, todas las ecuaciones igualadas a cero.
fact.1 = 0; fact.2 = 0; . . . fact.K = 0
4. Se resuelven todas las ecuaciones planteadas. Las soluciones de la ecuacion original son las
soluciones de todas las ecuaciones planteadas de los factores, excepto aquellas donde no
tienen sentido en la ecuacion original.
Ejemplo 1.- Resolver las siguientes ecuaciones
a)x2 − 4x + 5 = 0; b)x3 − 2x2 + x = 0; c) 2x3 − 3x2 − 8x − 3 = O
78 CAPITULO 4. ECUACIONES
Solucion:
a) Primero factorizamos x2 − 4x + 5 = 0
(x − 5)(x + 1) = 0
(x − 5) = 0 o (x + 1) = 0 Un producto es 0 si al menos uno de los factores es 0
x = 5 o x = −1
b) Primero factorizamos x3 − 2x2 + x = O usando primero factor comun.
(x2 − 2x + 1) = 0
x(x − 1)2 = 0 Un producto es 0 si al menos uno de los factores es O
x = 0 o (x − 1) = 0 o (x + 1) = 0 Alternativamente podemos pensar√
(x + 1)2 =√
0
x = 0 o x = 1 o x = 1
Ası que el conjunto solucion de esta ecuacion es {0, 1}.c) Usamos la tecnica de factorizacion para resolver la ecuacion 2x3 − 3x2 − 8x− 3 = 0, pero
para ello debemos de factorizar el lado izquierdo, usamos Ruffini.
2 -3 -8 -3
-1-2 5 3
2 -5 -3 0
3 6 3
2 1 0
De esta tabla obtenemos
P (x) = (2x + 1)(x − 3)(x + 1) = 0
4.2. METODO DE FACTORIZACION PARA RESOLVER ECUACIONES. 79
Ası que la ecuacion de arriba es equivalente a
(2x + 1)(x − 3)(x + 1) = 0
planteamos
(2x + 1) = 0; (x − 3) = 0; (x + 1) = 0
Es inmediato ver que las soluciones de estas ecuaciones son −1
2, 3 y −1, las cuales pueden ser
evaluadas en la ecuacion original.
Ası que el conjunto solucion de la ecuacion original es
{
−1
2, 3, 1
}
Ejemplo 2.- Resolver las siguientes ecuaciones
a)x3 = 2x2; b) (x − 1) = 2x(x − 1)
Solucion:
a) Observe que en esta ecuacion x3 = 2x2 no podemos simplificar las x, pues perdemos
solucion, (eliminar las x es lo mismo que dividir entre x2). Si pasamos todo al lado izquierdo,
dejando en el lado derecho el cero, podemos aplicar la tecnica e factorizacion.
x3 − 2x2 = 0 Factorizamos
x(x − 2) = 0
x = 0 o (x −√
2)(x +√
2) = 0 Un producto es 0 si al menos uno de los factores es 0
x = 0 o x −√
2 = 0 o x +√
2 = 0
x = 0 o x =√
2 o x = −√
2
Ası que el conjunto solucion de la ecuacion x3 = 2x2 es {−√
2, 0,√
2}.
b) Podemos hacer un comentario similar al ejercicio pasado, ası que aplicamos la tecnica de
factorizacion, con el primer paso que es dejando de un lado el 0.
80 CAPITULO 4. ECUACIONES
(x − 1) = 2x(x − 1)
(x − 1) − 2x(x − 1) = 0 Factorimos sacando de factor comun (x − 1)
(x − 1)(1 − 2x) = 0 Planteamos 2 ecuaciones
(x − 1) = 0 o (1 − 2x) = 0 Un producto es 0 si al menos uno de los factores es 0
x = 1 o x =1
2
Ası es el conjunto solucion de la ecuacion (x − 1) = 2x(x − 1) es
{1
2, 1
}
El siguiente ejemplo pretende ilustrar que este metodo se aplica no solo a ecuaciones polinomi-
cas.
Ejemplo 3.- Resolver las siguientes ecuaciones x(x + 1)1/2 − 3(x + 1)3/2 = 0.
Solucion:
x(x + 1)1/2 − 3(x + 1)3/2 = 0 Primero factorizamos sacando factor comun (x + 1)1/2
(x + 1)1/2[x − 3(x + 1)] = 0
(x + 1)1/2(x − 3x − 3) = 0
(x + 1)1/2(−2x − 3) = 0 Planteamos 2 ecuaciones
(x + 1)1/2 = 0 o (−2x − 3) = 0
Para resolver la primera ecuacion elevamos ambos miembros al cuadrado
((x + 1)1/2
)2= 02 o x = −3
2
x + 1 = 0 o x = −3
2
x = −1 o x = −3
2
4.3. RESOLUCION DE ECUACIONES DE LA FORMAP
Q= 0 81
Siempre se debe chequear que ambas soluciones tengan sentido en la ecuacion original, en este
caso x = −3
2lo descartamos como solucion de la ecuacion original es x = −1.
Ejercicio de desarrollo: Resolver las siguientes ecuaciones
a) x2 − 4x + 3 = 0
b) (x + 2)2 − 3(x + 2)3 = 0
Ejercicios:
1) Resolver las siguientes ecuaciones por factorizacion
1.1) x2 − 6x + 8 = 0; 1.2) (x − 1)(x + 2)(x + 4) = 0; 1.3) x3 − x2 − 12x = 0;
1.4) x2√x =√
x; 1.5) (x − 2)(x − 1)3 − 2(x − 2)2(x − 1)2 = 0;
1.6) (x − 2)(x2 − 3)1/2 + 4(x2 − 3)3/2 = 0; 1.7) (x − 1)3 = (x − 1)2; 1.8) x3 = x(x + 2);
1.9) 3x3 − 2x2 − 7x − 2 = 0; 1.10) 5x4 − 25x3 + 30x2 − 8x − 3 = 0
4.3. Resolucion de Ecuaciones de la formaP
Q= 0
En la seccion pasado vimos como la propiedad de los numeros reales concernientes a un
producto igualado a cero nos lleva a un metodo de resolucion de ecuaciones. En esta seccion
queremos ver el metodo cuando un cociente es cero.
Veamos primero la propiedad en los numeros reales.
Si b 6= 0, tenemos quea
b= 0 si y solo si a = 0
Si tenemos una ecuacion de la formaP
Q= 0, entonces P = 0, donde P es una expresion en
la variable x. Las soluciones deP
Q= 0 son todas las soluciones de P = 0 que tienen sentido en
P
Q= 0.
Ejemplo 1.- Resolver las siguientes ecuaciones
a)x2 − 2
x − 2= 0; b)
x(x + 1)2 − x2(x + 1)
(x + 1)2= 0; c)
2
2x − 1= 0
Solucion:
82 CAPITULO 4. ECUACIONES
a) Las soluciones dex2 − 2
x − 2= 0 son las soluciones de x2 − 2 = 0 siempre y cuando tengan
sentido en la original. Las soluciones de x2 − 2 = 0 son −√
2 y√
2. Estas son soluciones de la
ecuacion original.
b) Las soluciones dex(x + 1)2 − x2(x + 1)
(x + 1)2= 0 son las soluciones de
x(x + 1)2 − x2(x + 1) = 0 siempre y cuando tenga sentido en la ecuacion original
La ecuacion x(x + 1)2 − x2(x + 1) = 0 la resolvemos por factorizacion:
x(x + 1)[(x + 1) − x] = 0 Se saca x(x + 1) de F.C.
x(x + 1)(x + 1 − x) = 0
x(x + 1) · 1 = 0 Planteamos dos ecuaciones
x = 0 o x + 1 = 0
Ası que x = 0 satisface x(x + 1)2 − x2(x + 1) = 0 tiene como soluciones x = 0, −1. En este caso
tenemos que x = 0 satisface la ecuacion originalx(x + 1)2 − x2(x + 1)
(x + 1)2= 0 sin embargo x = −1
no tiene sentido en esta ecuacion, pues0
0no esta definido. Por tanto la ecuacion original tiene
una unica solucion dada por x = 0.
c) En la ecuacion2
2x − 1= 0, planteamos 2 = 0, esta ecuacion no tiene solucion, por tanto la
ecuacion original tampoco.
Ejemplo 2.- Resolver ecuacion 1 − 2
2 − x= 0
Solucion: Esta ecuacion no es de la forma.P
Q= 0, sin embargo lo podemos llevar a esta forma
sumando los terminos del lado izquierdo.x − 2 − 2
x − 2= 0
Las soluciones de esta ultima estan contenidas en las soluciones de x − 4 = 0 cuya solucion
x = 4 efectivamente satisface la original. Por tanto x = 4 es la unica solucion de 1 − 2
x − 2= 0.
(Otra forma de resolver esta ecuacion es trabajando con la ecuacion equivalente
1 =2
2 − xcomo el x − 2 esta dividiendo pasa multiplicando al otro lado, equivale a decir que
multiplicamos por x − 2 ambos lados, queda entonces x − 2 = 2 cuya solucion es la misma que
la anterior).
4.4. RESOLUCION DE ECUACIONES DE LA FORMA XK = D 83
Ejercicios:
1) Resolver las siguientes ecuaciones identificandola con la formaP
Q= 0.
1.1)x2 − 8x
x + 1= 0; 1.2)
√4
x − 1= 0; 1.3)
2(x − 1)(x + 2)3 − 3(x − 1)2(x + 2)2
(x + 2)6= 0;
1.4)1
x− 4x = 0; 1.5)
1
x− 1
x3= 0
4.4. Resolucion de Ecuaciones de la forma xk = d
Este tipo de ecuacion es bastante frecuente. La recomendacion para resolver este tipo de
ecuacion es:
Tomar raız con ındice k a ambos lados considerando que para k par esta la solucion negativa
tambien. Ası
x = k√
d si k es impar
x = ± k√
d si k es par d ≥ 0
Si k es par y d < 0 la ecuacion no tiene solucion
Justificacion para el caso k = 3x3 = d se escribe como
x3 − d = 0, se factoriza
(x − 3√
d)(x2 + ( 3√
d)2 + d) = 0 se plantean dos ecuaciones
(x − 3√
d) = 0 y (x2 + ( 3√
d)2 + d) = 0
La primera tiene como solucion x = 3√
d. Se puede verificar que la segunda no tiene soluciones
reales.
Justificacion para el caso k = 2
Si d en negativo es claro que la ecuacion x2 = d no tiene solucion pues cualquier numero
real al elevarlo al cuadrado da mayor o igual a cero, nunca podra ser negativo.
84 CAPITULO 4. ECUACIONES
Si d es positivo entonces usamos el metodo de factorizacion.
x2 = d se escribe como
x2 − d = 0, se factoriza (lo pensamos como x2 − (√
d)2 = 0)
(x −√
d)(x +√
d) = 0 se plantean dos ecuaciones
(x −√
d) = 0 y (x +√
d) = 0
la primera tiene como solucion x =√
d y la segunda tiene como solucion x = −√
d
Ejemplo 1.- Resolver las siguientes ecuaciones a)x2 = 4; b)x3 = −81; c)x6 = −2;
Solucion:
a) Tomando raız cuadrada a ambos lados de la ecuacion: x2 = 4. Recuerde que como el ındice
es par se agrega la positiva y la negativa. Ası las soluciones son: x = ±√
4 = ±2.
b) Al tomar raız cubica en ambos lados x3 = −81 queda3√
x3 = 3√−81.
c) Como 6 es un ındice par, la ecuacion x6 = −2 no tiene solucion real, efectivamente x =
6√−2 6∈ R.
Ejemplo 1.- Resolver las siguientes ecuaciones a) 2x6 − 6 = 0; b) (y + 1)3 = 7;
Solucion: La ecuacion 2x6 − 6 = 0, la llevamos a la forma xk = d, despejando x6.
2x6 = 6
x6 =1
3
Ahora tomamos raız a ambos lados y consideramos que al ser el ındice de la raız par se tiene la
raız positiva y la negativa.
x = ±√
1
3= ±
√3
3
b) La ecuacion (y + 1)3 = 7 no es exactamente de esta forma, pero igual se puede resolver
usando la recomendacion.
4.5. RESOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS. 85
3√
(y + 1)3 = 3√
7
(y + 1) = 3√
7
y = 3√
7 − 1
Ası que la solucion de esta ecuacion es 3√
7 − 1.
4.5. Resolucion de Ecuaciones Cuadraticas.
La ecuacion de segundo grado ax2 + bx+ c = 0 es resuelta frecuentemente usando la formula
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
Con los metodos vistos anteriormente podemos justificar esta formula, llevando la ecuacion
ax2 + bx + c = 0 a otra equivalente de la forma (x + d)2 = k.
1. Dejamos los dos primeros terminos de un lado de la ecuacion y el termino constante del
otro lado.
ax2 + bx = −c
2. Dividimos ambos terminos por a.
x2 +b
ax = − c
a
3. La idea ahora es completar cuadrados. Esto es sumar en ambos miembros una misma
cantidad de tal manera que el miembro izquierdo sea el desarrollo de un producto notable
de la forma
(x + d)2 = x2 + 2 dx + d2. El terminob
ax debe ser el termino 2 dx, ası que
b
a= 2d
De aquı d =b
2a. Ası que debemos sumar a ambos lados
(b
2a
)2
86 CAPITULO 4. ECUACIONES
x2 +b
ax +
(b
2a
)2
= − c
a+
(b
2a
)2
(
x +b
2a
)2
=b2
4a2− c
aRestando las fracciones del lado derecho obtenemos
(
x +b
2a
)2
=b2 − 4ac
4a2
4. Esta ultima tiene la forma anteriormente vista con potencia par. Tomamos raız cuadrada
a ambos lados, considerando que tenemos potencia par.
x +b
2a= ±
√
b2 − 4ac
2aSe despeja x
x = − b
2a±√
b2 − 4ac
2aFinalmente obtenemos la formula de la ecuacion de segundo grado.
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
La cantidad b2 − 4ac es llamada el discriminante. Es claro que
Si b2 − 4ac < 0 la ecuacion ax2 + bx + c = 0 no tiene solucion.
Si b2 − 4ac = 0 la ecuacion ax2 + bx + c = 0 tiene una unica solucion
(
x =−b
2a
)
.
Si b2 − 4ac > 0 la ecuacion ax2 + bx + c = 0 tiene dos soluciones distintas.
El metodo de factorizacion para resolver ecuaciones cuadraticas puede resultar mas rapido
que usar la ecuacion de segundo grado cuando se puede aplicar, pero ni siempre se puede
o resulta facil la factorizacion
Ejemplo.- 1. Resolver las siguientes ecuaciones a) 2x2 − x − 6 = 0; b) (y + 1)(y + 4) = 2y
Solucion:
a) Como no se puede conseguir una factorizacion de una manera rapida en el lado izquierdo
de la ecuacion 2x2 − x − 6 = 0 es preferible usar la ecuacion de segundo grado, identificando
a = 2; b = −1; c = −6.
4.5. RESOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS. 87
x =−(−1) ±
√
(−1)2 − 4 · 2(−6)
2 · 2
x =1 ±
√1 + 48
4
Ası que las soluciones estan dadas por x1 =1 + 7
4= 2 y x2 =
1 − 7
4= −3
2
Observacion: De nuevo el metodo escogido fue apreciado, pudimos haber factorizado por Ruffi-
ni, pero en el momento consideramos que podıamos perder mas tiempo que empleando la formula
de segundo grado.
b) Observamos que la ecuacion (y + 1)(y + 4) = 2y es de segundo grado, pues cuando desar-
rollamos el producto vemos que aparece un termino cuadratico . ası que realizamos operaciones
para llevar esta ecuacion a la forma canonica. Primero realizamos el producto del lado izquierdo.
y2 + 5y + 4 = 2y
y2 + 3y + 4 = 0
No podemos factorizar rapidamente, usamos entonces la formula de segundo grado para resolver
esta ecuacion, identificando a = 1; b = 3 y c = 4
y =−3 ±
√32 − 4 · 3 · 42 · 4
y =−3 ±
√−45
8
Como el discriminante es negativo la ecuacion no tiene solucion real. Comentario: En este
ejemplo no habıa factorizacion posible.
Ejemplo 2.- Resolver la siguiente ecuacion (x2 − 3x + 1)(2x2 − 8)(x2 − 2x − 3) = 0;
Solucion: Resolvemos esta ecuacion por el metodo de factorizacion, como un producto esta igual-
ado a cero entonces uno de los tres factores es cero. Ası pues planteamos tres ecuaciones
(x2 − 3x + 1) = 0 o (2x2 − 8) = 0 o (x2 − 2x − 3) = 0
88 CAPITULO 4. ECUACIONES
Las tres ecuaciones son de segundo grado, pero cada una tiene su manera conveniente de re-
solverla. La primera la resolvemos por la formula de segundo grado, la segunda despejando x2
y tomando mas o menos raız y la tercera la resolvemos por factorizacion.
En la ecuacion (x2 − 3x + 1) = 0 tiene dos soluciones
x =3 ±
√
(−3)2 − 4 · 12 · 1 =
3 ±√
5
2
La ecuacion (2x2 − 8) = 0 es equivalente a x2 = 4, cuyas soluciones son +2 y −2
La ecuacion (x2 − 2x − 3) = 0 la resolvemos por el metodo de factorizacion
(x − 3)(x + 1) = 0 Planteamos dos ecuaciones
(x − 3) = 0 o (x + 1) = 0
Las soluciones de estas ecuaciones son x = 3 o −1.
En conclusion la ecuacion (x2 − 3x + 1)(2x2 − 8)(x2 − 2x − 3) = 0 tiene como soluciones
x = −5, −1, 3, 5,3 +
√5
2,
3 −√
5
2.
Ejercicio de desarrollo. Resolver la siguiente ecuacion (2x2 − 3x + 1)
(2 − 3x2
x − 2
)
Ejercicios:
1. Resolver las siguientes ecuaciones identificandola con la forma xk = d
1.1) x3 + 8 = 0; 1.2) x2 + 8 = 0; 1.3) 64x6 − 1 = 0; 1.4) (x + 1)4 = 16;
1.5) 9x2 − 25 = 0; 1.6) 8(x + 2)3 − 1 = 0; 1.7) (x + 3)4 = 0
2. Resolver las siguientes ecuaciones
2.1) 2 − 3x + 2x2 = 0; 2.2) x2 +√
2x − 2 = 0; 2.3) x3 − 4x2 − x = 0;
2.4) (x2 − 4x + 1)4 = 0; 2.5) (x2 − 25)(x2 − 2x − 3) = 0; 2.6) (x + 2)2 − 4x = 0.
4.6. ECUACIONES CON RADICALES 89
4.6. Ecuaciones con Radicales
Las ecuaciones con radicales son aquellas donde la incognita esta dentro del radical. Por
ejemplo la ecuacion√
x2 + 3−3 = x la llamaremos de esta manera porque la variable esta dentro
del signo radical. La ecuacion√
2x+3 = x2 no la consideramos una ecuacion con radical porque
la variable no esta dentro de la raız.
Para resolver este tipo de ecuacion se recomienda los siguientes pasos.
1. Dejar el termino con el radical solo de un lado de la ecuacion.
2. Elevar ambos miembros a la potencia del ındice. Estar pendiente si hay planteado un
producto notable
3. Simplifique e identifique la ecuacion resultante para resolverla de acuerdo a la recomen-
dacion. Recuerde que al elevar a una potencia par puede estar agregado soluciones extranas,
en este caso hay que verificar las soluciones en la original.
Ejemplo 1.- Resolver las siguiente ecuaciones a) 3√
x − 3 − 2 = 0;
b)√
x2 + 3 + 3 = x; c)x − 4√
x + 3 + 6 = 0
Solucion: Todas estas ecuaciones son con radicales. Recuerde: que este tipo de ecuacion el
primer paso de la recomendacion es dejar solo el radical
a)3√
x − 3 − 2 = 0 Se deja solo el radical
3√
x − 3 = 2 Se eleva al cubo ambos miembros
( 3√
x − 3)3 = 23
x − 3 = 8 Quedo una ecuacion lineal que resolvemos
x = 11
90 CAPITULO 4. ECUACIONES
b) √x2 + 3 + 3 = x Se deja solo el radical
√x2 + 3 = x − 3
(√
x2 + 3)2 = (x − 3)2 Se eleva al cuadrado ambos miembros
x2 + 3 = x2 − 6x + 9 El lado derecho es el desarrollo de un producto notable
6x = 6 Se simplifico
x = 1Como elevamos al cuadrado pudimos agregar solucion. Se procede a comprobar la solucion
en la ecuacion original.
Parte de comprobacion: Veamos si x = 1 satisface la ecuacion√
x2 + 3 + 3 = x
Lado izquierdo de la ecuacion:√
12 + 3 + 3 =√
4 + 3 = 5
Lado derecho: 1.
Como 5 6= 1, entonces x = 1 no es solucion de la ecuacion. La ecuacion no tiene solucion.
c)x − 4
√x + 3 + 6 = 0 Se deja solo el radical
x + 6 = 4√
x + 3 Se eleva al cuadrado ambos miembros
(x + 6)2 = (4√
x + 3)2
x2 + 12x + 36 = 42(√
x + 3)2 El el lado izquierdo de desarrollo un producto notable
x2 + 12x + 36 = 16(x + 3) Se aplica la propiedad distributiva
x2 + 12x + 36 = 16x + 48 Quedo una ecuacion cuadratica que se resuelve por la resolvente
x2 − 4x − 12 = 0 (Se pudo resolver tambien por factorizacion)
x =4 ±
√16 + 48
2=
4 ± 8
2
x = 6 y x = −2.
Como elevamos al cuadrado pudimos agregar solucion. Se procede a comprobar la solucion
4.6. ECUACIONES CON RADICALES 91
en la ecuacion original.
Parte de comprobacion: Veamos si x = 6 satisface la ecuacion x − 4√
x + 3 + 6 = 0
Lado izquierdo: 6 − 4√
6 + 3 = 12 − 4√
9 = 0 Lado derecho: 0 Como 0 = 0, entonces x = 12
si es solucion de la ecuacion
Veremos si x = −2 satisface la ecuacion x − 4√
x + 3 + 6 = 0
Lado izquierdo: −2 − 4√−2 + 3 + 6 = 4 − 4
√1 = 0.
Lado derecho: 0
Como 0 = 0, entonces x = −2 tambien es solucion de la ecuacion
Como conclusion la ecuacion dada tiene dos soluciones; −2 y 6
Ejemplo 2.- Resolver (√
x + 1 − 2)(2√
x2 + 1 − 1) = 0
Solucion: Se resuelve por el metodo de factorizacion planteando dos ecuaciones
(√
x + 1 − 2) = 0 o (2√
x2 + 1 − 1) = 0
Las dos son ecuaciones con radicales donde se debe aislar el radical
Resolvemos la primera ecuacion.√
x + 1 = 2 Se eleva ambos miembros al cuadrado
x + 1 = 4
La solucion de este ultima es x = 3 la cual satisface la ecuacion (√
x + 1 − 2) = 0
Resolvemos la segunda ecuacion
2√
x2 + 1 = 2
(2√
x2 + 1)2 = 4
4(x2 + 1) = 4
x2 + 1 = 1
x = 0
Las unicas soluciones de (√
x + 1 − 2)(2√
x2 + 1 − 1) = 0 Son {0, 3}.
92 CAPITULO 4. ECUACIONES
Comentario final: Una ecuacion de la forma (p(x))n/m = k, con k una constante, la podemos
resolver rapidamente elevando ambos miembros al inverso del exponente:m
n. Ası
((p(x)n/m)
)m/n= km/n
p(x) = km/n
Esta ultima ecuacion la identificamos y la resolvemos de acuerdo a las recomendaciones.
Debemos tener en cuenta que si n es par entonces k no puede ser negativo y si m es par
entonces podemos estar agregando solucion. (Observe que la ecuacion (p(x))n/m = k puede ser
escrita como m√
(p(x))n = k o bien como(
m√
p(x))n
= k, ambas ecuaciones le realizamos dos
operaciones consecutivas para llegar a la forma p(x) = km/n).
Ejercicio de desarrollo.- Resolver la siguiente ecuacion (√
2x2 + 8 − 3)( 3√
x2 − 2 + 3) = 0
Ejercicios:
1) Resolvemos las siguientes ecuaciones con radicales
1.1) 2√
x − 1 − 2 = 0; 1.2)√
3x2 + 6 + 3 = 6x; 1.3) 3x + 4√
x + 2 + 6 = 0;
1.4) 3√
x2 − 16 + 1 = 0; 1.5) (x − 2)1/5 = 0; 1.6) (x − 2)2/5 = 1
2) Resolver las siguientes euaciones:
2.1) (√
x + 4 − 2)(x2 − 4) = 0; 2.2) (√
3x2 − 6)(2x3 − 54) = 0;
2.3) (x + 1)2(4√
x + 2 + 6) = 0; 2.4) (2√
x − 1 − x)(2x2 + 8)( 3√
3x − 1) = 0.
4.7. Resolucion de Formas Cuadraticas
Las ecuaciones en formas cuadraticas son las que se pueden llevar a la forma
a(Expresion)2 + b(Expresion) + c = 0
Donde expresion es una expresion en la variable. Algunos ejemplos de este tipo de ecuaciones
son:
a)1
(x − 1)2− 2
x − 1− 3 = 0 (Reescriba como
1
(x − 1)2− 2
1
x − 1− 3 = 0 para comprobar)
4.7. RESOLUCION DE FORMAS CUADRATICAS 93
b) 2x6 − x3 − 1 = 0
c) x + 3√
x + 2 = 0
Los pasos recomendados para resolver la ecuacion a(expresion)2 + b(Expresion) + c = 0 son:
1. Hacer el cambio de variable y = expresion en la ecuacion original.
2. Resolver la ecuacion cuadratica que quedo en y : ay2 + by + c = 0.
3. Si existen soluciones de la ecuacion anterior, entonces se plantean y se resuelven las ecua-
ciones.
Expresion = y1 y Expresion = y2
Donde y1, y2 son las soluciones de ay2 + by + c = 0. Las soluciones de estas ecuaciones
son las soluciones de la ecuacion original.
Ejemplo 1.- Resolver las siguientes ecuaciones
a)1
(x − 1)2− 2
x − 1− 3 = 0; b) 2x6 − x3 − 1 = 0; c)x + 3
√x + 2 = 0
Solucion: Todas estas ecuaciones se pueden identificar como formas cuadraticas. Observe que
cada una tiene alternativas para resolverlas, (la primera es una forma racional, la segunda se
puede hacer por factorizacion y la tercera puede ser vista como una ecuacion con radicales),
pero para cada una de ellas recomendamos usar la tecnicas de formas cuadraticas.
a) Resolvemos por los pasos de la recomendacion
1. En la ecuacion1
(x − 1)2− 2
x − 1− 3 = 0 se hace el cambio y =
1
x − 1, de aquı
y2 =1
(x − 1)2quedando y2 − 2y − 3 = 0 Efectivamente quedo una ecuacion cuadratica.
94 CAPITULO 4. ECUACIONES
2. Se resuelve la ecuacion cuadratica, en este caso lo hacemos por factorizacion.
(y − 3)(y + 1) = 0
y − 3 = 0 o y + 1 = 0
y = 3 o y = −1
3. Se sustituye y por1
x − 1. Quedan ecuaciones racionales en x que se resuelven
1
x − 1= 3 o
1
x − 1= −1
1 = 3(x − 1) o 1 = −1(x − 1)
1 = 3x − 3 o 1 = −x + 1
x =4
3o x = 0
Como conclusion la ecuacion dada tiene dos soluciones 4/3 y 0.
b)
1. En la ecuacion 2x6 − x3 − 1 = 0 se hace el cambio de variable y = x3, de aquı y2 = x6.
Resulta 2y2 − y − 1 = 0.
2. Esta ecuacion cuadratica la resolvemos por la formula de segundo grado.
y =1 ±
√1 + 8
4=
1 ± 3
4
y = 1 o y = −1
2
3. Ahora se sustituye por x3
x3 = 1 o x3 = −1
2Se extrae raız cubica a ambos miembros
x = 3√
1 = 1 o x = 3
√
−1
2
Como conclusion la ecuacion dada tiene dos soluciones: 1 y 3
√
−1
2. No hace falta comprobar.
4.7. RESOLUCION DE FORMAS CUADRATICAS 95
c)
1. En la ecuacion x+ 3√
x+ 2 = 0 Se hace el cambio de variable y =√
x, ası y2 = x. Resulta
y2 + 3y + 2 = 0
2. Esta ecuacion cuadratica se resuelve por factorizacion
y2 + 3y + 2 = 0
(y + 2)(y + 1) = 0
(y + 2) = 0 o (y + 1) = 0
y = −2 o y = −1
3. Se sustituye y por√
x√
x = −2 o√
x = −1 Ecuacion con radicales, se eleva ambos miembros al cuadrado
x = (−2)2 = 4 o x = (−1)2 = 1
Como en el proceso se elevo al cuadrado se tiene que comprobar si las soluciones satisfacen
la original.
El lector puede chequear que ninguna de las dos soluciones satisface la ecuacion original.
Ni siquiera satisfacen√
x = −2 ni√
x = −1.
Como conclusion la ecuacion dada no tiene soluciones.
Instintos: Esta ecuacion tambien la podemos clasificar como una ecuacion con radicales
y resolverlas siguiendo las indicaciones dadas.
Ejercicio de desarrollo resolver las siguientes ecuaciones
a)√
x − 3 − x + 3 = 0
b) (x + 1)2 − 2(x + 1) + (−3) = 0
Ejercicios:
1) Resolver las siguientes ecuaciones de formas cuadraticas
96 CAPITULO 4. ECUACIONES
1.1) 2x4 − 5x2 + 2 = 0; 1.2)1
(x + 1)2+
3
x + 1+ 2 = 0;
1.3)
(x
x + 2
)2
− 2x
x + 2− 3 = 0; 1.4) 2x2/3 − x1/3 − 1 = 0.
4.8. Ecuaciones Fraccionarias
Las ecuaciones fraccionarias son aquellas donde hay terminos fraccionarios y la incognita
esta en el denominador.
Por ejemplo la ecuacion2
x − 1+ 3 = x la llamaremos de esta manera porque la variable
esta en el denominador. La ecuacionx
2+ 3 = x2 no la consideramos una ecuacion fraccionaria
porque la variable no esta en el denominador.
Identificaremos dos tipos de ecuaciones fraccionarias.
1. Aquellas que tienes un solo termino igualado a cero. Estas las habıamos identificado con
la formaP
Q= 0. Por ejemplo
2x − 1
x − 1= 0.
2. Las que no tienen esta forma. Por ejemplo4
x2 − 4+
2
x − 2= 1
Los pasos recomendados para resolver este ultimo tipo de ecuacion son:
1. Factorice los denominadores y calcule m.c.m de los denonimadores.
2. Multiplique ambos lados por el m.c.m de los denominadores a fin de eliminarlos. (no se
olvide de distribuir antes de simplificar).
3. Identifique la ecuacion resultante y resuelva de acuerdo a la recomendacion del caso.
Este pendiente que se pueden agregar como soluciones extranas las raıces de los denomi-
nadores, (hay que eliminarlos como soluciones, pues no se puede dividir entre cero).
Recuerde que para resolver la ecuacion de la formaP
Q= 0, se usaba el argumento que una
fraccion es cero si el numerador es 0, ası se plantea la ecuacion P = 0 y las soluciones de esta
ultima son soluciones de la original siempre y cuando tenga sentido en la original.
4.8. ECUACIONES FRACCIONARIAS 97
Ası por ejemplo en2x − 1
x − 1= 0 debemos plantear 2x − 1 = 0 y verificar que la solucion de
esta ecuacion tiene sentido en la original. Observe que podemos llegar al mismo planteamiento
siguiendo las recomendaciones dadas anteriormente, sin embargo es mas rapido plantear de una
vez numerador igual a cero.
Ejemplo 1.- Resolver las siguientes ecuaciones racionales
a)2x
x2 − 3x + 2− 1
x − 1=
2
x − 2; b)
2
x2 − x− 1
x − 1; c) − 1
1 − x=
1
x+
3
x − x2;
d)2
x − 2=
4
x2 − 2x+
1
xSolucion: Todas estas ecuaciones son racionales con mas de un termino. Seguimos la recomen-
dacion de multiplicar ambos lados de la igualdad por el m.c.m de los denominados.
a) 1) Se factoriza los denominadores a fin de conseguir el m.c.m
2x
(x − 2)(x − 1)− 1
x − 1=
2
x − 2
2) Multiplicamos ambos miembros por m.c.m
(x − 2)(x − 1)
(2x
(x − 2)(x − 1)−
1
x − 1
)
=2
x − 2(x − 2)(x − 1) Se distribuye el m.c.m
(x − 2)(x − 1)2x
(x − 2)(x − 1)− (x − 2)(x − 1)
1
x − 1=
2
x − 2(x − 2)(x − 1) Se simplifica
2x − (x − 2) = 2(x − 1)
3) Resulto una ecuacion cuadratica
2 − x = x2 − 3x + 2
x2 − 2x = 0 resolvemos por factorizacion
x(x − 2) = 0
x = 0 o x − 2 = 0
x = 0 o x = 2
Las posibles soluciones que se pudiesen agregar son donde el m.c.m es cero: x(x − 1) = 0.
Estas son {0, 1}. El cero entonces es una solucion agregada al multiplicar la ecuacion original
98 CAPITULO 4. ECUACIONES
por el m.c.m. (no es solucion de la original porque no se puede dividir entre 0). Como 2 no
esta en el conjunto {0, 1} si es solucion.
Como conclusion la ecuacion dada tiene una solucion: 2
c) 1) Se factoriza primero los denominadores − 1
1 − x=
1
x+
3
x − x2
Ası el m.c.m de los denominadores es x(1 − x).
2) Multiplicamos ambos miembros por el m.c.m.
x(1 − x) · −1
1 − x=
(1
x+
3
x(1 − x)
)
x(1 − x) se distribuye el m.c.m
−x =1
xx(1 − x) +
3
x(1 − x)x(1 − x) Se simplifica
−x = (1 − x) + 3
3) Resulto una ecuacion inconsistente 0 = 4.
En conclusion la ecuacion dada no tiene una solucion.
d) 1) Se factoriza los denominadores, queda la ecuacion2
x − 2=
4
x(x − 2)+
1
x, el m.c.m.
de los denominadores es x(x − 2)
2) Multiplicamos ambos miembros por el m.c.m.
x(x − 2)2
x − 2=
(4
x(x − 2)+
1
x
)
x(x − 2) se distribuye el m.c.m
2x =4
x(x − 2)x(x − 2) +
1
xx(x − 2) se simplifica
2x = 4 + (x − 2)
3) Resulto una ecuacion lineal al despejar x obtenemos x = 2
Las posibles soluciones que se pudiesen agregar son donde el m.c.m es cero: x(x − 2) = 0.
estas son {0, 2},2 entonces es una solucion agregada al multiplicar la ecuacion original por el
m.c.m (no es solucion de la original porque no se puede dividir entre 0).
4.8. ECUACIONES FRACCIONARIAS 99
Como conclusion la ecuacion dada no tiene una solucion.
Ejemplo 2.- Resolver la ecuacion√
x + 1 − 2x√x + 1
= 0
Solucion:
1) El m.c.m de los denominadores es√
x + 1. Multiplicamos izquierda y derecha por el.
√x + 1
(√x + 1 − 2x√
x + 1
)
= 0 · 2√
x + 1
(√
x + 1)2 − 2x = 0
(x + 1) − 2x = 0
−x + 1 = 0
La solucion es x = 1, la cual es solucion de la ecuacion original.
Ejemplo 3.- Resolver las siguientes ecuaciones racionales a)4
x − 1= 0;
b)9x2 − 4
x − 1= 0
Solucion:
a) Esta ecuacion se resuelve con el planteamiento que una fracciona
bes 0 si el numerador a
es 0. En este caso se plantearıa que 4 = 0, lo cual es cierto por tanto la ecuacion no tiene
solucion. Usando la recomendacion general para resolver ecuaciones fraccionarias llegamos al
mismo resultado. Se multiplica ambos miembros por el m.c.m. de los denominadores.
4
x − 1= 0
(x − 1)4
x − 1= 0 · (x − 1)
4 = 0
Como conclusion la ecuacion dada no tiene una solucion.
100 CAPITULO 4. ECUACIONES
b) Como en la ecuacion9x2 − 4
x − 1= 0 se plantea cuando una fraccion es cero, ya sabemos que
esto ocurre si el numerador es cero. Ası que planteamos de una vez.
9x2 − 4 = 0
Esta es una ecuacion cuadratica la cual resolvemos despejando x2
x2 =4
9Ahora tomamos mas o menos la raız
x = ±√
4
9
x = ±2
3
Siempre hay que chequear que la solucion encontrada este bien definida en la ecuacion original,
esto es, que el denominador no se haga cero, lo cual efectivamente ocurre en este caso.
Ejercicio de desarrollo Resolver las siguientes ecuaciones
a) − 1
1 + x+
2
x= − 4
x + x2
b) −√
x − 1 − 3
x − 2= 0
Ejercicios
1) Resuelva las siguientes ecuaciones racionales
1.1)1
x + 1=
3
x − 2; 1.2)
x
x2 − 4− 1
x − 2=
x + 4
x2 − 4; 1.3) −1
x=
1
x+
3
x − x2;
1.4)x
x − 2+
2
x2 − 5x + 6=
2
x − 3; 1.5) 4 +
4
3x + 7= 0; 1.6)
2
x − 1+
3
x − 2= 4;
1.7)x2
(x − 1)2− 1
x − 1= 1; 1.8)
3x − 1
2x − 7=
6x
4x − 1; 1.9)
8x3 − 1
x − 7= 0;
1.10)8
x2 − 3= 0
La siguiente tabla muestra algunos tipos de ecuaciones que aparecen frecuentemente y las
recomendaciones para resolver.
4.8. ECUACIONES FRACCIONARIAS 101
Definicion y ejemplos Recomendaciones
Forma xk = d. (axk − b = 0)1.1) x2 = 4; Sol: x = ±
√4 = ±2
1.2) x3 = −81; Sol:3√
x3 = 3√−81
1.3) x6 = −2; Sol: x = 6√−2 6∈ R La ecuacion
no tiene solucion real.1.4) (y + 1)3 = 7. No es exactamente de estaforma, pero igual se puede resolver usando larecomendacion.
Tomar raız con ındice k a ambos lados, considerando que para k par esta lasolucion negativa tambien. Asıx =
k√
d si k es imparx = ± k
√d si k es par
Recuerde que la raız de ındice par de un numero negativo no es real, es unimaginario puro. Si este fuera el caso la ecuacion no tiene solucion real(√−2 6∈ R; 3
√−2 ∈ R)
Ecuaciones con radicales: la variableesta en el radicando
2.1) 3√
x − 3 − 2 = 0
2.2)√
x2 + 3 + 3 = x
2.3) x − 4√
x + 3 + 6 = 0
1) Deje el termino con el radical solo de un lado de la ecuacion,
2) Eleve ambos miembros a la potencia del ındice. Este pendiente si hayplanteado un producto notable.3) Simplifique e identifique la ecuacion resultante para resolverla de acuerdoa la recomendacion. Recuerde que al elevar a una potencia par puede estaragregando soluciones extranas, en este caso hay que verificar las solucionesen la original.
Forma cuadratica: Se puede llevar a la formaa(exp)2 + b(exp) + c = 0, donde exp es unaexpresion en la variable.
3.1)1
(x − 1)2− 2
x − 1− 3 = 0
3.2) 2x6 − x3 − 1 = 03.3) x + 3
√x + 2 = 0
1) Hacer el cambio de variable y = Expresion queda la ecuacion cuadraticaen y : ay2 + by + c = 0,2) Se resuelve la ecuacion cuadratica. Si dan soluciones yi = k siga con paso3 (Si la ecuacion ecuacion cuadratica no tiene solucion la original tampoco)3) Se sustituye Expresion por yi en yi = k y se resuelven las ecuacionesplanteadas. Las soluciones de estas ecuaciones son las soluciones de la ecuacionoriginal.
