View
44
Download
6
Category
Preview:
DESCRIPTION
very good
Citation preview
Bab 4 : PERSAMAAN-PERSAMAAN DASAR UNTUK CONTROL VOLUME
DALAM BENTUK INTEGRAL
1
4.1. Hukum-hukum Dasar untuk Sistem
1. Konservasi Masa:
dimana masa m dalam sistem:
2. Hukum Newton II:
dimana: = momentum linear = gaya luar yang bekerja
pada sistem
Mencari Korelasi antara Sistem dengan Perumusan-perumusan Control Volume
0dtdm
tankonsm
sistemdtPd
F
P
F
)( )(sistemm sistemv
sistem vddmm
4.1. Hukum-hukum Dasar untuk Sistem
2
momentum dari sistem adalah :
3. Prinsip Momentum Angular:“Jumlah torsi yang bekerja pada suatu sistem = laju perubahan dari momentum angular”
dimana: = torsi = momentum angular
Momentum angular dari sistem adalah:
Torsi ( ) disebabkan oleh: gaya permukaan, gaya body dan juga oleh poros :
P
)( )(sistemm sistemv
sistem vdVdmVP
sistemdtHd
T
T
H
)( )(sistemm sistemv
sistem vdVxrdmVxrH
T
)(sistemm
porosssistem TdmgxrFxrT
4.1. Hukum-hukum Dasar untuk Sistem
3
4. Hukum Termodinamika-I:
Bila ditulis dalam bentuk laju perubahan:
dimana: = laju perpindahan panas = laju kerja
= laju energi total
Energi total dari sistem adalah:
dan
energi potensial per satuan
masa
energi kinetik per satuan masa
energi dalam per satuan masa
energi total per satuan masa
dEWQ
sistemdtdE
WQ
Q
W
dtdE
)( )(sistemm sistemv
sistem vdedmeE
gzV
ue 2
2
4.1. Hukum-hukum Dasar untuk Sistem
4
5. Hukum Termodinamika-II:bila sejumlah panas Q dipindahkan ke dalam sistem bertemperatur T, maka berdasarkan hukum Termodinamika II perubahan entropi dS ditulis sbb:
Bila ditulis dalam bentuk laju perubahan:
Entropi dari sistem adalah:
dimana : s = entropi per satuan masa
TQ
dS
)( )(sistemm sistemv
sistem vddmS ss
QTdt
dS
sistem
1
4.2. Bentuk Umum Persamaan Dasar Sistem
5
Sebutlah: N = sembarang extensive property dari sistemdan = intensive property (extensive property per satuan masa) dari sistem
Maka bila:
m vsist
m vsist
m vsist
m vsist
m vsist
vddmSSN
vdedmeEeEN
vdVxrdmVxrHVxrHN
vdVdmVPVPN
vddmmmN
sss
).
).
).
).
).
5
4
3
2
11
)( )(sistemm sistemv
sistem vddmN
4.2.1. Derivasi
6
Laju perubahan dari Nsistem:
dimana:
x
y
z
stream linestream line
a). Pada waktu to b). Pada waktu to+ t
I IIIII
sistem
CV
CVsistem
Sub region (1)dari region I
Sub region (3)dari region III
t
NN
dtdN
oo tstts
tsistem
0lim
o
ootCV
tcvts vdNN
ttIIIttIttCV
ttIIIICVttIIIIItts
ooo
ooo
vdvdvd
NNNNNN
4.2.1. Derivasi
7
maka:
=
1 2 3
vc
vc
otvctotvc
0t
otvctotvc
0t
tt
Nt
NN
t
vd
vdvd
lim
lim1
tttdt
dN
tdt
dN
totI
0t
totIII
0t
otvctotvc
0tsist
otvctotItotIIItotvc
0tsist
vdvdvdvd
vdvdvdvd
limlimlim
lim
4.2.1. Derivasi
8
=
Pada daerah III masa mengalir keluar dari CV selama interval waktu t
2
t
N
ttotIII
0t
totIII
0t
limlim
vd
IIIdA
Ad
V
CSIII to + t
Cos.dA.vd 2
CSIII
CSIIIt
CSIII
t
ttIII
t
AdV
Adt
t
dA
t
vdo
Cos
Cos
Cos
0
00
lim
limlim
4.2.1. Derivasi
9
=
Pada daerah I masa mengalir masuk ke dalam CV selama interval waktu t
Note :
3
CSI
CSI0t
CSI
0t
totI
0t
V
t
tt
Ad
Ad
dAvd
Cos
Cos
Cos-
lim
limlim
AddAdanVt0t
lim
t
N
ttotI
0t
totI
0t
limlim
vd
IdA
CSI to + t
V
Ad
Cos.dA.vd
2
4.2.1. Derivasi
10
maka laju perubahan dari N)sistem menjadi:
masuk cv keluar cv
dimana bila:cs = csI + cs III
= 0o
= 180o
Sehingga:
Persamaan TRANSPORTASI REYNOLDS
AdcosVAdcosVtdt
dN
csIIIcsIsistem
vc
vd
AddengansegarisV
cssistem
AdVtdt
dN
vc
vd
CosAdV
AdV
Ad
V
4.2.1. Derivasi
11
Arti fisik Persamaan Transportasi Reynolds:
waktupersatuansistemdari