Tecnica de factorizacion: Aplicada cuandola ecuacion se puede llevar a la forma expre-
sion= 0, donde expresion se puede factorizar4.1) x(x − 3)(x + 1) = 0; Sol: = {0, 3,−1}4.2) x2 − 4x + 5 = 04.3) x3 − 2x2 + x = 04.4) x3 = 2x (si simplifica o divide entre
la variable pierde solucion)4.5) x(x + 1)1/2 − 3(x + 1)1/2 = 0
1) Se lleva a la forma expresion= 02) Se factoriza laexpresion = fact.1 · fact.2 . . . fact.k3) Se plantean tantas ecuaciones como factores, igualadas a 0 :fact.1 = 0 fact.2 = 0 . . . fact.k = 0(se uso el razonamiento que un producto es cerofact.1 · fact.2 . . . fact.k = 0si algunos de los factores es cero.)Las soluciones de la ecuacion original son las soluciones de todas las ecuacionesplanteadas de los factores que tengan sentido en la original.
Ecuaciones con racionales: la variableesta en el denominador
5.1)2x − 1
x2 − x= 0
5.2) − 1
1 − x=
1
x+
3
x − x2
5.3)2
x − 2=
4
x2 − 2x+
1
x
5.4)4
x − 1= 0.
Si en la formaP
Q= 0, plantee y resuelva P = 0. Verifique que las soluciones
de esta ultima tiene sentido en la original.Si no es de esta forma entonces:Factorice los denominadores, calcule el m.c.m. de los denominadores y multi-pliques ambos lados por este m.c.m. a fin de eliminar los denominadores (nose olvide de distribuir antes de simplificar), entonces identifique la ecuacionresultante y resuelva de acuerdo a la recomendacion del caso. Recuerde quese pueden agregar como soluciones extranas las raıces de los denominadores,(hay que eliminar las como soluciones, pues no se puede dividir entre cero).
102 CAPITULO 4. ECUACIONES
Ejercicios:
1) Resuelva las siguientes ecuaciones:
1.1)√
3x2 − 2 + 3x2 − 8 = 0; 1.2)1
x + 3− 2
x2 + 4x + 3=
−1
3;
1.3) (x2 − 1)(x4 − 3x2 − 4) = 0; 1.4) (x2/5 − 4x1/5 + 4)(x3 − 8) = 0;
1.5) (x6 − 4x3 − 5)(x2 − 9) = 0; 1.6)(3 − x)2
4= 4; 1.7)
√−2 − 6x − 6x = 8;
1.8)2
x − 2+
1
x2 − x − 2=
−x
x + 1; 1.9) (x − 2)4 = 2(x − 2)3;
1.10)
(2
x − 2
)
·(
x − 3
x2 − x − 2
)
= 0; 1.11) x4 − 4x3 + 2x2 + 4x − 3 = 0.
4.9. Aplicaciones
Ejemplo 1.- Se sabe que dos obreros hacen un trabajo de manera conjunta 4 horas. Si cada
uno trabajara solo el segundo obrero tarda 2 horas mas que el primero. ¿Cuanto tardarıa cada
obrero si tuviese que realizar el trabajo solo?
Solucion: Definimos la variable
x = tiempo que tarda el primer obrero todo el trabajo haciendolo solo. Entonces
x + 2 = tiempo que tarda el segundo obrero haciendo el trabajo solo.
Podemos pensar ahora el problema como la cantidad de trabajo que hace cada uno por hora.
El primer obrero realiza1
xfraccion del trabajo por hora
4
x + 2fraccion del trabajo por 4
horas.
Como cada uno trabajo 4 horas, el aporte del tiempo completo de esto dos trabajadores da
el trabajo completo esto es.
4
x+
4
x + 2= 1
4.9. APLICACIONES 103
Esta es una ecuacion racional. Se multiplica m.c.m. de los denominadores. Trasformandose en
la ecuacion
4(x + 2) + 4x = x2 + 2x
La cual es una ecuacion de segundo grado. La solucion positiva da x = 3+√
17. Ası que el primer
trabajador hace el trabajo solo en aproximadamente 6,12 horas y el segundo en 8,12 horas.
Ejemplo 2.- Se desea instalar un cable desde un punto A en la orilla de un rıo a otro punto B
del otro lado del rıo 100 metros mas abajo. El cable que va por debajo del rıo cae en un punto x
metros mas alla del punto A como muestra el dibujo ¿como sabe ser tendido el cable para usar
exactamente los 120 metros, si el ancho del rıo es 30m ?
Solucion:
A
A’ x B
30m.
100
Observe que
Metros de Cable submarino + metros de cable aereo = 120
Recuerde que
x = numero de metros A’ al punto donde cae el cable submarino. El cable aereo va del punto
x al punto B.
La cantidad de metros aereos de B al punto x es 100 − x
El cable submarino va del punto A al punto x. Podemos usar Pitagoras para calcular la
cantidad de metros de cable submarino, pues el segmento Ax es la hipotenusa del triangulo
rectangulo AA′x.
104 CAPITULO 4. ECUACIONES
Recordemos Pitagoras: h2 = c21 + c2
2. En nuestro caso c1 = 30 y c2 = x. Ası sustituyendo y
despejando en la ecuacion de Pitagoras obtenemos.
La cantidad de metros de cable submarinos es h =√
900 + x2.
Sustituyendo en la anterior tenemos:
√
900 + x2 + (100 − x) = 120
A
A’
x
30m.
Esta es una ecuacion con radicales, la cual resolvemos rapidamente, primero dejando solo el
radical.
√900 + x2 = 20 + x
(√
900 + x2)2 = (20 + x)2
900 + x2 = 400 + 40x + x2
500 = 40x
x = 12, 5m.
Se concluye entonces que el cable submarino debe ser tendido en el otro lado del rıo a 12,5
metros del punto A’.
Ejemplo 3.= Se estima que si en un terreno se siembran 100 matas de alcachofas la produccion
por mata sera de 80UM al ano y que por cada mata adicional que se siembre la produccion por
mata disminuira en 1.5UM. ¿cuantas matas deberan plantarse a fin de tener unos ingresos de
6000UM anuales.?
4.9. APLICACIONES 105
Solucion:
Una variable que ayuda a plantear una ecuacion conveniente esta dada por
x =numero de matas adicionales a sembrar
El ingreso en este caso lo podemos expresar como:
Ingreso=(N◦ de matas a sembrar)x(produccion por mata)
Podemos expresar cada uno de estos factores en terminos de la variable x.
N◦ de matas a sembrar = 100 + x
Produccion por mata = 80 − 1.5x
La igualdad a plantear en este caso.
Ingreso = 6000
Sustituyendo el ingreso en terminos de la variable x queda:
(100 + x)(80 − 1.5x) = 6000
8000 − 150x + 80x − 1.5x2 = 6000
1.5x2 + 70x − 2000 = 0
x =−70 ±
√702 − 4 · 15 · 2000
3
x =−70 ± 130
3
La unica solucion positivas es x = 20. recordemos que x es el numero de matas adicionales a
sembrar conclusion. Deberan sembrarse 120 matas a fin de tener unos ingresos de 6000UM.
PROBLEMAS GENERALES
106 CAPITULO 4. ECUACIONES
1. Se desea instalar un cable desde un punto A en la orilla de un rıo a otro punto B del otro
lado del rıo 200 metros mas abajo. El ancho del rıo es 30m. El cable que va por debajo del
rıo cae en un punto x metros alla del punto A como muestra el dibujo.
A
A’ x B
30m.
200
El precio del metro de cable submarino es de 3,6UM y el aereo 2UM ¿como debe ser tendido
el cable para gastar exactamente los 500 UM? (Res: debe caer a 4,64 metros debajo de A
o 40 metros).
2. Una malla de 100 metros lineales se desea cortar en dos trozos que se usaran parta cercar
dos terrenos cuadrados separados ¿como deber ser cortado el alambre para que un terreno
tenga el doble del area del otro? (Ayuda: Si el lado del cuadrado de area menor es x, el
de area mayor es√
2x)
Resp. El cuadrado pequeno necesita 1000(√
2 − 1)m.
3. Un terreno rectangular tiene area de 1000m2 y su diagonal 50m ¿cuales son las dimensiones
del terreno? Sug. La altura h, puede ser expresado en terminos de la base, b, h = 1000/b
(Resp. 10√
5 × 20√
5m).
4. Se tiene dos bases a una distancia la una a la otra de 50km, las cuales corren paralelas a
un rıo de 20km de ancho. Del otro lado del rıo se quiere establecer un centro de control de
tal manera que la distancia del centro de control a la base A sea el doble que del centro a
la base B.
4.9. APLICACIONES 107
A B
Base
20
¿Donde se debe situar el centro de control? (Resp. A 40km. De la base A).
5. Un aserradero quiere cortar vigas rectangulares de un tronco con 40cm de diametro de tal
manera que el area de la seccion transversal de la viga sea de 768cm2 ¿Cuales deben ser
las dimensiones de la viga? (Sug. La altura h, de la viga puede ser expresado en terminos
de la base, b, de la viga h = 768/b.) (Resp. 24 × 32cm2).
6. Repita el problema anterior cuando se necesita vigas de 800cm2.
(Resp. 20√
2 × 20√
2).
7. Repita el problema 5) cuando se necesita vigas de 900cm2. (Resp. No tiene solucion).
8. El area de la superficie de una caja de base cuadrada esta dada por A = 2x2 + 4x − h. Si
se quiere construir una caja con 24cm2 de superficie y una altura de 3cm, ¿Como debe ser
escogido las dimensiones de la base? (Resp.√
21 − 3cm).
9. Dos tuberıas llenan un tanque en 2 horas. Si solo estuviera trabajando la primera tuberıa
necesitarıa 3 horas mas que usando solo la segunda tuberıa. ¿Cuanto tiempo demorarıa
cada tuberıa en llenar ellas solas el tanque? (Resp, 3 y 6 horas).
10. En un tanque existen dos tuberıas. Si solo se usa la primera tuberıa llenarıa el tanque en
6 horas. La segunda necesitarıa 3 horas trabajando ella sola. ¿Cuanto tiempo demorarıa
las dos tuberıas en llenar conjuntamente el tanque? (Resp. 2 horas).
11. Se quiere disponer de un terrena rectangular de 500m2 dentro de un terreno triangular de
base 40 y altura 30 metros, como muestra el dibujo.
108 CAPITULO 4. ECUACIONES
300 metroscuadrados
40mt.
30m
t.
Encuentre las dimensiones del terreno. Sug. Use triangulos semejantes. (Resp. 20m la base
y 15m. la altura).
12. Un tanque de agua tiene forma cubica. El tanque se vacıa en una hora, a un promedio de
100lts/seg.
¿Cuales son las dimensiones del cubo? Resp. Cada lado mide 100 · 3√
360cm.
13. Se va a realizar parcelamientps de terrenos rectangulares de 1200m2 todos con iguales
dimensiones. Si se quiere que el ancho sea tres veces la profundidad, como deben ser
escogidas las dimensiones de de los terrenos?
(Resp. 20m. de ancho ×20/3m. de profundidad).
14. El volumen de un cilindro es: V = π · r2h. Despejar
Problemas de Ciencias Naturales
1. La temperatura t, en grados centıgrados, a la cual hierve el agua se relaciona con la altitud,
h, en metros sobre el nivel del mar, mediante la formula
h = 1000(100 − t) + 580(100 − t)2
¿A que temperatura hierve el agua a 5000 metros sobre el nivel del mar?
4.9. APLICACIONES 109
2. La sensacion termica por efecto del viento es aproximada en ocasiones por la siguiente
formula.
WC = 33 + (T − 33)(0.474 + 0.24√
v − 0.0126v)
Donde t es la temperatura en ◦C v es la velocidad del viento en Km/h.
Si WC = 0◦ y la temperatura del aira es 8◦C, ¿Cual la velocidad del viento?
3. El agua cubre el 70.8%, se la superficie del planeta. Si la superficie de la Tierra es 5 · 16×108Km2. Calcule aproximadamente la superficie de la Tierra, 3.61 × 108Km2.
4. La densidad de la atmosfera de la Tierra es aproximadamente
D = 1225 − (1, 12 × 10−4)h + (3, 24 × l0−9)h2 en Kg/m3.
¿Cual es la altura de la atmosfera aproximadamente si la densidad del aire es 0,75kg/m3?
5. La temperatura T, en ◦C, a la cual hierve el agua se relaciona con la altitud, h, en metros
sobre el nivel del mar, mediante la formula
h = 1000(100 − T ) + 580(100 − T )2
a) ¿A que altura hierve el agua a una temperatura de 98◦C?
b) ¿A que temperatura hierve el agua en el pico Bolıvar?
6. “El punto de rocıo o temperatura de rocıo es la temperatura a la que empieza a
condensar el vapor de agua contenido en el aire, produciendo rocıo, neblina o, en caso de
que la temperatura sea lo suficientemente baja, escarcha.
Para una masa dada de aire, que contiene una cantidad dada de vapor de agua (humedad
absoluta), se dice que la humedad relativa es la proporcion de vapor contenida en relacion
110 CAPITULO 4. ECUACIONES
a la necesaria para llegar al punto de saturacion, expresada en porcentaje. Cuando el aire
se satura (humedad relativa igual al 100%) se llega al punto de rocıo.
Para el calculo se puede utilizar esta formula:
Hr = 100
(112 − 0, 1T + Pr
112 + 0, 9T
)8
Pr = Punto de rocıo.
T = Temperatura en grados ◦Ceisius
Hr = Humedad relativa. “De Wikipedia
Dada la ecuacion de arriba, despejar Pr.
7. La velocidad a la que viaja el agua en un rıo se la puede determinar colocando un codo en
la corriente y determinando la altura que alcanza. La ecuacion que relaciona la altura h
(en cm) que alcanza con un codo de 10cm de alto y la velocidad (cm/seg) esta dada por
v2 = 1960(h + 10)
a) Si h = 6. Determine la velocidad de la corriente.
b) Despeje h en funcion de v
8. En una cierta ciudad ha estado aumentando la contaminacion. La ecuacion
C = 680t3/2 + 12000 partes por millon, predice la contaminacion promedio en el tiempo
t medido en anos despues del ano 2000. ¿Cuando la contaminacion promedio alcanzara el
nivel de 16.000 partes por millon?
Problemas en Ciencias Sociales
1. La poblacion de cierto paıs se estima por la formula: Ct = 10− 6
t − 1millones de habitantes
dentro t anos. ¿Cuando la poblacion tendra 18 millones de habitantes?. ¿En que ano. se
espera que la poblacion aumente 500.000 habitantes? (b dentro de 2 anos).
4.9. APLICACIONES 111
2. El modelo de crecimiento de una determinada poblacion P se ha estimado por medio de
P = 18 +√
2t + 1 miles de habitantes a partir del presente ano, ¿Cuando la poblacion
tendra 21.000 habitantes? (Resp. dentro de 4 anos).
3. Un modelos de crecimiento poblacional asta dado por.
Pn = P0(1 + r)n
Donde Pn es el tamano de la poblacion dentro de n, P0 la poblacion y r la tasa de
crecimiento anual. Despeje n.
4. El modelo de crecimiento de una determinada poblacion P se ha estimado por medio de
P = 18+√
2t + 1 miles de habitantes. ¿Cuando la poblacion tendra 21.000 habitantes? (4
anos)
mas aplicaciones
1) Se estima que si en una hectarea se siembra 60 naranjos la produccion por arbol sera de
450 naranjas anuales y que por cada arbol adicional que se siembre la produccion por arbol
disminuira en 5 unidades. ¿Cuantos arboles debera plantearse por hectarea a fin de tener una
produccion de 28000 naranjas anuales? (70 o 80 naranjos).
Ejercicios Adicionales
Resuelva la ecuacion:
1.1) 2x +√
2x − 4 − 4 = 0; 1.2)3√
x2 − 3√
x − 6 = 0; 1.3) 3x−4 + 2x−2 − 1 = 0;
1.4) (y − 3)2 − (y − 3) = 0; 1.5) (3x3 + 24)(√
2x2 + 1 + 6)(2x2 − 32) = 0;
1.6)1
x2 − 2x− 2
x=
1
x − 2; 1.7)
1
(x + 2)2− 3
x + 2+ 2 = 0;
1.8) (z2 − 4)2 − 2(z2 − 4)3 = 0; 1.9) z4(z3 − 8) − 2z(z3 − 8)4 = 0;
112 CAPITULO 4. ECUACIONES
1.10)x − 3
x − 1− 2
x+
2
x2 − x= 0; 1.11) t4 + 2t3 − 7t2 − 20t − 12 = 0;
1.12)
√8x + 1 − 3
x − 7= 0; 1.13) (2x3 − 54)
(x − 1
x2 − 4
)
(√
x2 + 5 − 3) = 0;
1.14) (2x3 − 8x)(x3 + 3x2 − x − 3) = 0; 1.15) (8x3 − 2x)(x2 + 1)(4x3 + 1) = 0;
1.16)3
x + 1= 0; 1.17) (2x3 − 54)(x
√x + 2 − 4)
(2x2 + 50
x − 3
)
= 0.
5Desigualdades
5.1. Desigualdades Lineales
En esta seccion trataremos las desigualdades lineales en una variable. Ellas son las que se
pueden escribir en la forma ax + b > 0. (≥) donde a y b son constantes, (a 6= 0). Resolver una
desigualdad es conseguir todos los valores x que satisfacen esta relacion, el conjunto solucion
suele ser un intervalo.
Las desigualdades lineales surgen del planteamiento de determinados problemas, como por
ejemplo, en una industria ¿cuantas unidades debera producirse de un artıculo si se desea ten-
er utilidades semanales mayores a 10.000 UM?. Tambien son importantes en la resolucion de
determinados planteamientos matematicos.
Repasemos algunos conceptos y resultados que nos seran de utilidad para puntualizar la
resolucion de desigualdades lineales.
Sean a y b dos numeros reales.
Al situarlos en la recta real, si a esta a la izquier-da de b entonces decimos que a es menor que bo equivalentemente podemos decir tambien queb es mayor que a.
a b
b > a
a > b
El sımbolo ≤ significa menor o igual, en una expresion como a ≤ b significa que a < b o a = b.
El sımbolo ≥ tiene un significado equivalente.
113
114 CAPITULO 5. DESIGUALDADES
Podemos decir: −3 < −1, 1 < 3,− 1 < 0 y 1 > 0. La expresion a > 0 esequivalente a decir que a es positivo.
-3 -1 0 1 3
La expresion a < 0 es equivalente a decir que a es
Recordemos que uno de los objetivos de esta seccion es resolver desigualdades lineales con una
variable. Es decir encontrar aquellos valores de x que satisfacen la desigualdad. Hay desigualdades
lineales cuya solucion
1) x > a. La solucion es el intervalo (a,∞)
a
2) x < a. La solucion es el intervalo(−∞, a)
a
3) x ≥ a. La solucion es el intervalo [a,∞)
a
4) x ≤ a. La solucion es el intervalo(−∞, a]
a
Remarcarnos que el corchete ] significa que ese extremo esta en el conjunto solucion y el
parentesis ) no esta.
La expresion a < x < b quiere decir quea < x y x < b. Observe que son dos de-sigualdades que se tienen que cumplir si-multaneamente.
a
b
El conjunto de las x que satisfacen esta proposicion es el intervalo abierto (a, b).
Si tenemos una expresion como por ejemplo
−3 < x < 1,
5.1. DESIGUALDADES LINEALES 115
normalmente la leemos como: x esta entre −3 y 1.
Ejercicio de desarrollo.- Completar los espacios en blanco a fin que el texto tenga concor-
dancia.
La expresion a b quiere decir que
a x x b.
El conjunto de las x que satisfacen esta proposicion es el intervalo [a, b].
Observacion: Cuando escribimos un intervalo debemos asegurarnos que el numero mayor es el
extremo derecho del intervalo y el menor es el extremo izquierdo
Remarquemos lo siguiente:
Definicion 5.1 Una desigualdad lineal en la variable x es una proposicion que puede ser escrita
de la forma cx+b > 0, (o bien ≥) donde c y b son constantes con c 6= 0. Resolver una desigualdad
es conseguir todos los valores x que satisfacen esta relacion.
La manera para resolver desigualdades lineales es llevarla a otra equivalente de la forma x > a
o cualquiera de las otras tres formas cuya solucion es evidente: x < a, x ≥ a o x ≤ a. Para
llevarla a alguna de estas tres formas debemos tener en cuenta ciertas reglas que enunciamos a
continuacion
Regla 1.- Cuando un numero real c se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el
sentido de la desigualdad no se altera:
Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c
Ejemplo 1.-
a) 2 < 9, entonces 2 + 4 < 9 + 4.
b) La desigualdad 3x+1 > 2 es equivalente a 3x+1−1 > 2−1. Observe que esta expresion
es equivalente a su vez a 3x > 2 − 1. Normalmente esta regla la usamos como se indica:
116 CAPITULO 5. DESIGUALDADES
Aplicacion de la regla 1.- Si un numero esta sumando en un lado de la desigualdad pasa al otro
lado restando sin cambiar el sentido de la desigualdad. Similarmente si un numero esta restando
pasa al otro lado sumando sin cambiar el sentido de la desigualdad.
Regla 2.- Cuando multiplicamos o dividimos por un numero real c positivo a ambos lados de
una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera:
Si a < b entonces ac < bc ya
c<
b
c
Cuando multiplicamos o dividimos por un numero real c negativo a ambos lados de una de-
sigualdad, el sentido de la desigualdad se cambia:
Si a > b entonces ac > bc ya
c>
b
c
Ejemplo 2.-
a) −5 < 4 por la regla 2 tenemos que efectivamente−5
−5>
4
−5, esto es 1 > −4
5. Tambien
−5(−2) > 4(−2) : es decir 10 > −8, lo cual sabemos es cierto y no la desigualdad en el
otro sentido.
b) La desigualdad −3x < 1 es equivalente3x
−3>
1
−3, es decir x > defrac13
c) La desigualdadx
2> 4 es equivalente a 2
x
2> 2 · 4, es decir x > 8.
Aplicacion de la regla 2.- Si un numero positivo esta multiplicando (dividiendo) un lado de la
desigualdad pasa al otro lado dividiendo (multiplicando) sin cambiar el sentido de la desigualdad.
Si un numero NEGATIVO esta MULTIPLICANDO (dividiendo) un lado de la deisgualdad pasa
al otro lado dividiendo (multiplicando) y el sentido de la desigualdad SE INVIERTE.
Observe como utilizando la regla 2 logramos transformar en el ejemplo 2b y 2c desigualdades
lineales en otras equivalentes cuya soluciones eran evidentes. Veamos ejemplos mas complicados
para resolver desigualdades lineales. Nuestra tecnica se traduce en dejar sola la variable x.
Ejemplo 3.- Resolver 3(x − 1) ≤ 9
5.1. DESIGUALDADES LINEALES 117
Solucion:
Afirmativa 1: Una estrategia a emplear es resolver primero los parentisis distribuyendo el 3.
3x − 3 ≤ 9.
Luego dejamos los terminos en x en un lado y las constantes en el otro lado. El 3 esta restando
pasa sumando sin alterar el sentido de la desigualdad
3x ≤ 9 + 3
Ahora 3 esta multiplicando, pasa dividiendo sin alterar el sentido de la desigualdad
x ≤ 12
3
x ≤ 4.
Expresamos la solucion en terminos de intervalos y geometricamente: Conjunto solucion (−∞, 4]
4
Alternativa 2: Esta pretende iustrar que los procedimientos analıticos sugeridos en el despeje
no son la unica alternativa para despejar la variable.
Como 3 esta multiplicando todo el miembro izquierdo entonces pasa dividiendo sin alterar
el sentido de la desigualdad
x − 1 ≤ 3
1 esta restando entonces pasa sumando sin alterar el sentido de la desigualdad
x ≤ 3 + 1
x ≤ 4.
118 CAPITULO 5. DESIGUALDADES
Esta claro que el conjunto solucion concuerda con el calculado con el anteriormente, este el todos
los numeros menores o iguales a 4.
Ejemplo 4.- Resolver −3x − 1 > 4. Dar la solucion por intervalos y geometricamente.
Solucion: 1 esta restando pasa sumando:
−3x > 5
−3 esta multiplicando, pasa dividiendo y por ser un numero negativo, invierte el sentido de la
desigualdad:
x < −5
3
Ası la solucion de esta desigualdad es el intervalo
(
−∞,−5
3
)
, representada geometricamente
por:
−5
3
Ejemplo 5.- Resolver 4 − 3(x − 2) ≥ 2(x + 3).
Solucion: Resolvemos primero los parentesis y luego agrupamos los terminos en x de un lado y
luego las constantes del otro lado:
4 − 3x + 6 ≤ 2x + 6
−3x + 10 ≤ 2x + 6
10 − 6 ≤ 2x + 3x
4 ≤ 5x
4
5≤ x.
5.2. DESIGUALDADES TRIVIALES 119
Esta expresion la podemos leer alternativamente como x ≤ 4
5. La solucion es
(
−∞,4
5
]
.
Ejercicio de desarrollo.- Resolver 4− 3
2(x−1) > 2. Dar la solucion por intervalos y geometri-
camente.
5.2. Desigualdades Triviales
Algunas desigualdades triviales tienen como solucion el conjunto ∅ o bien toda la recta real
R.
Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1.- Resolver la desiguadad1
2(1 − 2x) − 3 ≤ 2 − x
Solucion: Se recomienda en caso de desigualdades con fracciones. Mutiplicar por el m.c.m. de
los denominadores ambos lados de la desigualdad a fin de evitar trabajar con fracciones. En este
caso el m.c.m. de los denominadores es 2
2
[1
2(1 − 2x) − 3
]
≤ 2[2 − x] Se distribuye el 2 y luego se simplifica.
(1 − 2x) − 6 ≤ 4 − 2x
−5 ≤ 4
Esta desigualdad se cumple para cualquier valor de x. Por tanto el conjunto solucion es R.
Ejemplo 2.- Resolver la deisgualdad 5 − 2x ≤ 2(2 − x)
Solucion: Esta desigualdad es equivalente a
5 − 2x ≤ 4 − 2x
Esta ultima es equivalente a
5 ≤ 4
Como no existe ningun x que satisfaga esta desigualdad entonces el conjunto solucion es el vacıo
∅. Alternativamente se dice que la desigualdad no tiene solucion.
120 CAPITULO 5. DESIGUALDADES
Ejercicio de desarrollo.- Resolver
a)x − 3
4− 1 − x
3≥ 1
b)3x − 1
3+
1 − 2x
2≥ 0
c) 2
(x + 1
2− 1
)
≥ x
5.3. Aplicacion de desigualdades en el Calculo
Sera importante posteriormente que el estudiante determine para determinadas expresiones
algebraicas cuales son los valores de la variable que hacen que la expresion este bien definida y
sea un numero real.
Ejemplo 1.- Determine para cada expresion algebraica cuales son los valores de la variable
que hacen que la expresion este bien definida y sea un numero real.
a)√
3 − 2x; b)2
4√
3x + 6Solucion:
a) Para que la expresion√
3 − 2x sea un numero real el radicando debe ser mayor o igual a 0.
En notacion matematica esto es:
3 − 2x ≥ 0
Esto es una desigualdad lineal la cual resolvemos:
−2x ≥ −3
x ≤ −3
−2
x ≤ 3
2
En conclusion√
3 − 2x esta bien definida y es un numero real en
(
−∞,3
2
]
.
5.4. DESIGUALDADES DE LA FORMA A < CX + D < B. 121
b) Tenemos tambien una raız con ındice par. Ası que el radicando debe ser mayor o igual a cero
a fin que sea un numero real, pero no olvidemos que no podemos dividir entre 0, (la division
entre 0 no esta definida). 4√
3x + 6 = 0, si y solo si 3x + 6 = 0.
Ası pues, la expresion2
4√
3x + 6esta bien definida y es un numero real si y solo si para
aquellos valores x que satisfacen la desigualdad: 3x + 6 > 0, cuya solucion es (−2,∞).
En conclusion:2
4√
3x + 6esta bien definida y es un numero real en (−2,∞).
5.4. Desigualdades de la forma a < cx + d < b.
Ya hemos visto que este tipo de expresion es equivalente a:
a < cx + d y cx + d < b
Se pueden resolver ambas desigualdades y luego determinar la parte comun de ambos conjuntos
solucion. Pero en general, es preferible resolverla simultaneamente. Ambos procedimientos lo
ilustraremos en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1.- Resolver la desigualdad 7 ≤ 2(3 − x) ≤ 9
Solucion:
Alternativa 1: (Resolver por separado y luego determinar la parte comun de los conjuntos
solucion)
Esta doble desigualdad es equivalente a
7 ≤ 2(3 − x) y 2(3 − x) ≤ 9
Se resuelve cada una
El conjunto solucion es la interseccion de ambas soluciones. Graficamente es la parte comun
de los conjuntos solucion:
122 CAPITULO 5. DESIGUALDADES
−1
2
−3
2
−3
2−
1
2
−1
2≥ x
x ≤ −3
2
Conjunto solucion
de 7 ≤ 2(3 − x) ≤ 9
Alternativa 2: (Se trabaja simultaneamente las dos desigualdades)
Despejaremos la x de la expresion del medio, optamos por distribuir el 2.
7 ≤ 2(3 − x) ≤ 9 Resolvemos los parentesis
7 ≤ 6 − 2x ≤ 9 Se resta 6 a cada miembro de las desigualdades
7 − 6 ≤ 6 − 2x − 6 ≤ 9 − 6
1 ≤ −2x ≤ 3 Dividimos cada miembro entre −2
−1
2≥ x ≥ −3
2Recuerde que el sentido de las desigualdades se invierte
Podemos reescribir estas desigualdades de derecha a izquierda como −3
2≤ x ≤ −1
2.
Conviene recordar que esta desigualdad se lee: x esta entre −3
2y −1
2. Ası el conjunto solucion
intervalo cerrado
[
−3
2,−1
2
]
. La solucion geometrica es
−3
2−
1
2
Ejercicio de desarrollo.- Resolver 3 <2
3− 2x < 5
Aplicaciones
Ciencias Naturales
5.4. DESIGUALDADES DE LA FORMA A < CX + D < B. 123
Ejemplo 1.- Las especificaciones para realizar unas pruebas a una muestra de campo es que
debe ser mantenida entre los 34◦F y 60◦F ¿ Cual es el rango de temperatura en centıgrado que
la muestra debe ser mantenida? C =5
9(F − 32)
Solucion: Las especificaciones escritas en terminos de desigualdad son que
34 ≤ F ≤ 60
La idea es expresar la temperatura en Fahrenheit en funcion de la de centıgrados y sustituirla
en la expresion de arriba. Esta esta dada por
F =9
5C + 32
Ası que sustituyendo queda:
34 ≤ 9
5C + 32 ≤ 60
Esta es la desigualdad que resolveremos:
34 − 32 ≤ 9
5C + 32 − 32 ≤ 60 − 32
2 ≤ 9
5C ≤ 28
10 ≤ 9C ≤ 140
10
9≤ C ≤ 140
9
De interes General
Ejemplo 2.- Una companıa de telefonos ofrece dos planes para llamadas nacionales donde el
valor del minuto es de 50 UM. El primer plan vale 13.000 UM al mes mas el valor de los minutos
consumidos. El segundo plan vale 26000 UM al mes y le rebaja 25% al valor de los minutos
consumidos ¿ A que tipo de clientes le conviene el segundo plan?
124 CAPITULO 5. DESIGUALDADES
Solucion: Definimos nuestra variable de interes como:
x numero de minutos consumidos al mes.
Debemos expresar el valor de cada plan en terminos de x.
Es claro que:
El costo del plan 1 = 13.000 + 50x
El plan 2 tiene un 25% de descuento en el valor de los minutos. Esto es
50x − 0,25 · 50x = 0,75 · 50x = 37,5x. Ası, El costo del plan 2 = 26.000 + 37,5x
Una vez que se ha logrado expresar ambos planes en terminos de x planteamos nuestra
pregunta
Costo del plan 2 > Costo del plan I
Sustituimos ahora en la desigualdad planteada
Costo del plan 2 < Costo del plan I
26.000 + 37,5 < 13.000 + 50x
13.000 < 12,5x
1040 < x
damos ahora la respuesta a la pregunta:
Un cliente con un mayor consumo mayor a los 1040 minutos al mes le conviene mas el plan
2
Ejercicios
1) Resuelva las siguientes desigualdades:
1.1) 2x + 1 > 5; 1.2) 2x + 1 ≤ 2 − x; 1.3) −1
2x + 1 ≥ −3
2; 1.4) 4 − 3x > 4;
1.5)1
3(1 − 2x) < 4; 1.6) 2(3 − x) ≤ 5 − 4x; 1.7)
x − 3
3− 2 < 5x;
5.4. DESIGUALDADES DE LA FORMA A < CX + D < B. 125
1.8) −3(x − 1) > 4(1 − x); 1.9) 4x − 1
3< 5 − 2(3 − x); 1.10)
1
3− 2t <
5 + t
2;
1.11)3
2≥ x − 2 ≥ −3
2; 1.12) 4 ≥ 1 − 3x ≥ 2; 1.13) 2 <
1
3− 2x < 5;
1.14) 2 ≤ 3(3 − 2x) ≤ 5; 1.15) 5 >−3x − 1
2> 4; 1.16) 1 ≤ 1
3− 2x < 3;
1.17)1
4− t
3<
5 + t
2; 1.18) 5 − 2t ≥ 2 − 4t
2; 1.19)
6x − 1
3− 2 > 2x
2) Resuelva las siguientes desigualdades
2.1) 1 < 2 − x < 2x; 2.2) 1 ≤ x − 2 ≤ 3x − 4;
2.3) 3x − 1 ≥ x − 2 ≥ −5; 2.4) 2x ≤ 3x − 1 ≤ x + 3.
3) Determine para cada expresion algebraica cuales son los valores de la variable que hacen que
la expresion este bien definida y sea un numero real.
3.1)
√
1
2+ 3x; 3.2) 4
√
1 − 3x
2; 3.3)
2√1 − x
; 3.4) 3√
1 + 3x
Problema de Ciencias Naturales
1) Se encontro que la relacion entre la temperatura T (en grados centıgrados) y la profundidad
x (medidos en kilometros) esta dada por la siguiente relacion:
T = 30 + 25(x − 3)
¿A que profundidad la temperatura estara entre 100 y 200 grados centıgrados?
2) Se encontro que la relacion entre la temperatura T (en grados centıgrados) y la altura h
(medidos en metros) esta dada por la siguiente relacion:
9
5T = 40 − 0,0056h
126 CAPITULO 5. DESIGUALDADES
¿ A que altura la temperatura estara 0◦ y 10◦ grados centıgrados?
De Interes General
1) Suponga que una companıa le ofrece en ventas y que usted elija entre dos metodos para
determinar su salario. Un metodo paga 12.600 UM mas un bono de 2% sobre sus ventas anuales.
El otro metodo paga una sola comision del 8% sobre sus ventas. ¿Para que nivel de ventas anuales
es mejor seleccionar el primer metodo? (Resp. Para ventas menores de 210.000)
5.5. Desigualdades Cuadraticas
Una desigualdad en la variable cuadratica cuando la podemos escribir en la forma ax2 +bx+
c > 0(≥ 0), en donde a, b y c son constantes con a 6= 0.
Para resolver esta desigualdad, es decir encontrar las x′s que la satisfacen, escribimos el lado
izquierdo como el producto de dos expresiones lineales, esto es, factorizamos y examinamos el
signo de los factores en los intervalos definidos por las raıces de los factores.
Observe que resolver una desigualdad del tipo
(x − r1)(x − r2) > 0
lo podemos interpretar como encontrar los valores de x tales que el producto de los signos de
los factores es positivo.
Por otro lado (x − r1) cambia de signo solo en r1. Efectivamente x − r1 > 0 (lease (x − r1)
positivos) si y solo si x > r1. Ası que los unicos candidatos a cambio de signo en (x− r1)(x− r2)
son la raıces: r1, r2. Estos dos puntos definen tras intervalos en la recta real donde los factores
no cambian de signo.
r1 r2
Intervalo Intervalo Intervalo(−∞, r1) (r1, r2) (r2,+∞)
Es suficiente tomar un valor de prueba dentro de cada intervalo para averiguar el signo de
5.5. DESIGUALDADES CUADRATICAS 127
cada factor en intervalo. Luego se multiplican los signos de los factores para obtener el signo de
(x − r1)(x − r2). Finalmente se averigua donde el producto de signo dio positivo.
Ejemplo 1.- Resolver la siguiente desigualdad cuadratica x2 − 3x − 4 > 0.
Solucion: Al tener la desigualdad en su forma canonica podemos factorizar como:
(x − 4)(x + 1).
−1 4
()() ()() ()()
Colocamos las raıces de los factores enla recta real; en este caso −1 y 4. Estosnumeros particionan la recta real en tresintervalos: (−∞,−1), (−1, 4) y (4,∞). Encada uno de ellos el signo de cada fcatorsera el mismo. Colocaremos encima de ca-da intervalo dos pares de parentesis y elsigno del primer factor dentro del primerpar de parentesis y el signo del segundofactor dentro del segundo factor.
−1 4
(−)(−) (−)(+) (+)(+)
Entonces para determinar el signo de cadafactor en cada intervalo, usaremos valoresde prueba pertenecientes a cada intervalo.Para el intervalo (−∞,−1), usaremos co-mo valor de prueba x = −10.x+1 = −9, pero solo nos interesa el signo“-”, igualmente x− 4 = −6, solo colocare-mos el “-”.En el intervalo (−1, 4) podemos tomar co-mo valor de prueba al 0, en este caso x+1da “+”, y x − 4 da “-”.
−1 4
(−) (+)
(−)(−) (−)(+) (+)(+)
(+)
Debajo de cada intervalo colocaremos unpar de parentesis y dentro el signo resul-tante de la multiplicacion de signos de losfactores en el intervalo respectivo.La solucion a nuestra pregunta se basa enque intervalos el producto es estrictamentepositivo, ası concluimos que la solucion esel conjunto(−∞,−1) ∪ (4,∞).
Concretemos los pasos a seguir para resolver desigualdades cuadraticas.
128 CAPITULO 5. DESIGUALDADES
1.- Escribir la desigualdad en su forma canonica: ax2 + bx + c > 0; (< 0; ≤ 0 o ≥ 0).
2.- Factorizar el lado izquierdo. En caso que no se pueda la solucion es trivial: R o ∅.
3.- Colocar las raıces de los factores en la recta real
4.- Colocar dos pares de parentesis encima de cada intervalo establecido por las raıces.
5.- Tomar valores de prueba, evaluar los factores en los valores de prueba y colocar el signo
resultante en el parentesis respectivo del factor.
6.- Debajo de cada intervalo definido por los factores colocar un par de parentesis, realizar
la multiplicacion de signo de arriba y colocar el resultado en el parentesis de abajo.
7.- Responder la pregunta. Por ejemplo si la desigualdad es < 0, colocar los intervalos en
donde el signo dio negativo. Analogamente en los demas casos.
Ejemplo 2.- Resolver la desigualdad 1 ≥ 2x2 + x.
Solucion:
Paso 1: −2x2 − x + 1 ≥ 0.
Paso 2: (Factorizar): Vamos a factorizar usando el metodo de las raıces. Usted puede chequear
que las raıces de −2x2 − x + l = 0 son −1 y 1/2. Ası
−2x2 − x + 1 = −2(x − 1/2)(x + 1).
Vamos a escribir nuestro polinomio como el producto de dos factores. El −2 lo distribuimos
en (x − 1/2), para obtener finalmente:
−2x2 − x + 1 = (−2x + 1)(x + 1)
(Intente de factorizar por Ruffini).
Paso 3: Colocar las raıces de los factores en la recta real. Estas son −1 y 1/2
Paso 4: Colocar dos pares de parentesis encima de cada intervalo establecido por las raıces
Paso 5: Evaluar cada uno de los factores en los valores de prueba. En nuestro caso (l − 2x)
es el primer factor y (x + 1) segundo factor. Como valores de prueba se pueden tomar −2, 0 y
1 respectivamente.