)N(propertyextensivesembarangdaritotalperubahandt
dN
sistem
waktupersatuanvcvolumecontroldalamdi
Npropertyextensivesembarangdariperubahant
vc
vd
waktupersatuan
cssurfacecontroldarikeluarataumasukyang
Npropertyextensivesembarangcs
AdVηρ
Pemakaian Persamaan Transportasi Reynolds
12
Persamaan Transportasi Reynolds:
Dalam hal ini:
Sehingga diperoleh Formulasi CV untuk Konservasi Masa, sbb.:
4.3. Konservasi masa
0dt
dm
sistem
cssistem
AdVtdt
dN
vc
vd
0dt
dm
dt
dN
sistemsistem
1m
N
N = m
cs
AdVt
0
vc
vd
4.3.1. Kasus Khusus
13
Formulasi Konservasi Masa dapat disederhanakan, sbb. :
a. Untuk aliran Incompressible
sehingga formulasi konservasi masa disederhanakan menjadi:
= 0 = 0 (vol = konstan) (= konstan)
Sehingga :
tankons
cs
cs
cs
AdV0
AdVt
0
AdVt
0
tv
t
v
v
vdvc
cs
AdV0
cs
AdV0
4.3.1. Kasus Khusus
14
a. Untuk aliran steady
sehingga formulasi konservasi masa disederhanakan menjadi:
= 0 (aliran steady)
maka :
Note:
0
t
cs
AdVt
0
vc
vd
cs
AdV0
A
A
A
AdVA
1
A
V
A
QV:rataratatankecepa
AdVVQ:debit/flowratevolume
AdV:flowratemass
m
CATATAN PENTING
15
= merupakan vektor luasan yang arahnya positip bila ditarik keluar dari bidang
Pada section (1) aliran masuk CS, dimana dan
membentuk sudut = 180oCos 180o = -1
Pada section (1) aliran masuk CS, dimana dan membentuk sudut = 0oCos 0o = 0 Cos 0o = +1
Resume:
keluar
masuk
Ad
2Ad
1Ad
2V
1V
1
2
Ad
V
AdVCosAdVAdV o
180
AdVCosAdVAdV o
0
Ad
V
CSkealiranbilanegatipAdV
CSdarialiranbilapositipAdV
berlakumakaCSVCVBila
)()(
)(
:),(
CONTOH SOAL
16
CONTOH SOAL
17
CONTOH SOAL
18
4.4. Persamaan Momentum
19
Hukum Newton II untuk suatu sistem yang bergerak terhadap sistem koordinat yang diam :
dimana:
Persamaan Transportasi Reynolds:
4.4.1. Untuk Control Volume Diam
sistemdtPd
F
)()( sistemVsistemmasasistem VdVdmVP
linearmomentumP
Bs FFF
cssistem
AdVtdt
dN
vc
vd
4.4.1. Untuk Control Volume Diam
20
dimana:
maka persamaan momentum ditulis:
atau:
Note:Bila gaya body persatuan masa = maka:
Dalam hal ini, bila gaya bodi = berat Gaya permukaan akibat tekanan (p):
N = P BFFF
dtPd
dtdN
S
sistemsistem
VmVm
mP
mN
csvcBS AdVVvdV
tFFF
csvc
sistem
AdVVvdVtdt
Pd
B
vcmasa
B vdBdmBF
gB
A
S AdpF
4.4.1. Untuk Control Volume Diam
21
Komponen gaya-gaya:- sumbu - x :
- sumbu – y :
- sumbu – z :
Note:1). Langkah ke-1 yang harus dilakukan adalah menentukan
tanda dari
2). Langkah ke-2 adalah menentukan tanda dari kecepatan u, v, w, yang tergantung dari sistem koordinat yang dipilih. Dalam hal ini tandanya harus diperhitungkan bila disubstitusikan untuk mendapatkan harga numerik, sbb.:
csvcBzSzz AdVvd
tFFF
ww
csvcBySyy AdVvd
tFFF
vv
AdV
coscos AdVAdVAdV
cosAdVAdV
uu
csvcBxSxx AdVvd
tFFF
uu
4.4.1. Untuk Control Volume Diam
22
4.4.1. Untuk Control Volume Diam
23
4.4.1. Untuk Control Volume Diam
24
4.4.2. Untuk Control Volume Yang Bergerak Dengan Kecepatan Konstan
25
Cara Analisa:Dalam analisanya, ada 2(dua) hal yang harus dicatat:1). semua kecepatan diukur relatif terhadap CV (koordinat : xyz bukan XYZ)
2). semua derivasi terhadap waktu, diukur relatif terhadap CV (koordinat: xyz bukan XYZ)
Persamaan Transportasi Reynolds:
csvcsistem
AdVvdtdt
dN
y
x
Y
X
CV
suduV
U
VCdarikonstankecepatanU
4.4.2. Untuk Control Volume Yang Bergerak Dengan Kecepatan Konstan
26
Untuk momentum:- N = Pxyz maka : = Vxyz
maka persamaan momentum untuk CV yang bergerak dengan kecepatan konstan:
dimana:subcript : xyz = menunjukkan relatif terhadap CV.