5.6. DESIGUALDADES CUADRATICAS TRIVIALES 129
−1
signo (1 − 2x)× signo (x + 1)
1/2
signo (1 − 2x)(x + 1)
(+) (−)
(+)(−) (+)(+) (−)(+)
(−)
Paso 6: Colocar el signo resultante de cada multiplicacion
Paso 7: Como nuestra desigualdad, −2x2 − x + 1 ≥ 0, es equivalente a (1 − 2x)(x + 1) ≥ 0,
el conjunto solucion sera el intervalo donde el producto es positivo, este es [−1, 1/2]. Observe
que en este caso se incluye los extremos del intervalo por haber una igualdad en la desigualdad.
Conjunto Solucion = [−1, 1/2]
Comentario: Observe como efectivamente (1 − 2x) cambia de signo en su raız:1
2y (x + 1)
cambia de signo en su raız: −1.
Ejercicio de desarrollo.- Resolver la desigualdad x2 ≤ 4x.
Observacion importante: Puede ahorrarse trabajo si toma en cuenta que un factor cambia
de signo solo en su raız.
5.6. Desigualdades Cuadraticas Triviales
Algunas desigualdades resultan triviales. Un tipo de ellas es cuando la expresion cuadratica
no tiene raıces reales y por consiguiente no se puede factorizar.
Ejemplo 1- Resolver la desigualdad 0 ≥ x2 + 1
Solucion: Observe que el lado derecho no se puede factorizar. Es la desigualdad tiene una
solucion trivial: R o ∅. Hay una manera logica para determinar cual conjunto. Como x2 + 1 es
un numero estrictamente positivo, pues es la suma de dos numeros positivos. Ası nunca va a ser
menor que 0. Por tanto la solucion es el conjunto vacıo.
Comentario: 1) x + 1 > 0 tiene como solucion R.
2) Ya sabemos que si no se puede factorizar como producto de dos polinomios de segundo
grado, entonces la solucion es R o ∅. Una manera de determinar cual de las dos soluciones es
130 CAPITULO 5. DESIGUALDADES
consiste en tomar un valor de prueba: x0. Si x0 satisface la desigualdad entonces la solucion es
R, (no puede ser vacıo ∅). Si x0 no satisface la desigualdad entonces la solucion es ∅ (no puede
ser R).
Ejemplo 2.- Resolver las siguientes desigualdades
a)x2 + x + l ≤ 0; b) − x2 + 2x − 4 ≤ 0.
Solucion: a) No se puede factorizar. La solucion es trivial. Se toma como valor de prueba 0 y se
evalua en la desigualdad: 02 +0+1 ≤ 0. Como esta desigualdad se satisface entonces la solucion
es R.
b) No se puede factorizar. La solucion es trivial. Se toma como valor de prueba 0 y se evalua
en la desigualdad: −02+2−0−4 ≤ 0. Como esta desigualdad no se satisface entonces la solucion
es ∅.Otro tipo de desigualdad cuadraticas trivial tiene como solucion R − {x0} o {x0}. Son de-
sigualdades que pueden ser escritas en la forma.
a) (x − x0)2 > 0 o
b) (x − x0)2 ≤ 0
Es claro que la solucion de a) es R − {x0} y la de b) la solucion es {x0}.
Ejemplo 3.- Resolver la desigualdad 2x ≤ x2 + 1.
Solucion: Esta desigualdad puede ser escrita en forma canonica como
x2 − 2x + 1 ≤ 0.
Al factorizar tenemos
(x − 1)2 ≤ 0
La unica solucion es cuando se hace 0 el lado izquierdo y ello ocurre cuando x = 1. Remarcamos
que el lado izquierdo por estar elevado al cuadrado es mayor o igual a cero, nunca menor a cero.
Otros tipos de Desigualdades que conducen a Desigualdades Cuadraticas
Otras formas de desigualdades caen en el caso de las desigualdades cuadraticas.
5.6. DESIGUALDADES CUADRATICAS TRIVIALES 131
Ejemplo 1- Resolver la desigualdad3x2
x2 + 2≤ 2.
Solucion: Primero tenemos que hacer el lado derecho de la desigualdad 0, para ello pasamos el
2 restando y expresaremos el lado izquierdo en una sola fraccion:
3x2
x2 + 2− 2 ≤ 0
Se realiza la suma de fracciones:
3x2 − 2(x2 + 2)
x2 + 2≤ 0
x2 − 4
x2 + 2≤ 0
El denominador es siempre positivo, ası que el signo depende de x2 − 4. Es decir la desigualdad
es equivalente a x2−4 < 0, Esto es una desigualdad cuadratica a la que le aplicaremos los pasos
dados.
2.- Factorizar el lado izquierdo, como producto de dos factores.
(x − 2)(x + 2) ≤ 0
3.- Colocar las raıces de los factores en la recta real. En este caso −2 y 2
4.- Colocar dos pares de parentesis encima de cada intervalo establecido por las raıces.
5.- Tomar valores de prueba, evaluar los factores en los valores de prueba y colocar el signo
resultante en el parentesis respectivo del factor.
−2 2
signo de (x − 2)(x + 2)
(−) (+)
(−)(−) (−)(+) (+)(+)
(+)
6.- Debajo de cada intervalo definido por los factores colocar un par de parentesis, realizar
la multiplicacion de los signos de arriba y colocar el resultado en el parentesis de abajo.
132 CAPITULO 5. DESIGUALDADES
7.- Como la desigualdad original es equivalente a (x−2)(x+2) ≤ 0. Ası la solucion de nuestra
desigualdad es el intervalo [−2, 2].
Ejercicio de desarrollo.- Resolver las siguientes desigualdades
a)x2 ≤ −2x − 1
b)5x
x2 + 6≤ −1
Resolucion de Desiguladades Polinomicas y Racionales por el metodo de multipli-
cacion de signos.
Se puede extender el metodo vistos a desigualdades polinomicas de mayor potencia, incluso a
desigualdades racionales. Si una desigualdad polinomica puede ser escrita de manera factorizada
como:
A(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn) ≥ 0,
se procede de manera analoga como antes.
Se colocan las raıces en la recta real y se toman valores de pruebas a evaluar en cada uno
de los parentesis a fin de conocer el signo de los factores en cada uno de los intervalos definidos
por las raıces, juego se hace la multiplicacion de signos para conocer el signo de producto, para
finalmente conseguir el conjunto solucion en base al sentido de la desigualdad con respecto al
cero.
a( )( ) . . . ( ) a( )( ) . . . ( ) a( )( ) . . . ( )s1 s2 sx s1 s2 sx s1 s2 sx
x1 x2 xx( ) ( ) ( )
Nota: Debe considerar tambien el signo de a
Ejemplo 2.- Resolver la desigualdad x3 − 2x2 < 5x + 6.
5.6. DESIGUALDADES CUADRATICAS TRIVIALES 133
Solucion: Recuerde escribirlo en forma canonica, es decir el cero en el lado derecho, no importa
el sentido de la desigualdad
x3 − 2x2 − 5x − 6 < 0
Se factoriza:
(x − 1)(x − 3)(x + 2) < 0.
Se colocan las raıces en la recta real.
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )
−2 1 3( ) ( ) ( )( )
Signo de (x-1) Signo de (x-3) Signo de (x+2)
Se determina el signo de cada factor en cada intervalo a traves de un valor de prueba dentro
del intervalo. Recuerde que el primer parentesis se deja para el primer factor, el segundo para
el segundo y ası. Posibles valores de prueba para este ejercicio son −3, 0, 2 y 4 para el primer,
segundo, tercer y cuarto intervalo respectivamente. El lector puede chequear.
(−)(−)(−) (−)(−)(+) (+)(+)(+)(+)(−)(+)
−2 1 3(−) (+) (+)(−)
Signo de los factores
Signo del producto
Ası como la desigualdad original es equivalente a (x− 1)(x− 3)(x + 2) < 0, el conjunto solucion
esta dado por la union de los intervalos donde este producto da negativo. Conjunto solucion:
134 CAPITULO 5. DESIGUALDADES
(−∞,−2) ∪ (1, 3).
Veamos un ejemplo de como resolver una desigualdad racional. De nuevo la idea es llevarla
a la formaP
Q> 0, donde p y q son polinomios que se expresan factorizados.
Ejemplo 3.- Resolver la desigualdad 1 ≥ 3
x2 − 1
Solucion: Antes que nada hay que darse cuenta que la expresion no esta definida en −1 y 1
pues la division entre cero no lo esta.
Primero pasamos todo de un solo lado a fin de conseguir el cero sin el lado derecho.
1 − 3
x2 − 1≥ 0
Se realiza la suma de fracciones:
x2 − 4
x2 − 1≥ 0
Se factoriza numerador y denominador
(x − 2)(x + 2)
(x − 1)(x + 1)≥ 0
Ahora colocamos lar raıces de los factores en la recta real y tomamos valores de prueba, el lector
debe darse cuenta como se ha indicado los parentesis en la misma forma que la expresion.
Signo de(x − 2)(x + 2)
(x − 1)(x + 1)
(−)(−)
(−)(−)
(−)(+)
(−)(−)
(+)(+)
(+)(+)
(−)(+)
(+)(+)
(−)(+)
(−)(+)
−2 −1 1 2(+) (−) (+)(−)(+)
Signo de los factores
Signo del producto
5.6. DESIGUALDADES CUADRATICAS TRIVIALES 135
Los cırculos de −1 y 1 son para recordarnos que la expresion no esta definida en estos valores.
Como nuestra desigualdad es equivalente a(x − 2)(x + 2)
(x − 1)(x + 1)≥ 0, buscamos los intervalos donde
este producto y cociente de signo es positivo: (−∞,−2]∪ (−1, 1). Observe como se ha suprimido
−1 y 1 en la respuesta.
Conjunto solucion: (−∞,−2] ∪ (−1, 1)
Ejercicio de desarrollo.- Resolver las siguientes desigualdades
a)x3 > (3x + 28)x
b)2x
2x + 1>
x − 1
2x + 1
Ejercicios:
1) Resolver las siguientes inecuaciones:
1.1) x2 + x − 2 > 0; 1.2) x2 + x < 0; 1.3) x2 − 7x + 12 > 0; 1.4) 16x2 ≥ 9x;
1.5) x2 ≤ 16; 1,6) x2 > −2x; 1.7) x(x − 2) > 3; 1.8) 4 − x2 ≥ 0;
1.9) (3 − 5x)(1 − 2x) ≤ 0; 1.10) 2x2 + x − 2 > x2 + 2x; 1.11) x2 − 1 < x − 3;
1.12) x < 2(x + 2)2; 1.13) 16 − 15x ≥ x2; 1.14) 2x2 + 3x − 5 ≤ 0
1.15) x(x + 1) > −1; 1.16)3t + 3
(t + 1)2≤ 1; 1.17) (2 − x)(x − 1) ≤ 1 − x;
1.18) 4x ≤ 2(x + 2)(x − 1); 1.19) 2x2 + 2x − (x2 + x + 6) > 0;
1.20) x2 + x − 2(x2 + 3x) > 0; 1.21) x(x − 4) + 4 ≤ 0;
1.22) (3x − 2)(3x + 2) − (3x + 2)2 ≤ 0
2) Resolver las siguientes inecuaciones:
2.1) x3 + 2x − x − 2 ≥ 0; 2.2) t3 + 3t2 + 2t < 2(t2 + 3t + 2);
2.3) −x3 + 3x − 2 > 0; 2.4)4
3x + 1> 1 − 3x; 2.5)
x
x + 1<
−x
x + 2;
136 CAPITULO 5. DESIGUALDADES
2.6)2t
t2 − 4t + 3≤ t + 1
1 − t; 2.7)
2x + 5
2x2 + x≥ 1
x− 2.
Problemas
1) Se estima que si en una hectarea se siembran 60 naranjos la produccion por arbol sera de
450 naranjas anuales y que por cada arbol adicional que se siembra la produccion por abro
disminuira en 5 unidades ¿Cuantos arboles debera plantarse por hectarea a fin de tener una
produccion de al menos 28000 naranjas anuales? (Entre 70 y 80 naranjos)
2) El porcentaje de sobrevivencia de un cierto tipo de larvas a una temperatura constante T
(grados Celsius) al cabo de una semana es modelado por la formula
P (T ) = −1,42T 2 + 68T − 746 para 20 ≤ T ≤ 30
¿Cuales son los niveles de temperatura en que se consigue mas de un 60% de sobrevivencia?
3) El tamano T de una cosecha depende del nivel de nitrogeno N de acuerdo al siguiente modelo
T (N) =2N
4 + N2. ¿Cuales deben ser los niveles de nitrogeno a fin que la cosecha sea mayor que
0.4?
5.7. Valor Absoluto
Cualquier numero a tiene su representacion en la recta real. El valor absoluto de un numero
representa la distancia del punto a al origen. Observe en el dibujo que la distancia del 3 al origen
es 3 unidades, igualmente la distancia del punto −3 al origen es 3. En notacion, esto es |−3| = 3.
−3 30
3 unidades 3 unidades
Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas. En el valor absoluto
no importa en que lado de la recta real esta representado el numero. Analıticamente podemos
ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces |a| = a y si esta a la
5.8. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 137
izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces el valor absoluto le cambia el signo, esto
es |a| = −a. Tenemos entonces la siguiente definicion
Definicion 5.2 El valor absoluto de un numero real, x, se define como:
|x| =
x, si x ≥ 0
−x, si x < 0
Veamos los siguientes ejemplos
Ejemplo 1.-
a.-
∣∣∣∣
1
2
∣∣∣∣=
1
2
b.- Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad
negativa le cambia el signo.
c.- x > 2 entonces |x−2| = x−2, pues x−2 > 0 y ası usamos la primera parte de la definicion.
Visto de otra manera a la expresion que le estamos tomando valor absoluto es de signo
positivo y el valor absoluto lo deja igual.
d.- Si x < 2 entonces |x − 2| = −(x − 2), pues x − 2 < 0 y ası usamos la segunda formula de
la definicion. Visto de otra manera a la expresion que le estamos tomando valor absoluto
es de signo negativo y el valor absoluto le cambia el signo.
e.-|x|x
=
1, si x ≥ 0
−1, si x < 0
5.8. Ecuaciones con Valor Absoluto
Si x es una incognita en la expresion |x − 3|, entonces no sabemos si x − 3 es positivo o
negativo. Ahora bien, si tenemos la ecuacion:
|x − 3| = 5,
138 CAPITULO 5. DESIGUALDADES
deberıamos considerar las dos posibilidades de signo. Es decir hay dos alternativas:
x − 3 = 5 o x − 3 = −5
La primera es en el caso que x − 3 sea positivo, la segunda en la situacion que sea negativo.
Resolviendo las dos ecuacion, tenemos que
x = 8 o x = 2
Efectivamente estos valores de x satisfacen la ecuacion: |x − 3| = 5. Veamos mas ejemplos de
resolucion de ecuaciones en valor absoluto.
Ejemplo 1.- Resolver |x − 4| = 3
Solucion: Hay dos posibilidades
x − 4 = 3 o x − 4 = −3.
Las soluciones de ellas son 7 y 1.
El lector puede comprobar que si sustituimos estos valores en la ecuacion ellos satisfacen la
igualdad.
Ejemplo 2.- Resolver 3|5 − 4x| = 9
Solucion: Sabemos resolver una ecuacion con valor absoluto cuando el valor absoluto esta solo
en el lado izquierda, ası que lo llevamos a esta forma, dividiendo entre 3. De esta manera la
ecuacion dada es equivalente a:
|5 − 4x| = 3
Ahora esta ecuacion en valor absoluto es equivalente a
5 − 4x = 3 o 5 − 4x = −3
La solucion de ellas son1
2y 2.
5.9. DESIGUALDADES CON VALORES ABSOLUTOS 139
Podemos representar el conjunto solucion de nuestra ecuacion 3|5 − 4x| = 9 a traves de la
notacion de conjunto como:
{1
2, 2
}
.
Recuerde que un valor absoluto siempre es mayor o igual a cero, nunca negativo.
Ejemplo 3.- Resolver |x − 5| = −2
Solucion: Esta igualdad es imposible de cumplirse. Por tanto la solucion es vacıa.
Ejercicio de desarrollo.- Resolver las siguientes ecuaciones en valor absoluto
a) 3|x − 4| + 1 = 7
b) 3|2x + 1| + 8 = 1
otra interpretacion geometrica ysando valor absoluto.
Recordemos que |x| representa la distancia del punto x al origen.
a b 0
b − a
b − a
0 a b
b − a
a 0 b
−a b
En la figura se puede observar que encualquier situacion tenemos que|a − b| = |b − a|representa la distancia entre a y b.
Ejemplo 4- Conseguir todos los puntos cuya distancia a 3 es igual a 4.
Solucion: Sea x los puntos cuya distancia 3 es igual a 4. Entonces |x − 3| = 4. El lector puede
chequear que las soluciones de esta ecuacion son −1 y 7.
5.9. Desigualdades con Valores Absolutos
Esta interpretacion geometrica del valor absoluto nos puede ayudar a conseguir un metodo
para resolver ecuaciones en valor absoluto.
140 CAPITULO 5. DESIGUALDADES
−2 0 2
|x| < 2
−2 < x < 2
La expresion |x| < 2 la podemos interpretar co-mo los x cuya distancia al origen es menor que2, estos x son todos los numeros que estan entre−2 y 2. Ası la desigualdad|x| < 2 es equivalente a −2 < x < 2
−2 0 2
|x| > 2
x < −2 o x > 2
La expresion |x| > 2 la podemos interpretar co-mo los x cuya distancia al origen es mayor que2, estos x son todos los numeros mayores que 2y los menores que −2. Ası la desigualdad|x| > 2 es equivalente a x < −2 o x > 2
Generalizando, si a < 0, tenemos dos tipos de situaciones
Forma 1) |x| > a si y solo si x < −a o x > a.
−a 0 a
|x| > a
x < −a o x > a
Este tipo de conjunto se suele presentar u-sando el sımbolo union, ∪, y se escribe co-mo (−∞, −a) ∪ (a,∞), que significa todos losnumeros que estan en (−∞, −a) o en (a, ∞)
Forma 2) |x| < a si y solo si −a < x < a
−a 0 a
|x| < a
Estas equivalencias entre desigualdades nos permitiran resolver desigualdades en valores
absolutos al convertirlas en desigualdades sin valor absoluto. Una estrategia a utilizar sera in-
terpretar que x representa una expresion mas complicada.
Ejemplo 1.- Convertir las siguientes desigualdades en otra proposicion equivalente sin valor
absoluto.
a) |2x − 1| > 1; b) |2 − 5x| ≤ 3; c) 4 − |1 − x| ≤ 1.
5.9. DESIGUALDADES CON VALORES ABSOLUTOS 141
Solucion:
a) Usamos la forma 1.
|2x − 1| > 1 es equivalente a 2x − 1 > 1 o 2x − 1 < −1. (Note que 2x − 1 hace las veces de
x).
b) Usamos la forma 2. Observe que un resultado similar a 2 se cumple en el caso de la desigualdad
con ≤
|2 − 5x| ≤ 3 es equivalente a − 3 ≤ 2 − 5x ≤ 3.
c) Para usar algunas de las dos formas anteriores, debemos primero dejar el valor absoluto
completamente despejado en el lado izquierdo de la desigualdad.
4 − |1 − x| ≤ 1 Como el 4 esta sumando, pasa restando al otro lado
−|1 − x| ≤ −3 Multiplicamos por (−1) ambos lados de la desigualdad,hay que recordar que la desigualdad cambia de sentido
|1 − x| ≥ 3. Esta es la forma 2
Finalmente:
|1 − x| ≥ 3 es equivalente a 1 − x ≥ 3 o 1 − x ≤ −3.
Ejercicio de desarrollo.- Convertir la siguiente desigualdad en otra expresion equivalente sin
valor absoluto. 2|x − 2| − 1 ≤ 2.
Recuerde: Despejar completamente el valor absoluto en el lado izquierdo luego expresar la
desigualdad planteada en otra equivalente usando forma 1 o forma 2 segun sea el caso. Estas
expresiones equivalente seran las que nos conduciran a la solucion.
NO PUEDE QUITAR ARBITRARIAMENTE EL VALOR ABSOLUTO EN UNA
DESIGUALDAD LLEVELA A LA FORMA 1 O FORMA 2 A FIN DE TENER
UNA PROPOSICION SIN VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 2.- Resolver a) |2x − 1| ≤ 3; b) 10 − 3|2x − 3| < 4
Solucion:
142 CAPITULO 5. DESIGUALDADES
a) |2x − 1| ≤ 3 es equivalente a −3 ≤ 2x − 1 ≤ 3, es decir tiene las mismas soluciones. Esta
ultima es
−3 + 1 ≤ 2x − 1 + 1 ≤ 3 + 1 Primero sumamos 1 a cada lado de la desigualdad
−2
2≤ x ≤ 4
2Dividimos entre 2 cada miembro de la desigualdad.
−1 ≤ x ≤ 2
la que resolvemos:
Ası la solucion son todos los numeros contenidos en el intervalo cerrado [−1, 2]
−1 0 2
b) Primero, se busca escribir esta desigualdad con el valor absoluto despejado del lado izquierdo,
la desigualdad 10 − 3|2x − 3| < 4 primero pasamos el 10 restando al otro lado
−3|2x − 3| < −6 Dividimos entre -3 ambos lados.
|2x − 3| > 2 Recuerde que la desigualdad cambia de sentido
Esta desigualdad es de la forma 2. Por tanto es equivalente a
2x − 3 > 2 o 2x − 3 < −2
Este tipo de desigualdades dobles no pueden ser resueltas de la manera sintetizada como en el
caso a). En el lado izquierdo resolvemos la primera y en el lado derecho resolvemos la segunda
desigualdad, manteniendo el conectivo “o”.
5.9. DESIGUALDADES CON VALORES ABSOLUTOS 143
2x − 3 > 2 o 2x − 3 < −2 Sumamos 3 a cada lado de la desigualdad
2x > 5 o 2x < 1 Se divide entre 2 ambos miembros
x >5
2o x <
1
2
Ası las soluciones de la desigualdad 10 − 3|2x − 3| < 4 es el conjunto
(
−∞,1
2
)
∪(
5
2,∞)
.
Representados por
1
2
5
2
Ejercicio de desarrollo.- Resolver
a) |1 − x| ≥ 3; b) 7 − 3
2|2x − 1| < 4
El siguiente ejemplo muestra algunas desigualdades en valor absoluto cuya soluciones son
triviales: R o ∅ o un punto.
Ejemplo 3.- Resolver a) |x − 1| ≤ −3; b) 1 − |2x − 3| < 4; c) |x − 3| ≤ 0
Solucion:
a) En la primera desigualdad estamos comparando un valor absoluto, el cual es positivo, con
un numero negativo. Obviamente esta relacion no se cumple para ningun x. Ası la solucion
es el conjunto ∅.
b) En este caso primero despejamos el valor absoluto en el lado izquierdo, dando |2x−3| > −3.
Para cualquier valor de x tenemos que |2x − 3| ≥ 0, esto es por la propia definicion de
valor absoluto y por tanto mayor que −3. Ası la solucion de esta desigualdad son todos
los numero reales R.
144 CAPITULO 5. DESIGUALDADES
c) Como el valor absoluto siempre da una cantidad mayor o igual a 0, la unica forma que se
cumpla esta proposicion es cuando |x − 3| = 0 y esto ocurre solo cuando x− 3. Ası que la
unica solucion de esta desigualdad es el punto x = 3
Comentarios:
1) Observe que el ejemplo 3a no es de la forma 2, pues a tiene que ser positivo. Por la misma
razon, |2x − 3| > −3 no es de la forma 1.
2) Otro tipo de soluciones triviales es R menos un punto. Por ejemplo |x − 1| > 0, tiene
como solucion R − {1}.
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
A continuacion damos algunas propiedades utiles del valor absoluto.
1. |a · b| = |a| · |b|
2.∣∣∣a
b
∣∣∣ =
|a||b| con b 6= 0
3. |x| =√
x2
4. |a − b| = ||b − a
Ejemplo 4.-
a) La ecuacion|6 − 6x|
3= 1 es equivalente a las siguientes:
|3(2 − 2x)|3
= 1 Se factoriza
|3||2 − 2x|3
= 1 Propiedad de la multiplicacion
3|2 − 2x|3
= 1 Se simplifica
|2 − 2x| = 1 Propiedad 4
b) La desigualdad
∣∣∣∣
1 − 2x
3
∣∣∣∣≤ 4 es equivalente a las siguientes:
5.9. DESIGUALDADES CON VALORES ABSOLUTOS 145
|1 − 2x|3
≤ 4 Propiedad del cociente
|1 − 2x|3
≤ 4 Propiedad 4
|1 − 2x| ≤ 12
En ocasiones se utiliza el valor absoluto para expresar ciertas relaciones entre cantidades:
Ejemplo 5.- Escriba las siguientes proporciones en terminos de desigualdades y valores abso-
lutos
a.- x esta a mas de 3 unidades de −7 : |x − (−7)| > 3
b.- x esta al menos a 3 unidades de 5 : |x − 5| ≥ 3
c.- x dista de 7 en menos de 3 unidades: |x − 7| < 3
d.- El numero de horas que trabaja una maquina sin interrupciones, x, difiere, x, de 12 en
menos de 2 horas: |x − 12| < 2.
e.- El caudal en un instante dado se diferencia del caudal medio en mas de 3 unidades:
|ci − cm| > 3
Ejercicios
1) Resolver las siguientes ecuaciones:
1.1) |3 − x| = 4; 1.2) |5x − 3| = 2; 1.3) 1 − |2 − x| = −6;
1.4) 3 − 2|4x − 1| = 9; 1.5)3
2|3x − 1| = 6; 1.6) |3 − x| + |x| = 0;
1.7) |x| + |x − 1| = −3; 1.8)
∣∣∣∣
1 − x
2
∣∣∣∣= 1; 1.9)
∣∣∣∣x − 3
2
∣∣∣∣= 2;
1.10)|1 − x|
3= 9; 1.11)
∣∣∣∣
1 − 2x
x
∣∣∣∣= 4; 1.12) |1 − x| = |3x − 1|
2) Resolver las siguientes desigualdades. Represente las soluciones en notacion de intervalos
y geometricamente
146 CAPITULO 5. DESIGUALDADES
2.1) |2 − x| ≥ 2; 2.2) |x + 3| < 5; 2.3) 2 − |4 − x| ≤ −5;
2.4) 2|4x − 1| > 9; 2.5)3
2|2x − 3| < 5; 2.6)
|1 − x|2
≤ 2;
2.7) 3|x − 1| + 1 > −3; 2.8)
∣∣∣∣
1 − x
2
∣∣∣∣≤ −1; 2.9) 1 +
∣∣∣∣x − 3
2
∣∣∣∣≥ 2;
2.10)
∣∣∣∣
2 − x
3
∣∣∣∣− 1
2≥ 2; 2.11) |1 − x| + |3x − 1| ≤ 0; 2.12)
|1 − x|2
≤ 0.
3) Escriba las siguientes proposiciones en terminos de desigualdades y valores absolutos
3.1) x esta entre −3 y 3, ambos inclusive
3.2) La distancia entre x y −2 es cuanto mucho 3
3.3) El numero de kilos que dan un arbol de mangos se diferencia de su media 150 en menos
de 20 kilos
3.4) x es mayor que 4 o menor que −4
3.5) x no esta a mas de 4 unidades de 5.
3.6) La temperatura se alejan de 20◦C en no mas de 2◦C
6Sistemas de Coordenadas Cartesianas
Un par ordenado de numeros reales (x, y) lo podemos representar en el plano en un sistema
de coordenadas cartesianas o rectangulares o plano xy. Este sistema esta constituido por dos
rectas perpendiculares orientadas, llamadas ejes coordenadas y la interseccion de ellas se llama
origen. En la figura el eje horizontal es llamado eje; y el eje vertical es el eje y. Estos ejes dividen
al plano en cuatro partes llamadas primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante, denotados por
I, II, III, IV respectivamente.
I
x > 0, y > 0
II
x < 0, y > 0
III
x < 0, y < 0
IV
x > 0, y < 0
0 x
y P (x, y)
Y
X
Como ya hemos dicho un par ordenado de numeros reales (x, y) lo podemos representar
mediante un punto P en este plano. El numero x se llama abscisa o coordenada x del punto y
147
148 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
y se conoce como la ordenada o coordenada y del punto. Para granear se procede como sigue.
Se localiza el numero x en el eje (real) xy se traza una perpendicular al eje, igual se procede
con el numero y en el eje y. La interseccion de estas dos rectas es un punto en el plano y es
la representacion del par (x, v). Recıprocamente, podemos ver que cada punto P en el plano
representa a un par de numeros reales ordenados.
Ejemplo 1.- Represente en el plano cartesiano los puntos (−2, 1); (−4,−2); (0,−1); (2,−3)
y (5, 0).
(-2,1)
(-4,-2)
(5,0)
(2,-3)
(0,-1)
Y
X
6.1. Distancia entre dos Puntos
A continuacion vamos a mostrar como calcular la distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y
P2(x2, y2)
En la figura podemos ver como formamos un triangulo rectangulo, la longitud de la hipotenusa
es el valor a calcular. Observe que los catetos se pueden calcular al conocer las coordenadas de
los dos puntos.
6.2. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA 149
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
|y2 − y1|
|x2 − x1|
Y
X
Usando el Teorema de Pitagoras tenemos que
d(P1, P2) =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Ejemplo 1.- Representar graficamente los puntos P1(−2, 1) y P2(3,−4) y calcular la distancia
entre estos dos puntos.
Solucion: Por la formula de distancia entre dos puntos tenemos
d(P1, P2) =√
(3 − (−2))2 + (−4 − 1)2
=√
(5)2 + (−5)2
=√
25 + 25
= 5√
2
(-2,1)
(4,-3)
Y
X
6.2. Punto Medio de un Segmento de Recta
En esta seccion se quiere mostrar la formula para las coordenadas PM(xM , yM ) del punto
medio del segmento que une los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2).
150 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
PM esta en la mitad entre P1 y P2. Del dibu-jo Podemos apreciar que xM , tambien esta enla mitad entre x1 y x2. Este resultado lo pode-mos deducir a traves de la semejanza entre lostriangulos P1AP2 y PMBP2.
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
PM
x2
x1 xM
A B
Y
X
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
PM
x2
x1 xM
x2 − x1
(x2 − x1)/2
Y
X
La distancia entre xM y x1 es(x2 − x1)
2. Ası xM
esta(x2 − x1)
2unidades mas alla de x.
Esto es xM = x1 +(x2 − x1)
2.
Realizando la suma y simplificando queda:
xM =x1 + x2
2
De manera analoga deducimos que
yM =y1 + y2
2
Es decir: las coordenadas del punto medio es el promedio de las coordenadas. En conclusion
(xM , yM) =
(x1 + x2
2,
y1 + y2
2
)
Ejemplo 1.- Calcular el punto medio del segmento de recta que une a P1(2, 1) y P2(−2,−3).
Compruebe que d(P1, PM ) =d(P1, P2)
2
Solucion:
6.2. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA 151
(xM , yM ) =
(2 + (−2)
2,1 + (−3)
2
)
= (0,−1)
d(P1, P2) =√
(−2 − 2)2 + (−3 − 1)2 = 4√
3
d(P1, PM ) =√
(0 − 2)2 + (1 − (−1))2 =√
8 = 2√
2
(2,1)
(-2,-3)
(0,-1)
Y
X
Efectivamente
d(P1, PM ) =d(P1, P2)
2pues 2
√2 =
4√
2
2.
Ejercicio de desarrollo.- Calcular el punto medio del segmento de recta que une a los puntos
P1(3, 1) y P2(0,−4). Compruebe que d(P1, PM ) = d(P2, PM ).
Ejercicios
1) Represente en el plano cartesiano los puntos (−2, 1); (−4,−2); (0, 2); (2,−3) y (5, 0).
2) Representar graficamente los puntos: P1(−2, 1) y P2(3,−4) y calcular la distancia entre
estos dos puntos.
3) Representar graficamente los puntos P1(2,−1) y P2(0, 4) y calcular la distancia entre estos
dos puntos.
4) Calcular el punto medio del segmento de recta que une P1(2, 1) y P2(−6, 3). Compruebe
que d(P1, PM ) =d(P1, P2)
2
5) Calcular el punto medio del segmento de recta que une a los puntos P1(2, 1) y P2(6, 3).
Compruebe que d(P1, PM ) = d(P2, PM )
6) Determine todos los puntos en el eje y que estan a una distancia de 5 unidades del punto
(3, 4).
7) Determine todos los puntos de la forma (x, 2x) que estan a una distancia de 4 unidades
de (2, 4).
152 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
8) Si dos puntos son de la forma (3, y1) y (3, y2). Deduzca una formula para la distancia
entre estos puntos en que no aparezcan radicales. Generalice.
9) Localice la coordenada x de un punto P en el plano con coordenada y = −4 tal que este
punto P equidiste de los puntos (2, 1) y (5, 2).
10) Dados los puntos A(2,−1) y B(−2, 4). Determine el punto entre A y B que esta a un
cuarto de la distancia entre A y B.
11) Determine un punto situado en el eje x cuya distancia al punto (1, 2) es
6.3. Graficas de Ecuaciones
Frecuentemente tenemos una ecuacion algebraica que relaciona los valores de dos varia-
bles. Para describir mejor el comportamiento entre estas dos variables es util construir una
representacion geometrica de la ecuacion llamada grafica de la ecuacion.
Definicion 6.1 La grafica de una ecuacion en dos variables x y y son todos los puntos con
coordenadas (x, y) que satisfacen la ecuacion.
Hay muchas tecnicas para hacer la grafica de una ecuacion. Algunas mas sofisticadas que
otras. En esta seccion aprenderemos una tecnica bastante sencilla de entender, pero que pudiera
ser tediosa y en ocasiones nos puede conducir a graficos que se alejan de la grafica real. En
general todas las tecnicas de graficacion buscan un bosquejo de la grafica real, exhibiendo las
caracterısticas mas notorias de lo que queremos representar.
La tecnica de esta seccion se basa en conseguir suficientes puntos (x, y) que satisfagan la
ecuacion, representarlos en el plano y unir los puntos a traves de una curva suave. Refinare-
mos la tecnica resaltando caracterısticas importantes de la grafica como son las simetrıas y las
intersecciones con los ejes.
Para conseguir puntos que satisfacen la ecuacion en general despejamos una de las variables
en terminos de la otra, le damos valores a esta ultima y obtenemos los valores de la variable
despejada. Los puntos obtenidos se llevan a una tabla de valores.
6.3. GRAFICAS DE ECUACIONES 153
Ejemplo 1.- Bosquejar la grafica de la ecuacion y − x2 − 1 = 0
Solucion: Primero despejamos y en funcion de x :
y = x2 + 1
Luego damos valores a x y calculamos los valores de y. Los valores que demos a la variable x
tienen que ser un poco con sentido comun, proponiendo valores de x en zonas donde no intuimos
bien el comportamiento de la grafica.
x y
-2 5
-1 2
0 1
1 2
2 5
(-2,5)
(-1,2)
(0,1)
(1,2)
(2,5) (-2,5)
(-1,2)
(0,1)
(1,2)
(2,5)
Y
X
Y
X
SIMETRIAS
Observe que en el ejemplo anterior la grafica de la ecuacion y = x2 + 1 es simetrica con
respecto al eje y. Hay varios tipos de simetrıas, las mas importantes son con respecto a algunos
de los ejes y simetrıas con respecto al origen.
La simetrıa es una caracterıstica importante en una grafica, y esto hay que resaltarlo, pero
tambien no puede ahorrar trabajo, pues con la mitad de la grafica podemos obtener por simetrıa
el resto.
154 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Tipo de simetrıa Definicion Ejemplo grafico Prueba de simetrıaEjemplo
Con respecto al eje x Cada vez queesta (x, y) en la grafi-ca entonces (x,−y)tambien esta.
Si se reemplaza y por −y en la ecuacionse obtiene una ecuacion equivalente:
Ejemplo: y2−x+1 = 0 es simetrica conrespecto al eje x pues (−y)2−x+1 = 0es equivalente a la ecuacion original.
Con respecto al eje y Cada vez queesta (x, y) en la grafi-ca entonces (−x, y)tambien esta.
Si se reemplaza x por −x en la ecuacionse obtiene una ecuacion equivalente:
Al doblar la hoja entorno al eje y la partederecha coincide con laparte izquierda de lagraficas
Ejemplo: y−x2+1 = 0 es simetrica conrespecto al eje x pues y−(−x)2+1 = 0es equivalente a la ecuacion original.
Con respecto al origen Cada vez queesta (x, y) en la graficaentonces (−x,−y)tambien esta.
Si se reemplaza x por −x y y por −yen la ecuacion se obtiene una ecuacionequivalente.
Si se rota la grafica180◦ se obtiene la mis-ma grafica
Ejemplo: y3 − x + x3 = 0 es simetri-ca con respecto al origen pues al reem-plazar queda: −y3+x−x3 = 0 si amboslados lo multiplicamos por “-” queda laecuacion original.
Ejercicio de desarrollo.- Discuta las simetrıas de las siguientes graficas de ecuaciones:
a) yx − x2 − 2 = 0; b)x2√
x2 + y + 1 = 0
6.4. INTERSECCIONES CON LOS EJES 155
6.4. Intersecciones con los Ejes
Las intersecciones con los ejes es una caracterıstica que se toma en cuenta en muchas apli-
caciones.
Y
X
Corte con el eje yx = 0
Las intersecciones con el eje y son los pun-tos donde la grafica de la ecuacion cortael eje y. Para conseguir estos puntos colo-camos x = 0 en la ecuacion y resolvemosla ecuacion en y que resulte. Si el valorb es una solucion de la ecuacion plantea-da entonces el punto (0, b) es un punto deinterseccion con el eje y.
Analogamente, las interseccionescon el eje x son los puntos dondela grafica de la ecuacion corta el ejex. Para obtener estos puntos colo-camos y = 0 en la ecuacion y re-solvemos la ecuacion en x que re-sulte. Si el valor a es una solucionde la ecuacion planteada entonces elpunto (a, 0) es un punto de intersec-cion con el eje x.
Y
X
Corte con el eje x
Ejercicio de desarrollo.- Calcule las intersecciones con los ejes de las siguiente graficas de las
ecuaciones dadas
a) y =x2 − x − 2
1 + x2; b) yx +
√
x2 + 1 − 2 = 0
En el siguiente ejemplo consideramos todos estos elementos para granear
Ejemplo 1- Bosqueje la grafica de y2 + 4x2 − 1 = 0. Considere simetrıa e intersecciones con
los ejes.
156 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Solucion: Primero conseguiremos las intersecciones con el eje x. Hacemos y = 0 en la ecuacion
dada, obteniendo la ecuacion: 4x2 − 1 = 0, cuya solucion es x = ±1
2. Para las intersecciones con
el eje y hacemos x = 0 en la ecuacion dada, obteniendo la ecuacion: y2 − 1 = 0, cuya solucion
es y = ±1.
En resumen, los cortes con los
ejes son: (0, 1); (0,−1);
(1
2, 0
)
y(
−1
2, 0
)
.
Observe que esta informacion lapodemos ir llevando a la grafica.
(1
2, 0
)
(0,1)
(0,-1)
(
−1
2, 0
)
Y
X
La grafica es simetrica con respecto al eje x, pues al reemplazar y por −y en la ecuacion se
obtiene (−y)2 + 4x2 − 1 = 0 la cual es la misma ecuacion que la original.
Tambien es simetrica con respecto al eje y, ya que si se reemplaza x por −x en la ecuacion
se obtiene y2 + 4(−x)2 − 1 = 0 tambien equivalente a la original.
Con algun valor de y positivo sera suficiente para tener una idea de la grafica. Colocamos
y =1
2en la ecuacion y obtenemos x = ±
√3
4. Siempre en conveniente realizar una tabla de
valores:
6.4. INTERSECCIONES CON LOS EJES 157
x y
0 1
0 -1
1
20
−1
20
√3
4
1
2
−√
3
4
1
2
Y
X
Esta informacion la agregamos a nuestro grafico y hacemos un primer trazo en el primer
cuadrante
Haciendo uso de la simetrıa pode-mos bosquejar la grafica completa.La grafica resultante es una curvaconocida como elipse.
Y
X
Ejercicio de desarrollo.- Para la siguiente ecuacion discuta simetrıas, calcule las intersecciones
con los ejes y bosqueje la grafica de la ecuacion: y =1 − 2x2
1 + x2. No se olvide de hacer una tabla
de valores.
Ejercicios
1) Para las siguientes ecuaciones discuta simetrıas, calcule las intersecciones con los ejes y
bosqueje su grafica.
158 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
1.1) x23 − 2y + 4 = 0; 1.2) x2 + 2y2 − 4 = 0; 1.3) x + 4y2 − 8 = 0;
1.4) 2x2 + 2y2 − 16 = 0; 1.5) 4x2 + y2 − 16 = 0; 1.6) y =x
1 + x2;
1.7) y =5
1 + x2; 1.8) 4x2y2 − 16 = 0.
2) Trazar la grafica de las siguientes ecuaciones: a) x − 2y2 = 1; b) y =
√
x − 1
2;
c) y = −√
x − 1
2
6.5. La Circunferencia
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos que distan r unidades de un punto fijo
llamado centro de la circunferencia, r es llamado el radio de la circunferencia.
Podemos obtener la ecuacion de una cir-cunferencia con centro (h, k) y radio r atraves de la formula de distancia entre dospuntos, pues la distancia entre el centro ycualquier punto (x, y) de la circunferenciatiene que ser igual a r.
r =√
(x − h)2 + (y − k)2
C(h,k)
P(x,y)
0
Y
X
Esta ecuacion es equivalente a:
r2 = (x − h)2 + (y − k)2
Es claro que un punto satisface esta ecuacion si y solo si esta sobre la circunferencia porque son
los unicos puntos que satisfacen esta relacion de distancia con respecto al centro. Esta ecuacion
la llamaremos la forma centro-radio de una circunferencia.
Ejemplo l.- Encontrar una ecuacion de la circunferencia con centro (2,−1) y radio 3.
6.5. LA CIRCUNFERENCIA 159
Solucion: Usamos la forma centro-radio con C(2,−1)
(x − 2)2 + (y − (−1))2 = 32
Realizando el producto notable
x2 − 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 32
Simplificando
x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0
Esta forma es conocida como la forma general de la circunferencia.
La ecuacion de una circunferencia escrita comox2 + y2 + bx + cy + d = 0
es conocida como la forma general de la circunferencia.
Ejemplo 2.- Encontrar la ecuacion general de la circunferencia con centro (3,−1) y que pasa
por (0,−2).
Solucion: Primero se determina el radio, usando el hecho que la distancia entre el centro y
cualquier punto de la circunferencia es r.
√
(x − h)2 + (y − k)2 = r
√
(0 − 3)2 + (−2 − (−1))2 = r
r =√
10
ahora podemos usar la forma centro-radio con C(3,−l)
(x − 3)2 + (y − (−1))2 = (√
10)2
realizando el producto notable
x2 − 6x + 9 + y2 + 2y + 1 = 10
160 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
simplificando
x2 + y2 − 6x + 2y = 0
observe que la forma centro-radio se ha llevado a la forma general de la circunferencia.
Ejercicio de desarrollo: Encontrar una ecuacion de la circunferencia con centro (−1, 5) y que
pasa por (−2,−3).
En ocasiones es dada la ecuacion general y puede resultar conveniente llevarla a la forma
centro-radio. Por ejemplo una utilidad de esta forma es que nos permite identificar el centro y
el radio de la circunferencia. La manera de llevarlo a la forma centro-radio
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
es completando cuadrados. Observe que la suma x2 + ax son los dos primeros terminos del
desarrollo de (x − h)2, especıficamente ax = −2hx, de aquı vemos que h = −a
2, ası que el
termino que falta para completar cuadrados es (a/2)2, ya que
x2 + ax + (a/2)2 = (x + (a/2))2. El siguiente ejemplo ilustra detalladamente el procedimiento.
Ejemplo 3.- Encontrar el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 + 4x − 8y − 5 = 0.
Granear la circunferencia.
Solucion: Debemos llevarlo a la forma centro-radio a fin de identificarlos. Primero agrupamos
los terminos en r y los terminos en y. La constante la pasamos al otro miembro.
x2 + 4x + y2 − 8y = 5
Sumamos y restamos el mismo numero para no alterar la ecuacion con el fin de completar el
desarrollo de (x − h)2 y (y − k)2
x2 + 4x + − + y2 − 8y + − = 5
6.5. LA CIRCUNFERENCIA 161
Observe que el termino 4x corresponde a− 2hx. Ası h = −2. Para los terminos en x el termino
que falta para completar cuadrados es (−2)2 = 4
Para los terminos en y, −8y corresponde a − 2ky. De aquı que k = 4, el termino que falta
para completar cuadrados es (4)2 = 16. Ası
x2 + 4x + 4 − 4 + y2 − 8y + 16 − 16 = 5
(x2 + 4x + 4) − 4 + (y2 − 8y + 16) − 16 = 5
(x + 2)2 − 4 + (y − 4)2 − 16 = 5
(x + 2)2 + (y − 4)2 = 5 + 4 + 16
(x − (−2))2 + (y − 4)2 = 25
Al identificar con la forma centro-radio, tenemos que r2 = 25, de aquı que r = 5 y el centro
esta dado por C(−2, 4). Observe que para granear ubicamos primero el centro y luego trazamos
a partir de allı dos rayos, uno vertical y otro horizontal, ambos de longitud 5. Luego hacemos el
trazo de la circunferencia que pasa por los puntos finales de estos rayos.
4 4
-2 -2
3 3
0 0
Y Y
X X
Ejemplo 4.- Determinar si la ecuacion dada es la ecuacion de una circunferencia, en caso que
lo sea encontrar el centro y el radio de la circunferencia y graficar la circunferencia. x2 + y2 −8x − 6y + 40 = 0
162 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Solucion: Debemos llevarlo a la forma centro-radio a fin de identificarlos. Primero agrupamos
los terminos en x y los terminos en y. La constante la pasamos al otro miembro. x2−8x+y2−6y =
−40
Sumamos y restamos el mismo numero para no alterar la ecuacion con el fin de completar el
desarrollo de (x − h)2 = x2 − 2hx + h2 en x2 − 8x. Realizamos el mismo tipo de procedimiento
con (y − k)2 = y2 − 2ky + k2
x2 − 8x + − + y2 − 6y + − = −3
Identificando, vemos que −8x = −2hx, de donde h = 4. Para los terminos en x el termino que
falta para completar cuadrados es (4)2 = 16
Similarmente vemos que −6y = −2hy, de donde k = 3. Para los terminos en y el termino
que falta para completar cuadrados es (3)2 = 9. Ası
x2 − 8x + 16 − 16 + y2 − 6y + 9 − 9 = −40
(x2 − 8x + 16) − 16 + (y2 − 6y + 9) − 9 = −40
(x − 4)2 + (y − 3)2 = −40 + 16 + 9
(x − 4)2 + (y − 3)2 = −15.
Observe que el lado izquierdo es siempre positivo para cualesquiera valores de x y y, por ser
suma de cuadrados, ası que nunca puede ser igual al lado derecho. Podemos concluir que no
existe ningun punto (x, y) para el cual la ecuacion anterior se satisfaga. Ası que la ecuacion
x2 + y2 − 8x − 6y + 40 = 0 no define una circunferencia.
Ejercicio de desarrollo: Encontrar el centro y el radio de la circunferencia
x2 + y2 − 6x + 12y − 3 = 0. Graficar la circunferencia
Aplicaciones.
Curva de Transformacion de Productos
La mayorıa de los centros de produccion elaboran dos o mas bienes que compiten en ¡os
recursos, esto es. necesitan mano de obra, maquinarias, el mismo tipo de materias primas, etc.
6.5. LA CIRCUNFERENCIA 163
El aumento de la produccion de un tipo de bien puede conllevar a la disminucion de los otros.
La forma como se relacionan las cantidades de cada tipo a producir muchas veces se pueden
llevar a una ecuacion. Cuando solo existen dos bienes tenemos una ecuacion en dos variables
que se puede granear y la grafica de esta ecuacion es conocida como la curva de transformacion
de productos. Muchas veces se usa la circunferencia para modelar la relacion entre dos variables
de este tipo.
Ejemplo 1.- Un aserradero puede hacer dos cortes para un tronco especıfico: A y B. Las
cantidades posibles x y y que se puede obtener en metros cubicos para un determinado lote de
troncos estan dadas por la siguiente ecuacion.
x2 + y2 + 200x + 300y = 90000
donde x corresponde al tipo A y y al tipo B. a) Bosqueje la curva de transformacion de productos
en este caso, b) ¿Cuales son los maximos posibles de produccion de cada tipo al mes?
Solucion: a) La curva dada tiene la forma general de una circunferencia, para graficarıa la
llevamos a la forma centro-radio: (x− h)2 + (y − k)2 = r2 a fin de identificarlos. Entonces en x2
x2 + 200x + y2 + 300y = 90000
x2 +200x corresponde a los dos primeros terminos del desarrollo de (x−h)2. Podemos identificar
200x = −2hx. De aquı deducimos que h = 100, por consiguiente el termino que falta en el
desarrollo de (x−h)2 es h2 = 1002. Lo sumamos y restamos en la ecuacion. Igualmente podemos
ver que k = 150 y el termino que falta para completar cuadrados en y2 + 300y es 1502, lo
sumamos y restamos para no alterar la ecuacion.
x2 + 200x + 1002 − 1002 + y2 + 300y + 1502 − 1502 = 90000
(x2 + 200x + 1002) + (y2 + 300y + 1502) = 90000 + 1502 + 1002
(x − (−100))2 + (y − (−150))2 = 122500
164 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Ası el centro es el punto (100, 150) y el radio lo sacamos de la relacion r2 = 122500.
Despejando obtenemos r =√
122500 = 350.
400
-400
200
200-200
200
0
Y
X
Recordamos de nuevo la estrategia para granearuna circunferencia. Ubicamos primero el centroy luego a partir del centro un rayo vertical de350 unidades y otro rayo horizontal de 350. Sebosqueja la circunferencia que pasa por los pun-tos finales de estos rayos.En la grafica se hizo un trazo continuo de lacircunferencia solo para las x y y positivas, puesestan son las que tienen sentido, en el resto sehizo un trazo punteado.
b) La maxima produccion de cortes de tipo A ocurre cuando y = 0, para obtener el valor x de
produccion maxima podemos. sustituir y = 0 en cualquiera de las ecuaciones de la circunferencia,
por comodidad usarnos la forma centro-radio
(x − (−100))2 + (y − (−150))2 = 122500
(x + 100)2 + (0 − (−150))2 = 122500
(x + 100)2 = 122500 − 22500
x = −100 ±√
100000
Tomamos la solucion positiva x = 216.2
La maxima produccion de cortes de tipo B ocurre cuando x = 0, para obtener el valor x de
produccion maxima sustituimos x = 0 en la forma centro-radio
(x − (−100))2 + (y − (−150))2 = 122500
(0 + 100)2 + (y + 150)2 = 122500
y = −150 ±√
112500. Tomamos la solucion positiva. y ≈ 185, 4.
6.6. LA RECTA 165
En conclusion: la maxima produccion posible de cortes de tipo B es 185 y de tipo A es de
216
Ejercicios
1) Encuentre la ecuacion de la circunferencia que cumple las condiciones dadas.
1.1) Centro (2,-1) y radio 3.
1.2) Centro
(1
2, −3
)
y radio√
7
1.3).Centro (-3.0) y radio 2√
3
1.4) Centro (-2,-1) y pasa por el punto (-3,-2)
1.5) Centro (2,-3) y pasa por el punto (-2,1/2)
1.6) Los puntos extremos de un diametro son (4,1) y (3,0)
1.7) Centro en el origen y pasa por (3,4)
1.8) Centro (2,3) y es tangente al eje x.
1.9) Centro (-2,-3) y es tangente al eje y.
2) Determine si las siguientes ecuaciones representan una circunferencia, en caso positivo deter-
mine el centro, el radio y grafica la circunferencia.
3) En una zona se pueden sembrar dos tipos de arboles A y B. Las cantidades posibles x y
y que se pueden plantar de cada tipo estan relacionadas por la siguiente ecuacion.
Bosqueje la curva de transformacion en este caso. ¿Cuales son los maximos posibles de cada
especie?
6.6. La Recta
La lınea recta es quizas la curva mas-utilizada para describir relaciones entre dos variables:
Empezaremos el estudio sobre rectas definiendo una magnitud que cuantifique la inclinacion de
las distintas rectas. La inclinacion puede ser medida a traves de la pendiente que es el cociente
del cambio vertical entre el cambio horizontal, cuando pasamos de un punto a otro punto de la
recta.
166 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
m =cambio vertical
cambio horizontal
{
{ {
{
(2,5)
(4,9)
(2,2)
(4,3)
4=cambio vertical
2=cambio horizontal
1=cambio vertical
X
Y
X
Y
m =9 − 5
4 − 2= 2 m =
4 − 3
4 − 2=
1
2
Observe que la recta de la figura 1 tiene una inclinacion mayor que la recta de la figura La
diferencia de inclinacion puede ser explicada en terminos de la pendiente. El cambio vertical
en la figura 1 es de 4 unidades, cuando nos movemos de (2, 5) a (4, 9) y el de la figura 2 es de
1 unidad, cuando nos movemos de (2, 2) a (4, 3). En ambos casos el cambio horizontal es de 2
unidades. Por tanto la pendiente de la recta de la figura 1 es 2 y la pendiente de la recta de la
figura 2 es 1/2.
0
y2
(x1, y1)
(x2, y2)
x1
y2 − y1
x2 − x1
X
Y
En general si tenemos dos puntos sobre una rec-ta no vertical: (x1, y1) y (x2, y2). El cambio ver-tical esta dado por y2−y1 y el cambio horizontalpor x2 − x1.
6.6. LA RECTA 167
Definicion 6.2 Sea l una recta no paralela al eje y y sean (x1, y1) y (x2, y2) sobre la recta. La
pendiente m de la recta esta definida por:
m =y2 − y1
x2 − x1
Observacion 1: La definicion de la pendientees independiente de los puntos escogidos sobre larecta. En la figura observamos que los triangulos1 y 2 son Semejantes, por tanto las razones desus lados son iguales, particularmente
y2 − y1
x2 − x1=
y4 − y3
x4 − x3
0(x1, y1)
(x4, y4)
(x2, y2)
(x3, y3)
Triangulo 1
Triangulo 2
X
Y
0
(x1, y1)
(x2, y2)
X
Y
Observacion 2: Para las rectas verticales noesta definida la pendiente. Para cualesquiera dospuntos distintos (x1, y1) y (x2, y2) sobre la recta,tenemos que x1 = x2, por tanto el denominadorda cero en la formula de m.
Observacion 3: Cualquier recta horizontal tiene pendiente cero. Efectivamente dos puntos
distintos de una recta horizontal tienen igual coordenada y; estos puntos son de la forma (x1, y1)
y (x2, y1), con x1 6= x2, ası el numerador es 0 en la formula de la pendiente.
m =y2 − y1
x2 − x1= 0
168 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Ejemplo 1.- Graficar la recta que pasa por (2, 4) y (5,−2), y calcular su pendiente.
0
(2,4)
(5,-2)
X
Y
Solucion: Cualquiera de estos puntos puede sertomado como (x2, y2), digamos que es el primeroy el otro es (x1, y1) Ası:
m =y2 − y1
x2 − x1=
4 − (−2)
2 − 5
=6
−3= −2
Observe que en este caso la pendiente es negativa, esto ocurre cuando la recta baja de
izquierda a derecha. La magnitud 2 significa que cuando x aumenta una unidad, la y disminuye
2 unidades
m = 0
m = 1/5
m = 1/2
m = 1m = 2m
=5
m=
−5
m=
−2
m = 1
m = −1/2
m = −1/5
En la figura mostramos un haz de rectas condiferentes pendientes. Cuando la recta es menosinclinada casi horizontal, la pendiente esta cercade 0, cuando es mas inclinada, casi vertical sumagnitud es grande. Ya hicimos la observacionque cuando la recta baja de izquierda a derechala pendiente es negativa y cuando sube es posi-tiva.
Observacion 4: Si una recta no esparalela al eje y la pendiente es latangente del angulo de inclinacion.Ver figura
0
θ
m = tan(θ)
X
Y
6.6. LA RECTA 169
A continuacion deduciremos la ecuacion de la recta llamada forma punto-pendiente. Esto
es, dada la pendiente m y un punto (x0, y0) sobre la recta encontraremos una ecuacion tal que
cualquier punto (x, y) que este sobre la recta satisface la ecuacion y recıprocamente cualquier
punto que satisfaga la ecuacion esta sobre la recta.
Por la observacion 1, la definicion de la pendiente de una recta es independiente de los puntos
de la recta que tomemos, en particular podemos tomar el punto (x0, y0) y un punto cualquiera
de la recta (x, y) distinto al primero. Esta pendiente debe ser igual a
y − y0
x − x0= m
Esta ecuacion puede ser reescrita como
y − y0 = m(x − x0)
A esta ecuacion la llamaremos forma punto-pendiente. Luego veremos otras ecuaciones
equivalentes de una recta.
0(x0, y0)
(x, y)
X
Y
Observe que:1) El punto (x0, y0) satisface la ecuacion2) Cualquier otro punto (x, y) esta sobre la rectasi y solo si satisface la ecuacion, porque solo lospuntos sobre la recta son los que forman con(x0, y0) una pendiente m.
Ejemplo 2.-
a) Encontrar la recta que pasa por el punto (−2, 1) con pendiente igual a −3.
b) Encuentre el punto sobre esta recta cuya coordenada x es igual a 4.
Solucion: a) Usamos la ecuacion punto-pendiente: y−y0 = m(x−x0), con m = −3 y (x0, y0) =
(−2, 1). Sustituyendo:
170 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
y − 1 = −3(x − (−2))
y − 1 = −3x − 6
y = −3x − 5
b) Para conseguir este punto debemos evaluar la ecuacion de la recta y = −3x−5 en x = 4 :
y = −3(4) − 5,
y = −17
Ası la recta pasa por el punto (4,−17).
Ejemplo 3.-
a) Encontrar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (−1, 3) y (2, 4).
b) Verifique que el punto (5, 5) esta sobre la recta.
Solucion: a) Primero encontraremos la pendiente de la recta para luego usarla junto con
cualquiera de estos puntos en la forma punto pendiente de una ecuacion de la recta.
La pendiente esta dada por:
m =y2 − y1
x2 − x1=
4 − 3
2 − (−1)=
1
3
Usaremos el punto (2, 4) como el punto (x0, y0) en la forma punto-pendiente ası obtenemos:
y − 4 =1
3(x − 2)
Podemos reescribir esta ecuacion de varias maneras:
3(y − 4) = (x − 2)
3y − 12 = x − 2
3y − x − 10 = 0
Otra forma de escribirla es despejando la y
6.6. LA RECTA 171
y =x + 10
3
b) Para verificar que el punto (5, 5) esta sobre la recta es suficiente verificar que este punto
satisface la ecuacion. Usamos para ello la ultima ecuacion:
y =x + 10
3
5?=
5 + 10
3
Efectivamente como el punto satisface la igualdad anterior entonces esta sobre la recta.
Ejercicio de desarrollo.-
a) Encontrar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (0,−2) y (−1, 4).
b) Encuentre el punto de corte de esta recta con el eje x.
Ecuaciones de rectas horizontales y verticales: Para encontrar la ecuacion de una recta
horizontal que pasa por (a, b) usamos la forma punto-pendiente.
0
b (a, b)
X
YYa hemos dicho que en este caso la pendiente es0. Ası
y − b = 0(x − a)
y − b = 0
Ası y = b es la ecuacion de la recta horizontalque pasa por (a, b).Observamos que los puntos de la recta cuyaecuacion es y = b es el conjunto de los puntos(x, b), con x un numero real.
172 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
0
a
(a, b)
X
Y
Aprovechando las ideas, podemos decir que elconjunto de puntos de la recta vertical que pasapor (a, b) satisface la condicion x = a, la coor-denada y asume cualquier valor.Recıprocamente si una recta vertical satisfacex = a entonces en particular pasa por (a, b).Ası x = a es la ecuacion de la recta verticalque pasa por (a, b).
Ejemplo 4.-
a) Encontrar la ecuacion de la recta horizontal que pasa por el punto (−3, 5)
b) Encontrar la ecuacion de la recta vertical que pasa por el punto (−3, 5)
0
5
-3
y = 5
x=
−3
X
Y Es conveniente graficar las rectas para recordarcuales son las exigencias de las rectas horizon-tales y verticales. En el dibujo vemos que todaslas coordenadas y de los puntos sobre la rectahorizontal son iguales a 5. Esta es precisamentela ecuacion de dicha recta: y = 5. Por otro ladola ecuacion de la recta vertical es x = −3, efecti-vamente puede comprobar graficamente que to-dos los puntos de esta recta tienen abscisas xigual a − 3.
Ejercicio de desarrollo.-
a) Encontrarla ecuacion de la recta que pasa por los puntos (0,−2) y (1 − 2).
b) Encontrar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (3,−2) y corta el eje x en 3.
c) Encontrar la ecuacion de la recta con pendiente 0 y pasa por (−1, 4).
d) Encontrar la ecuacion de la recta que pasa por el puntos (1,−2) y corta el eje x en 3.
La forma punto-pendiente y − y0 = m(x − x0), puede ser escrita como:
y = mx − mx0 + y0,
6.6. LA RECTA 173
mas generalmente como:
y = mx + b Forma pendiente-ordenada en el origen
Observe que si x = 0 entonces y = b. Es decir el corte con el eje y es b, comunmente llamada
ordenada en el origen. La ecuacion de la recta escrita como
y = mx + b
es llamada la forma pendiente-ordenada en el origen. Es muy util para identificar la
pendiente, el corte de la recta con el eje y y de allı granear rapidamente.
Ejemplo 5.- Representar la ecuacion 2y − 4x + 5 = 0 en la forma pendiente ordenada en el
origen, conseguir la pendiente y el punto de corte con el eje y y graficar la recta.
Solucion: Debemos despejar y de la ecuacion
2y − 4x + 5 = 0
2y = 4x − 5
y =4
2x − 5
2
y = 2x − 5
2
Esta ecuacion es de la forma y = mx + b, en esta caso m = 2 y b = −5
2
0
−5
2
X
Y
Para graficar marcamos primero el punto(
0,−5
2
)
. Por allı pasa nuestra recta. Luego es-
timamos una pendiente de 2. Si los ejes estanigualmente escalados, esta inclinacion corre-sponde a un cambio de 2 unidades en y cuandola x cambia 1 unidad.
174 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Alternativamente, para graficar una recta podemos localizar dos puntos sobre la recta y unir
dichos puntos. Unos puntos muy convenientes son los cortes con los ejes. Pero a veces existe
uno solo y entonces hay que localizar otro punto que satisfaga la ecuacion. Veamos el siguiente
ejemplo
Ejemplo 6.- Granear las siguientes ecuaciones: a) 2y − 3x + 6 = 0; b) y = 3x
Solucion: a) La primera recta se graficara consiguiente los puntos de cortes con los ejes. Entonces
primero se plantea para conseguir los cortes con los ejes.
Interseccion con y: Colocamos x = 0 en la ecuacion resultando 2y + 6 = 0. De aquı que el
corte ocurre cuando y = −3
Interseccion con el eje x : Colocamos y = 0 en la ecuacion resultando −3x + 6 = 0. De
aquı que el corte es para x = 2. Llevamos eticos dos cortes al plano cartesiano y trazamos la
recta que pasa por ellos.
Y
X
Y
X2
2
-2
-2
0 0
-2
-2
2 4
b) Es facil chequear que el corte con x y con y coincide con el origen (0, 0). En este caso
podemos conseguir otro punto, por ejemplo si x = 1 entonces y = 3 · 1. Ası el punto (1, 3) es un
punto sobre la recta. De una vez llevamos estos puntos al plano xy y trazamos la recta que pasa
por ellos.
6.6. LA RECTA 175
Y
X2
2
-2 0
Ejercicio de desarrollo.- Graficar las siguientes ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas
a) 3y + 5x + 10 = 0; b) y = −3x + 1
Y
X
Recordemos que las formas punto-pendiente y pendiente-ordenada en el origen abarcan solo
el caso de rectas donde esta definida la pendiente, estas son las rectas no paralelas al eje y.
Una alternativa para escribir el conjunto de todas las ecuaciones de rectas posibles, incluyen-
do las verticales, es la forma:
ax + by + c = 0
donde a y b no pueden ser simultaneamente 0. Esta forma de la ecuacion es llamada la ecuacion
general de la recta.
176 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
6.7. Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares
Y
X
y = m1x + b1
y = m2x + b2
Es claro que dos rectas no verticales son para-lelas si sus pendientes son iguales. Esto es y =m1x + b1 y y = m2x + b2 son paralelas si y solosi m1 = m2
Ejemplo 1.- Encontrar la ecuacion general de la recta que pasa por el punto (−1, 4) y es
paralela a la recta 2y − 3x − 1 = 0.
Solucion: Lo primero que debemos hacer es conseguir la-pendiente de la recta dada, llevando
la ecuacion a la forma pendiente-ordenada en el origen
2y − 3x − 1 = 0
2y = 3x + 1
y =3
2x +
1
2
Esta ecuacion esta en la forma y = mx + b, de aquı que m =3
2
Como la ecuacion que queremos obtener es paralela a la recta y =3
2x +
1
2entonces tiene la
misma pendiente m =3
2. Ası ya podemos usar la forma punto-pendiente
y − 4 =3
2(x − (−1))
Como nos piden la ecuacion general de la recta, debemos hacer aun algunas manipulaciones
algebraicas para llevarla a esta forma.
6.7. RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES 177
2(y − 4) = 3(x + 1)
2y + 8 = 3x + 3
−3x + 2y − 11 = 0
En la grafica se puede apreciar dos rectas per-pendiculares. Observe que una esta creciendo deizquierda a derecha y la otra decrece, esto escuando una pendiente es positiva la otra es neg-ativa. Cuando la magnitud de una en valor ab-soluto es grande, la otra es pequena. Efectiva-mente las pendientes de rectas perpendicularesguardan una relacion recıprocas negativas entresı. Esto es
m1 = − 1
m2
Y
X0
Otra forma de recordar esta relacion es a traves de la formula:
m1 · m2 = −1
Ejemplo 2.- Encuentre la recta que es perpendicular a 4y − 2x − 5 = 0 y pasa por el punto
(−5,−2). Exprese la recta en la forma pendiente-ordenada en el origen y grafique las dos rectas.
Solucion: Debemos conseguir primero la pendiente de la recta dada, para ello la escribimos en
la forma pendiente-ordenada en el origen
4y = 2x + 5
y =1
2x +
5
4
De aquı identificamos m =1
2. La pendiente de la recta perpendicular esta dada por
m1 =11
2
= −2
Ahora planteamos la ecuacion punto-pendiente para hallar la recta:
178 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
y − (−2) = −2(x − (−5))
Finalmente obtendremos la forma pendiente or-denada en el origen.
y + 2 = −2x − 10
y = −2x − 12
Y
X0
-10
-2
Ejercicio de desarrollo.-
a) Encontrar la ecuacion general de la recta que corta el eje x en −3 y es paralela a la recta
2y + 5x − 8 = 0
b) Encuentre la recta que es perpendicular a 3x − 2y + 6 = 0y pasa por el punto (1,−3).
c) Encuentre la recta que es perpendicular a y+6 = 0 y pasa por el punto (5,−2). Recuerde:
La pendiente no es otra cosa que la tasa de cambio.
APLICACIONES:
Ejemplo 1.- La relacion y = 240.3t+13400 expresa el PIB de un paıs en miles de millones de
U.M. como funcion del tiempo, medido en anos desde el ano 2001. Diga el valor de la pendiente
y la ordenada en el origen. De una interpretacion de ambas.
Solucion: Directamente podemos ver que la pendiente es 240.3, este valor se puede interpretar
diciendo que el PIB esta creciendo a una razon promedio de aproximadamente 240.3 miles de
millones U.M. por ano. La ordenada en el origen es 13400, es el valor de y cuando t es cero. Este
valor se interpreta que es el PIB en el ano 2001.
Ejemplo 2.- Se estima que la cosecha de apio sera de 120 toneladas para la primera semana
de Septiembre y que crecera a una razon de 2.5 toneladas por semana a partir de esta fecha. Este
modelo es valido hasta el 1 de Diciembre. Encuentre el modelo lineal que relaciona el tamano
de la cosecha con el tiempo en semanas medido a partir del primero de Septiembre.
6.7. RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES 179
Solucion: En este problema nos dan la tasa de cambio de la cosecha de apio, su valor es
la pendiente de la recta, ella es m=2.5. Como t esta medido a partir de la primera semana de
Septiembre, b=120 es la ordenada en el origen por ser t = 0. Para este problema es recomendable
entonces usar la ecuacion pendiente-ordenada en el origen:
y = mt + b
Sustituyendo, obtenemos de una vez el modelo pedido
y = 2.5t + 120
Ejemplo 3.- Consiga la relacion lineal entre la temperatura Fahrenheit ◦F y la temperatura
en grados Centıgrados ◦C, sabiendo que el punto de ebullicion en grados Fahrenheit es 212◦F y
100◦C y el punto de congelacion es 32◦F y 0◦C.
Solucion: Para conseguir la relacion lineal entre C y F, debemos considerar que tenemos dos
puntos (C1, F1) = (0, 32) y (C2, F2) = (100, 212) de esta relacion. Primero calcularemos la
pendiente, en este caso C es la variable independiente x, y F la variable dependiente. Ası:
m =F2 − F1
C2 − C1=
212 − 32
100 − 0=
18
10=
9
5
Ahora usamos la ecuacion punto-pendiente-, debemos tener presente que en la coordenada y
hemos puesto los grados F :
F − F1 =9
5(C − C1)
F − 32 =9
5(C − 0)
Finalmente obtenemos:
F =9
5C + 32
180 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Si el cambio de una cantidad con respecto al cambio de la otra permanece constante paratodos los valores x entonces la ecuacion que relaciona las dos variables es una recta y lapendiente es la razon (el cociente) entre los cambios.
Ejemplo 4.- El numero promedio de habitantes por casa ha estado disminuyendo en los
ultimos anos en el paıs, manteniendose una tendencia lineal con respecto al tiempo. En el ano
2000 habıa un promedio de 5.3 habitantes por casa. En el 2005 cerca de 4.8. Si N representa el
numero promedio por casa y t el numero de anos despues del 2000, a) Encuentre una ecuacion
lineal que represente N en funcion de t. b) ¿Cual es la prediccion para el ano 2010 de personas
por casa? c)¿Este es un modelo valido por mucho tiempo?
Solucion: a) Como el modelo se asume lineal debemos conseguir la ecuacion de la recta que
pasa por (t1, N1) = (0, 5,3) y (t2, N2) = (5, 4,8). Para ello primero calculamos la pendiente que
pasa por estos puntos
m =N2 − N1
t2 − t1=
5.3 − 4.8
0 − 5= −0.5
5= 0.1
Ahora usamos la ecuacion punto-pendiente:
N − N1 = −0.1(t − t1)
N − 5.3 = −0.1(t − 0)
N = −0.1t + 5.3
b) Para el ano 2010 han transcurrido 10 anos despues del 2000. Ası que en la ecuacion recien
obtenida evaluamos t en 10 para obtener el numero de habitantes promedio estimado para ese
ano
N = −0.1(10) + 5.3 = 4.3 habitantes por casa.
c) Este modelo no es razonable a largo plazo. Por ejemplo si pasa 50 anos el promedio de
habitantes por casa es 0.3 lo cual no tiene sentido.
6.7. RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES 181
Ejemplo 5.- Las reservas probadas de un mineral en cierto paıs en los actuales momentos
son de 12.5 millones de toneladas. Si la explotacion se mantiene constante en 20.000 toneladas
al mes y no hay nuevas exploraciones que aumenten las reservas probadas a) Justifique que hay
una relacion lineal entre las reservas y el tiempo, b) Consiga esa relacion lineal, c) ¿Cuando se
acabaran las reservas probadas? d) Dibuje la recta de reservas probadas contra el tiempo en
meses.
Solucion:
a) Como el cambio de las reservas es constante por mes (t) entonces hay una relacion lineal
entre ellas.
b) -20.000 toneladas representa la razon de cambio de y por mes (por una unidad de cambio
en t), ası que ella es la pendiente m=-20.000, recuerde que es razon de cambio. Expresamos
nuestras cantidades en millones, ası m=-0.02 millones por mes. Para conseguir la ecuacion de la
recta hace falta un punto en el plano. Como dan la informacion que hay 12.5 millones, tomamos
este como la coordenada y de las reservas. El tiempo lo inicializamos en 0 a partir de los actuales
momentos. Ası la recta pasa por (0,12.5). Se puede usar la ecuacion punto-pendiente o la ecuacion
ordenada en el origen para encontrar la ecuacion de la recta. Usamos la segunda pues 12.5 es la
ordenada en el origen:
y = mt + b
Lo que equivale a 52 anos se acabaran las actuales reservas con los niveles de produccion actual
182 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Al sustituir los valores se obtiene:y = −0.02t + 12.5 millones detoneladasc) Se acabaran las reservas cuandoy = 0 Sustituimos este valor en laecuacion encontrada en b):
0 = −0.02t + 12.5 y se despeja t
t =12.5
0.02= 625 meses
Esta cantidad de meses equivale a52 anos.En conclusion: en 52 anos seacabaran las actuales reservasprobadas con los niveles de produc-cion actual.
Y
X600 800
Ejercicios:
1) Para cada par de puntos consiga la pendiente de la recta que pasa por ellos:
1.1.- (-1,2) y (-3,-4); 1.2) (0,1) y (-1,1); 1.3)
(
1,2
3
)
y
(1
3, 2
)
; 1.4) (3,1) y (3,5).
2) Para los siguientes determinar la ecuacion general de la recta que satisface las condiciones
indicadas
2.1) Pasa por el punto (3,-1) y tiene pendiente 4:
2.2) Pasa por el origen y tiene pendiente −1.
2.3) Pasa por el punto (2.-1) y tiene pendiente 0
2.4) Pasa por los puntos (3,5) y (4,0);
2.5) Pasa por los puntos (-2,1) y (1 ,0)
2.6) Pasa por los puntos (-2,-1) y (1.-3);
2.7) Pasa por los puntos (-2.1) y (9,1)
2.8) Es horizontal y pasa por (1,3);
2.9) Es paralela al eje; y pasa por (1,3)
6.7. RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES 183
2.10) Pasa por el punto (-2,5) y tiene pendiente
2.11) Pasa por los puntos (-2,1) y (1,1):
2.12) Pasa por los puntos (3,-1) y (3,0)
2.13) Pasa por el origen y tiene pendiente -3:
2.14) Tiene pendiente 3 y cota el eje y en -4
2.15) Tiene pendiente -2 y corra el eje y en 5;
2.16) Tiene pendiente 3 y corta el eje x en 1
2.17) Tiene pendiente3
4y corta el eje y en -4
3) Para la siguiente recta conseguir los cortes con ejes y graficar: y = 2x − 10
4) Graficar la siguiente: y =−3x
2
5) Encuentre, si existe, la pendiente, la intercepcion con el eje y, y grafique las siguientes
rectas:
5.1) 2y − 3x + 3 = 0; 5.2) y = 4; 5.3) 2y − 3x = 0;
5.4) 2x = y − 1; 5.5) x + 1 =1
5y; 5.6) x + 2y = 0
6) Diga si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.
6.1) 2x = y − 1, 4x + l − 2y = 0
6.2) 2y − 3x = 0, 2x + 3y + 1 = 0
6.3) x = 2y + 5, 2x + 3y + 1 = 0.
6.4) 3y + 4x + 1 = 0, 4x = 3y + 5
6.5) 3y + 4x + 5 = 0, 8y − 6x + 1 = 0
7) Para los siguientes encuentre la ecuacion de la recta que satisface las siguientes condiciones.
De su respuesta en la forma pendiente-ordenada en el origen en el caso que se pueda.
7.1) Pasa por el punto (1,2) y es paralela a la recta 2y − 3x + 1 = 0
7.2) Es paralela a la recta x = 5 y pasa por (1,-3).
7.3) Pasa por el punto (-1,4) es perpendicular a la recta 2y = x.
7.4) Pasa por el punto (-3,2) es perpendicular a la recta x − 3.
184 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
7.5) Es perpendicular a la recta y = −3x y pasa por la intercepcion de las rectas 3y+4x+5 =
0 y −2y − 3x + 1 = 0
7.6) Es perpendicular a la recta que pasa por (0,0) y (-1,2) y pasa por (2,3).
7.7) Pasa por el punto (0,-2) y es perpendicular la recta y=4.
7.8) Pasa por el punto (-1,2) y es paralela a la recta y = −2.
7.9) Es perpendicular a la recta 5y = −3x + 3 y corta el eje y en 5.
7.10) Es paralela a la recta x − 2y + 5 y pasa por origen.
7.11) Pasa por el punto (4,0) y es perpendicular a la recta 3y + 4x + 1 = 0.
8) Encuentre el valor de k para que la recta ky−3x+1, sea paralela a la recta 4y+6x+5 = 0
9) En el mismo sistema de coordenadas grafique los siguientes pares de rectas:
9.1)
4x − y = 5
x + 4y = 19.2)
3x + 2y = 3
2x − 3y = −1
¿Que relacion existe entre los siguientes pares de rectas?
Ax − By = C
Bx + Ay = C
1) En analisis de produccion, una lınea de isocosto es una lınea cuyos puntos representan
todas las combinaciones de dos factores de produccion que pueden ser compradas por la misma
cantidad. Suponga que un granjero tiene asignados 20.000 UM para la compra de x toneladas
de fertilizantes (con un costo de 200 UM por kg) y y de insecticida (con un costo de 2000
UM por galon). Determine una ecuacion de isocosto que describa las distintas combinaciones
que pueden ser compradas con 20.000UM. Observe que ni x ni y pueden ser negativas. (Resp.
20000 = 200x + 2000y)
2) Desde el comienzo del ano el precio de la gasolina corriente ha aumentado a una tasa
constante de 0.02 UM por litro al mes. Si el primero de junio el precio habıa llegado a 1.2 UM
6.7. RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES 185
por litro. Exprese el precio de la gasolina corriente como una funcion del tiempo y dibuje su
grafica. (Resp. p = 0.02t+1.08; t es el numero de meses contados a partir del primero de enero.)
3) En una companıa un empleado recien contratado cobra 150 UM y el empleado con cinco
anos de antiguedad recibe un sueldo de 250 UM . a) Hallar la ecuacion del sueldo en uncion
de tiempo que lleva en la companıa, suponiendo que hay una relacion lineal entre el sueldo y
el numero de anos que lleva trabajando en la companıa, b) ¿Cuanto cobrara un empleado que
lleva en la empresa 10 anos de servicio? (Resp. y = 20t + 150; 350)
4) La tarifa por el servicio de un ciber esta dado por la siguiente formula c = 8+0, 5t, donde
t es la cantidad de minutos consumidos. Exprese en un lenguaje sencillo como trabaja la tarifa.
5) Un taxista cobra 3 UM por parar y subir a los pasajeros y luego 2 UM por cada 100
metros de recorrido. Encontrar la ecuacion lineal que relacione la tarifa y los metros recorridos.
(Resp. v = 3 + 2x, donde x son los cientos de metros recorridos)
Problemas de Ciencias Naturales
1) Se encontro que la relacion entre la temperatura T (en grados centıgrados) y la profun-
didad x (medidos en kilometros) es lineal. Si se determino que a una profundidad de 3 km la
temperatura es 30◦C y a una profundidad de 25 km la temperatura es 80◦C. Determinar la
ecuacion que relaciona la temperatura con la profundidad ¿A que profundidad la temperatura
estara a 100 grados centıgrados? (Resp. T = 30 + 25(x − 3))
2) Se considera que para alturas inferiores a 11 Km, la temperatura varıa con la altitud
a razon de 6, 5◦C por Km. Si a una altitud de 1.6 km la temperatura es 27◦C. Consiga una
ecuacion que relacione la altitud con la temperatura.