csvcBS Advd
tFFF
xyzxyzxyz VVV
4.4.2. Untuk Control Volume Yang Bergerak Dengan Kecepatan Konstan
27
4.4.2. Untuk Control Volume Yang Bergerak Dengan Kecepatan Konstan
28
4.5. Prinsip Momentum Angular
29
Prinsip Momentum Anguler untuk suatusistem yang bergerak terhadap sistem koordinat yang diam :
dimana:
Persamaan Transportasi Reynolds:
4.5.1. Untuk Control Volume Diam
cssistem
AdVtdt
dN
vc
vd
sistemdtHd
T
)()( sistemVsistemmasa
sistem VdVxrdmVxrH
angularmomentumH
ygtotaltorsiT
nyasekeliling dr
sistempdbekerja
)(sistemm
shafts TdmgxrFxrT
4.5.1. Untuk Control Volume Diam
30
dimana:
maka persamaan momentum anguler ditulis:
atau:
Karena pada saat to sistem berimpit dengan CV, maka :
Sehingga:
N = H T
dtHd
dtdN
sistemsistem
Vxrm
mVxrmH
mN
csvc
sistem
AdVVxrvdVxrtdt
Hd
csvcsistemmshaftS AdVVxrvdVxr
tTdmgxrFxrT
)(
VCsistem TT
csvc
shaftS AdVVxrVxrt
TvdgxrFxr
vc
vd
Contoh Soal : Lawn Sprinkler
31
DiketahuI:
Tentukan : a). Vjet relatif thdp setiap nosel b). Torsi akibat friksi pd pivotpersamaan dasar:
dimana kecepatan diukur relatif terhadap koordinat inertial (tetap) XYZ.Asumsi: 1). aliran incompressible 2). aliran uniform pd setiap section 3). Kecepatan sudut ( ) = konstan
cs
AdVt
0
vc
vd
csvc
shaftS AdVVxrVxrt
TvdgxrFxr
vc
vd
= 0 (1)
= 0 (a) = 0 (b)
Contoh Soal : Lawn Sprinkler
32
Dari kontinuitas, kecepatan relatif jet (Vjet)pada nosel dapat dihitung:
Dalam kasus ini persamaan momentum Angular dapat dipahami setiap bagiannya sbb:
Sehingga satu-satunya Torsi yang bekerja pada CV hanyalah akibat gesekan pada pivot sbb. :
s/m97,4
s60
minx
m
mm10x
lt1000
mx
mm4
14x
min
lt5,7x
2
1
D
4
2
Q
A2
QV
2
26
3
22
2jetjet
rel
0jumlahnyasehinggaarahberlawanan
&besarsamalengankeduapadaforcebodyakibatntTorsi/Momeb).
momentanmenghasilktidak
sehinggaO,axialsumbupdtepatinletpdtekangayadan
CS,pdseluruhbekerjatekanankarenantTorsi/mome0Fxra). s
KTT fshaft
Contoh Soal : Lawn Sprinkler
33
Sebelum mengevaluasi persamaan integraluntuk CV pada sisi kanan (=) dari persamaan momentum anguler diatas,terlebih dulu akan dievaluasi tentang posisivektor dan vektor kecepatan (diukurrelatif terhadap XYZ) untuk setiap elemenfluida dalam CV :
r
V
o
X
Y
Z
A
B
B'
Contoh Soal : Lawn Sprinkler
34
Panjang lengan kanan OA = R menempel pada bidang XY; sementara AB membentuk sudut kemiringan tdp bidang XY, dimana titik B’ adalah proyeksi dari titik B pd bidang XY.Bila diasumsikan panjang tip AB = L yang relatif sangat kecil dibanding R(L<<R) momentum fluida dlm tip AB << momentum fluida dlm lengan R.