3) La presion debajo del agua aumenta linealmente con la profundidad. Si a nivel del mar
la presion es de 15 libras por pulgada cuadrada y de 30 libras por pulgada cuadrada a 33 pies
debajo del nivel del mar. Si d es la profundidad y p la presion, encuentre una relacion lineal
entre la profundidad y la presion, b) Un determinado equipo no puede soportar mas de 35 libras
sobre pulgada cuadra de presion. ¿A que profundidad maxima puede estar el equipo?
Exprese su respuesta en el sistema ingles y en el sistema MKS.
186 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
(30lb/pul2 = 2.10930kg/cm2 35lb/pul2 = 2.46085kg/cm2 33 pies = 10.05840 Metros
15lb/pul2 = 1.05465kg/cm2)
4) El peso promedio P de una trucha en una laguna depende de la cantidad x de truchas
existentes de acuerdo al siguiente modelo
P = 600 − 1
2x
a) Bosquejar la grafica de P versus x. b) ¿Que ocurre cuando r = 1200? c) ¿Que puede
decir usted de este modelo cuando la cantidad de truchas es muy grande?
5) Cuando una barra de acero es calentada ella se expande una cierta cantidad de manera
lineal. Se estima que por cada grado C de temperatura que se aumente ella se expande 11 ×lO−6cm. Si a 0◦C la barra mide 2 m. Encontrar la relacion lineal entre la longitud de la barra
y la temperatura.
6) El aire seco al subir se enfrıa. Suponga que a 200 mt sobre el nivel del mar se tiene una
temperatura de 23◦C y a 2 Km es de 15◦C. Encontrar la relacion lineal entre la temperatura y
la altura, suponiendo que existe una relacion lineal entre ellas. ¿Cual es la temperatura a 1000
m sobre el nivel del mar?
Problemas de Administracion Ambiental
1) E1 costo y de reducir la emision de gases toxicos de un carro depende del porcentaje de
reduccion x de una manera lineal. Encuentre esta relacion sabiendo que si se reduce en un 20%
la emision, entonces el gasto es de 50 UM y si se reduce en un 25% el costo es 60 UM. Encuentre
la relacion lineal entre el costo y el porcentaje de reduccion de emisiones toxicas. Encuentre el
costo cuando el porcentaje de reduccion es 90%. (y = 2x + 10; 190)
Problemas de Administracion del Agro
1) En los ultimos anos se ha observado un incremento constante en la produccion de arroz
en cierta zona del paıs. Si en 1998 la produccion fue de 42 toneladas y en el 2002 la produccion
fue de 49 toneladas. Asuma que hay una relacion lineal entre la produccion de arroz en esa
zona y el tiempo medido en anos a partir de 1998 (t=0) a) Estime esta relacion. B)¿Cual
sera aproximadamente la produccion en 2010? (Resp. y =5
4t + 42;
139
2)
6.7. RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES 187
2) Se estima que el tamano de una cosecha es de 200 sacos para el primero de septiembre y
que aumenta a una razon constante de 3 sacos por semana. Encuentre la relacion lineal entre el
tamano de la produccion y el tiempo.(Resp. y = 200 + 3t con t medido en semanas)
3) Se quiere plantar dos tipos de arboles en una region. Las horas de trabajo por cada tipo
estan dadas en la tabla anexa.
Horas
Tipo I 1.4
Tipo II 1.1
Si se dispone de un maximo de 250 horas de trabajo. Encuentre la relacion entre el numero
de arboles a plantar de cada tipo si se utilizan por completo las horas de trabajo disponible.
(Resp. 1.4x + 1.1y = 250)
Problemas de Ciencias Sociales
1) En un paıs despues del ano 2000 ha estado incrementandose el empleo a un promedio de
0.02 cientos de miles de personas mensuales. Si en el ano 2000 habıa 2.5 millones de personas
empleadas y el empleo esta aumentando de una forma lineal, encuentre una relacion entre el
numero de personas empleadas y el tiempo t en meses, (y = 0.002t + 2.5 millones de personas)
2) Realizar el ejemplo 2 considerando que el tiempo cambia en anos. Primero calcule cambio
de las reservas cuando transcurre un ano.
3) En la pagina WEB del grupo del Banco Mundial aparece publicada entre otras estadıstica
la esperanza de vida en Brasil. Para el ano 2000 era 69,7, y para el ano 2004 fue de 70,9 anos,
a) Asuma que en esta decada la esperanza de vida sigue un modelo lineal, ajuste una ecuacion
a partir de estos dos datos, b) En la estadıstica aparece que en el ano 2003 la esperanza de vida
era de 70,6 anos. ¿Este dato satisface su ecuacion? Si es ası es pura casualidad, ya que este tipo
de modelo es aleatorio, c) Use el modelo en a) para predecir la esperanza de vida para el ano
2009. d) ¿Le parece razonable este modelo a largo plazo. Justifique?
7Funciones
El concepto de funcion es una de las herramientas fundamentales del calculo, ella permite
describir como una cantidad y depende de otra x. Por ejemplo:
1. Los costos totales de produccion, c, dependen de la cantidad de artıculos a producir, x
2. El nivel de contaminacion en una determinada region puede depender del numero de
vehıculos circulando en la vıa.
3. El area de un cırculo depende del radio.
4. La presion depende de la temperatura.
Una funcion tiene tres partes: Dos conjuntos A y B y una regla que relaciona dichos conjuntos.
Mas precisamente:
Definicion 7.1 Una funcion de un conjunto A a un conjunto B es una regla que asigna a cada
elemento de A exactamente un elemento de B. El conjunto A se denomina dominio de la funcion
y el rango de la funcion es un subconjunto de B formado por todos los valores asignados.
Aun cuando el dominio puede ser cualquier coleccion de objetos: personas, ciudades, etc.,
aquı solo consideraremos subconjuntos de R.
188
189
Una variable que represente los valores del dominio x se llama variable independiente y la
variable dependiente y es la que representa los valores del conjunto B, ya que su valor depende
del valor de la variable independiente.
Una forma de dar la relacion entre A y B es traves de ecuaciones o formulas, las mas usuales
son donde explıcitamente se indique como obtener y a partir de x. Por ejemplo y = x2+2x−1. A
las funciones se les suele colocar nombres, es frecuente usar las letras f, g, h, F, G. Podemos, por
ejemplo, llamarla la funcion que relaciona R con R mediante la ecuacion y = x2. Esta relacion
tambien la podemos escribir como f(x) = x2.
A B
x
y
f
Para desarrollos teoricos usamos la repre-sentacion de diagramas como el que se ilustrael la figura.Para indicar que f es una funcion con un do-minio A y codominio B se escribe:
f : A −→ B
Si esta en el dominio de f entonces decimos que f esta definida en x.
En una funcion, un elemento del dominio se leasocia un solo elemento en el rango. Sin embargopudiera ocurrir que dos elementos del dominio sele asocien el mismo elemento del rango.
A B
x1
y2
x2y1
x3
x4
f
f(x) se lee f de x o f en x o f evaluada en x.
190 CAPITULO 7. FUNCIONES
f(x) representa un valor del rango, este es el valor de la funcion en el punto x. Por ejemplo
si f(x) = x2, entonces
f(1) = 1
f(2) = 22 = 4
f(3) = 32 = 9
Tenemos que 1, 4 y 9 son valores del rango de esta funcion. Si el dominio esta, dado por todos
los numeros reales entonces el rango son los reales no negativos.
Usted podra observar que para evaluar una funcion en un valor simplemente hay que sustituir
la variable independiente por el valor.
Ejemplo 1.- Sea f una funcion cuyo dominio es R dada por f(x) = x2 − 3x. Encontrar los
siguientes valores de f. Simplifique:
a) f(−1), b) f(b) y c) f(b + 1)
Solucion:
a) Cuando tenemos que evaluar expresiones mas complicadas recomendamos que el estudi-
ante en un principio piense la funcion como:
f( ) = ( )2 − 3( )
Es decir colocar parentesis donde iba la x. Luego colocar dentro del parentesis el valor a evaluar,
ası por ejemplo. f(−1) es
f(−1) = (−1)2 − 3(−1)
Realizando simplificando queda f(−1) = 12 + 3. De aquı que f(−1) = 4
b) f(b) = b2 − 3b
c) Para evaluar la funcion en b + 1, colocamos dentro de los parentesis de
f( ) = ( )2 − 3( ) la expresion b + 1 :
191
f(b + 1) = (b + 1)2 − 3(b + 1).
Desarrollando tenemos:
f(b + 1) = b2 + 2b + 1 − 3b − 3.
Simplificando
f(b + 1) = b2 − b − 2
Ejercicio de desarrollo: Sea g una funcion cuyo dominio es R dada por g(x) =√
2x2 + 1.
Complete los espacios vacıos en los siguientes desarrollos a fin de encontrar los siguientes valores
de g
a) g(−3); b) g(2r) y c) g(x + h)
Desarrollo:
a) g(−3) =√
2(−3)2 + 1 =√
+ 1 =√
19. Observe donde se han colocados los parentesis.
b) g( ) =√
2( )2 + 1 =√
2( ) + 1 =√
8r2 + 1. (Complete los espacios en blancos)
c) De nuevo dejamos en blanco el espacio donde iba x, el estudiante debera colocar x + h en el
desarrollo:
g( ) =√
2( )2 + 1 =√
2( ) + 1 =√
2x2 + 4hx + 2h2 + 1
Cuidado:g(x + h) 6= g(x) + hg(x + h) 6= g(x) + g(h)
Recuerde: En un principio escribir la funcion sin la variable y donde iba la variable abrir y
cerrar parentesis, luego en cada parte colocar dentro de los parentesis el valor a evaluar.
Ejercicio de desarrollo: Sea f una funcion cuyo dominio es R dada por
f(x) = 2x2 − x + 1. Encontrar los siguientes valores de f.
192 CAPITULO 7. FUNCIONES
a) f
(1
2
)
b) f(√
2 − 2)
c) f(x + h)
Tambien es importante evaluar expresiones que implique distintos valores de la funcion. El
siguiente ejemplo es importante en calculo.
Ejemplo 2.- Sea f una funcion cuyo dominio es R dada por f(x) = x2 − 3. Calcule con
f(x + h) − f(x)
hcon h 6= 0. Simplifique su respuesta
Solucion: Al sustituir obtenemos
f(x + h) − f(x)
h=
f(x+h)︷ ︸︸ ︷
(x + h)2 − 3−f(x)︷ ︸︸ ︷
x2 − 3
hDesarrollando y simplificando
=x2 + 2xh + h2 − 3 − x2 + 3
h=
2xh + h2
h
=(2x + h)h
h= 2x + h.
Ejercicio de desarrollo.- Sea f una funcion cuyo dominio es R dada por
f(x) = x − 2x2, h 6= 0. Calcule y simplifique.f(x + h) − f(x)
h
DOMINIO IMPLICITO
Definicion 7.2
Si la funcion se define mediante una formula, sin especificar el dominio, entonces se enten-
dera que el dominio es el subconjunto mas grande de R donde tiene sentido aplicar la formula y
el resultado es un numero real.
Ejemplo 3.- Encontrar el dominio de cada funcion
a) f(x) =√
1 − 3x; b) g(x) =4x + x2
x2 − 1
193
Solucion:
a) Para que la raız sea un numero real, el radicando tiene que ser mayor o igual a 0. Esto
es 1 − 3x ≥ 0
Tenemos que buscar las soluciones de esta desigualdad lineal.
−3x ≥ −1
x ≤ 1
3
Ası, el dominio de f es el intervalo
(
−∞,1
3
]
.
b) En el caso de la funcion g(x) =4x + x2
x2 − 1el dominio es el conjunto de todos los reales excep-
to aquellos numeros donde el denominador se hace 0 (pues la division entre 0 no esta definida).
Entonces tenemos que quitar a R los x′s que satisfacen
x2 − 1 = 0
Estos son:
x = ±1
Podemos expresar el dominio como
Dom g = R − {−1, 1}
Esto se lee como el conjunto de numeros reales excepto el −1 y el 1,
Recuerde:
1) Cuando queremos calcular el dominio de una funcion que tiene una expresion con radical
con ındice par se debe plantear la desigualdad: radicando mayor o igual a cero, pues e1 dominio
esta contenido en este conjunto para que la formula tenga valores reales. En este caso la solucion
suele ser un intervalo o uniones de intervalos.
194 CAPITULO 7. FUNCIONES
2) Por otro lado si se tiene una fraccion donde la variable esta en el denominador, se debe
plantear la ecuacion denominador igual a 0, entonces deberemos quitar las soluciones de esta
ecuacion del conjunto de numeros reales que estamos considerando.
Ejemplo 4.- Encontrar el dominio de cada funcion
a)h(x) =√
x2 − 2x − 3; b)F (x) =x3 − 3x
2Solucion:
a) Como en la funcion h(x) =√
x2 − 2x − 3 existe un radical, el dominio es el conjunto solucion
de la desigualdad: x2 − 2x − 3 ≥ 0. (Recuerde que el radicando debe ser mayor o igual a cero).
Esta desigualdad es cuadratica, para resolverla empleamos el metodo de los signos: Factorizamos,
colocamos las raıces de los factores en la recta real, tomamos valores de prueba en los intervalos
definidos por las raıces y evaluamos en los factores, para finalmente ver el resultado del producto.
A continuacion se da el desarrollo lo anterior:
x2 − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1)
−1 3
(−) (+)
(−)(−) (−)(+) (+)(+)
(+)
De la figura vemos que la solucionde la desigualdad:
x2 − 2x − 3 ≥ 0
es el conjunto (−∞,−1] ∩ [3,∞)Por lo tanto Dom h = (−∞,−1] ∪ [3,∞).
b) La funcion F (x) =x3 − 3x
2puede ser evaluada en cualquier parte. Cualquier numero real
puede ser elevado al cubo, restarle tres veces ese numero, para luego el resultado dividirlo entre
2. En conclusion
Dom F = R
En este ejemplo el denominador nunca es cero.
Comentario: Para los estudiantes que saben codificar expresiones en la calculadora pueden
pensar el dominio como los valores x donde al usar su calculadora no arroja E (error). Si usted
evalua la funcion f(x) =√
1 − 3x en -0.5 va obtener un valor real, sin embargo si evalua en
7.1. APLICACIONES GENERALES 195
1 (que no esta en el conjunto
(
−∞,1
3
]
= Dom f) obtendra error, porque el radicando es un
numero negativo.
Ejercicio de desarrollo.- Encontrar el dominio de cada funcion
a) f(x) =√
4 − x2; b) g(x) =4x + x2
x2 − x − 2; c) f(x) =
x2 + 1
2
7.1. Aplicaciones Generales
Ejemplo 1.- Se quiere tender dos tuberıas quesalgan desde un mismo punto de la orilla un la-go y lleguen 20 km. arriba a dos puntos difer-entes A y B de una ciudad, los cuales estan 5km. distantes uno del otro. Suponga que la lıneaque une estos puntos corre paralela al lago. De-termine los kilometros totales de tuberıa a em-plear en terminos de la distancia que hay entrela proyeccion de punto A al otro extremo dellago y el punto desde el cual sale la tuberıa x.
x 3x
BA
20
0
Solucion:
Por Pitagoras podemos ver que la distancia en kilometros desde el punto x a A es:
√
x2 + 202
v la distancia desde x a B es
√
(5 − x)2 + 202
La funcion buscada es la suma de estas dos distancias. En conclusion
f(x) =√
x2 + 202 +√
(5 − x)2 + 202
donde x ∈ [0, 5].
196 CAPITULO 7. FUNCIONES
Ejemplo 2.- Se quiere cercar un terreno rec-tangular con 200 metros de malla. Si x y yson las dimensiones de los lados. a) Exprese elarea como funcion de x. b) Diga cual es el do-minio natural de esta funcion, tomando en con-sideracion las restricciones fısicas
x
y
Solucion:
a) El area esta dada por
A = x · y
En este caso la funcion area viene expresada en terminos de las dos variable x y y. Sin embargo
podemos sustituir y por una expresion que depende de x, debido a la relacion entre x, y y el
perımetro.
El perımetro del rectangulo esta dado por x + x + y + y y debe ser igual a 200.
x + x + y + y = 200
Esto es
2x + 2y = 200
De aquı podemos expresar y en funcion de x, despejando
y =200 − 2x
2
y = 100 − x
Sustituyendo y en el area, tenemos finalmente
A(x) = x · (100 − x)
b) Es claro que x tiene que ser mayor que 0. Pero tambien x debera ser menor que 100.
Ası Dom A = (0, 100)
7.1. APLICACIONES GENERALES 197
Ejemplo 3.- Un museo de ciencias naturales tiene como polıtica admitir grupos grandes de
30 hasta 80 personas con la siguiente polıtica de rebajas. Para grupos menores o iguales a 30
personas la tarifa es de 160 UM, pero por cada persona adicional la tarifa por persona se reduce
en 2 UM. Exprese el ingreso del museo cuando recibe grupos de descuentos como funcion del
numero de persona por encima de 30.
Solucion: En este caso la variable independiente es
x = numeros de personas por encima de 30
Ası,
Numero de personas del grupo = x + 30 y
el precio de entrada por persona = 160 − 2x
El ingreso viene dado por
Ingreso = (numero de personas en el grupo)(Tarifa por persona)
Asi
I(x) = (x + 30)(160 − 2x)
Tal como se define la funcion el dominio I = (0, 80)
Ejemplo 4.- Se quiere construir un tanque de agua rectangular de l.000 m3 de capacidad, sin
tapa, donde el largo sea el triple del ancho. Se estima que la construccion del fondo es de 1.5
UM por metro cuadrado y la de los lados el doble. Expresar el costo de construccion en funcion
del ancho de la base.
Solucion: Lo primero es obtener un dibujo como se muestra en la figura, mostrando las variables:
ancho y altura, observe que el largo puede ser expresado en terminos del ancho.
198 CAPITULO 7. FUNCIONES
x
3x
h
x = ancho de la base.h = altura
Por otro lado podemos expresar el costo en terminos de x y h. Para ello primero conseguimos
el costo de la base, cuya area es x · (3x) = 3x2 metros cuadrados, ası
Costo de la base = 1.5 − 3x2 = 4.5x2
El area de los laterales = x · h + x · h + 3x · h + 3x · h = 8xh.
De esta manera
El costo de los laterales = 3 · 8xh = 24xh Podemos entonces expresar el costo total en
terminos de x y h.
Costo total=Costo de la base+costo de los laterales .
Costo total = 4 · 5x2 + 24xh.
Como nos piden el costo solo en funcion de x, para hacerlo usamos la condicion
Volumen = 1000
x · (3x) · h = 1000
3x2h = 1000
Despejamos la variable h para luego sustituirla en la funcion de costo total
h =1000
3x2
Al sustituir, obtenemos el costo total solo en funcion de x.
7.1. APLICACIONES GENERALES 199
1000 Costo total = C(x) = 4 · 5x2 + 24x
Simplificando
C(x) = 4 · 5x2 +8000
x
Comentario: La condicion
Volumen = 1000
que expresada en terminos de las variables puede ser escrita como:
3x2h = 1000
es llamada la ecuacion de restriccion, por ser una ecuacion que debe cumplirse. Otros autores
la llaman la ecuacion de ligadura porque establece la relacion que deben cumplir las variables.
En muchos problemas encontramos la ecuacion de restriccion. En el ejercicio del rectangulo,
ecuacion de restriccion o ligadura era
El perımetro = 200.
Escrita en terminos de la variable quedaba
x + x + y + y = 200
Ejercicios
1) Sea f(x) = x2 − 2x − 3. Calcular f(−3); f(2 +√
2) y f(5)
2) Sea f(x) =√
2x2 + 1 − 3. Calcular f(−2); f(−12) y f(2)
3) Sea f(x) =√
x + 5 Calcular f(−3); f(0) y f(5)
4) Determine a) f(2 + h) y b)f(2 + h) − f(2)
h, para las siguientes funciones
4.1) f(x) = 2 − 3x; 4.2) f(x) = 2x2 − 3x; 4.3) f(x) =2
x + 3
200 CAPITULO 7. FUNCIONES
5) Para las siguientes funciones determine a) f(x + h) y b)f(x + h) − f(x)
h
5.1) f(x) = 2x2 − 3; 5.2) f(x) = 3x − x2; 5.3) f(x) =3
x;
5.4) f(x) =1
5 − x
6) Determine el dominio de las siguientes funciones:
Problemas Generales
1) Se corta un alambre de 20 cm. de longitud en cuatro trozos para formar un rectangulo.
Si x representa el lado mas corto. Expresar el area del rectangulo en funcion de x
(Resp. A(x) = (10 − x)x)
l
x
20
2) Desde un poste de 20 metros de altura sale un trozode cuerda que llega a nivel de piso x metros mas alla.Si l representan la longitud de la cuerda. a) Expresel como funcion de x. b) Exprese x como funcion de l.(Resp. 17 a) f(x) =
√x2 + 400
l
24
30
x
3) Desde un poste de 30 metros de alturasale un trozo de cuerda que llega a otro postede altura x metros, 24 metros mas alla. Si lrepresentan la longitud de la cuerda.
a) Exprese l como funcion de x.
b) Exprese x como funcion de l. (Resp.a) l(x) =√
(30 − x)2 + 242
a
r
4) Exprese el area de un sector circular de unacircunferencia, de radio fijo r, en funcion de a,el angulo del sector dado en grados.Recuerde que el area de un circulo esta dada porπ · r2.
Resp. A(a) =aπ · r2
360
7.1. APLICACIONES GENERALES 201
5) En un descampado se quiere cercar un terreno rectangular de l.000 m2. Escriba la funcion
perımetro en terminos del ancho del rectangulo.
6) En ciertos terrenos se estima que si se plantan 600 naranjos por hectarea, se obtendra una
produccion-, promedio de 300 naranjas por mata y que por cada 10 arboles que se siembre de
mas hara que la produccion promedio por arbol disminuya en 3 unidades. Exprese la produccion
promedio por arbol en funcion del numero de arboles adicionales sembrados.
7) Con 120 metros se quiere cercar 2 corralesidenticos como muestra la figura, a) Exprese elarea total como funcion de x b) Diga cual es eldominio natural de esta funcion, tomando enconsideracion las restricciones fısicas.
Resp. A(x) = 60x − 3
2x2.
x
y y
Para los siguientes dos problemas se requiere conocimiento de rectas.
Ciencias Naturales
1) El aire seco al subir se enfrıa. Suponga que a 200 m. sobre el nivel del mar se tiene una
temperatura de 23◦C y a 2 Km es de 15◦C. Expresar la temperatura en funcion de la altura,
suponiendo que existe una relacion lineal entre ellas. ¿Cual es la temperatura a l000m sobre el
nivel del mar?
2) A nivel del mar el agua hierve a 100◦C . A una altitud de 1600m. sobre el nivel del mar
el agua hierve aproximadamente 92◦C. Suponiendo que existe una relacion lineal entre punto de
ebullicion y la altitud, calcule el punto de ebullicion en funcion de la altitud. (Nota: realmente el
punto de ebullicion depende de la presion atmosferica, pero esta se puede inferir por la altitud).
3) En ciertos terrenos se estima que si se plantan 100 matas de aguacates por hectarea, se
obtendra una produccion promedio de 400 aguacates por arbol en su edad adulta. Se estima que
por cada arbol que se siembre de mas hara que la produccion promedio por arbol disminuya
en 2 unidades. Exprese la produccion total de una hectarea en funcion del numero de arboles
adicionales sembrados. (Resp: −2y2 + 200y + 40.000)
202 CAPITULO 7. FUNCIONES
7.2. Distintos Tipos de Funciones
Funciones Polinomicas
Una funcion f se llama funcion polinomica si es de la forma
f(x) = cnxn + cn−1xn−1 + . . . + c1x + c0,
donde n es un entero no negativo y los coeficientes cn cn−1 son numeros reales.
Si cn 6= 0, entonces n es el grado de la funcion polinomica y cn es el coeficiente principal. El
dominio de las funciones polinomicas son todos los numeros reales.
Hay funciones polinomicas especiales, algunas de ellas son
a.- Funcion constante: es una funcion de la forma f(x) − k, con k una constante. El
grado es 0. Por ejemplo f(x) = 2. Es una funcion que siempre asume el valor 2. Por ejemplo
f(−1) = 2; f(200) = 2
b.- Funcion lineal: es de la forma f(x) = ax + b. donde a y b son constantes, con c 6= 0. El
grado es 1. Por ejemplo f(x) = 4 − x
3es una funcion lineal, donde a = −1
3.
c.- Funcion cuadratica: es un polinomio de grado 2. Esto es f(x) = ax2 +bx+c, con a 6= 0
Ejemplo 1.- Diga si las siguientes funciones son polinomicas o no. En caso afirmativo clasifıque-
las de acuerdo al grado y senale el coeficiente principal.
a) f(x) =x
3es un polinomio de grado 1 o funcion lineal, con coeficiente principal −1
3
b) g(x) = x−3 + x no es un polinomio porque el exponente de la x del primer termino es
negativo. Funciones que involucren expresiones de la forma1
xntampoco seran funciones.
c) F (x) = x1/2 no es polinomica porque el exponente de la x es fraccionario. Funciones que
involucren expresiones tampoco seran polinomicas.
d) H(x) =√
2x3 − x − 1 es un polinomio de grado 3. El coeficiente del grado principal es√
2.
7.3. FUNCIONES RACIONALES 203
7.3. Funciones Racionales
Una funcion se llama funcion racional si puede ser escrita como un cociente de polinomios.
Ejemplo 1.- Determine si las siguientes funciones son funciones racionales
a) f(x) =3x − 1
x2 + x − 3. Es el cociente de polinomios y por tanto es una funcion racional.
b) f(x) = x−x−1 es una funcion racional. Observe que puede ser reescrita como f(x) =x − 1
x
c) f(x) = 4x2 − 2. Como esta funcion puede ser reescrita como f(x) =4x2 − 2
1y 1 es un
polinomio entonces es una funcion racional. Mas generalmente:
Una funcion polinomica es una funcion racional
7.4. Funcion Definida Por Partes.
En algunas ocasiones hace falta mas de una formula para poder definir una funcion. El
siguiente ejemplo ilustra una funcion definida por partes.
f(x) =
x2, si −5 ≤ x < 0
0, si 0 ≤ x < 1
2 + x, si 1 ≤ x ≤ 5
Claramente si f no esta en ninguno de estos conjuntos de x′s la funcion no esta definida. En
este ejemplo, el dominio de f es el intervalo [−5, 5]. Si queremos evaluar la funcion, tenemos que
determinar en que region esta el valor a evaluar para usar la formula correspondiente. Este tipo
de funcion, efectivamente, define una regla. La regla en este ejemplo es:
Si y esta en el intervalo [−5, 0) usamos la formula x2 para evaluar la funcion.
Si x esta en el intervalo [O, 1) la funcion esta definida por f(x) = 0 y por ultimo
Si x esta en el intervalo [1, 5] usamos la formula 2 − x para evaluar la funcion
Ejemplo 1.- Para la funcion f definida arriba encontrar:
Solucion:
a) f(−1) Observe que −1 esta en el intervalo [−5, 0), por tanto se usa la primera formula:
204 CAPITULO 7. FUNCIONES
f(−1) = (−1)2 = 1.
b) f
(1
2
)
. Como esta en el intervalo [0, 1) se tiene que usar la segunda expresion. Por tanto
f
(1
2
)
= 0
c) f(1) Como 1 ≤ 1 ≤ 5 se tiene que usar la tercera expresion. Por tanto
f(1) = 2 + 1 = 3.
Las funciones definidas por partes tiene muchas aplicaciones y usos en matematicas.
Ejemplo 2.- El pago mensual para estar suscrito a un plan de llamadas de celulares es 20 UM
y contempla los primeros 50 minutos a una tarifa de 1.5 UM y 3 UM los minutos adicionales
durante el mes. Sea x el numero de minutos en llamadas del celular con este plan. Escriba la
funcion C(x) costo total del plan dependiendo de x, minutos de llamadas al mes.
Solucion: Observe que esta funcion la tenemos que definir en dos partes, dependiendo si x ≤ 50
o x > 50. En ambos casos tenemos que considerar que el plan sale a 20 mas el costo de las
llamadas. Es claro que si x ≤ 50, el costo total de estas llamadas sera de 1, 5 · x. Sin embargo si
x > 50, tenemos que considerar que los primeros 50 minutos se les aplico la tarifa de 1.5 UM y
los siguientes x − 50 minutos se les aplico la tarifa de 3 UM. Ası el costo total de las llamadas
en este caso es: 1.5 · 50 + 3(50 − x). De estas observaciones tenemos que:
f(x) =
20 + 1.5 · x x ≤ 50
20 + 75 + 3(x − 50) x > 50
Simplificando:
f(x) =
20 + 1.5 · x x ≤ 50
−55 + 3x x > 50
7.5. Funcion Valor Absoluto.
La funcion f(x) = |x| es llamada funcion valor absoluto. Esta funcion tambien la podemos
escribir por partes
7.5. FUNCION VALOR ABSOLUTO. 205
f(x) =
x si x ≥ 0
−x si x < 0
Ejercicios:
1) Clasifique las siguientes funciones como polinomicas FP o no NFP, Racionales FR o no
NFR. Justifique. En caso que sea polinomica diga el grado del polinomio y el coeficiente principal.
1.1) f(x) = 2x; 1.2) g(x) =x − 1
2x − 3; 1.3) g(x) = x2 + 3x5;
1.4) f(x) =√
3 − x; 1.5) f(x) =1
1 + 2x; 1.6) f(x) =
1
2x+ 3x;
1.7) f(x) =√
3x − 1; 1.8) g(x) =x3
x + 1; 1.9) h(x) =
√3x − 1
2) Para la siguiente funcion determine su dominio y evalue f(−2) y f(3)
f(x) =
x2 − 1 si x ≤ 0
x − 1 si 0 < x < 4
3x si x ≥ 43) Para la siguiente funcion determine su dominio y evalue g(2) y g(−1/2)
f(x) =
−1 si −2 ≤ x ≤ 0
3x + 7 si 0 < x ≤ 24) Una companıa de buses adopto la siguiente polıtica de precios para grupos que desean
contratar sus vehıculos. A los grupos de no mas de 40 personas se les cobrara una cantidad fija
de 2400UM (40x60). Los grupos que tienen entre 40 y 80 personas pagaran 60UM y las personas
adicionales a 40 tendran un descuento de menos 5UM. La tarifa mas baja de la companıa es
de 50UM por persona, se ofrecera a grupos de mas de 80 personas. Exprese el ingreso de la
companıa de buses como funcion del tamano del grupo.
Resp.
I(x) =
2400 si 0 ≤ x ≤ 40
55x + 200 si 40 < x ≤ 80
50x si x > 80
206 CAPITULO 7. FUNCIONES
5) Un museo cobra la admision a grupos de acuerdo a la siguiente polıtica. Los grupos con
menos de 50 personas pagan 3.5UM por persona, mientras que los grupos de 50 personas o mas
pagan una tarifa reducida de 3UM por persona, a) Exprese la cantidad que pagara un grupo
por su admision como una funcion del tamano del grupo, b) ¿Cuanto dinero ahorrara un grupo
de 49 personas en el costo de admision si puede incluir un miembro adicional?
Resp.
P (x) =
3.5x si 0 ≤ x ≤ 50
3x si x > 50
b) 21.5 UM
6) Un camionero esta ofreciendo las patillas a 10 UM cada kilo si compran menos de 10
kilos, a 8 UM el kilo si compran entre 10 y 50 kilos y las deja a 6 UM si compran mas de 50
kilos. Determine el precio total de adquisicion de las patillas en funcion del numero de kilos que
comprara el cliente.
Resp.
f(x) =
10x si 0 ≤ x < 10
8x si 10 ≤ x ≤ 50
6x si x > 50
7) A fin de regular el consumo de electricidad la alcaldıa de una ciudad fijo las siguientes
tarifas. Los primeros 200HWh se pagara 3UM el KWh, para los siguientes 400 KW h pagara 5UM
el KW y 8 de allı en adelante. Exprese el valor de la factura como una funcion de la cantidad
de KWh consumidos al mes.
Resp.
V (x) =
3x si 0 ≤ x ≤ 200
5x − 400 si 200 < x ≤ 600
8x − 2200 si x > 600
8) La contaminacion atmosferica en una ciudad varıa de acuerdo a la hora del dıa. Sea t
el numero de horas despues de las 6:OO A.M. La funcion C(t) da el ındice de contaminacion
atmosferica en funcion de t.
7.6. GRAFICAS DE FUNCIONES 207
Resp.
C(x) =
3 + 3t si 0 ≤ t ≤ 3
12 + 2t si 4 < t ≤ 12
36 − 2t si 12 < t ≤ 16¿Cuales son los niveles de contaminacion a las 7:00a.m.; 12m y a las 7p.m.? (Respuestas: 6;
24; 10).9) Una piscina mide 36 metros de largo por 15de ancho. En las figuras tenemos un corte lon-gitudinal de la piscina. Como se podra observelos primeros 12 metros es totalmente horizontal.Luego empieza una declinacion como lo muestrala figura. Sea h el nivel del agua medido en ellado derecho desde el fondo de la piscina. Exp-rese el volumen del agua como una funcion de h.(Observe que tiene que definir una funcion porpartes, para h menor que 4 y para h entre 4 y10.
6
12
10
6
12
10
h
h
Resp.
v(h) =
45h2 si h ≤ 4
720 + 540(h − 6) si 4 < h ≤ 10
7.6. Graficas de Funciones
La representacion grafica entre x y f(x) puede ayudar a interpretar mejor las relaciones entre
x y f(x)
La grafica de una funcion f es el conjunto de todos los puntos (x, f(x)) donde x esta en el
dominio de f. Observe que la grafica de una funcion es la grafica de la ecuacion y = f(x).
Ejemplo 1.- Considere f(x) =√
x
a) Calcular el dominio de f b) Trazar la grafica de f
Solucion:
a) El dominio de f en este caso son los x tales que x > O.
b) Como se esta interesado en el trazo de la funcion y resulta imposible conseguir todos los
puntos de la grafica, solo se determinaran algunos punios de ella, los necesarios para hacerse
208 CAPITULO 7. FUNCIONES
una idea de la forma de la grafica. Damos valores a x para obtener el valor de y a traves de la
formula y =√
x
x 0 1 2 9/4 4
y 0 1√
2 3/2 2 2 4
2
-2
-2 0
Y
X
Luego se hace un trazo suave uniendo los puntosde la grafica dibujados.
0
2
0 2 4
Y
X
Sin duda este no es el mejor metodo para graficar funciones. A lo largo de este capıtulo
daremos algunas tecnicas que facilitara determinar mas rapidamente la forma y las caracterısticas
mas importantes de la funcion. Posteriormente se estudiaran otras tecnicas para graficar.
7.7. Simetrıas
Para graficar funciones es util tomar en cuenta las posibles simetrıas. Esto se determina
estudiando si la funcion es par, impar o ninguna de las anteriores.
Definicion 7.3 Una funcion es par si f(x) = f(x) para todo x perteneciente al Dominio de f
e impar si f(−x) = −f(x)
7.7. SIMETRIAS 209
Observe que si una grafica es par y (x, y) es un punto de la grafica entonces (−x, y) tambien
esta en la grafica. Esto significa que la grafica es simetrica con respecto al eje y. Es decir, si
doblamos el papel a lo largo del eje y entonces el trozo de la grafica de la derecha coincide con
el de la izquierda.
Y
X
f es impar
Y
X
f es par
Similarmente vemos que si f es impar y (x, y) es un punto de la grafica de f entonces
(−x,−y) es tambien un punto de la grafica de f. La grafica de una funcion impar permanece
igual tras la rotacion de 180◦ en tomo al origen.
Ejemplo 1.- Para cada una de las siguientes funciones determine si es par o impar o ninguna
de las anteriores.
a) f1(x) = 2x2 + 2; b) f2(x) = 33 − x; c) f3(x) = 3x + 1.
Solucion: En todos los casos debemos evaluar la funcion en −x
a) f1(−x) = 2(−x)2 + 2 = 2x2 + 2 = f1(x), por tanto la funcion es par.
b) f2(−x) = 3(−x)3 − (−x) = −3x3 + x = −(3x3 − x) = −f2(x), por tanto la funcion es impar.
c) f3(−x) = 3(−x) + 1 = −3x + 1, lo cual es distinto de f3(x) y −f3(x), por tanto no es ni par
ni impar.
210 CAPITULO 7. FUNCIONES
Ejercicio de desarrollo.- Para cada una de las siguientes funciones determine si es par o impar
o ninguna de las anteriores.
a) f1(x) =√
x2 + 1; b) f2(x) = 4x3 − x2
La simetrıa es una caracterıstica importante en una grafica, y esto hay resaltarlo, pero
tambien nos puede ahorrar trabajo, pues con la mitad de la grafica podemos obtener por simetrıa
el resto.
Ejemplo 2.- Bosquejar la grafica de f(x) = x2
Solucion: La funcion es par f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x). Ası evaluaremos la funcion solo en
algunos numeros no negativos.
x 0 1 2 3 4
y 0 1 4 9 16
1
2
3
−1
2−2
Y
X
Ejemplo 3.- Bosquejar la grafica de f(x) = x3
Solucion: En este caso la funcion es impar f(x) = (−x)3 = −x3 = −f(x). Ası evaluaremos la
funcion solo en algunos numeros no negativos
7.8. INTERSECCIONES CON LOS EJES 211
x 0 1 2 3 4
y 0 1 8 27 64
Observe que los valores de y son bastante altoscomparados con los de x, ası se uso una escalamenor en el eje y para peder granear la funcion.
1
2
3
−1
−2
−3
2−2
Y
X
7.8. Intersecciones con los Ejes
Las intersecciones con los ejes es una caracterıstica que se toma en cuenta en muchas apli-
caciones.
La interseccion con el eje y es el punto donde la grafica de la funcion corta el eje y.
Para obtenerla colocamos x = 0 en y = f(x)dando un valor de y = b. El valor b es conocidocomo ordenada en el origen y el punto (0, 6) esel punto en el cual la grafica corta el eje y.
Y
X
(0,b)
212 CAPITULO 7. FUNCIONES
Y
X(a1, 0) (a2, 0) (a3, 0)
Las intersecciones con el eje x son los pun-tos donde la grafica de f corta el eje y. Estospuntos son donde la coordenada y es 0, en-tonces para obtener estos punto planteamosf(x) = 0 y despejamos x.
Ejemplo 3.- Calcular las intersecciones con los ejes de las siguientes graficas
a) f(x) = x2 − 2; b) f(x) =√
x + 3
Solucion:
a) Interseccion con el eje y : Tenemos que evaluar la funcion en x = 0 para obtener la
ordenada en el origen
y = 02 − 2 = −2
Ası la ordenada en el origen es −2 y la grafica corta el eje y en el punto (0,−2).
Interseccion con el eje x : Tenemos que plantear la ecuacion y=0 para conseguir las abscisas en
el origen:
x2 − 2 = 0
x2 = 2
x = ±√
2
Ası las abscisas en el origen son x = ±√
2 y la grafica corta el eje x en los puntos y (√
2, 0) y
(−√
2, 0).
b) Interseccion con el eje y : Tenemos que evaluar la funcion en x = 0 para obtener la ordenada
en el origen
7.8. INTERSECCIONES CON LOS EJES 213
f(0) =√
0 + 3 =√
3
Concluimos que la ordenada en el origen es√
3 y la grafica corta el eje y en el punto (0,√
3).
√x + 3 = 0
(√
x + 3)2 = 0
x + 3 = 0
x = −3
De esta manera la abscisa en el origen es x = −3 y la grafica corta el eje x en el punto (−3, 0).
Ejercicio de desarrollo.- Para cada una de las siguientes funciones determine las intersecciones
con los ejes
a) f1(x) =√
x2 + 1 + 3; b) f2(x) = 4x3 − x2
Ejemplo 4.- Determine simetrıas, intersecciones con los ejes y bosqueje la grafica de f(x) =1
x.
Solucion:
Analicemos primero las simetrıas. Para ello evaluarnos f(−x)
f(−x) =1
−x= −1
x= −f(x). Concluimos que la funcion es impar y por tanto simetrica con
respecto al origen.
Veamos ahora intersecciones:
Para obtener el corte con el eje y deberıamos evaluar f en 0, pero la funcion no esta definida
en 0, (0 no esta en el Dominio de la funcion), pues la division entre 0 no esta definida. Ası no
hay corte con el eje y.
Para conseguir el corte con el eje y deberıamos plantear f(x) = 0, esto es
1
x= 0,
pero esta ecuacion no tiene solucion. Entonces la grafica de f tampoco tiene interseccion con eje
x. Evaluemos la funcion en algunos valores claves. Aquı es importante conocer el comportamiento
214 CAPITULO 7. FUNCIONES
de la funcion para valores muy altos y valores cercanos a cero.
x y
0.001 1000
0.01 100
0.1 10
1/2 2
1 1
2 1/2
5 1/5
100 0.01 1
2
3
−1
1 2 3 4−1−2−3
Y
X
1
2
3
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4
Y
X
Como la grafica es simetrica con re-specto al origen entonces obtenemosfinalmente:
Ejercicio de desarrollo.- Grafique las siguientes funciones. Recuerde simetrıas, cortes y tabla
de valores.
a) f1(x) =√
x2 − 1 + 3; b) f2(x) = 4x3 − x2
7.9. PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL 215
7.9. Prueba de la recta vertical
Recordemos que en ocasiones a una funcion se la puede definir a traves de una ecuacion
en dos variables. Esto es valido siempre y cuando para cada x en la ecuacion corresponda un
solo valor de y. Por ejemplo la ecuacion x2 + y2 = 1 no define una funcion pues al despejar
y, obtenemos para una misma x dos valores de y : y = ±√
1 − x2. Una manera alternativa
para determinar si una ecuacion define una funcion o no es a traves del grafico de la ecuacion
mediante la prueba de la recta vertical.
Una ecuacion define a una funcion si cada rectavertical corta la grafica de la ecuacion en a losumo un punto.
Y
X
Si es funcion
Si una recta vertical corta en dos puntos o masla grafica de la ecuacion entonces la ecuacion nodefine a una funcion.
Y
X
No es funcion
Si una ecuacion define a y como funcion de x y y no esta dada explıcitamente (no esta de-
spejada), diremos que y es una funcion implıcita de x.
216 CAPITULO 7. FUNCIONES
7.10. Dominio y Rango a traves de la grafica de la funcion
Y
X
-1
1
1
2 x
f(x)
La figura muestra la grafica de una funciony = f(x). Se puede observar que f(2) = 1 esun elemento del dominio de f. El dominio de lafuncion es el conjunto [−1, 3], pues allı la fun-cion esta definida, ya que todos estos elementostienen asignados un valor y y cualquier otro val-or de x fuera de este intervalo no tiene asignadoninguna imagen.1 es la imagen de 2, 1 es un elemento del rangodel f. En la grafica podemos ver que el rango def es el conjunto [−2, 2], pues estos puntos y soloestos son imagen de alguna x.
Observe que el dominio de f es la proyeccion delgrafico sobre el eje x. Se deja al lector deducircomo obtener el rango de la funcion a partir dela grafica.
Y
X
7.11. Grafica de una funcion definida por partes
Ejemplo 1.- Grafique la siguiente funcion definida por partes. Diga el dominio y el rango de
la funcion
f(x) =
−x2 si x < 0
1 si 0 < x < 2
x − 1 si 2 ≤ x ≤ 4
7.11. GRAFICA DE UNA FUNCION DEFINIDA POR PARTES 217
Solucion: El dominio es el conjunto donde esta definida la funcion, en este caso
(−∞, 0)∪(0, 4]. Para trazar la grafica de la funcion haremos tres tablas de valores correspondientes
a las tres partes de la funcion. Se tomaran los valores extremos de los intervalos de las partes
ası no esten contenidos en las partes. Valores dentro de parentesis indicara que la funcion no
toma este valor pero podemos conseguir valores de esa parte de la funcion que se aproximan al
punto tanto como se quiera.
Primera parte: x en (−∞, 0)
Si x < 0, entonces f(x) = −x2, esto resulta un trozo de parabola. Recordemos que nor-
malmente se toman como valores de x los extremos del intervalo a granear si hace falta algun
punto extra. En este caso no hay extremo izquierdo, se tomaron dos valores en el interior de la
region: −2 y −1. En este caso 0 es el extremo derecho, evaluamos 0 : f(0) = −02 = 0 de nuevo
remarcamos que el punto (x, y) = (0, 0) no esta en la grafica pero la grafica se aproxima a este
punto, en el momento de granear este punto se senalara con un cırculo agujereado y se llevara la
grafica hasta este punto. Para recordar que este punto no esta en la grafica en la tabla de valores
lo colocamos entre parentesis.
x y...
...
-2 -4
-1 -1
(0) (0)
TABLA DE LA PRIMERA PARTE: x en (−∞, 0)
Segunda parte: x en (0, 2)
Si x esta entre 0 y 2 los valores de la funcion son siempre 1. De nuevo se insiste que el punto
(0, 1) no esta en la grafica, para indicar esto colocamos un cırculo agujereado en este punto,
es necesario calcular el valor del extremo para indicar que la funcion arranca desde allı en esta
parte (o bien termina).
x y
(0) (1)
(2) (1)
TABLA DE LA SEGUNDA PARTE: x en (0, 2)
218 CAPITULO 7. FUNCIONES
Tercera parte: x en [2, 4]
Por ultimo, si x esta entre 2 y 4 entonces f(x) = x− 1. La representacion grafica es un trozo
de recta, es suficiente evaluar la funcion en los extremos de los intervalos para conseguir esta
parte de la grafica.
x y
2 1
4 3
TABLA DE LA TERCERA PARTE: x en [2, 4]
Todos estos valores los llevamos al plano cartesiano uniendo los puntos de las partes.
Comentarios: El punto (2, 1) esta incluido en la graficaporque esta en la tabla de valores de la tercera formula.La flecha en la parte izquierda de la curva indica que lagranea continua; El punto relleno en la derecha indicaque la grafica termina allı y ese punto pertenece a lagrafica
2 4
Por medio de la grafica podemos determinar el rango de la funcion f recuerde que es el
conjunto de valores y que son imagen de algun x en el dominio. En este caso
Rango f = (−∞, 0) ∪ [1, 3]
Ejercicio de desarrollo.-
Grafique la siguiente funcion definida por partes. Diga el dominio y el rango de la funcion
f(x) =
3x si −1 < x ≤ 1
2x + 1 si 1 < x < 3
6 − x si x ≥ 4
(Recuerde: Realizar una tabla de valores por cada parte, debera incluir, de ser posible, los
valores de los extremos. Si un extremo de un intervalo no esta en la parte colocar un cırculo
agujereado.
7.11. GRAFICA DE UNA FUNCION DEFINIDA POR PARTES 219
Las tres partes se representan en una misma grafica pues el todo es la grafica de la funcion.
Use flecha para indicar que la grafica continua indefinidamente y el punto relleno o agujereado
para indicar que la grafica termina allı, alcanzandose ese valor o no.)
Y
X
EJERCICIOS
1) Clasifique las siguientes funciones como par, impar o ninguna de las anteriores.
1.1) f(x) = 2x; 1.2) g(x) =x2 − 1
2x2 − 3; 1.3) f(x) =
√x2 + 5;
1.4) g(x) = x2 − 3x4; 1.5) f(x) = x3 − x − 1; 1.6) g(x) = x4 + 4x2 − 4;
1.7) f(x) =1
1 + 2x3; 1.8) f(x) =
1
x3 − 2x;
1.9) f(x) = (x4 − 2x2 − 1)(√
x2 − 5); 1.10) f(x) = (x5 − 2x3)(x3 − x).
2) Calcule las intersecciones con los ejes de la grafica de las siguientes funciones
2.1) f(x) = 2x; 2.2) g(x) =x2 − 1
2x2 − 3; 2.3) f(x) =
√x2 + 5;
2.4) g(x) = x2 − 3x4; 2.5) f(x) = 2√
x2 + 1 − 3; 2.6) f(x) = x(x − 3)(x − 4)(x − 7);
2.7) f(x) = x3 − 3x2 − 4x; 2.8) g(x) =x
x2 + 4; 2.9) g(x) =
3x
x2 − 4+ 1;
2.10) h(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6.
220 CAPITULO 7. FUNCIONES
3) Consiga simetrıas, intersecciones con los ejes y bosqueje las graficas de las siguientes
funciones
3.1) f(x) = −x + 3; 3.2) f(x) =1
1 + x2; 3.3) f(x) =
√x2 + 5;
3.4) g(x) = x4 − 2x2; 3.5) f(x) = −2x3 − 1
4) Grafique las siguientes funciones definidas por partes. Diga el dominio y el rango de la
funcion
4.1) f(x) =
x2 − 1 si −1 < x ≤ 0
2x si 0 < x < 3
−1 si x ≥ 3
4.2) f(x) =
x2 − 1 si x < −1
2x si |x| ≤ 1
−1 si x > 1
4.3) f(x) =
−x − 2 si −1 < x ≤ 0
x2 si 0 < x < 2
x + 1 si x ≥ 2
4.4) f(x) =
√9 − x2 si 0 ≤ x ≤ 3
3 − x si x ≥ 3
5) Diga si las siguientes ecuaciones definen o no una funcion a traves de la prueba de la recta
vertical.
5.1) y2 + 4x2 − 1 = 0; 5.2) x + xy − 1 = 0; 5.3) y + 2x = 1; 5.4) yx2 − 1 = 0
6)
a) Demuestre que si f es un polinomio tal que los coeficientes de grados pares son 0 entonces
la funcion es impar y si g es un polinomio tal que los coeficientes de grados impares son 0
entonces la funcion es par.
b) Demuestre que si f y g son pares entonces: f + g, f − g y f · g, son pares yf
ges par
donde este definida. Asuma que los dominios de f y g coinciden.
c) Demuestre que si f y g son impares entonces: f + g, f − g son impares y f · g yf
gson
pares en su dominio.
7.12. OPERACIONES CON FUNCIONES 221
d) Sea f una funcion no negativa. Demuestre que si f es par entonces y f es par entonces
Realice de nuevo el ejercicio VI con estos resultados.
7.12. Operaciones con funciones
A menudo se definen nuevas funciones a partir de otras. Por ejemplo la funcion f(t) representa
el numero de mujeres trabajando en un paıs en funcion del tiempo y g(t) el numero de hombres
trabajando. La suma f(t) + g(t) representa la cantidad total de personas trabajando en funcion
del tiempo.
Podemos considerar la suma como una nueva funcion que la representaremos como f + g o
(f + g), definida por
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Igualmente podemos definir f − g, fg yf
gcomo sigue
(f − g)(x) = f(x) − g(x)
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
(f
g
)
(x) =f(x)
g(x)
Los dominios de f +g, f−g y fg son la parte comun del dominio de f y g, esto es la interseccion
de ambos dominios, pues debe estar definida para f y g simultaneamente. El dominio def
ges
igualmente la parte comun de los dominios menos los r′s tales que g(x) = 0, esto es con el fin
de evitar la division entre 0. En notacion conjuntista esto es
Domf
g= Dom (f · g) − {x/g(x) = 0} :
Ejemplo 1.- Sean f(x) =√
x2 − 1 y g(x) =x − 1
2x − 3. Encuentre (f +g)(x), (f−g)(x), (fg)(x)
y
(f
g
)
(x) y establezca su dominio.
222 CAPITULO 7. FUNCIONES
Solucion: El dominio de f es el conjunto (−∞,−1] ∪ [1,∞). El Dom g = R − {3/2}
Los dominios de de f + g, f − g y fg son la interseccion o parte comun de los dominios de
f y g. Esto es:
Dom (f + g)(x) = Dom (f − g)(x) = Dom (f · g)
= Dom f ∩ Dom g = (−∞,−1] ∪ [1,3
2
)
∪(
3
2,∞ ]
-1 1
-1 1 3/2
dom f
dom g
dom f+g
Por otro lado:
(f + g)(x) =√
x2 − 1 +x − 1
2x − 3
(f − g)(x) =√
x2 − 1 − x − 1
2x − 3
(fg)(x) =√
x2 − 1 · x − 1
2x − 3
Para el cociente tenemos que considerar aquellos puntos tales que g(x) = 0, esto es la solucion
de esta ecuacion es x = 1 (cuando el numerador es cero). Ası que este punto lo tenemos que
quitar de la parte comun de los dominios de f y g. De aquı concluimos que:
Domf
g= (−∞,−1] ∪ [1,
3
2
)
∪(
3
2,∞ ]
-1 1 3/2
y
(f/g)(x) =
√x2 − 1x − 1
2x − 3
=(2x − 3)
√x2 − 1
x − 1
Domf
g= Dom (f + g) − {x/g(x) = 0}
= (−∞,−1] ∪ [1,3
2
)
∪(
3
2,∞ ] − {1}
= (−∞,−1] ∪ [1,3
2
)
∪(
3
2,∞ ]
7.12. OPERACIONES CON FUNCIONES 223
Observacion. Si usamos esta ultima formula para obtener el dominio nos darıa que 3/2 estarıa
en el dominio de f/g, pero recuerde que para definir f/g tiene que tener sentido evaluar la
funcion tanto en f como en g y en este caso g no esta definida en 3/2.
Recuerde:
1)Dom(f + g)(x) = Dom(f − g) = Dom f · g = Dom f ∩ Dom g
2)Domf
g= Dom(f + g) − {x/g(x) = 0}
Ejercicios de desarrollo.- Dadas las funciones f(x) =√
x2 − 1 y g(x) = x3 − 3x2 + 2x,
determinar (f + g)(x), (f − g)(x), (fg)(x) y
(f
g
)
(x) y establezca el dominio de cada una.
Si una funcion la podemos interpretar como suma, diferencia o multiplicacion de dos fun-
ciones, podemos usar lo dado arriba para calcular el dominio de ella. El siguiente ejemplo ilustra
el procedimiento.
Ejemplo 2.- Calcular el dominio de las siguientes funciones:
a) f(x) =√
1 − x − 2
x2 − 4; b) g(x) =
√x2 − 4
7 − 2x
Solucion:
a) La funcion f la podemos interpretar como la diferencia de
f1(x) =√
1 − x y f2(x) =2
x2 − 4
Observe que la funcion se ha descompuesto en dos partes donde la funcion presenta problemas
diferentes. El dominio de f debe ser la parte comun del dominio de f1 y el dominio de f2 a fin
de que no existan problemas a la hora de evaluar f.
El dominio de f1 es el intervalo (−∞, 1]
El dominio de f2 es el conjuntoR − {−2, 2}
1
2
-2 1
Dom f1
Dom f2
Dom f
La interpretacion entre estos dos subconjuntos es:
Dom f1 ∩ Dom f2 = (−∞,−2) ∪ (−2, 1]
224 CAPITULO 7. FUNCIONES
De aquı que Dom f = (−∞,−2) ∪ (−2, 1].
b) La funcion g la podemos interpretar como la multiplicacion de g1(x) =√
x2 − 4 y g2(x) =
1
7 − 2x
El dominio de g1 es el conjunto(−∞,−2] ∩ [2,∞)
El dominio de f2 es el intervaloR − {7/2}
-2 2
-2 2 7/2Dom g
Dom g1
Dom g2
La interseccion o parte comun entre estos dos subconjuntos es:
Dom g1 ∩ Dom g2 = (−∞,−2] ∪ [2, 7/2) ∪ (7/2,∞).
Remarcamos que: El dominio de g es la interseccion de los dominios de g1 y de g2 pues para
estos valores y solo en estos no existe problemas a la hora de evaluar g. Concluyendo:
Dom g = (−∞,−2) ∪ [2, 7/2) ∪ (7/2,∞).
Observacion: El ejercicio anterior se pudo resolver interpretando la funcion g como un cociente
Ejercicio de desarrollo.- Calcular el dominio de la siguiente funcion:
f(x) =√
3x − x2 +2
x2 − 4Ejercicios:
1) Para cada uno de los siguientes pares de funciones encuentre (f + g)(x),
(f −g)(x), (fg)(x) y
(f
g
)
(x) y determine para cada una de ellas su dominio. Simplifique tanto
como sea posible.
1.1) f(x) = 2x y g(x) =x − 1
2x − 3; 1.2) f(x) =
√x + 5 y g(x) = x2;
1.3) f(x) =√
3 − x y g(x) =√
x − 1; 1.4) f(x) =1
1 + 2xy g(x) = x2 − 1;
1.5) f(x) =x − 1
x + 2y g(x) =
x
x + 1; 1.6) f(x) =
1
1 − 2xy g(x) = x + 1;
1.7) f(x) =x
4 − x2y g(x) =
2
x + 2; 1.8) f(x) =
√x2 − 4x y g(x) = x2;
7.13. FUNCION COMPUESTA 225
2) Sea f(x) =√
x y g(x) = x2 − 1. Encuentre
2.1) (f + g)(1); 2.2) (f − g)(4); 2.3) (fg)(0); 2.4)
(f
g
)
(3)
3) Calcule el dominio de las siguientes funciones
3.1) f(x) =√
x + 1 − x; 3.2) f(x) =
√x + 1
x2 − 3; 3.3) g(x) =
√1 − x2 − 1
x;
3.4) h(x) =√
1 − x + 2√
x; 3.5) f(x) =1
x3 − 3x− 1
x + 1; 3.6) g(x) =
x√1 − x
7.13. Funcion compuesta
A
B
C
x
f(x)
f
g
f ◦ g
z = (f ◦ g)(x)
= f(y)
Imaginemos que se tiene una cantidad en fun-cion de una variable y y esta variable tambienpuede ser expresada en terminos de una segundavariable x, entonces podrıamos estar interesadosen expresar la cantidad directamente en funcionde x. Por ejemplo la utilidad depende de la de-manda q del mercado y a su vez la demandadepende del precio p que se coloca al consumi-dor. En definitiva podemos expresar la utilidadtambien en terminos del precio p.Esta operacion entre funciones es conocida comola composicion, dando como resultado la funcioncompuesta. Veamos mas precisamente su defini-cion.
Definicion 7.4 Dadas dos funciones f y g, se define la funcion compuesta f ◦ g como
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
El dominio de (f ◦ g) es el conjunto de todos los x del dominio de g tales que g(x) pertenece al
dominio de f
Para calcular (f ◦ g) primero se puede sustituir g(x), y luego se evalua f en la formula de
g(x), esto es f(g(x)). En este caso decimos que f es la funcion externa y g es la funcion interna.
La funcion (f ◦ g) en general es distinta a la funcion (g ◦ f), en esta ultima se evalua g en f,
esto es g(f(x)). En los ejemplos se remarcara esta observacion.
226 CAPITULO 7. FUNCIONES
El dominio puede ser expresado a traves de operaciones conjuntistas como:
Dom (f ◦ g) = {x /x ∈ Dom (g) y Dom (f)}
Ejemplo 1.- Sean f(x) =√
1 + x y g(x) = 2x − 1. Encuentre las siguientes funciones y
determine su dominio.
a) f ◦ g b) g ◦ f
Solucion: Se puede verifcar que Dom f = [−1,∞] y Dom g = R
a) Calculemos primero (f ◦ g)
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) Se sustituye primero g(x)
= f(2x − 1) Se evalua f en 2x − 1
=√
1 + (2x − 1) Se simplifica
=√
2x
Para calcular el dominio tomamos en consideracion el dominio de g, en este caso todos los reales
y nos restringuimos a aquellas x′s tales que g(x) esta en [−1,∞) = dom f. Esto es:
g(x) ≥ −1 Observe como la expresion:
2x − 1 ≥ −1 “g(x) esta en [−1,∞)”
Se paso en terminos de desigualdad
La solucion de esta desigualdad es x ≥ 0. De aquı Dom f ◦ g = [0,∞)
b) Calculemos primero (g ◦ f)
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) Se sustituye primero f(x)
= g(√
1 + x) Se evalua g en√
1 + x
= 2√
1 + x − 1
Para calcular el dominio tomamos en consideracion el dominio de f, en este caso [−1,∞) y nos
restringimos a aquellas x′s tales f(x) estan en el dominio de g. Pero como dominio de g son
7.13. FUNCION COMPUESTA 227
todos los reales queda Dom g ◦ f = [−1,∞).
En formulas tenemos
Dom (g ◦ f) = {x /x ∈ Dom (f) y f(x) ∈ Dom (g)}
= {x /x ∈ [−1,∞) y g(x) ∈ R}
= [−1,∞).
Observe con estos ejemplos que efectivamente
(f ◦ g)(x) 6= (g ◦ f)(x)
Ejemplo 2.- Sean f(x) =√
1 + x y h(x) = x2. Encuetre las siguientes funciones y determine
su dominio
a) f ◦ h; b)h ◦ f
Solucion: Se puede verificar que Dom f = [−1,∞) y Dom h = R
a) Calculemos primero f ◦ h
(f ◦ h)(x) = f(h(x)) = f(x2) =√
1 + x2
Calculemos el dominio de esta composicion:
Dom (f ◦ h) = {x /x ∈ Dom (h) y h(x) ∈ Dom (f)}
= {x /x ∈ R y x2 ∈ [−1,∞)}
= {x /x2 ≥ −1} = R
b) Calculemos la funcion h ◦ f
(h ◦ f)(x) = h(f(x)) = h(√
1 + x) = (√
1 + x)2 = 1 + x
Calculemos el dominio de esta descomposion
En formulas tenemos
228 CAPITULO 7. FUNCIONES
Dom (h ◦ f) = {x /x ∈ Dom (f) y f(x) ∈ Dom (h)} =
= {x /x ∈ [−1,∞) y√
1 + x ∈ R}. Recuerde que√
1 + x ∈ R siempre se cumple
= {x /x ∈ [−1,∞)} = [−1,∞)
Observe que el dominio de la funcion definida por la formula 1 + x, la cual es la misma formula
que (h ◦ f)(x), es R diferente al dominio de (h ◦ f)(x) el cual es [−1,∞).
No podemos calcular el dominio de una composicion a traves de su formula. Veamos otro
caso.
Ejemplo 3.- Sea f(x) =1
x. Encuentre f ◦ f y determine su dominio
Solucion.- Se puede verificar que Dom f = R − {0}. a) Calculemos primero f ◦ f
(f ◦ f)(x) = f(f(x)) = f
(1
x
)
=11
x
= x
Ejercicio de desarrollo.- Sean f(x) =√
1 − x2 h(x) =2x
4 + x2− 1. Encuentre las siguientes
funciones y determine su dominio
a) f ◦ g, b) g ◦ f, c)h ◦ g, g ◦ h
Ejemplo 4.- Exprese las siguientes funciones como la composicion de dos funciones.
a)h(x) =√
1 + 3x; b)h(x) =1
(2x − 1)2
Solucion.- Este tipo de ejercicio trata de proponer f y g tal que h puede ser expresada como
la composicion de estas dos funciones. Esto es: (f ◦ g)(x) = h(x). Para resolver este tipo de
ejercicio debemos considerar el orden de las operaciones que se hacen.
a) En este caso podemos interpretar 1 + 3x lo primero que se hace y luego se extrae la raız.
Ası que una posibilidad para expresarlo como composicion de dos funciones es definir f(x) =√
x
y g(x) = 1 + 3x. Verifiquemos:
7.13. FUNCION COMPUESTA 229
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
= f(1 + 3x)
=√
1 + 3x = h(x)
Comentario: Normalmente la funcion g(x) = 1+3x es llamada la funcion interna y f(x) =√
x
la funcion externa
b) De nuevo este ejercicio, dependiendo como interpretemos la funcion, puede tener varias re-
spuestas. A fin que el estudiante verifique su respuesta debera realizar la composicion. Una
forma conveniente y muy frecuente de ver esta funcion como composicion de dos funciones es
reescribiendo primero la funcion como:
h(x) = (2x − 1)−2
Ahora interpretamos que 2x − 1 como la parte mas interna y que luego se eleva a la −2.
Ası que una posibilidad para expresarlo como composicion de dos funciones es definir f(x) =
x−2 y g(x) = 2x − 1. Verifiquemos:
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
= f(2x − 1)
= (2x − 1)−2 = H(x) Recuerde: verificar a fin de chequear su respuesta
Aplicaciones
Ejemplo 1.- Se ha estimado que la demanda q de la gasolina en funcion del precio es
q(p) =5400
1 + 2p
miles de litros por dıa. Se preve que el precio de la gasolina aumente en funcion del tiempo a
un valor por litro de p(t) = 0.02t2 + 0.1t + 10 UM en el mes t.
a) Expresar la demanda mensual en funcion del tiempo t.
230 CAPITULO 7. FUNCIONES
b) ¿Cual sera el consumo de gasolina dentro de un ano?
Solucion:
a) Como la demanda es funcion del precio a traves de la relacion q(p) =5400
1 + 2py el precio del
tiempo por la relacion p(t) = 0.02t2 + 0.1t + 10. Entonces la funcion compuesta esta dada:
(q ◦ p)(t) = q(p(t)) =5400
1 + 2p(t)=
5400
1 + 2(0.02t2 + 0.1t + 10)
q(p(t)) =5400
0.04t2 + 0.2t + 21
expresa la demanda mensual en funcion del tiempo.
b) Como t esta dado en terminos de meses, debemos evaluar la formula anterior en t = 12.
q(p(12)) =5400
0.04(12)2 + 0.2(12) + 21=
5400
29, 16= 185, 18 miles de litros de gasolina
Ejemplo 2.- Un incendio en una sabana se propaga en forma de cırculo. Si el radio de este
cırculo aumenta a una velocidad de 30m/h, exprese el area total en funcion del tiempo en horas.
Solucion: El area en funcion del radio es:
A(r) = π · r2
Por otro lado el radio en el momento t = 0 es 0, y al cabo del t horas lo podemos deducir a
traves de la relacion:
v =r
t.
donde v = 30, ası el radio en funcion del tiempo es:
Para obtener el area de la region incendiada tenemos que realizar la composicion entre la
A(r) y r(t). De esta manera obtenemos
A(r(t)) = π(r(t))2 = π(30t)2
A(t) = 900π · t2
7.13. FUNCION COMPUESTA 231
Ejercicios
1) Sean f(x) =√
x y g(x) = x2 − 1. a) Encuentre (f ◦ g)(−2); b) encuentre (g ◦ f)(2);
c) verifique que (g ◦ f)(x) = x − 1; d) ¿ Puede evaluar (g ◦ f)(−2)?
2) Sean f(x) =1
x + 2y g(x) =
1
x + 1. a) Calcule el dominio de h(x) =
x + 1
2x + 3;
b) verifique que (f ◦ g)(x) =x + 1
2x + 3; c) ¿ −1 pertenece al dominio de (f ◦ g)?
3) Para cada uno de los siguientes de funciones encuentre f ◦ g, g ◦ f y f ◦ f y determine
para cada una de ellas su dominio. Simplifique tanto como sea posible.
3.1) f(x) = 2x y g(x) =x − 1
2x − 3; 3.2) f(x) =
√x + 5 y g(x) = x2;
3.3) f(x) =√
3 − x y g(x) =√
x − 1; 3.4) f(x) =1
1 + 2xy g(x) = x2 − 1;
3.5) f(x) =1
1 − 2xy g(x) = x + 1; 3.6) f(x) = x − 1 y g(x) =
x
x + 1;
3.7) f(x) =1
2 − xy g(x) =
x
x + 1; 3.8) f(x) =
√4 − x2 y g(x) = 1 +
√x2 − 1
4) Exprese las siguientes funciones como la composicion de dos funciones
4.1) f(x) =1
(1 + 2x)2; 4.2) g(x) = (2x + 1)5;
4.3) g(x) =
√x
x + 1; 4.4) f(x) =
1
1 + 2√
x + 1
Problemas en ciencias naturales
1) Un barco deja una mancha circular de aceite que se va expandiendo en forma circular.
El radio de la mancha sigue el modelo r(t) = 0.5(√
t + 3√
t)cm, donde t es medido en minutos.
Encotrar el area en funcion del tiempo.
2) Se ha estimado que la contaminacion por monoxido de carbono depende en ciertas zonas
del planeta del tamano de la poblacion mediante la relacion:
232 CAPITULO 7. FUNCIONES
C(p) =
√2000 + 0.5p
10partes por millon
donde p esta dado en miles de habitantes. Estudios demograficos han estimado que dentro de t
anos la poblacion de una ciudad sera de
p(t) = 700 + 3t2
Exprese el nivel de contaminacion en funcion del tiempo. ¿ Cuando llegara el nivel de monoxido
a 6 ppm?
7.14. Operaciones geometricas de graficas
En esta seccion estudiaremos como granear funciones a partir de las graficas de funciones
conocidas mediante operaciones geometricas de traslacion, reflexion, contraccion y alargamiento.
Anteriormente se ha obtenido el trazo de una serie de graficas muy usadas en el calculo.
Estas graficas conviene siempre tenerlas en mente. Ellas seran la base para graficar una familia
de funciones.
Y
X
y=x
Y
X
y = x2
7.14. OPERACIONES GEOMETRICAS DE GRAFICAS 233
Y
X
y =1
x
Y
X
y = x3
Y
X
y =√
x
Suponga que la grafica de y = f(x) es conocida y c una constante. A continuacion veremos
como obtener las graficas de y = f(x) + c; y = f(x + c); y = −f(x) y y = cf(x) a partir de
la grafica de f
1.- Funcion y = f(x)+c, con c > 0. Si un punto (x, y) esta en la grafica de y = f(x), entonces
(x, y + c) esta en la grafica de y = f(x) + c. De aquı que la grafica de y = f(x) + c es la grafica
de y = f(x) trasladada verticalmente c unidades hacia arriba.
2.- y = f(x)−c, c > 0. Por un razonamiento analogo, la nueva grafica se consigue trasladando
verticalmente la original c unidades hacia abajo.
Ejemplo 1.- Bosquejar y = x2 + 3.
Solucion:
234 CAPITULO 7. FUNCIONES
Las ordenadas de esta grafica son 3unidades mas que las ordenadas de lagrafica de y = x2, para cada x. Esto haceque la grafica de y = x2+3 este 3 unidadespor arriba de la grafica de y = x2
Y
X
y = x2
y = x2 + 3
3
3.- y = f(x + c), c > 0. Observe que esta nueva funcion asume los mismos valores y de
y = f(x) pero en la abscisas x − c. Esto significa que la grafica esta desplazada c unidades a la
izquierda de la grafica y = f(x).
4.- y = f(x− c), c > 0. Similarmente la nueva funcion tiene las mismas y que y = f(x) pero
asumiendo estos valores en x + c. Esto significa que la grafica de y = f(x− c) esta c unidades a
la izquierda de la grafica de y = f(x).
Ejemplo 2.- Trazar la grafica de las siguientes funciones. Determine geometricamente el
dominio y rango de la funcion
a) y =1
x − 3; b) y = x + 2
Solucion:
a) La grafica y =1
x − 3es la grafica de y =
1
xtrasladada 3 unidades a la derecha. Se recomienda
al trabajar pon la grafica de y =1
xtrasladar el eje que corresponda como una recta punteada.
En este caso se traslada la recta vertical x = 0 tres unidades a la derecha
7.14. OPERACIONES GEOMETRICAS DE GRAFICAS 235
Y
X
y =1
x
Y
X3
x=3
y =1
x − 3
De la grafica de y =1
x − 3, vemos claramente que x = 3 es el unico punto de la grafica
que no tiene imagen (al proyectar la grafica sobre el eje x el unico valor que no esta en esta
proyeccion es x = 3). Por tanto el dominio de f es el conjunto R − {3}.
Ejemplo 5.- Granear y = −√x.
Solucion: La grafica de y = −√x es una reflexion en torno al eje x de la grafica de y =
√x
Y
X
y =√
x
Y
X
y = −√
x
El siguiente ejemplo ilustra como puede ser obtenida la grafica de algunas funciones a traves
de varias operaciones geometricas.
Ejemplo 6.- Granear y =√
x − 3 − 2. Determine el dominio y el rango de la funcion por
236 CAPITULO 7. FUNCIONES
medio de la grafica
Solucion.- Para obtener esta grafica primero obtendremos la de y =√
x − 3 y a partir de esta
haremos una traslacion vertical 2 unidades hacia abajo para obtener la grafica y =√
x − 3 − 2.
Y
X
y =√
x
Y
X
y =√
x − 3
Y
X
y =√
x − 3 − 2
La grafica y =√
x − 3 − 2 seobtiene a partir dey =
√x − 3 por una traslacion
de 2 unidades hacia abajo
7.14. OPERACIONES GEOMETRICAS DE GRAFICAS 237
Y
X
y=x
y=x+2
-2
-2
b) La grafica y = x + 2 se obtienetrasladando la grafica de y = x mas2 unidades a la izquierda. Es claroque el dominio de y = x + 2 es R.
5.- y = cf(x), c > 0. Pensemos por ejemplo que c = 2. Entonces las nuevas coordenadas y
seran el doble que las de y = f(x). Si c = 1/2 entonces las nuevas ordenadas seran la mitad de
las de y = f(x).
En general, si c > 1, la grafica se alarga y si c > 1 la grafica se comprime.
Ejemplo 3.- Graficar y = 4x3.
Solucion:
La grafica de y = 4x3 se obtiene porun estiramiento vertical de la grafi-ca de y = x3. Si para cada abscisa laordenada era y, ahora la nueva or-denada es 4 veces y.
Y
X
y = x3
y = 4x3
Ejercicio de desarrollo. Trazar la grafica de las siguientes funciones en el mismo sistema de
coordenadas. Determine geometricamente el dominio y rango de la funcion.
238 CAPITULO 7. FUNCIONES
a) y =√
x/2
b) y =√
x − 3
c) y =√
x + 1
Y
X
6.- y = −f(x). Observe que las ordenadas de la grafica de esta funcion tienen las mismas
magnitudes pero de signo contrario que las de y = f(x), para cada x. Ası por ejemplo si un punto
sobre la grafica de f tiene coordenadas (a, b), (considere b positivo y luego negativo) entonces el
punto (a, b) esta en la grafica de y = −f(x). Geometricamente esto es una reflexion en torno al
eje x.
Recordemos que el dominio de una funcion lo podemos determinar a partir de la grafica de
la funcion proyectando la grafica sobre el eje x. El rango similarmente es la proyeccion sobre el
eje y. De la figura vemos claramente que:
Dom f = [3,∞) Rango f = [−2,∞)
Y
X
Dom f=[3,∞)
Y
X
Rang f=[−2,∞)
7.14. OPERACIONES GEOMETRICAS DE GRAFICAS 239
La siguiente es una tabla resumen con las operaciones geometrica mas importantes.
Ejemplo sobre Ejemplo sobre
Nueva funcion Efecto geometrico f(x) =√
x f(x) =1
x
y = f(x) + k, k > 0 La grafica de y = f(x) se desplaza y =√
x + 3 = 3 +√
x y =1
x+ 3
k unidades hacia arriba.
y = f(x) − k, k > 0 La grafica de y = f(x) se desplaza y =√
x − 3 y =1
x− 3
k unidades hacia abajo.
y = f(x + k), k > 0 La grafica de y = f(x) se desplaza y =√
x + 3 y =1
x + 3k unidades hacia la izquierda.
y = f(x − k), k > 0 La grafica de y = f(x) se desplaza y =√
x − 3 y =1
x − 3k unidades hacia derecha.
y =1
kf(x), k > 1 Se contrae la grafica de y = f(x) y =
1
2
√x =
√x
2= 0.5
√x y =
1
2x=
1
2x = 0.5x
verticalmente.y = kf(x), k > 1 Se expande la grafica de
y = f(x) verticalmente. La nueva y = 3√
x y = 31
x=
3
xcoordenadas y son k veces la anterior
y = −f(x), Se refleja la grafica de y = −√x y = − 1
xy = f(x) en torno al eje x.
y = f(−x)
Ejemplo 7.- Graficar y = 1 − (x − 2)3
Solucion: Esta funcion la reescribimos como y = −(x − 2)3 + 1. En la siguiente secuencia de
planos mostramos los pasos para obtener la grafica de la funcion.
Y
X
Y
X
La grafica de la funcion
y = (x − 2)3 es una
translacion a la derecha
de y = x3
240 CAPITULO 7. FUNCIONES
Y
X
La grafica de la funcion
y = −(x − 2)3 se obtiene
reflejando la grafica de
y = (x − 2)3 en torno al eje X
Y
X
La grafica de la funcion
y = (x − 2)3 + 1 es obtiene
desplazando 1 unidad
hacıa arriba la grafica de
y = −(x − 2)3
y = −(x − 2)3 + 1
A continuacion mostraremos unos graficos resumiendo las transformaciones dadas en esta
seccion
Comentario: Cuando tenemos varias operaciones se recomienda primero considerar la operacion
mas interna de la x : sumar o restar una constante (si la hay) luego las multiplicaciones por
constantes, incluye el cambio de signo y por ultimo la suma de constantes.
Ejercicio de desarrollo: Trazar la grafica de las siguientes funciones. Determine geometrica-
mente el dominio y rango de la funcion.
a) y = 2 +1
1 − x
b) y = −2 + 3(x + 1)3
Y
X
(Sugerencia: Reescriba la funcion. Considere1
1 − x= − 1
x − 1
7.15. RESOLUCION GEOMETRICA DE SISTEMAS NO LINEALES 241
Recuerde que cuando la grafica de la funcion tiene asintotas se recomienda hacer una
traslacion, punteada de las asintotas si la grafica se traslada).
Ejercicios:
1) Diga como es la grafica de y = f(−x) con respecto a la grafica de y = f(x). Justifique
2) Diga como es la grafica de y = f(x) con respecto a la grafica de y = f(x). Justifique
3) Utilice las graficas de las funciones elementales y la tecnica de transformacion para graficar
las funciones dadas. Diga cual es el dominio y el rango de cada funcion.
3.1) f(x) =√
x − 2 + 1; 3.2) f(x) = −(x − 2)3; 3.3) f(x) = 2|x + 1|;
3.4) f(x) = −x2 + 1; 3.5) f(x) =−1
x + 2; 3.6) f(x) =
√−x;
3.7) f(x) =1
x − 3− 4; 3.9) f(x) = −
√1 − x;
3.10) f(x) = 3 − (x − 2)2; 3.11) f(x) =2
x − 4− 1; 3.12) f(x) =
2
4 − x.
4) Trazar la grafica de las funciones definidas por partes usando el bosquejo de las graficas
elementales en las partes.
4.1) f(x) =
x2 − 1 si x < −1
3 − x si |x| ≤ 1
−√x si x > 1
4.2) f(x) =
−x − 2 si −1 < x ≤ 0
−x2 si 0 < x < 2
√x + 2 si x ≥ 2
4.3) f(x) =
x2 + 1 si 0 ≤ x < 3
−(x − 2)3 si x ≥ 3
7.15. Resolucion geometrica de sistemas no lineales
Existe una gran variedad de sistema no lineales en esta seccion mostraremos como obtener
una solucion aproximada mediante la graficacion de la ecuaciones del sistema. Tambien daremos
242 CAPITULO 7. FUNCIONES
recomendaciones analıticas para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas cuando
una de las dos ecuaciones es lineal.
Ejemplo 1.- Resolver el siguiente sistema analıticamente y geometricamente
y − x2 + 2 = 0
y + 2x = 6
7.15. RESOLUCION GEOMETRICA DE SISTEMAS NO LINEALES 243
Solucion:Este es un sistema no lineal con la caracterısticaque una de las ecuaciones es lineal. Para resolvereste sistema la recomendacion es despejar una delas variables y sustituirla en la otra ecuacion. Sihay una ecuacion lineal, siempre podemos despe-jar cualquiera de las variables y sustituirla en laotra. Aquı despejamos y en la segunda ecuacion:y = 6 − 2x y la sustituimos en la primera
6 − 2x − x2 + 2 = 0
Quedo una ec. de segundo grado, la cual resolve-mos por factorizacion
x2 + 2x − 8 = 0
(x − 2)(x + 4) = 0
x = 2 y x = −4
Una vez que conseguimos las soluciones de x, paracada una de ellas sustituimos su valor en algunasde las dos ecuaciones y obtenemos para ese x lacorrespondiente y.