A
B'
R
L Cos Sin
L Cos Cos
L Cos
X
Y
Contoh Soal : Lawn Sprinkler
35
Maka momentum fluida dalam lengan kanan R (OA) dihitung sbb. :
untuk menghitung akan dihitung lebih dulu sbb.:
sehingga:
maka:
X
Y
O
r
Vt
A
r
Vt Cos
Vt Sin
r Cos
r Sin
vc
vdVxrt
Vxr
22222 ˆ)(ˆ rSinrCosrVxr KK
)(ˆ)(ˆ
ˆˆ
CosrSinVSinrCosVV
SinrCosrr
tt
JI
JI
AR
drArdvVxrR
OOAv
3
ˆˆ3
2
)(
KK
Contoh Soal : Lawn Sprinkler
36
maka:
dimana A = luas penampang pipa
Analog untuk lengan kanan, lengan kiri juga akan menghsilkan harga yang sama (= 0).Selanjutnya untuk menghitung momentum anguler yang menembus CS = akan ditentukan lebih dulu : yang dihitung relatif tdp XYZ.
Untuk lengan kanan OAB, sbb. :
03
ˆ3
)(
A
R
tdvVxr
t OAv
K
AdVVxrcs
jetBjet Vjetkecepatadanrr
Contoh Soal : Lawn Sprinkler
37
untuk L << R, maka :
selanjutnya:
A
B'
R
L Cos Sin
L Cos Cos
L Cos
X
Y
R Sin
R Cos
SinLKCosCosLSinRJSinCosLCosRIrB
SinRJCosRIrB
SinVKCosRCosVJSinRCosVI
CosRJSinRISinVK
CosCosVJSinCosVI
VVV
relrelrel
rel
relrel
tipreljet
ˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆ
Contoh Soal : Lawn Sprinkler
38
sehingga:
maka momentum anguler yang menembus CS untuk lengan kanan (OAB):
Analog untuk lengan kiri (OCD):
RCosVRKCosSinVRJSinSinVRI
CosSinRCosVRKCosSinVRJSinSinVRIVxr
relrelrel
relrelreljB
ˆˆˆ
ˆˆˆ 22
2
ˆˆˆ)(
QRCosVRKCosSinVRJSinSinVRIAdVVxr relrelrel
OABcs
j
2
ˆˆˆ)(
QRCosVRKCosSinVRJSinSinVRIAdVVxr relrelrel
OABcs
j
A
B'
R
X
Y
Vrel Cos
Vrel CosSin
Vrel CosCos
R
R Cos R Sin
R Cos
R Sin
R
Vrel CosSin
Vrel CosCos
R
O
C
D'
R Sin
R Sin
R Cos
R Cos
Contoh Soal : Lawn Sprinkler
39
sehingga bila di jumlahkan antara lengan kiri & kanan, didapat:
maka:
atau:
sehingga dr data yang diketahui, didapat:
maka:
QRCosVRKAdVVxr rel
cs
j ˆ
ρQωRCosαVRT relf
QRCosVRKKTT relfshaft
ˆˆ
s
m471,0
mm1000
mx
s60
mntx
put
rad2xmm150x
mnt
put30R
m.N0718,0
mm1000
mx
m.kg
s.Nx
s60
minx
lt1000
mx
min
lt5,7x
m
kg999x
s
m471,030Cosx
s
m97,4mm150T
23
3o
f
4.5. Hukum Termodinamika-I
40
Hukum Termodinamika-I menyatakan tentang kesetimbangan Energi, sbb.:
dimana:
(+ bila panas ditambahkan masuk ke dalam sistem)
(- bila kerja dilakukan sistem keluar ke sekeliling)
dan
energi potensial per satuan masa energi kinetik per satuan masa
energi dalam per satuan masa
energi total per satuan masa
sistemdt
dEWQ
panasnperpindahalajuQ
jakerlajuW
)sistem(m )sistem(v
sistem vdedmeenergitotalE
gz2
Vue
2
4.5. Hukum Termodinamika-I
41
Persamaan Transportasi Reynolds:
dimana:
maka :
Karena pada saat to sistem berimpit dengan CV, maka :
Sehingga:
N = E
cssistem
AdVtdt
dN
vc
vd
WQdt
dE
dt
dN
sistemsistem
em
E
m
N
cssistem
AdVeetdt
dE
vc
vd
vcsistem WQWQ
cs
AdVeet
WQ
vc
vd
4.5.1. Laju kerja yang dilakukan oleh CV
42
Laju kerja yang dilakukan oleh CV diklasifikasikan menjadi 4 sbb.:
Laju Kerja Porosadalah laju kerja yang dipindahkan oleh
poros menembus control surface (CS)