Para x = 2 : Sustituimos en la segunda ecuaciony = 6 − 2 − 2 = 2. Ası que una solucion es (2, 2).
Para x = −4 : Sustituimos en la segunda ecuacion
y = 6 − 2 − (−4) = 14. Ası que la otra solucion
Y
X
(−4, 14)
(2, 2)
En el lado derecho se ha hecho la grafica de las dos ecuaciones con la tecnica vista en la
seccion pasada se puede verificar que efectivamente las dos soluciones analıticas coinciden con
las dos soluciones geometricas, que son los dos puntos de interseccion de las dos curvas.
En conclusion: El sistema dado tiene dos soluciones dadas por (x1, y1) = (2, 2) y (x2, y2) =
(−4, 14)
Ejemplo 1.- La ecuacion de oferta de un determinado artıculo esta dado por
p =√
q + 12 + 2 y la de demanda por p + q = 20. Encontrar el punto de equilibrio de este
artıculo, a) resolviendo el sistema de ecuaciones, b) Graneando la curva de oferta y demanda y
estimando el punto de interseccion.
Solucion: Debemos resolver el siguiente sistema no lineal:
244 CAPITULO 7. FUNCIONES
p =√
q + 12 + 2
p + q = 20
Este es un sistema no lineal con la caracterıstica que una de las ecuaciones es lineal. Para resolver
este sistema se sigue la recomendacion: despejar una de las variables en una ecuacion y sustituirla
en la otra ecuacion. Ası despejamos p en la segunda ecuacion: p = 20 − q y la sustituimos en la
primera
20 − q =√
q + 12 + 2
Quedo una ecuacion con radicales. Para este tipo de ecuacion se recomienda dejar solo el radical
en cualquier lado de la ecuacion y elevar al cuadrado ambos lados, tomando en prevision que al
elevar al cuadrado podemos estar agregando solucion.
18 − q =√
q + 12
(18 − q)2 = (√
q + 12)2
182 − 36q + q2 = q + 12
q2 − 37q + 312 = 0
q =37 ±
√121
2
q = 24 y q = 13
Y
X
Ec. de oferta
Ec. demanda
Para la primera q tenemos un precio de p = 20 − 24 = −4. Esta solucion se elimina.
Para 9 = 13, obtenemos un precio de p = 20−13 = 7. Ası que el punto de equilibrio esta dado
por (13, 7). En la grafica esta dibujada las curvas de demanda y oferta, un estimado del punto
de interseccion es (13, 7).
7.16. FUNCION INVERSA 245
Ejercicio:
1) Resolver los siguientes sistemas analıticamente y geometricamente
1.1)
y − 4x3 = 0
y − x = 0; 1.2)
x =8
y
3y − x = 2
; 1.3)
y −√x + 6 = 0
y + x = 6;
7.16. Funcion inversa
En esta seccion estamos interesados endefinir la funcion inversa de una funcion,es decir aquella funcion que hace regre-sarnos al x de partida.Muchas veces tenemos el precio p en fun-cion de la demanda existente. Al expresarla demanda q en funcion del precio p es-tamos obteniendo la funcion inversa de laanterior
A B
x y = f(x)
funcioninversa
f
No todas las funciones se les pueden definir una funcion inversa.
A B
ay
b
f
Por ejemplo si hay un y que es imagen de dospuntos a y b, no vamos a poder definir una fun-cion que diga plenamente como es el regreso alconjunto de salida, sin dejar de ser funcion.
246 CAPITULO 7. FUNCIONES
La existencia de la funcion inversa de f lapodemos establecer mediante la grafica dela funcion. Si existe una recta horizontalque corta la grafica en dos puntos entoncesno existe la funcion inversa.
Y
X
Una funcion f tiene inversa si toda recta horizontal corta la grafica de f a lo sumo en un
punto. Una funcion con esta caracterıstica la llamaremos biunıvoca.
Definicion 7.5 Sea f una funcion biunıvoca y g una funcion cuyo dominio es el rango de f.
Diremos que g es la inversa de f si
a) g(f(x)) = x para todo x en el dominio de g.
b) f(g(x)) = x para todo x en el rango de f.
La funcion inversa se suele representar por f−1
(f−1 no debe confundirse con y =1
f(x), f−1 es un sımbolo para nombrar la funcion inversa
y que recuerda el origen de la funcion recien definida).
Para conseguir la funcion inversa es aconsejable en un principio seguir los siguientes pasos.
Paso 1.- Realizar la prueba de la recta horizontal para ver si tiene inversa
Paso 2.- Despejar x en funcion de y en la ecuacion y = f(x), para obtener una funcion.
x = f−1(y)
Paso 3.- Intercambiar x e y para escribir y = f−1(x)
Paso 4.- Verificar
a) f−1(f(x)) = x para todo x en el dominio de f.
b) f(f−1(x)) = x para todo x en el dominio de f−1.
Ejemplo 1.- Determinar la funcion inversa de f(x) = 3x + 1, si existe.
7.16. FUNCION INVERSA 247
Solucion:
Paso 1.- Observamos que en la grafica de fcualquier recta horizontal corta a la grafica en alo sumo un punto. Por tanto podemos proseguirpara conseguir la inversa.
Y
X
1
Paso 2.- Despejar x de la ecuacion y = f(x)
y = 3x + 1
y − 1 = 3x
x =y − 1
3
Paso 3.- Intercambiar x e y
y =x − 1
3
f−1(x) =x − 1
3
Paso 4.- Verificamos
1.- f−1(f(x)) = f−1(3x + 1) =(3x + 1) − 1
3= x
2.- f(f−1(x)) = f
(x − 1
3
)
= 3x − 1
3+ 1 = x − 1 + 1 = x
Conclusion: f−1(x) =x − 1
3es la funcion inversa de f(x) = 3x + 1.
Ejemplo 2.- Determinar la inversa si existe de f(x) = x2 + 1
Solucion:
248 CAPITULO 7. FUNCIONES
Y
X
Como existe una recta horizontal que corta ala grafica de y = x2 + 1 en 2 puntos entoncesconcluimos que la funcion no tiene inversa.
Ejercicio de desarrollo.- Determinar si existe, la inversa de y = 2√
x + 1
Ejercicio de desarrollo.- Determinar si existe, la inversa de f(x) =2
x + 1Ejemplo 3.- Determinar si existe, la inversa de f(x) = x2 − 2, para x ≥ 0
Solucion:
Paso 1.- Graficamos la funcion.Tome en cuenta en este caso que lafuncion esta definida para los x may-ores o iguales a cero.Por este motivo la grafica resulta serla mitad de la parabola.Observamos que cualquier horizon-tal corta a la grafica en a lo sumoun punto. Por tanto la funcion tieneinversa.
Y
X
-1
1
Paso 2.- Despejar x de la ecuacion y = f(x)
y = x2 − 2
y + 2 = x2
Como la x es positiva, desecha
7.16. FUNCION INVERSA 249
x =√
y + 2
Paso 3.- Intercambiar x e y
y =√
x + 2
f−1(x) =√
x + 2
Paso 4.- Verificamos f−1(f(x))
f−1(f(x)) =√
f(x) + 2 =√
(x2 + 2) − 2 = x
f(f−1(x)) = (f−1(x))2 = (√
x + 2)2 − 2 = (x + 2) − 2 = x
Conclusion: f−1(x) =√
x + 2 es la funcion inversa de f(x) = x2 − 2, para x ≥ 0
Comentarios:
1) Observe que si la funcion no tuviese el dominio restringido, entonces la funcion no hubiese
tenido inversa. Esto se hubiese podido concluir graficando la funcion, pero sin necesidad de
graficar, al despejar, tendrıamos dos valores de x para una sola y.
Es decir, del despeje podemos concluir si hay inversa o no, dependiendo si conseguimos una
sola x para cada y del rango o no.
2) Una funcion que no tenga inversa, podemos eventualmente conseguir una inversa re-
stringiendo el dominio.
Por ejemplo, la funcion f(x) = (x − 1)2 + 1, notiene inversa. Sin embargo podemos restringirel dominio de la funcion. Si redefinimos la fun-cion ahora con dominio [1,∞), esta nueva fun-cion con la misma formula pero con diferentedominio a la primera si tiene inversa. El lectorpuede chequear que es:
Y
X
2
1 2
250 CAPITULO 7. FUNCIONES
f−1(x) = +√
x − 1 + 1
El signo + se toma por ser elala derecha de la parabola.
Y
X
2
1 2
7.17. Grafica de la funcion inversa
Y
X
2
1 2
(a, b)
(b, a)
Observe que si (a, b) esta en la grafi-ca de f entonces (b, a) esta en lagrafica de f−1. Estos dos puntos sonsimetricos con respecto a la rectay = x. En general, las graficas def y f−1 son simetricas con respectoa la recta y = x.
7.17. GRAFICA DE LA FUNCION INVERSA 251
Y
X-2 2
-2
y = x2 − 2
y =√
x + 2
Al lado hemos graficado y = x2 − 2,x ≥ 0 y su inversa y =
√x + 2 en el mismo
sistema de coordenadas. Vemos que efec-tivamente las graficas son simetricas conrespecto a la recta y = x
Entonces si tenemos la grafica de f podemos obtener la grafica f−1 a traves de la reflexion
con respecto a la recta y = x.
Ejemplo 4.- Determinar, si existe, la inversa de f(x) = x3 − 1. En caso que exista, graficar
la funcion y la inversa en un mismo sistema de coordenadas.
Solucion:
Y
X
-1
1
Paso 1.- La funcion tiene inversa,pues cada recta horizontal corta lagrafica en a lo sumo un punto.Paso 2.- Despejar x de la ecuaciony = f(x)
y = x3 − 1
y + 1 = x3
x = 3√
y + 1
Observe de nuevo que el paso 1 no era necesario, pues sin duda para cada y existe un solo x.
Paso 3.- Intercambiar x e y.
252 CAPITULO 7. FUNCIONES
y = 3√
x + 1
f−1(x) = 3√
x + 1
El paso 4 no es un paso necesario, es solo la verificacion del despeje.
A continuacion presentamos las graficas de f y su inversa f−1.
Y
X-2 2
-2
y = x3 − 1
y = x
Ejercicios de desarrollo: Determinar, si existe, la inversa de y = (x− 1)2 + 1. En caso que no
exista redefinir la funcion restringiendo el dominio a fin que tenga inversa, conseguir la inversa de
la nueva funcion restringida, graficar la funcion y la inversa en un mismo sistema de coordenadas.
(Seguramente a usted no le cuesta hacer una reflexion sobre un eje horizontal, ası que para
graficar tambien recomendamos rotar su hoja de papel de tal manera que la recta y = x quede
horizontal en su visual y luego proceda hacer la reflexion).
Ejercicios:
1) Diga si las siguientes funciones tienen funcion inversa. En caso afirmativo encuentrela.
Verifıquela que efectivamente es la inversa.
1.1) y = −(x + 1)3; 1.2) y = − 1
x − 3; 1.3) y =
√x − 1; 1.4) y = −x2 − 1, x ≥ 0
2) Determine la funcion inversa si existe. Grafique f y f−1 en el mismo sistema de coorde-
nadas. Verifique que efectivamente f−1 es la inversa de f.
2.1) y = (x + 2)2; 2.2) y =1
5 + x; 2.3) y = |x| + 2;
7.18. FUNCIONES CUADRATICAS 253
2.4) y = (x − 1)2, x ≥ 1 2.5) y = −√
x − 2; 2.6) f(x) =1
x + 3+ 2
3) Determine la funcion inversa. En caso que no existe, de una restriccion del dominio de f
para poder definir la funcion inversa y calculela.
3.1) f(x) = (x + 1)2; 3.2) f(x) = −(x − 2)2 − 1; 3.3) f(x) = |x − 1|;
3.4) f(x) =1
(x − 4)2; 3.5) f(x) =
√1 − x2
7.18. Funciones cuadraticas
Una funcion f se llama cuadratica si puede ser escrita de la forma a, b y c numeros reales
con
El dominio de esta funcion son todos los reales y su representacion grafica es una parabola.
Son innumerable la cantidad de ejemplos practicos donde esta involucrada la funcion cuadratica,
es por ello que merece especial atencion.
La idea para granear cualquier funcion de la forma es llevarla a la forma completando cuadra-
dos. La grafica de esta ultima sabemos que es una dilatacion, posible reflexion con el ejes x y
traslaciones de la grafica de f(x) = −(x2 − 6x + h2 − h2) − 5
El termino −6x corresponde a − 2hx. Ası que −6x = −2hx, de donde h = 3.
254 CAPITULO 7. FUNCIONES
El termino que falta para completarcuadrados es (3)2 = 9
f(x) = −(x2 − 6x + 9︸ ︷︷ ︸
(x−3)2
−9) − 5
f(x) = −((x − 3)2 − 9) − 5
Se aplica la ley distributiva
f(x) = −(x − 3)2 + 9 − 5
f(x) = −(x − 3)2 + 4
La grafica de esta funcion puedeser obtenida por una reflexion de lagrafica de y = x2 en torno al eje x,luego una traslacion horizontal ha-cia la derecha de tres unidades y porultimo una traslacion vertical de cu-atro unidades hacia arriba.
1
2
3
4
−1
−2
−3
1 2 3 4 5−1
Y
X
Comentario: Una vez que sacamos a de factor comun en los dos primeros terminos, resulto en
ambos casos que h es la mitad del coeficiente en x con signo cambiado. Efectivamente en el primer
ejemplo se tenia f(x) = 2(x2 + 2x) + 5 y h = −1, en el segundo ejemplo f(x) = −(x2 − 6x) − 5
y h = 3.
Ejercicio de desarrollo: Expresar la funcion f(x) = 3x2 + 6x + 5 en la forma
f(x) = a(x − h)2 + k. Graficar.Y
X
7.18. FUNCIONES CUADRATICAS 255
A continuacion se hacen varias observaciones, algunas de las cuales el lector habra podido
darse cuenta a lo largo de estos ejemplos y que se pudiese establecer como resultados a fin de
ahorrar trabajo. Se puntualizan.
Observaciones:
1) Si a > 0 la parabola abre hacia arriba. Si a < 0 la parabola abre hacia abajo
2) (0, c) es el corte con el eje y
3) En la forma f(x) = a(x − h)2 + k, h es la coordenada x del vertice y k es la coordenada
y del vertice.
A partir de la forma f(x) = ax2 +bx+c se puede hacer un desarrollo teorico a fin de obtener
una formula para h. Primero se saca a de factor comun de los dos primeros terminos.
F (x) = a
(
x2 +b
ax
)
+ c
El terminob
ax corresponde a − 2hx. Ası que
b
ax = −2hx, de donde h = − b
2a. El termino que
falta para completar cuadrados es
(b
2a
)2
.
f(x) = a (x2 +b
2ax +
(b
2a
)2
︸ ︷︷ ︸
x−(
b
a
)2
−(
b
2a
)2
) + c
f(x) = a
[(
x −(
− b
2a
))2
−(
b
2a
)2]
+ c
Se aplica la ley distributiva
f(x) = a
(
x −(
− b
2a
))2
− a
(b
2a
)2
+ c
Ası la coordenada x del vertice es h = − b
2a. En vez de identificar k en el desarrollo anterior, es
preferible en la practica evaluar f en h = − b
2a.
Estas observaciones nos permiten hacer las siguientes recomendaciones
256 CAPITULO 7. FUNCIONES
Recomendaciones para graficar una funcion cuadratica f(x) = ax2 + bx + c
1.- Si a > 0 la parabola abre hacia arriba.
Si a < 0 la parabola abre hacia abajo.
2.- Calcular la coordenada x del vertice por medio de xv = − b
2a.
Para calcular la coordenada y evaluar f en − b
2a. Esto es yv = f(xv).
3.- Para la interseccion con el eje x plantear la ecuacion f(x) = 0 y resolver esta ecuacion en
x.
La interseccion con el eje y es el punto (0, c).
4.- Llevar estos puntos al plano: vertices y cortes y tomar en cuenta 1 para bosquejar la
grafica. Tambien recuerde que la parabola es simetrica en torno a la recta x = − b
2a.
Ejemplo 3.- Graficar f(x) = 2x2 − 8x + 6
Solucion: Tomamos en cuentas las recomendaciones
1.- Como a = 2 > 0 la parabola abre hacia arriba
2.- Calculamos ahora la coordenada x del vertice, observe en este caso b = −8
xv = − b
2a= − −8
2 · 2 Pasamos ahora a calcular la coordenada y del vertice
yv = f(xv) = 2(2)2 − 8(2) + 6 = −2. En conclusion el vertice es (xv, yv) = (2,−2)
3. Para las intersecciones con el eje x planteamos: 2x2 − 8x+6 = 0, esta ecuacion cuadratica
tiene como solucion x = 1 y x = 3. ası los puntos de cortes con el eje x son (1, 0) y (3, 0).
(0, 6) es el corte con el eje y
4.- Se llevan estos puntos a un plano cartesiano, se traza el eje de simetrıa de la parabola,
tomando en cuenta que la parabola abre hacia arriba, hacemos el bosquejo recordando la simetrıa
de la curva y haciendola pasar por los puntos marcados.
7.18. FUNCIONES CUADRATICAS 257
Y
X2
3
vertice
Y
X1
2
3
Ejercicio de desarrollo: Graficar f(x) = −3x2 − 12x + 4. Consiga vertice y puntos de inter-
secciones con los ejes.
Ejemplo 4.- Resolver graficamente la desigualdad x2 + 5x + 6 ≥ 0.
Solucion: La idea para resolver este tipo de ejercicio es definir primero la funcion y = x2+5x+6,
observe que la cuestion ahora es conseguir los x′s donde la grafica esta por encima del eje x
(tienen la coordenada y positiva).
A continuacion se graficara y = x2 + 5x+ 6. Como a > 0 la parabola abre hacia arriba. Para
localizar el vertice planteamos:
xv = − b
2a= −−5
2= −2.5 yv = f(xv) = (−2.5)2 + 5(−2.5) + 6 = −0.25
258 CAPITULO 7. FUNCIONES
Para los cortes con el eje x, planteamos
x2 + 5x + 6 = 0
(x + 3)(x + 2) = 0
x = −2 o x = −3
En la figura se puede apreciar que los x′s talesquey = x2 + 5x + 6 ≥ 0, es el conjunto: (−∞,−3] ∩[−2,∞)
Y
X-2-3
Ejercicio de desarrollo.- Resolver graficamente la desigualdad −3x2 + 5x + 2 < 0
7.19. Maximos y mınimos en funciones cuadratica
En muchas ocasiones es de interes el valor maximo de una funcion. En una funcion cuadratica
cuya grafica abre hacia arriba este maximo se alcanza en el vertice dela parabola. Alternativa-
mente tambien se puede estar interesado en el valor mınimo de una funcion cuadratica cuya
grafica abre hacia arriba.
Sea f(x) = ax2 + bx + c y xv = − b
2ala coordenada x del vertice
Si a < 0 entonces f alcanza un valor maximo en xv. Este valor maximo de f es yv = f(xv)
Si a > 0 entonces f alcanza un valor mınimo en xv. Este valor mınimo de f es yv = f(xv)
7.19. MAXIMOS Y MINIMOS EN FUNCIONES CUADRATICA 259
Y
X
yy
xy
Valor Mınimo
Y
X
yyValor Maximo
Comentario: Es claro que si a > 0 no hay un valor maximo de f pues la funcion toma valores
arbitrariamente altos.
Ejemplo 1.- Encontrar el valor maximo o mınimo segun corresponda de las siguientes fun-
ciones
a) f(x) = −2x2 + 6x + 1; b) f(x) = 3x2 + 12x + 4
Solucion: a) Como a = −2 < 0 la parabola abre hacia abajo, por lo tanto la funcion alcanza
un maximo. Para conseguir el valor maximo primero calculamos la coordenada x del vertice.
xv = − b
2a= − 6
2 · (−2)=
3
2
El valor maximo es f
(3
2
)
= −2
(3
2
)2
+ 6
(3
2
)
+ 1 =11
2y remarcamos que se alcanza en
xv =3
2.
b) Como a = 3 > 0 la parabola abre hacia arriba, por lo tanto la funcion alcanza un mınimo.
Para conseguir el valor mınimo primero calculamos la coordenada x del vertice.
260 CAPITULO 7. FUNCIONES
xv = − b
2a= − 12
2(3)= −2
Ahora el valor maximo de f es y = f(−2),
f(−2) = 3(−2)2 + 12(−2) + 4 = −8
En conclusion: −8 es el valor maximo de la funcion y se alcanza, en x = −2.
Ejercicio de desarrollo: Encontrar el valor maximo o mınimo de f(x) = −x2 + 6x + 1.
Aplicaciones:Ejemplo 1.- Una persona tiene 25metros de malla para construir uncorral rectangular. La persona pien-sa usar una pared existente para de-limitar el corral, a) Exprese el areacomo funcion de x b) Calcule las di-mensiones del corral que tiene areamaxima
y
x
pared
Solucion:
a) Observe que el area esta dada por
A = x − y
En este caso viene expresada en terminos de las dos variable x y y. Sin embargo podemos
sustituir y por una expresion que depende de x, debido a la relacion entre x, y y la cantidad de
malla a utilizar. Esta relacion viene dada por
x + x + y = 25
Esto es
2x + y = 25y metrosde malla
x metrosde malla
x metrosde malla
De aquı podemos expresar y en funcion de x, despejando
y = 25 − 2x
7.19. MAXIMOS Y MINIMOS EN FUNCIONES CUADRATICA 261
Sustituyendo y en el area, tenemos finalmente A como funcion de x
A(x) = x · (25 − 2x).
Conviene observa que el Dom A = (0, 12.5)
b) En a) se obtuvo que el area es una funcion cuadratica de x. La llevamos a la forma canonica.
A(x) = 25x − 2x2
Como a < 0, entonces A(x) alcanza un maximo en xv, el cual esta dado por
xv = − b
2a= − 25
2 · (−2)=
25
4= 6, 25.
Pasamos ahora a calcular la dimension y, la cual puede ser obtenida de la relacion
y = 25 − 2x.
Al sustituir x por −6, 25 obtenemos y = 12, 5.
Concluyendo las dimensiones que hacen maxima el area son 6, 25 × 12, 5.
Adicionalmente podemos decir que el area maxima es 78, 125m2, la cual se obtuvo evaluando
la funcion Area en 6, 25.
Ejemplo 2.- Se estima que en un terreno si se plantan 200 matas de naranjas, la produccion
promedio sera de 300 naranjas por arbol y que por cada arbol menos que se siembre la produccion
aumentara en 3 naranjas por arbol. a) ¿Cual es el numero de arboles que debe plantarse en el
terreno a fin de obtener la maxima cosecha posible del terreno? b) ¿Cual es la produccion maxima
posible?
Solucion: La variable que puede ser usada para modelar este problema es
x = Numero de arboles que se dejan de plantar
Ası que
numeros de arboles a plantar = 200 − xy
262 CAPITULO 7. FUNCIONES
La produccion promedio por arbol es
Produccion por arbol = 300 + 3x
De esta manera
la produccion total = numero de arboles a plantar × produccion por arbol
= (200 − x) · (300 + 3x)
la produccion total = 60000 + 300x − 3x2
a) La funcion produccion es una funcion cuadratica que alcanza un maximo, para ver donde
se alcanza planteamos
xv = − b
2a= − 300
2 · (−3)= 50
Entonces hay que sembrar 200−50 = 150 arboles en ese terreno para alcanzar la maxima cosecha
por arbol.
b) Para conseguir el valor maximo simplemente evaluamos la funcion produccion en x = 5
produccion total = 60000 + 300(50) − 3(50)2
la produccion total = 67500 naranjas es la maxima produccion posible
Ejercicios:
1) Graficar las siguientes funciones utilizando la tecnica de completacion de cuadrados:
1.1) f(x) = −x2 − 10x − 24; 1.2) f(x) = 4x2 − 4x − 1; 1.3) f(x) = −3x2 − 6x
2) Granear las siguientes funciones utilizando la formula del vertice y cortes con los ejes.
2.1) f(x) = −x2 + 2x − 2; 2.2) f(x) = 1 − 3x + 2x2; 2.3) f(x) = x(2x + 1);
2.4) f(x) = (x + 4)(x − 1); 2.5) f(x) = 5x − 6 − (x + 2)(x − 1); 2.6) f(x) = 2(x + 2)2 + x
3) Encuentre los maximos o mınimos de las siguientes funciones cuadraticas segun corres-
ponda.
7.19. MAXIMOS Y MINIMOS EN FUNCIONES CUADRATICA 263
3.1) f(x) = −2x2 − 3; 3.2) f(x) = (x + 3)(x + 1) + 8x; 3.3) f(x) = 3 − 10x − 5x2;
3.4) f(x) = 2x2 − 3x; 3.5) f(x) = −1
2(x − 1)2 + 3/2
4) Resolver graficamente las siguientes desigualdades
4.1) 2x2 + 3x + 1 < 0; 4.2) x2 + 3x − 10 > 0; 4.3) x2 + 3x + 3 > 0;
4.4) 2x2 + 3x + 2 ≤ 0; 4.5) x2 − 5x + 4 ≤ 0
5) Expresar las siguientes funciones en la forma f(x) = a(x − h)2 + k
5.1) f(x) = −4x2 − 2x + 1; 5.2) f(x) = 3x2 − 3x + 2; 5.3) f(x) = 2x2 + 5x + 2
Problemas de economıa
1) En ciertos terrenos se estima que si se plantan 100 matas de mangos por hectarea se
obtendra un valor de la cosecha por arbol de 500 UM en su edad adulta. Se estima que por cada
arbol que se siembre de mas liara que el valor promedio por arbol disminuya en 4 UM a) Exprese
el valor total de la cosecha de una hectarea en edad adulta en funcion del numero de arboles
adicionales sembrados, b) ¿Cual es el numero de arboles que debe plantarse por hectarea a fin
de obtener el valor maximo posible de la cosecha por hectarea? c) ¿Cual es este valor maximo?
(Resp. V = 50000 + 200x − 4x2; 112, 5; 50.625)
2) Un agricultor puede vender el saco de apio a 30UM el primero de septiembre, el precio
del apio empieza a disminuir a una tasa aproximada de 0.5 UM por semana. Para la fecha del 1
de septiembre el tiene 120 sacos y estima que su cosecha aumentara en tres sacos por semana.
¿Cuando le convendra vender su cosecha? (Resp. dentro de 10 semanas)
Problemas Generales
1) Con 200 metros se quiere cercar 2 corralesidenticos como muestra la figura, a) Exprese elarea total como funcion de x b) Calcule las di-mensiones de los corrales que tiene area maxi-ma(Resp. 100/3m × 25m)
x
y y
264 CAPITULO 7. FUNCIONES
2) El numero de kilometros K, que puede viajar un automovil con un litro de gasolina
depende de la velocidad. Para una cierta marca de automovil se estima que la cantidad de
kilometros esta dada por el siguiente modelo: K(v) =−v + 190v
1400donde v es la velocidad y
el modelo se ha demostrado apropiado para velocidades menores de 180km/seg. Calcule la
velocidad mas rendidora.
3) La tasa de crecimiento de una poblacion esta dada por: y = 1.3x(130.000− x) individuos
por lano, donde x es el tamano actual de la poblacion. Estime el tamano de la poblacion donde
la tasa de crecimiento es mas alta.
(En el modelo y = 1.3x(130.000 − x)130.000 representa el tamano tope de la poblacion. Este
modelo esta sustentado en que la tasa de crecimiento es directamente proporcional al tamano de
la poblacion y a la diferencia entre el tope de crecimiento de la poblacion y el tamano existente)
4) El porcentaje de sobrevivencia de un cierto tipo de larvas a una temperatura constante
T (grados Celsius) al cabo de una semana es modelado por la formula
P (T ) = −1.6T 2 + 80.32T − 953.016 para 20 ≤ T ≤ 30
Halle las temperaturas a las cuales sobrevive el mayor y el menor porcentaje de larvas, (en
25.1◦C sobrevive el mayor porcentaje y en 30◦ el menor)
5) La velocidad de la sangre que esta a r centımetros del eje central de una arteria de radio
R es S(r) = c(R2 − r2), donde c es una constante positiva. ¿Donde es mayor la velocidad de la
sangre? (Resp. En el centro)
7.20. Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones, en especial ellas describen el crec-
imiento de muchas cantidades de la vida real.
Definicion 7.6 La funcion con dominio todos los reales y definida por
7.20. FUNCIONES EXPONENCIALES 265
F (x) = ax,
con a > 0, a 6= 1 es llamada funcion exponencial con base a.
Comentarios:
1.- Conviene aclarar que la funcion esta bien definida para todo numero real. Suponga ten-
emos la funcion exponencial con base 2. 2pq esta definido como q
√2p. Para definir 2x, con x
irracional, se realiza a traves de aproximaciones. Por ejemplo para definir 2π, lo hacemos por
medio de una sucesion de numeros racionales que se acerque cada vez mas a π como
3,31
10,
314
100,
3141
1000,
31419
10000, . . .
Se puede mostrar que la sucesion
23, 23110 , 2
314100 , 2
31411000 , 2
3141910000 , . . .
se acerca a un solo numero positivo, el cual es la definicion de 2π. Para los muy curiosos, la
definicion de 2x, es independiente de la sucesion de numeros que se acerca cada vez mas a π.
2.- Funciones como f(x) = b−x, h(x) =√
bx y g(x) = b2x son de tipo exponencial. Lo
verificamos al reescribirlas, la primera como f(x) =1
bx=
(1
b
)x
, siendo entonces exponencial
con base1
b; la segunda como h(x) = (
√b)x la ultima como g(x) = (b2)x, de aquı que la funcion
h y g son exponencial con base√
b y b2 respectivamente.
266 CAPITULO 7. FUNCIONES
7.21. Graficas de la funcion exponencial
Realizaremos la grafica de f(x) = 2x
Para ello calcularemos algunos valores de la fun-cion y los uniremos a traves de un trazo suave.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
bb
b
b
b
bY
X
2
1 2
f(x) = 2x
Usted puede chequear que el comportamiento de la grafica de las funciones de la forma
f(x) = ax, con a > 1, es similar y lo resumimos en el siguiente reporte:
Reporte de la grafica de la funcion f(x) = ax,con a > 1 :1) El dominio es todos los reales. El rango losreales positivos2) La interseccion con el eje y es el punto (0, 1)3) La funcion crece de izquierda a derecha4) La recta y = 0 (el eje x) es una asıntota hor-izontal por la izquierda, esto quiere decir que lagrafica de la funcion se acerca cada vez mas aesta recta. Sin embargo cuando incrementamoslos valores de x entonces la grafica asciende rapi-damente.
Y
X
f(x) = ax
a > 1
Este tipo de funcion es conocida a veces como la ley de crecimiento exponencial.
Remarcamos que la grafica anterior es solo un bosquejo o trazo de la funcion. Por otro lado,
una mayor o menor inclinacion en el primer cuadrante depende del valor de a, para a grande la
grafica es mas inclinada.
Para ver el comportamiento de la grafica f(x) = ax, con 0 < a < 1, primero obtendremos
la grafica de f(x) =
(1
2
)x
. Usaremos las tecnicas aprendidas cuando estudiamos operaciones
7.21. GRAFICAS DE LA FUNCION EXPONENCIAL 267
geometricas de graficas de funciones. Tambien se puede obtener una tabla de valores y llevarlos
puntos al plano cartesiano para hacer un trazo suave de la curva.
La funcion f(x) =
(1
2
)x
, puede ser reescrita como f(x) =1
2x= 2−x. Esta funcion puede
ser obtenida de la grafica de la funcion 2x por simetrıa con respecto al eje y.
Y
X
2
1 2
f(x) = 2xf(x) = 2−x
La forma de la grafica de la funciones f(x) = ax, con 0 < a < 1, es similar a la de
f(x) =
(1
2
)x
salvo la inclinaciones que depende del valor de a. A continuacion presentamos la
grafica de estas funciones junto con el reporte de las caracterısticas mas notorias de la grafica.
Reporte de la grafica de la funcion f(x) =ax, con 0 < a < 1 :1) El dominio es todos los reales. El rangolos reales positivos2) La interseccion con el eje y es el punto(0, 1)3) La funcion decrece de izquierda aderecha4) La recta y = 0 (el eje x) es una asınto-ta horizontal por la derecha, esto quieredecir que la grafica de la funcion se acercacada vez mas a esta recta cuando x. Sinembargo la funcion toma valores tan altoscomo se quiera para valores de x negativosy grandes en magnitud.
Y
X
0 < a < 1
f(x) = ax
Ejemplo 1.- Trazar la grafica de la funcion f(x) = 3x − 1 y realizar un reporte acerca de su
comportamiento.
268 CAPITULO 7. FUNCIONES
Solucion: Para realizar esta grafica par-timos de la forma general de la grafica ax,con a > 1. La grafica es un desplazamien-to hacia abajo de 1 unidad de la graficade f(x) = 3x. Conviene en estos casos de-splazar la asıntota para un mejor bosquejode la grafica.
Y
X1
f(x) = 3x − 1
f(x) = 3x
-1
Reporte de la grafica de la funcion f(x) = 3x − 1:1) El dominio es (−∞,∞). El rango es el conjunto (−1,∞)2) La interseccion con el eje x es el punto (0, 0)3) La funcion crece de izquierda a derecha4) La recta y = −1 es una asıntota horizontal por la izquierda.
Ejemplo 2.- Trazar la grafica de la funcion f(x) =
(1
4
)x−2
y realizar un reporte acerca de
su comportamiento.
Solucion: Para realizar esta grafica partimos dela forma general de la grafica ax, con a < 1,con una forma relativamente inclinada. Nuestragrafica es un desplazamiento hacia la derecha
de 2 unidades de la grafica f(x) =
(1
4
)x
. Con-
viene en estos casos desplazar la asıntota paraun mejor bosquejo de la grafica
Y
X1
f(x) = 0.25x−2
f(x) = 0.25x
7.21. GRAFICAS DE LA FUNCION EXPONENCIAL 269
La grafica corta el eje y cuando x = 0
Esto es en
(1
4
)0−2
= 42 = 16
Reporte de la grafica de la funcion f(x) =
(1
4
)x−2
1) El dominio es R. El rango el conjunto (0,∞)2) La interseccion con el eje y es el punto (0, 16)3) La funcion decrece de izquierda y derecha.4) La recta y = 0 es una asıntota horizontal por la derecha.
Ejercicios:
1) Graficar las siguientes funciones. Realizar un reporte de la grafica
1.1) f(x) = 3x + 3; 1.2) f(x) = 3x−1; 1.3) f(x) = 3−x;
1.4) f(x) = 2 − e−x; 1.5) f(x) =√
2x; 1.6) f(x) =
(2
3
)−x
.
Aplicaciones crecimiento y decrecimiento poblacional
Supongamos que el tamano inicial de una poblacion es P0, y la poblacion aumenta a una
tasa por periodo de r, al finalizar un periodo de tiempo la poblacion habra aumentado P0r y el
tamano total de la poblacion al final de este periodo sera de P0+rP0 = P0(1+r). En un segundo
periodo de tiempo la poblacion aumentara a una tasa de r sobre una poblacion de P0(1 + r),
entonces el aumento de la poblacion en el segundo periodo de tiempo es de P0(1 + r)r y ahora,
al finalizar este segundo periodo de tiempo, el tamano de la poblacion sera de
P0(1 + r) + P0(1 + r)r = P0(1 + r)(1 + r) = P0(1 + r)2
Podemos chequear que el tamano de la poblacion al finalizar el tercer perıodo sera de P0(1+r)3.
Mas generalmente, al finalizar el periodo t, el tamano de la poblacion P(t) sera
P (t) = P0(1 + r)t
donde P0 es el tamano inicial de la poblacion.
Observacion: 1.- r viene expresada como una cantidad decimal. Por ejemplo si se habla que la
poblacion crece a una tasa del 6%, entonces r=0.06.
Ejemplo 4.- Una poblacion de 4 millones de habitantes crece a una tasa de 3% anual. Estime
el tamano de la poblacion al cabo de 5 anos.
270 CAPITULO 7. FUNCIONES
Solucion: a) Utilizamos la ecuacion P (t) = P0(1 + r)t, con P0 = 4, r = 0.03 y t = 5 :
P (5) = 4(1 + 0.03)5
P (5) = 4(1.03)5 = 4.63 millones de habitantes
Ejercicio de desarrollo: Una poblacion crece a una tasa de 2.5% anual. Si actualmente tiene
3.3 millones de habitantes, a) Estime el tamano de la poblacion dentro de 3 anos, b) ¿Cuantas
habitantes tenıa hace una decada?, suponga que la tasa de crecimiento se ha mantenido con-
stante? (Comentario: Podemos emplear el modelo P (t) = P0(1 + r)t con t que empieza a contar
a partir de este ano para a) y para b) que empieza a contar hace 10 anos, si se hace ası para b),
debemos plantear una ecuacion donde P0 es la incognita.)
Observacion: Si la poblacion disminuye a una tasa de r es facil ver que el tamano de la poblacion
despues de un periodo de t anos es P (t) = P0(1 − r)t.
Este modelo de crecimiento poblacional, P (t) = P0(1 + r)t, esta sujeto a la condicion que
el porcentaje de crecimiento sea constante a traves de los anos. Sabemos que a veces esto no
es ası, existen factores que inhiben el crecimiento indefinido como el hacinamiento, la falta de
alimentos y otros factores sociologicos en el caso de la poblacion humana: crisis en la familia,
crisis economica. Etc.
Ası que un modelo de crecimiento exponencial es recomendable por periodos pequenos o en
poblaciones recien establecidas donde aparentemente no hay limitantes de crecimiento.
Para poblaciones creciendo inicialmente rapido y luego se vuelven tan numerosas que pier-
den su capacidad de crecer debido a interacciones entre los miembros de la poblacion, resulta
apropiado un modelo de crecimiento logıstico, dado por
P (t) =a
1 + Ce−kt
donde a, C y k son constantes, a representa el tamano de la poblacion lımite. Si denotamos por
P0 = P (0) =a
1 + Cel tamano inicial de la poblacion entonces el lector puede comprobar que
7.21. GRAFICAS DE LA FUNCION EXPONENCIAL 271
C =a − P0
P0
Ejemplo 5.- Cierta poblacion crece de acuerdo al modelo logıstico con a=75 millones, C=5 y
k=0.05. ¿Cual es el tamano de la poblacion cuando t = 0, para t = 20, t = 40 y para t = 100?
Solucion:
P (0) =75
1 + 5e−k0=
75
6≈ 12.5 millones
P (20) =75
1 + 5e−k20=
75
1 + 5 · 0.36 ≈ 26.41
P (40) =75
1 + 5e−k40=
75
1 + 5 · 0.135 ≈ 44.7
P (100) =75
1 + 5e−100k=
75
1 + 5 · 0.00673 ≈ 72.55
12.5
Y
X
Comentario: El modelo logıstico no solo resulta util para modelar crecimiento de determi-
nadas poblaciones sino tambien para propagacion de ciertas epidemias, crecimiento de ciertos
seres vivos, crecimientos de companıas, ventas de nuevos productos, propagacion de rumores,
etc.
Una curva como la dada arriba es el comportamiento tıpico de una curva logıstica.
Ejercicios
1) Dibuje las siguientes graficas para x > 0
1.1) f(x) = c1
ekx= ce−kx; 1.2) f(x) = c(1 − e−kx), c, k > 0
1.1) Pertenece a la familia de decaimiento exponencial usada en desintegracion radioactiva,
presion atmosferica, absorcion de luz en el agua. En contadurıa: devaluacion continua. Densidad
de probabilidad exponencial cuando c − k.
1.2) Pertenece a la familia de las curvas de crecimiento limitado. Si c = 1 es la funcion de
distribucion de probabilidad exponencial, la cual da la probabilidad que una variable exponencial
sea menor o igual que x.
PROBLEMAS:
272 CAPITULO 7. FUNCIONES
1) Si el crecimiento de una poblacion siguiera el modelo exponencial P (t) = P0e002t, donde
P0 = 200.000 es la poblacion en el ano 1990 y P (t) es la poblacion t anos despues de 1990 ¿Cual
era la poblacion en 1997? (Resp. 230.054).
2) Si el crecimiento de la poblacion mundial siguiera el modelo exponencial
P (t) = P0e0.012t, donde P0 = 6.000.000 es la poblacion en el ano 1999 y P (f) es la poblacion
despues de t anos de 1999 ¿Cual sera la poblacion dentro de 5 anos? (Respuesta: tomado de
Wikipedia Poblacion humana actual 6.000, millones en 1999. “Las estimaciones de las Naciones
Unidas para el 2004 son de 6.350 millones, con un crecimiento del 1, 2% (77 millones) por ano.”,
resp. de calculo 6.371 millones) ¿Se ajusta este modelo a las proyecciones de las Naciones Unidas.?
3) El porcentaje de arboles en una plantacion que se ha infectado por cierta plaga esta dado
por
P (t) =100
1 + 20e−0.05t
donde t es el numero de semanas despues que se reporto la enfermedad. Calcule a)P (0), b)P (20)
y c)P (50) (Resp. a) 4.7; b) 12; c) 37.8).
7.22. Funciones logarıtmicas
Suponga una poblacion cuyo modelo de crecimiento esta dado por P (t) = 4e0.02t millones a
partir del ano 2000. Si quisieramos saber cuando la poblacion tendra 5 millones de habitantes,
debernos plantear la ecuacion
5 = 4e0.02t
y obtener el valor de t que satisface esta ecuacion. Para resolverla deberemos usar el proceso
inverso de la exponencial el cual es el logaritmo.
La funcion logarıtmica en base a es la funcion inversa de la funcion exponencial en base a.
Es claro, viendo la grafica de la funcion exponencial, que ella tiene inversa. Esta funcion inversa
7.22. FUNCIONES LOGARITMICAS 273
tiene una notacion propia: loga . Los valores de esta funcion vienen dados por loga(x).
Del concepto de funcion inversa, sabemos que y = f−1(x) si y solo si x = f(y). Puntualicemos
entonces la definicion de logaritmo
Definicion 7.7 Sea a > 0, a 6= 1. El logaritmo de x con base a se define como
y = loga(x) si y solo si ay = x,
siempre y cuando x > 0.
Observaciones:
1.- Conviene recordar siempre al loga(x) como el exponente al que hay que elevar la base
para que se produzca el numero x. Por ejemplo 32 = 9, entonces 2 es el logaritmo de 9 en base
3 :
log3 9 = 2.
2.-Los logaritmos en base 10 son conocidos como logaritmos decimales, En este caso se
suprime el subındice en la notacion, esto es: log10(x) = log(x). En el caso que la base sea el
numero e, el logaritmo se escribe como ln(x) para representar el logaritmo en base e de x y se
lo llama logaritmo natural de x
3.- El logaritmo solo esta definido para los numeros estrictamente positivos. El dominio de
la funcion logarıtmica y = loga(x) es el conjunto (0,∞). Recuerde que el rango de la funcion
exponencial es (0,∞).
4.- y = loga(x) es conocida como la forma logarıtmica y ay = x la forma exponencial. En
ocasiones es util pasar de la forma exponencial a la logarıtmica y viceversa.
5.- De la propia definicion, si sustituimos y en la expresion exponencial obtenemos que
aloga x = x
274 CAPITULO 7. FUNCIONES
Si ahora sustituimos x en la expresion logarıtmica resulta que
y = loga(ay)
Ejemplo 1.- Convertir las siguientes formas exponenciales en logarıtmicas
a) 25 = 32; b) 103 = 1000; c) e0 = 1
Solucion: Hay que tener siempre en mente que el logaritmo es el exponente.
a) El exponente es 5, por tanto es el logaritmo, ası: 5 = log2 32
b) En este caso 3 es el exponente, por tanto el logaritmo, ası: 3 = log 1000 En este caso la
base se suprime por ser decimal.
c) 0 es el exponente y la base es e, por tanto usamos la notacion ln para representar el
logaritmo en base e : 0 = ln 1
Ejemplo 2.-Convertir las siguientes formas logarıtmicas en exponenciales
a) log164 = 1/2; b) log31
3= −1; c) log(0,001) = −3
Solucion: Las respuestas estan dadas en la siguiente tabla.
Forma FormaLogarıtmica exponencial
log16 4 = 1/2 161/2 = 4
log31
3= −1 3−1 =
1
3
log(0,001) = 3 10−3 = 0.001
Ejercicio de desarrollo: Convertir las siguientes formas exponenciales en logarıtmicas:
a)1
64= 4−3; b)
3√
8 = 2
Convertir las siguientes formas logarıtmicas en exponenciales
a) log21
2; b) log25 5 =
1
2
7.22. FUNCIONES LOGARITMICAS 275
Sin aplicar calculadora, ni propiedades, salvo la propia definicion y tanteo podemos calcular
algunos logaritmos.
Ejemplo 3.- Calcular los siguientes logaritmos
a) log2(8); b) log(0,01) y c) ln(√
e)
Solucion:
a) La base es 2, para conseguir log2(8) debemos pensar en un exponente y tal que 2y = 8,
como 23 = 8, entonces 3 = log2(8)
b) Tenemos en este caso que la base es 10, recuerde que el logaritmo es el exponente y tal
que 10y = 0.01, el cual se satisface con y = −2. Ası −2 = log(0.01)
c) En este caso la base es e, se quiere conseguir y tal que y = ln(√
e). Se lleva a la forma
exponencial: ey =√
e, esto es ey = e1/2 de aquı que ln(√
e) = 1/2.
Algunas ecuaciones exponenciales se pueden resolver pasandola a su forma logarıtmica y
algunas logarıtmicas se resuelven pasandolas a su forma exponencial. Veamos las siguientes
ecuaciones:
Ejemplo 4.- Resolver las siguientes ecuaciones
a) 21−3y = 5; b) e2x = 8; c) log2(x − 1) = 3; d) logx(27) = 3
Solucion: a) y b) las pasamos a su forma logarıtmica para resolverlas a) 1 − 3y = log2 5. Esto
es una ecuacion lineal en y la cual resolvemos
1 − 3y = log2 5 − 1 ⇒ y =1 − log2 5
3
b) 2x = ln 8. De nuevo es una lineal x, en la cual despejamos la variable x =ln 8
2;
c) y d) las pasamos a su forma exponencial
c) 23 = x − 1 ⇒ x = 9; d)x3 = 27. Esta es una ecuacion cubica: x = 3√
27 = 3
Ejercicio de desarrollo: Resolver las siguientes ecuaciones
a) log5(x + 10) = 2; b) e√
x2−1 = 6
Volvemos al problema que nos planteamos al comienzo de la seccion.
276 CAPITULO 7. FUNCIONES
Ejemplo 5.- Suponga una poblacion cuyo modelo de crecimiento esta dado por P (t) = 4e0.02t
millones a partir del ano 2000. ¿Cuando la poblacion tendra 5 millones de habitantes?
Solucion: Debemos plantear la ecuacion.
5 = 4e0.02t
Antes de pasar a su forma logarıtmica, dejamos sola la exponencial:
5
4= e0.02t
Pasamos ahora la ecuacion a su forma logarıtmica para resolverla:
0.02t = ln
(5
4
)
t =ln
5
40.02
Usando una calculadora, obtenemos que
t ≈ 11.16
Concluimos que aproximadamente en el ano 2011, la poblacion tendra 5 millones de habitantes.
Ejercicio
1) Pase a la forma logarıtmica las siguientes:
1.1) 10−4 = 0,0001; 1.2) 2−4 =1
16; 1.3) (16)1/2 = 4; 1.4) 34 = 81;
1.5) e−1 =1
e; 1.6) 103 = 1000.
2) Pase a la forma exponencial:
2.1) log2 = 64 = 6; 2.2) log3
√3 =
1
2; 2.3) log
(1
3√
100
)
= −3
2;
2.4) log51
25= −2; 2.5) ln
15√
e= −1
5; 2.6) log(10000) = 4
7.22. FUNCIONES LOGARITMICAS 277
3) Resuelva las siguientes ecuaciones:
3.1) ln(x − 1) = 1; 3.2) log(x + 3) − 2 = 0; 3.3) log2(2x) = −3;
3.4) e−3x+1 = 4; 3.5) 2 · 4x+1 = 1; 3.6) 2√
x = 8; 3.7) 2x2= 8
4) Calcular los siguientes logaritmos sin usar calculadora:
4.1) log(100); 4.2) log4(4); 4.3) ln
(1
e
)
; 4.4) log(0,001);
4.5) log2(3√
4); 4.6) ln(e0); 4.7) log16(4); 4.8) log2
(1√27
)
Aplicaciones ciencias sociales
1) La poblacion de un paıs P (t) en millones de habitantes, t anos despues de 1990, esta
modelada por P (t) = P0e0.02t ¿Cuando se duplicara la poblacion? (Resp. t =
ln(2)
0.02En el ano
2024).
2) Poblacion de un paıs P (t) en millones de habitantes, t anos despues de 1999, esta modelada
por P (t) = 22e0.04t. ¿Cuando la poblacion llegara a los 35 millones de habitantes? Suponga que
el modelo permanece en el tiempo. (resp. en el 2010).
Y
X
0 < a < 1
1
y = loga(x)
Reporte de la grafica de la funcion y = loga(x), con0 < a < 1
1) El dominio es el conjunto de los reales positivos.El rango es el conjunto de todos los reales.
2) La interseccion con el eje x es el punto (1, 0)
3) La funcion decrece de izquierda a derecha
4) La recta x = 0 (el eje y) es una asıntota vertical,esto quiere decir que la grafica de la funcion se acercacada vez mas a esta recta cuando x se acerca a 0.
Ejemplo 1.- Graficar la funcion y = log(x − 1) + 2, haga un reporte de la grafica
Solucion: Para calcular la intercepcion con el eje x se plantea la ecuacion 0 = log(x−1)+2, a fin
278 CAPITULO 7. FUNCIONES
de solucionar esta ecuacion dejamos el logaritmo en un solo lado de la ecuacion log(x−1) = −2.
Esta ultima la pasamos a su forma exponencial 10−2 = x − 1, de aquı x = 1 + 10−2.
Y
X1
Reporte de la grafica de la funcion y = log(x − 1) + 2
1) Dom f = (1,∞). El rango es el conjunto de todoslos numeros reales.
2) La interseccion con el eje x es el punto (1+10−2, 0)
3) La funcion crece de izquierda a derecha
4) La recta x = 1 es una asıntota vertical, esto quieredecir que la grafica de la funcion se acerca cada vezmas a esta recta.
Ejercicio de desarrollo: Graficar la funcion y = log(x+0.5)+1, haga un reporte de la grafica.
Y
X
Reporte de la grafica de la funcion
1) Dom f = . El rango
2) La interseccion con el eje x es el punto
3) La funcion de izquierda aderecha
4) La recta , es una asıntotaesto quiere decir que la
grafica de la funcion se acerca cada vezmas a esta recta.
En la funcion logarıtmica dada arriba pudimos calcular el dominio a partir de la grafica, pero
no siempre lo podremos hacer cuando hay un logaritmo en la funcion y no conocemos la grafica.
El siguiente ejemplo ilustra como calcular dominio de funciones en donde parece un logaritmo
Ejemplo 2.- Calcular el dominio de las siguientes funciones
a) y = log(x2 − x − 2); b) y =√
x log(x − 1)
7.23. GRAFICAS DE FUNCIONES LOGARITMICAS 279
7.23. Graficas de funciones logarıtmicas
Por ser y = loga(x) la funcion inversa de y = ax, usamos la tecnica de obtencion de la grafica
de f−1 a partir de la de f por medio de la reflexion en torno a la recta y = x, como muestra la
siguiente figura, para a > 1 :Y
X
y = ax
y = x
1
1 y = loga(x)
Para 0 < a < 1 tenemos
Y
X
0 < a < 1
1
y = x
y = ax
y = loga(x)
En resumen, las formas generales de las graficas del logaritmo son dos, dependiendo si la
base es mayor que 1. a continuacion presentamos cada una con su reporte.
280 CAPITULO 7. FUNCIONES
Y
X1
y = loga(x)
a > 1
Reporte de la grafica de la funcion,y = loga(x) con a > 1 :
1) El dominio es el conjunto de los realespositivos. El rango es el conjunto de todoslos numeros reales
2) La interseccion con el eje x es el punto(1, 0)
3) La funcion crece de izquierda a derecha
4) La recta x = 0 (el eje y) es una asınto-ta vertical, esto quiere decir que la grafi-ca de la funcion se acerca cada vez mas aesta recta.
Solucion: a) Para calcular el dominio de y = log(x2 − x − 2) solo debemos plantear y resolver
la desigualdad cuadratica x2 − x− 2 > O. Para ello factorizamos y hacemos un estudio de signo
de los factores
(x − 2)(x + 1) > 0
Recuerde que los pares de parentesis arri-ba de la recta lleva el signo de los factoresen el intervalo definido por las raıces, y elparentesis de abajo lleva el signo del pro-ducto de signos en el intervalo respectivo.De la figura vemos entonces que la solu-cion de la desigualdad planteada es:
Dom f = (−∞,−1) ∪ (2,∞)
−1 2
(−) (+)
(−)(−) (−)(+) (+)(+)
(+)
signo(x-2)* signo(x+1)
signo(x-2)*(x+1)
b) Para calcular el dominio de esta funcion debemos plantear la parte comun del dominio
de√
x y del dominio de log(x − 1). Esto es la interseccion de los dos dominios. El dominio de
y =√
x esta dado por [0,∞). Para el dominio de log(x − 1) debemos plantear la desigualdad
x − 1 > 0, cuya solucion es x > 1.
7.24. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 281
0
1
10
1
0
√x
log(x − 1)
Dom f
Ası el dominio de f es el intervalo (1,∞)por ser la parte comun entre los dominiosde los dos factores.
Ejercicio de desarrollo.- Calcular el dominio de la siguiente funcion y =log(x2 − 2x)
x
Ejercicios
1) Bosqueje la grafica de las siguientes funciones. Realice un reporte de la grafica
1.1) y = log(x − 2); 1.2) y = log1/2(x + 3); 1.3) y = − log(x) + 1;
1.4) y = log2(x − 2) − 3
2) Encuentre el dominio de las siguinetes funciones:
2.1) f(x) = log(x2 − 9); 2.2) f(x) =x
log(x − 3); 2.3) f(x) =
√1 − x log(x + 2);
2.4) y =ln(x + 1)
x3 − 5x2 + 6x; 2.5) g(x) =
1
x + 1− log(x+1); 2.6) h(x) =
√x ln(x2 −x−6);
2.7) f(x) =1
log(x + 1).
7.24. Propiedades de los logaritmos
En esta seccion se estudiaran las propiedades de los logaritmos. Como los logaritmos son
los exponentes, las propiedades se establecen en base a las propiedades de los exponentes. Por
ejemplo, si x = loga m y y = loga n entonces ax = m y ay = n, de donde
mm = ax · ay = ax+y
De aquı tenemos, volviendo esta forma mn = ax+y a su forma logarıtmica que loga(mn) = x+y.
Sustituyendo finalmente establecemos nuestra primera propiedad.
282 CAPITULO 7. FUNCIONES
loga(mn) = loga m + loga n.
En el siguiente recuadro remarcamos estas y otras propiedades de logaritmos de uso frecuente.
1.- loga(mn) = loga m + loga n
2.- loga
(m
n
)
= loga m − loga n
3.- loga(mc) = c loga m
4.- loga(a) = 1
5.- loga(1) = 0
Dado que las formas de estas propiedades no son usuales, los estudiantes suelen cometer
muchos errores en ellas. Uno muy frecuente es decir que el logaritmo de la suma (diferencia) es
la suma (diferencia) de los logaritmos, lo cual es falso.
Esto es
loga(m + n) 6= loga m + loga n o bien loga m − loga n
Una correcta lectura de estas igualdades pueden ayudar a no cometer estos y otros errores muy
comunes. Por ejemplo las propiedades las podemos leer como:
1.- loga(mn) = loga m + loga n : El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.
2.- loga
(m
n
)
= loga m − loga n : El logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos.
3.- loga(mc) = c loga m : El logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo del
numero.
4.- loga(a) = 1 : El logaritmo de la base es 1.
5.- loga(1) = 0 : El logaritmo de 1 en cualquier base es 0.
7.24. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 283
Observe que en la propiedad 2 se refiere al logaritmo de un cociente, esto es estamos evaluando
el logaritmo en un numero expresado como cociente:m
n. El logaritmo de un cociente no es el
cociente de los logaritmos: loga
(m
n
)
6= loga(m)
loga(n).
Para los logaritmos de una suma, loga(m + n), y una diferencia, loga(m − n), no hay
propiedades generales.
De nuevo estas propiedades son faciles de demostrar al pasar las formas logarıtmicas en
exponenciales. Por ejemplo la propiedad 4: loga(a) = 1 ⇔ a1 = a.
Los siguientes ejercicios seran de utilidad mas adelante. Por medio de las propiedades se pide
reescribir una expresion con logaritmos:
Ejemplo 1.- Expresar log(x√
x) en terminos de log(x)
Solucion: Tal como esta expresado log(x√
x) lo podemos interpretar como el logaritmo de un
producto y entonces aplicar la propiedad 1. Pero alternativamente podemos reescribir (x√
x =
x3/2 y aplicar la propiedad 3.
log(x√
x) = log(x3/2) =3
2log(x).
Ejemplo 2.- Expresar log
(x3
√x + 1
x − 2
)
en terminos de log(x), log(x + 1) y log(x − 2)
Solucion: La forma de resolver este tipo de ejercicio es analizando cual es la ultima operacion
que se realiza en la expresion que se le toma logaritmo. En este caso es un cociente, por tanto
se aplica la propiedad 2 del cociente.
log
(x3
√x + 1
x − 2
)
= log(x3√
x + 1) − log(x − 2)
= log(x3) + log(√
x + 1) − log(x − 2)
= 3 log(x) +1
2log(x + 1) − log(x − 2)
El primer termino del lado derecho
es un producto por tanto aplicamos,la propiedad 1 del producto
El primer termino ahora es una potencia,
por tanto aplicamos esta regla.
El segundo que es un radical.
Lo expresamos como una potencia y tambien
le aplicamos esta propiedad.
Ejercicio de desarrollo.- Expresar ln
(
(x + 3)2√
x(x + 2)
)
en termino de ln(x), ln(x+2) y ln(x+3)
284 CAPITULO 7. FUNCIONES
7.25. Ecuaciones logarıtmicas y exponenciales
Las propiedades de los logaritmos permiten solucionar algunas ecuaciones logarıtmicas.
Basicamente tendremos dos tipos de formas y deberemos llevar la ecuacion planteada a una
de estas dos formas a traves de las propiedades de los logaritmos:
Forma 1: loga(g(x)) = c. La recomendacion para resolverla es llevarla a la forma exponencial.
Forma 2: loga(g(x)) = loga(f(x)) Para resolverla usamos el hecho que la funcion logarıtmica
es biunıvoca entonces esta expresion ocurre si y solo si g(x) = f(x), la cual es la que resolveremos.
Comentarios:
1) Al llevar una ecuacion a la forma 1 o 2 podrıamos estar agregando solucion, ası que
debemos siempre verificar que las soluciones satisfacen la ecuacion original.
2) La forma 1 o 2 tambien se resuelven elevando ambos miembros en base a.
Veamos los siguientes ejemplos donde debemos llevar la ecuacion que se nos presente a una
de estas dos formas usando las propiedades de los logaritmos.
Ejemplo 1.- Resolver las siguientes ecuaciones logarıtmicas:
a) log(3x + 1) − log(x) − 1 = 0; b) 2 log(x) = log(x + 1) + log(x + 2)
Solucion:
a) Esta ecuacion la llevamos a la forma 1:
log(3x + 1) − log(x) = 1
log
(3x + 1
x
)
= 1
Ahora la llevamos a su forma exponencial
10 =3x + 1
x
Esta es una ecuacion racional, multiplicamos ambos lados por x y ası obtenemos una ecuacion
lineal:
Cuya la solucion es: x =1
7
7.25. ECUACIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES 285
Esta solucion debe ser verificada en la ecuacion racional pues puede ser una solucion anadida.
En la ecuacion logarıtmica original, se debe sustituir la solucion en cada expresion logarıtmica
para verificar que cada expresion a la que se le toma logaritmo sea mayor que cero. El lector
puede verificar que cumple con la ecuacion racional y que 3x + 1 > 0 con x =1
7
b) Esta ecuacion la llevamos a la forma 2: loga(x) = loga(f(x)). Para ello en el lado izquierdo
usamos la regla de la potencia y en el lado derecho la propiedad de la suma:
2 log(x) = log(x + 1) + log(x + 2)
log(x2) = log((x + 1)(x + 2))
Entonces
x2 = (x + 1)(x + 2)
Ahora resolvemos esta ecuacion:
x2 = x2 + 3x + 2
3x + 2 = 0
x = −3
2:
Esta solucion la sustituimos en la ecuacion original para verificar que estemos aplicando logar-
itmo a numeros positivos:
2 log
(−2
3
)
= log
(
−2
3+ 1
)
+ log
(
−2
3+ 2
)
. Como log
(−2
3
)
no esta definido, entonces
x =−2
3no es solucion. En conclusion esta ecuacion no tiene solucion.
Ejercicio de desarrollo: Resolver las siguientes ecuaciones logarıtmicas:
a) ln(x + 1) = ln(2x + 1) − ln(x − 1); b) 1 − log(3x + 1) = log(x − 2)
Si una ecuacion exponencial puede ser expresada de forma ag(x) = c · kf(x), entonces para
resolverla aplicamos logaritmos a ambos lados con la idea que los exponentes pasen multiplicando
286 CAPITULO 7. FUNCIONES
logb(ag(x)) = g(x) logb(a);
logb(c · kf(x)) = logb(c) + logb(kf(x)) = logb(c) + f(x) logb(k)
Si estamos interesados en la solucion numerica, podemos emplear o bien el logaritmo decimal o
el neperiano. Si k = ar, se puede aplicar logaritmos en base a para tener una solucion exacta.
Ejemplo 2.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 5x2−1 = 5 · 2x2−3; b) 2x2+1 = 2 · 4x−4
Solucion:
a) Tomamos logaritmo decimal en ambos lados: log(5x2−1) = log(5 · 2x2−3) y aplicamos
propiedades del logaritmo
(x2 − 1) log(5) = log(5) + log(2x2−3)
(x2 − 1) log(5) = log(5) + (x2 − 3) log(2) Se distribuyen el logaritmo
x2 log(5) − x2 log(5) = log(5) − 3 log(2) + log(5)Se agrupan los terminos en el lado
izquierdo y en el derecho las constantes
x2(log(5) − log(2)) = 2 log(5) − 3 log(2) Se saca factor comun x2 y se despeja
x2 =2 log(5) − 3 log(2)
log(5) − log(2);
x = ±√
2 log(5) − 3 log(2)
log(5) − log(2)≈ 1.11 Puede confirma que x = ±
√√√√√√√
log
(25
9
)
log
(5
2
)
b) Para resolver 2x2+1 = 2 · 4x+2, primero expresamos 4 como potencias de 2
2x2+1 = 2(22)x+2
7.26. FORMULA DE CAMBIO DE BASE 287
2x2+1 = 2 · 22(x+2). Aplicamos logaritmo en base 2 a ambos lados de la ecuacion
log(2x2+1) = log2(2 · 22(x+2))
(x2 + 1) log2(2) = log2(2) + log2(22(x+2))
(x2 + 2) = 1 + (2x + 4) log( 2)
x2 + 1 = (2x + 4)
x2 − 2x − 3 = 0
Las soluciones son x = 3 y x = −1
Ejercicio de desarrollo: Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 8x2+1 = 23−2x; b) 5x+1 = 4 · 23−2x
7.26. Formula de cambio de base
Si tenemos un numero expresado como logaritmo de una base y queremos expresarlo en otra
base usamos la formula
loga x =logb x
logb a
que permite hacer este cambio de base.
Demostracion: Supongamos y = loga(x), llevamos esta forma exponencial
x = ay
tomando logaritmo en base b a ambos lados, tenemos
logb x = logbay
288 CAPITULO 7. FUNCIONES
y =logb x
logb a
Finalmente sustituimos y por su valor para alcanzar la igualdad.
En particular, las formulas de cambio de base a la decimal y a la logarıtmica viene expresada
por las siguientes
loga x =log x
log a
loga x =ln x
ln a
Ejemplo 1.- Expresar los siguientes logaritmos en base 10 : a) log2(10); b) ln(x)
Solucion: Aplicamos la formula de cambio de base en arabos casos:
a) log2(10) =log 10
log 2=
1
log 2; b) ln(x) =
log x
log e
Ejemplo 1.- La alcaldıa esta promoviendo el desarrollo de la zona con ciertos incentivos y
con ello se espera que en los proximos anos crezca un 8% anual. ¿Cuanto tiempo tardara la
poblacion en triplicarse, si sigue esta polıtica?
Solucion: En este problema se aplica la formula P (t) = P0(1 + r)t. En este caso r = 0.08.
Aquı P0 no lo dan, pero esta informacion no hace falta para resolver el problema. Simplemente
queremos conoce t tal que P (t) = 3P0
La ecuacion a plantear entonces es: 3P0 = P0(1.08)t, la cual es equivalente a
3 = (1.08)r
Es una ecuacion exponencial, tomamos logaritmos naturales a ambos lados (se pido tomar tam-
bien el decimal).
7.27. APLICACIONES A LAS CIENCIAS NATURALES 289
ln 3 = ln(1.08)t
ln 3 = t ln(1.08)
t =ln 3
ln(1.08)≈ 14.2
Tardara 14 anos aproximadamente en duplicarse.
Observacion.- Esta cantidad de anos es independiente de la poblacion inicial.
7.27. Aplicaciones a las ciencias naturales
Ejemplo 1.- La presion atmosferica, en milibares, para h kilometros sobre el nivel del mar
esta dada aproximadamente por
P (h) = 1013e−0.13h
¿A que altura la presion atmosferica sera la mitad de la presion sobre el nivel del mar?
Solucion: En este caso nos preguntan h tal que P (h) =P (0)
2. La presion sobre el nivel del mar
es P0 = 1013. Ası que la ecuacion a resolver es:
1310
2= 1013e−1.13h
Tomando logaritmos, tenemos
− ln(2) = −0.13h
h = 5.28h
La altura cuya presion corresponde a la mitad sobre el nivel del mar es 5280 metros.
7.28. Escala de Richter
Existen diversas escalas para medir la intensidad de los terremotos. La medida apropiada
deberıa ser la energıa liberada. Sin embargo esta medida se escapa de la nocion intuitiva del
290 CAPITULO 7. FUNCIONES
desastre. El terremoto de mayor intensidad ha liberado una energıa aproximada 2× l017 joules,
esto es exorbitantemente grande comparado con un ligero movimiento. Se ha convenido en
estandarizar la energıa por E0 = 104.4 joules, que corresponde a la energıa liberada por un leve
movimiento. Mas especıficamente la magnitud M en la escala de Richter se define como:
M =2
3log
(E
E0
)
Ejemplo 1.- ¿Cual fue la magnitud en la escala de Richter del terremoto mas intenso?
Solucion:
M =2
3log
(2 × 1017
104.4
)
2
3log(2 × 1012.6) =
2
3(log 2 + log 1012.6) =
2
3(0.301 + 12.6)
= 8.6
Ejemplo 2.- Si la energıa liberada por un terremoto es 1000 veces la de otro terremoto ¿Como
se pueden comparar las lecturas en la escala de Richter?
Solucion: E1 = 1000E2 : Calculemos M1 como funcion de M2
M1 =2
3log
(1000E2
E0
)
M1 =2
3(log
(E2
E0
)
+ log(103))
M1 =2
3log
(E2
E0
)
+2
3· 3 log(10)
M1 = M2 + 2.
Ası el terremoto de mayor intensidad mide 2 puntos mas en la escala de Richter.
7.29. ESTIMACION DE LA EDAD 291
7.29. Estimacion de la edad
El carbono 14 se mantiene constante en los tejidos de los seres vivos. Una vez que el organismo
muere empieza a disminuir su presencia de acuerdo a la siguiente ley:
C(t) = C0e−kt,
donde k=0.000121. y C0 es la cantidad inicial del carbono 14 al momento de morir.
Observacion: Gracias a que la cantidad de carbono 12 permanece en el organismo aun despues
de miles de anos muerto y que las plantas fijan el carbono 14 y 12 en la misma proporcion que
esta en el aire se puede predecir la cantidad inicial de carbono 14, asumiendo que la composicion
del aire ha permanecido en el tiempo.
Ejemplo 1.- Si se ha encontrado un fosil que ha perdido la mitad de su Carbono 14. Calcule
la edad del fosil.
Solucion: Recuerde que C0 es la cantidad de carbono 14 en el momento de morir. Se debe
conseguir t tal que C(t) =C0
2, que es la mitad del carbono 14 inicial. Se sustituye la formula
del decaimiento del carbono 14:
C0
2= C0e
−kt
Simplificando:
1
2= e−kt
Tomando logaritmos y despejando tenemos
− ln 2 = −kt
t = 5728.48 anos
Este tiempo es lo que se conoce como la vida media del C14.
Ejercicios:
292 CAPITULO 7. FUNCIONES
1) Expresar log
(x2 − 1
x2
)
en terminos de log(x), log(x − 1) y log(x + 1)
2) Expresar ln(2x(x − 1)√
(x + 3) en terminos de ln(x), ln(x − 1) y ln(x + 3)
3) Expresar log
(√
(x − 1)2
x(x + 2)
)
en terminos de log(x), log(x − 1) y log(x + 2)
4) Expresar ln
(
x
√
(x + 1)
(x − 2)
)
en terminos de log(x), log(x + 1) y log(x − 2).
5) Resolver las siguientes ecuaciones:
5.1) log(x + 3) + log(x) − 1 = 0; 5.2) log(x) + log(x + 3) = 2 log(x + 2);
5.3) log(x) = log(x + 4) − log(x + 1); 5.4) log(√
x) = log(x − 2);
5.5) 2 = log(20x + 10) − log(x + 2); 5.6) 5x2= 25x+4;
5.7) 72x = 53x−1; 5.8) 2 log(x − 2) = 4;
5.9) eln(1−x) = 2x; 5.10) ln x = 2 + ln(1 − x);
5.11) ln(x2 − 1) = 0; ⋆5.12) (ln x)2 − ln x = 0
(⋆Sugerencia: Use el metodo de factorizacion para resolver ecuaciones)
6) Expresar los siguientes logaritmos en base 10 :
6.1) log3(100); 6.2) ln(√
5).
Expresar los siguinetes logaritmos en base e :
6.3) log(12); 6.4) log2(√
e).
7) Demuestre que y = log2(x − 1) es la funcion inversa de y = 2x + 1. Dibuje ambas en el
mismo sistema de coordenadas.
Problemas de crecimiento poblacional
1) La poblacion de un paıs P (t) en millones de habitantes, t anos despues de 1990, esta
modelada por P (t) = P0e0.02t ¿Cuando se duplicara la poblacion? (Resp. t =
ln(2)
0.02. En el
7.29. ESTIMACION DE LA EDAD 293
ano 2024) La poblacion de un paıs P (t) en millones de habitantes, t anos despues de 1999,
esta modelada por P (t) = 22e0.04t ¿Cuando la poblacion llegara a los 35 millones de habitantes?
Suponga que el modelo permanece en el tiempo (Resp. En el 2010)
2) En una zona del paıs existen dos poblaciones, A y B, con 200.000 y 250.000 habitantes
respectivamente. La poblacion A crece a un ritmo de 3.5% anual y la B a 3% anual. ¿En cuanto
tiempo la poblacion A llegarıa a ser igual a la poblacion B, si se mantienen constantes los ritmos
de crecimiento? Resp. 46 anos
3) La densidad de la poblacion a × km del centro de la ciudad esta dada por
D(x) = Ae−kx. Si la densidad de la poblacion es 10.000 personas/km2 y la densidad a 5 km. es
de 7000 personas, halle completamente la funcion, b) ¿Cual sera ¡a densidad a 8 km de distancia
del centro?
4) En el modelos de crecimiento poblacional dado por
Pn = P0(1 + r)n
donde Pn es el tamano de la poblacion dentro de n, P0 la poblacion inicial y r la tasa de
crecimiento anual, despeje r en funcion de Pn, P0 y n
Problemas de ciencias naturales
1) El crecimiento de los arboles en ocasiones es modelado usando el modelo logıstico. Suponga
que cierta variedad sigue el siguiente modelo, h(t) =50
1 + 210e−0.3tdonde h(t) es la altura en
metros despues de t anos de sembrado. ¿Que altura tendra a los 10 anos de sembrado? ¿Cuanto
tiempo tiene que transcurrir para que su altura sea de 25 metros) (9.6; 17.8 anos)
2) El yodo radioactivo tiene una ley de decrecimiento exponencial con un tiempo de vida
de 20.9 h. Si a una persona se inyecta yodo 133 y tiene una tiroides sana ella absorbe todo el
iodo a) Despues de 24 horas de haberse inyectado yodo a una persona sana ¿Que porcentaje de
yodo 133 deberıa encontrarse en la tiroides? b) Si al paciente se le detecto el 43% de yodo 133
inyectado. ¿Que porcentaje queda en el cuerpo? (45%, 2%)
3) El terremoto de San Francisco libero una energıa aproximada de 5.96× l0l6 joules. ¿Cual
294 CAPITULO 7. FUNCIONES
fue su magnitud en la escala de Richter? (8.25)
4) El mayor terremoto registrado hasta ahora fue de 8.6 en la escala de Richter. Si un
terremoto es de 7.5 en la escala de Richter. ¿Cuantas veces mas intenso es este terremoto con
respecto a uno de 7.5? (Sugerencia: Calcule la energıa liberada por ambos terremotos y haga el
cociente entre ellas.
5) La presion atmosferica, en milibares, para h kilometros sobre el nivel del mar esta dala
aproximadamente por P (h) = 1013e−0.13h. Si la presion del aire fuera de un avion que esta volan-
do es de 700 mb ¿A que altura esta volando? (2.84 km)
6) El porcentaje de arboles en una plantacion frutal que se ha infectado por una enfermedad
esta dada por
P (t) =100
1 + 20e−0.05t
donde t es el numero de dıas, medido a partir del momento en que se descubrio el contagio.
¿Cuantos dıas tardara en infectarse el 80% de la plantacion? (t =ln(80)
0.05≈ 87.6 dıas).
7.30. Geometrıa
Una de las interesantes tareas que asumimos a diario los docentes de matematicas, consiste
en despertar interes por el espacio que nos rodea a todos los seres humanos. Estos debieran
abundar, hoy en dıa, en objetivos educacionales vinculados con geometrıa, todo eso a causa de
que espacio y numero constituyen una dupla inseparable indisoluble. Entonces geometrıa nos
acerca a las matematicas como metodo para pensar la realidad, como herramienta poderosa en
la solucion de problemas. El metodo, por ejemplo, usado por Eratostenes para medir la tierra
de manera tajante que matematicas no es una ciencia acabada, terminada. Ademas demuestra
que el metodo tiene su base en la intuicion, la imaginacion, el ensayo, el error, la invencion, el
descubrimiento y que la intuicion y la construccion son las fuerzas que dirigen hacia el logro del
resultado. El modelo matematico ecuacion o conjunto de ecuaciones, se usan errores cometidos
7.30. GEOMETRIA 295
en la construccion del modelo para perfeccion del modelo y la solucion de problemas relacionados
con el entorno que nos rodea.
Ejemplos relacionados con el entorno que nos rodea aplicados a la geometrıa uti-
lizando los conocimientos abstractos.
1.- Se tiene un terreno de forma rectangular, su perımetro es de 550 m y su superficie es 1100
m. Hallar sus lados.
Razonamiento:
Como sabemos que el perımetro es la suma, planteamos la siguiente ecuacion
x + y + x + y = 550
2x + 2y = 550 1◦ ecuacion
Ahora sabemos que el area es b.h por lo tanto 1100 = x.y 2◦ ecuacion
Simplificando la primera ecuacion 2x + 2y = 550 lo divido entre dos y se tiene x + y = 275
despejamos x y tendremos x = 275 − y 3◦ ecuacion
Sustituyo en la segunda ecuacion la tercera ecuacion
1100 = (275 − y)y entonces 1100 = 275.y − y2
Procedemos a encontrar el valor de y a traves de la ecuacion de segundo grado
−y2 + 275y − 1100 = 0 entonces:
y =275 ±
√
(275)2 − 4(−1)(−1100)
2 · (−1)=
−275 ±√
75625 − 4400
−2=
−275 ±√
71225
−2
y =−275 ± 266,8
−2=
−275 − 266,8
−2=
−541,8
−2= 270,9 Por lo tanto y = 270,9 m
Ahora sustituimos en la segunda ecuacion 1100 = xy despejamos x
x =1100
y=
1100
270,9= 4.06 Por lo tanto x = 4.06
y = 270.9
296 CAPITULO 7. FUNCIONES
Los valores encontrados son y = 270.9 m y x = 4.06 m si sumamos los lados obtenemos
270,9 + 270,9 + 4,06 + 4,06 = 549,92 m. Tambien podremos comprobar el area del rectangulo
que es 270,9 ∗ 4,06 = 1099,85 m
2.- Si el largo de un salon de clase de forma rectangular es de 6 m, menos 3 veces el ancho y
el largo mide 30 m. Hallar el ancho. Ver figura.
30
3x-6
Planteamos la ecuacion 3x − 6 = 30 por lo tanto 3x = 30 + 6 donde 3x = 36 y nos queda
que x =36
3= 12
En conclusion el ancho mide 12 m
Problemas de geometrıa.
1.- Los catetos de un rectangulo suman 21 y su diferencia es 3. ¿ Cual es el area?
2.- En un rectangulo, el perımetro mide 60 m y su superficie 98 m. Hallar su base y altura
3. En una calle de anchura desconocida, es colocada una escalera, con su pie en un punto p
entre las paredes. Si la apoyamos sobre la pared de la derecha, la escalera forma un angulo de
45◦ con el suelo. Apoyandola sobre la otra pared, el angulo que forma ahora es de 75◦. Ademas,
la altura del punto R es de 4 m. Hallar el ancho de la calle.
4.- Un pino de 8 m de altura proyecta una sombra de 10.5 m. Dos pajaritos se posan en
dicho arbol, uno en el tope y otro un poco mas abajo. Si la distancia entre las sombras que esos
pajaritos proyectan en el suelo es de 4m. ¿Cual es la distancia entre los pajaritos?
5.- Se tiene un tanque de forma cilındrica cuyo diametro es de 6.5 m y la altura es de 2.30
m. ¿Cual es la cantidad de litros almacenada?
7.30. GEOMETRIA 297
6.- ¿Que altura necesitamos para hacer un tanque de forma cilındrica cuya capacidad sea de
700000 litros teniendo 12 m de radio?.
7.- A 300 m de una carretera rectilınea hay un campamento escolar (llamemoslo A) en la
carretera y a 500 m del campamento A hay otro campamento (designemolo por B) se desea
construire un restauran, en la carretera, y a igual distancia de cada campamento. Hallar la
distancia del restauran a cada campamento.
8.- Se tienen dos postes de cable telefonico uno de 8.5 m y otro de 4.2 m situados en el suelo.
Cada uno esta sujeto con dos tensores como se muestra en la figura. Encontrar la altura donde
se cruzan los tensores.
4.2 m
8.5 m
h
Bibliografıa
[1] Rivero F. (1998) Numeros Enteros.
[2] E. Navarro (1972) Problemario de Analisis y Geometrıa Analıtica.
[3] Cadenas y Rivas (2009) Fundamentos de matematicas basicas en la formacion de docentes.
[4] Cadenas, R. (2007) Analisis matematicos de una variable real
[5] Leithold, L. (1973) El Calculo con Geometrıa Analıtica.
[6] Saenz, J. (2005) Caculo diferencial con funciones trascendentes tempranas para ciencias e
ingenierıa.
[7] Baldor A. (1989) Algebra.
[8] Osuna, O. (1992) Guıa sobre ejercicios fundamentales para el ingreso a las universidades.
299
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