Bila gaya bekerja menyebabkanperpindahan sejauh , maka kerja yangdilakukan diberikan sbb.:
sehingga laju kerja yang dihasilkan:
1. Kerja Poros ( )sW
sW
2. Kerja akibat Tegangan Normal pada CS ( )normalW
F
F
F
sd
sdFW
VFt
sdFlim
t
WlimW
0t0t
othershearnormalshaft WWWWW
4.5.1. Laju kerja yang dilakukan oleh CV
43
Laju kerja pada element dari CS oleh tegangan normal ( ) :
maka total laju kerja akibat :
Gaya geser yang bekerja pada elemen dari CS diberikan:
dimana adalah tengan geser yang bekerja pada bidang
Laju kerja pada keseluruhan CS akibattegangan geser:
F
Ad
VAdVFdWd nnnormal
nn
3. Kerja akibat Tegangan Geser pada CS ( )shearW
Ad
dAFd
Ad
nn
cscs
shear dAVVdAW
cs
nn
cs
nnnormal AdVVAdW
4.5.1. Laju kerja yang dilakukan oleh CV
44
Laju kerja akibat tegangan geser dapatdiuraikan dalam 3 term:
sehingga:
Bila CSmaka = 90odan
F
)()()( portsAsurfacesolidAshaftsA
shear dAVdAVdAVW
)( portsA
shear dAVW
V
090CosVV o
0shearW
V
)Wdalamdihitungsudahdianggap(0dAV shaft
)shafts(A
)0dindingdiV(0dAV)surfacesolid(A
)ports(A)ports(A
dACosVdAV
4.5.1. Laju kerja yang dilakukan oleh CV
45
Kerja lain meliputi: energi listrik, energi elektromagnetik, dll.
Sehingga secara keseluruhan laju kerja dapat ditulis sbb.:
F
4. Kerja lain-lain ( )
othershear
cs
nnshaft WWAdVWW
otherW
4.5.2. Persamaan Control Volume
46
Dengan menguraikan maka Hk Termodinamika I dalam formulasi CV menjadi:
atau
karena (dimana = specific volume), maka:
sehingga:
Dalam dunia teknik u/ aliran secara umum (dimana p = tekanan termodinamika) maka:
atau
F
vc cs
othershear
cs
nnshaft AdVevdet
WWAdVWQ
cs
nn
vc cs
othershearshaft AdVAdVevdet
WWWQ
W
1atau1
cs cs
nnnn AdVAdV
vc cs
nnothershearshaft AdV)e(vdet
WWWQ
vc cs
othershearshaft AdV)pe(vdet
WWWQ
vc cs
2
othershearshaft AdV)zg2
Vpu(vde
tWWWQ
pnn
)gz2
Vue:untuk(
2
Contoh Soal
47
Udara memasuki sebauh kompresor di (1) dan keluar di (2), dengan kondisi seperti tergambar.Bila laju aliran masa udara sebesar 9 kg/s dan daya input memasuki kompresor sebesar 447 kW
Tentukan: Laju aliran panas
4.6. Hukum Termodinamika-II
48
Hukum Termodinamika-II dinyatakan sbb.:
dimana total entropy (S) dari sistem diberikan sbb.:
Persamaan Transportasi Reynolds:
dimana
maka
QT
1
dt
dS
sistem
)sistem(m )sistem(v
sistem vdsdmsentropytotalS
cssistem
AdVtdt
dN
vc
vd
N = S
sm
S
m
N
QT
1
dt
dS
dt
dN
sistemsistem
cssistem
AdVsstdt
dS
vc
vd
4.6. Hukum Termodinamika-II
49
Karena pada saat to sistem & CV berimpit, maka:
Sehingga Hk Termodinamika II dalam formulasi CV menjadi:
Note:Dalam persamaan diatas, menyatakan heat flux per satuan luas dalam CV yang melintasi elemen dA.
Untuk menghitung maka heat flux ( ) dan temperatur lokal T, keduanya harus diketahui untuk setiap luas elemen dari CS.
dAA
Q
T
1Q
T
1Q
T
1
csvcsistem
dAA
Q
T
1AdVss
tdt
dS
cscssistem
vc
vd
A
Q
dAA
Q
T
1
cs
A
Q
Recommended